Chuyên đề BDHSG THCS 2014 Trần Thị Phi Nga SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH VĨNH PHÚC PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ VĨNH YÊN BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ “NGUYÊN LÍ DIRICHLET VÀ NGUYÊN LÍ CỰC HẠN TRONG GIẢI TOÁN TỔ HỢP” Môn: TOÁN Tổ môn: KHOA HỌC TỰ NHIÊN Mã: 30 Người thực hiện: TRẦN THỊ PHI NGA Điện thoại: 01686187936 Email: ngatran73@gmail.com Vĩnh Yên, năm 2014 Chuyên đề BDHSG THCS 2014 Trần Thị Phi Nga PHẦN THỨ NHẤT: MỞ ĐẦU Lý viết đề tài Trong kỳ thi học sinh giỏi cấp thấy học sinh thường điểm không giải tập tổ hợp Nhiều học sinh cho tập mà em thường không giải được, tính chất đặc thù loại toán mang tính tư trừu tượng cao Vì học sinh thường nhiều thời gian không làm loại Qua nhiều năm dạy đội tuyển học sinh giỏi (HSG) trăn trở suy nghĩ phải làm để học sinh yêu thích giải tập tập tổ hợp Vì em có phương pháp giải tập cách thành thạo việc tư thuật toán để giải loại tập khác nhanh nhẹn hơn, giúp em đạt kết cao kỳ thi học sinh giỏi cấp Do mạnh dạn viết chuyên đề “Sử dụng nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn toán tổ hợp” Nhằm giúp em có cách nhìn tổng quát suy nghĩ để mở rộng kiến thức học từ toán đơn giản học lớp Từ em tự vận dụng phát triển tư với tập tương tự, tổng quát liên hệ cách lô-gic với dạng toán học Qua thực tế giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi nhiều năm, với cách làm thấy học sinh bắt đầu yêu thích tập tổ hợp, chuyên đề tập tổ hợp lôi học sinh học tập say mê Từ thấy kỳ thi học sinh giỏi làm tập tổ hợp có niềm tin chất lượng đội tuyển nâng lên 1.2 Lý chủ quan Đối với em học sinh, dạng toán tổ hợp (Suy luận lôgic) tiếp xúc từ chương trình BDHSG Tiểu học Xong chương trình lồng ghép cách nhẹ nhàng BDHSG, học lớp học trước, kỹ vận dụng để giải loại em chưa đạt hiệu cao Trong trình giảng dạy BDHSG trường THCS chúng tôi, nhận thấy dạng toán tổ hợp loại xuất thường xuyên đề thi HSG lớp học hay cấp học Tuy nhiên, tiếp xúc với dạng HS thường ngại ngần khó xuất phát để làm Xuất phát từ thực trạng chọn đề tài “Sử dụng nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn toán tổ hợp” cho chuyên đề Mục đích nghiên cứu Trong chuyên đề trước hết nhằm củng cố cho học sinh lý thuyết nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn Cung cấp cho học sinh số toán cụ thể cách tổng quát hóa dạng thông qua ví dụ Chuyên đề BDHSG THCS 2014 Trần Thị Phi Nga Giúp cho học sinh có kĩ phân loại phương pháp làm loại cụ thể ấy.Từ rèn cho học sinh tư linh hoạt, sáng tạo giải toán Học sinh thấy vai trò ứng dụng rộng rãi nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn Cũng thông qua đề tài nhằm giúp học sinh có thói quen tìm tòi học toán sáng tạo giải toán.Từ tạo cho học sinh có phương pháp học tập đắn, biến học (kiến thức thầy) thành thân, nắm bắt nó, vận dụng nó, phát triển hướng Qua giúp em tạo niềm tin, hưng phấn, hứng thú say mê học môn toán học Sử dụng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên học sinh 1.4 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu: +) Đối tượng nghiên cứu: Học sinh giỏi lớp 6, 7, 8, học sinh luyện thi THPT chuyên +) Phạm vi nghiên cứu: Nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn Các tập nâng cao nguyên lí Diirchlet nguyên lí cực hạn chương trình trung học sở 1.5 Phương pháp nghiên cứu: +) Phương pháp nghiên cứu lý thuyết Đọc nghiên cứu tài liệu, giáo trình phương pháp dạy học toán, tài liệu có liên quan đến nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn ứng dụng +) Phương pháp điều tra Tìm hiểu thực trạng dạy chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi giáo viên đồng thời tìm hiểu kết học tập học sinh nhằm xác định tính phổ biến nguyên nhân để chuẩn bị cho bước nghiên cứu +) Phương pháp thảo luận Trao đổi với đồng nghiệp kinh nghiệm giảng dạy kĩ thuật vận dụng nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn +) Phương pháp quan sát Thông qua tiết dự thao giảng bồi dưỡng học sinh giỏi đồng nghiệp để quan sát trực tiếp tình hình học sinh tiếp thu cách khai thác xây dựng bất đẳng thức phụ giáo viên +) Phương pháp kiểm tra đánh giá Khi thực chuyên đề khảo sát so sánh kết đánh giá học sinh qua giai đoạn để đánh giá hiệu chuyên đề 1.6 Tình hình nghiên cứu Trong trình giảng dạy môn Toán đặc biệt công tác bồi dưỡng học sinh giỏi trường trung học sở thấy toán tổ hợp nói chung vận dụng nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn nói riêng nội dung quan trọng Vấn đề có nhiều tài liệu tham khảo đề cập đến Chuyên đề BDHSG THCS 2014 Trần Thị Phi Nga có nhiều giáo viên quan tâm nghiên cứu mức độ khác Kết họ có thành công định Song việc thực kết