Phát triển t duy cho học sinh giỏi Toán thông qua bài toán chứng minh bất đẳng thức Phần A : Mở đầu I. Lý do chọn đề tài: Trong dạy học toán thì việc tìm ra những phơng pháp giảng dạy phù hợp với trình độ học sinh đại trà và bồi dỡng cho học sinh khá giỏi trong các triết tự chọn và trong ôn luyện học sinh giỏi, trang bị cho các em những kiến thức cơ bản những phơng pháp giải toán là một yêu cầu rất quan trọng, đòi hỏi ngời giáo viên phải biết lựa chọn, phối hợp tốt các phơng pháp giảng dạy. Việc lựa chọn những ví dụ điển hình mang bản chất minh hoạ lí thuyết, hệ thống các bài tập cơ bản, không những khắc sâu kiến thức mà còn phát triển t duy là rất quan trọng. Thông qua dạy học toán, ngời học đợc cung cấp những kĩ năng tính toán, những thao tác t duy, đặc biệt là có điều kiện rèn luyện và phát triển t duy lôgíc. Điều này đợc thể hiện rõ trong việc giải các bài tập toán, mà đặc biệt là việc giải các bài toán bất đẳng thức, nó là điều kiện tốt để phát triển những phẩm chất nói trên. Thực trạng hiện nay học sinh học ở các trờng THCS khi giải các bài toán có liên quan đến bất đẳng thức, các em thờng gặp phải những khó khăn và rất lúng túng trong việc xác định đợc các cách giải nguyên do là: - Thời lợng và kiến thức đa vào chơng trình THCS tơng đối ít, không liền mạch, phơng pháp giải còn hạn chế. Giáo viên khi dạy về vấn đề này thờng chỉ chữa các bài tập chứ ít chú ý đến việc khai thác, phân tích, đa ra phơng pháp giải cho từng dạng toán cơ bản nhằm phát triển t duy cho học sinh . - Học sinh thờng ngại giải các bài toán liên quan đến bất đẳng thức, việc tìm ra h- ớng giải còn gặp nhiều khó khăn, việc áp dụng các bất đẳng thức cơ bản cha thuần thục, xét các trờng hợp còn sai, lời giải lập luận cha khao học, cha rõ ràng. - Qua tìm hiểu thực tế, từ giảng dạy một số lớp trong các tiết luyện tập, các tiết tự chọn, trong quá trình dạy ôn các đội tuyển học sinh giỏi, bản thân tôi đã tích luỹ đ- ợc một số kinh nghiệm phát triển t duy cho học sinh THCS qua bài toán bất đẳng thức, tôi xin đợc trình bày ở đây một chút hiểu biết ở góc độ nhỏ, luôn mong muốn Trờng THCS Thị Trấn Cành Nàng Bá THớc GV: Hoàng Xuân Thìn 1 Phát triển t duy cho học sinh giỏi Toán thông qua bài toán chứng minh bất đẳng thức những vấn đề này sẽ là kinh nghiệm bổ ích cho bản thân và các đồng nghiệp tham khảo trong các giờ dạy cho lớp đại trà và bồi dỡng học sinh khá giỏi. II. Mục đích nghiên cứu: 1. Đề tài này có tác dụng giúp học sinh học tập môn toán nói chung và việc giải các bài tập liên quan đến bất đẳng thức nói riêng, nhằm