 A: §Æt vÊn ®Ò   !" ##$ %% &'% ( ) *%% &%"+,'+ -.%)/% &#), *#.## % &0 1#.## (% &#)2 3 4/5%67!8#.###4*#095% % &(#!8 *#.##): %#)#;*##.##*#-0 <% & *=!8!"% )%+=#.%#.+#. 3%+ >?@/%(000 *67!8 =#"000A=B6CD#), *'D .%)% &0 D)!"BEFG1H63#2 )%% &%% &F)IJ#.## > 6K > *?)%093=/ 6G1H"D)2!B;! 6 $$%D=!8D)!"%=# 0 !/ K *=#?+6;#.## B *67!8% &L!4 >M%D NO . .!4% & P%D#.###)000000 6;%=#=!8Q$#6%?$$3#% B=!8% &$#6( >? * #.##$.% & %0 R S  ((mét sè ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc vµ øng dông cñabÊt ®¼ng thøc )) ;$#66;#. ##% & T! UB @'"D *6#T/B  (  *+.KV). W B giải quyết vấn đề phần I: điều trathực trạng trớc khi nghiên cứu X)!"B?#3#6;%=#% &B6 $$+%=#B >? 3%+ 6E % ++(%=#! B ? B+CD#)?!I66;#. ##% &!8/% &+ CD6 ($#6D% & +6%=#% & Phần II: các phơng pháp nghiên cứu P.## Y.## ; Y.##+ Phần III: nội dung của đề tài i : Các kiến thức cần lu ý 1, Định nghĩa bất đẳng thức Z@.%-+[% Z?.%-+\% Z@.3%Q%-+[% Z?.3%Q%-+\% 2, Một số tính chất cơ bản của bất dẳng thức : -]L\%[^\%[ %-_L\%%\^\\ H;`*6a(@a(a(%a(BDa( bcddeR]cR f -cL\%[^\Z\%Z G+)L\%[^\O\%O Z\%[^\\%O !-gL\%\!^\Z\%Z! \%[!^\O\%O! J-eL\%\d^\\%! \%[d^\[%! h-RL\%\di\!\d^\\%! -WL\%\d^\ \% \%[^\ \% ?j0 -fL\%i%\d^\ 3, Một số bất đẳng thức thông dụngL < &16L A?_6;!.%L ab ba + 2 k &K)BL^% %< &<#KL A?6;i%iKiBLlKZ%Bm _ l _ Z% _ mlK _ ZB _ m k &K)B[^\ y b x a = < &>B+ ;L baba ++ k &K)BL% d II : Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức 1.Phơng pháp 1 : Dùng định nghĩa OXDLa(n\<Kb+nO<on O<\d0 OpTLn _ d?ni!qq^qqK)Bn^d0 r OA-!8L Bµi 1.1 : A?6;LKBsQLK _ ZB _ Zs _ Zc ≥ _lKZBZsm Gi¶i : Kb+LG^K _ ZB _ Zs _ ZcO_lKZBZsm ^K _ ZB _ Zs _ ZcO_KO_BO_s ^lK _ O_KZ]mZlB _ O_BZ]mZls _ O_sZ]m ^lKO]m _ ZlBO]m _ ZlsO]m _ klKO]m _  ≥ d?K lBO]m _  ≥ d?B lsO]m _  ≥ d?s  ^\G ≥ d?KBs GBK _ ZB _ Zs _ Zc ≥ _lKZBZsm?KBs0 k%QK)B[^\K^B^s^]0 Bµi 1.2L 1%!J6;L 1QL _ Z% _ Z _ Z! _ ZJ _  ≥ l%ZZ!ZJm Gi¶i : tb+LG^ _ Z% _ Z _ Z! _ ZJ _ Ol%ZZ!ZJm ^l b a − 2 m _ Zl c a − 2 m _ Zl d a − 2 m _ Zl e a − 2 m _ kl b a − 2 m _  ≥ d?% kl c a − 2 m _  ≥ d? kl d a − 2 m _  ≥ d?! kl e a − 2 m _ ≥ d?J ^\G ≥ d?%!J kqq^qqK)B[^\%^^!^J^ 2 a Bµi 1.3 :1% &L  2 22 22       + ≥ + baba ]d Giải : tb+LG^ 2 22 22 + + baba ^ 4 )2()(2 2222 bababa +++ ^ 0)( 4 1 )222( 4 1 22222 =+ baabbaba 0A?%0 kqq^qqK)B^%0 2. Phơng pháp 2 ; Dùng phép biến đổi tơng đơng . OXDL<D N% &C. .?% & $3% & P * $0 O96;% &F!4L lnZ<m _ ^n _ Z_n<Z< _ lnO<m _ ^n _ O_n<Z< _ lnZ<Z1m _ ^n _ Z< _ Z1 _ Z_n<Z_n1Z_<1 lnZ<m c ^n c Zcn _ <Zcn< _ Z< c lnO<m c ^n c Ocn _ <Zcn< _ O< c uuuuuuuuuuu0 A-!8L Bài 2. 1L1%6;!.N%Q]01QL 3 4 1 1 1 1 + + + ba Giải: k4#b#%D N. .i clZ]Z%Z]m glZ]ml%Z]m r gl%ZZ%Z]mlZ%^]m r g%Zf] g%lZ%m _ g% < &; $0HB #)0 Bài 2. 2L1%6;!.)PLZ%Z^g 1QLlZ%ml%ZmlZm c % c c Giải: vLlZ%m _ g%lZ%Zm _ ^ [ ] cbacba )(4)( 2 +++ ^\]R glZ%m^\]RlZ%m glZ%m _ ]R% ^\Z% % .L%Z % Z % ]] ^\lZ%ml%ZmlZm ≥  c % c  c  Bµi 2.3L1% &L  3 33 22       + ≥ + baba i \di%\d Gi¶i : k4#b#%D N. .LA?