tùy thuộc vào nhiều yếu tố 1.7 Những vấn đề tồn tại: Khi chuẩn bị thực chuyên đề này, kĩ giải toán tổ hợp học sinh gặp nhiều khó khăn Đặc biệt toán nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn Vì em thụ động buổi học bồi dưỡng nội dung Các em học sinh vận dụng nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn với toán đơn giản Các tài liệu tham khảo nội dung nêu toán cụ thể với bất ví dụ cụ thể mà chưa có nhiều tài liệu đề cập đến kĩ vận dụng nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn giải toán tổ hợp 1.8 Ứng dụng thực tiễn: Chuyên đề có ứng dụng tốt công tác bồi dưỡng học sinh giỏi công tác ôn thi vào trường trung học phổ thông chuyên Chuyên đề phổ biến rộng trường trung học sở trọng điểm Thành phố Tỉnh Chuyên đề tư liệu tốt để giáo viên học sinh tham khảo B CƠ SỞ LÍ THUYẾT VÀ THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ 2.1 Cơ sở lý luận vấn đề nghiên cứu: Khi gặp toán nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn thường liên quan nhiều đến đối tượng tập hợp hữu hạn Vì lẽ đó, toán mang mang đặc trưng rõ nét toán học rời rạc Khi giải toán tổ hợp vấn đề xác định dạng phương pháp làm cho dạng Từ HS áp dụng cho cụ thể cách linh hoạt với suy luận hợp lý để giải toán 2.2 Thực trạng vấn đề nghiên cứu chuyên đề Trong chương trình toán trung học sở nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn không học chương trình học khóa Tuy nhiên kỳ thi, đặc biệt kỳ thi học sinh giỏi cấp nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn lại đề cập đến nhiều toán hay khó, đòi hỏi học sinh phải thực linh hoạt, sáng tạo có kỹ sử dụng thành thạo suy luận gải loại toán Trong đề thi HSG, loại tổ hợp khó học sinh Nó khó biến đổi, khó suy luận mà đa dạng dạng phong phú nội dung Từ thực tế bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi, nhận thấy toán tổ hợp mà cụ thể nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn đa dạng dạng bài, phong phú nội dung mà dạng toán khó, gây không khó khăn cho học sinh Chuyên đề BDHSG THCS 2014 Trần Thị Phi Nga Vậy vấn đề đặt phải để tìm biện pháp khắc phục thực trạng giúp giáo viên có tài liệu tham khảo phù hợp đặc biệt giúp học sinh hết lúng túng tự tin gặp toán tổ hợp Tôi mạnh dạn đưa vấn đề buổi sinh hoạt tổ chuyên môn tổ Toán để đồng nghiệp thảo luận đưa hướng giải Chương 3: QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN Xuất phát từ thực trạng nhằm đáp ứng yêu cầu hiệu công tác bồi dưỡng học sinh giỏi tìm hiểu, nghiên cứu áp dụng chuyên đề vào thực tế công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Quá trình nghiên cứu chuyên đề chia thành ba giai đoạn nghiên cứu sau: Giai đoạn 1: Phân dạng xây dựng phương pháp Giai đoạn 2: Xây dựng, hệ thống, chứng minh áp dụng toán tổ hợp Giai đoạn 3: Luyện đề dạng tổ hợp tổng hợp Củng cố phương pháp làm 3.1 Giai đoạn 1: Phân dạng xây dựng phương pháp +) Mục đích: Nhằm thu thập thông tin tài liệu, giáo viên, học sinh với vấn đề nghiên cứu +) Thời gian: Từ tháng 09 đến tháng 11 năm 2012 +) Cách tiến hành: Bước 1: Đọc nghiên cứu tài liệu toán tổ hợp Bước 2: Thực dự bồi dưỡng học sinh giỏi giáo viên bồi dưỡng học sinh dạng toán tổ hợp nào? Bước 3: Thảo luận, trao đổi với đồng nghiệp cách dạy vận dụng nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn để xây dựng phương pháp giảng dạy giải Bước 4: Kiểm tra vận dụng học sinh +) Kết giai đoạn Về tài liệu: Có nhiều tài liệu viết nội dụng này, có tài liệu viết chi tiết với số lượng Chủ yếu tài liệu đưa tập nêu cách chứng minh Với giáo viên: Thông qua dự thăm lớp nhận thấy số lượng giáo viên giảng dạy cho học sinh dạng toán tổ hợp theo chuyên đề Hầu hết giáo viên đưa toán cách giải cụ thể toán không theo hệ thống toán Với học sinh: Còn lúng túng gặp toán tổ hợp Do kết giải tập học sinh dạng toán chưa tốt Đặc biệt có học sinh có sáng tạo khai thác toán Tôi tiến hành khảo sát tổng số 25 học sinh giỏi thu kết cụ thể sau: Giỏi Khá Trung bình yếu Chuyên đề BDHSG THCS 2014 Trần Thị Phi Nga 17 Bảng 3.2 Giai đoạn 2: Luyện đề dạng tổ hợp tổng hợp Củng cố phương pháp làm +) Mục đích: Nhằm cung cấp cho giáo viên, học sinh hệ thống số dạng phương pháp giải loại Rèn tư sáng tạo, linh hoạt vận dụng khai thác kiến thức toán học cho học sinh +) Thời gian: Từ tháng 12 năm 2012 đến tháng năm 2013 +) Cách tiến hành: Sưu tầm nghiên cứu số toán có nội dung phù hợp với mục đích chuyên đề nghiên cứu +) Kết giai đoạn Tôi tiến hành khảo sát tổng số 25 học sinh giỏi thu kết cụ thể sau: Giỏi Khá Trung bình yếu 12 Chuyên đề BDHSG THCS 2014 Trần Thị Phi Nga NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ CÁC BÀI TOÁN SỬ DỤNG NGUYÊN LÍ CỰC HẠN A- Lý thuyết chung • Nguyên