trang bị cho các em một số kiến thức cơ bản về cách giải bài toán liên quan đến bất đẳng thức, các phơng pháp giải này làm công cụ cho các em phát huy tính sáng tạo trong việc giải các bài toán liên quan từ rễ đến khó và phức tạp hơn, từ đó các em có thể áp dụng trong các bài toán nh: giải phơng trình, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2. Tập cho học sinh có hứng thú khi giải các bài tập trong SGK, các tài liệu tham khảo, giúp học sinh tự giải đợc các bài tập liên quan trong các kì thi học sinh giỏi, thi vào các trờng chuyên, thi vào trờng PTTH đồng thời trang bị cho các em những kiên thức mở đầu làm nền tảng cho sau này học lên các lớp trên và chuẩn bị cho thi vào các trờng chuyên nghiệp. 3. Giải đáp đợc một số thắc mắc, sai lầm hay gặp ở giải bài toán bất đẳng thức 4. Nh tôi đã nói ở trên, nghiên cứu đề tài này cũng là một nội dung giáo án soạn giảng một chuyên đề tự chọn môn Toán cho học sinh khối 8, 9. Đồng thời cũng là một nội trong giáo án bồi dỡng học sinh cácđội tuyển học sinh Toán THCS hàng năm mà tôi đang trực tiếp ôn luyện. III. Đối tợng nghiên cứu: Đối tợng nghiên cứu của đề tài này hớng tới học sinh học môn Toán Trung học cơ sở. Đặc biệt là học sinh khối 8, 9 và học sinh trong các đội tuyển học sinh giỏi môn Toán cuối cấp. IV. Phạm vi đề tài: Trờng THCS Thị Trấn Cành Nàng Bá THớc GV: Hoàng Xuân Thìn 2 Phát triển t duy cho học sinh giỏi Toán thông qua bài toán chứng minh bất đẳng thức Phát triển năng lực, khả năng t duy có phơng pháp giải toán phù hợp cho học sinh các lớp 8, 9 qua việc giải các bài toán bất đẳng thức. V. Phạm vi nghiên cứu: Các bài toán trong chơng trình Toán THCS cụ thể là đối với các lớp 8, 9, các lớp học tiết tự chọn, các lớp học ôn thi học sinh giỏi của trờng THCS thị trấn Cành Nàng. Vi. Những đóng góp về mặt lý luận, thực tiễn của đề tài: 1. Về mặt lý luận: Tạo cho học sinh có đợc một phơng pháp phù hợp khi giải các bài toán về bất đẳng thức. 2. Về mặt thực tiễn: Đề tài giúp học sinh THCS có đợc những kiến thức cơ bản về bài toán bất đẳng thức và khắc phục những sai lầm khi giải bài toán chứng minh bất đẳng thức, tạo cho các em hứng thú nghiên cứu tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này. Phần B: nội dung I . Thực trạng vấn đề: Thực trạng hiện nay học sinh học ở các trờng THCS khi giải các bài toán có liên quan đến bất đẳng thức thì các em thờng gặp phải những khó khăn và rất lúng túng trong việc xác định đợc các cách giải nguyên do là: Thời lợng và kiến thức đa vào chơng trình THCS tơng đối ít, không liền mạch, phơng pháp