ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ THỊ KHUYÊN TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN ITO VÀ MỘT HƯỚNG MỞ RỘNG TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN ITO LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2017 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ THỊ KHUYÊN TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN ITO VÀ MỘT HƯỚNG MỞ RỘNG TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN ITO Chuyên ngành: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC Mã số: 60 46 01 06 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Thịnh Hà Nội - 2017 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội hướng dẫn TS Nguyễn Thịnh Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới TS Nguyễn Thịnh, người thầy định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Khoa Toán - Cơ - Tin học, Phòng Đào Tạo, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy cô giáo giảng dạy, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập hoàn thành luận văn cao học trường Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người thân động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2017 Học viên Vũ Thị Khuyên i Mục lục Mở đầu Tích phân ngẫu nhiên Ito 1.1 Kiến thức sở 1.2 Quá trình Wiener 1.3 Tích phân Wiener 1.3.1 Tích phân Wiener hàm số đơn giản 1.3.2 Tính chất tích phân Wiener hàm đơn giản 1.3.3 Tích phân Wiener hàm số bình phương khả tích 11 1.4 1.5 Tích phân ngẫu nhiên Ito 12 1.4.1 Xây dựng tích phân ngẫu nhiên Ito 12 1.4.2 Một số tính chất tích phân ngẫu nhiên Ito 16 1.4.3 Tích phân Ito tổng quát 20 Công thức Ito 25 Mở rộng tích phân ngẫu nhiên Ito 27 2.1 Phương pháp ồn trắng 28 2.2 Phương pháp mở rộng tích phân ngẫu nhiên K.Ito 33 2.3 Một phương pháp mở rộng tích phân Ito 34 2.3.1 Đặt vấn đề 34 2.3.2 Tích phân ngẫu nhiên 35 2.3.3 Công thức Itô phương trình vi phân ngẫu nhiên 41 Kết luận 57 Tài liệu tham khảo 58 Mở đầu Giải tích ngẫu nhiên, hay giải tích môi trường ngẫu nhiên, hướng nghiên cứu quan trọng lý thuyết xác suất đồng thời ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khác bên Toán học Vật lý (lý thuyết chuyển động hỗn loạn, lý thuyết trường bảo giác ), Sinh vật (động lực học dân số ), Công nghệ (lý thuyết học, ổn định điều khiển hệ động lực ngẫu nhiên ) đặc biệt kinh tế tài (định giá quyền lựa chọn thị trường khoán ) Nó trở thành công cụ tối quan trọng cần xử lý, phân tích mô hình hóa tượng có can thiệp nhân tố ngẫu nhiên Giải tích ngẫu nhiện giảng dạy hầu hết trường đại học nước, thu hút nhiều nhà khoa học không ngừng nghiên cứu phát triển Trong vi tích phân ngẫu nhiên Ito khái niệm quan trọng giải tích ngẫu nhiên Từ khái niệm người ta xây nên lớp trình ngẫu nhiên Ito Luận văn hệ thống