VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TỐN HỌC HỒNG THẾ TUẤN VỀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ ĐỊNH TÍNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHÂN THỨ LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2016 VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TỐN HỌC HỒNG THẾ TUẤN VỀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ ĐỊNH TÍNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHÂN THỨ Chun ngành: Phương trình Vi phân Tích phân Mã số: 62.46.01.03 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: TSKH ĐOÀN THÁI SƠN GS TSKH NGUYỄN ĐÌNH CƠNG Hà Nội - 2016 Tóm tắt Luận án dành để nghiên cứu lý thuyết định tính phương trình vi phân phân thứ: số mũ Lyapunov, lý thuyết ổn định, không ổn định tồn đa tạp ổn định Luận án gồm chương Trong Chương 1, nhắc lại kiến thức liên quan đến giải tích phân thứ: tích phân phân thứ, đạo hàm phân thứ phương trình vi phân phân thứ Ngồi ra, đưa vào tính chất quan trọng hàm Mittag-Leffler Những tính chất có vai trò then chốt để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân phân thứ chương Trong Chương 2, số mũ Lyapunov cổ điển cho nghiệm không tầm thường phương trình vi phân phân thứ tuyến tính với hệ số liên tục bị chặn ln khơng âm Sau đó, định nghĩa kiểu số mũ Lyapunov (số mũ Lyapunov phân thứ) sử dụng số mũ để đặc trưng tính ổn định nghiệm tầm thường cho phương trình vi phân phân thứ tuyến tính với hệ số liên tục bị chặn Cuối cùng, ví dụ minh họa, tính tường minh số mũ Lyapunov phân thứ cho tất nghiệm không tầm thường phương trình vi phân phân thứ tuyến tính hệ số hai chiều tùy ý Trong Chương 3, trước hết chứng minh điểm cân phương trình vi phân phân thứ ổn định tiệm cận phương trình tuyến tính hóa điểm cân xét ổn định tiệm cận, tức tất giá trị riêng ma trận hệ số phương trình tuyến tính hóa nằm hình quạt λ ∈ C \ {0} : | arg (λ)| > απ , α ∈ (0, 1) cấp đạo hàm phân thứ Caputo Trong trường hợp ma trận hệ số phương trình tuyến tính có phổ chứa giá trị riêng nằm hình quạt απ , λ ∈ C \ {0} : | arg (λ)| < nghiệm tầm thường phương trình ban đầu khơng ổn định Trong Chương 4, cách xây dựng toán tử Lyapunov–Perron phù hợp với phương trình vi phân phân thứ, thiết lập định lí tồn đa tạp ổn định gần điểm cân hyperbolic cho lớp phương trình vi phân phân thứ phi tuyến tương đối tổng quát không gian hữu hạn chiều Abstract This thesis is devoted to study the qualitative theory of fractional differential equations: Lyapunov exponent, stability and instability theory, and the existence of stable manifolds The thesis consists of four main chapters In Chapter 1, we recall some basic knowledge of fractional calculus: fractional integral, fractional derivative and fractional differential equations Moreover, we also give some important properties of Mittag-Leffler functions such as the integral representation and the asymptotic expansion These properties are used to establish the fractional Lyapunov exponent, to prove the asymptotic stability, instability and to show the existence of the stable manifolds for fractional differential equations in the next chapters In Chapter 2, we first show that the classical Lyapunov exponent for any nontrivial solution of linear fractional differential equations is always nonnegative We then define a new type of Lyapunov exponent called fractional Lyapunov exponent and use this exponent to characterize the stability of the trivial solution for linear fractional differential equations Finally, to illustrate the theoretical results, we compute explicitly the fractional Lyapunov exponent of an arbitrary