giải còn hạn chế. Giáo viên khi dạy về vấn đề này thờng chỉ chữa các bài tập chứ ít chú ý đến việc khai thác, phân tích, đa ra phơng pháp giải cho từng dạng toán cơ bản . Học sinh thờng ngại giải các bài toán liên quan đến bất đẳng thức, việc tìm ra h- ớng chứng minh còn gặp nhiều khó khăn, cách trình bày cha logíc còn dài dòng lời Trờng THCS Thị Trấn Cành Nàng Bá THớc GV: Hoàng Xuân Thìn 3 Phát triển t duy cho học sinh giỏi Toán thông qua bài toán chứng minh bất đẳng thức giải cha chặt chẽ, việc áp dụng các bất đẳng thức cơ bản cha thuần thục, xét các tr- ờng hợp khoảng nghiệm còn sai, lời giải lập luận cha khao học, cha rõ ràng. Qua tìm hiểu thực tế, từ giảng dạy một số lớp trong các tiết luyện tập, các tiết tự chọn, trong quá trình dạy ôn các đội tuyển học sinh giỏi trong những buổi đầu chất lợng học sinh còn nhiều hạn chế Kết quả là: Lớp Tổng số Giỏi Khá TB Yếu HS Tỉ lệ % HS Tỉ lệ % HS Tỉ lệ % HS Tỉ lệ % 8A 32 0 0 4 12,5 24 62.5 8 25 9A 35 0 0 8 22,8 20 57,2 7 20 II . Một số Phơng pháp chứng minh bất Đẳng Thức. Trong mục này tôi muốn cung cấp một số phơng pháp chứng minh BĐT, nhằm trang bị cho các em học sinh những kiến thức cơ bản về cách chứng minh bất đẳng thức, giúp các em có kĩ năng giải các bài toán liên quan đến bất đẳng thức, mỗi ph- ơng pháp có trình bày phơng pháp giải và các ví dụ minh hoạ đợc sắp xếp từ đơn giản đến phức tạp nhằm củng cố lí thuyết, đồng thời có những ví dụ nâng cao nhằm phát huy tính sáng tạo, tính tích cực t duy của học sinh. 1. Phơng pháp vận dụng trực tiếp định nghĩa: Phơng pháp giải: Để chứng minh A > B ta chứng minh A - B > 0 (hoặc A < B ta chứng minh A - B < 0 ). Còn trờng hợp chứng minh A B ta chứng minh A B 0 (hoặc chứng minh A B ta chứng minh A B 0 ). Đồng thời phải đi tìm điều kiện để dấu = xảy ra ( A- B = 0 ) Ví dụ: Chứng Minh rằng ( a + b ) 2 2( a 2 + b 2 ). Trờng THCS Thị Trấn Cành Nàng Bá THớc GV: Hoàng Xuân Thìn 4 Phát triển t duy cho học sinh giỏi Toán thông qua bài toán chứng minh bất đẳng thức Cách giải: Để chứmg minh ( a + b ) 2 2( a 2 + b 2 ). Ta đi chứng minh 2( a 2 + b 2 ) - ( a + b ) 2 0 Ta có: 2( a 2 + b 2 ) - ( a + b ) 2 = 2a 2 + 2b 2 a 2 2ab b 2 = a 2 + b 2 2ab = (a - b) 2 0 (đúng) Dấu = xảy ra khi a = b Vậy: ( a + b ) 2 2( a 2 + b 2 ) (đpcm). Ví dụ : Với a, b, c R. Chứng minh rằng a 2 + b 2 + 1 ab + a + b Cách giải: Để chứng minh a 2 + b 2 + 1 ab + a + b ta chứng minh a 2 + b 2 + 1 - ab - a b 0 2a 2 + 2b 2 + 2 - 2ab - 2a - 2b 0 (a 2 2ab + b 2 )+(b 2 - 2b + 1) +(a 2 2a +1) 0 (a - b) 2 + (b - 1) 2 + (a - 1) 2 0 luôn đúng. Vì (a - b) 2 0; (b - 1) 2 0 ; (a - 1) 2 0 Dấu = xảy ra khi a = b = 1 Vậy a 2 + b 2 +1 ab + a + b (đpcm). Ví dụ: Chứng minh rằng 1 2 2 2 + + x x 2 Cách giải: Ta có 1 2 2 2 + + x x - 2 = 1 122 2 22 + ++ x xx = = 1 112)1( 2 22 + +++ x xx = 1 )11( 2 22 + + x x 0 (đúng) Dấu = xảy ra khi x = 0 Trờng THCS Thị Trấn Cành Nàng Bá THớc GV: Hoàng Xuân Thìn 5 Phát triển t duy cho học sinh giỏi Toán thông qua bài toán chứng minh bất đẳng thức Do đó 1 2 2 2 + + x x 2. Nhận xét: Trong ví dụ trên học sinh chuyển vế, biến đổi tơng đơng, nhng đòi hỏi các em cần có t duy cao hơn ví dụ đầu, học sinh phải biết tách và nhóm các số hạng để tạo thành những bình phơng đúng. Ví dụ: Cho a 1, b 1. Chứng minh rằng: a 1 b + b 1 a ab Cách giải: Ta có: ab - a 1 b - b 1 a = 2 1 ( 2ab - 2a 1 b - 2b 1 a ) = 2 1 [ a(b - 1 - 2 1 b +1) + b(a - 1 -2 1 a +1)] = 2 1 [ a( 1 b - 1) 2 +( 1 a - 1) 2 ] 0 (đúng). Dấu = xảy ra khi a = b = 2 Do đó nếu a 1, b 1 thì a 1 b + b 1 a ab. Ví dụ: Cho a, b, c R. Chứng minh rằng 4 2 a + b 2 + c 2 ab ac + 2bc Cách giải: Để chứng minh: 4 2 a + b 2 + c 2 ab ac + 2bc Thì 4 2 a + b 2 + c 2 - ab + ac - 2bc 0 Ta thấy vế trái 4 2 a + b 2 + c 2 - ab + ac - 2bc = = ( 2 a ) 2 + b 2 + c 2 - 2 2 ab + 2 2 ac - 2 2 bc = = ( 2 a - b + c) 2 0 (đúng). Dấu = xảy ra khi a = 2(b - c) Trờng THCS Thị Trấn Cành Nàng Bá THớc GV: Hoàng Xuân Thìn 6 Phát triển t duy cho học sinh giỏi Toán thông qua bài toán chứng minh bất đẳng thức Vậy: 4 2 a + b 2 + c 2 ab ac + 2bc (đpcm) . Nhận xét : So với các ví dụ đã trình bày ở trên, yêu cầu học sinh biến đổi thành bình phơng của tổng hoặc hiệu của hai số, thì trong ví dụ này nếu học sinh biến đổi thành bình phơng của tổng, hoặc hiệu hai số thì tơng đối khó nhng biến đổi, để tạo thành bình phơng của tổng 3 số thì đơn giản hơn nhiều. Qua ví dụ này, nhằm tạo cho học sinh có hớng t duy sáng tạo đôi khi cần tạo thành bình phơng của hai hay nhiều số. Ví dụ đối với học sinh khá giỏi để phát huy tính t duy sáng tạo ta có thể yêu cầu các em chứng minh bài toán ở mực độ cao hơn nh: Ví dụ: Cho a, b, c thỏa mãn abc = 1 , a 3 > 36. Chứng minh rằng: 3 2 a + b 2 + c 2 > ab + ac + bc. Gợi ý : Ta có 3 2 a + b 2 + c 2 - ab - ac - bc = ( 4 2 a + b 2 + c 2 - ab ac + 2bc ) + 12 2 a - 3bc = ( 2 a - b - c) 2 + a a 12 36 3 > 0 (đúng). Vậy: Nếu a, b, c thỏa mãn abc = 1 , a 3 > 36. Thì 3 2 a + b 2 + c 2 > ab + ac + bc. Ví dụ : Chứng minh rằng: (x- 1)(x- 2)(x- 3)(x- 4) -1 Cách giải: Từ: ( x - 1)(x- 2)(x- 3)(x- 4) -1 (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) + 1 0 (x 2 5x + 4)( x 2 5x + 6) + 1 0 Đặt x 2 