VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TỐN HỌC NGUYỄN HỮU SÁU TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH SUY BIẾN CĨ TRỄ Chun ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã số: 46 01 03 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2017 Lời mở đầu Lý thuyết ổn định hệ phương trình vi phân hướng nghiên cứu quan trọng, có nhiều ứng dụng thực tế, kĩ thuật Các cơng trình nghiên cứu lý thuyết ổn định năm cuối kỉ XIX nhà toán học người Nga A M Lyapunov công bố bảo vệ thành cơng luận án tiến sĩ có nhan đề ” Bài tốn tổng qt tính ổn định chuyển động” Trong cơng trình A M Lyapunov nghiên cứu tìm khái niệm tổng quát tính ổn định chuyển động, mà sau trở thành móng quan trọng cho việc phân tích hệ động lực tốn học, học, sinh thái học, kinh tế học, điều khiển tự động Trong mười năm trở lại đây, hệ động lực mơ tả hệ phương trình suy biến có trễ nhận nhiều quan tâm đặc biệt với hai lý sau Một là, tốn xuất phát từ thực tế thường mơ tả hệ phương trình suy biến có ứng dụng kinh tế (Leontief dynamic model ), ứng dụng mạng lưới điện ([1]), học ([3]) Hai là, hầu hết q trình vật lý, sinh học, hóa học, kinh tế, mạng lưới điện, lò phản ứng hạt nhân liên quan đến độ trễ thời gian Không vậy, độ trễ thời gian nguyên nhân trực tiếp dẫn đến tính khơng ổn định hiệu suất (poor performance) hệ động lực Vì lớp hệ phương trình có trễ thu hút nhiều quan tâm nghiên cứu nhà khoa học Do đó, giải tốn ổn định hệ phương trình suy biến có trễ góp phần giải nhiều tốn thực tiễn có tính ứng dụng cao Hệ dương hệ động lực mô tả hệ phương trình vi phân, phương trình rời rạc trạng thái hệ không âm với điều kiện ban đầu không âm Hệ dương xuất nhiều lĩnh vực khoa học công nghệ q trình sinh học, hóa học, mơ hình dân số, học, kinh tế học (xem [5] ) Lý thuyết hệ dương liên hệ chặt chẽ với lý thuyết ma trận không âm (tức ma trận có phần tử ma trận số khơng âm), hầu hết tính chất hệ dương thu vào đầu kỷ XX dựa định lý Perron-Frobenius, lý thuyết ma trận không âm ( xem [15] ) Trong năm gần đạt nhiều kết nghiên cứu tốn ổn định ổn định hóa hệ dương có trễ thơng thường, bật số nghiên cứu P.H.A Ngọc [16], D Efimov [4], D Napp [17], E Virnik [18], X Liu [13] Tuy nhiên với hệ suy biến dương, đặc biệt hệ suy biến dương có trễ tốn ổn định ổn định hóa hệ dương tốn mang tính thời nhận nhiều quan tâm nghiên cứu gần Với ý tưởng đó, luận án này, chúng tơi sử dụng phương pháp quy nạp toán học, toán quy hoạch tuyến tính, phân tích ma trận SVD ( Singular Value Decomposition) Chúng đưa hệ suy biến ban đầu hệ gồm hệ phương trình có trễ thơng thường hệ ràng buộc đại số tương ứng Trên sở kĩ thuật mới, thu số điều kiện cần đủ để đảm bảo hệ suy biến có trễ hệ dương, đồng thời thiết lập điều kiện đủ đảm bảo tính chất ổn định hệ suy biến dương có trễ tương ứng Chúng đưa điều kiện đủ cho tính ổn định hóa dạng mũ hệ điều khiển suy biến dương có trễ, điều kiện viết dạng tốn quy hoạch tuyến tính Ngồi phần mở đầu, kết luận, danh mục kí hiệu, danh mục cơng trình khoa học tác giả, tài liệu tham khảo, luận án gồm chương sau: Chương chương kiến thức chuẩn bị, gồm mục Mục 1.1 giới thiệu toán ổn định, tốn ổn định hóa cho hệ phương trình có trễ thơng thường Mục 1.2 giới thiệu hệ phương trình tuyến tính suy biến, cơng thức nghiệm cho hệ phương trình suy biến tuyến tính có trễ Mục 1.3 nhắc lại số bổ đề sử dụng chương sau luận án Chương nghiên cứu tốn ổn định mũ ổn định hóa dạng mũ cho lớp hệ phương trình vi phân suy biến dương có trễ Mục 2.1 trình bày điều kiện cần đủ đảm bảo hệ phương trình vi phân suy biến có trễ hệ dương, tiếp đến tiêu chuẩn cho tính ổn định mũ hệ suy biến dương có trễ tương ứng Mục 2.2 đưa tiêu chuẩn cho tính ổn định hóa hệ phương trình vi phân suy biến dương có trễ Chương nghiên cứu toán ổn định mũ ổn định hóa dạng mũ cho lớp hệ phương trình rời rạc suy biến dương có trễ Mục 3.1 trình bày điều kiện cần đủ đảm bảo hệ rời rạc suy biến có trễ hệ dương, tiếp đến số điều kiện cần đủ đảm bảo cho tính ổn định mũ hệ suy biến dương có trễ tương ứng Mục 3.2 đưa điều kiện dạng toán quy hoạch tuyến tính cho tốn ổn định hóa hệ rời rạc suy biến dương có trễ Chương Cơ sở tốn học Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm kết hệ phương trình có trễ, tìm hiểu tốn ổn định ổn định hố hệ có trễ, hệ suy biến, cơng thức nghiệm