BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THỊ THANH THẢO MÔĐUN HẦU COHEN-MACAULAY VÀ HỆ SỐ HILBERT Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS CAO HUY LINH Huế, năm 2015 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng tôi, số liệu kết nghiên cứu ghi luận văn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa công bố công trình khác Học viên thực Trần Thị Thanh Thảo i LỜI CẢM ƠN Tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến thầy giáo, tiến sĩ Cao Huy Linh, tận tình giảng dạy giúp đỡ hoàn thành tốt luận văn Tôi xin gởi lời cảm ơn sâu sắc đến quý thầy cô giáo khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Huế tận tâm truyền đạt kiến thức cho suốt trình học Cao học Tôi xin cám ơn tác giả báo mà tham khảo sử dụng luận văn Tôi xin cảm ơn quan tâm, giúp đỡ, động viên quý thầy cô giáo bạn bè suốt thời gian làm luận văn Huế, ngày 30 tháng năm 2015 Học viên thực Trần Thị Thanh Thảo ii MỤC LỤC Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục Bảng kí hiệu Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Vành thương địa phương hóa 1.2 Tập Ass tập Supp 1.3 Dãy quy độ sâu 12 1.4 Chiều vành môđun 13 1.5 Hệ tham số 14 1.6 Vành môđun Cohen-Macaulay 15 1.7 Vành môđun phân bậc 17 1.8 Hàm Hilbert môđun phân bậc 20 Chương Môđun hầu Cohen-Macaulay hệ số Hilbert 22 2.1 Định nghĩa môđun hầu Cohen-Macaulay 22 2.2 Ví dụ 24 2.3 Các tính chất môđun hầu Cohen - Macaulay 24 2.4 Hệ số Hilbert vành hầu Cohen-Macaulay 28 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 BẢNG KÍ HIỆU RP Địa phương hóa R R \ P MP Địa phương hóa M R \ P Spec(R) Tập hợp tất iđêan nguyên tố R M ax(R) Tập hợp tất iđêan cực đại R AssR (M ), Ass(M ) Tập hợp tất iđêan nguyên tố liên kết M Supp(M ) Tập hợp {P ∈ Spec(R)|MP = 0} annR (x) Linh hóa tử x depth(I, M ) Độ sâu M ứng với iđêan I ZDR (M ) Tập tất ước không M dim(R) Chiều vành R HM Hàm Hilbert-Samuel iđêan I môđun M PM Đa thức Hilbert-Samuel ei = ei (I, M ) Hệ số Hilbert n(I, M ) Chỉ số Hilbert reg(M ) = reg (M ) Chỉ số quy Castelnuovo-Mumford M HIi (M ) (M ) Đối đồng điều địa phương thứ i M ứng với iđêan I Độ dài môđun M MỞ ĐẦU Trong sách [9], "Commutative Algebra", Matsumura phát biểu R vành Noether giao hoán M R-môđun hữu hạn sinh depth(P, M ) = depth(P RP , MP ) (∗) với P ∈ Supp(M ) [[9], (15C), p 97] Rất không may, phát biểu không Trong sách [3], Eisenbud ví dụ để chứng tỏ phát biểu Matsumura sai (xem [3], Lemma 18.1, p 448) Sau đó, Matsumura sửa lại phát biểu sách [10], "Commutative Ring Theory", depth(P, M ) ≤ depth(P RP , MP ) [[10], Exercise 16.5, p 132] Năm 1998, Yang Han [4] gọi lớp vành thỏa mãn đẳng thức (∗) D-vành (D-ring) Năm 2006, Ming-Chang Kang [6] nhận thấy lớp môđun thỏa mãn tính chất (∗) có