Dạy học sử dụng điểm rơi bất đẳng thức cho học sinh lớp 8

Trong các yêu cầu của việc giải bài tập toán nói chung và chứng minh các bất đẳng thức toán học nói riêng thì việc tìm hiểu sự liên hệ của bài này đối với bài khác của bất đẳng thức này

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ.

1 Lý do chọn đề tài.

Trong các yêu cầu của việc giải bài tập toán nói chung và chứng minh các bất đẳng thức toán học nói riêng thì việc tìm hiểu sự liên hệ của bài này đối với bài khác của bất đẳng thức này đến bất đẳng thức khác là một trong những yêu cầu cần đặt ra đối với học sinh Trong quá trình giảng dạy môn Đại số ở trường THCS tôi nhận thấy các bài tập về phần bất đẳng thức đều mang đậm một nội dung phong phú và đa dạng Ở những bài tập khó có tiềm ẩn đòi hỏi sự khai thác sáng tạo, phát hiện để mang lại những kết quả đầy lý thú, kiến thức mở rộng và sâu sắc Tuy nhiên để làm được điều đó thì đòi hỏi ở thày và trò một quá trình làm việc nghiêm túc mang tính sáng tạo Việc phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh có thể diễn ra theo nhiều hướng, nhiều mức độ khác nhau, nâng cao dần sự tiếp thu của học sinh Có thể từ những gợi ý ban dầu ta giải quyết bài toán một cách rể ràng điển hình là những bài bất đẳng thức di đôi với bài bất đẳng thức là

kỷ thuật điểm rơi nếu không dạy cho học sinh thì quả là một thiếu sót của giáo viên Với kỷ thuật điểm rơi có những điểm rơi ở ngay tại biên có những điểm rơi roi vào vị trí trung tâm Trên cơ sở trên tôi đã chọn tôi viết sáng kiến kinh

nghiệm :"Dạy học sử dụng điểm rơi bất đẳng thức cho học sinh lớp 8" áp

dụng cho học sinh lớp 8

2 Mục đích nghiên cứu

Hệ thống cho học sinh một số vấn đề về lý thuyết

Phát huy khả năng suy luận, tư duy lôgíc, óc phán đoán, sự linh hoạt, sáng tạo của học sinh khi giải các bài tập về bất đẳng thức trong chương trình Đại số lớp 8

Góp phần nâng cao chất lượng dạy và học trong trường phổ thông, đặc biệt trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi và ôn thi vào lớp 10

3 Đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu dạy học sử dụng điểm rơi bất đẳng thức cho học sinh lớp 8

là một phần quan trọng của đại số 8 trong chương Toán THCS Phần nhiều những bài toán khó của đại số là bài bất đẳng thức xuất phát từ yêu cầu của

những đề thi Một phần nào những kiến thức khó của đại số lớp 8 đó là bất đẳng

thức.

4 Phương pháp nghiên cứu

4.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận

“Phát triển tư duy khoa học” và “tăng cường ở các em ý thức, năng lực vận dụng một cách thông minh những điều đã học”

4.2 Phương pháp quan sát

Nhìn nhận lại quá trình học tập môn toán của học sinh của trường trong năm học vừa qua

Đưa ra một số biện pháp để nâng cao kết quả học tập cho học sinh của trường trong giai đoạn hiện nay

PHẦN 2: NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Xuất phát từ thực tiễn giảng dạy và trước bức xúc cuả việc phụ đạo học sinh yếu và bồi dưỡng học sinh khá giỏi trong các kỳ thi Tôi đã tập trung nghiên cứu thông qua một số tài liệu và qua thực tế giảng dạy để viết đề tài này,

hy vọng giúp cho các em học sinh có một công cụ để giải các bài toán về bất đẳng thức và qua đó phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh Bên cạnh đó tôi hy vọng đem lại sự định hướng cho bồi dưỡng học sinh khá giỏi cho các bạn đồng nghiệp

Thông qua kinh nghiệm sáng kiến này và cùng với sự tự nghiên cứu, học hỏi các bạn đồng nghiệp tôi đã rút ra được bài học kinh nghiệm:

- Trước một bài bất đẳng thức của các đề thi: từ đề thi học kì , đề thi học sinh giỏi đến đề thi vào lớp 10 các em chưa định hình được lời giải tôi cung cấp cho các em thêm một phương pháp đó là kỷ thuật điểm rơi

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Khigiảng dạy trên lớp gặp một số bài tập về bất đẳng thức tôi thấy học sinh còn rất nhiều lúng túng trong việc làm bài tập ,hay định hướng cách làm ,đặc biệt là học sinh học ở mức độ trung bình