lí cực hạn có dạng đơn giản sau: Nguyên lí 1: Trong tập hợp hữu hạn khác rỗng số thực luôn chọn số bé số lớn Nguyên lí 2: Trong tập hợp khác rỗng số tự nhiên luôn chọn số bé Nguyên lí dùng để giải toán mà tập hợp có đối tượng phải xét tồn đối tượng có GTLN, GTNN theo nghĩa Nguyên lí cực hạn thường sử dụng kết hợp với phương pháp khác đặc biệt phương pháp phản chứng Nguyên lí vận dụng trường hợp tập giá trị cần khảo sát tập hữu hạn (Nguyên lí 1) vô hạn tồn GTLN GTNN (Nguyên lí 2) Để vận dụng nguyên lí cực hạn giải tập hình học tổ hợp, người ta thường dùng lược đồ chung để giải tập sau: - Đưa toán xét dạng sử dụng nguyên lí nguyên lí để chứng tỏ tất giá trị cần khảo sát toán có GTLN GTNN - Xét toán tương ứng nhận GTNN GTLN - Chỉ mâu thuẫn đưa giá trị lớn nhỏ GTLN GTNN mà ta khảo sát Theo nguyên lí PP phản chứng ta suy điều phải chứng minh B- Vận dụng Ví dụ 1: Chứng minh bốn đường tròn có đường kính bốn cạnh tứ giác lồi phủ kín tứ giác cho Lấy M điểm tùy ý tứ giác lồi Có hai khả xảy 1) Nếu M nằm đường biên tứ giác lồi, tức M nằm cạnh tứ giác ABCD Khi M nằm đường tròn có đường kính cạnh Trong trường hợp kết luận toán hiển nhiên 2) Nếu M nằm bên tứ giác lồi ABCD Khi ta có ∠ AMB + ∠ BMC + ∠ CMD + ∠ DMA = 3600 Theo nguyên lý cực hạn tồn max { ∠AMB, ∠BNC , ∠CMD, ∠DMA} = ∠BMC Khi ∠ BMC ≥ 900 (1) Từ (1) suy M nằm nằm đường tròn đường kính BC Vậy dĩ nhiên M bị phủ đường tròn Như M điểm tùy ý tứ giác ABCD, ta suy bốn hình tròn phủ kín tứ giác lồi cho Đó điều phải chứng minh Chuyên đề BDHSG THCS 2014 Trần Thị Phi Nga Ví dụ 2: Cho ABC tam giác nhọn Lấy điểm P tam giác Chứng minh khoảng cách lớn khoảng cách từ P tới ba đỉnh A, B, C tam giác không nhỏ hai lần khoảng cách bé caccs khoảng cách từ P tới ba cạnh tam giác Gọi A1 , B1 , C1 tương ứng hình chiếu P xuống BC, AC, AB Ta có ∠APC1 + ∠C1PB + ∠BPA1 + ∠A1PC + ∠CPB1 + ∠B1PA = 3600 ( 1) Theo nguyên lý cực hạn, tồn max { ∠APC1 , ∠C1 PB, ∠BPA1 , ∠A1PC , ∠CPB1 , ∠B1PA} Không giảm tổng quát, cho : max { ∠APC1 , ∠C1 PB, ∠BPA1 , ∠A1PC , ∠CPB1 , ∠B1PA} = ∠BPA1 (2) Từ (1) (2) dễ dàng suy ∠ BPA1 ≥ 600 (3) PA1 ≤ hay PB ≥ 2PA1 (4) Từ (4) suy PB max { PA, PB, PC } ≥ PB ≥ PA1 ≥ { PA1 , PB1 , PC1} Đó điều pcm Từ (3) ta đến cos∠BPA1 = Ví dụ 3: Trên mặt phẳng có số điểm có tinh chất với hai điểm hệ điểm tìm điểm thứ ba số điểm thẳng hàng với chúng Chứng minh tất điểm cảu hệ điểm thẳng hàng Giả sử kết luận toán không đúng, tức điểm cho không thẳng hàng Xét tập hợp sau A = { h / h > h khoảng cách từ điểm đường thẳng nối hai điểm hệ } Do giả thiết phản chứng nên A ≠Ø Mặt khác, A tập hợp có hữu hạn phần tử ( \do có số hữu hạn điểm cho) Theo nguyên lý cực hạn, tồn mọt giá trị nhỏ h* Giả sử h* khoảng cách từ điểm M xuống đường thẳng qua B,C ( Ở M,B, C thuộc vào số điểm cho) Gọi ∆ đường thẳng nối B, C Do M∉∆ ( h* > 0), nên theo giả thiết tồn điểm D∈∆ Kẻ MH ⊥∆, MH = d* Rõ ràng ba điểm B, C, D pahir có hai điểm phía so với H Không làm giảm tính tổng quát, ta cho C, D nằm phía với H C nằm đoạn HD, Kẻ HE ⊥ MD CF ⊥ MD Rõ ràng ta có : CF < HE < MH Nói cách khác CF < d* Chú ý cho C,M,D nằm điểm cho, nên CF ∈ A Do CF < d* Điều mâu thuẫn với định nghĩa d* Vậy giải thiết phản chứng sai, tức tất điểm cho phải thẳng hàng Đó đpcm Chuyên đề BDHSG THCS 2014 Trần Thị Phi Nga Ví dụ 4: Trên mặt phẳng cho số hữu hạn điểm không nằm đường thẳng Chứng minh tồn ba điểm cho đường tròn qua ba điểm không chứa điểm bên GIẢI: Vì số điểm cho hữu hạn chúng không nằm đường thẳng, nên lấy bao lồi hệ điểm, ta đa giác Giả sử đa giác lồi A1 A2 Ap Như điểm lại cho phải nằm bao lồi Gọi Ak , Ak +1 hai đỉnh liên tiếp của đa giác lồi( nghĩa xét cạnh tùy ý Ak Ak +1 ) Khi điểm cho nằm nửa mặt phẳng xác định Ak Ak +1 Từ giả thiết suy tập hợp điểm cho không thuộc Ak Ak +1 khác rỗng Vì theo nguyên lý cực hạn, tồn C cho ∠Ak CAk +1 = max∠Ak A1 Ak +1 , giá trị lớn lấy theo i = 1, n mà i ≠ k, i ≠ k + 1( giả sử A1 , A2 , An hệ hữu hạn điểm cho trước) Khi đường tròn CAk Ak +1 ngoại tiếp ta giác đường tròn cần tìm Ví dụ 5: Bên hình vuông cạnh cho n điểm cho ba điểm thẳng hàng Chứng minh tồn môt tam giác có đỉnh điểm cho diện tích S thỏa mãn bất đẳng thức S < GIẢI: n−2 Xét bao lồi n điểm nằm bên hình vuông Vì ba điểm thẳng hàng, nên bao lồi đa giác lồi có k đỉnh( k≤n), điểm cho đỉnh đa giác lồi, nằm hẳn bên đa giác lồi Chỉ có hai khả xảy Nếu k = n Khi số đường chéo xuất phát từ A1 đa giác bao lồi tạo thành cạnh đa giác ( n – 2) tam giác Gọi S diện tích tam giác nhỏ (n-2) tam giác Vì tổng diện tích (n-2) tam giác nhỏ 1( ý diện tích hình vuông chứa chọn ( n-2) tam giác này), suy S < n−2 Nếu k < n Khi bên đa giác bao lồi A1 A2 Ak có (n-k) điểm Ak+1, Ak+2, , An Nối Ak+1 với đỉnh