nhiều tính chất tốt gần với môđun Cohen-Macaulay ông gọi lớp môđun hầu Cohen-Macaulay (almost Cohen-Macaulay) Mục đích luận văn nghiên cứu môđun hầu Cohen-Macaulay hệ số Hilbert ứng với iđêan tham số Lớp môđun Cohen-Macaulay có nhiều tính chất tốt đóng vai trò quan trọng đại số giao hoán Khi nghiên cứu lớp môđun hầu Cohen-Macaulay thấy số tính chất tương tự môđun CohenMacaulay Gần đây, số kết hệ số Hilbert, số mũ rút gọn, số quy, số Hilbert môđun hầu Cohen-Macaulay nghiên cứu [1], [5], Tương tự vậy, tính chất cho môđun Cohen-Macaulay phát Yang Han Kết luận văn tổng quan lại số tính chất môđun hầu Cohen-Macaulay mà trình bày báo [6] Ngoài ra, đạt số kết liên quan đến tính triệt tiêu hệ số Hilbert môđun hầu Cohen-Macaulay ứng với iđêan tham số Định lí sau kết mà đạt Định lí 2.4.10 Cho (R, m) vành Noether địa phương hầu Cohen-Macaulay với số chiều d ≥ q iđêan tham số Nếu depth(Gq (R)) ≥ d − reg(Gq (R)) ≤ ed−i = 0, ∀i = 0, , d − Đây kết mà đạt luận văn Phương pháp mà sử dụng dựa vào kết Brodmann-Linh [1] số quy để ước lượng số Hilbert Luận văn chia làm hai chương Trong Chương 1, trình bày số khái niệm tính chất liên quan đến chương sau Những khái niệm bao gồm: vành thương địa phương hóa, tập Ass tập Supp, dãy quy độ sâu, chiều vành môđun, hệ tham số, vành môđun Cohen-Macaulay, vành môđun phân bậc, hàm Hilbert môđun phân bậc Trong Chương 2, trình bày lại tính chất môđun hầu Cohen-Macaulay Phần cuối Chương 2, đưa điều kiện môđun hầu Cohen-Macaulay để hệ số Hilbert triệt tiêu Mặc dù có nhiều cố gắng, song trình nghiên cứu trình bày khó tránh khỏi sai sót, mong quý độc giả góp ý thêm để luận văn hoàn thiện Huế, ngày 30 tháng 07 năm 2015 Học viên thực Trần Thị Thanh Thảo CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, trình bày kiến thức sở để hổ trợ chương sau Các khái niệm bao gồm: vành thương địa phương hóa, tập Ass tập Supp, dãy quy độ sâu, chiều vành môđun, hệ tham số, vành môđun Cohen-Macaulay, vành môđun phân bậc, hàm Hilbert môđun phân bậc 1.1 Vành thương địa phương hóa Với tập hợp số nguyên Z, kí hiệu Z∗ = Z \ {0} Lúc này, Z∗ có tính chất ∈ Z∗ x, y ∈ Z∗ xy ∈ Z∗ Một tập có tính chất gọi tập nhân đóng Tổng quát, ta có định nghĩa tập nhân đóng sau: Định nghĩa 1.1 Cho R vành S ⊂ R, S gọi tập nhân đóng 1) ∈ S 2) x, y ∈ S ⇒ xy ∈ S Định nghĩa 1.2 Cho S tập nhân đóng vành giao hoán R Ta định nghĩa quan hệ ∼ R × S sau: (a, s) ∼ (b, s ) ⇔ ∃u ∈ S : u(s a − sb) = 0, ∀(a, s), (b, s ) ∈ R × S Lúc đó, ∼ quan hệ tương đương R × S Với (a, s) ∈ R × S, kí hiệu lớp tương đương quan hệ ∼ chứa (a, s) as Tập hợp tất lớp tương đương ∼ kí hiệu S −1 R Lúc này, S −1 R có cấu trúc vành với phép toán cộng nhân sau: b s a + sb a b ab a + = , = s s ss s s ss với a, b ∈ R, s, s ∈ S Tập S −1 R với hai phép toán trở thành vành giao hoán có đơn vị 1S −1 R = ss , s ∈ S, phần tử s t với s, t ∈ S khả nghịch Vành S −1 R gọi vành thương R S Ví dụ Cho R = Z, S = Z∗ tập nhân đóng Lúc đó, S −1 R = Q vành số hữu tỉ Tổng quát hơn, R miền nguyên vành thương S −1 R trường thương, với S = R \ {0} Và S −1 R xác định sau: a S −1 R = { | a ∈ R, s ∈ R \ {0}} s Ví dụ Nếu P iđêan nguyên tố vành R S = R\P tập nhân đóng Lúc đó, S −1 R = RP địa phương hóa Định nghĩa 1.3 Cho M R-môđun, S ⊂ R tập nhân đóng; ta định nghĩa S −1 M giống S −1 R S −1 M = { m |m ∈ M, s ∈ S}, s (m, s) ∼ (m , s ) ⇔ ∃u ∈ S : u(s m − sm ) = 0, ∀(m, s), (m , s ) ∈ M × S Phép cộng S −1 M phép nhân vô hướng phần tử S −1 R m m s m + sm a m am + = , = s s ss s s ss cho hM (n) = pM (n) với n Đa thức pM gọi đa thức Hilbert M viết dạng d−1 (−1)i ei pM (n) = i=0 với n+d−i−1 d−i−1 = (d−i−1)! (n n+d−i−1 d−i−1 + 1) (n + d − i − 1) Lúc đó, số nguyên e0 , , ed−1 gọi hệ số Hilbert M Đặc biệt, e0 gọi số bội e1 gọi hệ số Chern môđun M Số n0 bé cho kể từ vị trí trở mà đa thức Hilbert hàm Hilbert gọi số Hilbert (postulation number), kí hiệu nI (M ) = max {n | hM (n) = pM (n)} 21 CHƯƠNG MÔĐUN HẦU COHEN-MACAULAY VÀ HỆ SỐ HILBERT 2.1 Định nghĩa môđun hầu Cohen-Macaulay Trong sách [10] Matsumura phát biểu rằng, R vành Noether giao hoán M R-môđun hữu hạn sinh depth(P, M ) = depth (P RP , MP ) với P ∈ Supp(M ) [[9], (15C), p 97] Thật không may điều không sửa chữa "Lý thuyết vành giao hoán" ông Ở lại đặt câu hỏi xây dựng môđun M cho depth(P, M ) < depth(P RP , MP ) [[10], Exercise 16.5, p 132] Năm 1998, Yang Han gọi vành Noether giao hoán R D-vành depth(P, M ) = depth(P RP , MP ) với P ∈ Spec(R) Từ việc nghiên cứu môđun có tính chất depth(P, M ) = depth (P RP , MP ) với P ∈ Supp(M ), người ta nhận thấy môđun có số tính chất môđun Cohen-Macaulay nên đặt tên môđun hầu Cohen-Macaulay Định nghĩa 2.1 Cho R vành Noether giao hoán, M R-môđun hữu hạn sinh không tầm thường M gọi môđun hầu Cohen-Macaulay depth(P, M ) = depth(P RP , MP ) với P ∈ Supp(M ) R gọi vành hầu Cohen-Macaulay môđun hầu Cohen-Macaulay Mệnh đề 2.1.1 [[6], Lemma 1.5] Cho R vành Noether giao hoán, M R-môđun hữu hạn sinh M môđun hầu Cohen-Macaulay dimMP ≤ + depth(P, M ), với P ∈ Supp(M ) 22 Chứng minh Ta chứng minh phản chứng Nếu tồn P ∈ Supp(M ) dim(MP ) ≤ + depth(P, M ) M không hầu Cohen-Macaulay Giả sử M hầu Cohen-Macaulay depth(P, M ) = depth(P RP , MP ) = r Chọn M -dãy quy {x1 , , xr } P P/I iđêan nguyên tố liên kết môđun M/IM với I = Ann(M ) + (x1 , , xr ) Từ dim(MP ) = dim(R/Ann(M ))P ≥ r + 2, độ cao P/I R/I bé Nên có hữu hạn iđêan nguyên tố R/I chứa P/I Vì M hầu Cohen-Macaulay {x1 , , xr } M -dãy quy kéo theo M/(x1 , , xr )M = M/IM hầu Cohen-Macaulay Ta có P/I ∈ AssR/I (M/IM ) nên iđêan nguyên tố R/I chứa P/I nguyên tố liên kết M/IM Do AssR/I (M/IM ) không tập hữu hạn Điều vô lý Ngược lại, giả sử dimMP ≤ + depth(P, M ), ∀P ∈ Supp(M ), với P0 ∈ Supp(M ) với M -dãy quy cực đại {x1 , , xr } chứa P0 , ta P0 iđêan nguyên tố liên kết M/(x1 , , xr )M M hầu Cohen-Macaulay Đặt I = Ann(M ) + (x1 , , xr ) xét iđêan nguyên tố liên kết P0 /I vành R/I Ta có depth(P0 /I, M/I) = độ cao P0 /I R/I bé dimMP0 ≤ r + Nếu độ cao P0 /I không P0 /I ∈ AssR/I (M/IM ) Nếu độ cao P0 /I có P ∈ Spec(R) cho P0 ⊂ P P/I ∈ AssR/I (M/IM ) Do depth(P, M ) = r dimMP ≤ r + theo giả thiết Điều kéo theo P0 = P Do P0 /I ∈ AssR/I (M/IM ) 23 2.2 Ví dụ Ví dụ 11 Cho k trường Đặt R1 := k [X, Y ](X,Y ) /((X) ∩ (X, Y )2 ), R2 := k [X, Y, Z](X,Y,Z) /((X) ∩ (X, Y, Z)2 ) với k [X, Y ] k [X, Y, Z] vành đa thức trường k Lúc này, R1 có dim(R1 ) = depth(R1 ) = nên vành hầu CohenMacaulay vành Cohen-Macaulay R2 có dim(R2 ) = depth(R2 ) = nên vành hầu Cohen-Macaulay 2.3 Các tính chất môđun hầu Cohen Macaulay Từ Mệnh đề 2.1.1 ta có hệ sau Hệ 2.3.1 [[6], Corollary 2.5] 1) Nếu dim(M ) ≤ M môđun hầu Cohen-Macaulay 2) Nếu (R, m) vành địa phương M R-môđun Cohen-Macaulay M môđun hầu Cohen-Macaulay Chứng minh 1) Với P ∈ Supp(M ) depth(P, M ) ≥ dim(MP ) < dim(M ) ≤ nên dimMP ≤ + depth(P, M ), M hầu CohenMacaulay 24 2) Từ Định lí 1.6.2 phần (3) M Cohen-Macaulay MP CohenMacaulay Do với P ∈ Supp(M ) depth(P, M ) = depthMP = dimMP nên dimMP ≤ 1+depth(P, M ) Vậy M hầu Cohen-Macaulay Bổ đề 2.3.2 [[6], Lemma 2.4] Cho (R, m) vành địa phương, M R-môđun hữu hạn sinh Nếu dimM ≤ + depth(m, M ) M môđun hầu CohenMacaulay Chứng minh Ta chứng minh dimMP ≤ + depth(P, M ) với P ∈ Supp(M ) cách quy nạp depth(m, M ) − depth(P, M ) Nếu P = m depth(P, M ) = depth(m, M ) dimMP < dimM ≤ + depth(m, M ) = + depth(P, M ) Do dimMP ≤ + depth(P, M ) Nếu depth(P, M ) < depth(m, M ) ta có iđêan nguyên tố P1 cho P ⊂ P1 ⊂ m depth(P1 , M ) = 1+depth(P, M ) (theo Định lý 1.3.1) Theo giả thiết quy nạp, ta có dimMP1 ≤ 1+depth(P1 , M ) Do đó, dimMP < dimMP1 ≤ + depth(P1 , M ) = + depth(P, M ) Vậy dimMP ≤ + depth(P, M ) Bổ đề 2.3.3 [[6], Lemma 2.6] Cho M R-môđun 1) M hầu Cohen-Macaulay MP hầu Cohen-Macaulay với P ∈ Supp(M ) 2) M hầu Cohen-Macaulay MQ hầu Cohen-Macaulay với Q ∈ Supp(M ) ∩ M ax(R) 25 3) M hầu Cohen-Macaulay dimMQ ≤ 1+depth(QRQ , MQ ) với Q ∈ Supp(M ) ∩ M ax(R) 4) Cho x ∈ R không ước không M Nếu M hầu CohenMacaulay M/xM 5) Cho S tập nhân đóng R Nếu M hầu Cohen-Macaulay môđun S −1 M môđun hầu Cohen-Macaulay vành S −1 R Chứng minh Ta chứng minh M hầu Cohen-Macaulay MQ hầu Cohen-Macaulay với Q ∈ Supp(M ) ∩ M ax(R) Những chứng minh khác dễ dàng suy từ Định nghĩa 2.1 Bổ đề 2.1.1 Với P ∈ Supp(M ) bất kì, chọn iđêan cực đại Q ⊃ P cho depth(P, M ) = depth(P RQ , MQ ) (theo Định lí 1.3.2) Lúc theo Mệnh đề 2.1.1 M môđun hầu Cohen-Macaulay ⇔ dim(MP ) ≤ + depth(P, M ) ⇔ dim(MP ) ≤ + depth(P RQ , MQ ) ⇔ dim((MQ )P RQ ) ≤ + depth(P RQ , MQ ) ⇔ MQ môđun hầu Cohen-Macaulay Bổ đề 2.3.4 [[6], Lemma 2.7] Cho R vành Noether giao hoán, M R-môđun hữu hạn sinh, x ∈ R thuộc Jacobson R Nếu x không ước 26 không R M , giả sử M/xM môđun hầu Cohen-Macaulay R/(x), M môđun hầu Cohen-Macaulay Chứng minh Theo Mệnh đề 2.1.1 để chứng minh M môđun hầu CohenMacaulay ta chứng minh dimMQ ≤ + depth(QRQ , MQ ) với Q ∈ Supp(M ) ∩ M ax(R) hay dimMQ ≤ + depth(Q, M ) (theo Định lí 1.3.2) Với Q ∈ Supp(M ) ∩ M ax(R), ta có x ∈ Q đặt Q∗ = Q/(x) Lúc depth(Q, M ) = + depth(Q∗ , M/(x)M ) Theo Định lí 1.6.1, x không ước không R M nên dim(M ) = + dim(M/(x)M ) Do đó, dim(MQ ) = + dim((M/(x)M )Q ) Mà M/(x)M môđun hầu Cohen-Macaulay nên theo Mệnh đề 2.1.1 suy dim((M/(x)M )Q ) ≤ + depth(Q/(x), M/(x)M ) ⇔ dim(MQ ) − ≤ depth(Q, M ) Định lý 2.3.5 [[6], Theorem 1.6] Cho R vành Noether giao hoán R vành hầu Cohen-Macaulay vành R [[X1 , , Xn ]] hầu Cohen-Macaulay với n ≥ Chứng minh Từ Bổ đề 2.3.4, R [[X1 , , Xn−1 ]] R [[X1 , , Xn ]] /(Xn ) hầu Cohen-Macaulay, R [[X1 , , Xn ]] hầu Cohen-Macaulay Do đó, R hầu Cohen-Macaulay mà R R [[X1 ]] /(X1 ) R [[X1 ]] hầu Cohen-Macaulay Bằng quy nạp, ta có R [[X1 , X2 ]], ,R [[X1 , , Xn ]] hầu Cohen-Macaulay 27 Ngược lại, theo Bổ đề 2.3.3 phần (2) ta có R [[X1 , , Xn ]] hầu Cohen-Macaulay R [[X1 , , Xn ]] /(Xn ) R [[X1 , , Xn−1 ]] hầu Cohen- Macaulay Bằng quy nạp ta có R [[X1 , , Xn−2 ]] , , R hầu Cohen-Macaulay 2.4 Hệ số Hilbert vành hầu Cohen-Macaulay Trong 1.8, biết khái niệm hàm Hilbert hệ số Hilbert môđun phân bậc Trong phần này, ta nghiên cứu hệ số Hilbert-Samuel môđun vành địa phương Định nghĩa 2.2 Cho (R, m) vành Noether địa phương I iđêan mnguyên sơ R Giả sử M môđun hữu hạn sinh chiều d Hàm số HM :Z −→ N0 n −→ HM (n) =      (M/I n M ) n ≥ 0;    0 n < gọi hàm Hilbert-Samuel iđêan I môđun M Samuel chứng minh tồn đa thức PM ∈ Q [x] bậc d cho HM (n) = PM (n) với n Đa thức PM gọi đa thức Hilbert-Samuel viết dạng d (−1)i PM (n) = i=0 n+d−i−1 ei (I, M ) d−i Đôi người ta gọi hàm Hilbert đa thức Hilbert thay hàm HilbertSamuel đa thức Hilbert-Samuel Lúc đó, số nguyên ei (I, M ) gọi hệ số Hilbert iđêan I môđun M Số nguyên n lớn cho HM (n) = PM (n) gọi 28 số Hilbert iđêan I M , kí hiệu n(I, M ) n(I) thay cho n(I, R) Cho (R, m) vành địa phương, I iđêan m-nguyên sơ M R-môđun hữu hạn sinh Kí hiệu I n M/I n+1 M GI (M ) = n≥0 Người ta gọi GI (M ) môđun phân bậc liên kết M ứng với I Đặc biệt, GI (R) vành phân bậc chuẩn vành địa phương Artin R/I gọi vành phân bậc liên kết R ứng với I GI (M ) GI (R)-môđun phân bậc hữu hạn