lại số kết tích phân ngẫu nhiên Ito trình bày hướng mở rộng tích phân ngẫu nhiên Ito, đưa số kết công thức Ito phương trình vi phân ngẫu nhiên Luận văn chia làm chương cụ thể sau: Chương 1: Tích phân ngẫu nhiên Ito Chương trình bày số khái niệm giải tích ngẫu nhiên, kiến thức sở cần cho chương tiếp theo; xây dựng định nghĩa tích phân Wiener, số tính chất tích phân Wiener; xây dựng định nghĩa tích phân Ito, số tính chất tích phân Ito, công thức Ito 2 Chương 2: Mở rộng tích phân ngẫu nhiên Ito Chương trình bày số phương pháp để mở rộng tích phân ngẫu nhiên Ito Trong đó, trước trình bày phương pháp mở rộng luận văn, tác giả giới thiệu tóm tắt hai cách tiếp cận khác để mở rộng tích phân ngẫu nhiên Một phương pháp mở rộng tích phân ngẫu nhiên cho trình ngẫu nhiên không thích nghi Kiyosi Ito với ý tưởng mở rộng lọc Ft phân tích bội lấy tích phân (integrator) thành semi-martingale lọc Hai phương pháp mở rộng tích phân ngẫu nhiên Masuyuki Hitsuda theo cách tiếp cận ồn trắng (white noise) Sau đó, tác giả trình bày sâu hướng mở rộng tích phân ngẫu nhiên Ito đưa Wided Ayed Hui-Hsiung Kuo Ta giới thiệu lớp trình ngẫu nhiên độc (the class of instantly independent stochastic processes) lấy trình ngẫu nhiên thích nghi (adapted stochastic processes) Sau định nghĩa tích phân trình ngẫu nhiên tích trình ngẫu nhiên độc trình ngẫu nhiên thích nghi Điểm cốt yếu ý tưởng sử dụng điểm đầu mút bên phải điểm ước lượng cho trình ngẫu nhiên độc điểm đầu mút bên trái điểm ước lượng cho trình ngẫu nhiên thích nghi Cuối cùng, đưa số kết ví dụ công thức Ito phương trình vi phân ngẫu nhiên cho tích phân Chương Tích phân ngẫu nhiên Ito 1.1 Kiến thức sở Cho (Ω, F, P ) không gian xác suất, tức ba gồm • Ω tập hợp sở mà phần tử w ∈ Ω đại diện cho yếu tố ngẫu nhiên Mỗi tập Ω gồm số yếu tố ngẫu nhiên • F họ tập Ω, chứa Ω đóng phép hợp đếm phép lấy phần bù; nói cách khác F σ -trường tập Ω Mỗi tập hợp A ∈ F gọi biến cố ngẫu nhiên • P độ đo xác suất xác định không gian đo (Ω, F) Định nghĩa 1.1.1 (Biến ngẫu nhiên) Cho không gian xác suất (Ω, F, P ) Không giảm tổng quát ta giả thiết (Ω, F, P ) không gian xác suất đủ tức A biến cố có P (A) = tập B ⊂ A biến cố (tức B ∈ F ) Giả sử E không gian metric, ánh xạ X : Ω → E gọi biến ngẫu nhiên với giá trị E (hay biến ngẫu nhiên E - giá trị) với tập Borel B E ta có X −1 (B) ∈ F Nếu X biến ngẫu nhiên nhận giá trị E = Rn ta nói X véctơ ngẫu nhiên n-chiều Nếu X biến ngẫu nhiên nhận giá trị tập số thực R ta nói X biến ngẫu nhiên Định nghĩa 1.1.2 (Hàm ngẫu nhiên) Cho T tập Một ánh xạ X : T × Ω → R cho t ∈ T ánh xạ w ∈ X(t, w) đo gọi hàm ngẫu nhiên T ta viết X = {Xt , t ∈ T } Như hàm ngẫu nhiên T chẳng qua họ biến ngẫu nhiên X = Xt , t ∈ T số hóa tập tham số T Định nghĩa 1.1.3 (Bộ lọc) Một