5x + 5 = t (t - 1)(t + 1) + 1 0 Trờng THCS Thị Trấn Cành Nàng Bá THớc GV: Hoàng Xuân Thìn 7 Phát triển t duy cho học sinh giỏi Toán thông qua bài toán chứng minh bất đẳng thức t 2 - 1 + 1 0 t 2 0 (đúng t). Dấu = xảy ra khi t = 0 x 2 - 5x + 5 = 0 x 1 = ( 5 - 53 )/2 x 2 = ( 5 + 53 )/2 Vậy: (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) -1 (đpcm). Kết quả và bàn luận : Đối với ví dụ đã trình bày ở trên ta có thể sử dụng nhiều cách để chứng minh, nh áp dụng các BĐT riêngSong bằng phơng pháp này thì các em học sinh rễ hiểu hơn và có thể áp dụng để chứng minh các bài toán khác tơng tự hoặc khó hơn nữa. Đối với dạng toán nh các ví dụ trên , ta nên chuyển vế theo định nghĩa sau đó ta tách hoặc thêm bớt các số hạng để đa về dạng bình phơng của một tổng hoặc bình phơng của một hiệu, của hai hay nhiều số rồi đa ra câu kết luận. 2 . Phơng pháp dùng biến đổi tơng đơng: Phơng pháp giải: Để chứng minh A B, ta dùng các tính chất của BĐT để biến đổi tơng đơng BĐT cần chứng minh đến một BĐT đã biết đơn giản hơn, rễ chứng minh hơn. Ví dụ: Cho a, b, c > 0 và a 1 + bc 21 = . Chứng minh rằng : ba ba + 2 + bc bc + 2 4 Cách giải : Theo giả thiết ta có: a 1 + bc 21 = b = ca ac + 2 . Nh vậy: ba ba + 2 = ca ac a ca ac a + + + 2 2 2 = ca acaca ca acaca + + + ++ 222 2 2 2 = 2 2 2 3 a aca + = a ca 2 3 + Tơng tự ta có : bc bc + 2 = c cc 2 3 + Trờng THCS Thị Trấn Cành Nàng Bá THớc GV: Hoàng Xuân Thìn 8 Phát triển t duy cho học sinh giỏi Toán thông qua bài toán chứng minh bất đẳng thức Vậy: ba ba + 2 + bc bc + 2 = a ca 2 3 + + c cc 2 3 + = ac aaccac 2 33 22 +++ = ac acacca 2 4)2(3 22 ++ = 42 2 4.3 2 2 )(3 2 = + ac ac ac ca ( vì (a + c) 2 4ac) Dấu = xảy ra khi a = c = b Vậy: ba ba + 2 + bc bc + 2 4 (đpcm). Nhận xét: Trong ví dụ này ta đã áp dụng phép biến đổi tơng đơng thay việc chứng minh ba ba + 2 + bc bc + 2 4 ta đi chứng minh: a ca 2 3 + + c cc 2 3 + 4. Ví dụ : Cho a, b > 0 thỏa mãn điều kiện a + b = 1 . Chứng minh rằng: (1 + a 1 )(1 + b 1 ) 9 Cách giải : Để chứng minh (1 + a 1 )(1 + b 1 ) 9 Ta đi chứng minh (a + 1)(b + 1) 9ab (vì a, b > 0) ab + a + b +1 9ab 2 8ab 1 4ab (vì a + b = 1) (a + b) 2 4ab (a - b) 2 0 (luôn đúng ). Dấu = xảy ra khi a = b. Vậy nếu a, b > 0 thỏa mãn điều kiện a + b = 1 thì (1 + a 1 )(1 + b 1 ) 9 Ví dụ : Trờng THCS Thị Trấn Cành Nàng Bá THớc GV: Hoàng Xuân Thìn 9 2 2 a(b a) b(a b) 0 (1 a )(1 ab) (1 b )(1 ab) + + + + + Phát triển t duy cho học sinh giỏi Toán thông qua bài toán chứng minh bất đẳng thức Cho ab 1. Chứng minh rằng: 2 1 1 a + + 2 1 1 b + ab + 1 2 Cách giải: Để chứng minh 2 1 