A1; A2; Ak Khi có k tam giác Ak+1A1A2, Ak+1A2A3 ; ; Ak+1AkA1 Chuyên đề BDHSG THCS 2014 Trần Thị Phi Nga Vì ba điểm thẳng hàng, Nên điểm Ak+2, , An phải nằm hẳn k tam giác nói Giả sử Ak+2 nằm hẳn tam giác Nối Ak+2 với ba đỉnh tam giác này, từ tam giác có ba tam giác Sau lần làm số tam giác tăng lên Như ta đến: k+ 2(n- k – 1) = 2n – k – = (n – 2) + (n – k) tam giác.mà bên tam giác điểm thuộc n điểm cho Gọi S diện tích bé tam giác , thì: 1 < ( n – ) + ( n – k ) n − ( Do n – k >0) Bất đẳng thức S < chứng minh n−2 S< Ví dụ 6: Bên hình vuông cạnh cho n điểm Chứng minh tồn tam giác có đỉnh điểm cho đỉnh hình vuông cho diện tích S thỏa mãn bất đẳng thức: S ≤ 2(n + 1) Giải: Gọi A, B, C, D bốn đỉnh hình vuông A1; A2; An n điểm nằm hình vuông Nối A1 với đỉnh A, B, C, D Khi ta hình tam giác *) Nếu A2 nằm trong tam giác ( Giả sử A2 nằm tam giác ADA1) Ta nối A2 với A, D, A1 Sau nối xong, số tam giác tăng thêm *) Nếu A2 nằm cạnh chung (Ví dụ A2 ∈ A1D) nối A2 với A C Khi số tam giác tăng thêm Như trường hợp, số tam giác tăng thêm Với điểm A3; An ta làm tương tự Cuối số tam giác tạo thành là: + 2(n-1) = 2n + tam giác Các tam giác có đỉnh đỉnh hình vuông n điểm cho Khi đó, tổng diện tích 2n +2 tam giác diện tích hình vuông (bằng 1) Theo nguyên lý cực hạn, tồn tam giác có diện tích nhỏ 2n + tam giác Gọi diện tích S S ≤ 2(n + 1) (Điều cần chứng minh) 10 Chuyên đề BDHSG THCS 2014 Trần Thị Phi Nga Ví dụ 8: Trong bảng hình vuông gồm 10 × 10 ô vuông (10 hàng, 10 cột), người ta viết vào ô vuông số tự nhiên từ đến 100 theo cách sau: hàng thứ nhất, từ trái sang phải, viết số từ đến 10; hàng thứ hai, từ trái sang phải, viết số từ 11 đến 20; hết hàng thứ 10 Sau cắt bảng hình vuông thành hình chữ nhật nhỏ kích thức 1× × Tính tích số hai số hình chữ nhật nhỏ cộng 50 tích lại Cần phải cắt hình vuông để tổng tìm nhỏ ? Hãy tính giá trị nhỏ (Đề KS HSG Huyện Vĩnh Tường năm học 2011-2012) Giải: Cắt hình vuông thành hình chữ nhật cỡ 1× × tất 50 hình Giả sử hình thứ k có số ak , bk ak − bk = ak − bk = 10 50 50 50 2 ak2 + bk2 ( ak − bk ) a × b = a + b − ( ak − bk ) ( ) Ta có ak ×bk = suy ∑ k k ∑ ∑ − k k k =1 k =1 k =1 2 50 1 100 ×101 ×201 2 = 169175 Trong ∑ ( ak + bk ) = ( + + L + 100 ) = × k =1 2 số ( ak − bk ) hoặc 100 Do đó, để tổng thu nhỏ nhất, ( ak − bk ) = 100, ∀k = 1, 2, ,500 Vì vậy, cần cắt hình vuông thành hình chữ nhật với kích thước × Và giá trị nhỏ tổng 169175 − 25 × 100 = 166675 Ví dụ 9: Cho đa giác lồi A1 A2 K A100 Tại đỉnh Ak ( k = 1, 2, ,100 ), người ta ghi số thực ak cho giá trị tuyệt đối hiệu hai số hai đỉnh kề Tìm giá trị lớn giá trị tuyệt đối hiệu hai số ghi cặp đỉnh đa giác cho, biết số ghi đỉnh cho đôi khác (Đề tuyển sinh THPT chuyên Vĩnh Phúc 2011-2012) Xét đa giác lồi A1 A2 K A100 hình vẽ Khi ak − ak +1 = ak − ak +1 = ( k = 1, 2, ,99 ) Không tính tổng quát, coi a1 nhỏ nhất, an − a j lớn (dễ thấy n ≥ ) Đặt d = max i≠ j d = an − a1 Ta chứng minh d = 149 Nằm A1 , An , theo chiều kim đồng hồ có n − đỉnh có 100 − n đỉnh, theo chiều ngược kim đồng hồ Hơn giá trị tuyệt đối hiệu hai số kề không vượt Do d = a1 − an ≤ a1 − a2 + a2 − a3 + + an −1 − an ≤ ( n − 1) tương tự ta có 28 Chuyên đề BDHSG THCS 2014 Trần Thị Phi Nga ( 3(n − 1) ) + ( 3(100 − n + 1) ) = 300 = 150 d ≤ ( 100 − n + 1) Suy d ≤ 2 d = 150 hiệu hai số ghi hai đỉnh kề hay ta  − +1 = +1 − + ( i = 1, ,98) có − +1 = 3, i = 1, 2, ,99 ⇒ − +1 = +1 − + ⇒  a = a i i +  ⇒a1 − a100 = a1 − a2 + a2 − a3 + + a99 − a100 = 99 ( a1 − a2 ) ⇒ a1 − a100 = 99 ( a1 − a2 ) ⇒3 = 99.3 Điều không xảy suy d = 150 không thỏa mãn Ta xây dựng trường hợp cho d = 149 sau: a1 = 0, a2 = 2, ak = ak −1 + với k = 2,3,…,52; a53 = a52 − 2, ak = ak −1 − 3, k = 54,55,…,100 Khi hiệu lớn a53 − a1 = 149 Các số a2 , a3 ,…, a53 có dạng + 3t , số a54 , a55 ,…, a100 có dạng 147 − 3k Rõ ràng không tồn k , t cho + 3t = 147 − 3k ⇔ ( k + l ) = 145 ( k , t ∈¢ ) Suy điều phải chứng minh Ví dụ 10: Một số tự nhiên dương gọi số “Đẹp”, hợp số không chia hết cho 2, 3, 5, Hỏi có tất số tự nhiên “Đẹp” nhỏ 2011 Giải: Số “Đẹp” hợp số, không chia hết cho 2,3,5,7, nên phải tích số nguyên tố lớn 10 Do 133 =2197> 2010 , nên số cần tìm có dạng a ×b a ×b ×c với a,b, c số nguyên tố 11 ≤ a ≤ b ≤ c Xét số “Đẹp” dạng a ×b với 11 ≤ a ≤ b , a,b số nguyên tố : Với a=11 11 ≤ b ≤ 181 , có 38 số Với a=13 13 ≤ b ≤ 151 , có 31 số Với a=17 17 ≤ b ≤ 113 , có 24 số Với a=139 19 ≤ b ≤ 103 , có 20 số Với a=23 23 ≤ b ≤ 83 , có 15 số Với a=29 29 ≤ b ≤ 71 , có 12 số Với a=31 31 ≤ b ≤ 61 , có số Với a=37 37 ≤ b ≤ 53 , có số Với a=41 41 ≤ b ≤ 47 , có số Với a=43 b=43, có số Xét số “Đẹp” dạng a ×b ×c với 11 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ 13 , a,b,c số nguyên tố Có số