hệ suy biến có trễ Chúng tơi trình bày số mơ hình hệ suy biến dương kết bổ trợ sử dụng chứng minh kết luận án cho chương sau Kiến thức sử dụng chương tham khảo [2, 10] 1.1 1.1.1 Bài tốn ổn định ổn định hóa cho hệ phương trình có trễ Bài tốn ổn định Trong mơ tả tốn học q trình vật chất, giả thuyết thường thấy trình hoạt động hệ phụ thuộc vào trạng thái tại, giả thuyết áp dụng rộng rãi cho lớp hệ động lực Tuy nhiên, có trạng thái mà giả thuyết khơng thỏa mãn việc sử dụng mơ hình cổ điển việc phân tích thiết kế hệ thống dẫn tới kết yếu, độ xác khơng cao Trong trường hợp này, tốt ta xem xét hoạt động hệ dựa vào thông tin trạng thái trước Để mơ tả cách xác trình này, người ta thường miêu tả chúng phương trình vi phân có trễ Giả sử h số thực không âm Ký hiệu C = C([−h, 0], Rn ) P C([−h, 0], Rn ) không gian hàm liên tục liên tục khúc đoạn [−h, 0], nhận giá trị không gian Rn chuẩn phần tử φ ∈ C P C([−h, 0], Rn ) cho φ C = sup−h≤θ≤0 φ(θ) Với t0 ∈ R, σ ≥ x ∈ C([t0 − h, t0 + σ], Rn ), hàm xt ∈ C, t ∈ [t0 , t0 + σ], xác định xt (s) := x(t + s), s ∈ [−h, 0] Như vậy, xt đoạn quỹ đạo đoạn [t − h, t] hàm x(.) với chuẩn C xác định xt := sups∈[−h,0] x(t + s) Cho D ⊂ R+ × C tập mở hàm f : D −→ Rn Phương trình vi phân có trễ D phương trình dạng x(t) ˙ = f (t, xt ), t ≥ (1.1) Phương trình kí hiệu RF DE(f ) Một hàm x(t) gọi nghiệm phương trình vi phân có trễ (1.1) [t0 − h, t0 + σ) tồn t0 ∈ R, σ > cho x(t) ∈ C([t0 − h, t0 + σ), Rn ), (t, xt ) ∈ D x(t) thỏa mãn phương trình (1.1) với t ∈ [t0 , t0 + σ) Cho trước t0 ∈ R, φ ∈ C, ta nói x(t0 , φ, f ) nghiệm phương trình (1.1) với hàm điều kiện ban đầu φ t0 đơn giản nghiệm qua điểm (t0 , φ) tồn số σ > cho x(t0 , φ, f ) nghiệm hệ (1.1) [t0 − h, t0 + σ) xt0 = φ Khi t0 rõ, đơn giản cách viết, từ sau ta ký hiệu x(t, φ) thay cho x(t0 , φ, f )(t) Định lý 1.1 (Định lý tồn nghiệm địa phương, [8]) Giả sử Ω tập mở R×C f ∈ C(Ω, Rn ) Nếu (t0 , φ) ∈ Ω tồn nghiệm phương trình RF DE(f ) qua điểm (t0 , φ) Tổng quát hơn, W ⊂ Ω tập compact f ∈ C(Ω, Rn ) cho trước, tồn lân cận V ⊂ Ω W cho f ∈ C (V, Rn ), tồn lân cận U ⊂ C (V, Rn ) α > cho với (t0 , φ) ∈ W, f ∈ U, tồn nghiệm x(t0 , φ, f ) phương trình RF DE(f ) qua điểm (t0 , φ) tồn [t0 − h, t0 + α] Định lý 1.2 (Định lý tồn nghiệm địa phương, [8]) Giả sử Ω tập mở R × C, f : Ω −→ Rn liên tục f (t, φ) Lipschitz theo φ tập compact Ω Nếu (t0 , φ) ∈ Ω tồn nghiệm qua điểm (t0 , φ) phương trình RF DE(f ) Định lý 1.3 (Định lý tồn nghiệm toàn cục, [10]) Cho f : [0, +∞) × P C([−h, 0], Rn ) −→ Rn thỏa mãn điều kiện sau: (i) Với H > 0, tồn M (H) > cho f (t, φ) ≤ M (H), (t, φ) ∈ [0, +∞) × P C([−h, 0], Rn ) φ C ≤ H; (ii) Hàm f (t, φ) hàm liên tục theo hai biến tập [0, +∞) × P C([−h, 0], Rn ); (iii) Hàm f (t, φ) thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến thứ hai, tức tồn số Lipschitz L(H) > cho f (t, φ1 ) − f (t, φ2 ) ≤ L(H) φ1 − φ2 với t ≥ 0, φi ∈ P C([−h, 0], Rn ), φi C C, ≤ H, i = 1, (iv) f (t, φ) ≤ η( φ C ), t ≥ 0, φ ∈ P C([−h, 0], Rn ), η(r), r ∈ [0, +∞) hàm liên tục, không giảm cho với r0 ≥ điều kiện sau thỏa mãn R lim R→+∞ r0 dr = +∞ η(r) Khi đó, với t0 ≥ φ ∈ P C([−h, 0], Rn ) cho trước, hệ (1.1) có nghiệm x(t0 , φ, f ) xác định [t0 − h, +∞) Định nghĩa 1.1 ([8]) Giả sử f (t, 0) = với t ∈ R • Nghiệm x(t) = phương trình (1.1) gọi ổn định với t0 ∈ R, ε > 0, tồn δ = δ(t0 , ε) cho ||φ||C ≤ δ ||x(t; t0 , φ)||C ≤ ε với t ≥ t0 • Nghiệm x(t) = phương trình (1.1) gọi ổn định tiệm cận ổn định tồn b0 = b0 (t0 ) > cho ||φ||C ≤ b0 lim x(t; t0 , φ) = t→∞ Trong luận án quan tâm đến tính α− ổn định mũ lớp hệ phương trình vi phân có trễ nên nhắc lại định nghĩa sau Định nghĩa 1.2 ([10]) Giả sử f (t, 0) = 0, ∀t ∈ R α > cho trước Khi đó, nghiệm x(t) = phương trình (1.1) gọi α− ổn định mũ tồn số M > cho nghiệm x(t; t0 , φ) hệ (1.1) thỏa mãn ||x(t; t0 , φ)|| ≤ M e−α(t−t0 ) ||φ||C , 1.1.2 ∀t ≥ t0 Bài tốn ổn định hóa Xét hệ điều khiển có trễ x(t) ˙ = f (t, xt , u(t)), t ≥ 0, x(t) = φ(t), t ∈ [−h, 0], (1.2) x(t) ∈ Rn véc tơ trạng thái, u ∈ L2 ([0, +∞), Rm ) véc tơ điều khiển, h ≥ số trễ, φ ∈ C([−h, 0], Rn ) hàm điều kiện ban đầu, f : R+ × C × Rm → Rn hàm véc tơ cho trước thỏa mãn điều kiện, f (t, 0, 0) = 0, t ≥ Định nghĩa 1.3 Hệ điều khiển (1.2) gọi ổn định hóa tồn hàm điều khiển u(t) = g(x(t)) cho hệ đóng x(t) ˙ = f (t, xt , g(x(t))), t ≥ 0, (1.3) ổn định