lọc {Ft }t∈T không gian xác suất (Ω, F, P ) dãy tăng σ -trường F Định nghĩa 1.1.4 (Quá trình ngẫu nhiên thích nghi) Một trình ngẫu nhiên {Xt }t∈T gọi thích nghi với lọc {Ft }t∈T với t ∈ T , biến ngẫu nhiên Xt Ft -đo Định nghĩa 1.1.5 (Kì vọng có điều kiện) Cho X biến ngẫu nhiên có kỳ vọng (X ∈ L1 ) Kỳ vọng có điều kiện biến ngẫu nhiên khả tích X A ∈ F ký hiệu E(X|A) biến ngẫu nhiên M thỏa mãn: M A- đo được, Với A ∈ A ta có M dP = A XdP A Định lý sau cho ta tính chất E(X|A) Định lý 1.1.6 E(X|A) có tính chất sơ cấp sau E(aX + bY |A) = aE(X|A) + bE(Y |A), E(X) = E(E(X|A)), Nếu X A độc lập E(X|A) = E(X), Nếu Y A- đo E(XY |A) = Y E(X|A), Nếu D ⊂ A E(E(X|A)|D) Định nghĩa 1.1.7 (Martingale) Cho Xt trình ngẫu nhiên thích nghi với lọc {Ft } E|Xt | < ∞ với ∀t ∈ T Khi Xt gọi martingale lọc {Ft } với s ≤ t ∈ T bất kỳ, E{Xt |Fs } = Xs (h c.c) (1.1) Định nghĩa 1.1.8 (Thời điểm dừng) Một biến ngẫu nhiên τ : Ω → [a, b] gọi thời điểm dừng lọc {Ft , a ≤ t ≤ b} {w; τ (w) ≤ t} ∈ Ft với ∀t ∈ [a, b] Định nghĩa 1.1.9 (Martingale địa phương) Một trình ngẫu nhiên {Fn }thích nghi Xt , a ≤ t ≤ b gọi martingale địa phương {Ft } tồn dãy thời điểm dừng τn , n = 1, 2, thỏa mãn (1) τn đơn điệu tăng tới b hầu chắn n → ∞; (2) Với n, Xt∧τn martingale {Ft , a ≤ t ≤ b} Dễ thấy, martingale martingale địa phương ta chọn τn = b với n Tuy nhiên, martingale địa phương không martingale Định nghĩa 1.1.10 (Không gian hàm D(Ω)) Không gian D(Ω) không gian gồm hàm ϕ ∈ C0∞ (Ω) với khái niệm hội tụ sau: dãy {ϕj }∞ j=1 hàm C0∞ (Ω) gọi hội tụ đến hàm ϕ ∈ C0∞ (Ω) • (i) có tập compact K ⊂ Ω mà suppϕj ⊂ K, j = 1, 2, , • (ii) limj→∞ supx∈Ω |Dα ϕj (x) − Dα ϕ(x)| = 0, ∀α ∈ Zn+ Định nghĩa 1.1.11 (Không gian hàm suy rộng D (Ω) ) Ta nói f hàm suy rộng Ω f phiếm hàm tuyến tính liên tục D(Ω) Hàm suy rộng f ∈ D (Ω) tác động lên ϕ ∈ D(Ω) viết f, ϕ Hai hàm suy rộng f, ϕ ∈ D (Ω) gọi f, ϕ = g, ϕ , ∀ϕ ∈ D(Ω) Tất hàm suy rộng Ω lập thành không gian D (Ω) Định nghĩa 1.1.12 (Không gian hàm giảm nhanh (Schwartz) S(Rn ) ) Không gian S(Rn ) tập hợp S(Rn ) = {ϕ ∈ C ∞ (Rn ) |xα Dβ ϕ(x)| < cα,β , ∀x ∈ Rn , ∀α, β ∈ Zn+ } n với khái niệm hội tụ định nghĩa sau: dãy {ϕk }∞ k=1 S(R ) gọi hội tụ đến ϕ ∈ S(Rn ) S(Rn ) lim sup |xα Dβ ϕk (x) − xα Dβ ϕ(x)| = 0, ∀α, β ∈ Zn+ k→∞ x∈Rn 1.2 Quá trình Wiener Giả sử (Ω, F, P ) không gian xác suất Định nghĩa 1.2.1 Cho trình W = {Wt , t ∈ [0; ∞)} Ta nói W trình Wiener thỏa mãn điều kiện sau W0 = W có gia số độc là: Với < t1 < t2 < < tn biến ngẫu nhiên Wt1 − Wt0 , Wt2 − Wt1 , , Wtn − Wtn−1 độc lập Với ≤ s < t biến ngẫu nhiên Wt − Ws có phân bố chuẩn N (0, t − s) W trình liên tục, tức hầu hết quỹ đạo Wt W hàm liên tục Sự tồn trình Wiener lập luận sau Vì K(s, t) = min(s, t) covariance trình Poisson nên min(s, t) hàm xác định không âm