BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI - - - - - - - - - - -o0o- - - - - - - - - - - NGUYỄN ANH ĐÀI PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP SUY RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHUYÊN NGÀNH: TOÁN TIN Hà Nội - 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI - - - - - - - - - - -o0o- - - - - - - - - - - NGUYỄN ANH ĐÀI PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP SUY RỘNG Chuyên ngành: Toán Tin LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGÀNH: TOÁN TIN NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NGUYỄN XUÂN THẢO Hà Nội - 2014 Mục lục Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier, Fourier sine cosine với hàm trọng 10 1.1 Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine-sine với hàm trọng 10 1.1.1 Tính unita không gian L2 (R+ ) 11 1.1.2 Xấp xỉ theo chuẩn không gian L2 (R+ ) 15 1.1.3 Ví dụ 17 1.2 Phép biếnđổi tích phân kiểu tích chập suy Fourier sine, Fourier Fourier cosine với hàm trọng 18 1.2.1 Tính chất toán tử tích chập suy rộng 19 1.2.2 Định lí kiểu Watson 22 Phương trình tích phân Toeplitz-Hankel 2.1 2.2 25 Biến đổi Hartley tích chập suy rộng 25 2.1.1 Biến đổi Hartley với phương trình Toeplitz-Hankel R 29 Lớp phương trình Toeplitz-Hankel 31 2.2.1 Phương trinh Toeplitz-Hankel có nhân đặc biệt 31 2.2.2 Phương trình Toeplitz-Hankel có vế phải đặc biệt 32 Phương trình vi - tích phân Toeplitz-Hankel 38 3.1 Biến đổi Hartley với phương trình vi-tích phân 38 3.2 Lớp phương trình vi-tích phân Toeplitz-Hankel 40 Nguyễn Anh Đài Luận văn cao học LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới PGS TS Nguyễn Xuân Thảo, người tận tình, nghiêm khắc hướng dẫn, bảo để luận văn hoàn thành, giúp tăng trưởng niềm đam mê nghiên cứu khoa học Tôi xin chân thành cảm ơn Viện Toán ứng dụng Tin học, Viện Đào tạo Sau Đại học, trường Đại học Bách khoa Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập nghiên cứu trường Tôi xin cảm ơn dạy dỗ, bảo quan tâm từ thầy cô Viện Toán ứng dụng Tin học suốt thời gian theo học nghiên cứu Tôi xin chân thành cảm ơn đến thầy cô anh chị, bạn đồng nghiệp xemina Giải tích Đại học Bách Khoa tạo môi trường học tập nghiên cứu thuận lợi giúp hoàn thành luận văn Tại nhận nhiều dẫn, góp ý môi trường nghiên cứu sôi thân thiện, điều thiếu trình nghiên cứu, hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Kĩ thuật Hưng Yên, Ban lãnh đạo Khoa Khoa học Cơ Bộ môn Toán tạo điều kiện thuận lợi trình học tập, công tác hoàn thành luận văn Cuối cùng, muốn gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đồng nghiệp, người động viên, khích lệ giúp hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Hà Nội, tháng năm 2014 Học viên Nguyễn Anh Đài Nguyễn Anh Đài Luận văn cao học MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN a Các không gian hàm dùng luận văn • R+ = {x ∈ R, x > 0} • Lp (R+ ), ≤ p ≤ ∞ tập hợp hàm số f (x) xác đinh R+ cho ∞ |f (x)|p dx < ∞ f (x) : • Lα,β p (R+ ) tập hợp hàm số f (x) xác định R+ cho f (x) : sup |f (x)| < ∞ x∈R+ • Lp (R+ , ρ), ≤ p ≤ ∞ tập hợp hàm số f (x) xác định R+ cho ∞ |f (x)|p ρ(x) < ∞ ρ hàm trọng dương • ||f ||Lp (R) chuẩn hàm f không gian Lp (R), xác định ∞ |f (x)|p dx ||f ||Lp (R) = p ∞ • ||f ||Lp (R+ ) chuẩn hàm f không gian Lp (R+ ), xác đinh ∞ |f (x)|p dx ||f ||Lp (R+ ) = p • ||f ||Lp (R+ ,ρ) chuẩn hàm f không gian Lp (R+ , ρ), xác định ∞ |f (x)|p ρ(x)dx ||f ||Lp (R+ ,ρ) = p Nguyễn Anh Đài Luận văn cao học b Kí hiệu tích chập, tích chập suy rộng dùng luận văn • ( ∗ ) (xem trang 9) tích chập phép biến đổi Fourier F • ( ∗ ) (xem trang 9) tích chập suy rộng phép biến đổi Fourier cosine Fc • ( ∗ ) (xem trang 9) tích chập suy rộng phép biến đổi Fourier sine Fourier cosine γ • ( ∗ ) (xem trang 17) tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y) = siny