tiệm cận Trong trường hợp này, hàm u(t) = g(x(t)) gọi hàm điều khiển ngược ổn định hóa hệ thống Định nghĩa 1.4 Cho số α > Hệ điều khiển (1.2) gọi α− ổn định hóa dạng mũ tồn hàm điều khiển u(t) = g(x(t)) cho hệ đóng (1.3) α−ổn định mũ, tức tồn số N > cho nghiệm x(t; t0 , φ) hệ đóng (1.3) thỏa mãn đánh giá x(t; t0 , φ) ≤ N φ e−α(t−t0 ) , 1.1.3 t ≥ t0 Bài toán ổn định hệ rời rạc Trong mục đề cập tới hệ phương trình với biến thời gian rời rạc Khác với trước, tốc độ thay đổi trạng thái hệ thống x(t), ˙ mà tốc độ trung bình x(k+T )−x(k) T Nếu lấy T = (đơn vị thời gian) tốc độ x(k + 1) − x(k) phương trình hệ thống trở thành x(k + 1) − x(k) = f (k, x(k), x(k − h)), k ∈ N, x(k) ∈ Rn , k ∈ N Như vậy, ta xét phương trình rời rạc tổng quát dạng x(k + 1) = f (k, x(k), x(k − h)), k ∈ N, x(k) = φ(k), k ∈ {−h, −(h − 1), , 0}, (1.4) x(k) ∈ Rn , k, h ∈ N, f : N × Rn × Rn → Rn hàm véc tơ cho trước thỏa mãn điều kiện f (k, 0, 0) = 0, k ∈ N φ(·) : {−h, · · · , 0} → Rn hàm ban đầu với chuẩn xác định φ = max φ(k) k∈{−h,−(h−1), ,0} Định nghĩa 1.5 Giả sử f (k, 0, 0) = với k ∈ N • Nghiệm x(k) = phương trình (1.4) gọi ổn định với k0 ≥ 0, ε > 0, tồn δ = δ(k0 , ε) cho ||φ|| ≤ δ ||x(k; k0 , φ)|| ≤ ε với k ≥ k0 • Nghiệm x(k) = phương trình (1.4) gọi ổn định tiệm cận ổn định tồn b0 = b0 (k0 ) > cho ||φ|| ≤ b0 lim x(k; k0 , φ) = k→∞ • Nghiệm x(k) = phương trình (1.4) gọi ổn dịnh mũ tồn số dương M > 0, α ∈ (0, 1) cho x(k; φ) ≤ M φ αk , ∀k ∈ N 1.1.4 Bài tốn ổn định hóa hệ rời rạc Xét hệ điều khiển có trễ x(k + 1) = f (k, x(k), x(k − h), u(k)), k ∈ N, x(k) = φ(k), k ∈ {−h, −(h − 1), , 0}, (1.5) x(k) ∈ Rn , k ∈ N, u(k) ∈ Rm véc tơ điều khiển f : N × Rn × Rn × Rm → Rn hàm véc tơ cho trước thỏa mãn điều kiện, f (k, 0, 0, 0) = 0, k ∈ N Định nghĩa 1.6 Hệ điều khiển (1.5) gọi ổn định hóa tồn hàm điều khiển u(k) = g(x(k)) cho hệ đóng x(k + 1) = f (k, x(k), x(k − h), g(x(k))), k ∈ N, (1.6) ổn định tiệm cận Trong trường hợp này, hàm u(k) = g(x(k)) gọi hàm điều khiển ngược ổn định hóa hệ thống Định nghĩa 1.7 Cho số α ∈ (0, 1) Hệ điều khiển (1.5) gọi α− ổn định hóa dạng mũ tồn hàm điều khiển u(k) = g(x(k)) cho hệ đóng (1.6) α− ổn định mũ, tức tồn số M > cho nghiệm x(k, φ) hệ đóng (1.6) thỏa mãn x(k; φ) ≤ M φ αk , 1.2 1.2.1 ∀k ∈ N Hệ suy biến tuyến tính Hệ suy biến Dựa vào mơ hình khơng gian trạng thái ta mơ tả q trình, tượng vật lý, thơng thường sử dụng phương trình vi phân thường, việc phân tích tổng hợp hệ thống đặc điểm nòng cốt lý thuyết điều khiển đại phát triển từ cuối năm 1950 đầu năm 1960 Để có mơ hình trạng thái, ta cần chọn vài biến đặc trưng tốc độ, cân nặng, nhiệt độ gia tốc, biến có đủ khả mơ tả tầm quan trọng hệ thống xét Dựa vào đặc tính, quy luật trình, vài phương trình thiết lập thông qua mối quan hệ biến Ta mơ hình tốn học hóa hệ thống việc sử dụng hệ phương trình vi phân hệ đại số Hệ có cấu tạo sau f (x(t), ˙ x(t), t) = 0, t ≥ 0, (1.7) x(t) ∈ Rn trạng thái hệ, x(t) = (x1 (t), x2 (t), , xn (t)), f hàm véc tơ x(t), x(t) ˙ t với số chiều phù hợp Khi ma trận Jacobian ∂F ∂ x˙ suy biến ta nhận hệ phương trình vi phân suy biến Một trường hợp đặc biệt hệ (1.7) quan tâm E x(t) ˙ = H(x(t), t), t ≥ 0, H hàm véc tơ x(t) t với số chiều thích hợp, E ma trận số, suy biến Các hệ có cấu tạo mơ tả nói chung gọi hệ suy biến Trong nhiều báo, hệ suy biến gọi hệ mô tả biến, hệ trạng thái tổng quát, hệ phương trình vi phân đại số Hệ suy biến xuất nhiều hệ thống hệ kỹ thuật, hệ thống điện, hàng không vũ trụ, hệ kinh tế xã hội, công nghệ sinh học ([1, 2, 11]) Các ví dụ hệ suy biến trình bày chi tiết Kunkel V Mehrmann 1.2.2 Cơng thức nghiệm phương trình vi phân suy biến có trễ Xét hệ suy biến tuyến tính có trễ E x(t) ˙ = A0 x(t) + A1 x(t − h), x(t) = ϕ(t), t ∈ [−h, 0], t ≥ 0, (1.8) x(t) ∈ Rn véc tơ trạng thái Ma trận E ∈ Rn×n ma trận có rank(E) = r ≤ n, A0 , A1 ∈ Rn×n ma trận thực cho trước, h > độ trễ số ϕ(t) ∈ P C([−h, 0], Rn ) hàm điều kiện ban đầu Định nghĩa 1.8 ([2]) i) Cặp ma trận (E, A0 ) gọi quy tồn số λ ∈ C cho det(A0 −λE) = ii) Cặp ma trận (E, A0 ) gọi impulse-free thỏa mãn deg(det(zE − A0 )) = rank(E) = r Nhận xét 1.1 Giả sử (E, A0 ) quy, tồn hai ma trận khả nghịch I P, Q ∈ Rn×n (Bổ đề 1-2.2, [2]) cho P EQ = r , r = rank(E) ≤ N n, N ∈ R(n−r)×(n−r) lũy linh số ν, với ν số nguyên dương nhỏ thỏa mãn N ν = 0, N ν−1 = Khi số hệ (1.8) số lũy lĩnh ν N Khi N = hệ (1.8) có số 1, từ Bổ đề 2.2 [11] suy hệ (1.8) impulse-free Ngược lại rank(E) = r < n hệ (1.8) impulse-free, từ Bổ đề 2.2 [11] hệ (1.8) có số Tuy nhiên rank(E) = n ( E khả nghịch) hệ (1.8) impulse-free (vì deg(det(zE − A0 )) = rank(E) = n) có số Dựa vào tính chất quy impulse-free cặp ma trận (E, A0 ) hệ (1.8) đưa dạng tương đương dễ nghiên cứu sau Xét hệ (1.8), giả sử cặp ma trận (E, A0 ) quy impulse-free tồn hai ma trận không suy biến P Q (Bổ đề 2.2, trang 13, [11]) cho với phép biến đổi y(t) = Q−1 x(t) = [y1 (t), y2 (t)], với y1 (t) ∈ Rr , y2 (t) ∈ Rn−r , hệ (1.8) viết dạng hệ phương trình vi phân đại số y˙ (t) = A01 y1 (t) + A11 y1 (t − h) + A12 y2 (t − h), y1 (t) = ψ1 (t), y2 (t) = −A13 y1 (t − h) − A14 y2 (t − h), y2 (t) = ψ2 (t), (1.9) A11 A12 Ta gọi hệ (1.9) phân rã hệ (1.8) A13 A14 Thay điều kiện ban đầu ψ(t) = (ψ1 (t), ψ2 (t)), t ∈ [−h, 0] vào phương trình thứ hai ta kí hiệu P A1 Q = hệ (1.9) ta có ψ2 (0) + A13 ψ1 (−h) + A14 ψ2 (−h) = (1.10) Khi t ∈ [−h, 0] t − h ∈ [−h, 0], yi (t − h) = ψi (t − h), i = 1, thay vào phương trình phương trình thứ hệ (1.9) ta y˙ (t) = A01 y1 (t) + A11 ψ1 (t − h) + A12 ψ2 (t − h), phương trình vi phân thường với điều kiện ban đầu y1 (0) = ψ1 (0) Phương trình có nghiệm t eA01 (t−s) A11 ψ1 (s − h) + A12 ψ2 (s − h) ds, t ∈ [0, h] (1.11) y1 (t) = eA01 t y1 (0) + Từ phương trình thứ hai hệ (1.9) yi (t − h) = ψ1 (t − h), i = 1, 2, t ∈ [0, h] ta thu y2 (t) = −A13 ψ1 (t − h) − A14 ψ2 (t − h), t ∈ [−h, 0] (1.12) Kết hợp (1.11) (1.12) ta có eA01 t y(0) + 0 y(t) = + t eA01 (t−s) 0 A11 A12 0 ψ(s − h)ds 0 ψ(t − h), t ∈ [0, h] −A13 −A14 Tương tự ta tìm nghiệm y(t) đoạn [h, 2h], [2h, 3h], Như ta tìm nghiệm hệ phương trình (1.8) dạng sau x(t) = Q eA01 t Q−1 x(0) 0 t + Q +Q eA01 (t−s) 0 A11 A12 Q−1 x(s − h)ds 0 0 Q−1 x(t − h), t ≥ −A13 −A14 Nhận xét 2.4 Khi ma trận E hệ (2.1) ma trận đơn vị ta nhận phương trình vi phân có trễ thông thường, điều kiện cần đủ để hệ dương ma trận A0 Metzler A1 Tuy nhiên E ma trận suy biến, điều không nữa, ta thấy Định lý 2.2 điều kiện đảm bảo hệ (2.1) dương trở nên phức tạp nhiều, ta cần thêm cặp (E, A0 ) quy impulse-free, ngồi việc chứng minh tính ổn định mũ hệ trở nên khó khăn phức tạp Nhận xét 2.5 Định lý 2.3 cho ta điều kiện đủ đảm bảo tính ổn định mũ hệ suy biến (2.1), nhiên với hệ suy biến không thỏa mãn điều kiện quy, impulse-free định lý khơng nữa, ngồi ta tồn hệ suy biến dương thỏa mãn điều kiện quy impulse-free không ổn định mũ Để giải hạn chế ta xét toán ổn định hóa hệ suy biến dương có trễ Nhận xét 2.6 Các điều kiện tính ổn định mũ cho hệ (2.1) báo [14] phát biểu theo điều kiện phổ ma trận ∆(λ) := λE − A0 − A1 e−λ h Hệ (2.1) ổn định mũ sup{Re(λ) : det∆(λ) = 0} < ([14]) Tuy nhiên, điều kiện dựa giải phương trình đặc trưng tìm giá trị riêng phi tuyến (khơng hệ suy biến tuyến tính khơng có trễ mà phương trình đặc trưng tuyến tính) nên không dễ dàng giải Các điều kiện đủ Định lý 2.3 phát biểu thông qua bất phương trình tuyến tính mà dễ dàng giải dựa phương pháp giải tốn quy hoạch tuyến tính 2.2 Tiêu chuẩn ổn định hóa hệ phương trình vi phân suy biến dương có trễ Để giải tốn ổn định hóa cho lớp hệ phương trình vi phân có trễ ta thiết kế hàm điều khiển ”không nhớ” (memoryless controllers) dạng u(t) = Kx(t) Mặc dù lớp điều khiển ”không nhớ” dễ thiết kế lớp điều khiển trở nên bảo thủ (conservative), hiệu trường hợp trễ nhỏ Vì việc thiết kế hàm điều khiển sử dụng thông tin trạng thái khứ cho hiệu tốt hàm điều khiển ”không nhớ” Trong phần trình bày kết nghiên cứu tốn ổn định hóa cho hệ phương trình vi phân suy biến dương có trễ sử dụng hàm điều khiển có nhớ (memory state feedback control) Xét hệ điều khiển suy biến có trễ có dạng sau E x(t) ˙ = A0 x(t) + A1 x(t − h) + Bu(t), x(t) = ϕ(t), t ∈ [−h, 0], 16 t ≥ 0, (2.6) x(t) ∈ Rn véc tơ trạng thái, u(t) ∈ Rm véc tơ điều khiển, A0 , A1 ∈ Rn×n , B ∈ Rn×m , ma trận E ∈ Rn×n suy biến có rank E = r < n, độ trễ h > Định nghĩa 2.3 Cho số α > Hệ (2.6) (u(t) = 0) gọi α− ổn định mũ hệ quy, impulse-free tồn số dương N > cho nghiệm x(t, ϕ) hệ thỏa mãn điều kiện x(t, ϕ) ≤ N e−αt ϕ , ∀t ≥ Định nghĩa 2.4 Cho số α > Hệ (2.6) gọi α− ổn định hóa dạng mũ, tồn hàm điều khiển ngược u(t) = Kx(t) + F x(t − h), K, F ∈ Rm×n cho hệ đóng tương ứng E x(t) ˙ = (A0 + BK)x(t) + (A1 + BF )x(t − h), x(t) = ϕ(t), t ∈ [−h, 0], t≥0 α− ổn định mũ Với hệ suy biến (2.6) khơng có điều kiện quy, impulses-free cặp ma trận (E, A0 ) ta dùng phân tích SVD để đưa hệ (2.6) hệ sau: Theo giả thiết ma trận suy biến E có rank(E) = r < n, áp dụng Bổ đề 1.9 tồn hai ma trận khả I nghịch P, Q cho ta có phân tích P EQ = r Đặt 0 P EQ = Ir ˜ := E, 0 P A1 Q = P A0 Q = A11 A12 := A˜1 , A13 A14 A01 A02 := A˜0 , A03 A04 PB = B1 ˜ := B B2 Qua phép đổi biến y(t) = Q−1 x(t) = [ y1 (t), y2 (t) ] y1 (t) ∈ Rr , y2 (t) ∈ Rn−r , hệ (2.6) đưa dạng sau  y˙ (t) =    y (t) =  0=    y2 (t) = A01 y1 (t) + A02 y2 (t) + A11 y1 (t − h) + A12 y2 (t − h) + B1 u(t), φ1 (t), t ∈ [−h, 0], A03 y1 (t) + A04 y2 (t) + A13 y1 (t − h) + A14 y2 (t − h) + B2 u(t), φ2 (t), t ∈ [−h, 0], (2.7) Q−1 ϕ(t) = [φ1 (t), φ2 (t)] Sử dụng hàm điều khiển ngược u(t) = K1 y1 (t) + K2 y2 (t) + F1 y1 (t − h) + F2 y2 (t − h), 17 (2.8) K = K1 K2 , F = F1 F2 , K1 , F1 ∈ Rm×r , K2 , F2 ∈ Rm×(n−r) , hệ (2.7) đưa dạng sau  y˙ (t) = (A01 + B1 K1 )y1 (t) + (A02 + B1 K2 )y2 (t) + (A11 + B1 F1 )y1 (t − h)     +(A12 + B1 F2 )y2 (t − h),  0= (A03 + B2 K1 )y1 (t) + (A04 + B2 K2 )y2 (t) + (A13 + B2 F1 )y1 (t − h)    +(A14 + B2 F2 )y2 (t − h) Mệnh đề 2.4 Giả sử ma trận Q (2.9) Nếu hệ (2.7) α− ổn định hóa dạng mũ với hàm điều khiển ngược (2.8), hệ (2.6) α− ổn định hóa dạng mũ với hàm điều khiển ngược u(t) = KQ−1 x(t) + F Q−1 x(t − h) Định lý sau cho ta điều kiện đủ để giải tốn ổn định hóa cho hệ suy (0) (1) biến liên tục có trễ Ta kí hiệu: A˜0 = [a ]n×n , A˜1 = [a ]n×n , bT véc tơ hàng thứ i ij i ij ˜ ma trận B Định lý 2.5 Cho số α > Giả sử tồn véc tơ β = (β1 , β2 , , βn ) ∈ Rn+ , kj , fj ∈ Rm , j = 1, 2, , n cho bất đẳng thức sau thỏa mãn (0) aij βj + bTi kj ≥ 0, (1) aij βj + bTi fj ≥ 0, i, j = 1, , n, i = j, i, j = 1, , n, n ˜ αE˜ + A˜0 + A˜1 eαh β + B (2.10) n αh ki + e i=1 fi (2.11) j=1 Khi hệ (2.6) dương α− ổn định hóa dạng mũ Ngồi ra, điều khiển ngược ổn định hóa hệ (2.6) cho công thức u(t) = KQ−1 x(t) + F Q−1 x(t − h), t ≥ 0, K= k1 k2 kn f1 f2 fn , F = β1 β2 βn β1 β2 βn Nhận xét 2.7 Gần kết nghiên cứu tốn ổn định, ổn định hóa hệ dương có trễ [12, 17] thu điều kiện dạng tốn quy hoạch tuyến tính tương tự điều kiện (2.10), (2.11) Các điều kiện giải thơng qua thuật tốn giải tốn quy hoạch tuyến tính Nhận xét 2.8 Định lý 2.5 cho ta điều kiện đủ dạng toán quy hoạch tuyến tính, thơng qua việc giải tốn quy hoạch tuyến tính để tìm hàm điều khiển ngược đảm bảo hệ đóng tương ứng hệ (2.6) thỏa mãn điều kiện sau: 18 • Hệ đóng tương ứng quy impulse-free • Hệ đóng tương ứng hệ dương • Hệ đóng tương ứng α− ổn định mũ Nhận xét 2.9 Ta xây dựng hàm điều khiển ngược cho tốn ổn định hóa thơng qua bước sau đây: • Bước 1: Xác định hai ma trận khả nghịch P, Q, ma trận Q , cho ma trận (E, A0 , A1 , B) hệ ban đầu có phân tích thành ma trận ˜ A˜0 , A˜1 , B) ˜ (E, • Bước 2: Tìm véc tơ β ∈ Rn+ , kj , fj ∈ Rm , j = 1, 2, , n, cho điều kiện (2.10) -(2.11) Định lý 2.5 thỏa mãn việc sử dụng thuật toán giải toán quy hoạch tuyến tính • Bước 3: Xây dựng ma trận K, F cho công thức K= k1 k2 kn , β1 β2 βn F = f1 f2 fn β1 β2 βn • Bước 4: Xác định hàm điều khiển ngược cho : u(t) = KQ−1 x(t) + F Q−1 x(t − h) 19 Chương Tính ổn định ổn định hóa cho hệ phương trình rời rạc suy biến dương có trễ Trong chương trình bày số kết tính ổn định ổn định hóa cho số lớp hệ phương trình rời rạc suy biến dương có trễ Trước tiên chứng minh số điều kiện cần đủ đảm bảo hệ rời rạc suy biến có trễ hệ dương, tiếp điều kiện cần đủ tốn ổn định nghiên cứu Thơng qua việc giải tốn quy hoạch tuyến tính chúng tơi tìm hàm điều khiển để giải tốn ổn định hóa cho hệ rời rạc suy biến dương có trễ Nội dung chương dựa báo ([2], [4]) cơng trình liên quan đến luận án 3.1 Tiêu chuẩn ổn định hệ rời rạc suy biến dương có trễ biến thiên Xét hệ suy biến rời rạc có trễ: Ex(k + 1) = A0 x(k) + A1 x(k − h(k)), k ∈ N, x(k) = ϕ(k), k ∈ {−τ, −(τ − 1), , 0}, (3.1) x(k) ∈ Rn , k ∈ N véc tơ trạng thái, ma trận A0 , A1 ∈ Rn×n , ma trận E ∈ Rn×n ma trận suy biến, giả sử rank E = r < n; h(k) ∈ N hàm trễ thỏa mãn điều kiện < h(k) ≤ τ ; k, τ ∈ N; ϕ(·) : {−τ, · · · , 0} → Rn hàm điều kiện ban đầu tương thích với chuẩn xác định ϕ = max k∈{−τ,−(τ −1), ,0} ϕ(k) Định nghĩa 3.1 ([5]) Hệ (3.1) gọi hệ dương với hàm ban đầu tương thích ϕ(·) nghiệm x(k; ϕ) với k ∈ N