Do tồn hàm ngẫu nhiên Gauss W = {Wt , t ∈ [0; ∞)} cho EWt = 0, ∀t ∈ [0, ∞), EWt Ws = min(s, t) ∀s, t ∈ [0, ∞) Nói riêng EXt2 = t Ta chứng minh W hàm ngẫu nhiên Wiener • Đặt t = ta có EW02 = 0, suy W0 = • Giả sử = t0 < t1 < < tn Đặt ξi = Wti − Wti−1 , i = 1, 2, , n Khi với i < j j − ≥ i nên ti−1 < ti ≤ tj−1 < ti suy cov(ξi , ξj ) = EWti Wtj − EWti Wtj−1 − EWti−1 Wtj + EWti−1 Wtj−1 = ti − ti − ti−1 − ti−1 = Do ma trận covariance ma trận đơn vị Vậy ξ1 , , ξn độc lập • Vì W trình Gauss nên Xt − Xs có phân bố Gauss với E(Xt − Xs ) = V ar(Xt − Xs ) = E(Xt − Xs )2 = EXt2 − 2EXt Xs + EXs2 = t − 2s + s = t − s Định lý 1.2.2 Hàm ngẫu nhiên Wiener có liên tục (1.2) 44 nên n {θ(Xsi , XT ) − θ(Xsi−1 , XT )} θ(Xt , XT ) = θ(Xa , XT ) + i=1 ≈ θ(Xa , XT ) n θ(Xsi−1 , XT ) + + i=1 ∂θ ∂ 2θ (Xsi−1 , XT )∆Xi + (Xsi−1 , XT )(∆Xi )2 − θ(Xsi−1 , XT ) ∂x ∂x (khai triển Taylor cho hàm θ(Xsi , XT ) điểm (Xsi−1 , XT )) n ≈ θ(Xa , XT ) + i=1 ∂θ (Xsi−1 , XT )∆Xi + ∂x n i=1 ∂ 2θ (Xsi−1 , XT ) (∆Xi )2 2 ∂x (2.26) Áp dụng bổ đề (2.3.10) cho hàm n lim ∆ →0 i=1 ∂θ (Xsi−1 , XT )∆Xi = ∂x ∂θ ∂x , t a ta có ∂θ (Xs , XT )dXs + ∂x t a ∂ 2θ (Xs , XT )(dXs )2 ∂x∂y (2.27) Mặt khác, n lim ∆ →0 i=1 t ∂ 2θ (Xsi−1 , XT ) (∆Xi )2 = ∂x2 a ∂ 2θ (Xs , XT )(dXs )2 ∂x2 (2.28) Từ phương trình (2.26), (2.27), (2.28) ta công thức định lý Bây giờ, ta chuyển f (Wt ) ϕ(WT − Wt ) thành f (Xt ) ϕ(Yt ) Xt Yt trình ngẫu nhiên thích hợp Xét t Xt = Xa + t g(s)dWs + a γ(s)ds, a ≤ t ≤ b, (2.29) a đó, Xa biến ngẫu nhiên Fa -đo được, g ∈ Lad (Ω, L2 [a, b]) γ ∈ Lad (Ω, L1 [a, b]) b Y (t) =Y (b) + b h(s)dWs + t χ(s)ds, a ≤ t ≤ b, (2.30) t Y (b) Fb độc lập, h ∈ L2 [a, b] χ ∈ L1 [a, b] hàm tất định Khi Yt trình ngẫu nhiên độc 45 Định lý 2.3.12 Giả sử θ(x, y) = f (x)ϕ(y), f, ϕ ∈ C (R) Cho Xt thỏa mãn phương trình (2.29) Y (t) thỏa mãn phương trình (2.30) Khi đó, với a ≤ t ≤ b, θ(Xt , Y (t) ) =θ(Xa , Y (a) ) t + a t + a ∂θ (Xs , Y (s) )dXs + ∂x ∂θ (Xs , Y (s) )dY (s) − ∂y t a ∂ 2θ (Xs , Y (s) )(dXs )2 ∂x2 t a (2.31) ∂ 2θ (Xs , Y (s) )(dY (s) )2 ∂y Chứng minh Ta có θ(Xt , Y (t) ) − θ(Xa , Y (a) ) n θ(Xti , Y (ti ) ) − θ(Xti−1 , Y (ti−1 ) ) = (2.32) i=1 n f (Xti )ϕ(Y (ti ) ) − f (Xti−1 )ϕ(Y (ti−1 ) ) = i=1 Vì với k > 2, (∆Xi )k = (∆Yi )k = o(∆ti ), sử dụng khai triển Taylor đến cấp hai hàm f ϕ ta thu f (Xti ) ≈ f (Xti−1 ) + f (Xti−1 )(∆Xi ) + f (Xti−1 )(∆Xi )2 , ϕ(Y (ti−1 ) ) ≈ ϕ(Y (ti ) ) + ϕ (Y (ti ) )(−∆Yi ) + ϕ (Y (ti ) )(−∆Yi )2 (2.33) 46 Từ phương trình (2.32) phương trình (2.33), ta có θ(Xt , Y (t) ) − θ(Xt , Y (a) ) n f (Xti−1 ) + f (Xti−1 )(∆Xi ) + f (Xti−1 )(∆Xi )2 ϕ(Y (ti ) ) = i=1 n − i=1 n f (Xti−1 ) ϕ(Y (ti ) ) + ϕ (Y (ti ) )(−∆Yi ) + ϕ (Y (ti ) )(−∆Yi )2 f (Xti−1 )ϕ(Y (ti ) )(∆Xi ) + f (Xti−1 )ϕ(Y (ti ) )(∆Xi )2 = i=1 n − i=1 n (2.34) f (Xti−1 )ϕ (Y (ti ) )(−∆Yi ) + f (Xti−1 )ϕ (Y (ti ) )(−∆Yi )2 ∂θ ∂ 2θ (Xti−1 , Y (ti ) )(∆Xi ) + (Xti−1 , Y (ti ) )(∆Xi )2 ∂x ∂x2 = i=1 n + i=1 ∂ 2θ ∂θ (ti ) (Xti−1 , Y )(∆Yi ) + (Xti−1 , Y (ti ) )(∆Yi )2 ∂y ∂y Khi ||∆|| → 0, tổng phương trình (2.34) hội tụ đến t a ∂θ (Xs , Y (s) )dXs + ∂x t + a t a ∂θ (Xs , Y (s) )dY (s) − ∂y ∂ 2θ (Xs , Y (s) )(dXs )2 ∂x2 t a ∂ 2θ (Xs , Y (s) )(dY (s) )2 ∂y Vậy định lý chứng minh Hệ 2.3.13 Giả sử θ(t, x, y) = τ (t)f (x)ϕ(y), f, ϕ ∈ C (R) τ ∈ C ([a, b]) Cho Xt thỏa mãn phương trình (2.29) Y (t) thỏa mãn phương trình (2.30) Khi đó, t θ(t, Xt , Y (t) ) =θ(a, Xa , Y (a) ) + a t + a t + a ∂θ (s, Xs , Y (s) )ds ∂s ∂θ (s, Xs , Y (s) )dXs + ∂x ∂θ (s, Xs , Y (s) )dY (s) − ∂y t a ∂ 2θ (s, Xs , Y (s) )(dXs )2 ∂x2 t a (2.35) ∂ 2θ (s, Xs , Y (s) )(dY (s) )2 ∂y Định lý 2.3.14 Giả sử θ(x, y) = f (x)ϕ(y), f ∈ C (R) ϕ ∈ M∞ Cho Xt thỏa mãn phương trình (2.29) Y (t) thỏa mãn phương trình (2.30) Khi 47 đó, với a ≤ t ≤ b, θ(Xt , Y (a) ) =θ(Xa , Y (a) ) t + a t − a t ∂θ (Xs , Y (a) )dXs + ∂x a ∂ 2θ (Xs , Y (a) )(dXs )2 ∂x2 (2.36) ∂ 2θ (Xs , Y (a) )(dXs )(dY (s) ) ∂x∂y Chứng minh Từ phương trình (2.36), ta cần dθ(Xt , Y (a) ) = ∂θ ∂ 2θ (Xt , Y (a) )dXt + (Xt , Y (a) )(dXt )2 ∂x ∂x2 ∂ 2θ (Xt , Y (a) )(dXt )(dY (t) ) − ∂x∂y (2.37) Để đơn giản kí hiệu, ta đặt D = dθ(Xt , Y (a) ) Xét D = d f (Xt )ϕ(Y (a) ) ∞ =d f (Xt ) n=0 ∞ =d f (Xt ) n=0 ϕ(n) (0) Y (a) n! n ϕ(n) (0) Y (a) − Yt + Yt n! n Áp dụng định lý nhị thức Y (a) − Yt = Y (t) , ta viết lại D thành ∞ D=d ∞ = n=0 f (Xt ) ϕ(n) (0) n! n=0 n ϕ(n) (0) n! n=0 n n=0 n k Y (t) k (Yt )n−k n d f (Xt )(Yt )n−k Y (t) k (2.38) k Chú ý rằng, Zt = f (Xt )Ytn−k tích trình Ito nên trình Ito Do đó, ta sử dụng công thức Ito định lý (2.3.12) để tính vi phân tổng phương trình (2.38) Lấy η(z, y) = zy k thu ηz (z, y) = y k , ηzz (z, y) = 0, ηy (z, y) = kzy k−1 , 48 ηyy (z, y) = k(k − 1)zy k−2 , từ d η Zt , Y (t) = Y (t) k d(Zt ) + kZt Y (t) − k(k − 1)Zt Y (t) k−2 dY k−1 (t) dY (t) (2.39) Sử dụng quy tắc tích Ito cho trình Ito, ta thấy dZt = f (Xt )d(Ytn−k ) + Ytn−k df (Xt ) + (df (Xt ))(d(Ytn−k )) = f (Xt ) (n − k)Ytn−k−1 dYt + (n − k)(n − k − 1)Ytn−k−2 (dYt )2 + Ytn−k f (Xt )dXt + f (Xt )(dXt )2 + (n − k)f (Xt )Ytn−k−1 (dXt )(dYt ) = f (Xt )(n − k)Ytn−k−1 dYt + (n − k)(n − k − 1)f (Xt )Ytn−k−2 (dYt )2 + f (Xt )Ytn−k dXt + f (Xt )Ytn−k (dXt )2 + (n − k)f (Xt )Ytn−k−1 (dXt )(dYt ) (2.40) 49 Từ phương trình (2.38), (2.39), (2.40) ta có ∞ D = f (Xt ) n=0 + f (Xt ) + f (Xt ) ∞ k=0 n! n=0 ∞ ϕ(n) (0) n! n k=0 n n Y n−k Y (t) k t k=0 n n=0 ∞ (n) ϕ n! k=0 n (0) n! n=0 k=0 n ∞ (n) ϕ (0) + f (Xt ) n=0 ∞ n=0 n! dYt (dYt )2 dXt k (dXt )2 n (n − k)Ytn−k−1 Y (t) k k−1 k (dXt )(dYt ) dY (t) n k(k − 1)Ytn−k Y (t) k k=0 k k n Y n−k Y (t) k t n kYtn−k Y (t) k k=0 n