ộ ụ t rờ ọ ộ ù ệ ố ệ ữ ệ ộ ự rờ r tụ sĩ ọ ệ ọ P ễ ì ộ trì ứ ủ r t ết q ết t ợ t trí ủ t ết q tr tr tự ết q ủ q trì ệ tú ủ t ù ó ứ t ứ ụ ọ ộ ù ệ ụ ụ r ụ ì ý ệ ụ ụ ổ q số t ị ĩ ủ r số t ị ĩ ủ r ị ĩ t ể ộ tụ từ ể số st tr số st tr số t ét ề ị sử st ệ t ủ trì tệ t ết q í ột số ứ ụ st ệ st tr ủ trì tệ t ết q í ế ị ứ tế t ệ t ết trì ủ t ý ệ ữ ết tt Z R C Rn X AA(X) KAA(X) AP(X) BC(X) BUC(X) l (X) aa(X) kaa(X) H(f ) T T (f |R , ) T (|Z , ) T(|{tn } , ) Rf {tn } [t] {t} ợ số ợ số tự ợ số ứ tự n ề Ox1 x2 xn số st tr trị tr X số t st tr trị tr số t trị tr X số tụ ị trị tr X số tụ ề ị trị tr tt số ị tr X X tt số st tr trị tr X X tt số t tr trị tr ủ số f số tử tổ qt n tử ị ể f ị ể ủ ị ể ủ số ị ể ủ số trị ủ số n tr {tn } f q st ợ s ế t tứ tự t P ủ số tự P ủ số tự t t X ố ệ ữ ệ ộ ự rờ r tụ ý tở í ủ Pré ó ột trò q trọ tr ý tết trì ứ ề ệ ộ ự ó ột ị sử t trể từ ứ t ủ Pré ế ó rt ề ết q ứ ề ệ ộ ự rờ r tụ tồ t tí t ệ tí tụ ề tí ị tí ổ ị tí ổ ị tệ tí t tí t tí st tr ủ ệ ố ệ ữ ệ ộ ự ợ ứ ột ủ t ủ t ụ í qết ột ủ t tr ó r ú t q t ế t tì ố ệ ữ tí t tí st tr tí ị ủ ệ tr ệ ộ ự ết trì ế tứ ị r ị ĩ ủ ị ĩ ột số t số t số st tr số st tr r t ũ ỉ r ột t ề ệ ủ ể ể tr ột q st {x(tn )}nZ t ết q í ủ t t ứ trì t ứ ề ệ ủ ệ ỉ ế q st x(t) {x(tn )}nZ ủ trì t ế t t ứ trì st tr ứ ề ệ ủ ệ ế ỉ ế q st x(t) ủ trì st tr {x(n)}nZ st tr t t ợ tỏ ò ết s s ủ ì ế t P ễ ì ì t tì trề tụ ữ ế tứ ệ qý tr ệ ứ ọ ũ q t tờ ú ỡ tì ộ t tr q trì tự ệ ũ tr trọ ễ ệ tt t ủ ệ tệ ủ trì ứ ụ ứ ụ ú ỡ ộ ó ó ề ý ế qý ộ ủ tr trọ ệ ủ ệ ứ ụ Pò ổ ứ ộ ệ t s ọ ú ỡ t ề ệ t ợ t t ũ t t ị ệ ứ ụ rờ ọ ộ ề q t ú ỡ ộ t tr q trì tự ệ ộ t ù ệ ổ q số t r ụ ú t r ột ị ĩ t ủ ột số t tí t ủ ó ị ĩ số t X ế ợ f t trì f số trị tự tr Rk trị tr ứ tì ị ĩ ũ ợ ể ột t tự ị ĩ ủ r ị ĩ số tự {n }nZ số f : R X ợ ọ ó tể trí ợ ột t ế từ t ì {n }nZ s lim f (t + n ) n ộ tụ ề tr t tự ế f ột số t ì t từ t ì số {n (modT )} {n }nZ ó T tì ó ột số t ú t ó tể ọ ột lim f (t + n ) = f (t + ) n ột số t tì ó ị r {n }nZ r ế s f ột í ệ r tử ị ể ĩ {n } n = n(k) ó {n } ợ í ệ ột số ủ f ế ị ĩ số í ệ ủ ế = {n } + = {n + n }, = ế n = n(k) ột số t tì t tử ị ể T f = g ế g(t) = lim f (t + n ) n tì