Chuyên đề tỉ số thể tích

Tỉ số giữa thể tích khối tứ diện C EFQ′ và khối lăng trụ đã cho gần nhất với giá trị nào sau đây?. Trong cùng mặt phẳng MNR chứa G , gọi H là trung điểm của MR.. Cho tứ diện ABCD có trọ

Trang 1

https://www.facebook.com/tailieupro/

https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/

Câu 1 [THPT Chuyên Hà Tĩnh 2017 – Lần 2]

Cho lăng trụ đứng ABC A B C ′ ′ ′ có AB =a BC, =a 3, AC =2a và góc ( ) 0

CB ABC

  Mặt phẳng ( )P

đi qua trọng tâm tứ diện CA B C′ ′ ′ và song song với mặt (ABC), lần lượt cắt các cạnh AA BB CC′, ′, ′ tại

, ,

E F Q Tỉ số giữa thể tích khối tứ diện C EFQ′ và khối lăng trụ đã cho gần nhất với giá trị nào sau đây?

Chọn A.

Cách 1: Xác định thiết diện chính xác

Gọi , , , ,M N R T G lần lượt là trung điểm của CA C B A B A C MN′, ′ ′, ′ ′, ′ ′,

Khi đó G là trọng tâm tứ diện CA B C′ ′ ′

Trong cùng mặt phẳng (MNR) chứa G , gọi H là trung điểm của MR

Suy ra GH // NR // A C′ ′ (1)



′ ′

⇒



song song

GH A C



′ ′

 đi qua K cắt AA CC′, ′ tại ,E Q

song song

HK A B



′ ′

1

EFQ

C EFQ

lang tru A B C

′

′ ′ ′

′ ′ (Do S A B C′ ′ ′ =S EFQ)

C Q′ =KT = MT = CC′( MT là đường trung bình CC A∆ ′ )

C EFQ

lang tru

Cách 2: Không biết chính xác thiết diện, dùng Talet không gian

Dựng tùy ý thiết diện sao cho QF B C′ ′,FE A B QE′ ′, A C′ ′

1

EFQ

C EFQ

lang tru A B C

′

′ ′ ′

′

′ ′ (Do S A B C′ ′ ′ =S EFQ)

Talet

EFQ A B C







′

Vậy V C EFQ′ 1.C Q′ 1 1 1 0, 083

F

E

H T

R G

M

N

C'

B'

B

C'

F

E Q

R

G

C'

B' C'

B

A C

G'

Chương 1 THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỈ SỐ THỂ TÍCH

Trang 2

Bổ đề 1

Cho tứ diện ABCD có trọng tâm tứ diện là G Gọi I là trọng tâm

ABC

∆ Chứng minh rằng: 3

4

AG

AI =

Chú ý: Đường thẳng kẻ từ đỉnh đi qua trọng tâm tứ diện thì sẽ đi

qua trọng tâm của tam giác đáy đối diện đỉnh đó

Gọi J là trọng tâm ACD∆ và điểm M là trung điểm của CD

IJ AB

3 4

AG

AI

→ =

Câu 2 [THPT An Sơn 2 – Nghệ An 2017 – Lần 3]

Biết khối chóp S ABCD có thể tích là 3

6dm và khối chóp S ABD có thể tích là 3

3, 5dm Khi đó thể tích khối

tứ diện CSBD có thể tích là:

4, 5dm

Chọn B.

6 2, 5

SBCD

Câu 3 [THPT Quốc Học Quy Nhơn – Bình Định 2017 – Lần 2]

Cho tứ diện ABCD có thể tích là V , trên cạnh AB lấy điểm E sao cho AE =3EB Tính thể tích khối tứ

diện EBCD theo V là:

A

2

5

3

4

V

Câu 4 [THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu – Đồng Tháp 2017 – Lần 2]

Cho tứ diện OABC có OA OB OC, , đôi một vuông góc nhau và OA=2 ,a OB=3 ,a OC =8a Gọi M là trung

điểm OC Tính thể tích khối tứ diện OABM

A 3

6a

Câu 5 [THPT Tứ Kỳ – Hải Dương 2017 – Lần 3]

Cho tứ diện OABC có OA OB OC, , đôi một vuông góc nhau và OA=OB =OC = Gọi H là trực tâm của 2

ABC

∆ Gọi , , ,M N P Q lần lượt là trung điểm của AB AC BC OH, , , Tính thể tích khối tứ diện MNPQ ?