1 a + + 2 1 1 b + ab + 1 2 Ta chứng minh 2 1 1 a + + 2 1 1 b + - ab + 1 2 0 2 1 1 a + - ab + 1 1 + 2 1 1 b + - ab + 1 1 0 )1)(1( 11 2 2 aba aab ++ + + )1)(1( 11 2 2 abb bab ++ + 0 a(b - a)(1 + b 2 ) + b(a - b)(1 + a 2 ) 0 (a - b)[- a(1 + b 2 ) + b(1 + a 2 )] 0 (a - b)(- a - ab 2 + b + ba 2 ) 0 (a - b)[ab(a- b) (a - b)] 0 (a - b) 2 (ab - 1) 0 (đúng vì (a - b) 2 0 và ab 1 0 ) Dấu = xảy ra khi a = b hoặc ab = 1 Do đó: 2 1 1 a + + 2 1 1 b + ab + 1 2 với ab 1 Ví dụ : Cho ba số dơng a, b, c thỏa mãn a 2 + b 2 + c 2 = 3 5 Chứng minh rằng: a 1 + b 1 - c 1 < abc 1 Cách giải: Để chứng minh a 1 + b 1 - c 1 < abc 1 Ta sử dụng BĐT (a + b - c) 2 0 a 2 + b 2 + c 2 + 2ab 2ac 2bc 0 2(ab ac bc) - (a 2 + b 2 + c 2 ) Trờng THCS Thị Trấn Cành Nàng Bá THớc GV: Hoàng Xuân Thìn 10 [...]... THCS Thị Trấn Cành Nàng Bá THớc GV: Hoàng Xuân Thìn 30 Phát triển t duy cho học sinh giỏi Toán thông qua bài toán chứng minh bất đẳng thức Vấn đề dạy học nhằm phát triển t duy học sinh là yếu tố rất quan trọng trong các tiết dạy nhằm vào đối tợng sinh khá và học sinh giỏi, phơng pháp này có tác dụng kích thích học sinh phát triển t duy, kích thích sự ham mê trong học toán, giúp các em tự tin vào khả... Hoàng Xuân Thìn 35 Phát triển t duy cho học sinh giỏi Toán thông qua bài toán chứng minh bất đẳng thức Vậy từ bài toán A ta lại có bài toán mới tơng đối thú vị Bài toán 5: Cho x, y 0 Chứng minmh rằng: x2 y2 + y2 x2 + 4 - 3( x y + y x ) 0 Thông qua bài toán 5 này, ta đa ra một số bài có nội dung tơng tự để học sinh luyện tập , ví dụ nh các bài toán sau: Bài toán 6: Cho x, y khác 0 Chứng minh rằng:... 5+ 2x - 13 Cách giải: áp dụng BĐT giá trị tuyệt đối, ta có: 2x - 5+ 2x - 13=2x - 5+ 13 2x 2x 5 + 13 2x = 8 Dấu = xảy ra khi (2x - 5)( 13 2x) 0 Trờng THCS Thị Trấn Cành Nàng Bá THớc 5 13 x 2 2 GV: Hoàng Xuân Thìn 17 Phát triển t duy cho học sinh giỏi Toán thông qua bài toán chứng minh bất đẳng thức 5 13 x 2 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 8 khi Ví dụ: Cho x2 + y2 = a2 + b2 = 1 Chứng minh rằng:...Phát triển t duy cho học sinh giỏi Toán thông qua bài toán chứng minh bất đẳng thức Do: 5 3 a2 + b2 + c2 = 2(ac + bc - ab) 5 3 ac + bc - ab 5 1 3 2 0 chia cả hai vế cho abc ta đợc 1 a + 1 b 1 c - 1 abc < suy ra đpcm Ví dụ: Cho a, b, c > 0, thỏa mãn a + b + c = 4 Chứng minh rằng: + a +b + c +b >4 a +c Cách... này giáo viên nên cho học sinh tự chứng minh, coi nh là bài tập và yêu cầu học sinh nhớ để vận dụng cho các bài toán sau này 1 (a + b)2 0 hoặc (a - b)2 0 Dấu = xảy ra khi a = b hoặc a = - b 2 (a + b)2 4ab 4 1 ( a + b) 2 ab 1 a + 1 4 b a +b Trờng THCS Thị Trấn Cành Nàng Bá THớc Với a, b > 0 Với a, b > 0 GV: Hoàng Xuân Thìn 12 Phát triển t duy cho học sinh giỏi Toán thông qua bài toán chứng... x y x ) -11 Bài toán B: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng: (a + b + c)( 1 a + 1 b + 1 c ) 9 Đối với bài toán B ta áp dụng BĐT CôSi cho các số dơng hoặc biến đổi tơng đơng chứng minh đơn giản Nhng thông qua bài toán B ta có thể phát triển bài toán theo các hớng sau: Bài toán 1: Cho a, b, c > 0 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức K = (a + b + c)( 1 a + 1 b + 1 c ) Bài toán 2: Cho 1 a, b, c 2 tìm giá... - 1)2 + ( a +c -1)2 < 3 (đúng) Vậy a, b, c > 0 , thỏa mãn a + b + c = 4 thì a +b + c +b + a +c >4 Ví dụ : Cho x, y là các số thực bất kỳ, thỏa mãn điều kiện x2 + 5y2 4xy x + 2y 6 = 0 Trờng THCS Thị Trấn Cành Nàng Bá THớc GV: Hoàng Xuân Thìn 11 Phát triển t duy cho học sinh giỏi Toán thông qua bài toán chứng minh bất đẳng thức Chứng minh rằng: -1 x 2y + 1 4 Cách giải: Ta có x2 + 5y2 4xy x +... 1; 0 < c( 2 - c ) 1 a(2 - b)b(2 - c)c(2 a) 1 Trờng THCS Thị Trấn Cành Nàng Bá THớc (2) GV: Hoàng Xuân Thìn 24 Phát triển t duy cho học sinh giỏi Toán thông qua bài toán chứng minh bất đẳng thức Ta thấy (1) và (2) mâu thuẫn Do đó có ít nhất một bất đẳng thức sai Ví dụ: Cho 0 < a, b, c < 1 Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai a (1- b )> 1 4 ; b (1 - )> 1 4 (1 - c ; c... x1= x2 = - b / 2a + Nếu > 0 thì phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x1= (- b - )/ 2a ; x2 = (- b + )/ 2a Ví dụ: Cho x, y thỏa mãn x2 + y2 = xy x + 2y Chứng minh rằng: Trờng THCS Thị Trấn Cành Nàng Bá THớc 2 3 3 x 2 3 3 GV: Hoàng Xuân Thìn 29 Phát triển t duy cho học sinh giỏi Toán thông qua bài toán chứng minh bất đẳng thức Cách giải: Từ x2 + y2 = xy x + 2y , y2 (x + 2)y + x2 + x = 0 (*) Xem (*)... (a + x) 2 + (b + y ) 2 Dấu = xảy ra khi ay = bx Ví dụ : Cho a, b > 0 thỏa mãn a + b 1 Chứng minh rằng: 2 ab + 3 a + b2 2 14 Cách giải : Ta áp dụng BĐT 1 x + 1 y Do a, b > 0 và a + b 1 4 x +y => Trờng THCS Thị Trấn Cành Nàng Bá THớc (x, y > 0 ) 1 a +b 1 1 (a + b) 2 1 GV: Hoàng Xuân Thìn 13 Phát triển t duy cho học sinh giỏi Toán thông qua bài toán chứng minh bất đẳng thức 3 2ab Mặt khác ta có: . mà còn phát triển t duy là rất quan trọng. Thông qua dạy học toán, ngời học đợc cung cấp những kĩ năng tính toán, những thao tác t duy, đặc biệt là có. đa ra phơng pháp giải cho từng dạng toán cơ bản nhằm phát triển t duy cho học sinh . - Học sinh thờng ngại giải các bài toán liên quan đến bất đẳng thức,