ết T ợ ộ tụ ề ụ í ệ ị ĩ ủ số t ợ ết s số s f ợ ọ t ế ọ số T f tồ t tồ t ủ số ủ số H(f ) = {g : ị ý f ị ý ế f ợ ị ĩ s s T f = g ộ tụ ề ột số t ế ỉ ế f ột số t tì ọ } H(f ) t t g H(f ) H(g) = H(f ) số t t f = sup |f (t)| AP(X) = {f : f ột số t } ó t ợ tr ị số t AP(Rk ) f : R R ột t tự f : R Rk ợ í ệ AP(R) t ứ ị ý ợ ế ị ĩ tr AP(X) X = C ột số tr X ĩ ó ó é ó é t ộ st ệ st tr ủ trì tệ t r ú t ét trì dx = f (x, t), dt ó f (x, t) t ủ ột số st tr t Rk t ề t x t ú t q t ế ệ tr ỗ t x(t) ủ trì st tr ế ết r q st ủ ó tr Z ột st tr ột số ết q ứ ề t ó tể ể ế s tr t ét trì dx(t) = F (t, x), t R, dt ó F ột số tụ tỏ F (t, x) = F (t + 1, x) trì t ệ t trị ủ trì ó (n) (t) sử t ệ t st tr ế ỉ ế ột st tr tr t ét trì dx(t) = A(t)x(t) + f (t), t R, dt ó f ột số st tr trị tr q trì tế ó sử u(t) ế (U (t, s))ts t tử s t ì tr ột ệ ị ủ ó u(n)nZ X A(t) u(t) X st tr ế ỉ ột st tr ế t tr t ét trì dx(t) = Ax ([t]) + f (t), t R, dt ó A t tử tế tí ị tr st tr [t] ủ t sử u trì t ũ ứ ợ ế ỉ ế q st {u(n)}nZ X f ột số ột ệ ị ủ u(t) st tr st tr ữ q t ó tể ết q ề t tr ụ í ủ ú t tr ứ ết q tr ú ế f (x, t) tỏ ề ệ st t x ề t t ột số st tr tì t tết tụ ề í ì ứ trớ ố trì t ự tr tí tụ ề ủ ệ ủ ế f ò ệ q ể ết t ề ó tể t tr ữ ố số t ú t ó t r ể ể tr ột số ó t ự tr ệ ể tr tí trù t t ố ủ t ị ể ủ ó r ó ố số st tr t ể ết ủ t ệ ó ột t t tự ũ í ó t tr q trì ứ ết q í ị ĩ số f : RìX X ợ ọ st tr t t R ề t x tr ỗ t t ủ X ế ọ số tự (sk ) tồ t ột số (sk ) s lim f (t + sk , x) = g(t, x), ỗ tR ọ x X, lim g(t sk , x) = f (t, x), ỗ tR ọ x X k k ổ ề t ế f : RìX X ột số st tr t x tr ỗ t t ủ X ế f x ề t t ó số ề ệ st t ứ g t ề tỏ ề ệ st t ị tr ị ĩ tr ũ tỏ x ề t t ị ý ị ý ề t t f : R ì X X ột số st tr t t R x tr ỗ t t ủ Rk sử f tỏ ề ệ st x ề t t R sử u(t) ột ệ ị ủ trì ó ệ u(t) st tr ế ỉ ế q st {u(n)}nZ st tr ứ tì ề ệ ể ế {u(n)}nZ u(t) ột số st tr ột số st tr ề ệ ủ sử u(t) {u(n)}nZ ột số st tr ứ ột số st tr ứ ủ ú t ợ s t sử số {nk } {nk } {v(n)} ột số trớ ó tồ t ột s lim v(n nk ) = u(n), lim u(n + nk ) = v(n), k k lim g(t nk , x) = f (t, x), lim f (t + nk , x) = g(t, x), k ỗ tR ố ị í ệ {t} = t [t] ó ì g k [t] iZ t ọ (v i ) (t) = g(t, v i ), n