nontrivial solution of a general planar time-invariant linear fractional differential equation In Chapter 3, we prove that an equilibrium of a nonlinear fractional differential equation is asymptotically stable if its linearization at the equilibrium is asymptotically stable, i.e., all eigenvalues of the linearization are in the sector λ ∈ C \ {0} : | arg (λ)| > απ , where α ∈ (0, 1) is the order of the Caputo fractional derivative In the case that the spectrum of the linearization has at least one eigenvalue in the sector λ ∈ C \ {0} : | arg (λ)| < απ , we prove that the equilibrium is unstable In Chapter 4, by constructing an adequate Lyapunov–Perron operator, we establish a theorem on the existence of stable manifolds near hyperbolic equilibria of fractional differential equations in arbitrary finite dimensional spaces Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận án tập hợp nghiên cứu Những kết trích từ báo viết chung nhận cho phép sử dụng đồng tác giả Các kết nêu luận án trung thực chưa khác công bố Lời cảm ơn Tôi xin chân thành cảm ơn TSKH Đồn Thái Sơn, người dẫn dắt tơi vào đường nghiên cứu khoa học Không người hướng dẫn khoa học tận tâm, chia sẻ Sơn với buồn, vui đời thường suốt bốn năm qua động viên, khích lệ lớn để vững vàng sống Tôi xin chân thành cảm ơn GS TSKH Nguyễn Đình Cơng Những lời chia sẻ, dạy thầy khoa học lẫn sống hành trang quý báu để tự tin chặng đường tới Tôi xin cảm ơn ban lãnh đạo Viện Tốn học, Phòng Phương trình vi phân Trung tâm Đào tạo sau đại học cung cấp cho chỗ làm việc tử tế, môi trường học thuật lành mạnh để học tập, nghiên cứu thời gian làm nghiên cứu sinh Cuối cùng, tơi xin tỏ lòng biết ơn vơ hạn tới bố mẹ tơi: ơng Hồng Thế Ngọc bà Bùi Thị Sử, người kiên nhẫn thương yêu vơ điều kiện Luận án hồn thành ông bà nội ông ngoại không Tôi dành tặng luận án cho ông bà nội, ơng bà ngoại với lòng biết ơn sâu sắc Hà Nội, ngày 17 tháng 10 năm 2016 Hoàng Thế Tuấn Bảng kí hiệu Kí hiệu Tên gọi R R>0 , R≥0 C |z| (z) (z) arg(z) inf, sup max lim sup Rd , Cd · L1 [a, b] AC m [a, b] C([a, b]; X) C∞ (R≥0 ; X) · ∞ α α α Ia+ α Da+ C α Da+ σ(A) Λsα Λuα Sd−1 BX (0, r) f (r) BC∞ (0, r) W s (U ) exp(t) Γ(z) Eα,β logM α χ(f ) χα (f ) tập hợp số thực tập hợp số thực dương, số thực không âm tập hợp số phức giá trị tuyệt đối (module) số thực (phức) z phần thực số phức z phần ảo số phức z argument số phức z infimum, supremum tập hợp giá trị lớn tập hợp giới hạn không gian Euclide thực, phức d-chiều chuẩn vectơ ma trận không gian hàm thực phức khả tích đoạn [a, b] không gian hàm liên tục tuyệt đối cấp m đoạn [a, b] không gian hàm nhận giá trị X liên tục [a, b] không gian hàm liên tục bị chặn nhận giá trị X chuẩn sup không gian C∞ (R≥0 ; X) cấp đạo hàm phân thứ số nguyên nhỏ lớn α tốn tử tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α toán tử đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α toán tử đạo hàm phân thứ Caputo cấp α phổ ma trận A < |arg(z)| ≤ π tập số phức z khác thỏa mãn απ tập số phức z khác thỏa mãn |arg(z)| < απ mặt cầu đơn vị Rd hình cầu tâm 0, bán kính r X hệ số Lipschitz hàm f liên tục Lipschitz BX (0, r) hình cầu tâm 0, bán kính r C∞ (R≥0 ; X) đa tạp ổn định U hàm mũ hàm Gamma hàm Mittag-Leffler hai tham số hàm Mittag-leffler ngược số mũ Lyapunov cổ điển hàm f số mũ Lyapunov phân thứ hàm f Mục lục Lời mở đầu iii Giới thiệu tóm tắt phương trình vi phân phân thứ 1.1 Giải tích phân thứ 1.1.1 Tích phân phân thứ 1.1.2 Đạo hàm phân thứ 1.1.3 Nghiệm phương trình vi phân phân thứ 1.2 Hàm Mittag-Leffler 1.3 Bất đẳng thức Gronwall suy rộng 1.4 Công thức biến thiên số cho nghiệm phương trình