Thực hiện việc kiểm tra một vài bài tập về nội dung đề tài thấy

Số lượng học

sinh

Điểm giỏi Điểm khá Điểm trung

bình

Điểm yếu Điểm kém

Trước vấn đề trên tôi thấy việc cần thiết phải hướng dẫn học sinh Dạy học sử dụng điểm rơi bất đẳng thức cho học sinh lớp 8 là một việc cần thiết cho học

sinh , để giúp học sinh có thêm kiến thức về bất đẳng thức , tao điều kiện cho học sinh khi làm bài tập về bất đẳng thức

2.3 Những giải pháp đã sử dụng

A CƠ SỞ LÝ THUYẾT.

I- NHỮNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

Trước hết để chứng minh được các bất đẳng thức toán học thì học sinh phải nắm được định nghĩa và các tính chất sau đây:

1 Định nghĩa: Ta gọi hệ thức dạng a  b (hay dạng a  b; a  b; a  b) là bất

đẳng thức

Nếu a  b  a - b  0; Nếu a  b  a - b  0;

2 Tính chất:

- Nếu a  b  b  a;

- Nếu a  b, c  a + c  b + c;

- Nếu a  b, c  0  ac  bc;

- Nếu a  b, c  0  ac  bc;

- Nếu a  b và a, b  0  1  1

A(x) 2  0  A(x) dấu "="  A(x) = 0;

- A(x) 2  0  A(x) dấu "="  A(x) = 0;

Trên cơ sở định nghĩa và tính chất của bất đẳng thức xây dựng đường lối tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức

a) m là giá trị lớn nhất của f(x) trên miền (D) nếu như hai điều kiện sau đồng thời xảy ra:

1 f(x)  m  x (D)

2 tồn tại x0  (D) : f(xo) = m

Khi đó kí hiệu m = max f(x)

b) m gọi là giá trị nhỏ nhất trên miền (D) của f(x) nếu như hai điều kiện sau đồng thời thoả mãn:

1 f(x)  m  x (D)

2 tồn tại x0  (D) sao cho f(xo) = m

Khi đó kí hiệu m = min f(x)

Bất đẳng thức +, a2+b2  2ab

+,Với a,b >0 ta có Bất dẳng thức  

2

a b

a b



+, Với a,b >0 ta có Bất dẳng thức a b  a b2



Tất cả 3 dạng bất đẳng thức trên gọi là Bất đẳng thức (*)

MỘT SỐ KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI CỦA BẤT ĐẲNG THỨC

A MỘT SỐ QUY TẮC CHUNG KHI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ- SI

1 Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị đạt được tại biên và gần biên.

Bài tâp 1 (Đề học kì II lớp 9 năm học 2016-2017)

Cho x y, là các số thực dương thỏa mãn x 3y 

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A 4x2 9y2

xy



Phân tích : Điểm rơi vào phần tử cực biên khi x=3y

Bài giải: Ta có:

4x 9y 4x 9y 3x x 9y 9y



Cô – Si và x 3y và BĐT (*))

Dấu “=” xảy ra  x = 3y

Kết luận: GTNN của A là 15 khi x = 3y

Bài tâp 2( Đề thi vào lớp 10 Tỉnh Thanh Hóa 2012-2013) Cho hai số thực a; b

thay đổi , thoả mãn điều kiện a + b  1 và a > 0

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu- thức A = 2 2

4

8

b a

b a





Phân tích: Dự đoán điểm rơi là vì a=b= mà a+b=1 nên a b 1

2

 

1 1khi a 1

4a 2 2 nên ta ghép 1 víi a

4a

Bài giải:Tìm GTNN của A = 8 2 2

4

a b

b a



 với a+ b  1 và a > 0 Cách 1:Từ a+ b   1 b  1- a ta có:

2



a b

Dấu bằng xảy ra khi a = 1

2

Vậy GTNN của A =3

2 khi a = b = 1

2

Cách 2: Từ a+ b   1 b  1- a ta có:

2

2

4 (2 1) (2 1) 3

(2 1) ( 1) 3 3

a b

a

a

a





Khi vì với a > 0 thì (2 1) (2 1) 0

4

a

 Dấu bằng xảy ra khi a = 1

2

Nên từ (1) suy ra: A  0 +3

2 hay A 3

2 Vậy GTNN của A =3

2 khi a = b = 1

2

Bài tâp 3 : (Đề thi vào lớp 10 Tỉnh Thanh Hóa 2016-2017)Cho các số thực

dương a, b, c sao cho abc = 1

b

Phân tích : điểm rơi a=b=c=1

Bài giải:Vì a, b, c là các số dương nên

a + b = (a + b)(a - a b + a b - ab + b )