có dạng là: 11.11.11=1331; 11.11.13=1573 ; 11.13.13=1859 Suy số số “Đẹp” cần tìm S = 38+31+24+20+15+12+8+5+3+1+3 = 160 số Ví dụ 11: Trong hộp có 2014 viên sỏi Có hai người tham gia trò chơi, người phải bốc 11 viên sỏi nhiều 20 viên sỏi Người bốc viên 29 Chuyên đề BDHSG THCS 2014 Trần Thị Phi Nga sỏi cuối thua Hãy tìm thuật chơi để đảm bảo người bốc người thắng GIẢI: Để đảm bảo thắng cuộc, nước cuối người bốc sỏi phải để lại hộp 11 viên sỏi Ở nước trước phải để lại hộp: 11 + (20 + 11) = 42 viên sỏi Suy người bốc sỏi phải đảm bảo hộp lúc 11 + 31k viên sỏi Ta có (2014 − 11) : 31 = 64 dư 19 Như người bốc sỏi lần thứ phải bốc 19 viên Tiếp theo, đối phương bốc k viên sỏi ( k = 1, 2, , 20 ) người bốc sỏi phải bốc 31 − k viên sỏi, cuối để lại 11 viên sỏi cho đối phương Ví dụ 12: Có điền hay không 100 số gồm 10 số -2, 10 số -1, 30 số 0, 40 số 1, 10 số vào ô bảng 10× 10 (mỗi ô điền số gọi số hàng i tính từ lên cột j tính từ trái sang phải aij) cho thỏa mãn hai điều kiện: i) Tổng số hàng, cột m; ii) Tổng số aij bảng thỏa mãn i  j  5m Không điền Thật vậy, giả sử trái lại, điền số thỏa mãn Khi m = ×[ 10.(−2) + 10.(−1) + 30.0+ 40.1+ 10.2] = số lẻ 10 Ta chia ô bảng thành loại: - Loại gồm ô hàng lẻ, cột lẻ - Loại gồm ô hàng lẻ, cột chẵn - Loại gồm ô hàng chẵn, cột lẻ - Loại gồm ô hàng chẵn, cột chẵn Kí hiệu Sk tổng tương ứng tất ô loại k Khi S1 + S2 tổng số tất hàng lẻ, nên S1 + S2 = 5m S2 + S4 tổng số tất cột chẵn, nên S2 + S4 = 5m Loại loại gồm ô mà i - j chẵn, S1 + S4 = 5m Suy 2(S1 + S2 + S4) = 15m (1) Do m lẻ, nên VP(1) lẻ Mà VT(1) chẵn: vô lí Do điều giả sử sai Vậy điền số thỏa mãn Ví dụ 13: Có 40 học sinh lớp đứng thành vòng tròn quay mặt vào tâm đường tròn để tham gia trò chơi đếm số sau: Mỗi học sinh đếm dãy số tuần hoàn 1,2,1,2,1,2….lần lượt theo chiều kim đồng hồ học sinh A(lớp trưởng) Nếu học sinh đếm số phải rời khỏi vòng tròn Việc đếm tiếp tục học sinh - Học sinh coi thắng B 30 Chuyên đề BDHSG THCS 2014 Trần Thị Phi Nga học sinh giỏi Toán, B tìm vị trí đứng để người thắng Hỏi B đứng vị trí theo chiều kim đồng hồ kể từ A? GIẢI: Xét trường hợp lớp có 32 học sinh lớp trưởng vị trí thứ thắng Như vậy, để B người thắng B phải đứng vị trí thứ sau loại (40 – 32) = người Hay B phải đứng vị trí x + = 17 theo chiều kim đồng hồ kể từ vị trí lớp trưởng A (GV yêu cầu HS tổng quát hóa toán với n HS lớp Nếu lớp có 2k HS B có hội thắng ko?) 31 Chuyên đề BDHSG THCS 2014 Trần Thị Phi Nga BÀI TẬP TỔ HỢP CHỌN LỌC Bài Lát bàn cờ x 21 quân trimino kích thước x Hỏi ô trống lại ô ? Bài Cho n số nguyên dương lớn hay Kí hiệu A = {1, 2, …, n} Tập B tập A gọi tập "tốt" B khác rỗng trung bình cộng phần tử B số nguyên Gọi T n số tập tốt tập A Chứng minh Tn – n số chẵn Bài Trên bàn cờ vua kích thước 8x8 chia thành 64 ô vuông đơn vị, người ta bỏ ô vuông đơn vị vị trí hàng thứ m cột thứ n Gọi S(m;n) số hình chữ nhật tạo hay nhiều ô vuông đơn vị bàn cờ cho ô trùng với vị trí ô bị xóa bỏ ban đầu Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn S(m;n) Bài Ba nhóm đường thẳng song song chia mặt phẳng thành N miền Hỏi số đường thẳng nhóm để N > 2011 HD:Giả sử số đường thẳng nhóm p, q, r chứng minh số miền tạo thành không vượt quá: pq + qr + rp + p + q + r + Ý tưởng là: p đường thẳng song song chia mặt phẳng thành p+1 phần Khi kẻ thêm đường thẳng không song song với p đường thẳng tạo thêm p+1 phần Như thế, sau kẻ q đường thẳng số phần (p+1)(q+1) Cuối cùng, có họ p + q đường thẳng, kẻ thêm đường thẳng họ thứ cắt hai họ nhiều p+q điểm, tạo p+q+1 miền Suy số miền tối đa (p+1)(q+1) + r(p+q+1) Bài Cho điểm nguyên mặt phẳng tọa độ, điểm thẳng hàng Chứng minh ta chọn điểm thỏa mãn diện tích tam giác tạo chúng số chẵn Bài Ta có 15 thẻ đánh số 1, 2, …, 15 Có cách chọn số (ít 1) thẻ cho tất số viết thẻ lớn số thẻ chọn Bài Trên đường thẳng nằm ngang, cho 2005 điểm đánh dấu trắng đen Với điểm, xác định tổng tất điểm trắng bên phải điểm đen bên trái Biết rằng, 2005 tổng có số xuất số lẻ lần Hãy tìm tất giá trị có số Bài 8: Cho số nguyên n ≥ Chứng minh họ gồm n-1+1 tập hợp không rỗng phân biệt tập hợp {1, 2,…, n} tìm ba tập hợp mà chúng hợp hai tập hợp lại Bài 9: Trong mặt phẳng cho 2011 điểm cho với ba điểm số điểm ta tìm hai điểm để đoạn thẳng tạo thành có độ dài bé Chứng minh tồn hình tròn bán kính chứa không 1006 điểm cho Bài 10 Cho n điểm mặt phẳng, ba điểm thẳng hàng, biết ba điểm n điểm cho tạo thành tam giác có diện tích 32 Chuyên đề BDHSG THCS 2014 Trần Thị Phi Nga không lớn Chứng minh phủ tất n điểm cho tam giác có diện tích không lớn Xét tam giác ABC có diện tích lớn vẽ tam giác DEF tam giác nhận tam giác ABC tam giác trung bình Khi DEF tam giác cần tìm Bài 11 Có n đội bóng thi