Định nghĩa 3.2 ([2]) i) Hệ (3.1) gọi quy cặp ma trận (E, A0 ) quy ii) Hệ (3.1) gọi causal thỏa mãn deg(det(zE − A0 )) = rank(E) = r 20 Định nghĩa 3.3 Cho α ∈ (0, 1) Hệ (3.1) gọi α− ổn định mũ tồn số dương M > cho với điều kiện ban đầu tương thích ϕ(·) nghiệm x(k; ϕ) thỏa mãn x(k; ϕ) ≤ M ϕ αk , ∀k ∈ N Từ điều kiện quy causal hệ (3.1), theo Bổ đề 1.7 suy tồn hai ma trận khả nghịch P, Q cho ta có phân tích P EQ = Ir , 0n−r P A0 Q = A01 , In−r P A1 Q = A11 A12 A13 A14 Bằng tính tốn phép biến đổi ma trận, ta có nghiệm hệ (3.1) cho   x(k) = Ak P x(0) + k−1 Ak−1−i A¯ x(i − h(i)) + A¯ x(k − h(k)), 01 01 (3.2) i=0  x(k) = ϕ(k), k ∈ {−τ, −(τ − 1), , 0}, A01 = Q A01 −1 I −1 Q , P1 = Q Q , 0 0 A A12 A¯1 = Q 11 Q−1 , 0 A¯2 = Q 0 Q−1 −A13 −A14 Mệnh đề 3.1 Giả sử hệ (3.1) thỏa mãn điều kiện quy causal Với x(k; ϕ) nghiệm hệ (3.1) Khi ta có tính chất sau: (i) P1 x(k; ϕ) = x(k; ϕ) − A¯2 x(k − h(k); ϕ), ∀k ∈ N (ii) x(k + 1; ϕ) = A01 x(k; ϕ) + A¯1 x(k − h(k); ϕ) + A¯2 x(k + − h(k + 1); ϕ), k ∈ N (iii) x(k; αϕ) = αx(k; ϕ), ∀α > 0, k ∈ N Tiếp đến đưa điều kiện cần đủ để đảm bảo cho hệ (3.1) hệ dương Định lý 3.2 Giả sử hệ (3.1) quy causal Khi phát biểu sau tương đương (i) (ii) Hệ (3.1) hệ dương A¯2 0, tồn ma trận H1 A01 = H1 P1 ; 0, H2 cho: A¯1 = H1 A¯2 + H2 Nhận xét 3.1 Chú ý Định lý 3.2 kết mở rộng cho kết [17] trường hợp hệ khơng có trễ causal Thật vậy, xét hệ suy biến khơng có trễ Ex(k + 1) = A0 x(k) điều kiện cần đủ để hệ hệ dương chứng minh báo ( [17], Định lý 3.3) tồn ma trận H cho H 21 0, thỏa mãn điều ˆ ma trận Aˆ0 Eˆ xác định Eˆ = (λE − kiện Eˆ D Aˆ0 = H Eˆ D E, A0 )−1 E, Aˆ0 = (λE − A0 )−1 A0 , với λ số phức cho det(λE − A0 ) = Eˆ D ˆ Trong trường hợp (E, A0 ) thỏa mãn điều kiện ma trận Drazin inverse ma trận E quy causal, phép biến đổi ma trận ( tham khảo [18] ) ta thu được: (λIr − A01 )−1 −1 Eˆ = Q Q , 0 (λIr − A01 )−1 A01 −1 Aˆ0 = Q Q 0 λIr − A01 −1 Ma trận Drazin inverse ma trận Eˆ Eˆ D = Q Q Do ta có 0 I −1 A −1 Eˆ D Eˆ = Q r Q , Eˆ D Aˆ0 = Q 01 Q Như điều kiện H 0, Eˆ D Aˆ0 = 0 0 H Eˆ D Eˆ tương đương với điều kiện (ii) Định lý 3.2 với A1 = Nhận xét 3.2 Nếu ma trận Q ma trận Monomial điều kiện (ii) Định lý 3.2 tương đương với điều kiện sau: A01 0, A11 0, A12 0, A13 0, A14 Nhận xét 3.3 Điều kiện (ii) Định lý 3.2 hệ phương trình bất phương trình tuyến tính với ẩn H1 , H2 đưa tốn quy hoạch tuyến tính để giải tương tự kết [17] Tiếp theo đưa điều kiện cần đủ để đảm bảo hệ (3.1) hệ dương ổn định mũ Định lý 3.3 Giả sử cặp ma trận (E, A0 ) thỏa mãn điều kiện quy causal Các ma trận A01 , A¯1 , A¯2 , P1 xác định (2.2) Khi phát biểu sau tương đương: (i) (ii) Hệ (3.1) hệ dương ổn định mũ Ma trận A¯2 0, tồn ma trận H1 0, H2 0, véc tơ p số δ ∈ (0, 1) cho A01 = H1 P1 , A¯1 = H1 A¯2 + H2 H1 + H2 + A¯2 p δ p (3.3) (3.4) Nhận xét 3.4 Điều kiện (3.4) định lý độc lập với độ trễ τ , điều kiện √ (3.4) tương đương với điều kiện H1 + H2 + A¯2 p ατ +1 p, với α ∈ (0, 1), α := τ +1 δ Tuy nhiên điều kiện H1 + H2 + A¯2 p ατ +1 p độc lập với độ trễ điều kiện thỏa mãn với giá trị τ điều kiện thỏa mãn với giá trị τ khác 22 Nhận xét 3.5 Điều kiện (3.4) Định lý 3.3 khơng tuyến tính với ẩn Hi , p, δ Tuy nhiên, với (3.3), (3.4) ta giải sau: Vì điều kiện (3.3) độc lập với p, δ nên trước tiên ta tìm nghiệm Hi từ ràng buộc (3.3), điều kiện (3.4) lại ẩn p với δ cho trước Ta tìm ẩn Định lý 3.3 cho tốn ổn định thơng qua bước sau đây: • Bước 1: Kiểm tra xem cặp ma trận (E, A0 ) có thỏa mãn điều kiện quy causal hay khơng (theo định nghĩa) Nếu khơng thỏa mãn dừng lại, có chuyển sang Bước • Bước 2: Xác định hai ma trận khả nghịch P, Q, cho ma trận (E, A0 , A1 ) hệ (3.1) có phân tích thành ma trận (3.2) • Bước 3: Cho trước số δ ∈ (0, 1) Tìm ma trận H1 , H2 ∈ Rn×n véc tơ p ∈ Rn+ , cho điều kiện (3.3) -(3.4) Định lý 3.3 thỏa mãn việc sử dụng thuật toán giải toán quy hoạch tuyến tính Nhận xét 3.6 Các bước để xác định P, Q Bước Nhận xét 3.5 sau • Bước 1: Chọn số γ cho det(γ E − A0 ) = Chú ý cặp (E, A0 ) quy nên tồn vơ số γ để det(γ E − A0 ) = ngoại trừ hữu hạn số nghiệm phương trình det(γ E − A0 ) = • Bước 2: Đặt Eˆ = (γE − A0 )−1 , theo phân tích Jordan ma trận, tồn ma trận khả nghịch T ∈ Rn×n cho ˆ −1 = diag(Eˆ1 , Eˆ2 ), T ET Eˆ1 ∈ Rr×r khả nghịch, Eˆ2 ∈ R(n−r)×(n−r) ma trận lũy linh • Bước 3: Tính P, Q sau P = diag(Eˆ1−1 , (γ Eˆ2 − In−r )−1 ) T (γE − A0 )−1 ; Q = T −1 Nhận xét 3.7 Định lý 3.3 cho ta điều kiện cần đủ đảm bảo tính ổn định mũ hệ suy biến (3.1), nhiên với hệ suy biến không thỏa mãn điều kiện quy, causal định lý khơng Để giải hạn chế chúng tơi xét tốn ổn định hóa dạng mũ cho lớp hệ phương trình rời rạc suy biến dương có trễ 23 3.2 Tiêu chuẩn ổn định hóa hệ rời rạc suy biến dương có trễ Trong phần tốn ổn định hóa hệ rời rạc suy biến dương có trễ xét đến Một điều kiện đủ dạng tốn quy hoạch tuyến tính cho ta xác định hàm điều khiển cho hệ điều khiển ổn định mũ Xét hệ điều khiển mơ tả hệ phương trình suy biến sau Ex(k + 1) = A0 x(k) + A1 x(k − h) + Bu(k), x(k) = ϕ(k), k ∈ {−h, −(h − 1), , 0}, k ∈ N, (3.5) với x(k) ∈ Rn , k ∈ N véc tơ trạng thái, u(k) ∈ Rm véc tơ điều khiển, A0 , A1 ∈ Rn×n , B ∈ Rn×m Ma trận E ∈ Rn×n suy biến rank(E) = r < n; h > 0, ϕ(·) : {−h, · · · , 0} → Rn hàm điều kiện ban đầu với ϕ = max ϕ(k) k∈{−h,−(h−1), ,0} Định nghĩa 3.4 ([2]) i) Hệ (3.5) (với u(k) = 0) gọi quy cặp ma trận (E, A0 ) quy ii) Hệ (3.5) (u(k) = 0) gọi causal deg(det(zE − A0 )) = rank(E) = r Định nghĩa 3.5 Cho số α ∈ (0, 1) Hệ (3.5) ( với u(k) = 0) gọi α− ổn định mũ hệ quy, causal tồn số dương M > cho với điều kiện ban đầu tương thích ϕ(·) nghiệm x(k; ϕ) thỏa mãn điều kiện x(k; ϕ) ≤ M ϕ αk , ∀k ∈ N Định nghĩa 3.6 Cho số α ∈ (0, 1) Hệ (3.5) gọi α− ổn định hóa dạng mũ tồn hàm điều khiển ngược u(k) = Kx(k), K ∈ Rm×n cho hệ đóng tương ứng Ex(k + 1) = (A0 + BK)x(k) + A1 x(k − h), x(k) = ϕ(k), k ∈ {−h, −(h − 1), , 0}, k∈N α− ổn định mũ Tương tự với hệ liên tục, với hệ suy biến (3.5) khơng có điều kiện quy, causal cặp ma trận (E, A0 ) ta dùng phân tích SVD để đưa hệ (3.5) hệ sau: Vì rank(E) = r < n, theo Bổ đề 1.9 tồn hai ma trận khả nghịch P, Q I cho P EQ = r Ta kí hiệu 0 P EQ = Ir ˜ := E, 0 P A0 Q = 24 A01 A02 := A˜0 , A03 A04 P A1 Q = A11 A12 := A˜1 , A13 A14 PB = B1 ˜ := B B2 Qua phép đổi biến y(k) = Q−1 x(k) = [ y1 (k), y2 (k) ] y1 (k) ∈ Rr , y2 (k) ∈ Rn−r , hệ (3.5) đưa dạng sau   y1 (k + 1) = A01 y1 (k) + A02 y2 (k) + A11 y1 (k − h) + A12 y2 (k − h) + B1 u(k), 0= A03 y1 (k) + A04 y2 (k) + A13 y1 (k − h) + A14 y2 (k − h) + B2 u(k), (3.6)   y1 (k) = φ1 (k), y2 (k) = φ2 (k), k ∈ {−h, −(h − 1), , 0}, Q−1 ϕ(k) = [φT1 (k), φT2 (k)]T Sử dụng hàm điều khiển ngược u(k) = K1 y1 (k) + K2 y2 (k) (3.7) K = K1 K2 , K1 ∈ Rm×r , K2 ∈ Rm×(n−r) , kí hiệu A1,K = A01 + B1 K1 , A2,K = A02 + B1 K2 , A3,K = A03 + B2 K1 , A4,K = A04 + B2 K2 , hệ (3.6) trở thành y1 (k + 1) = A1,K y1 (k) + A2,K y2 (k) + A11 y1 (k − h) + A12 y2 (k − h), = A3,K y1 (k) + A4,K y2 (k) + A13 y1 (k − h) + A14 y2 (k − h) Mệnh đề 3.4 Giả sử Q (3.8) Nếu hệ (3.6) α− ổn định hóa dạng mũ với hàm điều khiển ngược (3.7), hệ (3.5) α− ổn định hóa dạng mũ với hàm điều khiển ngược u(k) = KQ−1 x(k) Định lý sau cho điều kiện đủ đảm bảo tính α− ổn định hóa dạng mũ hệ (3.5) Định lý 3.5 Cho số dương < α < Giả sử A˜1 0, tồn véc tơ β = (β1 , β2 , , βn ) ∈ Rn+ , kj ∈ Rm , j = 1, 2, , n, cho bất đẳng thức sau thỏa mãn ˜ Ti kj ≥ 0; (A˜0 )(i,j) βj + (B) ≤ i = j ≤ n; i = j = 1, , r (3.9) n ˜ −1 α A˜0 + α−(h+1) A˜1 − E˜ β + Bα −1 ki (3.10) i=1 Khi hệ (3.5) dương α− ổn định hóa dạng mũ Hơn nữa, hàm điều khiển ngược ổn định hóa hệ (3.5) cho bởi: u(k) = KQ−1 x(k) = k1 k2 kn Q−1 x(k) β1 β2 βn Nhận xét 3.8 Định lý 3.5 cho ta điều kiện đủ cho tốn ổn định hóa hệ suy biến rời rạc dương dạng toán LP với biến β, kj , j = 1, 2, , n Ta xây dựng hàm điều khiển ngược cho tốn ổn định hóa thơng qua bước sau đây: 25 • Bước 1: Xác định hai ma trận khả nghịch P, Q , cho ma trận (E, A0 , A1 , B) ˜ A˜0 , A˜1 , B), ˜ cho A˜1 hệ ban đầu có phân tích thành ma trận (E, 0, Q • Bước 2: Tìm véc tơ β ∈ Rn+ , kj ∈ Rm , j = 1, 2, , n, cho thỏa mãn điều kiện (3.9), (3.10) (sử dụng Programming Optimal Toolbox ) • Bước 3: Xây dựng ma trận K cho công thức K= kn k1 k2 β1 β2 βn • Bước 4: Xác định hàm điều khiển ngược cho u(k) = KQ−1 x(k) 26 Kết luận Luận án nghiên cứu tính ổn định tốn ổn định hóa cho số hệ phương trình suy biến dương có trễ hai trường hợp liên tục rời rạc.Những kết chứng minh luận án điểm luận án so với kết có là: • Chứng minh điều kiện cần đủ cho tính dương hệ suy biến tuyến tính có trễ chứng minh điều kiện đủ cho tính ổn định mũ hệ suy biến dương tương ứng • Đưa số điều kiện đủ cho tính ổn định hóa dạng mũ hệ điều khiển