BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN NGỌC CHIẾN BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU XÁC ĐỊNH BỞI PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC NỬA TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN NGỌC CHIẾN BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU XÁC ĐỊNH BỞI PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC NỬA TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Trần Đình Kế Hà Nội, 2017 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành luận văn nhận giúp đỡ to lớn Thầy, Cô giáo, gia đình bạn bè Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn PGS.TS Trần Đình Kế - Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Trong trình hướng dẫn động viên, giúp đỡ bảo tận tình cho Tôi gửi lời cảm ơn tới thầy cô Khoa Toán, Phòng sau đại học, Trường Đại học sư phạm Hà Nội giảng dạy giúp đỡ nhiều suốt trình học tập nghiên cứu luận văn Dù cố gắng luận văn tránh khỏi thiếu sót hạn chế Mọi ý kiến đóng góp xin đón nhận với lòng biết ơn trân trọng sâu sắc Hà Nội, tháng năm 2017 Tác giả Nguyễn Ngọc Chiến LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn kết nghiên cứu riêng hướng dẫn PGS.TS Trần Đình Kế Trong trình nghiên cứu, kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Các kết trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, tháng năm 2017 Tác giả Nguyễn Ngọc Chiến Mục lục Lời cảm ơn Lời cam đoan Mục lục MỞ ĐẦU Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Sobolev 1.1.1 Đạo hàm yếu 1.1.2 Không gian Sobolev 1.1.3 Không gian đối ngẫu H −1 1.2 Không gian hàm phụ thuộc thời gian 6 11 12 14 15 18 22 22 22 25 28 28 30 Toán tử nghiệm toán điều khiển 2.1 Phương trình parabolic nửa tuyến tính 2.2 Các giả thiết 2.3 Sự tồn cặp điều khiển tối ưu 2.4 Toán tử nghiệm toán tối ưu Điều kiện cần đủ tối ưu 3.1 Điều kiện cần cấp 3.1.1 Bài toán với điều khiển phân phối 3.1.2 Bài toán điều khiển biên 3.2 Điều kiện tối ưu cấp hai 3.2.1 Đạo hàm cấp hai toán tử nghiệm 3.2.2 Bài toán với điều khiển phân phối KẾT LUẬN 36 Tài liệu tham khảo 37 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Bài toán điều khiển tối ưu hệ điều khiển xác định phương trình đạo hàm riêng chủ đề nghiên cứu có tính thời tính ứng dụng cao kỹ thuật công nghệ Những kết điều kiện cần đủ tối ưu cho lớp phương trình đạo hàm riêng tuyến tính trình bày sách chuyên khảo Lions Tuy nhiên, kết tương tự cho lớp phương trình đạo hàm riêng phi tuyến chưa biết đến nhiều tính phức tạp phép tính biến phân tính không lồi tập ràng buộc Với mong muốn tìm hiểu sâu lý thuyết điều khiển tối ưu cho phương trình đạo hàm riêng phi tuyến, chọn đề tài Bài toán điều khiển tối ưu xác định phương trình parabolic nửa tuyến tính, nội dung nghiên cứu dựa kết trình bày [8] Bài toán mô tả sau: Cho Ω ⊂ RN , Q = Ω × (0, T ) Σ = ∂Ω × (0, T ) Tìm nghiệm (y, u, v) cực tiểu hóa phiếm hàm J(y, u, v) với (y, u, v) thỏa mãn hệ: yt − ∆y + d(x, t, y) = u Q ∂ν y + b(x, t, y) = v Σ, y(0) = y0 Ω, ∂ν đạo hàm theo phương pháp tuyến ν Trong mô hình trên, có ràng buộc bổ sung cho biến điều khiển (u, v) Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu điều kiện cần đủ tối ưu cho số lớp toán điều khiển xác định phương trình parabolic nửa tuyến tính Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu lý thuyết phương trình tiến hóa nửa tuyến tính; Tìm hiểu phép tính biến phân không gian Banach; Nghiên cứu toán điều khiển tối ưu xác định phương trình parabolic nửa tuyến tính; Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiêu cứu: Bài toán điều khiển tối ưu cho phương trình parabolic nửa tuyến tính • Phạm vi nghiên cứu: Điều kiện cần đủ cho tồn nghiệm tối ưu Phương pháp nghiên cứu Luận văn sử dụng số công cụ giải tích phương trình đạo hàm riêng bao gồm: • Giải tích biến phân; • Lý thuyết toán biên với phương trình parabolic nửa tuyến tính Dự kiến đóng góp Luận văn nghiên cứu tổng quan toán điều khiển tối ưu xác định phương trình parabolic nửa tuyến tính, dựa tài liệu [8] Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày khái niệm kết liên quan đến không gian Sobolev Chi tiết tìm tài liệu [1] 1.1 Không gian Sobolev Cho Ω ⊂ Rn miền α = (α1 , , αn ) ∈ Nn gọi đa số Độ dài đa số α xác định |α| = α1 + + αn Với hàm khả vi u : Ω → R, ta ký hiệu Dα u = Nếu ký hiệu Di = 1.1.1 ∂ |α| u ∂xα1 ∂xαnn ∂ ta viết Dα = D1α1 Dnαn ∂xi Đạo hàm yếu Ta ký hiệu Cc∞ (Ω) không gian hàm xác định Ω, khả vi vô hạn có giá compact, tức là, supp u := {x ∈ Ω : u(x) = 0} tập compact Định nghĩa 1.1.1 (Đạo hàm yếu) Giả sử u, v ∈ L1loc (Ω) α đa số Ta nói v đạo hàm yếu cấp α u uDα φdx = (−1)|α| Ω vφdx (1.1) Ω với hàm thử φ ∈ Cc∞ (Ω) Kí hiệu: Dα u = v Bổ đề 1.1.1 (Tính đạo hàm yếu) Một đạo hàm yếu cấp α u tồn xác định cách (sai khác tập có độ đo không) 1.1.2 Không gian Sobolev Cố định ≤ p ≤ ∞ cho k số nguyên không âm Bây ta định nghĩa không gian hàm mà thành phần có đạo hàm yếu nằm không gian Lp Định nghĩa 1.1.2 Không gian Sobolev Wpk (Ω) tập gồm tất hàm khả tổng địa phương u : Ω → R cho với đa số α, |α| ≤ k , đạo hàm yếu Dα u tồn thuộc Lp (Ω) Nếu p = ta có H k (Ω) = W2k (Ω), (k = 0, 1, ) không gian Hilbert Chú ý H (Ω) = L2 (Ω) Định nghĩa 1.1.3 Nếu u ∈ Wpk (Ω), ta định nghĩa chuẩn  1/p      |Dα u|p dx , ≤ p < ∞  u Wpk (Ω) := Ω |α|≤k       |α|≤k ess sup |Dα u|, p = ∞ Ω k Định nghĩa 1.1.4 Cho {um }∞ m=1 , u ∈ Wp (Ω) Ta nói um hội tụ đến u Wpk (Ω) lim m→∞ um − u Wpk (Ω) = 0, kí hiệu um → u Wpk (Ω) Ta nói k (Ω) um → u Wp,loc um → u Wpk (Ω ) với Ω ⊂⊂ Ω Định nghĩa 1.1.5 Bao đóng Cc∞ (Ω) Wpk (Ω) kí hiệu Wpk (Ω) Như vậy, u ∈ Wpk (Ω) tồn hàm um ∈ Cc∞ (Ω) cho um → u Wpk (Ω) Ta coi Wpk (Ω) tập hợp hàm Wpk (Ω) cho "Dα u = ∂Ω" với |α| ≤ k − Kí hiệu: H0k (Ω) = W2k (Ω) Ta có khẳng định sau Định lý 1.1.1 (Không gian Sobolev không gian hàm) Với k = 1, 2, , ≤ p ≤ ∞, không