A 1

6

Chọn D.

∆ đều cạnh 2 2 , MNP∆ đều cạnh bằng 2

G

M

C

A

J

I

Chọn D.

BECD

V

Chọn B.

3

V = S OA= OB OC OA= a

8 4

AOBM OBM

AOBM AOBC OBC

Trang 3

Ta có:

2

3

MNP MNPQ

MNPQ OABC ABC

V

 



 

Câu 6 [THPT Bình Mỹ – An Giang 2017]

Cho khối chóp S ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), 0

AB= cm BC = cm ABC = , 6

SA= cm Trên các tia SA SB SC, , lấy các điểm ,A B C′ ′, ′ sao cho SA′=4SA SB, ′=3SB SC, =2SC′ Tính

thể tích khối chóp SA B C′ ′ ′?

360cm

Câu 7 [THPT Chuyên Bảo Lộc – Lâm Đồng 2017]

Cho tứ diện đều SABC có cạnh bằng a và thể tích khối tứ diện là V Trên cạnh SA SB SC, , lấy các điểm

, ,

SP

+ Gọi V ′ là thể tích khối chóp S MNP Tính V ′ theo

a?

A 3 2

12

a

120

a

160

a

16

a

Chọn C.

SABC

a

3

SMNP

SABC

Câu 8 [THPT Nguyễn Du – TPHCM 2017]

Cho hình chóp tam giác S ABC có M là trung điểm của SB , N là điểm nằm trên SC sao cho NS =3NC

P là điểm trên cạnh SA sao cho PA=2PS Ký hiệu V V1, 2 lần lượt là thể tích của khối tứ diện BMNP và

SABC Tính tỉ số 1

2

V

V ?

A 1

2

1

6

V

2

1 9

V

2

3 4

V

2

1 8

V

V =

Chọn D.

SPMN

SPMN SABC

;

MB

d B MNP

1

MNP

Chọn A.

2

1

2

ABC

S = AB BC ABC = cm Do hai khối chóp SABC SA B C, ′ ′ ′ chung đỉnh nên:

SA B C

SABC

′ ′ ′

Trang 4

Câu 9 [THPT Đoàn Thượng – Hải Dương 2017 – Lần 2]

Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 12 và điểm G là trọng tâm của ABC∆ , điểm M là trung điểm BD

Tính thể tích V của khối chóp S BGM ?

9

Chọn A.

Gọi ,H K lần lượt là hình chiếu của ,G C lên BD

.

1

2

S BGM BGM

S ABC ABC

BD GH

V

BD CK

Câu 10 [THPT Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên 2017]

Cho hình chóp đều S ABCD có cạnh đáy bằng a , góc giữa mặt bên và đáy bằng 0

45 Gọi , ,M N P là trung điểm SA SB CD, , Tính thể tích khối tứ diện AMNP theo a ?

A 3

24

96

32

48

a

Chọn D.

SPO

a

O ⇒ SO =OP = AD =

3

a

3

PAMN AMN

PSAB SAB

Câu 11 [THPT Chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An 2017 – Lần 3]

Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích là V Gọi M là trung điểm của SB,

P là điểm thuộc cạnh SD sao cho SP =2DP Mặt phẳng (AMP) cắt SC tại N Tính thể tích khối đa diện

ABCDMNP theo V ?

A 23

5

30V

Chọn A Xác định giao điểm N ?

Trong mặt (SBD): MP cắt SO tại E ⇒E ∈(SAC)

Trong mặt (SAC): AE cắt SO tại N

Áp dụng định lý Menelaus cho các tam giác:

3

SOD

SOC

SAMP SABD

V

G

M

C

M

N

B

C

S H

S

E

O

P M

C

A

D

B

S

N

Trang 5

2

SMNP SMNP

SMNP SBCD

SABCD

V

23 30

ABCDMNP SABCD SAMP SMNP

Định lý Menelaus.