sinh với dim(GI (M )) = dim(M ) Hệ số Hilbert GI (M ) ei (GI (M )) = ei (I, M ), ∀i = 0, , d − Do đó, d−1 pGI (M ) (n) = i=0 Cho R = i≥0 Ri n+d−i−1 ei (I, M ) d−i−1 đại số phân bậc chuẩn vành địa phương R0 M R-môđun phân bậc hữu hạn sinh Ta kí hiệu R+ = i>0 Ri HRi + (M ) đối đồng điều địa phương M với giá R+ Lúc này, HRi + (M ) R-môđun phân bậc Artin Do đó, HRi + (M )n = với n đủ lớn Từ đây, ta kí hiệu (M ) =   max{n | H i (M )n = 0} H i (M ) = 0; R+ R+ HRi + (M ) =  −∞ Lúc đó, số quy cấp k M , reg k (M ), định nghĩa reg k (M ) = max{ai (M ) + i | i ≥ k} Đặc biệt, reg(M ) = reg (M ) gọi số quy CastelnuovoMumford M Giả sử L = Hm (M ) M = M/L Trong trường hợp d = người ta chứng minh mối liên hệ e1 (I, M ) e1 (I, M ) Bổ đề 2.4.1 [[5], Bổ đề 2.1] Nếu d = dim(M ) = e1 (I, M ) = e1 (I, M ) − (L) 29 Hệ 2.4.2 [[5], Hệ 2.2] Nếu d = dim(M ) = q iđêan tham số M e1 (q, M ) = − (L) Bổ đề 2.4.3 [[5], Bổ đề 2.3] Nếu d = dim(M ) ≥ ta có 1) ei (I, M ) = ei (I, M ) với i = 0, , d − 1; 2) ed (I, M ) = ed (I, M ) + (−1)d (L) Bổ đề 2.4.4 [[5], Bổ đề 2.4] Nếu d = dim(M ) ≥ 1) ei (I, M ) = ei (I, N ) với i = 0, , d − 2; 2) ed−1 (I, M ) = ed−1 (I, N ) + (−1)d (0 :M x) Bổ đề 2.4.5 [[1], Lemma 3.1] p(GI (R)) = n(I) Bổ đề 2.4.6 Nếu q iđêan tham số sinh d-dãy reg(Gq (R)) = Chứng minh Kết luận bổ đề suy trực tiếp từ [[12], Theorem 4.8] Định lý 2.4.7 [[1], Theorem 3.5] Cho R vành Noether địa phương có chiều d ≥ cho q iđêan tham số R Nếu depth(R) = d − depth(Gq (R)) ≥ d − 2, ta có reg(Gq (R)) = n(q) + d − 30 Bổ đề 2.4.8 Cho (R, m) vành địa phương, I iđêan m-nguyên sơ, M R-môđun hữu hạn sinh, n(I, M ) < −k (k ≥ 0) ed−i (I, M ) = 0, ∀i = 0, , k Chứng minh PM (n) = e0 = e0 n n+d−2 n+d−1 + (−1)d ed + + (−1)d−1 ed−1 − e1 d−1 d (n + d − 1)! (n + d − 2)! n! − e1 + + (−1)d−1 ed−1 d!(n − 1)! (d − 1)!(n − 1)! (n − 1)! + (−1)d ed = e0 n(n + 1) (n + d − 1) n(n + 1) (n + d − 2) − e1 + d! (d − 1)! + (−1)d−1 ned−1 + (−1)d ed (∗) Với k = 0, ta cần chứng minh ed = Theo giả thiết HM (n) = PM (n), ∀n ≥ Tức PM (0) = HM (0) = (M/I M ) = (M/M ) = Thế n = vào (∗)ta (−1)d ed = =⇒ ed = Với k = 1, theo giả thiết n(I, M ) < −1 Ta cần chứng minh ed = ed−1 = Vì n(I, M ) < −1 nên HM (n) = PM (n) = 0, ∀n ≥ −1 Từ HM (0) = PM (0) = ta suy ed = Từ HM (−1) = PM (−1) = ta suy (−1)d ed−1 + (−1)d ed = Mà ed = nên ed−1 = Chứng minh quy nạp, ta có n(I, M ) < −k HM (n) = PM (n), ∀n ≥ −k Thật vậy, với n = ta có ed = 0, với n = −1 ta có ed−1 = 0, , với n = −k ed−k = Mệnh đề 2.4.9 Cho (R, m) vành Noether địa phương hầu Cohen-Macaulay với số chiều d ≥ q iđêan tham số Nếu depth(Gq (R)) ≥ d − 31 reg(Gq (R)) = ed−i = 0, ∀i = 0, , d − Chứng minh Vì R vành hầu Cohen-Macaulay nên theo Bổ đề 2.3.2 ta có depth(R) ≥ dim(R) − Nếu depth(R) = dim(R) R