phép biến đổi tích phân Fourier cosine Fourier sine γ • ( ∗ ) (xem trang 30) tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y) = e−y siny phép biến đổi tích phân Fourier sine, Fourier Fourier cosine γ • ( ∗ ) (xem trang 30) tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y) = e−y siny phép biến đổi tích phân Fourier cosine, Fourier Fourier sine • ( ∗ ) (xem trang 45) tích chập suy rộng phép biến đổi Hartley Nguyễn Anh Đài Luận văn cao học MỞ ĐẦU Lịch sử vấn đề lí chọn đề tài Lý thuyết phép biến đổi tích phân đời liên tục phát triển nhiều thập kỷ qua có ứng dụng nhiều ngành khoa học, đặc biệt ngành Vật lý quang học, điện, học lượng tử, âm thanh, sử lý ảnh Lý thuyết phép biến đổi tích phân tích chập phép biến đổi tích phân có vai trò thiếu ngành y học, địa lý, hải dương học, Các phép biến đổi tích phân đời sớm có vai trò đặc biệt quan trọng lý thuyết ứng dụng; trước hết phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine, Fourier cosine, phép biếnđổi Laplace, phép biến đổi Mellin, sau phép biến đổi tích phân Hankel, Kontorovich - Lebedev, Stieltjeis, Bản thân phép biến đổi Fourier đời xuất phát từ toán thực tế, Fourier J nghiên cứu trình truyền nhiệt Phép biến đổi Fourier có dạng (xem [17,27]) ∞ (F f )(x) = F [f ](x) = √ 2π e−ixy f (y)dy, f ∈ L1 (R), (1) ∞ N (F f )(x) = F [f ](x) = lim N −→+∞ −N e−ixy f (y)dy, f ∈ Lp (R), ≤ p ≤ (2) Nếu g(x) = (F f )(x) ∈ L1 (R) ta có phép biến đổi Fourier ngược sau (xem [17,27]) ∞ f (x) = (F −1 g)(x) = F −1 [g](x) = √ 2π eixy g(y)dy (3) −∞ Nếu g(x) = (F f )(x) ∈ Lq (R), ≤ p ≤ 2, ta có phép biến đổi Fourier ngược sau (xem[17,27]) N f (x) = (F −1 g)(x) = F −1 [g](x) = lim √ N −→+∞ 2π eixy g(y)dy (4) −N Trong trường hợp f hàm số chẵn lẻ ta nhận phép biến đổi Fourier cosine Fourier sine có dạng (xem [28]) ∞ (Fc f )(y) = Fc [f ](y) = π f (x)cosxydx, f ∈ L1 (R+ ) (5) f (x)sinxydx, f ∈ L1 (R+ ) (6) ∞ (Fs f )(y) = Fs [f ](y) = π Nguyễn Anh Đài Luận văn cao học với f ∈ Lp (R+ ), ≤ p ≤ 2, ta có N (Fc f )(y) = Fc [f ](y) = lim N −→∞ π f (x)cosyxdx, (7) f (x)sinyxdx, (8) N (Fs f )(y) = Fs [f ](y) = lim N −→∞ π đó, q số mũ liên hợp p, tức p + q = 1, giới hạn hiểu theo chuẩn không gian Lq (R+ ) Các định nghĩa trùng f ∈ L1 (R+ ) ∩ Lp (R+ ) Cùng với lý thuyết phép biến đổi tích phân, tích chập phép biến đổi tích phân xuất vào khoảng đầu kỉ 20 Tích chập xây dựng tích chập phép biến đổi Fourier, cụ thể tích chập hai hàm f g phép biến đổi Fourier có dạng (xem [10]) ∞ (f ∗ g)(x) = √ F 2π f (y)g(x − y)dy, x ∈ R (9) −∞ Tích chập thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa sau (xem [10]) F [f ∗ g](y) = (F f )(y)(F g)(y), ∀y ∈ R, f, g ∈ L1 (R) F Năm 1951, Sneddon I N xây dựng tích chập hai hàm f g phép biến đổi Fourier cosine sau (xem [10]) ∞ (f ∗ g)(x) = √ Fc 2π f (y)[g(x + y) + g(|x − y|)]dy, x > (10) Tích chập thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa đẳng thức Parseval sau (xem [3, 10]) Fc [f ∗ g](y) = (Fc f )(y)(Fc g)(y), ∀y > 0, f, g ∈ L1 (R+ ), (11) (f ∗ g)(x) = Fc [(Fc f )(y)(Fc g)(y)](x), ∀x > 0, f, g ∈ L2 (R+ ) (12) Fc Fc Cũng thời điểm đó, sách [28], Sneddon I N đưa công thức tích chập "lạ", đẳng thức nhân tử hóa có hai phép biến đổi tích phân Fourier sine Fourier cosine Tích chập xác định sau (xem [28]) ∞ (f ∗ g)(x) = √ 2π f (u)[g(|x − u|) − g(x + u)]du, x > 0, (13) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa đẳng thức Parseval (xem [28, 29]) Fs [f ∗ g](y) = (Fs f )(y)(Fc g)(y), f, g ∈ L1 (R+ ), (14) Nguyễn Anh Đài Luận văn cao học (f ∗ g)(x) = Fs [(Fs f )(y)(Fc g)(y)](x), f, g ∈ L2 (R+ ) (15) Sau đó, tích chập phép biến đổi Laplace, Mellin xây dựng nghiên cứu (xem [30]) Tích chập phép biến đổi tích phân có nhiều ứng dụng lí thú tính toán tích phân, tính tổng chuỗi, giải toán Vật