vi phân phân thứ 1.4.1 Biến đổi Laplace 10 1.4.2 Chứng minh công thức biến thiên số 12 Số mũ Lyapunov cho phương trình vi phân phân thứ 2.1 15 2.1.1 Số mũ Lyapunov cổ điển cho phương trình vi phân phân thứ 15 2.1.2 Số mũ Lyapunov phân thứ cho phương trình vi phân phân thứ 17 2.1.3 Mối liên hệ số mũ Lyapunov phân thứ tính ổn định 26 Cấu trúc phổ Lyapunov phân thứ nghiệm xuất phát từ mặt cầu đơn vị không gian Euclide Rd 2.3 14 Phổ Lyapunov cho phương trình vi phân phân thứ nghiệm phương trình vi phân phân thứ tuyến tính 2.2 27 Số mũ Lyapunov phân thứ nghiệm phương trình vi phân phân thứ tuyến tính hệ số hai chiều Tính ổn định phương trình vi phân phân thứ 3.1 Giới thiệu tốn kết 3.2 Chứng minh kết tính ổn định tiệm cận cho nghiệm tầm thường phương trình vi phân phân thứ i 31 37 39 41 3.2.1 Xây dựng tốn tử Lyapunov–Perron phù hợp với phương trình vi phân phân thứ 3.2.2 42 Tính chất co tốn tử Lyapunov–Perron chứng minh kết tính ổn định cho nghiệm tầm thường phương trình vi phân phân thứ 3.2.3 Thảo luận số báo sử dụng phương pháp tuyến tính hóa cho phương trình vi phân phân thứ 3.3 43 46 Chứng minh kết tính khơng ổn định cho nghiệm tầm thường phương trình vi phân phân thứ 47 3.3.1 Xây dựng toán tử Lyapunov–Perron 48 3.3.2 Tính chất tốn tử Lyapunov–Perron chuẩn có trọng · w chứng minh kết tính khơng ổn định cho nghiệm tầm thường phương trình vi phân phân thứ Đa tạp ổn định phương trình vi phân phân thứ 49 55 4.1 Giới thiệu tốn phát biểu kết 55 4.2 Toán tử Lyapunov–Perron phù hợp với phương trình vi phân phân thứ 58 4.2.1 Kĩ thuật làm nhỏ đường chéo phụ dạng chuẩn Jordan 58 4.2.2 Xây dựng toán tử Lyapunov–Perron 60 Cấu trúc đa tạp ổn định 61 4.3 Phụ lục 68 A Một số tính chất hữu ích liên quan tới hàm Mittag-Leffler 69 A.1 Hàm Mittag-Leffler miền ổn định Λsα 69 A.2 Hàm Mittag-Leffler miền không ổn định Λuα 72 Bảng thuật ngữ 80 ii Lời mở đầu Phép tính vi–tích phân cơng cụ lý tưởng để mơ tả q trình tiến hóa Thơng thường, q trình tiến hóa biểu diễn phương trình vi phân thường Bằng việc nghiên cứu (định tính định lượng) nghiệm phương trình, người ta biết trạng thái thời dự đoán dáng điệu khứ hay tương lai q trình Tuy nhiên, tượng hay gặp sống có tính chất phụ thuộc vào lịch sử Đối với tượng này, việc ngoại suy dáng điệu thời điểm tương lai từ khứ phụ thuộc vào quan sát địa phương lẫn toàn khứ Hơn nữa, phụ thuộc nói chung khơng giống tất thời điểm Những thực tế vừa nêu dẫn tới nhu cầu xây dựng lý thuyết tổng quát cho tốn tử vi phân sinh nghiệm khơng có tính chất địa phương Một lý thuyết xây dựng giải tích phân thứ Mặc dù nghiên cứu từ lâu, trước năm 70 kỉ vừa qua, lý thuyết giải tích phân thứ (với trụ cột hai phép tốn lấy tích phân đạo hàm phân thứ) phát triển tương đối chậm Một nguyên nhân người ta chưa tìm thấy ý nghĩa hình học hay vật lý toán tử đạo hàm phân thứ Thật ra, hạn chế vừa nêu mang tính lý thuyết Phương diện quan trọng lý thuyết giải tích phân thứ ứng dụng giải tốn thực tế Lý thuyết có ưu vượt trội so với phép tính vi–tích phân cổ điển mơ vật liệu q trình có trí nhớ Chẳng hạn, mơ tả tính chất học, điện tử vật liệu, tính chất lưu biến đá, v.v Cùng với phát triển máy tính điện tử phương pháp tính, bốn thập kỉ gần đây, người ta phát ngày nhiều ứng dụng giải tích phân thứ ngành khoa học khác từ Vật lý, Hóa học, Sinh học đến Tài chính, Khoa học xã hội, v.v Cuốn sách viết ứng dụng giải tích phân thứ [31] Trong sách này, K Oldham J Spenier trình bày cách hệ thống ý tưởng, phương pháp ứng dụng giải tích phân thứ Sau [31], nhiều cơng trình phương diện khác lý thuyết cơng bố Nổi bật số sách S Samko, O Marichev, A Kilbas [37], M