vành Cohen-Macaulay nên ei = 0, ∀i = 1, , d Nếu depth(R) = dim(R) − theo giả thiết reg(Gq (R)) = nên theo Định lí 2.4.7 ta có n(q) = − d Xét d = ta cần chứng minh e2 = Lúc này, n(q) = − d = −1 < Áp dụng theo Bổ đề 2.4.8 với k = 0, ta có e2 = Bằng quy nạp, ta có n(q) = − d < −(d − 2) Áp dụng Bổ đề 2.4.8 với k = d − 2, ta có ed = ed−1 = = e2 = Định lý 2.4.10 Cho (R, m) vành Noether địa phương hầu Cohen-Macaulay với số chiều d ≥ q iđêan tham số Nếu depth(Gq (R)) ≥ d − reg(Gq (R)) ≤ ed−i = 0, ∀i = 0, , d − Chứng minh R vành hầu Cohen-Macaulay nên theo Bổ đề 2.3.2 ta có depth(R) ≥ dim(R) − Nếu depth(R) = dim(R) R vành Cohen-Macaulay nên ei = 0, ∀i = 1, , d Nếu depth(R) = dim(R) − theo giả thiết reg(Gq (R)) ≤ nên theo Định lí 2.4.7 ta có reg(Gq (R)) = n(q) + d − ≤ Do đó, n(q) ≤ − d ≤ −(d−3) Áp dụng Bổ đề 2.4.8 với k = d−3, ta có ed = ed−1 = = e3 = Hệ 2.4.11 Cho (R, m) vành địa phương depth(R) = d−1, depth(Gq (R)) ≥ d − với q iđêan tham số sinh d-dãy, ed−i = 0, ∀i = 0, , d − 32 Chứng minh Từ q iđêan tham số sinh d-dãy nên theo Bổ đề 2.4.6 ta có reg(Gq (R)) = Do đó, theo Mệnh đề 2.4.9 ta suy ed−i = 0, ∀i = 0, , d − 33 KẾT LUẬN Như hoàn thành mục tiêu luận văn nghiên cứu tính chất lớp môđun hầu Cohen-Macaulay hệ số Hilbert ứng với iđêan tham số Kết đạt luận văn là: - Tổng quan lại kết môđun hầu Cohen-Macaulay báo [6] - Các kết liên quan đến tính triệt tiêu hệ số Hilbert môđun hầu Cohen-Macaulay ứng với iđêan tham số Đây kết đạt luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng, song trình nghiên cứu trình bày khó tránh khỏi sai sót, mong quý độc giả góp ý thêm để luận văn hoàn thiện 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] M Brodmann and C H Linh (2014), Castelnuovo-Mumford regularity, postulation numbers and relation types, J Algebra 419, 124−140 [2] W Bruns and J Herzog (1993), Cohen-Macaulay rings, Cambridge University Press [3] D Eisenbud (1995), Commutative algebra, Springer: New York [4] Y Han (1998), D-rings, Acta Math Sinica 1998, 4, 1047−1052 [5] C H Linh, V D Trung (2013), Hệ số Hilbert iđêan tham số, Tạp chí khoa học Đại Học Huế 87S.9, 93-102 [6] Ming-Chang Kang (2001), Almost Cohen-Macaulay modules, Communications in algebra, 29(2), 781−787 [7] I Kaplansky (1974), Commutative rings, revised ed., The Univ of Chicago Press [8] T Marley (1993), "Graded rings and modules", lecture [9] H Matsumura (1980), Commutative algebra, Nagoya University Press [10] H Matsumura (1986), Commutative ring theory, Cambridge University Press [11] R.Y Sharp (2000), Steps in commutative algebra, Cambridge University Press [12] N V Trung (1998), " The Castelnuovo-Mumford regularity of the Rees algebra and the associated graded ring", Trans Amer Math Soc 350, 2813-2832 35