ϕ(n) (0) n! k n (n − k)(n − k − 1)Ytn−k−2 Y (t) k ϕ(n) (0) + f (Xt ) + f (Xt ) n (n − k)Ytn−k−1 Y (t) k ϕ(n) (0) n=0 ∞ − f (Xt ) n ϕ(n) (0) n! k−2 (dY (t) )2 1 = f (Xt )S1 dYt + f (Xt )S2 (dYt )2 + f (Xt )S3 dXt + f ”(Xt )S3 (dXt )2 2 + f (Xt )S1 (dXt )(dYt ) + f (Xt )S4 dY (t) − f (Xt ) S5 (dY (t) )2 (2.41) Để rút gọn D phương trình (2.41), ta cần tính tổng kí hiệu Si , i ∈ 1, 2, , S1 Tổng cho ∞ S1 = n=0 ∞ = n=1 Vì n n! k (n − k) = ϕ(n) (0) n! ϕ(n) (0) n! n−1 (n−1)! k ∞ S1 = n=1 n k=0 n−1 k=0 n (n − k)Ytn−k−1 Y (t) k k n (n − k)Ytn−k−1 Y (t) k k (2.42) , ta có ϕ(n) (0) (n − 1)! n−1 k=0 n−1 (n−1)−k Yt Y (t) k k , 50 áp dụng định lý nhị thức ta ∞ S1 = n=1 ϕ(n) (0) Yt + Y (t) (n − 1)! Do đó, từ định nghĩa Yt + Y (t) = Y (a) n−1 ∞ ϕ(n) (0) n−1 n=1 (n−1)! x = ϕ (x) ta S1 = ϕ (Y (a) ) (2.43) S2 Tổng thứ hai cho ∞ S2 = n=0 ∞ = n=2 Vì n n! k ϕ(n) (0) n! ϕ(n) (0) n! n k=0 n−2 ∞ S2 = n=2 k n (n − k)(n − k − 1)Ytn−k−2 Y (t) k k (2.44) k=0 (n − k)(n − k − 1) = n (n − k)(n − k − 1)Ytn−k−2 Y (t) k n−2 (n−2)! k ϕ(n) (0) (n − 2)! n−2 k=0 , ta có n−2 (n−k−2 Yt Y (t) k k , áp dụng định lý nhị thức ta ∞ S2 = n=2 ϕ(n) (0) Yt + Y (t) (n − 2)! Do đó, từ định nghĩa Yt + Y (t) = Y (a) n−2 ∞ ϕ(n) (0) n−2 n=2 (n−2)! x = ϕ (x) ta S2 = ϕ (Y (a) ) (2.45) S3 Tương tự, ta có ∞ S3 = n=0 ∞ = n=2 ϕ(n) (0) n! n k=0 n Y n−k Y (t) k t ϕ(n) (0) Yt + Y (t) n! = ϕ Y (a) n k (2.46) 51 S4 Bây giờ, ta tính tổng sau ∞ S4 = n=0 ∞ = n=0 ∞ = ϕ(n) (0) n! ϕ(n) (0) n! ϕ(n) (0) n! n=0 n k=0 n j=0 n j=0 n kYtn−k Y (t) k k−1 n (n − j)Ytj Y (t) n−j n (n − j)Ytj Y (t) j n−j−1 (2.47) n−j−1 = ϕ Y (a) S5 Cuối cũng, ta cần tính tổng sau ∞ S5 = n=0 ∞ = n=0 ∞ = n=0 =ϕ ϕ(n) (0) n! ϕ(n) (0) n! ϕ(n) (0) n! n k=0 n k=0 n k=0 n k(k − 1)Ytn−k Y (t) k k−2 n (n − j)(n − j − 1)Ytj Y (t) n−j n (n − j)(n − j − 1)Ytj Y (t) j n−j−2 (2.48) n−j−2 Y (a) Từ phương trình (2.41), (2.43), (2.45), (2.46), (2.47), (2.48) ta thu 1 D = f (Xt )S1 dYt + f (Xt )S2 (dYt )2 + f (Xt )S3 dXt + f (Xt )S3 (dXt )2 2 + f (Xt )S1 (dXt )(dYt ) + f (Xt )S4 dY (t) − f (Xt ) S5 (dY (t) )2 = f (Xt )ϕ Y (a) dYt + f (Xt )ϕ Y (a) (dYt )2 + f (Xt )ϕ Y (a) dXt + f ”(Xt )ϕ Y (a) (dXt )2 + f (Xt )ϕ Y (a) (dXt )(dYt ) + f (Xt )ϕ Y (a) dY (t) − f (Xt )ϕ Y (a) (dY (t) )2 52 Do dYt = −dY (t) , ta có Y (a) dY (t) + f (Xt )ϕ Y (a) (dYt )2 + f (Xt )ϕ Y (a) dXt + f ”(Xt )ϕ Y (a) (dXt )2 D = −f (Xt )ϕ − f (Xt )ϕ Y (a) (dXt )(dY (t) ) + f (Xt )ϕ Y (a) dY (t) − f (Xt )ϕ Y (a) (dY (t) )2 ∂θ ∂ 2θ (a) = dXt + Xt , Y Xt , Y (a) (dXt )2 ∂x ∂x ∂ 2θ − Xt , Y (a) (dXt )(dY (t) ) ∂x∂y Vậy định lý chứng minh Hệ 2.3.15 Giả sử θ(t, x, y) = τ (t)f (x)ϕ(y), τ ∈ C (R), f ∈ C (R) ϕ ∈ M∞ Cho Xt thỏa mãn phương trình (2.29) Y (t) thỏa mãn phương trình (2.30) Khi đó, t θ(t, Xt , Y (a) ) =θ(a, Xa , Y (a) )+ a t + a t − a ∂θ (s, Xs , Y (a) )ds ∂t ∂θ (s, Xs , Y (a) )dXs + ∂x t a ∂ 2θ (s, Xs , Y (a) )(dXs )2 ∂x2 (2.49) ∂ 2θ (s, Xs , Y (a) )(dXs )(dY (s) ) ∂x∂y Lấy Xa = Wa , g(t) ≡ γ(t) ≡ 0, Xt = Wt Hơn nữa, lấy Y (b) = 0, h(t) ≡ χ(t) ≡ 0, Y (t) = Wb − Wt Ta có hệ sau Hệ 2.3.16 Giả sử θ(x, y) = f (x)ϕ(y), f, ϕ ∈ C (R) Khi đó, θ(Wt , Wb − Wt ) =θ(Wa , Wb − Wa ) t + a t − a ∂θ (Ws , Wb − Ws )dWs + ∂x ∂θ (Ws , Wb − Ws )dWs − ∂y t ∂ 2θ (Ws , Wb − Ws )ds (2.50) ∂x2 t ∂ 2θ (Ws , Wb − Ws )ds ∂y a a 53 Hệ 2.3.17 Giả sử θ(x, y) = f (x)ϕ(y), f ∈ C (R) ϕ ∈ M∞ Khi đó, t θ(Wt , Wb − Wt ) =θ(Wa , Wb − Wa ) + a + t a ∂ 2θ ∂x2 ∂θ (Wt , Wb − Wa )dWs ∂x t (Wt , Wb − Wa )ds + a ∂ 2θ (Wt , Wb − Wa )ds ∂x∂y (2.51) Cuối cùng, ta lấy vài ví dụ phương trình vi phân ngẫu nhiên liên quan đến tích phân ngẫu nhiên để khác biệt hai trường hợp thích nghi không thích nghi Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên ≤ t ≤ T, dXt = f (Xt )dWt + g(Xt )dt, với điều kiện ban đầu X0 không thích nghi, ví dụ X0 = WT Một câu hỏi tự nhiên mối quan hệ nghiệm phương trình (giả sử phương trình có nghiệm nhất) nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô với điều kiện ban đầu X0 = x ?" Định lý 2.3.18 Cho h ∈ L2 ([0, T ])và ξ biến ngẫu nhiên độc lập với lọc {Ft } Khi nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên T ≤ t ≤ T, dXt = h(t)Xt dWt , X0 = ξ + h(s)dWs , (2.52) cho T Xt = t t h(s)2 ds h(s)dWs − ξ+ h(s)dB(s) − exp 0 t h(s)2 ds (2.53) Chứng minh Để kiểm tra trình ngẫu nhiên Xt xác định phương trình (2.53) nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên (2.52), áp dụng công thức Itô định lý (2.3.11) cho hàm t θ(t, x, y) = h(s) ds exp x − t y− h(s)2 ds 54 Để chứng minh tính nghiệm, giả sử Yt nghiệm khác với điều kiện ban đầu Y0 = X0 Lấy Zt = Xt − Yt Khi Zt thỏa mãn phương trình vi phân ngẫu nhiên dZt = h(t)Zt dWt , ≤ t ≤ T, Z0 = (2.54) Phương trình có nghiệm Zt = Do Xt = Yt tính nghiệm chứng minh Ví dụ 2.3.19 Nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên dXt = Xt dWt , t ≤ 0, X0 = x, (2.55) cho Xt = xeWt − t Thật vậy, xét hàm u(t, x) = ln x Ta có f (Xt ) = Xt g(Xt ) = Áp dụng công thức Itô ta có du(t, Xt ) = d(ln Xt ) = ux (t, Xt )dXt + uxx (t, Xt )f dt) 1 = dXt − X dt Xt Xt2 t 1 Xt dWt − dt Xt = dWt − dt = Vậy ln Xt = ln X0 + Wt − t suy 1 Xt = X0 eWt − t = xeWt − t Ví dụ 2.3.20 Chúng ta thay đổi điều kiện ban đầu B(1), ta có nghiệm Yt = W1 eWt − t , ta Yt nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên dYt = Yt dWt + Yt dt, ≤ t ≤ 1, Y0 = W1 W1 (2.56) 55 Thật Từ phương trình (2.56) ta có t t Yt = W + Ys ds W1 Ys dWs + 0 (2.57) Ta dùng phương pháp lặp để giải phương trình Đặt (1) Yt t W1 dWs Sử dụng kết (2) Yt = W1 = W1 Wt − t ta t = W1 + (1) Ys dWs t + t t = W1 + W1 dWs + (1) Ys ds W1 ds = W1 + W1 Wt − t + t = W1 (1 + Wt ) t W1 Ws dWs Tương tự, sử sụng kết = 21 W1 (Wt2 − t) − t Ws ds, 0 ≤ t ≤ ta (3) Yt t = W1 + t (2) Ys dWs + 0 (2) Ys ds W1 t = W1 + t W1 (1 + Ws )dWs + t = W1 + (1 + Ws )ds t W1 dWs + t W1 Ws dWs + (1 + Ws )ds 0 = W1 + W1 Wt − t + W1 (Wt2 − t) − t t Ws ds + (1 + Ws )ds 1 = W1 (1 + Wt + Wt2 − t) 2 Tiếp tục sử dụng kết phương trình (2.18) với f (x) = x2 ta (4) Yt 1 1 = W1 + Wt + Wt2 − t + Wt3 − tWt 2 3! Tổng quát, ta thấy m−1 (m) Yt = W1 n=0 Hn (Wt , t), n! (2.58) 56 Hn (x; ρ) đa thức Hermite bậc n với tham số ρ, [[n/2]] n (2k − 1)!!(−ρ)k xn−2k 2k Hn (x; ρ) = k=0 Cho m → ∞ phương trình (2.58), ta nghiệm Yt phương trình (2.56) ∞ Yt = W n=0 Mặt khác, ta lại có Hn (Wt ; t) n! ∞ tx− 12 ρt2 e = n=0 (2.59) tn Hn (x; ρ) n! Cho t = 1, x = Wt ρ = t ta ∞ e Wt − 21 t = n=0 Hn (Wt ; t) n! (2.60) Từ phương trình (2.59) (2.60), ta có Yt cho Yt = W1 eWt − t (2.61) 57 Kết luận Luận văn hệ thống lại số kết tích phân ngẫu nhiên Ito cổ điển hàm ngẫu nhiên Wiener, xây dựng định nghĩa tích phân Wiener, số tính chất tích phân Wiener; xây dựng định nghĩa tích phân Ito, số tính chất tích phân Ito, công thức Ito Luận văn tóm tắt lại hai cách tiếp cận để mở rộng tích phân ngẫu nhiên Ito, sau trọng trình bày phương pháp khác để mở rộng tích phân ngẫu nhiên Ito, đưa định nghĩa cho tích phân số kết mới, ví dụ công thức Ito phương trình vi phân ngẫu nhiên cho tích phân ngẫu nhiên Do trình độ thời gian tác giả có hạn, luận văn không tránh khỏi thiếu sót Rất mong góp ý thầy cô để luận văn hoàn thiện tác giả tiến lĩnh vực nghiên cứu 58 Tài liệu tham khảo [1] Đặng Hùng Thắng (2012), Xác suất nâng cao, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội [2] Nguyễn Duy Tiến (2005), Các mô hình xác suất ứng dụng, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, Hà Nội [3] W Ayed and H.-H Kuo, An extension of the Itô integral, Communications on Stochastic Analysis (2008), no 3, 323–333 [4] K Itô, Multiple Wiener integral, J Math Soc Japan (1951), 157–169 [5] H.-H Kuo, White Noise Distribution Theory, CRC Press, Boca Raton,1996 [6] H.-H Kuo, Introduction to Stochastic Integration, Universitext (UTX), Springer, New York, 2006 ... cận khác để mở rộng tích phân ngẫu nhiên Một phương pháp mở rộng tích phân ngẫu nhiên cho trình ngẫu nhiên không thích nghi Kiyosi Ito với ý tưởng mở rộng lọc Ft phân tích bội lấy tích phân (integrator)... 25 Mở rộng tích phân ngẫu nhiên Ito 27 2.1 Phương pháp ồn trắng 28 2.2 Phương pháp mở rộng tích phân ngẫu nhiên K .Ito 33 2.3 Một phương pháp mở rộng tích phân Ito. .. ngẫu nhiên Ito khái niệm quan trọng giải tích ngẫu nhiên Từ khái niệm người ta xây nên lớp trình ngẫu nhiên Ito Luận văn hệ thống lại số kết tích phân ngẫu nhiên Ito trình bày hướng mở rộng tích