đấu vòng tròn lượt Hãy lập lịch thi đấu gồm n-1 vòng đấu cho vòng, đội thi đấu nhiều trận Bài 12 Cho 2n+1 máy tính Hai máy tính nối với sợi dây Chứng minh tô máy tính sợi dây 2n+1 màu cho: i) Các máy tính tô màu khác ii) Các sợi dây xuất phát từ máy tính tô màu khác iii) Hai máy tính sợi dây nối chúng tô màu khác Xếp máy tính lên đỉnh 2n+1 giác A 1A2…A2n+1 tô màu 1, 2, …, 2n+1 Với i, Nối đường kính OA i tô tất cạnh đường chéo vuông góc với OAi màu i Ta phép tô thỏa mãn điều kiện Bài 13: Có 6n+4 nhà toán học tham dự hội nghị, có 2n+1 buổi thảo luận Mỗi buổi thảo luận có bàn tròn cho người ngồi n bàn tròn cho người ngồi Biết người không ngồi cạnh đối diện lần a Hỏi thực không với n=1? b Hỏi thực không với n>1? Bài 14 Trong đường tròn đơn vị có điểm cho khoảng cách hai điểm chúng lớn Chứng minh kẻ hai đường kính vuông góc đường tròn cho góc 1/4 có điểm cho Bài 15 Số nguyên dương A cách viết thập phân gọi số kỳ quặc tổng A số thu từ A cách viết theo thứ tự ngược lại số có tất chữ số lẻ Hãy tìm số số kỳ quặc có chữ số Bài 16 Có ba lớp học A, B, C, lớp có 30 học sinh Biết học sinh quen với 31 học sinh khác lớp Chứng minh tồn ba học sinh a, b, c thuộc lớp A, B, C cho họ đôi quen Chọn học sinh có số bạn quen nhiều lớp khác Giả sử số bạn quen lớn k Giả sử học sinh a lớp A a quen với k học sinh lớp B Do a quen với 31 học sinh a ≤ 30 nên a quen với học sinh C, giả sử c Theo định nghĩa k, c quen không k học sinh A, c quen với 31-k học sinh B Vì tổng số người quen a c B k + 31-k = 31 nên a c phải có người quen chung B Gỉa sử b a, b, c học sinh cần tìm Bài 17 Phủ bàn cờ x 21 quân trimino x Hỏi ô trống lại ô nào? 33 Chuyên đề BDHSG THCS 2014 Trần Thị Phi Nga HD: Gọi ε số cho ε + ε + = ta có ε = Đánh số cột hàng theo thứ từ từ trái sang phải, từ lên 1, 2, …, Ta điền vào ô (i, j) số εi+j Khi dễ thấy tổng số ô mà quân trimino x phủ Như vậy, phủ bàn cờ x 21 quân domino tổng số ô bị phủ Suy số lại tổng tất số ghi Ta có tổng số ghi 8  i  j  i+ j i+ j ε = ε = ∑ ∑∑  ∑ ε ÷ ∑ ε ÷ = (ε + ε ) = 1≤i , j ≤8 i =1 j =1  i =1   j =1  Suy số ô lại phải số Nếu (i, j) ô lại từ suy i + j chia hết cho Làm tương tự ô (i, j) ghi số εi-j ta thu i – j chia hết cho Suy i j chia hết cho Như (i, j) cặp (3, 3), (3, 6), (6, 3), (6, 6) Dễ dàng cách phủ cho TH (do tính đối xứng, cần cho trường hợp) Bài 18 Xét số tự nhiên n ≥ Bắt đầu số 1, 2, …, 2n-1, 2n ta thực phép biến đổi sau: Chọn số a, b cho a – b ≥ 2, xóa hai số thay hai số a – 1, b + 1; với số thu được, ta lại thực phép biến đổi tương tự, a) Chứng minh sau số lần thực phép biến đổi trên, ta phải đạt đến trạng thái dừng, tức thực phép biến đổi b) Gọi k số phép biến đổi cần thực để đạt đến trạng thái dừng Hãy tìm giá trị lớn giá trị nhỏ k Bài 19 Một ngũ giác lồi có tất góc cạnh số hữu tỷ Chứng minh ngũ giác ngũ giác Bài 20 Hai người A B chơi trò chơi Ban đầu bàn có 100 viên kẹo Hai người thay phiên bốc kẹo, lần bốc k viên với k ∈ {1, 2, 6} Hỏi người có chiến thuật thắng, người trước hay người sau? Bài 21 a) Trên bảng có số 2010 Hai người A B luân phiên thực trò chơi sau: Mỗi lần thực hiện, cho phép xoá số N có bảng thay N-1 [N/2] Ai thu số trước thắng Hỏi người có chiến thuật thắng, người trước hay người sau b) Cùng câu hỏi với luật chơi thay đổi sau: Mỗi lần thực hiện, cho phép xoá số N có bảng thay N-1 [(N+1)/2] Bài 22 Hình tròn đường kính thành thành 10 ô Ban đầu ô có viên bi Mỗi lần thực hiện, cho phép chọn viên bi di chuyển chúng sang ô bên cạnh, viên theo chiều kim đồng hồ viên ngược chiều kim đồng hồ Hỏi sau số hữu hạn lần thực hiện, ta chuyển tất viên bi ô không? HD: Ta tô màu ô hai màu đen trắng xen kẽ Gọi S tổng số viên bi nằm ô đen trạng thái ban đầu ta có S = Nếu giả sử ngược lại ta 34 Chuyên đề BDHSG THCS 2014 Trần Thị Phi Nga đưa viên bi ô trạng thái cuối này, ta có S = (nếu ta dồn viên bi ô trắng) S = 10 (nếu ta dồn viên bi ô đen) Bây ta thu điều mâu thuẫn ta chứng minh qua lần thực tính chẵn lẻ S không thay đổi, tức ban đầu S số lẻ qua lần thực hiện, S số lẻ (và 10) Nếu nhận xét ô đen trắng xen kẽ điều mà cần chứng minh hiển nhiên xin dành phép chứng minh chi tiết cho bạn đọc Bài 23 Có 2n người xếp thành hàng dọc Hỏi có cách chọn số người (ít 1) từ 2n người này, cho hai người đứng kề chọn Hai người đứng kề hai người có số thứ tự liên tiếp hàng dọc có số thứ tự hai hàng Gọi Sn số cách chọn số người từ 2n người xếp thành hàng dọc T n số cách chọn số người từ 2n-1 người xếp thành hàng dọc, khuyết chỗ đầu hàng Ta có S1 = 2, T1 = 1 Hình Sn với n = Hình Tn với n = Xét 2n người xếp thành hàng dọc (như hình 1) Ta xét cách chọn thoả mãn điều kiện đầu Xảy khả sau : 1) Người vị trí số chọn : Khi người vị trí số số không chọn  