lí-Toán, phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trinhg vi-tích phân, lí thuyết xác suất, xử lí ảnh, Mặc dù có nhiều ứng dụng thú vị nhiều lĩnh vực khác trước năm 50 kỉ trước, nhiều tích chập phép biến đổi tích phân xây dựng Năm 1958, lần Vilenkin Y Ya thiết lập công thức tích chập với hàm trọng phép biến đổi Mehler-Fox Đến năm 1967, Kakichev V A đưa tích chập với hàm trọng biến đổi tích phân (xem [31]) Nhờ đó, ông xây dựng tích chập phép biến đổi tích phân Hankel, Kontorovich-Lebedev, tích chập với hàm trọng phép biến đổi tích phân Fourier sine (xem [31]) Khoảng năm 90 kỉ trước, Yakubovich S B giới thiệu số tích chập suy rộng phép biến đổi tích phân Mellin, Kontorovich-Lebedev, phép biến đổi G phép biến đổi H theo số Trong đẳng thức nhân tử hóa có phép biến đổi khác thuộc họ Trên sở ý tưởng Kakichev V A [31], năm 1998, Kakichev V A Thảo N X đưa định nghĩa tích chập suy rộng với hàm trọng ba phép biến đổi tích phân (xem [19]) Kết mở hướng nghiên cứu xây dựng tích chập suy rộng phép biến đổi tích phân khác Cho đến nay, dựa công trình này, số tích chập xây dựng nghiên cứu, chẳng hạn tích chập suy rộng phép biến đổi Stieltjes, Hilbert, Fourier cosine Fourier sine (xem [32]); tích chập suy rộng phép biển đổi I (xem [33]); tích chập suy rộng với hàm trọng phép biến đổi Fourier cosine Kontorovich-Lebedev ngược (xem [33]), [34], Đặc biệt năm 2008, Luận án Tiến sĩ tác giả Nguyễn Minh Khoa [1] năm 2012 Luận án Tiến sĩ tác giả Nguyễn Thanh Hồng [2] xây dựng số tích chập suy rộng với hàm trọng nhóm phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine Fourier cosine, góp phần làm phong phú lý thuyết tích chập, tích chập suy rộng nhóm phép biến đổi (xem [22, 36, 37, ]) Ngoài sử dụng công cụ tích chập, số lớp phương trình tích phân Toeplitz-Hankel (xem [7, 13]) ∞ [k1 (x + y) + k2 (x − y)]f (y)dy = g(x), f (x) + x ∈ R+ (16) giải cho nghiệm dạng đóng (xem [38]) Phương trình có nhiều ứng dụng Nguyễn Anh Đài Luận văn cao học thú vị lĩnh vực khác Lí thuyết tán xạ, Lí thuyết động lực học chất lỏng, Lí thuyết lọc tuyến tính, nghiên cứu va chạm đàn hồi, (xem [7, 13]) Tuy nhiên, ngoại trừ số trường hợp đặc biệt nhân Hankel k1 nhân Toeplitz k2 , toán tìm nghiệm đóng cho phương trình (16) tổng quát toán mở Bện cạnh đó, dễ thấy phương trình tích phân Toeplitz-Hankel (16) viết lại dạng sau f (x) + √ 2π(f ∗ h1 )(x) + Fc √ 2π(f ∗ h2 )(x) = g(x) x > 0, h1 = 21 (k1 + k2 ) h2 = 21 (k2 − k1 ) Vì vậy, nghiên cứu tích chập, tích chập suy rộng mở rộng cho lớp phương trình tích phân Toeplitz-Hankel (16) giải nghiệm dạng đóng Với lí trên, lựa chọn đề tài với tên gọi "Các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng." Mục đích, đối tượng phạm vi nghiên cứu Mục đích Luận văn xây dựng nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng kiểu tích chập suy rộng với hàm trọng nhóm biến đổi Fourier, Fourier sine Fourier cosine Cụ thể, nghiên cứu tính chât toán tử tích phân xây dựng tính unita không gian L2 (R+ ), tính bị chặn không gian Lp (R+ ).1 ≤ p ≤ Từ xây dựng ứng dụng cụ thể đánh giá nghiệm toán phương trình vi phân, phương trình tích phân; giải phương trình tích phân Toeplitz-Hankel cho biểu diễn dạng đóng; giải phương trình vi-tích phân cho nghiệm biểu diễn dạng đóng Phương pháp nghiên cứu Trong luận văn này, sử dụng kĩ thuật phép biến đổi tích phân, kĩ thuật đánh giá tích phân không gian Lp (R+ ), Lp (R) để chứng minh tồn phép biến đổi tích phân tính bị chặn chúng không gian Lp (R+ ) Bên cạnh đó, sử dụng kĩ thuật phép biến đổi Fourier, Fourier sine Fourier cosine vào xây dựng giải phương trình Toeplitz-Hankel, phương trình vi-tích phân Toeplitz-Hankel Cấu trúc kết Luận văn Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, Luận văn chia thành ba chương: Chương xây dựng nghiên cứu lớp phép biến