Mục lục Mục lục Danh mục ký hiệu Danh mục hình ảnh Lời nói đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Banach 1.2 Không gian Hilbert 11 1.3 Một số định lý quan trọng khác 14 Chỉnh hoá tốn khơng chỉnh 16 2.1 Giới thiệu lại toán 16 2.2 Nghiệm toán (1) - (4) 17 2.3 Các kết việc chỉnh hoá toán (1) - (4) 19 2.3.1 Chỉnh hoá toán (1) - (4) 19 2.3.2 Tính ổn định (2.7) - (2.9) 21 2.3.3 Đánh giá sai số 25 Ví dụ minh hoạ 33 3.1 Mơ hố liệu 33 3.2 Quá trình tính tốn 35 3.3 Ví dụ số 37 Kết luận kiến nghị 43 Tài liệu tham khảo 44 Phụ lục 47 Danh mục ký hiệu N = {1, 2, 3, } tập hợp số tự nhiên R tập hợp số thực C tập hợp số phức L2 (Ω) tập hợp họ hàm f : Ω → K(K = C K = C) có lũy thừa bậc mơđun khả tích Lebesgue Ω ∆u khai triển Laplace dạng chiều hàm u δz u đạo hàm riêng theo biến z hàm u (g, h)|z=0 g h giá trị z = H (Ω) không gian chứa tất hàm L2 (Ω) khả vi tới cấp ∂Ω biên miền giới hạn Ω 10 H01 (Ω) không gian chứa tất hàm H (Ω) mà vết chúng bị triệt tiêu ∂Ω 11 ||·||X chuẩn cảm sinh không gian X 12 |||·|||X chuẩn supremum không gian X 13 C([0, c], X, ||·||X ) không gian ánh xạ liên tục từ [0, c] vào X với chuẩn ||·||X 14 C([0, c], X, |||·|||X ) không gian ánh xạ liên tục từ [0, c] vào X với chuẩn |||·|||X 15 D(A) miền xác định A 16 ·, · H tích vơ hướng H Danh sách hình vẽ 3.1 Hình minh hoạ cho hàm U (x, y, c) 3.2 Hình minh hoạ nghiệm xác với lưới M × N × K = 101 × 101 × 101 40 3.3 uα với ε = 1.0 × 10−1 , α(ε) = εt , t = 1.0 × 10−1 40 3.4 uα với ε = 1.0 × 10−2 , α(ε) = εt , t = 1.0 × 10−1 40 3.5 uα với ε = 1.0 × 10−4 , α(ε) = εt , t = 1.0 × 10−1 41 uα với ε = 1.0 × 10−6 , α(ε) = εt , t = 1.0 × 10−1 ε 0.05 3.7 uα với ε = 1.0 × 10−2 , α(ε) = ln ε ε 0.05 3.8 uα với ε = 1.0 × 10−4 , α(ε) = ln ε ε 0.05 3.9 uα với ε = 1.0 × 10−6 , α(ε) = ln ε ε 0.05 3.10 uα với ε = 1.0 × 10−8 , α(ε) = ln ε 3.6 39 41 41 42 42 42 Lời nói đầu Bài tốn phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic với điều kiện biên Cauchy tốn đặt khơng chỉnh theo định nghĩa Haramard [8] nghĩa là, nghiệm tốn khơng tồn tại; nghiệm toán tồn nghiệm khơng phụ thuộc liên tục vào liệu dạng Cauchy Một ví dụ cho tính khơng chỉnh tốn nói tốn tác giả Faker Bin Belgacem xét báo [4] Mặc dù tính khơng chỉnh tốn gây khó khăn việc tính tốn số, tốn phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic với liệu Cauchy toán ứng dụng nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật tốn truyền sóng âm, tốn truyền sóng thuỷ động lực học tốn sóng điện từ (xem báo [10], [11]) Ngoài ra, hầu hết toán xét miền không gian chiều (3D) với nguồn không Trong thực tế, hàm nguồn phụ thuộc vào hàm u chưa biết Do đó, tốn nêu cần khảo sát chỉnh hoá Trong khoá luận này, chứng minh chi tiết lại bổ đề, định lý nêu báo [23], đồng thời hệ thống lại số kiến thức liên quan Cụ thể, chúng tơi khảo sát tốn sau Cho a, b, c > Ω = (−a, a) × (−b, b) hình chữ nhật R2 với biên ∂Ω Chúng ta tìm hàm u thoả mãn ∆u = f (u, x, y, z), (x, y, z) ∈ Ω × [0, c], (1) u(x, y, z) = 0, (x, y, z) ∈ Ω × [0, c], (2) g ε − u(·, ·, 0) + hε − ∂z u(·, ·, 0) ≤ ε, (3) ∆ toán tử Laplace dạng ba chiều, ∂z đạo hàm riêng theo biến z , f hàm cho trước phụ thuộc vào biến u chưa biết, hai hàm g ε hε hai hàm cho không gian L2 (Ω) với · chuẩn L2 (Ω), ε sai số nhiễu (g ε , hε ) so với liệu Cauchy xác (g, h) = (u, ∂z u)|z=0 (4) Trong suốt khố luận này, chúng tơi sử dụng kí hiệu Khơng gian Sobolev H m (Ω) không gian chứa tất hàm L2 (Ω) khả vi đến cấp s với s ≤ m H01 (Ω) không gian chứa tất hàm H (Ω) mà vết chúng bị triệt tiêu ∂Ω Chúng ta dùng kí hiệu C([0, c], L2 (Ω)), |||·||| cho ánh xạ liên tục từ [0, c] đến L2 (Ω) không gian Banach, |||·||| chuẩn supremum Đặt λmn ψmn giá trị riêng vectơ riêng tương ứng toán tử A := −∆ xác định miền D(A) ⊂ H01 (Ω), với λmn = π m a + n b , ψmn = sin mπ(x + a) nπ(y + b) sin 2a 2b (5) với (m, n) ∈ N2 Sau đây, ký hiệu khai triển Fourier hàm v = v(x, y), w = w(x, y, z), f = f (w, x, y, z) ∂z wˆmn (z) vˆmn = κ v, ψmn , wˆmn (z) = κ w(·, ·, z), ψmn , fˆmn (w, z) = f (w(·, ·, z), ·, ·, z) κ ∂z w(·, ·, z), ψmn , κ = ||ψmn ||−2 = 1/(ab) Sử dụng phương pháp tách biến, ta có nghiệm xác tốn (1) - (4) +∞ +∞ ˆ mn (g, h, z) + Jˆmn (u, z) ψmn (x, y), G u(x, y, z) = (6) m=1 n=1 Gmn (g, h, z) = ezλmn gmn + hmn λmn + e−zλmn gmn − hmn λmn , (7) z Jmn (u, z) = 2λmn e(z−s)λmn − e(s−z)λmn fˆmn (u, s)ds (8) Chúng ta thấy Gmn (g, h, z) Jmn (u, z) (7) (8) tăng nhanh theo biến λmn tăng mạnh giá trị hàm ezλmn Do đó, việc tính tốn số liệu (6) - (8) thực tế nhiều hạn chế, kể hệ số khai triển Fourier (gmn , hmn , fmn ) tiến nhanh Bài toán Cauchy phương trình elliptic khơng chỉnh theo định nghĩa Hadamard, nghĩa biến đổi nhỏ liệu Cauchy gây sai khác lớn kết nghiệm u(x, y, z) với z ∈ [0, c] Việc không ổn định tỉ lệ thuận với khoảng cách từ z đến biên z = Vì vậy, khó để giải toán cách sử dụng phương pháp số đảo ngược cổ điển Để khắc phục tình trạng khơng chỉnh này, phương pháp chỉnh hố đề xuất để chỉnh hoá cho toán thật cần thiết Trước đây, có nhiều nghiên cứu tốn Cauchy cho hình thức cụ thể phương trình elliptic (1) Trong trường hợp khơng có hàm ban đầu, nghĩa f = 0, toán gọi toán Cauchy cho phương trình Laplace (xem [5], [6]) Với f = −k u (k số), (1) tiêu biến thành phương trình Helmholtz nhất; nghiên cứu rộng rãi nhiều kết liên quan đến phương pháp định chế điều tra, ví dụ: nghiên cứu gần Reginska nhóm [14], [15] Gần đây, Nguyễn et al [21] xét phương trình (1) khơng gian chiều cho phương trình Helmholtz sửa đổi (hoặc phương trình Yukawa) với hàm nguồn nhất, nghĩa hàm nguồn dạng f = k u + r (r hàm) Sau đó, Trần et al [17] mở rộng kết nhóm [21] để giải tốn mơ hình 3D cho phương trình Helmholtz, tức phương trình (1) với hàm nguồn f = ±k2u + r kết hợp với điều kiện biên Dirichlet Neumann Các phương trình nói tổng qt hóa thành giả thiết trừu tượng, ví dụ [7], [21], [22] đề xuất nhiều sơ đồ chỉnh hố cho phương trình tốn tử Trong [7], Elden et al áp dụng phương pháp chặt cụt để có nghiệm ổn định xử lý toán xấp xỉ phương pháp Krylov Trong [22], tác giả đề xuất phương pháp biến đổi cách xây dựng hàm hạch bị chặn để thay đại lượng không bị chặn phần tử đại diện nghiệm thu ước lượng sai số khác tương ứng với số điều kiện tiên nghiệm nghiệm xác Trong q trình tìm hiểu, có kết tốn Cauchy cho phương trình elliptic phi tuyến khơng gian ba chiều Trong khố luận này, chúng tơi xem xét toán (1) - (4) trường hợp hàm f thỏa mãn điều kiện Lipschitz ∃K > 0, ∀u, v ∈ L2 (Ω), ∀z ∈ R, ||f (w, z) − f (v, z)||≤ K||w − v|| (9) Trong luận này, việc dùng phương pháp tựa giá trị biên để hố cho tốn (1) - (4), chúng tơi dùng máy tính để khảo sát tính hiệu phương pháp chỉnh hoá dùng để giải tính khơng chỉnh tốn thơng qua tốn phần ví dụ minh hoạ Khố luận trình bày qua chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày số kiến thức cần thiết định nghĩa, định lý, mệnh đề liên quan đến không gian hàm Chương 2: Chỉnh hóa tốn phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic với liệu Cauchy Chương trình bày việc chỉnh hố tốn (1) - (4), tính tồn nghiệm tính ổn định nghiệm chỉnh hố Chương 3: Ví dụ minh họa Chương đưa mô liệu, thủ tục tính tốn ví dụ để minh hoạ cho toán Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương 1, chúng tơi trình bày lại số kiến thức cần thiết cho khố luận 1.1 Khơng gian Banach Định nghĩa 1.1.1 Cho X không gian vectơ trường K (với K = R K = C) ánh xạ · X : X → R Ta nói · X chuẩn X , có tính chất sau i) x ii) tx X ≥ 0, với x ∈ X x X iii) x + y = |t| x X X, ≤ x X X = x = 0, với t ∈ K, với x ∈ X , + y X, với x, y ∈ X Không gian vectơ X với chuẩn · ký hiệu (X, · X gọi không gian định chuẩn X ) Định nghĩa 1.1.2 Cho (X, · X) không gian định chuẩn, dãy {xn }+∞ n=1 X gọi dãy Cauchy với ε > cho trước, tồn số nguyên dương Nε (phụ thuộc vào ε) cho xm − xn X < ε, với m, n ≥ Nε Định nghĩa 1.1.3 Không gian định chuẩn X gọi không gian Banach dãy Cauchy X hội tụ phần tử thuộc X Cho Ω tập đo Lebesgue độ đo dương µ 10 Định nghĩa 1.1.4 Họ hàm f : Ω → K có lũy thừa bậc p (1 ≤ p < +∞) môđun khả tích Lebesgue Ω, nghĩa |f (z)|p dµ < ∞ Ω gọi không gian Lp (Ω) Ta cú cỏc Bt ng thc quan trng sau: ă lder) Nếu f, g hàm đo được, xác Định lý 1.1.5 (Bất đẳng thức Ho định tập đo Lebesgue Ω p, q hai số thực thỏa mãn < p < +∞, 1 + = p q   p1  |f (z) g (z)| dµ ≤  |f (z)|p dµ  Ω  1q |g (z)|q dµ · Ω Ω Định lý 1.1.6 (Bất đẳng thức Minkowski) Nếu f, g hàm đo được, xác định tập đo Lebesgue Ω p số thực thỏa mãn ≤ p < +∞   p1   p1   p1 |f (z) + g (z)|p dµ ≤   Ω |f (z)|p dµ +  Ω |g (z)|p dµ · Ω Trong khơng gian hàm Lp (Ω), ≤ p ≤ +∞, hàm hầu khắp nơi xem Ta có định lý sau khẳng định khơng gian hàm Lp (Ω) khơng gian tuyến tính định chuẩn Định lý 1.1.7 Không gian Lp (Ω), ≤ p ≤ +∞ với phép toán cộng hàm phép nhân vô hướng hàm với số không gian vectơ định chuẩn, với chuẩn cho sau  f p  p1 |f (z)|p dµ , với ≤ p < +∞, =  Ω f ∞ = ess sup |f (z)| , với p = +∞ z∈ Ω Định lý 1.1.8 Không gian Lp (Ω) với chuẩn · định lý 1.1.7 không gian Banach p · ∞ định nghĩa 33 Chương Ví dụ minh hoạ Trong chương 3, liệu Cauchy (g ε , hε ) (3) xác định mặt phẳng lưới mà giá trị nút giá trị khác tuỳ ý so với giá trị điểm nút liệu xác (g, h) (4) Số lượng liệu rời rạc cho tính tốn số kiểm soát bảo đảm độ phân giải hợp lí 3.1 Mơ hố liệu Giả sử liệu xác (g, h) thuộc H (Ω) × H (Ω) Mục đích phần xây dựng nên liệu nhiễu (g, h) Ở đây, sử dụng phân hoạch miền hình chữ nhật với kích thước lưới phân hoạch M × N mặt phẳng Oxy , với điểm bên (xi , yj ) xác định 2a , i = 1, M , M ∈ N, M +1 2b = jδy − b, δy = , j = 1, N , N ∈ N N +1 xi = iδx − a, δx = (3.1) yj (3.2) Chúng định nghĩa ε gij = gij + ε1,i,j , hεij = hij + ε2,i,j , (3.3) gij = g (xi , yj ) , hij = h (xi , yj ) , ε1,i,j ε2,i,j đóng vai trò sai số nhiễu ngẫu ε , hε , xây dựng liệu nhiên phép đo đạc Bằng cách sử dụng gij ij nhiễu (g ε , hε ) sau M N ε g (x, y) = ε gˆmn sin mπ (x + a) 2a sin nπ (y + b) 2b , (3.4) ˆ ε sin h mn mπ (x + a) 2a sin nπ (y + b) 2b , (3.5) m=1 n=1 M N hε (x, y) = m=1 n=1 34 M 2 = M +1N +1 ε gˆmn ˆε = h mn 2 M +1N +1 N ε gij sin nπj mπi sin , M +1 N +1 (3.6) hεij sin nπj mπi sin M +1 N +1 (3.7) m=1 n=1 M N m=1 n=1 Chúng thu (g ε , hε ) sai số liệu (g, h) thông qua định lý Định lý 3.1.1 Ta có đánh sau ||g ε − g||+||hε − h||≤ ε √ ε = 4ε0 ab + 2C δx2 + δy2 max ||gxx ||2 +||gyy ||2 , ||hxx ||2 +||hyy ||2 C số dương định nghĩa bổ đề 3.1.2 Chứng minh Trước hết, theo kết Hesthaven et al [9], chương 2, ta có bổ đề sau Bổ đề 3.1.2 Cho v ∈ H (Ω) × H01 (Ω), đặt vij = v(xi , yj ), hàm v˜ hàm nội suy liệu vij thỏa mãn M N v˜ (x, y) = mπ (x + a) 2a vˆmn sin m=1 n=1 với vˆmn 2 = M +1N +1 Hơn ta có M M N vij sin i=1 j=1 N vij = vˆmn sin i=1 j=1 nπ (y + b) 2b , (3.8) mπi nπj sin M +1 N +1 (3.9) sin mπi nπj sin M +1 N +1 (3.10) Khi mức độ lệch liệu v v˜ bị chặn ||˜ v − v||≤ C δx2 + δy2 ||vxx ||2 +||vyy ||2 , (3.11) C số dương không phụ thuộc vào v, δx δy Quan hệ vij v˜ (3.9) (3.10) giới thiệu đến [13], chương 12 ˜ hàm nội suy {gij } {hij } Sử dụng dạng rời rạc đẳng Đặt g˜ h thức Parseval, ta có M N ε |ˆ gmn m=1 n=1 2 − gˆmn | = M +1N +1 M N 2 ε gij − gij i=1 j=1 35 Kết hợp với đẳng thức (3.8), định lý Parseval (3.3) ta M ε N ε |ˆ gmn ||g − g˜|| = ab m=1 n=1 4ab − gˆmn | = (M + 1) (N + 1) M N |ε1,i,j |2 m=1 n=1 ˜ , ta Tương tự cho hε − h M N ˆ mn ˆε − h h mn ˜ = ab ||h − h|| ε m=1 n=1 Do 4ab = (M + 1) (N + 1) M N |ε2,i,j |2 m=1 n=1 √ √ ˜ 2ε0 ab, ||g ε − g˜||≤ 2ε0 ab, ||hε − h||≤ ε0 = max {ε1,i,j , ε2,i,j } Dùng bất đẳng thức tam giác kết hợp với (3.11), ta thu ˜ ˜ − h|| ||g ε − g||+||hε − h|| ≤ ||g ε − g˜||+||˜ g − g||+||hε − h||+|| h √ ≤ 2ε0 ab + C δx2 + δy2 ||gxx ||2 +||gyy ||2 √ ||hxx ||2 +||hyy ||2 +2ε0 ab + C δx2 + δy2 Tương đương √ ||g ε − g||+||hε − h||≤ 4ε0 ab + 2C δx2 + δy2 max ||gxx ||2 +||gyy ||2 , ||hxx ||2 +||hyy ||2 Như vậy, định lý 3.1.1 chứng minh hoàn chỉnh 3.2 Q trình tính tốn Trong phần này, chúng tơi trình bày ý tưởng để hình thành thuật tốn tính tốn số cho tốn chỉnh hóa (2.7)-(2.9) Nhìn chung, chúng tơi chủ yếu sử dụng phương pháp lặp để giải phần tính tốn ε , hε ), xấp xỉ chuỗi Fourier lẫn chuỗi đôi số Với số cho trước (gij ij biểu thức nghiệm chỉnh hóa (2.7) Vì sử dụng xấp xỉ đa thức lượng giác để xây dựng nên liệu Cauchy (g ε , hε ) từ ε , hε ) nên hệ số Fourier tính tốn theo cơng thức (3.7) (gij ij Việc cho thấy thừa nhận ý tưởng phương pháp xếp Fourier-collocation [9], chúng tơi đánh giá phương trình ( 2.7 ) điểm cho bước lặp Nói cách khác, chúng tơi tìm nghiệm số dạng khai triển Fourier hữu hạn Và đó, chuỗi đơi (2.7) thay chuỗi cắt ngắn phương trình (3.8) 36 Trong phần chia làm bước chính: bước thứ để tính tốn phần chuỗi đơi cơng thức, phần thứ hai để ước lượng phần tích phân (2.9) Phép biến đổi tính tốn vij → vmn chia làm bước: Bước 1: lặp với i = 1, M , wni := N +1 N vij sin nπj , ∀n = 1, N N +1 (3.12) wni sin mπi , ∀m = 1, M M +1 (3.13) j=1 Bước 2: lặp với j = 1, N , vˆmn := M +1 M i=1 Như trình bày phần lý thuyết, nghiệm tốn (2.7) - (2.9) tính dựa ngun lí điểm bất động, tính tốn quy nạp điểm bất động đến nhận α (u, z) hội tụ nghiệm Ví dụ, để tính tốn u (2.7), ta cần tính tích phân Jmn (2.9) từ u trước điểm z ∈ [0, T ] Do đó, việc tính tốn nên thực lưới cố định theo hướng z Chúng ta xác định lưới sau zk = (k − 1)δz , δz = T , k = 1, K K −1 (3.14) α (u, z ) đơn giản hố thành Với (m, n) ∈ N2 , tích phân Jmn k zk α Jmn (u, zk ) = w(s)ds, (3.15) z1 w(l) xác định wl = e−(T −zk +zl )λmn − e(zl −zk )λmn fmn (u(zl ), zl ), ∀l = 1, k −T λ mn 2λmn αλmn + e (3.16) Bây cần hàm tính tốn (3.15) dựa vào wl Với k = 2, k = α (u, z ) tính quy tắc hình thang quy tắc Simpson tương ứng Với k ≥ 4, Jmn k trước hết chúng tơi điều chỉnh tích phân w từ phân đoạn wl cách sử dụng phép nội suy Hermite Chẳng hạn w(s) = h1 (r)wj + h2 (r)δwj + h3 (r)wj+1 + h4 (r)δwj+1 , s ∈ [wj , wj+1 ], s − zj với j = 1, k − 1, r = , zj+1 − zj δwl =     w2 − w1 (wl+1 − wl )    wk − wk−1 l = 1, ≤ l ≤ k − 1, l = k 37 Các hàm Hermite h1 , h2 , h3 , h4 cho h1 (r) = 2r3 − 3r2 + 1, h2 (r) = r3 − 2r2 + r, h3 (r) = −2r3 + 3r2 , h4 (r) = r3 − r2 Để ý ta có w(zl ) = wl w (zl ) = δwl /δz với l = 1, k Tiếp theo w(s) vào α (u, z ) đẳng thức (3.15), kết hợp với việc tính tốn tích phân đa thức tay, Jmn k xấp xỉ k zj k w(s)ds = j=2 z j−1 j=2     11w1 + 14w2 − w3 , δz −wj−2 + 13wj−1 + 13wj − wj+1 24    −w k−2 + 14wk−1 + 11wk , j = 2, j k − 1, j = k Để kết thúc phần này, đẳng thức (2.7) xác định điểm (xi , yj , zk ) uαij (zk ) = Gαij (g, h, zk ) + Jijα (u, zk ), (3.17) với i = 1, M , j = 1, N , k = 1, K Ở đây, kí hiệu "ij " biểu thị cho giá trị u, Gα , J α điểm (xi , yj ) Suy α uˆαmn (zk ) = Gαmn (g, h, zk ) + Jmn (u, zk ), (3.18) với m = 1, M , n = 1, N , k = 1, K Cuối cùng, để tính tốn đẳng thức (3.16), chúng tơi sử dụng đẳng thức (3.7) với fmn (u(zl ), zl ) = (M + 1)(N + 1) 3.3 M N f (u(xi , yj , zl ), xi , yj , zl )sin i=1 j=1 mπi nπj sin M +1 N +1 Ví dụ số Trong phần này, chúng tơi chọn hàm U đóng vai trò nghiệm xác Chẳng hạn g(x, y) = U (x, y, 0), (3.19) h(x, y) = ∂z (x, y, 0) (3.20) Hàm nguồn f chọn cho U thoả mãn điều kiện (1) 38 Tiếp theo, để minh hoạ độ nhạy độ xác liệu nhiễu, chúng tơi lặp lại phép tính với nhiều liệu nhiễu Dữ liệu nhiễu xác định ε rand(·, ·) rand(·, ·) ngẫu nhiên khoảng [−1, 1] ε đóng vai trò "biên độ nhiễu" Ví dụ ε gij = g(xi , yj ) + ε rand(xi , yj ), (3.21) hεij = h(xi , yj ) + ε rand(xi , yj ), (3.22) với i = 1, M , j = 1, N , xi , yj , M, N định nghĩa (3.1) (3.2) Đặt zk định nghĩa (3.14) Mục đích việc thực nghiệm số để khảo sát sai số tương đối δ ε,α , chẳng hạn δ ε,α := M i=1 N α j=1 |u (xi , yj , c) − U (xi , yj , c)| M N i=1 j=1 |U (xi , yj , c)| (3.23) với α tiến trường hợp ε sau đây: ε , hε ) liệu xác ε = 0, (gij ij ε , hε ) đóng vai trò đánh giá sai số với liệu nhiễu ε > 0, (gij ij Chọn nghiệm xác U (x, y, z) = sin π(x + a) 2π(y + b) sin 2a 2b + z cos 5π(x + a) 6π(y + b) cos 2a 2b (3.24) Hàm nguồn f lấy dạng sin-Gordon sau f (u, x, y, z) = sin(u) + R(x, y, z) (3.25) R = ∆U − sin(U ) Miền Ω × [0, c] xác định a = b = c = 1.5 Độ phân giải lưới M × N × K = 101 × 101 × 101 Có thể thấy hàm U (·, ·, z) (3.24) không thoả mãn điều kiện (1) (2) mà thoả (2.31) biểu diễn dạng tổng hữu hạn hàm sin Bằng cách thiết lập toán (2.7) với T = c, ta có ε , hε ) hội tụ đến nghiệm xác U ε tiến nghiệm chỉnh hố uα có từ (gij ij Để đảm bảo dược điều kiện (2.30), chọn α đề xuất (2.58), cụ thể α(ε) = εt < t ≤ Duới kết thu cho chạy số ví dụ trường hợp t = 1.0 × 10−1 t = 1.0 × 10−2 39 ε 1.0 × 10−1 1.0 × 10−2 1.0 × 10−4 1.0 × 10−6 δ α,ε (t = 1.0 × 10−1 ) 1.4406 × 10−1 1.0670 × 10−1 4.1295 × 10−2 2.4781 × 10−2 δ α,ε (t = 1.0 × 10−2 ) 1.7703 × 10−1 1.7359 × 10−1 1.6627 × 10−1 1.5889 × 10−1 Tương tự, chúng tơi xét trường hợp α đề xuất (2.59), cụ thể chọn trường hợp với a0 = a1 = D = 1, a = b = 5×10−2 a0 = a1 = D = 1, a = b = 5×10−3 Với cách chọn α tương ứng α = ε ln 1ε 5.0×10−2 α = ε ln 1ε 5.0×10−3 ε 1.0 × 10−2 1.0 × 10−4 1.0 × 10−6 1.0 × 10−8 δ α,ε (a = b = 0.05) 1.3166 × 10−1 8.9152 × 10−2 5.3155 × 10−2 2.7771 × 10−2 δ α,ε (a = b = 0.005) 1.7602 × 10−1 1.7183 × 10−1 1.6785 × 10−1 1.6394 × 10−1 Hình 3.1: Hình minh hoạ cho hàm U (x, y, c) 40 Hình 3.2: Hình minh hoạ nghiệm xác với lưới M × N × K = 101 × 101 × 101 Hình 3.3: uα với ε = 1.0 × 10−1 , α(ε) = εt , t = 1.0 × 10−1 Hình 3.4: uα với ε = 1.0 × 10−2 , α(ε) = εt , t = 1.0 × 10−1 41 Hình 3.5: uα với ε = 1.0 × 10−4 , α(ε) = εt , t = 1.0 × 10−1 Hình 3.6: uα với ε = 1.0 × 10−6 , α(ε) = εt , t = 1.0 × 10−1 Hình 3.7: uα với ε = 1.0 × 10−2 , α(ε) = ε ln ε 0.05 42 Hình 3.8: uα với ε = 1.0 × 10−4 , α(ε) = ε ln ε 0.05 Hình 3.9: uα với ε = 1.0 × 10−6 , α(ε) = ε ln ε 0.05 Hình 3.10: uα với ε = 1.0 × 10−8 , α(ε) = ε ln ε 0.05 43 Kết luận kiến nghị Trong khố luận này, chúng tơi trình bày lại chi tiết chứng minh định lý, bổ đề phương pháp chọn để chỉnh hoá cho toán (1) - (4) báo [23] Khoá luận trình bày chi tiết lại ví dụ số báo [23] với hàm nguồn f có dạng sin-Gordon để minh hoạ cho phương pháp sử dụng 44 Tài liệu tham khảo [1] Dương Minh Đức (2005), Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc Gia Tp Hồ Chí Minh, Tp Hồ Chí Minh [2] James Stewart (2016), Giải tích - Calculus 7e - Tập 2, Nhà xuất Hồng Đức [3] Nguyễn Công Tâm (2001), Nhập mơn phương trình Vật lý - Tốn, NXB Đại học Quốc Gia Tp Hồ Chí Minh, Tp Hồ Chí Minh [4] Faker Ben Belgacem (2007), Why is the Cauchy problem severely ill-posed?, Inverse Probl 23 (2) 823, IOP Publishing [5] B Bin-Mohsin, D Lesnic (2011), The method of fundamental solutions for Helmholtz-type equations in composite materials, Comput Math Appl 62 (12) 4377–4390 [6] B Bin-Mohsin, D Lesnic (2014), Numerical reconstruction of an inhomogeneity in an elliptic equation, Inverse Probl Sci Eng 22 (1) 184–198 [7] L Elden, V Simoncini (2009), A numerical solution of a Cauchy problem for an elliptic equation by Krylov subspaces, Inverse Probl 25 (6) 065002 [8] J Hadamard (1923), Lectures on the Cauchy Problem in Linear Differential Equations, Yale University Press, New Haven, CT [9] J Hesthaven, S Gottlieb, D Gottlieb (2007), Spectral Methods for Time-Dependent Problems, Cambridge UP, Cambridge, UK [10] G Hogan (1988), Migration of ground penetrating radar data: a technique for locating subsurface targets, in: Proceedings of the Symposium on the Application of Geophysics to Engineering and Environmental Problems, U.S Goeligical Survey, Golden, CO, USA, March 28–31, Society of Engineering and Mineral Geophysics, pp 809–822 45 [11] H Jol, D Smith (1991), Ground penetrating radar of northern lacustrine delta, Can J Earth Sci 28 1939–1947 [12] D.R Kincaid, E.W Cheney (2002), Numerical Analysis: Mathematics of Scientific Computing, vol 2, American Mathematical Society [13] W.H Press, et al (2006), Numerical Recipes in Fortran 90, 2nd ed., Cambridge University Press, New York, 1996 [14] T Reginska, T Reginski (2006), Approximate solution of a Cauchy problem for the Helmholtz equation, Inverse Probl 22 975–989 [15] T