Tương tự ta có: 5 5  ; 5 5 

b c bc a b c c a ca a b c ;

b

Dấu “ =” xảy ra khi a = b = c = 1

Bài tâp 4(Đề thi vào lớp 10 tỉnh Thanh Hóa 2013-2014) Cho a, b, c là các số

thực dương thỏa mãn: ab + bc + ca  3

Chứng minh rằng:

b c c  a a  c

Phân tích:Dự đoán điểm rơi là a=b=c=1 nên ta có giá trị a4 1

b  3c4 khi a=b=c=1 Nên ta có b+3c=4 nên mẫu số của b+3c=16 ta có cặp

4

Bài giải : Áp dụng cosi:

4

2

3 1

a

b c





4

2

3 1

b

c a





4

2

3 1

c

a b





 VT + ( 3

16

b c

16

c a

16

a b

)  1 2 2 2

4 a b c  Dấu bằng xảy ra khi:

4

4

4

3

3 16

3 4 3

3 4 3

b c

b c

c a

a b

a b

















(do a;b;c dương)

Bài tâp 5(Đề thi vào lớp 10 tỉnh Thanh Hóa 2014-2015)

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu

thức Q = 1 + 1 + 1

x + y +1 y + z +1 z + x +1

Phân tích: điểm rơi là a=b=c=1 nên ta thấy ngay giá trị nhỏ nhất của Q là 1 Bài giải:

Với x, y, z là các số dương thỏa mãn xyz = 1 ta đặt x = a3, y = b3, z = c3  abc = 1

Khi đó ta có:

     

x + y +1 = a + b + abc = a + b a - ab + b + abc  a + b ab + abc = ab(a + b + c)

Tương tự:y + z +1 bc(a + b + c) 

z + x +1 ca(a + b + c) 

x + y +1 y + z +1 z + x +1 ab(a + b + c) bc(a + b + c) ca(a + b + c) 

Vậy GTLN của Q = 1 khi a = b = c, hay x = y = z =1

2 Kỷ thuật chọn điểm rơi ở tại tâm

Bài tâp 1 : (Đê thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn năm học 2016-2017)

Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn: 3

2

x y z  

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  

x yz 1 y zx 1 z xy 1 P

z zx 1 x xy 1 y yz 1

Phân tích: Chẩn hóa bất đẳng thức đưa về dạng

b b b

2 2

1 2 3 3

a a a a

a a

 

 

Điểm rơi xẩy ra khi x y z 1

2

  

Bài giải:

Ta có:

2

2

x yz 1 y zx 1 z xy 1 P

z zx 1 x xy 1 y yz 1

xy 1

yz 1 zx 1

y

zx 1 xy 1 zx 1



Áp dụng BĐT:

2 2

1 2 3 3

a a a a

a a

 

  (Dấu bằng  1 2 3

a

a a

b b b )

2

1 1 1

x y z

x y z

x y z

x y z

    

    

(2)

Lại áp dụng BĐT trên:

2

2 2 2 1 1 1

 

    (Dấu bằng  x = y = z)

3 Cosi

2

x y z

4 x y z 4 x y z



         

 

          

2 94 273 3 9 152 2

4.

2

     (3)

(Dấu bằng  x y z  4x y z9     x y z 32

Kết hợp (1) (2) (3) ta được:

15

2

2

x  y z

Bài tâp 2 : (HSG Huyện Hoằng Hóa năm học 2014-2015)

Cho a, b, c > 0; a + b + c = 3 Chứng minh rằng:

a 2 b 2 c 2 3

1 b 1 c 1 a 2

Phân tích :Đây là kỹ thuật BĐT cô si ngược chiều a 2 a

1 b 2b Nên ta phài dùng ngược lại bằng cách thếm dấu “-“

a

Sau đó áp dụng BĐT 1+b2  2b

CM BĐT a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca

=> ab + bc + ca +2( ab + bc + ca) 2(ab + bc + ca )+ a2 + b2 + c2 =(a+b+c)2 =9

Chứng minh:

2



Do a, b > 0 và 1 + b2 ≥ 2b với mọi b nên

Tương tự ta có : b 2 b bc

1 c   2 ; c 2 c ca

1 a   2

mà a + b + c = 3 nên a 2 b 2 c 2 3 ab bc ca

Cũng từ a + b + c = 3  (a + b + c)2 = 9

 a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 9

mà a2 + b2 ≥ 2ab; b2 + c2 ≥ 2bc; c2 + a2 ≥ 2ac nên a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca suy

ra 3(ab + bc + ca)  9  ab + bc + ca  3 (2)

Từ (1) và (2) suy ra a 2 b 2 c 2 3 3 3

1 b 1 c 1 a   2 2 đpcm

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1

Bài tâp 3 : (HSG Huyện Hoằng Hóa năm học 2012-2013)

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: x + y + z = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M 161 41 1

x y z

Phân tích : điểm rơi xảy ra khi x=y=z=1

3

Bài giải

Vì x + y +z = 1 nên:

21

       

( , 0)

x y



x z

z x ; 1

4

y z

z  y  ( Với mọi x, y, z > 0)

Từ đó 21 1 1 1 49

M      Dấu “=” xảy ra khi

1 7

2 1

7 , , 0

4 7

x

x y z

x y z

z













Vậy GTNN của M là 49

16 khi 1; 2; 4

x y z

Bài tâp 4 : (HSG Huyện Hoằng Hóa năm học 2011-2012)

Cho hai số a, b thoả mãn a + b ≠ 0 Chứng minh rằng: a2 + b2 +

2

1

ab

a b





Chứng minh:

Ta có a2 + b2 +

2

1

ab

a b





  ≥ 2  (a2 + b2)(a + b)2 + (ab + 1)2 ≥ 2(a + b)2

 (a + b)2 [(a + b)2 – 2ab] – 2(a + b)2 + (ab + 1)2 ≥ 0

 (a + b)4 – 2ab(a + b)2 – 2(a + b)2 + (ab + 1)2 ≥ 0

 (a + b)4 – 2(a + b)2(ab + 1) + (ab + 1)2 ≥ 0

 [(a + b)2 – ab - 1]2 ≥ 0 suy ra đpcm

Bài tâp 5 : (HSG Huyện Hoằng Hóa năm học 2015-2016)

Cho a, b, c > 0 thỏa mãn : a2 + b2 + c2 = 1

1 ab 1 bc 1 ca     2

Phân tích: + Điểm rơi tại tâm a=b=c(= 3

3 ) + Một bất đẳng thức quen thuộc là (a+b)2  4ab( dấu “=” xẩy ra khi a=b

+ Do vậy ta cần biến đổi 1-ab về -4ab như vậy ở mẫu là bặc 2 nên ta biến đổi

tử thành bậc 2

+ 2(a2+b2) (a+b)2

+Kỹ thuật dạng cộng mẫu số engl của bất đẳng thức cô si

a a a (a a a )

 

  

Do vậy

1 ab  4 4ab  4 (a   b) (sử dụng (a+b)2

 4ab)

4 2 1 (a b)2 2

4 (a b) 4 (a b)



 

    ( nguyên lý đồng bậc)

1 (a b)2 2 1 (a 2b)2 2

4 (a b) 4 2(a b )

    ((a2+b2) (a+b)2 )

1 (a 2b) 2 1 2 2(a 2b) 2 2 1 2 (a2 b) 2 2

4 2(a b ) 4(a b c ) 2(a b ) 2(a c ) 2(b c )

1 2 (a2 b)2 2 2 1 2a2 2 2b2 2

2(a c ) 2(b c ) 2(a c ) 2(b c )



engl của BĐT cô si)

Chứng minh:

Nhận xét: Ta có thể chứng minh

+ (a+b)2  4ab

+ 2(a2+b2) (a+b)2

+

a a a (a a a )

 

  

1 ab 4 4ab 4 (a b) 4 (a b) 4 2(a b )

4(a b c ) 2(a b ) 2(a c ) 2(b c )

1

2(a c ) 2(b c )

Bài tâp 6 (Đề thi vào lớp 10 tỉnh Thanh Hóa 2011-2012) Cho u, v là các số

dương thoả mãn u + v = 4

Tìm giá trị nhỏ nhất của: P = u2 + v2 + 33

uv

Phân tích : Điểm rơi của BĐT là u=v=2

Bài giải: Ta có: u + v = 4  u2 + v2 = 16 – 2uv

Mặt khác: u, v là các số dương nên áp dụng bất đẳng thức cô si ta có:

4uv  (u + v)2  4uv  16  uv  4

P = u2 + v2 + 33

uv = 16 – 2uv + 33

uv  16 – 2.4 + 33

4 = 65

4

P = 65

4 khi u = v và u + v =4  u = v = 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 654 khi u = v = 2