đổi tích phân liên quan đến tích chập suy rộng với hàm trọng nhóm phép biến đổi tích phân Fourier cosine, Fourier Fourier sine Định lí phần định lí kiểu Watson, thiết lập điều kiện cần đủ cho tính unita Nguyễn Anh Đài Luận văn cao học Suy f (x) = g1 (x) − (g1 ∗ l)(x), x∈R (2.41) Thế (2.34) vào (2.39) ta có π [(Fs g1 )(y) − Fs (g1 ∗ l)(y)](Fc (k1 + k2 ))(y) = −(Fs g2 )(y) 2 Hay π Fs (g1 ∗(k1 + k2 ))(y) − 2 π Fs (g1 ∗ l)(y) ∗(k1 + k2 )(y) = −(Fs g2 )(y) 2 Do đó, π (((g1 ∗ l) − g1 ) ∗(k1 − k2 ))(x) 2 g2 (x) = Từ công thức (2.37), (2.39) (2.41), ta có nghiệm phương trình (16) L1 (R+ ) dạng đóng sau: f (x) = g1 (x) − (g1 ∗ l)(x) Chứng minh hoàn thành Ví dụ 2.2.1 Chúng ta xem xét ví dụ cho Định lí 2.2.2 Chọn π −√2t (e + e−t ); k1 (t) = π −√2t e k1 (t) = − Sử dụng công thức (1.4.1, p.23) [3] ta có Fc π −t e ∗ π −√2t e (y) =Fc π −t e (y).Fc 1 = + y2 + y2 π −√2t e (y) Sử dụng đẳng thức nhân tử hóa (11) cho tích chập ∗ (10), ta Fc π −t e ∗ π −√2t (x) = Fc e (x) = + y2 Do π −x e − f (x) = π −x e−x e − √ 2 √ π −x e− 2x e − √ 2 √ = π −√2x e Mặt khác g1 (x) = π (− π −√2t ) ∗(2 e 2 π −√2t + e π −t e ) (x) Sử dụng tính chất đẳng thức (2.4) [2] cho tích chập ∗ (13) ta có (Fs g1 )(y) = π − y + sqrt2 + y 2 + y + y2 36 Nguyễn Anh Đài Luận văn cao học Sử dụng công thức (2.2.35, p.67) (2.2.35, p.66) [3], ta √ √ π π g1 (x) = − xe− 2x + √ e− 2x − e−x 2 Do g(x) =g1 (x) + g2 (x) =− π −√2x e−x √ π √ −x + √ xe π− 2 2 Kết luận Chương trình bày số khái niệm kết biến đổi Hartley ứng dụng biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng, nhắc lại Định lí phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng phương trình tích phân Toeplitz-Hankel R với biến đổi Hartley, phương trình tích phân Toeplitz-Hankel với trường hợp đặc biệt vế bên phải trường hợp nhân đặc biệt Các kết sử dụng lấy từ công trình công bố [12, 22] 37 Chương Phương trình vi - tích phân Toeplitz-Hankel Chương nghiên cứu, thiết lập giải số phương trình vi-tích phân Toeplitz-Hankel cho biểu diễn dạng đóng với trợ giúp tích chập, tích châp suy rộng biến đổi Hartley, trường hợp cho nghiệm biểu diễn dạng đóng Nội dung Chương nằm mục 3.1 3.2 Ứng dụng biến đổi Hartley giải phương trình vi-tích phân nằm mục 3.1; mục 3.2 giải phương trình vi-tích phân Toeplitz-Hankel với trường hợp đặc biệt vế phải Ta xét hai phương trình vi - tích phân Toeplitz - Hankel sau: ∞ [k1 (x + y) + k2 (|x − y|)]f (y)dy = g(x), f (x) + x> (3.1) với ẩn hàm f (x) thỏa mãn điều kiện f (x) → x → ∞, f (x) → x → f (x) → x → ∞ ∞ f (x) + 2π [f(x + y) + f (x − y)]k(y)dy = g(x), x∈R (3.2) g(x), k(x) hàm biết f (x) ẩn hàm 3.1 Biến đổi Hartley với phương trình vi-tích phân Mệnh đề 3.1.1 Cho hàm số f ∈ L1 (R+ ) giả thiết f (x) → |x| → ∞ f (x), f (x) → |x| → ∞ Khi biến đổi Hartley cho vi phân hàm f ∈ L1 (R) sau: (Hf )(y) (Hf )(y) y √ (Hf )(y) 2π = y (Hf )(y) = 38 Nguyễn Anh Đài Luận văn cao học Định lý 3.1.1 Cho hàm k, g ∈ L1 (R) biết y + (Fc k)(y) = 0, ∀y ∈ R phương trình (3.2) với điều kiện: f (x) → |x| → ∞ f (x) → |x| → ∞ có nghiệm L1 (R) dạng f (x) = π −x [(e ∗ g)(x) + (l ∗(e−x ∗ g))(x)] x ∈ R, 5 (3.3) l ∈ L1 (R+ ) thỏa mãn: (Fc l)(x) = π −x Fc (e + e−x ∗ k)(x) π −x Fc (e 1− + e−x ∗ k)(x) , (3.4) tích chập Hartley xác định sau [16] ∞ (f ∗ g)(x) = √ 2π f (u)[g(x + u) + g(x − u)]du, (3.5) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa f ∈ L1 (R+ ), g ∈ L1 (R) H(f ∗ g)(y) = (Fc f )(y)(Hg)(y) (3.6) Chứng minh Áp dụng biến đổi Hartley đến hai vế phương trình (3.2), sử dụng đẳng thức nhân tử hóa Mệnh đề 3.1.1 ta được: y (Hf )(y) + (Fc k)(y)(Hf )(y) (Hg)(y), y ∈ R (Hg)(y) ⇒ (Hf )(y) = y + (Fc k)(y) (Hg)(y) = + y − 1−(Fc k)(y) = 1+y từ từ công thức 1.4.1 trang 23 [5] π + y2 Fc (e−x )(y) = ta được: (Hf )(y) = Fc (e−x )(y) π [1 1− (Hg)(y) − (Fc k)(y)]Fc (e−x )(y) π (3.7) Từ đó, theo [17] ta có (Hf )(y) = H(e−x ∗ g)(y) − Fc  = H(e−x ∗ g)(y) 1 + (e−x 1− − e−x ∗ k)(y) π −x Fc (e 1− − e−x ∗ k)(y) π −x Fc (e 39 π π −x − e−x ∗ k)(y) Fc (e Fc (e−x − e−x ∗ k)(y) π2 Theo định lý Wiener - Levy [9] ta có hàm l ∈ L1 (R+ ) cho (Fc l)(x) = π − e−x ∗ k)(y)   π Nguyễn Anh Đài Luận văn cao học Từ ta có: (Hf )(y) π H(e−x ∗ g)(y)[1 + (Fc l)(y)] = π H(e−x ∗ g)(y) + H(l ∗(e−x ∗ g))(y) = 5 Sử dụng tính biến đổi Hartley ta có nghiệm phương trình L1 (R) là: π (e−x ∗ g)(x) + (l ∗(e−x ∗ g)(x) 5 f (x) = Định lý chứng minh 3.2 Lớp phương trình vi-tích phân Toeplitz-Hankel Định lý 3.2.1 Giả sử hàm g1 , g2 , k1 , k2 , g ∈ L1 (R+ ), g = g1 + g2 thỏa mãn điều kiện sau y2 − g1 (x) = π π Fc (k1 + k2 )(y) = 0, ∀y> (3.8) (g2 ∗ e−x ) + (l ∗(g2 ∗ e−x ) ∗ (k1 − k2 ) (x) 1 (3.9) Khi phương trình (3.1) có nghiệm L1 (R+ ) biểu diễn dạng f (x) = − π (g2 ∗ e−x )(x) − π (l ∗(g2 ∗ e−x ))(x) l hàm L1 (R+ ), xác định Fc (e−x ∗(k1 + k2 ))(y) (Fc l)(y) = − Fc (e−x ∗ π −x ∗(k1 (e + k2 )))(y) (3.10) Chứng minh Mở rộng g1 toàn trục thực hàm số lẻ; f, g2 hàm chẵn mở rộng g toàn trục thực g(x) = g1 (x) + g2 (x) Sau phương trình tích phân (3.1) mở rộng trục thực dạng ∞ [k1 (|x + y|) + k2 (|x − y|)]f (y)dy = g(x), x ∈ R f (|x|) + (3.11) Phương trình (3.11) viết lại dạng f (|x|) + ∞ {[k1 (|x + y|) + k2 (|x + y|) + k1 (|x − y|) + k2 (|x − y|)] + + [k1 (|x + y|) − k2 (|x + y|) − k1 (|x − y|) − k2 (|x − y|)]}f (y)dy = g(x) (3.12) Áp dụng biến đổi Fourier cho (3.12) biến đổi Fc đạo hàm ta −y (Fc f )(y) + π (Fc f )(y).Fc (k1 + k2 )(y) + i 40 π (Fs f )(y).Fc (k1 − k2 )(y) = (F g)(y) (3.13) Nguyễn Anh Đài Luận văn cao học Nhớ lại g(x) = g1 (x) + g2 (x) g1 , g2 thành phần lẻ chẵn g, f nghiệm phương trình (3.11) cho hai điều kiện π (Fc f )(y).Fc (k1 + k2 )(y) = (Fc g2 )(y) −y (Fc f )(y) + (3.14) Và π (Fs f )(y).Fc (k1 − k2 )(y) = −i(Fs g1 )(y) i (3.15) Phương trình (3.14) viết lại dạng (Fc f )(y) = Sử dụng : Fc (e−x )(y) = π 1+y −y (Fc g2 )(y) + π2 Fc (k1 + k2 )(y) từ công thức ( 1.4.1, p.23) [3] Ta có: (Fc f )(y) = −1 + y2 (Fc g2 )(y) √π 1− 1+ Fc (k1 +k2 )(y) 1+y =− (Fc g2 )(y) π Fc (e−x )(y) −x − Fc (e )(y)[1+ π2 Fc (k1 + k2 )(y)] =− π Fc (e−x )(y) 1− π −x )(y) Fc (e π Fc (e−x )(y) 1− π −x Fc [e =− =− + (Fc g2 )(y) − π2 Fc (e−x ∗(k1 + k2 ))(y) π −x Fc [e + π −x ∗(k1 (e 1 (Fc g2 )(y) + π2 (e−x ∗(k1 + k2 ))](y) π Fc (e−x )(y).[1+ π −x + π2 (e−x ∗(k1 + k2 ))](y) Fc [e 1− π + k2 ))](y) ](Fc g2 )(y) Vận dụng định lý Wiener – Levy [9], với điều kiện bắt buộc (3.11) có hàm f ∈ L1 (R+ ) xác định giả thiết định lý Khi ta có (Fc f )(y) = − π Fc (e−x )(y)[1 + (Fc l)(y)](Fc g2 )(y) Từ (Fc f )(y) = − π Fc (g2 ∗ e−x )(y) − π Fc (l ∗(g2 ∗ e−x ))(y) 1 Từ tính biến đổi Fourier cosine, ta có f (x) = − π (g2 ∗ e−x )(x) − π (l ∗(g2 ∗ e−x ))(x) Thay (3.16) vào (3.15), ta có: π [−Fs (g2 ∗ e−x )(y) − Fs (l ∗(g2 ∗ e−x ))(y)]Fc (k1 − k2 )(y) = −(Fs g1 )(y) 1 41 (3.16) Nguyễn Anh Đài Luận văn cao học Do π π Fs (( g2 ∗ e−x ) ∗(k1 − k2 ))(y) + Fs (l ∗(g2 ∗ e−x )) ∗(k1 − k2 ))(y) = (Fs g1 )(y) 1 2 Do tính Fourier sine ta có: g1 (x) = π [((g2 ∗ e−x ) ∗(k1 − k2 ))(x) + (l ∗(g2 ∗ e−x ) ∗(k1 − k2 ))(x)] 1 2 Từ đẳng thức Passeval tích chập, nghiệm tìm thỏa mãn điều kiện toán Định lý 3.2.2 Giả sử hàm g1 , g2 , k1 , k2 , g ∈ L1 (R+ ), g = g1 + g2 , thỏa mãn điều kiện y2 − g2 = π Fc (k1 − k2 )(y) = 0, ∀y > π (k1 + k2 ) ∗ (g1 ∗ l) − l ∗(g1 ∗ e−x ) 2 (x) Khi phương trình (3.1) có nghiệm L1 (R+ ) biểu diễn dạng f (x) = −(g1 ∗ e−x )(x) − (l1 ∗(g1 ∗ e−x )(x) 1 l hàm L1 (R+ ) , xác định Fc (e−x ∗(k1 + k2 ))(y) (Fc l)(y) = − Fc (e−x ∗ π −x ∗(k1 (e + k2 )))(y) (3.17) Chứng minh Mở rộng g2 toàn trục thực hàm số lẻ; f, g1 hàm chẵn mở rộng g toàn trục thực g(x) = g1 (x) + g2 (x) Sau phương trình tích phân (3.1) mở rộng trục thực dạng ∞ [k1 (|x + y|) + k2 (|x − y|)]f (y)dy = g(x), x ∈ R f (|x|) + (3.18) Phương trình (3.18) viết lại dạng f (|x|) + ∞ {[k1 (|x + y|) + k2 (|x + y|) + k1 (|x − y|) + k2 (|x − y|)] + + [k1 (|x + y|) − k2 (|x + y|) − k1 (|x − y|) − k2 (|x − y|)]}f (y)dy = g(x) (3.19) Áp dụng biến đổi Fourier cho (3.19) biến đổi Fc đạo hàm ta −y (Fc f )(y) + π (Fc f )(y).Fc (k1 + k2 )(y) + i π (Fs f )(y).Fc (k1 − k2 )(y) = (F g)(y) (3.20) Nhớ lại g(x) = g1 (x) + g2 (x) g1 , g2 thành phần chẵn lẻ g, f nghiệm phương trình (3.18) cho hai điều kiện −y (Fc f )(y) + π (Fc f )(y).Fc (k1 + k2 )(y) = (Fc g1 )(y) (3.21) Và i π (Fs f )(y).Fc (k1 − k2 )(y) = −i(Fs g2 )(y) 42 (3.22) Nguyễn Anh Đài Luận văn cao học Phương trình (3.21) viết lại dạng (Fc f )(y) = Sử dụng : Fc (e−x )(y) = π 1+y −y (Fc g1 )(y) + π2 Fc (k1 + k2 )(y) từ công thức ( 1.4.1, p.23) [5] Ta có: (Fc f )(y) = −1 + y2 (Fc g1 )(y) √π 1− 1+ Fc (k1 +k2 )(y) 1+y =− π (Fc g1 )(y) Fc (e−x )(y) − Fc (e−x )(y)[1+ π2 Fc (k1 + k2 )(y)] =− π Fc (e−x )(y) 1− π −x )(y) Fc (e =− π Fc (e−x )(y) 1− π −x Fc [e =− π Fc (e−x )(y) 1+ + π −x Fc [e 1− + π −x Fc [e + π (Fc g1 )(y) − π2 Fc (e−x ∗(k1 + k2 ))(y) (Fc g1 )(y) + π2 (e−x ∗(k1 + k2 ))](y) π −x ∗(k1 + k2 ))](y) (e π −x ∗(k1 + k2 ))](y) (e Fc g1 )(y) Vận dụng định lý Wiener – Levy [9], với điều kiện bắt buộc (3.18) có hàm f ∈ L1 (R+ ) xác định giả thiết định lý Khi ta có (Fc f )(y) = − π Fc (e−x )(y)[1 + (Fc l)(y)](Fc g1 )(y) Từ (Fc f )(y) = − π Fc (g1 ∗ e−x )(y) − 2 π Fc (l ∗(g1 ∗ e−x ))(y) 2 Từ tính biến đổi Fourier cosine, ta có f (x) = − π (g1 ∗ e−x )(x) − 2 π (l ∗(g1 ∗ e−x ))(x) 2 (3.23) Thay (3.23) vào (3.22), ta được: π [−Fs (g1 ∗ e−x )(y) − Fs (l ∗(g1 ∗ e−x ))(y)]Fc (k1 − k2 )(y) = −(Fs g2 )(y) 2 Do π π Fs (( g1 ∗ e−x ) ∗(k1 − k2 ))(y) + Fs (l ∗(g1 ∗ e−x )) ∗(k1 − k2 ))(y) = (Fs g2 )(y) 2 2 2 Do tính Fourier sine ta có: g2 (x) = π [((g1 ∗ e−x ) ∗(k1 − k2 ))(x) + (l ∗(g1 ∗ e−x ) ∗(k1 − k2 ))(x)] 2 2 Từ đẳng thức Passeval tích chập, nghiệm tìm thỏa mãn điều kiện toán 43 Nguyễn Anh Đài Luận văn cao học Kết luận Chương nghiên cứu phương trình vi-tích phân Toeplitz-Hankel dạng đóng sử dụng biến đổi tích phân, tích châp, tích chập suy rộng biến đổi Hartley giải nghiệm dạng đóng Mục 3.1 sử dụng lí thuyết tích chập, biến đổi tích phân giải phương trình vi-tích phân R; Mục 3.2 giải phương trình vi-tích phân trường hợp với nhân đặc biệt Đây kết mới, hoàn thành báo gửi công bố Tạp trí Khoa học - Đại học Sư phạm Hà Nội 44 Nguyễn Anh Đài Luận văn cao học KẾT LUẬN Trong luận văn tác giả nghiên cứu phép biến đổi tích phân liên quan đến tích chập tích chập suy rộng có hàm trọng nhóm phép biến đổi tích phân Hartley, Fourier, Fourier sine Fourier cosine Các kết Luận văn là: • Trình bày điều kiện cần đủ để phép biến đổi unita không gian L2 (R+ ) thiết lập công thức phép biến đổi ngược Chứng minh định lí kiểu Plancherel xét tính bị chặn không gian Lp (R+ ), ≤ p ≤ Đồng thời xây dựng số ví dụ minh họa cho lớp phép biến đổi tích phân xây dựng • Trình bày số phép biến đổi tích phân kiểu tích chập Hartley với hàm trọng; phép biến đổi tích phân kiểu tích chập Fourier với hàm trọng; phép biến đổi tích phân kiểu tích chập Fourier cosine với hàm trọng; phép biến đổi tích phân kiểu tích chập Fourier sine với hàm trọng; phép biến đổi tích phân kiểu tích chập Fourier sine, Fourier, Fourier cosine với hàm trọng dựa tích châp suy rộng nhóm phép biến đổi Fourier, Fourier sine Fourier cosine để giải lớp phương trình tích phân Toeplitz-Hankel • Sử dụng kết cho số lớp phương trình tích phân Toeplitz-Hankel , phương trình tích phân Toeplitz-Hankel vế phải đặc biệt, nghiệm biểu diễn dạng đóng; Ta nhận lời giải cho lớp phương trình vi-tích phân Toeplitz-Hankel, nghiệm dạng đóng Kết kết mới, nhận đăng Tạp chí Khoa học-Đại học Sư phạm Hà Nội 45 Nguyễn Anh Đài Luận văn cao học DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN VĂN Nguyen Xuan Thao, Nguyen Anh Dai Nguyen Minh Phương (2014) "Toeplitz-Hankel Integro-Differential Equation", Tạp chí Khoa học-Đại Học Sư Phạm Hà Nội.