\di%\d^\Z%\d  3 33 22       + ≥ + baba         + ≥+−       + 2 ).( 2 22 ba baba ba 0 2 2       + ba  _ O%Z% _  ≥  2 2       + ba g _ Og%Zg% _  ≥  _ Z_%Z% _  c _ OR%Zc% _  ≥ cl _ O_%Z% _ m ≥ d < &;4 $i6BL 3 33 22       + ≥ + baba Bµi 2.4: 1_6;%)PZ%^]019w c Z% c Z% ≥  2 1 Gi¶i : L c Z% c Z% ≥  2 1 [^\ c Z% c Z%O 2 1  ≥ d [^\lZ%ml _ O%Z% _ mZ%O 2 1  ≥ d [^\ _ Z% _ O 2 1 ≥ d0AZ%^] [^\_ _ Z_% _ O] ≥ d [^\_ _ Z_l]Om _ O] ≥ dl%^O]m [^\g _ OgZ] ≥ d [^\l_O]m _  ≥ d < &;4 $0A=B c Z% c Z% ≥  2 1 kqq^qqK)B^%^ 2 1 Bµi 2.5 :1% &L 3 33 22       + ≥ + baba   L\d%\d0 Gi¶i : ]_ A?\d%\d^\Z%\d L 3 33 22 + + baba [^\ ( ) 2 22 22 . 2 + + + + baba baba ba [^\ 2 22 2 + + ba baba [^\g _ Og%Zg% _ _ Z_%Z% _ [^\cl _ O_%Z% _ m d [^\clO%m _ d0< &B $ ^\ 3 33 22 + + baba kqq^qqK)B^%0 Bài 2.6LA?\d%\d01% &L a b a a b b Giải : k4#b#%D N. .L a b a a b b l )() baabbbaa ++ d [ ] 0)()()( 33 ++ baabba 0)())(( +++ baabbababa 0)2)(( ++ bababa 0))(( + baba < &; $i6BL a b a a b b 3. Phơng pháp 3: dùng bất đẳng thức quen thuộc . OXDLk4% &JL16<#K % &!>B+ ; (%D N 96;+)v% &LK _ ZB _ _KB A?%\d 2 + a b b a 1-!8L Bài 3.1Lx)67%6;!.QL 2 > + + + + + ba c ac b cb a ]c Gi¶i #!8<a1BL Zl%Zm )(2 cba +≥  cba a cb a ++ ≥ + 2 . *L  cba b ac b ++ ≥ + 2  cba c ba c ++ ≥ + 2 k%Q/%<a( oFK)B L ^%Z%^Z^Z%Z%Z^dl?)D%  6;!.m0 v 6BL 2 > + + + + + ba c ac b cb a Bµi 3.2: 1KB_6;)PL  K _ ZB _ ^ 22 11 xyyx −+−  1QLcKZgB ≤ e Gi¶i : ¸#!8% &<#KL lK _ ZB _ m _ ^l 22 11 xyyx −+− m _ l 1 ≤ x i 1 ≤ y m  ≤ lK _ ZB _ ml]OB _ Z]OK _ m ^\K _ ZB _  ≤ ] "LlcKZgBm _  ≤ lc _ Zg _ mlK _ ZB _ m ≤ _e ^\cKZgB ≤ e a&K)B        = >> =+ 43 0,0 1 22 yx yx yx       = = 5 4 5 3 y x a+L 2 5 2 3 ≤≤ x Bµi 3. 3:1% ≥ diZ%Z^]01QL  6 ≤+++++ accbba % 5,3111 <+++++ cba Gi¶i ¸#!8%!&<#K?_%c6;L ( ) ( ) ( ) ( ) ( )       +++++++≤+++++ 222 1111.1.1. accbbaaccbba ^\ ( ) 6)22.(3 2 =++≤+++++ acbaaccbba ]g ^\ 6 ≤+++++ accbba 0 kqq^qqK)BL^%^^ 3 1 %¸#!8% &16L  1 22 1)1( 1 += ++ ≤+ aa a .L 1 2 1 +≤+ b b i 1 2 1 +≤+ c c 1vD/c% & *L  5,33 2 111 =+ ++ ≤+++++ cba cba k &K)B^%^^d?)DLZ%Z^ ] A=BL 5,3111 <+++++ cba Bµi 3.4L16;!.%)PLZ%Z^]0 1QL 9 111 ≥++ cba Gi¶i : L 0 >+ a b b a %\d L =++ cba 111 ) 111 ( cba ++ 0]^ ) 111 ( cba ++ 0lZ%Zm ^ 111 ++++++++ b c a c c b a b c a b a ^ ≥++++++ )()()(3 c a a c b c c b a b b a cZ_Z_Z_^r ^\ 9 111 ≥++ cba kqq^qqK)BL^%^^ 3 1 Bµi 3.5 1KB\d01QL yxyx + ≥+ 411   Gi¶i ¸#!8% &16L xyyx 2 ≥+   yx 11 +  ≥  xy 2 ^\lKZBml yx 11 + m ≥ g ]e [...]... nhà , kiểm tra học sinh Sau khi hớng đẫn xong nội dung chuyên đề cần chỉ cho học sinh những kiến thức cần thiết , đồng thời rèn luyện những kỹ năng làm bài tập cho học sinh Cần đa nội dung vào giờ dạy cho phù hợp ,tránh dồn ép học sinh tiếp nhận kiến thức một cách thụ động mà đạt kết quả không mong muốn 33 VII: Phạm vi áp dụng đề tài Chuyên đề ((một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng... học sinh xong đề tài ((một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức )), học sinh sẽ thấy rằng việc làm bài toán về bất đẳng thức sẽ rễ hơn Đồng thời đứng trớc bài toán khó cho dù ở dạng bài tập nào học sinh cũng có hớng suy nghĩ và tập suy luận , các em sẽ có tự tin hơn Chuyên đề còn có thể còn nhiều thiếu sót , rất mongđợc sự ủng hộ của các thày cô giáo để đề tài ngày càng... đúng , ta hãy giả sử bất dẳng thức đó sai , sau đó vận dụng các kiến thức đã biết và giả thiết của đề bài để suy ra điều vô lý Điều vô lý có thể là trái với giả thiết , hoặc là những điều trái nhợc nhau , từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh là đúng Một số hình thức chứng minh bất đẳng thức : + Dùng mệnh đề đảo + Phủ định rồi suy ra điều trái với giả thiết + Phủ định rồi suy ra trái với đIều đúng ... sinh đã làm đợc các bài tập về bất đẳng thức và đã có hớng thú hơn khi học toán Kết quả kiểm tra sau khi áp dụng đề tài Số lượng học sinhĐiểm Giỏi Điểm khá Điểm trung bình Điểm yếuĐiểm kém30581250 Vi:bài học kinh nghiệm Qua việc hớng dẫn học sinh làm bài tập cho thấy phần kiến thức về đề tài là phần kiến thức mở do giáo viên đa vào cuối các giờ luyện tập , hoặc giờ tự chọn nên nội dung đối với học... c a 1 1 4 + p a p c b 1 1 1 1 1 1 2( + + ) 4( + + ) p a p c p c a b c Tơng tự : => => điều phải chứng minh Dấu '' = '' xảy ra khi : p - a = p - b = p - c a = b = c Khi đó tam giác ABC là tam giác đều Bài 6.2: Cho a, b, c , là độ dài ba cạnh của một tam giác CMR: (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) abc Giải: Bất đẳng thức về ba cạnh của tam giác cho ta viết b c < a 0 < a 2 (b c) 2 a 2 c a < b 0 < b 2... Các ví dụ : Bài 7 1 : Cho 0 < a,b,c,d 1 3b(1 - c) > 2 8c(1 - d) > 1 32d(1 - a) > 3 Giải: Giả sử ngợc lại cả bốn đẳng thức đều đúng Nhân từng về ; ta có : 2.3.8.32a(1 - b)b(1 - c)c(1 - d)d(1 - a) > 2 3 => [ a (1 a )][b(1 b)][c(1 c)][ d (1 d )] > 19 1 256 (1) Mặt khác , áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : a +1 a 1 = 2... có một số phơng pháp khác để chứng minh bất đẳng thức nh : Phơng pháp làm trội , tam thức bậc hai ta phải căn cứ vào đặc thù của mỗi bài toán mà sử dụng phơng pháp cho phù hợp Trong phạm vi nhỏ của đề tài này không hệ thống ra những phơng pháp đó iii : ứng dụng của bất đẳng thức 1- Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị - Kiến thức : Nếu f(x) m thì f(x) có giá trị nhỏ nhất là m Nếu f(x) M thì f(x)... tin hơn Chuyên đề còn có thể còn nhiều thiếu sót , rất mongđợc sự ủng hộ của các thày cô giáo để đề tài ngày càng hoàn thiện hơn Tôi xin chân thành cảm ơn Tháng 2 năm 2008 34 Mục lục trang 6 đặt vấn đề 35 . (  *+.KV). W B giải quyết vấn đề phần I: điều trathực trạng trớc khi nghiên cứu X)!"B?#3#6;%=#% &B6. Phần II: các phơng pháp nghiên cứu P.## Y.## ; Y.##+ Phần III: nội dung của đề tài i : Các kiến thức cần lu ý 1, Định nghĩa bất đẳng thức Z@.%-+[% Z?.%-+\%