Có Tn-1 + cách chọn (+1 bổ sung cách chọn « không chọn » ) 2) Người vị trí số chọn : Tương tự, có Tn-1 + cách chọn 3) Cả hai người vị trí số số không chọn: Có S n-1 cách chọn Vậy ta có Sn = Sn-1 + 2Tn-1+ (1) Xét 2n-1 người xếp thành hàng dọc (như hình 2) Ta xét cách chọn thoả mãn điều kiện đầu Xảy khả sau : 1) Người vị trí số chọn : Khi người vị trí số không chọn  có Tn-1 + cách chọn 2) Người vị trí số không chọn : có Sn-1 cách chọn Vậy ta có Tn = Sn-1 + Tn-1 + (2) Từ (1) ta suy 2Tn-1 = Sn – Sn-1 – 2, 2Tn = Sn+1 – Sn – Thay vào (2), ta 35 Chuyên đề BDHSG THCS 2014 Trần Thị Phi Nga Sn+1 – Sn – = 2Sn-1+ Sn – Sn-1 – + Sn+1 = 2Sn + Sn-1 + Từ dễ dàng tìm Sn = (1 + ) n +1 + (1 − ) n +1 − 2 Bài 24 Tìm số tất n số (x1, x2, …, xn) cho (i) xi = ± với i = 1, 2, …, n (ii) ≤ x1 + x2 + … + xr < với r = 1, 2, …, n-1 ; (iii) x1 + x2 + … + xn = Bài 25 Trong nhóm gồm 2n+1 người với n người tồn người khác n người quen với tất họ Chứng minh nhóm người có người quen với tất người HD: Ta chứng minh nhóm người có nhóm n+1 người đôi quen (gọi nhóm A) Từ đó, xét n người lại Theo giả thiết, có người nhóm A quen với n người Suy người quen với tất người Để chứng minh khẳng định tồn nhóm A, ta giả sử k kích thước (số người) lớn nhóm người đôi quen Ta cần chứng minh k ≥ n+1 Giả sử ngược lại k ≤ n Theo giả thiết,tồn người số người lại quen với k người Bổ sung người vào nhóm, ta nhóm gồm k+1 người đôi quen Mâu thuẫn với điều giả sử k lớn Bài 26 Trong đa giác lồi có chứa không m 2+1 điểm nguyên Chứng minh đa giác lồi tìm m+1 điểm nguyên nằm đường thẳng Bài 27 Chứng minh người bất kỳ, có người đôi quen nhau, có người đôi không quen Bài 28 Chọn 69 số nguyên dương từ tập hợp E = {1, 2, …, 100} Chứng minh tồn số a < b < c < d số chọn cho a + b + c = d Kết luận toán không ta thay 69 68? HD: Giả sử số a1 < a2 < … < a69 Xét tập hợp A = {a2+a3, a2+a4, …., a2+a69}, B = {a3 – a1, …, a69 – a1} | A | = | B | = 67 Do a69 – a2 ≥ 67 nên ta suy a ≤ a69 – 67 ≤ 100 – 67 = 33 Suy a + a69 ≤ 133 Ngoài a3 – a1 ≥ Do số lớn A B nên ta có A, B ⊂ {2, 3, …., 133} = C Vì | C | = 132 < 134 = |A| + |B| nên từ ta suy A ∩ B ≠ ∅ Suy tồn i, j ≥ cho a2 + = aj – a1 Rõ ràng i < j ta có a1 + a2 + = aj Dựa vào cách giải trên, 68 số mà không tìm số thỏa mãn bài, là: 33, 34, …, 100 36 Chuyên đề BDHSG THCS 2014 Trần Thị Phi Nga Do tổng ba số nhỏ số 33 + 34 + 35 = 102 > 100 số lớn nên không tồn ba số a, b, c, d cho a + b + c = d Bài 29 Trong nhóm n người có người đôi quen người quen nhiều nửa số người nhóm Tìm số số ba người đôi quen Bài 30 Các số 1, 2, …, n viết bảng Mỗi phút, học sinh lên bảng, chọn hai số x y, xóa chúng viết lên bảng số 2x + 2y Quá trình tiếp diễn bảng lại số Chứng minh số không nhỏ 4n3 Bài 31 Cho tập hợp A gồm số nguyên dương có tính chất sau (i) A = 1, max A = 100 (ii) Với a thuộc A, a > tồn b, c thuộc A (b không thiết khác c) cho a = b + c Tìm GTNN | A | Bài 32 Trong hệ thống tuyến xe buýt thành phố, hai tuyến có chung bến, tuyến có bến Chứng minh phân bến thành hai nhóm cho tuyến xe buýt có bến thuộc hai nhóm Bài 33 Trong giải cờ vua có 40 kỳ thủ Có tổng cộng 80 ván đấu, hai kỳ thủ đấu với nhiều lần Tìm số nguyên dương n lớn cho trường hợp, ta tìm n kỳ thủ chưa đấu với Bài 34 Trò chơi lô-tô Lotoland tổ chức sau: Người chơi chọn số khác từ số 1, 2, 3, …, 36 Sau người ta bốc ngẫu nhiên số từ số 1, 2, 3, …, 36 Vé không chứa số số vừa bốc vé thắng giải Chứng minh tồn cách mua vé để đảm bảo có vé thắng vé nói chung không đủ để đảm bảo điều Bài 35 Bàn cờ 12 x 12 tô màu đen trắng bình thường Mỗi lần thực ta sơn lại hai ô cạnh theo quy tắc: đen thành xanh, xanh thành trắng, trắng thành đen Hỏi ta cần phải dùng tối thiểu bước để sơn bàn cờ thành màu đen trắng ngược với bàn cờ ban đầu? 37 Chuyên đề BDHSG THCS 2014 Trần Thị Phi Nga C KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Qua nghiên cứu giai đoạn chuyên đề thu hệ thống tập có sáng tạo vận dụng chứng minh khai thác toán tổ hợp Từ kết nghiên cứu trí Ban giám hiệu, tổ khoa học tự nhiên Chuyên đề nghiên cứu thông qua tổ áp dụng trường *) Giai đoạn 3: Luyện đề dạng tổ hợp tổng hợp Củng cố phương pháp làm +) Mục đích: Nhằm nâng cao hiệu bồi dưỡng học sinh giỏi bồi dưỡng học sinh thi vào trung học phổ thông chuyên Trao đổi kinh nghiệm, lấy ý kiến đóng góp từ đồng nghiệp để bổ sung hoàn thiện phát triển chuyên đề +) Thời gian: Từ tháng năm 2013 đến tháng năm 2013 +) Cách tiến hành: Thông qua sinh hoạt chuyên môn báo cáo trước tổ, cụm Trao đổi thảo luận lấy ý kiến đóng góp đồng nghiệp Áp dụng trực tiếp vào công tác bồi bưỡng học sinh giỏi +) Kết giai đoạn Sau thông qua chuyên đề trước tổ tiến hành xin ý kiến đóng góp nhận xét đồng nghiệp nhận 