Trong ABC∆ có , ,M P N thẳng hàng MA PB NC 1

MB PC NA

Câu 12 [THPT Chuyên Lê Quý Đôn – Lai Châu 2017 – Lần 3]

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 3a Gọi G G G G1, 2, 3, 4 là trọng tâm của 4 mặt tam giác của tứ diện

ABCD Tính thể tích V của khối tứ diện G G G G1 2 3 4

4

a

12

a

18

a

32

a

Chọn B.Gọi , ,M N P là trung điểm của BC CD BD, ,

ABC G G G

AG G G G tai E



⇒ 



MNP

∆ đều cạnh 3

2a , 1 2 1 2

3

MN = AN =

G G G

⇒ ∆ đều cạnh

1 2 3

2

1 2

a

( ) 1

2 3





a

Vậy

1 3 4 1 2 3

2

4

G G G G G G G

a

Bình luận. Nhận thấy G G G G1 2 3 4 là tứ diện đều cạnh bằng 3 2

12

a  →V =

Câu 13 [THPT Chuyên Nguyễn Quang Diệu – Đồng Tháp 2017 – Lần 2]

Cho lăng trụ đứng ABC A B C ′ ′ ′ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A ; E là trung điểm B C′ ′; CB′ cắt

BE tại M Tính thể tích V của khối tứ diện ABCM biết AB=3 ,a AA′=6a

8

6

7

V = a

Chọn C

B ABC ABC

V ′ = S BB′= AB BB′= a

′ (1)

B C BC

′

6

N A

M

G3 G2

G1 G4 P N

C

A

M

E

M

E B'

C'

A'

Trang 6

Câu 14 [THPT Phù Cừ – Hưng Yên 2017]

Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a , SA vuông góc với đáy (ABCD) và

SA = Điểm M thuộc cạnh SA sao cho a SM k

SA = Xác định k để mặt phẳng (BMC) chia khối chóp

S ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau

2

Chọn A

( ) ( ) giao tuyen

song song



2



2

SMBC SMCD

SABCD

V

+

1

k SMNCB SABCD

Câu 15 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Điểm M là trung điểm của SA , điểm

N thuộc cạnh SB sao cho SN =2NB Mặt phẳng ( )P đi qua ,M N cắt các cạnh SC SD, lần lượt tại ,P Q

Gọi SP ; SQ

SC = SD = thỏa mãn tỉ số thể tích giữa khối chóp S MNPQ và S ABCD bằng 1

3 Tính giá trị của biểu thức T =2x+3y?

2

3

T =

Chọn A

Bổ đề 2 SA SC SB SD

SM +SP =SN +SQ

2

y

+

.

3

S MNP

S ABC

.

1

S MQP

S ADC

y x

+

.

2

S ABCD

x V

+

Bổ đề 2 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Một mặt phẳng ( )P cắt các cạnh

, , ,

SA SB SC SD lần lượt tại , , ,M N P Q Chứng minh rằng: SA SC SB SD

SM +SP =SN +SQ

N

C

B

S

M

N

Q

C

A

D

B

S

M

P

Trang 7

Ta có: V SMNQ +V SPNQ =V SNMP +V SQMP (1)

Đặt

2

V

2

SMNQ SMNQ

SMNQ SABD

V

Từ (1) ta được: SM SN SQ SP SN SQ SQ SM SP SN SM SP

SA SB SD +SC SB SD =SD SA SC +SB SA SC

Chia cả 2 vế cho . . .

SM SN SP SQ

SA SB SC SD ta được SA SC SB SD

SM +SP =SN +SQ (ĐPCM)

Tiêu đề	Chuyên Đề Tỉ Số Thể Tích
Trường học	Trường Trung Học Phổ Thông Chuyên Hà Tĩnh
Chuyên ngành	Toán Hình Học
Thể loại	Tài Liệu Bài Tập
Năm xuất bản	2017
Thành phố	Hà Tĩnh

Định dạng
Số trang	7
Dung lượng	235,4 KB