gian Sobolev Wpk (Ω) không gian Banach Định nghĩa 1.1.6 Nếu ≤ p < n, ta gọi số liên hợp Sobolev p p∗ := np n−p Chú ý rằng: 1 = − ∗ p p n (p∗ > p) Định lý 1.1.2 (Định lí compact Rellich-Kondrachov) Giả thiết Ω tập mở, bị chặn Rn , ∂Ω C Giả sử ≤ p < n, ta có phép nhúng compact Wp1 (Ω) ⊂⊂ Lq (Ω), với ≤ q < p∗ 1.1.3 Không gian đối ngẫu H −1 Định nghĩa 1.1.7 Không gian đối ngẫu H01 (Ω) kí hiệu H −1 (Ω): f ∈ H −1 (Ω) f phiếm hàm tuyến tính bị chặn H01 (Ω) Định nghĩa 1.1.8 Chuẩn f ∈ H −1 (Ω) xác định sau f H −1 (Ω) = sup f, u | u ∈ H01 (Ω), u H01 (Ω) ≤1 Ta viết f, u để kí hiệu giá trị f ∈ H −1 (Ω) u ∈ H01 (Ω) Định lý 1.1.3 (Cấu trúc H −1 ) Giả thiết f ∈ H −1 (Ω) Khi tồn hàm f , f , , f n L2 (Ω) cho n f, v = f i vxi f v+ Ω dx (v ∈ H01 (Ω)) (1.2) i=1 Hơn nữa, 1/2 n f H −1 (Ω) |f i |2 dx = inf Ω i=0 | f thỏa mãn (1.2) Với Điều kiện 2.2.1, f khả vi Fréchet L∞ (Q), tính khả vi J G Rõ ràng, Vad tập lồi Do đó, v điều khiển tối ưu địa phương v ∈ Vad bất kỳ, với λ > đủ nhỏ ta có f (v + λ(v − v)) − f (v) ≥ Chia cho λ qua giới hạn λ ↓ 0, ta có kết sau Bổ đề 3.1.1 Giả sử Điều kiện (2.2.1) thỏa mãn Khi điều khiển tối ưu cục v toán (3.1)-(3.3) thỏa mãn bất đẳng thức biến phân f (v)(v − v) ≤ ∀v ∈ Vad (3.4) Chứng minh: Tính đạo hàm f theo quy tắc hàm hợp f (v)(v − v) = Jy (y, v)G (v)(v − v) + Jv (y, v)(v − v) = φy (x, y (x, T )) y (x, T ) Ω ϕy (x, t, y (x, t) v (x, t))y (x, t) dxdt + Q + ψy (x, t, y (x, t)) y (x, t) dsdt Σ ϕv (x, t, y (x, t) , v (x, t)) (v (x, t) − v (x, t)) dxdt, + (3.5) Q y = G (v)(v − v) nghiệm toán tuyến tính hóa yt − ∆y + d(x, t, y)y = v − v, ∂v y + by (x, t, v)y = 0, y(0) = (3.6) Ta khử y từ (3.5) cách sử dụng hàm liên hợp p = p(x, t) Xét toán liên hợp −pt − ∆p + dy (x, t, y)p = ϕy (x, t, y, v), ∂v p + by (x, t, y)p = ψy (x, t, v), p(x, T ) = φy (x, y(x, T )), (3.7) với hàm trạng thái thuộc W (0, T )∩L∞ (Q)∩C([0, T ), C(Ω)) Có thể chứng minh tồn tính quy p ∈ W (0, T ) lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, ta đổi biến τ := T − t Hơn nữa, φ(x, y) liên tục Ω × R, hàm x → φy (x, y(x, T )) liên tục Ω Trong trường hợp này, ta có p ∈ W (0, T ) ∩ C(Q) 23 Bổ đề 3.1.2 Giả sử y nghiệm yếu toán tuyến tính hóa (3.6) p nghiệm yếu (3.7) Khi với v ∈ L2 (Q), φy (x, y (x, T )) y (x, T ) dx + ϕy (x, t, y (x, t) , v (x, t))y (x, t) dxdt Q Ω + ψy (x, t, y (x, t)) y (x, t) ds (x) dt Σ p(x, t) (v (x, t) − v (x, t)) dxdt = Q Từ (3.5), ta tính f (v) sau: f (v)v = (3.8) (p + ϕv (x, t, y, v)) vdxdt Q Hơn nữa, ta có điều kiện cần tối ưu: Định lý 3.1.1 Giả sử Điều kiện 2.2.1 thỏa mãn v điều khiển tối ưu cục toán (3.1)-(3.3) Nếu p ∈ W (0, T ) ∩ L∞ (Q) trạng thái liên hợp xác định (3.7) ta có bất đẳng thức biến phân (p + ϕv (x, t, y, v)) (v − v) dxdt ≥ 0, ∀v ∈ Vad (3.9) Q Kết luận: Giả sử giả thiết Định lý 3.1.1 thỏa mãn v điều khiển tối ưu cục (2.7)-(2.9), p trạng thái liên hợp Khi giá trị tối ưu toán va (x,t)≤v≤vb (x,t) {(p(x, t) + ϕv (x, t, y¯, v¯)))v} (3.10) đạt v = v(x, t), với hầu khắp (x, t) ∈ Q Trường hợp đặc biệt: Giả sử ϕ (x, t, y, v) := ϕ (x, t, y) + λ2 v , với λ > Khi φv (x, t, y, v) = λv ; toán {(p(x, t) + λ¯ v ))v} va (x,t)≤v≤vb (x,t) với hầu khắp (x, t) ∈ Q, đạt giá trị tối ưu v = v(x, t) Từ ta có công thức chiếu v (x, t) = P[va (x,t),vb (x,t)] − λ1 p (x, t) Ví dụ Xét toán "siêu dẫn": J(y, v) = y(·, T ) − yΩ 2 L2 (Ω) 24 + y − yΣ 2 L2 (Σ) + λ v 2 L2 (Q) , với ràng buộc yt − ∆y + y = v, ∂ν y + β(x, t)y = 0, y(·, 0) = y0 , −1 ≤ v(x, t) ≤ với hầu khắp (x, t) ∈ Q Đây trường hợp đặc biệt toán (2.7)-(2.9) với hàm λ Φ(x, y) = (y − yΩ (x))2 , φ(x, t, y, v) = v , 2 ψ(x, t, y) = (y − yΣ (x, t)) , d(x, t, y) = y , b(x, t, y) = β(x, t)y Giả sử y0 ∈ C(Ω), β ∈ L∞ (Σ) với β ≥ 0, y ∈ C(Ω) y ∈ L∞ (Σ) Khi điều kiện (đo theo (x, t), bị chặn, khả vi, đơn điệu d, tính lồi ϕ theo v ) thỏa mãn, tồn điều khiển tối ưu v Hệ liên hợp với p ∈ W (0, T ) ∩ C(Q) viết sau −pt − ∆p + 3y p = 0, ∂ν p + βp = y − yΣ , p(·, T ) = y(·, T ) − yΩ Ta có bất đẳng thức biến phân (λv + p) (v − v) dxdt ≥ ∀ v ∈ Vad , Q từ đó, với λ > 0, ta có v(x, t) = −sign p(x, t) 3.1.2 Bài toán điều khiển biên Điều kiện cần tối ưu cho toán điều khiển biên xây dựng theo cách tương tự Xét toán J (y, u) := φ (x, y (x, T )) dx + Ω ϕ(x, t, y (x, t))dxdt Q + ψ (x, t, y (x, t) , u (x, t)) dsdt (3.11) Σ với ràng buộc yt − ∆y + d(x, t, y) = Q, ∂ν y + b(x, t, y) = u Σ, y(0) = y0 Ω, 25 (3.12) ua (x, t) ≤ u(x, t) ≤ ub (x, t) với hầu khắp (x, t) ∈ Σ (3.13) Toán tử nghiệm G = G(u) : u → y(u) xác định L∞ (Σ) lấy giá trị W (0, T ) ∩ C(Q), y0 ∈ C(Ω) Ta sử dụng lý luận tương tự toán với điều khiển phân phối Đạo hàm theo hướng phiếm hàm giá rút gọn f (u) = J(G(u), u) u theo hướng u cho f (u) u = (3.14) (p + ψu (x, t, y, u)) dsdt, Σ p ∈ W (0, T ) ∩ L∞ (Q) nghiệm toán liên hợp −pt − ∆p + dy (x, t, y)p = ϕy (x, t, y) ∂ν p + by (x, t, y)p = ψy (x, t, y, u) (3.15) p(x, T ) = φy (x, y(x, T )) Tương tự Định lý 3.1.1, ta có kết sau Định lý 3.1.2 Giả sử Điều kiện 2.2.1 thỏa mãn Cho u điều khiển tối ưu cục toán (3.11)-(3.13), p ∈ W (0, T ) ∩ L∞ (Q) trạng thái liên hợp xác định (3.15) Khi ta có bất đẳng thức biến phân (p + ψu (x, t, y, u)) (u − u) dsdt ≥ ∀u ∈ Uad (3.16) Σ Hơn ta có giá trị cực tiểu toán ua (x,t)≤u≤ub (x,t) {(p (x, t) + ψu (x, t, y (x, t) , u (x, t)) u} , (3.17) với hầu khắp (x, t) ∈ Σ, đạt u = u(x, t) Ví dụ Xét toán J (y, u) := y (., T ) − yΩ 2 L2 (Ω) + y − yQ với ràng buộc yt − ∆y = 0, ∂ν y + y |y| = u, y(0) = y0 , 26 L2 (Q) + λ u L2 (Σ) , ≤ u(x, t) ≤ Đây trường hợp đặc biệt toán điều khiển biên với 1 Φ(x, y) = (y − yΩ (x))2 , ϕ(x, t, y) = (y − yQ (x, t))2 , 2 ψ(x, t, y, u) = u , b(x, t, y) = y |y| Ở ta giả sử yΩ , y0 ∈ C(Ω) Khi Điều kiện 2.2.1 thỏa mãn, ψ lồi theo biến u Suy ra, có điều khiển tối ưu u Do by (y) = 4y |y|, ta có toán liên hợp −pt − ∆p = y − yQ , ∂ν p + 4y |y|p = 0, p(·, T ) = y(·, T ) − yΩ Cùng với p ∈ W (0, T ) ∩ C(Q), u thỏa mãn bất đẳng thức biến phân (λu + p) (u − u) dsdt ≥ 0, ∀u ∈ Uad Σ Hơn với λ > ta có u (x, t) = P[0,1] − p (x, t) λ với hầu khắp (x, t) ∈ Σ Do p liên tục, ta suy u liên tục Σ Bài toán tổng quát Kết hợp kết cho toán điều khiển phân phối điều khiển biên, ta đưa điều kiện cần tối ưu cho toán tổng quát Khi trạng thái liên hợp p nghiệm toán: −pt − ∆p + dy (x, t, y)p = ϕy (x, t, y, v) Q, ∂ν p + by (x, t, y)p = ψy (x, t, y, u) Σ, p(x, T ) = φy (x, y(x, T )) Ω (3.18) Định lý 3.1.3 Giả sử Điều kiện 2.2.1 thỏa mãn (v, u) cặp điều khiển tối ưu cục cho toán (2.7)–(2.9), p ∈ W (0, T ) ∩ L∞ (Q) trạng thái liên hợp xác định (3.18) Khi đó, bất đẳng thức biến phân (3.9) (3.16) với điều kiện (3.10) (3.17) thỏa mãn Chứng minh Điều kiện cần cho v suy từ việc v điều khiển tối ưu toán (2.7)- (2.9) với u = u cố định, thực chất trường hợp toán điều khiển phân phối (3.1)-(3.3) ta thay b(x, t, y) := b(x, t, y) − u(x, t) Tương tự, u điều khiển tối ưu toán tổng quát với v cố định Theo cách này, ta có cặp điều khiển tối ưu toán ban đầu 27 Chú ý Trong điều kiện cần thiết lập, ta sử dụng tính bị chặn tính Lipschitz bậc k = Điều kiện 2.2.1 3.2 3.2.1 Điều kiện tối ưu cấp hai Đạo hàm cấp hai toán tử nghiệm Xét toán điều khiển tối ưu (2.7) - (2.9) Ta có kết sau Định lý 3.2.1 Giả sử Điều kiện 2.2.1 thỏa mãn Khi đó, toán tử nghiệm G : (v, u) → y ứng với toán hỗn hợp (2.8) khả vi liên tục hai lần theo nghĩa Fréchet từ không gian L∞ (Q) × L∞ (Σ) vào W (0, T ) × C(Q) Chứng minh Ta sử dụng định lý hàm ẩn Ta xét y = G(v, u) Phương trình cho y viết lại sau yt − ∆y = v − d(x, t, y) Q, ∂ν y = u − b(x, t, y) Σ, y(0) = y0 Ω Phần tuyến tính vế trái phân tích thành toán tử GQ : L∞ (Q) → Y := W (0, T ) ∩ C(Q), GΣ : L∞ (Σ) → Y G0 : C(Ω) → Y , ứng với toán yt − ∆y = v Q ∂ν y = u Σ y(0) = w Ω theo cách: y = GQ v với u = 0, w = y = GΣ u với v = 0, w = y = G0 w với u = 0, v = Ta xem xét toán tử ánh xạ với miền giá trị C(Q) Khi nghiệm y toán phi tuyến biểu diễn dạng y = GQ (v − d(·, y)) + GΣ (u − b(·, y)) + G0 y0 , hay tương đương = y − GQ (v − d(·, y)) − GΣ (u − b(·, y)) − G0 y0 =: F (y, v, u) 28 (3.19) Bằng cách ta tránh việc xét toán tử đạo hàm Rõ ràng, F khả vi Fréchet cấp hai từ C(Q) × L∞ (Q) × L∞ (Σ) vào C(Q) Thật vậy, GQ , GΣ G0 tuyến tính liên tục toán tử Nemytskii y → d(·, y) y → b(·, y) khả vi liên tục hai lần theo nghĩa tương ứng từ C(Q) vào L∞ (Q) L∞ (Σ) Mặt khác, đạo hàm Fy (y, v, u) khả nghịch C(Q) Do đó, theo định lý hàm ẩn, phương trình F (y, v, u) = có nghiệm y = y(v, u) lân cận mở điểm (y, v, u) Hơn nữa, ánh xạ (v, u) → y khả vi liên tục hai lần Do y = G(v, u) nghiệm, ta kết luận G khả vi liên tục hai lần Định lý 3.2.2 Giả sử Điều kiện 2.2.1 thỏa mãn Khi đạo hàm cấp hai toán tử G (v, u) xác định G (v, u)[(v1 , u1 ), (v2 , u2 )] = z, với z nghiệm yếu toán zt − ∆z + dy (x, t, y) = −dyy (x, t, y){y1 y2 + y1 w2 + w1 y2 + w1 