100% giáo viên tán thành cách nghiên cứu Trong trình áp dụng chuyên đề tiến hành khảo sát với đối tượng 25 học sinh giỏi Qua kết khảo sát thu số học sinh biết vận dụng nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn phụ tăng lên rõ rệt, có em bước đầu sáng tạo tổng quát hóa phương pháp dạng tổ hợp Kết cụ thể là: Giỏi Khá Trung bình yếu 10 B3 +) Phân tích kết Từ kết điều tra khẳng định rằng: Qua chuyên đề em học sinh biết cách trình bày, suy luận, khái quát hóa cho loại toán tổ hợp Học sinh phát triển tư kỹ sáng tạo toán học Học sinh tự tin gặp toán hay khó toán rời rạc Hình thành phương pháp tìm lời giải toán, tư linh hoạt, phương pháp học toán cách sáng tạo Giúp cho học sinh giỏi hình thành kỹ giải toán mà giúp em rèn luyện thao tác tư duy: Phân tích, tổng hợp, khái quát hoá, đặc biệt 38 Chuyên đề BDHSG THCS 2014 Trần Thị Phi Nga hoá Hình thành em cách học sáng tạo, qua giúp em có phương pháp tự học, tự nghiên cứu phát triển khả tìm tòi, sáng tạo cho học sinh Hơn giáo viên thấy có lao động nghiêm túc, khoa học có hiệu cao Từ nâng cao trình trình độ chuyên môn nâng cao lực sư phạm trình giảng dạy đặc biệt công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Tóm lại, với phương pháp nghiên cứu giúp người thầy nâng cao tay nghề mình, xây dựng hệ thống kiến thức cần có để định hướng cho học sinh trình học Song quan trọng gây hứng thú học tập môn cho học sinh, giúp em có phương pháp học tập môn Toán cách có hiệu 39 Chuyên đề BDHSG THCS 2014 Trần Thị Phi Nga D KẾT LUẬN Như xuất phát từ nguyên lí Dirichlet phát biểu thật đơn giản, thao tác tư duy, linh hoạt, sáng tạo Chúng ta xây dựng phương pháp chứng minh số toán tổ hợp hay khó Thông qua chuyên đề không cung cấp cho học sinh hệ thống dạng mà hình thành cho học kỹ phân tích toán để từ xây dựng chứng minh toán tổ hợp tổng quát để áp dụng nhằm phát triển lực tư sáng tạo toán học học sinh, học sinh giỏi Về lý luận: Rèn luyện khả tư sáng tạo, kỹ phân tích tổng hợp, tính cẩn thận xác, tính kiên trì linh hoạt vận dụng kiến thức học viải toán cho học sinh Giúp em có hứng thú học tập, ham mê học Toán đặc biệt phát huy lực tư sáng tạo học sinh gặp dạng toán khó Về thực tiễn: Giúp học sinh vận dụng tốt nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn việc giải toán rời rạc nói chung hình học tổ hợp nói riêng Từ chỗ lúng túng gặp toán tổ hợp phần lớn em tự tin hơn, biết vận dụng kỹ bồi dưỡng để giải thành thạo tập chứng minh mang tính phức tạp Trong viết chuyên đề “Sử dụng nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn toán tổ hợp” không tránh khỏi thiếu sót nội dung chuyên đề chưa thực phong phú Rất mong bạn đồng nghiệp em học sinh đóng góp thêm ý kiến để chuyên đề hoàn thiện có hiệu Tôi xin chân thành cám ơn Vĩnh Yên, ngày 10 tháng năm 2014 Người viết chuyên đề Trần Thị Phi Nga 40 Chuyên đề BDHSG THCS 2014 Trần Thị Phi Nga CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Báo toán tuổi thơ, toán học tuổi trẻ [2] Phan Huy Khải (năm 2007) Các toán hình học tổ hợp [3] Trịnh Đình Long (năm 2006) Bài giảng cho học sinh chuyên toán- Trường ĐHKHTN TP Hồ Chí Minh: Nguyên lí Dirichlet toán số học [4] Vũ Hữu Bình (năm 1998): Phương pháp giảng dạy môn toán - NXB GD [5] Website http://baigiang.violet.vn/ [6] Website http://math.net.vn/ DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT Stt Từ viết tắt BGH THCS BĐT HSG GV BDHSG GTLN GTNN Từ viết đầy đủ Ban giám hiệu trung học sở Bất đẳng thức học sinh giỏi giáo viên Bồi dưỡng học sinh giỏi Giá trị lớn Giá trị nhỏ 41 Chuyên đề BDHSG THCS 2014 Trần Thị Phi Nga MỤC LỤC I - PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu đề tài Đối tượng phạm vi nghiên cứu Cơ sở lí thuyết thực trạng vấn đề II QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN Các toán sử dụng nguyên lí cực hạn Sử dụng nguyên lí Dirichlet giải toán hình học tổ hợp Một số dạng toán hình học tổ hợp thường gặp Một số dạng tổng hợp khác Bài tập tổ hợp chọn lọc III – KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU III - PHẦN KẾT LUẬN Tài liệu tham khảo 14 21 25 33 39 41 42 42 ... a1 a100 = a1 a2 + a2 a3 + + a 99 a100 = 99 ( a1 a2 ) a1 a100 = 99 ( a1 a2 ) = 99 .3 iu ny khụng xy suy d = 150 khụng tha Ta xõy dng mt trng hp cho d = 1 49 nh sau: a1 = 0, a2 = 2, ak = ak... sỏng to gii to n Hc sinh thy c vai trũ v ng dng rng rói ca nguyờn lớ Dirichlet v nguyờn lớ cc hn Cng thụng qua ti ny nhm giỳp hc sinh cú thúi quen tỡm tũi hc to n v sỏng to gii to n.T ú to cho... lý) Suy iu phi chng minh 1 1 1 12 Chuyờn BDHSG THCS 2014 Trn Th Phi Nga II- S DNG NGUYấN Lí DIRICHLET GII CC BI TON HèNH HC T HP A- Nguyờn lý: *) Nguyờn lý Dirichlet (Gustav Lejeuve Dirichlet)