Z v i (t) t {t} t R ủ t ệ ủ t s ề ệ v i |t=i = u(i) tỏ ề ệ t t tr ề ó ệ t ệ v i (t) ợ ị tr (i i , i + i ) ữ ú t ó tể ọ t t số i = ọ ố số v(t), t R iZ g tỏ ề ệ t v i (t), t (i , i + ) x ề t ị ĩ s v(t) v(t) = v i (t), t (i , i + ) số tụ tr R tứ ế t số v i (t) tỏ trì t i g(s, v i (s))ds, t (i, i + ) v (t) = u([t]) + [t] ó số v(t) tỏ trì s t g(s, v(s))ds, t v(t) = u([t]) + (i, i + ) [t] ú t ỉ r iZ lim u(t + nk ) = v(t) , t k (i, i + ) iZ t k ủ t ó u(t + nk ) v(t) = t+nk t f (s, u(s))ds u([t]) = u([t] + nk ) + g(s, v(s))ds [t]+nk [t] t+nk u([t] + nk ) u([t]) + t f (s, u(s))ds g(s, v(s))ds [t]+nk [t] t = u([t] + nk ) u([t]) + f (s + nk , u(s + nk )) g(s, v(s)) ds [t] t u([t] + nk ) u([t]) = f (s + nk , u(s + nk )) g(s, u(s + nk )) ds + [t] t tết ủ t tết ủ t g(s, u(s + nk )) g(s, v(s)) ds + [t] L u(s+nk )v(s) g st t + L u(s + nk ) v(s) ds, t [t] (i, i + ) iZ ổ ề r t ó u(t + nk ) v(t) 2eL , t (i, i + ) iZ ó lim u(t + nk ) = v(t), t k (i, i + ) iZ tự ó tể ỉ r lim v(t nk ) = u(t), t k ét trờ ợ tổ qt ó t tết số {sk } k ì {tk } ột số t ì ề ứ ũ t tự ộ t tí tề t ủ ủ số ỗ (i, i + ) iZ ột số tr f t [0, 1) nk = [sk ] tk = {sk } ó tể ọ ợ số {nk } từ {nk } s lim v(n nk ) = u(n), lim u(n + nk ) = v(n), k k n Z, lim g(t nk , x) = f (t, x), lim f (t + nk , x) = g(t, x), k t R, k lim tk = t0 [0, 1] k ét trờ ợ {t + t0 } > ế t ỉ r lim u(t + sk ) = v(t + t0 ) , t + t0 k t t ỉ r (i, i + ) iZ lim u(t + sk ) = lim u(t + t0 + nk ) t k k k ủ t ó u(t + sk ) u(t + t0 + nk ) = u(t + tk + nk ) u(t + t0 + nk ) u([t + tk ] + nk ) u([t + t0 ] + nk ) t+tk +nk t+t0 +nk f (s, u(s))ds + [t+tk ]+nk f (s, u(s))ds [t+t0 ]+nk t+tk +nk = u([t + tk ] + nk ) u([t + t0 ] + nk ) + f (s, u(s))ds t+t0 +nk k ủ ớ k 2, t + t0 ủ (i, i + ) iZ ứ ủ ó tr t ó lim u(t + t0 + nk ) = v(t + k t0 ), t + t0 (i, i + ) iZ ế {t + t0 } = ó t + t0 ột số ế ú t ó tể ứ tr ò ế t + tk t + t0 t + tk t + t0 t ó [t + tk ] = t + t0 {t + tk } tí tề t ủ ủ số ó từ tí ị ủ số f {u(n)} ế u(t + sk ) u(t + t0 + nk ) = u(t + tk + nk ) u(t + t0 + nk ) = t+tk +nk = u([t + tk ] + nk ) u([t + t0 ] + nk ) + f (s, u(s))ds t+t0 1+nk k ủ k 2, t + t0 ủ (i, i + ) iZ ố ù ể ý t r t ì ột số ộ tụ ó ột số ệ ó tể ợ t số ệ ột ệ t ột ệ ét ết tú ứ số ủ ú t r ó tr ú t ỉ r r ế ột số st tr tì ọ số tự (sk ) lim u(t + sk ) = v1 (t), t tồ t ột số lim v1 (t sk ) = u(t), t ét {u(n + /2)}nZ (i, i + ), iZ k tụ (sk ) s k ế {u(n)}nZ (i, i + ) iZ số ũ st tr t ết q ỉ r tr ứ t tự tr ú t ó tể ỉ r ọ số tự (sk ) tồ t ột số (sk ) s lim u(t + sk ) = v2 (t), t k (i + /2, i + 3/2), iZ lim v2 (t sk ) = u(t), t k (i + /2, i + 3/2) iZ ế tụ q trì ế ợ ủ t ợ ó tr trụ số R N ú t ỉ r ợ ó u(t + sk ) vj (t) vj (t sk ) u(t) số ọ v1 (t), v2 (t), , vN (t) t (i + iZ ế t t ự ột số tụ tr ỗ t (i + iZ v(t) (2j3) ,i + v(t) ị tr (2j1) ) ọ (2j3) ,i R s + (sk ) (2j1) ) v(t) = vj (t) j = 1, , N ự t tỏ ề s ỗ số tự t ột số s số (sk ) s lim u(t + sk ) = v(t), t R, k lim v(t sk ) = u(t), t R k ó u ột số st tr tr R ề ứ tồ ết ết q ủ ự ợ ột t ề ệ ủ ể ể tr ột q st {x(tn )}nZ t ệ ề rộ ết q ủ ị ý trờ ợ q st tn n n tn tỏ ị ý ệ ủ trự tế ủ ết q t rộ ột số ết q ết tr trờ ợ q st tn tỏ tn n n ị ý tr rộ ết q ủ t tr ổ ề ổ ề trờ ợ số f (x, t) st tr t t ề t x ụ trì ủ t ó q tớ t rts t srt ts srts ssts stt t strt ss tr t rts st tr t ts srt ssts rrt ế ị ứ tế t ế tụ ứ s t ề ố ệ ữ q st rờ r tụ ủ ệ ộ ự st {tn } ệ t tổ qt ét t q tế tì ó tể ị ệ x(t) ủ trì t t ế ỉ ế q st {x(tn )}nZ ột số t t ể ết ủ t ột t ó ề ý ĩ tr tự tế ự ột t ề ệ ủ ể ể tr tì q st {x(tn )}nZ ột số t ố trì st tr tế tụ ứ ề ệ tì ệ x(t) ủ trì st t r ế ỉ ế q st {x(tn )}nZ st tr ứ ệ ó tể r ột t ể ể tr ột số số st tr ố t r số t ệ t tt ttr r st rt sts s r rs r rt qts r ttt Ptr r rt rrstts srtt r ssts tt r Ptrs qts t ss trt t ts rsr st st r r t st rt Pr t tr r t sts t qts Pr st r t tss st tr qs t st Pr rt qts rr r ts r s t Pr sts qts r ss r r ssr t t t r r st tr sts rt qts t r s stt t rt strt rt qts r t Ps Pt t strs st Pr ts ss rt qts Pr t r t st r t r t r str sts r t qts r rt qts t r t tr tt t r st tr ts r t qts Pr t r t r sts t t rt qts t t st s rt t tr stt r t ssr tr r st r sts t rt qts t s t rs tr r tr r st Pr ts Pr t qts r rt qts r t st tr st Pr ts strt s r str r s st tr rr t r r st tr ts t ts t strt t qts trr t st r sts st r t qts t st r t t