w2 }, ∂ν z + by (x, t, y)z = −byy (x, t, y){y1 y2 + y1 w2 + w1 y2 + w1 w2 }, y(0) = 0, với y = G(v, u), hàm yi , wi ∈ W (0, T ), i = 1, 2, nghiệm toán tuyến tính hóa: ∂yi − ∆yi + dy (x, t, y)yi = 0, ∂t ∂ν yi + b(x, t, y)yi = ui yi (0) = 0, ∂wi − ∆wi + dy (x, t, y)wi = vi ∂t ∂ν wi + by (x, t, y)wi = 0, wi (0) = Chứng minh Ánh xạ đạo hàm G (v, u) xác định đạo hàm riêng cấp hai dạng G (v, u)[(u1 , v1 ), (u2 , v2 )] = Guu [u1 , u2 ] + Guv [u1 , v2 ] + Gvu [v1 , u2 ] + Gvv [v1 , v2 ], toán tử Guu , Guv , Gvu Gvv xác định đạo hàm theo hướng ui vi Ví dụ với v1 = v2 = 0, ta tính Guu Ta bắt đầu (3.19), y = G(v, u) = GQ (v − d(·, ·, G(v, u))) + GΣ (u − b(·, ·, G(v, u))) + G0 y0 29 Lấy đạo hàm theo hướng u1 , ta có G(v, u)u1 = −GQ dy (·, ·, G(v, u))G(v, u)u1 + GΣ u1 − GΣ by (·, ·, G(v, u))Gu (v, u)u1 Đạo hàm theo hướng thứ hai ta có Guu (v, u)[u1 , u2 ] = −GQ dyy (·, ·, G(v, u))(Gu (v, u)u1 )(Gu (v, u)u2 ) + dy (·, ·, G(v, u))Guu (v, u)[u1 , u2 ] − GΣ byy (·, ·, G(v, u))(Gu (v, u)u1 )(Gu (v, u)u2 ) + by (·, ·, G(v, u))Guu (v, u)[u1 , u2 ] Đặt y = G(v, u), yi = Gu (v, u)ui , zuu := Guu (v, u)[u1 , u2 ] ta có zuu = −GQ dyy (·, ·, y)y1 y2 + dy (·, ·, y)zuu − Gbyy (·, ·, y)y1 y2 + by (·, ·, y)zuu , y1 y2 nghiệm toán phát biểu Theo cách xác định GQ , GΣ G0 , hàm zuu nghiệm toán zt − ∆z + dy (x, t, y)z = −dyy (x, t, y)y1 y2 , ∂ν z + by (x, t, y)z = −byy (x, t, y)y1 y2 , y(0) = Do ta xác định zuu biểu diễn z khẳng định định lý Ba thành phần sau xác định theo cách tương tự: Guv [u1 , u2 ] với u2 = v1 = 0, Gvu [v1 , u2 ] với u1 = v2 = 0, Gvv [v1 , v2 ] với u1 = u2 = Sự kết hợp bốn thành phần cho ta biểu diễn z phát biểu định lý dạng ánh xạ đạo hàm G Với kết này, ta phát biểu chứng minh điều kiện đủ cho tối ưu cục Ta thực với xuất điều khiển phân phối điều khiển biên đồng thời Tuy vậy, để tránh tính toán biểu diễn phức tạp, ta xử lý hai trường hợp (điều khiển phân phối điều khiển biên) riêng rẽ Ta làm với trường hợp điều khiển phân phối, trường hợp lại thực tương tự 3.2.2 Bài toán với điều khiển phân phối Một lần nữa, ta xét toán (3.1) - (3.3) Giả sử điều khiển v ∈ Vad thỏa mãn điều kiện cần cấp p trạng thái liên hợp tương ứng xác định 30 (3.7) Khi ta có bất đẳng thức biến phân (3.9), (p + ϕv (x, t, y, v)) (v − v) dxdt ≥ ∀ v ∈ Vad Q Cách thuận tiện để xây dựng điều kiện đủ cấp hai sử dụng hàm Lagrange, với toán (3.1)-(3.3), hàm có dạng L (y, v, p) = J(y, v) − ((yt + d (x, t, y) − v)p + ∇y · ∇p)dxdt Q − b (x, t, y) pdsdt Σ Đạo hàm cấp hai L xác định tường minh sau L (y, v, p) (y, v)2 = J (y, v) (y, v)2 − (pdyy (x, t, y)) y dxdt Q (pbyy (x, t, y)) y dsdt, − Σ J (y, v) (y, v)2 = φyy (x, y (x, T )) y(x, T )2 dx + Ω ψyy (x, t, y) y dsdt Σ y v + ϕyy (x, t, y, v) ϕyv (x, t, y, v) ϕvy (x, t, y, v) ϕvv (x, t, y, v) y v dxdt Q Ta có định nghĩa sau: Định nghĩa 3.2.1 Với τ ≥ 0, tập hợp Aτ (v) = {(x, t) ∈ Q : |p(x, t) + ϕ(x, t, y(x, t), v(x, t))| > τ } gọi tập ràng buộc mạnh v Tập hợp sử dụng để kiểm tra tính xác định dương L với nghiệm y toán tuyến tính hóa: yt − ∆y + (x, t, y)y = v Q, ∂ν y + by (x, t, y)y = Σ, y(0) = Ω 31 (3.20) Định nghĩa 3.2.2 Nón τ -tới hạn C(v) tập hàm v ∈ L∞ (Q) thỏa mãn    = (x, t) ∈ Aτ (¯v ) (3.21) v(x, t) = ≥ v¯ (x, t) = va (x, t) ∈ / Aτ (¯ v)   ≤ v¯ (x, t) = v (x, t) ∈ / A (¯ v) τ b Tùy thuộc vào dấu p + ϕv Aτ (v) ta có v = va v = vb , tùy theo dấu xác định Ta chọn v = điểm mà gradient hàm giá, tức hàm p + ϕ(x, t, y, v), có giá trị tuyệt đối nhỏ τ Ta phải giả thiết τ > trường hợp hệ vô hạn chiều Khi điều kiện đủ cấp hai xác định sau Tồn số δ > τ > cho L (y, v, p) (y, v)2 ≥ δ v L2 (Q) (3.22) với v ∈ Cτ (v) y ∈ W (0, T ) nghiệm (3.20) Định lý 3.2.3 Giả sử Điều kiện 2.2.1 thỏa mãn, cặp điều khiển (y, v) thỏa mãn điều kiện cần cấp Định lý 3.1.1 với ràng buộc toán (3.1)-(3.3) Hơn nữa, giả sử tồn số δ > τ > cho điều kiện xác định dương (3.22) thực Khi tồn số ε > σ > cho v ∈ V với v − v L∞ (Q) ≤ ε, với nghiệm y(v) toán (3.2), thỏa mãn điều kiện J(y, v) ≥ J(y, v) + σ v − v L2 (Q) Nói riêng, v điều khiển tối ưu cục L∞ (Q) Chứng minh (i) Xét G : L∞ (Q) → W (0, T )∩C(Q), v → y toán tử nghiệm Ta biết G khả vi liên tục hai lần theo nghĩa Fréchet Đặt f (v) := J(y(v), v) = J(G(v), v), ta có f (v)[v1 , v2 ] = L (y, v, p)[(y1 , v1 ), (y2 , v2 )], (3.23) p trạng thái liên hợp ứng với (y, v) yi := G (v)vi , i = 1, 2, nghiệm toán tuyến tính hóa với vế phải vi Với ký hiệu này, f (v) đánh giá thông qua L2 -chuẩn số gia |f (v)[v1 , v2 ]| ≤ |L (y, v, p) [(y1 , v1 ) , (y2 , v2 )] ≤c + y2 y1 W (0,T ) W (0,T ) ≤ c v1 L2 (Q) y2 W (0,T ) v1 L2 (Q) v2 L2 (Q) + y1 + v1 L2 (Q) W (0,T ) v2 32 v2 L2 (Q) L2 (Q) + v1 (3.24) L2 (Q) v2 L2 (Q) Ở ta sử dụng tính liên tục G (v) biểu diễn yi = G (v) ánh xạ từ L2 (Q) vào W (0, T ) c > số Đánh giá sử dụng phần (iii) Chú ý f (v) biểu diễn, với g := p + ϕ(·, ·, y, v), dạng f (v) h = g (x, t) h (x, t) dxdt Q (ii) Khai triển Taylor Giả sử v(·) ∈ Vad với v − v bất đẳng thức biến phân (L∞ (Q)) ≤ ε Với hầu khắp (x, t) ∈ Q, ta có g (x, t) (v − v (x, t)) ≥ 0, ∀v ∈ [va (x, t) , vb (x, t)] Do với h(x, t) = v(x, t) − v(x, t), f (v) − f (v) = f (v) h + f (v) h2 + r2f g (x, t) h (x, t) dxdt + f (v) h2 + r2f ≥ Aτ (v) |h (x, t)| dxdt + f (v) h2 + r2f ≥τ Aτ (v) Ở r2f = r2f (v, h) số dư cấp hai khai triển Taylor f Ta phân tích h := h0 + h1 , h0 (x, t) := h (x, t) (x, t) ∈ / Aτ (x, t) ∈ Aτ Theo cách xác định, ta có h0 ∈ Cτ (v), h0 thỏa mãn điều kiện dấu nón tới hạn Với hàm này, ta có |h (x, t)| dxdt + f (v) (h0 + h1 )2 + r2f f (v) − f (v) ≥ τ Aτ (v) (iii) Ước lượng f (v) (h0 + h1 )2 Sử dụng (3.22), h0 ∈ Cτ (v), biểu diễn (3.23), ta thấy δ f (v) h0 ≥ h0 2 33 L2 (Q) (3.25) Nhờ bất đẳng thức Young, ta suy từ (3.24) f (v) [h0 + h1 ] ≤ c h0 δ h0 δ ≤ h0 ≤ h L∞ (Q) h1 L2 (Q) δ h0 L2 (Q) h1 L∞ (Q) ≤ c2 ε h1 L1 (Q) ≤ L2 (Q) L2 (Q) + c h1 L2 (Q) + cε h1 L1 (Q) + c h1 L2 (Q) L1 (Q) ≤ ε Bằng cách tương tự, f (v) h21 ≤ c h1 2 L2 (Q) Kết hợp đánh giá trên, ta có δ f (v) (h0 + h1 )2 ≥ h0 2 δ ≥ h0 δ h0 L2 (Q) − L2 (Q) L2 (Q) − (c1 + c2 ) ε h1 + (c1 + c2 ) ε h1 L1 (Q) L1 (Q) τ Chọn ε > đủ nhỏ cho ε(c1 + c2 ) ≤ Do h1 = Ω\Aτ , ta suy h1 |h1 | dxdt = L1 (Q) Aτ (v) Thay vào (3.25) ta f (v) − f (v) ≥ τ τ |h| dxdt − Aτ (v) ≥ τ |h| dxdt + δ h0 L2 (Q) + r2f (3.26) Aτ (v) |h| dxdt + δ h0 L2 (Q) + r2f (3.27) Aτ (v) Không tính tổng quát, ta chọn ε ≤ Khi theo cách xác định h, ta có |h(x, t)| ≥ h(x, t)2 Do h0 L2 (Q) h2 dxdt = Q\Aτ (v) ta thu f (v) − f (v) ≥ τ h2 dxdt + δ h L2 (Q\Aτ ) + r2f Aτ (v) ≥ 34 τ δ , h L2 (Q) + r2f Số dư r2f (v, h) thỏa mãn r2f (v,h) h 2L2 (Q) → h L∞ (Q) → Do với ε > đủ nhỏ, ta có ước lượng f (v) − f (v) ≥ τ δ , thỏa mãn yêu cầu 35 h L2 (Q) =σ h L2 (Q) , Kết luận Luận văn nghiên cứu toán điều khiển tối ưu phương trình parabolic nửa tuyến tính tổng quát Các kết trình bày dựa tài liệu [Trolt], bao gồm: Sự tồn cặp điều khiển tối ưu Điều kiện cần tối ưu cấp Điều kiện đủ tối ưu cấp hai Các kết luận văn phát triển cho số lớp phương trình tiến hóa cấp như: phương trình parabolic suy biến, phương trình tiến hóa có trễ 36 Tài liệu tham khảo [1] R.A Adams, J.F Fournier, (2003), Sobolev Spaces, Second Edition, Elsevier [2] E Casas, (1997), Pontryagin’s principle for state-constrained boundary control problems of semilinear parabolic equations, SIAM J Control Optim 35, 1297-1327 [3] J.-P Raymond and H Zidani, (1999), Hamiltonian Pontryagin’s principles for control problems governed by semilinear parabolic equations, Appl Math Optim 39, 143-177 [4] O A Ladyzhenskaya, V A Solonnikov, and N N Uralceva, (1968), Linear and Quasilinear Equations of Parabolic Type, American Mathematical Society, Providence [5] J.L Lions, (1971), Optimal Control of Systems Governed by Partial Differential Equations, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York [6] J A Griepentrog, (2007), Maximal regularity for nonsmooth parabolic problems in Sobolev- Morrey spaces, Adv Differential Equations 12, 1031-1078 [7] J A Griepentrog, (2007), Sobolev-Morrey spaces associated with evolution equations, Adv Differential Equations 12, 781-840 [8] F Tr¨oltzsch, (2000), Optimal Control of Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island 37 ... thuyết điều khiển tối ưu cho phương trình đạo hàm riêng phi tuyến, chọn đề tài Bài toán điều khiển tối ưu xác định phương trình parabolic nửa tuyến tính, nội dung nghiên cứu dựa kết trình bày [8] Bài. .. định phương trình parabolic nửa tuyến tính; Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiêu cứu: Bài toán điều khiển tối ưu cho phương trình parabolic nửa tuyến tính • Phạm vi nghiên cứu: Điều. .. 30 Toán tử nghiệm toán điều khiển 2.1 Phương trình parabolic nửa tuyến tính 2.2 Các giả thiết 2.3 Sự tồn cặp điều khiển tối ưu 2.4 Toán tử nghiệm toán tối ưu