Bài tâp 7: (Đề thi vào lớp 10 tỉnh Thanh Hóa 2009-2010) Cho các số thực t,

u, v thoả mãn: u2 + uv + v2 = 1- 3 2

2

t Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: D = t + u + v

Phân tích: Dự đoán u=v=t nên giá trị nhỏ nhất D= 2 khi u v t 2

2

giá trị lớn nhất D= 2 khi u v t 2

2

  

Bài giải:Ta có: D2 = (t + u + v)2 = u2 + v2 + t2 + 2uv + 2ut + 2vt (1)

Mặt khác: Theo giả thiết u2 + uv + v2 = 1- 3 2

2

t  2uv = 2 - 2u2 - 2v2 -3t2 (2)

Thay (2) vào (1) ta được: D2 = 2 - u2 - v2 -2t2 + 2ut + 2vt = 2 – (u - t)2 – (v - t)2

 2

D2 = 2 khi

2

2 2

1

9 2

2 3 2 3

t t

u v uv t

v























hoặc

2 3 2 3 2 3

t

u

v

























Vậy: giá trị nhỏ nhất của D là - 2 khi

2 3 2 3 2 3

t

u

v

























Giá trị lớn nhất của D là 2 khi

2 3 2 3 2 3

t

u

v

























3 Kỷ thuật chọn điểm rơi ở gần tâm

Bài tâp 1: (Đề thi vào lớp 10 tỉnh Thanh Hóa 2007-2008)

Cho hai số tự nhiên a, b thoả mãn điều kiện: a + b = 2005 Tìm giá trị lớn nhất của tích ab

Phân tích: điểm roi lân cận phần tử trung bình giá trị lớn nhất khi a=1003 và

b=1004 hoặc a=1004 và b=1003

Bài giải: Từ a + b = 2005  a = 2005 - b Khi đó: ab = (2005 - b) b

Dấu “=” xẩy ra khi a=1003 và b=1004 hoặc a=1004 và b=1003

Vậy giá trị lớn nhất của ab bằng 505012 khi a=1003 và b=1004 hoặc a=1004 và

b=1003

Bài tâp 2: (Đề thi vào lớp 10 tỉnh Thanh Hóa 2006-2007) Chứng minh rằng

với a > 0 ta có:

2 2

5( 1) 11





Phân tích : điểm rơi xẩy ra khi a=1

Bài giải:

Với a > 0 Ta có:

Dấu “=” xẩy ra khi:

2

1

1 4 1

1 0

a a





















Vậy: 2 2



 Với a > 0

- Kiểm tra lớp 8 E - Tổng số học sinh: 38 h/s thoài gian kiểm tra 20 phút;

Bài tập kiểm tra : (Đề thi HKII toán 8 năm học 2016-2017 )

Cho các số thực dương a, b, c

Phân tích :Đây là bài BĐT thi vào lớp 10 năm học 2016-2017 và năm

2014-2015 của tỉnh Thanh Hóa mấu chốt là BĐT 3 3

x  y  xy( x  y) và điểm rơi là x=y

Bài gải: Ta có

a + b + abc = a + b a - ab + b + abc 3 3    2 2 a + b ab + abc = ab(a + b + c)

Do đó: 3 3

a  b  abcab(a   b c)

Tương tự: 3 3

b + c + abc bc(a + b + c)

3 3

+ a + abc ca(a + b + c)

c

a + b + abc b + c + abc c + a + abcab(a + b + c) bc(a + b + c) ca(a + b + c) 

Vậy GTLN của A = 1 khi a = b = c

4 Hiệu quả của biện pháp:

Trong quá trình dạy học ở bậc THCS Tôi nhận thấy rằng các em học sinh rất có nhu cầu về tính nhẩm, do đó trong các tiết học tự chọn việc đưa các cách tính nhẩm cho học sinh gây nên hứng thú học tập cho các em rất cao, nên sau khi đưa các cách tính nhẩm cho các em học sinh tôi thấy phương pháp trên cũng phần nào mang lại hiệu quả nhất định cho các em

Kết quả thực hiện của phương pháp trên:

Năm học

2016-2017

Lớp 6 (Sĩ số 44HS)

Số HS chưa biết tính nhẩm

Số HS biết tính nhẩm

(100%)

0 HS (0%)

(69.6%)

15 HS (39.4%)

PHẦN 3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

- KẾT LUẬN:

Khai thác lời dạy của một bài toán nói chung và một bài tập chứng minh bất đẳng thức đại số nói riêng có tác dụng rất lớn đối với các đối tượng học sinh