Caputo [7], R Gorenflo S Vesella iii Chứng minh Do απ < |arg(λ)| ≤ π, tìm số dương θ0 đủ nhỏ cho π απ + θ0 < , |arg(λ)| 2 Sau chọn θ0 , lấy θ tham số dương thỏa mãn απ π < θ < min{|arg(λ)|, απ} θ + θ0 < , |arg(λ)| 2 Trước bắt đầu chứng minh bổ đề, để việc trình bày rõ ràng, đưa vào số kí hiệu: t0 := 1 α |λ| (1 − sin θ0 ) α γ(1,θ) C(α, λ) := C(α, λ) := , (A.1) | exp (ζ α )ζ α |dζ , 2απ|λ|2 sin θ0 (A.2) C(α, λ) + tα0 Eα,α+1 (|λ|tα0 ) αtα0 (A.3) (i) Do λ ∈ Λsα , nên λtα ∈ G− (1, θ + θ0 ) với t > Theo Bổ đề 1.2.1, có Eα,α (λt ) = 2απi γ(1,θ) 1 Eα,α (λt ) = α × λt 2απi ∀t > 1 ζ =− + dẫn tới ζ −z z z(ζ − z) Sử dụng biểu diễn đồng thức α α 1−α exp (ζ α )ζ α dζ, ζ − λtα α exp (ζ )ζ 1−α α γ(1,θ) dζ + 2απi γ(1,θ) exp (ζ α )ζ α dζ λtα (ζ − λtα ) với t > Hơn nữa, theo [33, Formula (1.52), p 16], có 2απi exp (ζ α )ζ 1−α α Γ(z) dζ = γ(1,θ) = |z=0 Do đó, Eα,α (λt ) = 2απi α γ(1,θ) exp (ζ α )ζ α dζ, λtα (ζ − λtα ) Trong với t ≥ t0 có |λtα | ≥ |ζ − λtα | ≥ |λtα | sin θ0 , 1−sin θ0 ∀t > Tính tốn trực tiếp ∀ζ ∈ γ(1, θ), kết hợp với (A.4) dẫn tới α |Eα,α (λt )| ≤ | exp (ζ α )ζ α |dζ , 2απ|λ|2 sin θ0 t2α γ(1,θ) 70 (A.4) ∀t ≥ t0 Nhân hai vế bất đẳng thức với tα−1 có α−1 |t α Eα,α (λt )| ≤ | exp (ζ α )ζ α |dζ , 2απ|λ|2 sin θ0 tα+1 γ(1,θ) ∀t ≥ t0 Từ định nghĩa số C(α, λ) C(α, λ) (A.3) (A.2), với t ≥ t0 , có C(α, λ) tα+1 C(α, λ) ≤ α+1 t |tα−1 Eα,α (λtα )| ≤ Phần (i) chứng minh xong (ii) Chúng ta chia chứng minh thành hai phần ứng với trường hợp t ≤ t0 t > t0 , t0 tham số định nghĩa (A.1) Trường hợp (t ≤ t0 ): ý t τ α−1 Eα,α (λτ α ) dτ = tα Eα,α+1 (λtα ), xem [33, p 24] Vì vậy, t t (t − s)α−1 Eα,α (|λ|(t − s)α ) ds (t − s)α−1 Eα,α (λ(t − s)α ) ds ≤ 0 = tα Eα,α+1 (|λ|tα ) ≤ tα0 Eα,α+1 (|λ|tα0 ) Trường hợp (t > t0 ): theo chứng minh Phần (i), thấy t−t0 t−t0 (t − τ )α−1 Eα,α (λ(t − τ )α ) dτ ≤ 0 ≤ C(α, λ) dτ (t − τ )α+1 C(α, λ) αtα0 (A.5) Mặt khác, lập luận tương tự Trường hợp 1, có t (t − τ )α−1 Eα,α (λ(t − τ )α ) dτ ≤ tα0 Eα,α+1 (|λ|tα0 ), t−t0 khẳng định (A.5) t (t − τ )α−1 Eα,α (λ(t − τ )α ) dτ ≤ C(α, λ) Kết hợp ước lượng vừa thu với Trường hợp hoàn thành chứng minh Phần (ii) 71 A.2 Hàm Mittag-Leffler miền không ổn định Λuα Phần trình bày số tính chất hàm Mittag-Leffler miền khơng ổn định Λuα Những tính chất sở để thiết lập toán tử kiểu Lyapunov–Perron Mục 3.3.1, Chương Mục 4.2.2, Chương để ước lượng thành phần khơng bị chặn chúng Trước hết, có đánh giá tương quan hàm Mittag-Leffler với hàm mũ Bổ đề A.2.1 Cho λ ∈ Λuα Tồn số dương K(α, λ) t0 cho hai khẳng định sau với t ≥ t0 : (i) Eα (λt α ) − K(α, λ) exp (λ α t) ≤ ; α tα (ii) tα−1 Eα,α (λtα ) − 1 −1 K(α, λ) λ α exp (λ α t) ≤ α tα+1 Chứng minh Chọn θ0 > đủ nhỏ cho θ0 + απ < min{ π2 , απ} Đặt    γ(1, απ +θ ) | exp (ζ α1 )|dζ γ(1, απ +θ ) | exp (ζ α1 )ζ α1 |dζ  0 2 K(α, λ) := max ,   2απ|λ| sin θ0 2απ|λ|2 sin θ0 t0 := 1 α |λ| (1 − sin θ0 ) α (i) Từ Bổ đề 1.2.1, lấy ε = 1, có 1 Eα (z) = exp (z α ) + α 2απi γ(1, απ +θ0 ) exp (ζ α ) απ dζ, z ∈ G+ (1, + θ0 ) ζ −z Mặt khác, tính tốn sơ cấp, với z ∈ G+ (1, απ ) ζ ∈ γ(1, απ + θ0 ), có 2 |ζ − z| ≥ min{|z| sin θ0 , |z| − 1} ) |z| ≥ Vì vậy, với z ∈ G+ (1, απ , 1−sin θ0 ước lượng sau 1 Eα (z) − exp (z α ) ≤ α 72 | exp (ζ α )|dζ 2απ sin θ0 |z| γ(1,θ) Thay z = λtα , λ ∈ Λuα t ≥ t0 , có 1 Eα (λtα ) − exp (λ α t) ≤ α | exp (ζ α )|dζ 2απ|λ| sin θ0 tα γ(1,θ) Kết hợp đánh giá vừa thu với định nghĩa K(α, λ) dẫn tới điều phải chứng minh (ii) Từ Bổ đề 1.2.1, có 1 1 Eα,α (z) = z α −1 exp (z α ) + α 2απi Sử dụng đồng thức 2απi ζ−z = − z1 + +θ0 ) γ(1, απ ζ z(ζ−z) exp (ζ α )ζ exp (ζ α )ζ ζ −z 1−α α dζ, z ∈ G+ (1, απ + θ0 ) ý 1−α α Γ(z) dζ = +θ0 ) γ(1, απ = 0, |z=0 thu 1 1 Eα,α (z) = z α −1 exp (z α ) + α 2απi γ(1, απ +θ0 ) exp (ζ α )ζ α απ dζ, z ∈ G+ (1, + θ0 ) z(ζ − z) Do z ∈ G+ (1, απ ) |z| ≥ 1−sin θ0 α−1 vế bất đẳng thức với t | exp (ζ α )ζ α |dζ , 2απ sin θ0 |z|2 1 Eα,α (z) − z α −1 exp (z α ) ≤ α γ(1, απ +θ0 ) Với t ≥ t0 , thay z = λtα , λ ∈ Λuα , nhân hai , có 1 1 tα−1 Eα,α (λtα ) − λ α −1 exp (λ α t) ≤ α | exp (ζ α )ζ α |dζ 2απ|λ|2 sin θ0 tα+1 γ(1, απ +θ0 ) Điều kết hợp với định nghĩa số K(α, λ) hoàn thành chứng minh bổ đề Bổ đề A.2.2 Giả sử λ = r(cos ϕ + i sin ϕ) ∈ Λuα t0 số xác định Bổ đề A.2.1 Đặt Eα (rtα0 ) tα0 Eα,α (rtα0 ) L(α, λ) := + r cos ϕα α Khi đó, phát biểu sau với t ∈ [0, t0 ]: (i) ∞ λ α −1 Eα (λtα ) exp(−λ α τ ) dτ ≤ L(α, λ); t 73 (ii) t 1 (t − τ )α−1 Eα,α (λ(t − τ )α ) − λ α −1 Eα (λtα ) exp(−λ α τ ) dτ ≤ L(α, λ) Chứng minh (i) Do hàm Eα đơn điệu tăng R, với t ∈ [0, t0 ], thấy λ −1 α ∞ α α exp(−λ τ ) dτ ≤ |λ| Eα (λt ) −1 α ∞ Eα (|λ|tα0 ) | exp(−λ α τ )| dτ t Eα (rtα0 ) ≤ r cos ϕα Kết hợp khẳng định với định nghĩa số L(α, λ) dẫn tới điều phải chứng minh (ii) Rõ ràng, với τ ∈ [0, t], t ∈ [0, t0 ], có |Eα,α (λ(t − τ )α )| ≤ Eα,α (rtα0 ), |Eα (λtα )| ≤ Eα (rtα0 ) Vì vậy, t 1 (t − τ )α−1 Eα,α (λ(t − τ )α ) − λ α −1 Eα (λtα ) exp(−λ α )τ ) dτ t t |(t − τ )α−1 Eα,α (λ(t − τ )α )| dτ + |λ α −1 ||Eα (λtα )| ≤ 0 t t τ α−1 Eα,α (rτ α ) dτ + r α −1 Eα (rtα0 ) ≤ | exp(−λ α τ )| dτ exp(−(r α cos ϕ )τ ) dτ α tα0 Eα,α (rtα0 ) Eα (rtα0 ) + α r cos ϕα ≤ L(α, λ) ≤ Bổ đề chứng minh xong Bổ đề A.2.3 Giả sử λ = r(cos ϕ + i sin ϕ) ∈ Λuα t0 , K(α, λ) số dương chọn Bổ đề A.2.1 Đặt K(α, λ) M (α, λ) := tα0 + α r cos ϕα + tα0 Eα,α+1 (rtα0 ) exp((r α cos ϕα )t0 ) + αr cos ϕα Khi đó, hai bất đẳng thức sau với t > t0 : (i) ∞ λ α −1 Eα (λtα ) exp(−λ α τ ) dτ ≤ M (α, λ); t 74 (ii) t 1 (t − τ )α−1 Eα,α (λ(t − τ )α ) − λ α −1 Eα (λtα ) exp(−λ α τ ) dτ ≤ M (α, λ) Chứng minh (i) Theo Bổ đề A.2.1(i), có |Eα (λtα )| ≤ K(α, λ) + exp(λ α t) α t α với t ≥ t0 Vì vậy, với t > t0 : ∞ λ α −1 Eα (λtα ) exp(−λ α τ ) dτ t α exp((r cos ϕα )t) K(α, λ) + α tα0 ≤ r α −1 ≤ r ∞ t 1 α exp((r cos ϕα )t) K(α, λ) + α tα0 −1 α ϕ )τ ) dτ α exp((−r α cos exp(−(r α cos ϕα )t) r α cos ϕα K(α, λ) ϕ + α rt0 cos α αr cos ϕα ≤ M (α, λ) ≤ Phần (i) chứng minh xong (ii) Từ Bổ đề A.2.1(i) Bổ đề A.2.1(ii), có 1 (t − τ )α−1 Eα,α (λ(t − τ )α ) − λ α −1 Eα (λtα ) exp(−λ α τ ) ≤ 1 K(α, λ) K(α, λ) −1 α ατ) + λ exp(−λ (t − τ )α+1 tα0 với τ ∈ [0, t − t0 ] Do đó, t−t0 1 (t − τ )α−1 Eα,α (λ(t − τ )α ) − λ α −1 Eα (λtα ) exp(−λ α τ ) dτ t−t0 ≤ K(α, λ) ≤ ϕ α 1 −1 exp((−r cos α )τ ) α + |λ| (t − τ )α+1 tα0 K(α, λ) 1 + α t0 α r cos ϕα Mặt khác, t (t − τ )α−1 Eα,α (λ(t − τ )α ) dτ ≤ tα0 Eα,α+1 (rtα0 ) t−t0 75 dτ t 1 λ α −1 Eα (λtα ) exp(−λ α τ ) dτ t−t0 ≤ |λ| ≤ r −1 α t 1 K(α, λ) | exp(λ α t)| + α tα t−t0 1 ϕ K(α, λ) exp((r α cos )t) + α α tα0 −1 α | exp(λ α τ )| dτ exp(−(r α cos ϕα )(t − t0 )) r α cos ϕα exp((r α cos ϕα )t0 ) K(α, λ) + α tα0 ≤ r cos ϕα Do đó, t (t − τ )α−1 Eα,α (λ(t − τ )α ) − λ 1−α α Eα (λtα ) exp(−λ α τ ) dτ K(α, λ) ≤ tα0 + α r cos ϕα + tα0 Eα,α+1 (rtα0 ) exp((r α cos ϕα )t0 ) + αr cos ϕα ≤ M (α, λ) Phần (ii) chứng minh xong Để kết thúc phần Phụ lục, chứng minh giới hạn quan trọng sau Giới hạn dùng để thiết lập toán tử kiểu Lyapunov–Perron Mục 3.3.1, Chương Mục 4.2.2, Chương Bổ đề A.2.4 Với λ ∈ Λuα , có t (t − τ )α−1 lim t→∞ =λ Eα,α (λ(t − τ )α ) dτ Eα (λτ α ) ∞ −1 α exp(−λ α τ ) dτ (A.6) Chứng minh Theo Bổ đề A.2.1(i), có lim t→∞ α exp(λ α t) = Eα (λtα ) Vì , t (t − τ )α−1 lim t→∞ t α−1 Eα,α (λ(t α(t − τ ) = lim t→∞ Eα,α (λ(t − τ )α ) dτ Eα (λtα ) 76 − τ )α ) exp(λ α t) dτ, miễn hai giới hạn tồn Hơn nữa, t > t0 , t α(t − τ )α−1 Eα,α (λ(t − τ )α ) dτ ≤ tα0 Eα,α+1 (|λ|tα0 ), t−t0 t0 số định nghĩa Bổ đề A.2.1 Từ đây, thấy t α(t − τ )α−1 lim t→∞ Eα,α (λ(t − τ )α ) exp(λ α t) t−t0 dτ = Do đó, để chứng minh (A.6), cần t−t0 α(t − τ )α−1 lim t→∞ Eα,α (λ(t − τ )α ) α exp(λ t) ∞ dτ = λ α −1 exp(−λ α τ ) dτ (A.7) Sử dụng Bổ đề A.2.1(ii), có t−t0 1 exp(λ α t) t ≤ α K(α, λ) t0 α(t − τ )α−1 Eα,α (λ(t − τ )α ) − λ α −1 exp(λ α (t − τ )) τ α+1 exp(λ α t) dτ dτ Cho t → ∞ hai vế đẳng thức trên, thu (A.7) Chứng minh bổ đề hoàn thành 77 Kết luận Trong luận án này, thu kết sau Chỉ số mũ Lyapunov cổ điển cho nghiệm khơng tầm thường phương trình vi phân phân thứ tuyến tính hệ số liên tục bị chặn ln khơng âm Do đó, số mũ Lyapunov cổ điển khơng thích hợp để đặc trưng tính ổn định nghiệm phương trình vi phân phân thứ Xây dựng kiểu số mũ Lyapunov phù hợp cho phương trình vi phân phân thứ sử dụng để đặc trưng tính ổn định nghiệm phương trình vi phân tuyến tính hệ số biến thiên Sử dụng phương pháp tuyến tính hóa để chứng minh định lí tính ổn định tiệm cận, không ổn định cho điểm cân phương trình vi phân phân thứ khơng phụ thuộc thời gian Chứng minh tồn đa tạp ổn định gần điểm cân hyperbolic phương trình vi phân phân thứ phi tuyến không gian Euclide hữu hạn chiều tùy ý 78 Cơng trình liên quan đến luận án [1] N.D Cong, T.S Doan and H.T Tuan On fractional Lyapunov exponent for solutions of linear fractional differential equations Fract Calc Appl Anal., 17 (2014), no 2, 285–306 [2] N.D Cong, T.S Doan, S Siegmund and H.T Tuan On stable manifolds for planar fractional differential equations Applied Mathematics and Computation, 226 (2014), 157–168 [3] N.D Cong, T.S Doan, H.T Tuan and S Siegmund Structure of the fractional Lyapunov spectrum for linear fractional differential equations Adv Dyn Syst Appl., (2014), no 2, 149–159 [4] N.D Cong, T.S Doan, S Siegmund, H.T Tuan Linearized asymptotic stability for fractional differential equations Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations, 39 (2016), 1–13 [5] N.D Cong, T.S Doan, S Siegmund and H.T Tuan On stable manifold for fractional differential equations in high-dimensional space Nonlinear Dynamics, 86 (2016), 1885–1894 [6] N.D Cong, T.S Doan, S Siegmund, H Tuan An instability theorem of nonlinear fractional differential systems To appear in Discrete and Continuous Dynamical Systems, Series B Các kết liên quan đến luận án tác giả báo cáo Seminar Phòng Phương trình vi phân, Viện Toán học, Hội nghị nghiên cứu sinh năm Viện Toán học (10/2014, 10/2015, 10/2016) 79 Bảng thuật ngữ Tiếng Việt Tiếng Anh bất đẳng thức Gronwall suy rộng, biến đổi Laplace, 11 biến đổi Laplace ngược, 11 công thức biến thiên số, 10 đa tạp ổn định, 55 đạo hàm Caputo, đạo hàm Riemann–Liouville, điều kiện ổn định, 39 điều kiện không ổn định, 39 Định lí tồn nghiệm địa phương, Định lí tồn nghiệm tồn cục, hàm Gamma, hàm Mittag-Leffler, hàm Mittag-Leffler ngược, 17 nghiệm không ổn định, 38 nghiệm ổn định, 38 nghiệm ổn định tiệm cận, 39 phổ ma trận, 39 số mũ Lyapunov cổ điển, 15 số mũ Lyapunov phân thứ, 17 tích chất hyperbolic, 46 tích phân Riemann–Liouville, toán tử Lyapunov–Perron, 42, 47, 59 generalized Gronwall inquality Laplace transform inverse laplace transform variation of constant formula stable manifold Caputo derivarive Riemann–Liouville derivative stability condition instability condition local existence and uniqueness theorem global existence and uniqueness theorem Gamma function Mittag-Leffler function inverse Mittag-Leffler function unstable solution stable solution asymptotically stable solution spectrum of matrix Lyapunov exponent fractional Lyapunov