(Đã phản biện, chờ nhận đăng.) 46 Tài liệu tham khảo [1] Khoa N M (2008), Tích chập suy rộng phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine ứng dụng, Luận án Tiến sĩ Toán học, Đại học Quốc gia Hà Nội, Hàn Nội [2] Hong N T (2012), Các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier, Fourier cosine, Fourier sine ứng dụng Luận án Tiến sĩ Toán học, Đại học Quốc gia Hà Nội, Hàn Nội Tiếng Anh [3] F Al-Musallam and V.K Tuan, Integral transforms related to a generalized convulution, Results Math 38(3-4) (2000), pp 197-208 [4] A Bottcher and B Silbermann, Analysis of Toeplitz Operators, 2nd ed., Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 2009 [5] A Erdelyi and H Bateman, Table of Intergral Tranforms, Vol I, McGraw-Hill Book Co., New York, 1954 [6] V.K.Tuan, Integral transforms of Fourier cosine convulution type, J Math Anal Appl 229(2)(1999),pp.519-529 [7] H.H Kagiwada and R Kalaba, Integral Equations Via Imbedding Methods, Applied Mathematics and Computation, No 6, Addison-Wesley Publishing Co., Reading, MA, London, Amsterdam.1974 [8] M.G Krein, On a new method for solving linear integral equantions of the first and second kinds, Dokl Akad Nauk SSSR (N.S.) 100 (1955), pp 413-416 (in Russian) [9] M.A Naimark, Normed Algebras, Wolters-Noordhoff Publishing, Groningen, The Netherlands, 1972 [10] I.N Sneddon, The Use of Integral Transforms, McGraw-Hill, New York, 1972 [11] H.M Srivastava and V.K Tuan, A new convolution theorem for the Stieltjes transform and its a application to a class of singular integral equation, Arch Math 64(1995), pp 144-149 [12] N.X Thao , V.K Tuan and N.T Hong, Generalized convolution transforms and Toeplitz plus Hankel integral equations, Fract Cal Appl Anal 11(2) (2008), pp 153-174 47 Nguyễn Anh Đài Luận văn cao học [13] J.N Tsitsiklis and B.C Levy, Integral equations and resolvents of Toeplitz plus Hankel kernerls, Laboratory for Information and Decision Systems, Masssachusetts Institute of Technology, Series/Reprot No.: LIDS-P 1170,1981 [14] V.K Tuan and M Saigo, Convolution of Hankel transform and its applications to a integral involving Bessel function of firstkid, J Math math Sci 18(2) (1995), pp 545-550 [15] Bracewll R N., The Hartley transform, Oxford University Press, Clarendon Press, New York, 1986 [16] K J Olejniczak, The Hartley transform, The Transform and Applications Handbook, edited by A D Poularikas, 2nd Edition, The Electrical Engineering Handbook Series, CRC Press with IEEE Press, Florida, (2000), pp, 341-401 [17] Titchmarch E C., Introduction to the Theory of Fourier integrals, Third Edition, Chelsea Publishing Co., New York, 1986 [18] N X Thao, V K Tuan and H T V Anh, On the Toeplitz plus Hankel integral equation II, (2013) Int Trans Spec Func Vol 25, No 1, 75 - 84 [19] Kakichev,V.A.,Thao,N.X.:On the design method for the generalized integral convolutions Izv Vyss.Ucebn Zaved., Mat 1, 31-40(1998)(in Russian) [20] Saitoh,S.,Tuan,V.K.,Yamamoto,M.: Reverse convolution inequalities and applications to inverse heat source problem.J.Inequal.Pure Appl.Math.3,80(2003) [21] N.X Thao, T.Tuan, L.X.Huy: The Fourier-Laplace Generalized Convolutions and Applications to Integral.Equations.Vietnam J.Math.