Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung khóa luận, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH Lê Hùng Sơn, người tận tình hướng dẫn để hoàn thành khóa luận mở chân trời toán học Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy cô giáo khoa Viện Toán - Tin ứng dụng, trường Đại học Bách Khoa Hà Nội thầy cô Viện Sau đại học, Đại học Bách Khoa Hà Nội, tạo điều kiện hội học tập cho suốt hai năm cao học Cuối xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè lớp Cao học Toán 2011B cổ vũ, động viên, giúp đỡ suốt trình học tập thực khóa luận tốt nghiệp Hà Nội, ngày 02 tháng 09 năm 2013 Học viên Nguyễn Đức Mạnh Mục lục Hàm quy suy rộng nhận giá trị đại số Clifford 1.1 Một số kiến thức chung 1.1.1 Đại số Quaternion 1.1.2 Đại số Clifford 11 1.1.3 Hàm chỉnh hình đại số phức 15 1.2 Hàm quy 22 1.3 Công thức tích phân 24 1.3.1 Công thức tích phân Borel - Pompeiu 24 1.3.2 Công thức tích phân Cauchy 26 1.3.3 Định lý 27 Định lý thác triển kiểu Hartogs cho hàm quy suy rộng 2.1 28 Định lý Hartogs cổ điển 28 2.1.1 Định lý Hartogs 28 2.1.2 Định lý Hartogs 29 2.2 Định lý Hartogs cho hàm nhiều biến phức 30 2.3 Định lý kiểu Hartogs cho hàm chứa tham số 31 2.4 Định lý kiểu Hartogs cho hàm quy 36 2.5 Định lý kiểu Hartogs cho hàm đa quy 40 2.6 Lược đồ Hormander 42 Một số toán thác triển 3.1 3.2 45 Hệ song-Riez nhiều biến 45 3.1.1 Sử dụng công thức tích phân 46 3.1.2 Sử dụng lược đồ Hormander 47 Một số ví dụ khác 52 3.2.1 Ví dụ 52 3.2.2 Ví dụ 52 Bảng ký hiệu H Đại số Quaternion A Đại số Clifford Rn Không gian thực n chiều C1 (Ω) Không gian hàm liên tục miền Ω Ck (Ω) Không gian hàm liên tục khả vi cấp k miền Ω C∞ (Ω) C0 (Ω) Không gian hàm liên tục khả vi vô hạn cấp miền Ω Không gian hàm liên tục có giá compact miền Ω Lời mở đầu Trong nhiều năm qua, lý thuyết hàm chỉnh hình biến đại số phức đạt tính hoàn chỉnh cấu trúc đẹp đẽ, có nhiều ứng dụng lý thuyết kỹ thuật Do ngày nhiều toán nảy sinh từ thực tế nên có nhiều đội ngũ khoa học nghiên cứu cách mở rộng lý thuyết sang đại số nhiều chiều hơn, điển hình đại số Quaternion đại số Clifford Luận án tập trung vào nghiên cứu toán thác triển điều kiện vậy, tinh thần toán là: biết tính chất hàm địa phương biết tính chất hàm toàn cục Giải toán thác triển cho phép dự đoán tính chất quan trọng tượng biết thể địa phương định Bài toán thực thu hút ý lý thuyết hàm phức nhiều biến đời Một kết bật định lý thác triển Hartogs hàm chỉnh hình nhiều biến phức Định lý thể số tính chất khác biệt chất hàm chỉnh hình nhiều biến phức so với hàm chỉnh hình biến phức Luận án xuất phát từ ý tưởng mở rộng định lý thác triển Hartogs Dưới hướng dẫn GS TSKH Lê Hùng Sơn, tiến hành nghiên cứu toán thác triển sau đây: Cho hàm u(x, y) với x ∈ Ω1 (x) ⊂ Rn , y ∈ Ω2 (y) ⊂ Rn , Ω = Ω1 × Ω2 lân cận mở Σ ∂Ω Giả thiết u có dạng u = (u1 (x, y), , un (x, y)) nghiệm hệ sau Σ:  ∂u1 ∂un   + · · · + =0   ∂x ∂x  n   ∂uj ∂ui   − =0            ∂xj ∂xi ∂un ∂u1 + ··· + =0 ∂y1 ∂yn ∂ui ∂uj − = (i, j = 1, , n; i < j) ∂yj ∂yi Bài toán nghiên cứu giải hai phương pháp: sử dụng công thức tích phân Cauchy sử dụng lược đồ Hormander Luận văn chia làm ba chương: • Chương 1: Trình bày kiến thức đại số phức, đại số Quaternion, đại số Clifford với kiến thức hàm chỉnh hình, hàm quy • Chương 2: Trình bày định lý thác triển Hartogs định lý thác triển kiểu Hartogs từ đến mở rộng • Chương 3: Trình bày số toán thác triển ứng dụng cụ thể Do luận văn hoàn thành điều kiện hạn chế kiến thức thời gian nên tránh khỏi thiếu sót, mong nhận nhận xét đóng góp từ thầy cô bạn Tôi hi vọng có hội để nghiên cứu sâu toán cho dạng hàm quy suy rộng khác, đặc biệt hàm quy suy rộng theo nghĩa Vekua Chương Hàm quy suy rộng nhận giá trị đại số Clifford 1.1 1.1.1 Một số kiến thức chung Đại số Quaternion Đại số Quaternion xuất vào năm 1846 nhà toán học Irland có tên William Rowan Hamilton Ông bắt đầu nghiên cứu giải tích phức vào năm 1830 đến năm 1836 kết luận số phức tổ chức đại số cặp số thực Do W.R.Hamilton cố gắng nhiều năm để mở rộng cách thức tổ chức cho cặp 3, số thực Mười năm sau, ông thành công đại số Quaternion đời Vì đại số Quaternion kí hiệu H vần đầu tên ông Định nghĩa 1.1.1 Xét H := {x|x = (x0 , x1 , x2 , x3 ), xk ∈ R, k = 0, 1, 2, 3} tập bốn số thực có thứ tự Các số x0 , x1 , x2 , x3 gọi tọa độ x Ta định nghĩa phép nhân có tính chất sau: • e0 ej = ej e0 = ej với j = 1, 2, • ei ej = −ej ei với i