exponent hyperbolic property Riemann–Liouville integral Lyapunov–Perron operator 80 Tài liệu tham khảo [1] L.Ya Adrianova Introduction to Linear Systems of Differential Equations Translations of Mathematical Monographs, 46 Americal Mathematical Society, 1995 [2] E Ahmed, A.M.A El-Sayed, H.A.A El-Saka Equilibrium points, stability and numerical solutions of fractional-order predator-prey and rabies models J Math Anal Appl., 325 (2007), no 1, 542–553 [3] J Audounet, D Matignon, G Montseny Semi-linear diffusive representations for non-linear fractional differential systems Nonlinear Control in the Year 2000 (CNRSNCN), vol 1, pp 78–82, Springer, Berlin, 2001 [4] D Baleanu and O.G Mustafa On the global existence of solutions to a class of fractional differential equations Computers and Mathematics with Applications, 59 (2010), 1583–1841 [5] B Bandyopadhyay, S Kamal Stabilization and Control of Fractional Order Systems: A Sliding Mode Approach Lecture Notes in Electrical Engineering, 317 Springer International Publishing Switzerland, 2015 [6] L Barreira and Y Pesin Nonuniform Hyperbolicity Dynamics of Systems with Nonzero Lyapunov Exponents Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 115 Cambridge University Press, Cambridge, 2007 [7] M Caputo Elasticità e Dissipazione Zanichelli, Bologna, 1969 [8] A Carpinteri, F Mainardi (eds) Fractals and Fractional Calculus in Continuum Mechanics Springer-Verlag, Vienna–New York, 1997 [9] L Chen, Y Chai, R Wu, J Yang Stability and stabilization of a class of nonlinear fractional-order systems with Caputo derivative IEEE Transactions on Circuits and Systems–II: Express Briefs, 59 (2012), no 9, 602–606 81 [10] N.D Cong, T.S Doan, S Siegmund and H.T Tuan On stable manifolds for planar fractional differential equations Applied Mathematics and Computation, 226 (2014), 157–168 [11] N.D Cong, T.S Doan, S Siegmund and H.T Tuan On stable manifold for fractional differential equations in high-dimensional space Nonlinear Dynamics, 86 (2016), 1885–1894 [12] N.D Cong, T.S Doan, S Siegmund and H.T Tuan Linearized asymptotic stability for fractional differential equations Electron J Qual Theory Differ Equ., 39 (2016), 1–13 [13] N.D Cong, T.S Doan, S Siegmund and H.T Tuan An instability theorem of nonlinear fractional differential systems To appear in Discrete and Continuous Dynamical Systems, Series B [14] N.D Cong, H.T Tuan Generation of nonlocal fractional dynamical systems by fractional differential equations https://arxiv.org/abs/1605.00087v1 [15] L Cveticanin and M Zukovic Melnikov’s criteria and chaos in systems with fractional order deflection Journal of Sound and Vibration, 326 (2009), 768–779 [16] W Deng Smoothness and stability of the solutions for nonlinear fractional differential equations Nonlinear Anal., 72 (2010), no 3-4, 1768–1777 [17] A Deshpande and V Daftardar-Gejji Local stable manifold theorem for fractional systems Nonlinear Dynamics, 83 (2016), 2435–2452 [18] K Diethelm The Analysis of Fractional Differential Equations An Applicationoriented Exposition Using Differential Operators of Caputo Type Lecture Notes in Mathematics, 2004 Springer-Verlag, Berlin, 2010 [19] R Gorenflo, S Vessella Abel Integral Equations: Analysis and Applications Lecture Notes in Mathematics, 1461 Springer-Verlag, Berlin, 1991 [20] R Gorenflo, J Loutchko and Y Luchko Computation of the Mittag-Leffler function Eα,β (z) and its derivative Fract Calc Appl Anal., (2002), no 4, 491–518 Correction: Fract Calc Appl Anal., (2003), no 1, 111–112 [21] M Hirsch, S Smale Differential Equations, Dynamical