(2013),V.41,No.4, pp.451-464 [22] N X Thao, V K Tuan and H N.T Hong (2011), Toeplitz plus Hankel integral equation, Integral Transform and Special Functions Vol.22, No 10, (2011),723 - 737 [23] N X Thao, N M Khoa (2006), On the generalized convolution with a wieght-function for the Fourier sine and cosine transforms, Integral Transforms and Special Function Vol.17(9), pp.673 685 [24] M Abramowitz and I A Stegun (1964), Handbook of Mathematical Functions, with Formulas, Graphs and Mathematical Tables, National Buereau ò Standar Applied Mathematics Series, 55, D C Washington [25] Thao N.X., Tuan V.K., Khoa N.M (2004), "On the generalized convolution with a weight-function for the Fourier cosine and sine transforms", Frac Cal and Appl Anal Vol.7(3), pp.323-337 48 Nguyễn Anh Đài Luận văn cao học [26] Kakichev V.A, Thao N.X., Tuan V.K., (1998), "On the generalized convolution for Fourier cosine and sine transforms", East-West Journal ò Mathematics Vol.1(1), pp.85-90 [27] Bochner S and Chandrasekharan K (1949), "Fourier Transforms", Princeton Univ Press [28] Sneddon (1951), "Fourier Transforms", McGray-Hill, Ne York [29] Al-Musallam F and Tuan V.K (2000), "A class ò convolution transforms", Fract Calc Appl Anal Vol.3(3), pp.303-314 [30] Debnath L., Bhatta D (2007), "Intergral Transforms and Applications", Cahpman-Hall/CRC, Boca Raton [31] Kakichev V.A (1967), "On the convolution for integral transforms", Izv Vysh Uchebn Zaved Mat (2), pp.53-62 (In Rusian) [32] Thao N.X (2001), "On the generalized convolution for the Stieltjes, Hilbert, Fourier cosine and sine transforms", Ukr Math J Vol.53, 560-567 (In Rusian) [33] Thao N.X and Tuan V.K (2003), "On the generalized convolution for I-transforms", Acta Mathematica Vietnamica Vol.28, 159-174 [34] Giang B.T., Mau N.V., Tuan N.M (2010), "Convolutions for the Fourier transforms with geometry variables and applications", Math Nachr.(283), pp.1758-1770 [35] KakichevV.A.(1997), "Polyconvolutions", Taganrog, TPTU, 54p (In Rusian) [36] Thao N.X., Khoa N.M (2004), "On the convolution with a weight-function for the cosine-Fourier intergral transform", Acta Mathematica Vietnamica Vol.29(2), pp.149-162 [37] Thao N.X., Khoa N.M (2005), "On the convolution with a weight-function for Fourier, Fourier cosine and sine transforms", Vietnam Journal of Mathematics Vol.33(4), pp.421-436 [38] Thao N.X (2010), "On the Polyconvolution with the a weight function for the Fourier cosine, Fourier sine and Kontorovich-Lebedev integral transforms", Mathematical Problems in Engineering Vol.2010, Article ID 709607, pp.1-16 [39] Adams R.A and Fourier J.J.F (2003), "Sobolev Spaces, 2nd ad", Academic Press, 300p [40] Bateman H and Erdelyi A (1954), "Table Intergral Transforms", New York-Toronto-London, MCGraw-Hill Book Company, Inc [41] Britvina L.E (2005), "A class of integral transforms related to the Fourier cosine convolution", Intergral Transforms and Special Functions, Vol.16(5-6), pp.379-389 49 Nguyễn Anh Đài Luận văn cao học [42] Gradshteyn I.S., Ryzhik I.M (2007), "Table of Intergral, Series, and Products, 7th ed", Academic Press [43] Thao N.X , Hau N.D (2008), "On the polyconvolution for the Fourier cosine and Fourier sine transforms", Acta Mathematica Vietnamica Vol.29(2), pp.149-162 [44] Duoadiboetxea J (2001), "Fourier Analysis", AMS Providence, Rhode Island [45] Giang B.T , Mau N.V and Tuan N.M Operational properties of two integral transforms of Fourier type and their convolutions "Integral Equations and Operators Theory"65(2009), N 3, pp.363-386 50 ... thuyết phép biến đổi tích phân, tích chập phép biến đổi tích phân xuất vào khoảng đầu kỉ 20 Tích chập xây dựng tích chập phép biến đổi Fourier, cụ thể tích chập hai hàm f g phép biến đổi Fourier... dựng nghiên cứu phép biến đổi tích phân liên quan đến tích chập suy rộng, biến đổi Hartley với tích chập suy rộng Lớp phương trình tích phân Toeplitz-Hankel nhóm biến đổi tích phân Fourier, Fourier... chập với hàm trọng biến đổi tích phân (xem [31]) Nhờ đó, ông xây dựng tích chập phép biến đổi tích phân Hankel, Kontorovich-Lebedev, tích chập với hàm trọng phép biến đổi tích phân Fourier sine