Reginska, A Wakulicz (2009), Wavelet moment method for the Cauchy problem for the Helmholtz equation, J Comput Appl Math 223 218–229 [16] P.N Swarztrauber (2011), FFTPACK5, Computational Information Systems Laboratory, University Corporation for Atmospheric Research [17] Quoc Viet Tran, Nguyen Huy Tuan, Van Thinh Nguyen, Duc Trong Dang (2014), A general filter regularization method to solve the three dimensional Cauchy problem for inhomogeneous Helmholtz-type equations: theory and numerical simulation, Appl Math Model 38 (17–18) 4460–4479 [18] D.D Trong, P.H Quan, N.H Tuan (2009), A quasi-boundary value method for regularizing nonlinear ill-posed problems, Electron J Differential Equations 2009 (109) 1–16 [19] N.H Tuan, D.D Trong (2010), A nonlinear parabolic equation backward in time: regularization with new error estimates, Nonlinear Anal 73 (6) 1842–1852 [20] Nguyen Huy Tuan, Quoc Viet Tran, Van Thinh Nguyen (2013), Some remarks on a modified Helmholtz equation with inhomogeneous source, Appl Math Model 37 (3) 793–814 [21] Nguyen Huy Tuan, Le Duc Thang, Vo Anh Khoa (2015), A modified integral equation method of the nonlinear elliptic equation with globally and locally Lipschitz source, Appl Math Comput 265 245–265 [22] Nguyen Huy Tuan, Le Duc Thang, Dang Duc Trong, Vo Anh Khoa (2015), Approximation of mild solutions of the linear and nonlinear elliptic equations, Inverse Probl Sci Eng 23 (7) 1237–1266 46 [23] Quoc Viet Tran (2016), Mokhtar Kirane, Huy Tuan Nguyen, Van Thinh Nguyen, Analysis and numerical simulation of the three-dimensional Cauchy problem for quasi-linear elliptic equation, J Math Anal Appl 20681 47 Phụ lục (Chứng minh bổ đề 2.3.1) Chứng minh Ta có e−qλ e−qλ = p p αλ + e−qλ (αλ + e−qλ ) q (αλ + e−qλ )1− q e−qλ ≤ p p p = ; 1− (e−qλ ) q (αλ + e−qλ ) q (αλ + e−qλ )1− q Xét hàm số f (λ) = , với p > 0, q ≥ 0, α ∈ (0, q), λ > αλ + e−qλ α − qe−qλ f (λ) = − (αλ + e−qλ )2 α f (λ) = ⇐⇒ λ = − ln q q Bảng biến thiên α − ln q q λ + f (λ) +∞ − α q f (λ) ln αq + α q Suy f (λ) ≤ α q ln q α + α q ≤ α q với x ≥ ln αq Kết hợp q ≥ p, ta 1− pq (f (λ)) ≤ q α q ln α 1− pq = p ( αq ln αq )1− q B = max{1, q}; D = min{1, q} Từ suy điều phải chứng minh = α q ln q α p −1 q D ≤ B α ln α p −1 q , ... đồng thời nghiệm toán chỉnh xấp xỉ với nghiệm tốn gốc Việc làm gọi chỉnh hóa Phương pháp chỉnh hóa tốt sai số nghiệm thu so với nghiệm toán gốc nhỏ 16 Chương Chỉnh hoá tốn khơng chỉnh Trong chương... xét miền không gian chiều (3D) với nguồn không Trong thực tế, hàm nguồn phụ thuộc vào hàm u chưa biết Do đó, tốn nêu cần khảo sát chỉnh hoá Trong khoá luận này, chứng minh chi tiết lại bổ đề,... Bước tiếp theo, đề xuất nghiệm chỉnh hoá cho toán (1) - (4) 19 2.3 Các kết việc chỉnh hố tốn (1) - (4) 2.3.1 Chỉnh hoá toán (1) - (4) Cho T số với T ≥ c Với tham số chỉnh hoá α > phụ thuộc vào