tuyến tính liên tục rời rạc suy biến dương có trễ dạng tốn quy hoạch tuyến tính Luận án mở số vấn đề tiếp tục nghiên cứu: • Nghiên cứu tốn ổn định ổn định hóa cho hệ phương trình tuyến tính khơng ơtơnơm suy biến dương có trễ • Ứng dụng giải số toán điều khiển H∞ , điều khiển tối ưu cho hệ phương trình suy biến dương có trễ 27 Cơng trình liên quan đến luận án [1] V N Phat, N H Sau, On exponential stability of linear singular positive delayed systems, Applied Mathematics Letters, 38(2014), 67-72 (SCI) [2] N H Sau, P Niamsup, V N Phat, Positivity and stability analysis for linear implicit difference delay equations, Linear Algebra and its Applications, 510(2016), 25-41 (SCI) [3] Nguyen H Sau, Vu N Phat, LP approach to exponential stabilization of singular linear positive time-delay systems via memory state feedback, Journal of Industrial and Management Optimization, 2017, doi: 10.3934/jimo.2017061 (SCIE) [4] N.H Sau, V.N Phat, New criteria for exponential stabilization of singular linear positive discrete-time delay systems, IMA Journal of Mathematical Control and Information (submitted) Các kết liên quan đến luận án tác giả báo cáo Seminar Phòng Tối ưu điều khiển, Viện Toán học Hội nghị nghiên cứu sinh Viện Toán học (10/2014, 10/2015, 10/2016) 28 Tài liệu tham khảo [1] S.L Campbell, Singular systems of differential equation, Pitman, London, 1980 [2] L Dai, Singular Control Systems, Lecture Notes in Control and Information Sciences, Berlin: Springer-Verlag, 1989 [3] D L Debeljkovi´c, I Buzurovi´c, L Matija, Đ Koruga, Non-lyapunov stability of singular systems: classical and modern approaches with application to automatic drug delivery, Contemporary Materials 1(2013), 22-32 [4] D Efimov, A Polyakov, & J P Richard, Interval observer design for estimation and control of time-delay descriptor systems, European Journal of Control, 23 (2015) 26-35 [5] L Farina , Rinaldi, Positive Linear Systems, New York: Wiley, 2000 [6] E Fridman, Stability of linear descriptor systems with delay: a Lyapunov-based approach, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 273 (2002), 24-44 [7] G H Golub, C F V Loan, Matrix Computations, Johns Hopkins University Press, Baltimore, third ed., 1996 [8] J.K Hale, Theory of Functional Differential Equations, Springer-Verlag, New York, 1977 [9] T Kaczorek , Positive 1D and 2D Systems, Springer-Verlag, London, 2002 [10] V.L Kharitonov, Time-Delay Systems: Lyapunov Functionals and Matrices, Birkhauser, 2013 [11] J Lam, S Xu , Robust Control and Filtering of Singular Systems, Berlin: Springer (2006) [12] X Liu, Constrained control of positive systems with delays, IEEE Transactions on Automatic Control, 54 (2009), 1596-1600 29 [13] X Liu, W Yu and L Wang, Stability Analysis for Continuous-Time Positive Systems With Time-Varying Delays, in IEEE Transactions on Automatic Control, 55 (2010), 1024-1028 [14] W Michiels, Spectrum-based stability analysis and stabilisation of systems described by delay differential algebraic equations, IET Control Theory & Applications (2011), 1829-1842 [15] H Minc, Non-negative Matrices, John Wiley & Sons, NY,1988 [16] P.H.A Ngoc, Stability of positive differential systems with delay, IEEE Transactions on Automatic Control, 58 (2013), 203-209 [17] M A Rami, D Napp, Positivity of discrete singular systems and their stability: An LP-based approach, Automatica, 50 (2014), 84-91 [18] E Virnik, Stability analysis of positive descriptor systems, Linear Algebra and its Applications, 429 (2008), 2640-2659 [19] V A Yakubovich, G A Leonov, A K Gelig, Stability of stationary sets in control systems with discontinuous nonlinearities Singapore: World Scientific, 2004 30 ... bày số khái niệm kết hệ phương trình có trễ, tìm hiểu tốn ổn định ổn định hố hệ có trễ, hệ suy biến, công thức nghiệm hệ suy biến có trễ Chúng tơi trình bày số mơ hình hệ suy biến dương kết bổ trợ... chuẩn cho tính ổn định mũ hệ suy biến dương có trễ tương ứng Mục 2.2 đưa tiêu chuẩn cho tính ổn định hóa hệ phương trình vi phân suy biến dương có trễ Chương nghiên cứu tốn ổn định mũ ổn định hóa... Chương Tính ổn định ổn định hóa cho hệ phương trình rời rạc suy biến dương có trễ Trong chương trình bày số kết tính ổn định ổn định hóa cho số lớp hệ phương trình rời rạc suy biến dương có trễ