Systems, and Linear Algebra Academic Press, 1974 82 [22] L Kexue, P Jigen Laplace transform and fractional differential equations Applied Mathematics Letters, 24 (2011), 2019–2023 [23] V Lekshmikantham, S Leela, J Vasundhara Devi Theory of Fractional Dynamical Systems Cambridge Scientific Publishers, Cambridge, 2009 [24] C Li and G Chen Chaos in the fractional order Chen system and its control Chaos, Solitons and Fractals, 22 (2004), 549–554 [25] C Li, Z Gong, D Qian and Y Chen On the bound of the Lyapunov exponents for the fractional differential systems Chaos, 20 (2010), no 1, 0131271–0131277 [26] C Li and Y Ma Fractional dynamical system and its linearization theorem Nonlinear Dynamics, 71 (2013), 621–633 [27] C.P Li and F.R Zhang A survey on the stability of fractional differential equations The European Physical Journal Special Topics, 193 (2011), no 1, 27–47 [28] S Liang, R Wu, L Chen Laplace transform of fractional order differential equations Electronic Journal of Differential Equations, vol 2015 (2015), no 139, pp 1–15 [29] B Mandelbrot Applied Theory of Plasticity and Creep Freeman, San Francisco, 1982 [30] K.S Miller, B Ross An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations John Wiley & Sons Inc., New York, 1993 [31] K.B Oldham, J Spanier The Fractional Calculus Academic Press, New York, 1974 [32] V.I Oseledec A multiplicative ergodic theorem Lyapunov characteristic numbers for dynamical systems Trans Moscow Math Soc., 19 (1968), 197–231 [33] I Podlubny Fractional Differential equations An Introduction to Fractional Derivatives, Fractional Differential Equations, to Methods of their Solution and some of Their Applications Mathematics in Science and Engineering, 198 Academic Press, Inc., CA, 1999 [34] H Pollard The completely monotonic character of the Mittag-Leffler function Eα (−x) Bull Amer Math Soc., 54 (1948), 1115–1116 83 [35] D Qian, C Li, R.P Agarwal, P.J.Y Wong Stability analysis of fractional differential system with Riemann–Liouville derivative Mathematical and Computer Modelling, 52 (2010), 862–874 [36] J Shen, J Lam Non-existence of finite stable eqilibria in fractional-order nonlinear systems Automatica, 50 (2014), 547–551 [37] S.G Samko, A.A Kilbas, O.I Marichev Fractional Integrals and Derivatives: Theory and Applications Gordon and Breach, Yverdon, 1993 [38] J.L Schiff The Laplace Transformation: Theory and Applications Springer- Verlag, New York, 1999 [39] G.E Shilov Linear Algebra Dover Publications, Inc., New York, 1977 [40] X-J Wen, Z-M Wu, J-G Lu Stability analysis of a class of nonlinear fractionalorder systems IEEE Transactions on Circuits and Systems–II: Express Briefs, 55 (2008), no 11, 1178–1182 [41] S Wiggins Normally Hyperbolic Invariant Manifolds in Dynamical Systems Springer-Verlag, New York, 1994 [42] R Zhang, G Tian, S Yang, H Cao Stability analysis of a class of fractional order nonlinear systems with order lying in (0,2) ISA Transactions, 56 (2015), 102–110 84 ... representation and the asymptotic expansion These properties are used to establish the fractional Lyapunov exponent, to prove the asymptotic stability, instability and to show the existence of the stable manifolds... we recall some basic knowledge of fractional calculus: fractional integral, fractional derivative and fractional differential equations Moreover, we also give some important properties of Mittag-Leffler... devoted to study the qualitative theory of fractional differential equations: Lyapunov exponent, stability and instability theory, and the existence of stable manifolds The thesis consists of four