ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— LÊ THU TRANG LŨY THỪA HỌ IĐÊAN CÁC HÀM CHỈNH HÌNH VÀ SỰ HỘI CỦA CỦA HÀM GREEN ĐA PHỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— LÊ THU TRANG LŨY THỪA HỌ IĐÊAN CÁC HÀM CHỈNH HÌNH VÀ SỰ HỘI TỤ CỦA HÀM GREEN ĐA PHỨC Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS DƯƠNG QUANG HẢI Thái Nguyên - Năm 2017 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung luận văn thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài "Lũy thừa họ iđêan hàm chỉnh hình hội tụ hàm Green đa phức" hoàn thành nhận thức tôi, không trùng lặp với luận văn, luận án công trình công bố Thái Nguyên, tháng năm 2017 Người viết Luận văn Lê Thu Trang i Lời cảm ơn Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn TS Dương Quang Hải Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn tận tình kinh nghiệm trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Khoa Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Viện Toán học giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập nghiên cứu khoa học Bản luận văn chắn không tránh khỏi khiếm khuyết, mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình bạn bè động viên, khích lệ, tạo điều kiện thuận lợi cho thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2017 Người viết luận văn Lê Thu Trang ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu 1 Sự hội tụ họ iđêan hàm chỉnh hình hội tụ hàm Green đa phức kết hợp với họ iđêan hàm chỉnh hình 1.1 Một số khái niệm 1.2 Hàm Green đa phức 1.3 Họ iđêan hàm chỉnh hình hàm Green đa phức kết hợp với họ iđêan hàm chỉnh hình 1.4 1.5 Sự hội tụ họ iđêan hàm chỉnh hình hội tụ hàm Green đa phức kết hợp với họ iđêan hàm chỉnh hình 15 Một số kết hội tụ hàm Green đa phức 19 iii Lũy thừa họ iđêan hàm chỉnh hình hội tụ hàm Green đa phức 25 2.1 Lũy thừa họ iđêan hàm chỉnh hình 26 2.2 Sự hội tụ hàm Green đa phức 29 2.3 Một số trường hợp đặc biệt hội tụ hàm Green đa phức 37 Kết luận 46 Tài liệu tham khảo 47 iv Mở đầu Hàm Green đa phức giới thiệu nghiên cứu L Lempert năm 1981 Cụ thể, hàm Green đa phức nghiệm toán cực trị đặt cách tự nhiên hàm đa điều hoà âm Từ đó, cho dạng bổ đề Schwarz, tức kiểm soát modun hàm chỉnh hình bị chặn mà triệt tiêu điểm cho trước Đặc biệt, miền siêu lồi, Lempert chứng minh hàm Green đa phức cực trùng với nghiệm toán cực trị nhận cách nghiên cứu đĩa giải tích qua điểm cực Từ đó, hàm Green đa phức đóng vai trò quan trọng lý thuyết vị phức Một số kết hàm Green đa phức với cực logarit miền siêu lồi hàm Green đa phức với cực hữu hạn nhận quan tâm nghiên cứu nhiều tác giả như: Lelong, Klimek, Demailly, Zaharjuta, E Amar, Thomas, Dan Coman, Khi nghiên cứu hàm Green đa phức, Lempert nghiệm toán tử Monge - Ampère phức Tuy nhiên, toán tử Monge - Ampère phức không tuyến tính nên việc nghiên cứu toán tử dẫn đến việc nghiên cứu hội tụ hàm Green đa phức với tập cực gồm hữu hạn điểm miền siêu lồi bị chặn Cn Vấn đề nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu như: Demailly, Lempert, Lelong, Magnusson, Rashkovskii, Láruson, Sigurdsson, Thomas gần Nguyễn Quang Diệu, Dương Quang Hải, Theo hướng nghiên cứu này, lựa chọn đề tài "Luỹ thừa họ iđêan hàm chỉnh hình hội tụ hàm Green đa phức" Mục đích luận văn tìm hiểu nghiên cứu hội tụ hàm Green đa phức với tập cực gồm hữu hạn điểm hội tụ điểm gốc nhờ vào việc nghiên cứu hội tụ họ iđêan lũy thừa hàm chỉnh hình hội tụ hàm Green đa phức liên kết với họ iđêan Luận văn trình bày lại số kết tác giả nêu trên, chủ yếu dựa vào tài liệu [2], [8] [11] Các kết nghiên cứu trình bày phạm vi 48 trang, có phần mở đầu, chương nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: "Sự hội tụ họ iđêan hàm chỉnh hình hội tụ hàm Green đa phức kết hợp với họ iđêan hàm chỉnh hình" Luận văn trình bày kiến thức hàm đa điều hòa dưới, hàm đa điều hòa cực đại, toán tử Monge - Ampère phức,hàm Green đa phức, họ iđêan hàm chỉnh hình, số kết hội tụ hàm Green đa phức Chương 2: "Lũy thừa họ iđêan hàm chỉnh hình hội tụ hàm Green đa phức" Đây nội dung luận văn Nội dung chương trình bày kết hội tụ hàm Green đa phức với tập cực gồm hữu hạn điểm hội tụ điểm gốc nhờ hội tụ họ iđêan lũy thừa hàm chỉnh hình hội tụ hàm Green đa phức liên kết với họ iđêan Chương Sự hội tụ họ iđêan hàm chỉnh hình hội tụ hàm Green đa phức kết hợp với họ iđêan hàm chỉnh hình Trong chương này, luận văn trình bày số kiến thức chuẩn bị khái niệm hội tụ họ iđêan hàm chỉnh hình, hội tụ hàm Green đa phức kết hợp với họ iđêan hàm chỉnh hình để phục vụ cho nghiên cứu chương sau Phần cuối chương số kết nghiên cứu hội tụ hàm Green đa phức với tập cực hữu hạn hội tụ điểm miền siêu lồi bị chặn Cn 1.1 Một số khái niệm Định nghĩa 1.1.1 Cho X không gian tôpô, hàm u : X → [−∞, +∞) gọi nửa liên tục trên X với α ∈ R tập mở {x ∈ X : u(x) < α} mở X Định nghĩa 1.1.2 Cho Ω tập mở Cn u : Ω → [−∞, +∞) hàm nửa liên tục không trùng với −∞ thành phần liên thông Ω Hàm u gọi đa điều hòa với a ∈ Ω b ∈ Cn , hàm λ → u(a + λb) điều hòa trùng −∞ thành phần tập hợp {λ ∈ Cn : a + λb ∈ Ω} Trong trường hợp này, ta viết u ∈ P SH(Ω) (Ở ký hiệu P SH(Ω) lớp hàm đa điều hòa Ω) Mệnh đề 1.1.3 [6] Hàm đa điều hòa thỏa mãn nguyên lý cực trị miền bị chặn, tức Ω tập mở liên thông bị chặn Cn u ∈ P SH(Ω), u với z ∈ Ω, u(z) < sup lim sup u(y) ω∈∂Ω y→ω y∈Ω Định nghĩa 1.1.4 Cho Ω tập mở Cn Giả sử u : Ω → R hàm đa điều hòa Khi đó, u gọi cực đại với tập compact G ⊂ Ω hàm nửa liên tục v G cho v ∈ P SH(G) v ≤ u ∂G, ta có v ≤ u G Ký hiệu M P SH(Ω) tập hợp hàm đa điều hòa cực đại Ω Cho miền Ω ⊂ Cn Ký hiệu U Ω tập compact tương đối Ω Chứng minh Trước tiên, ta có {GSε }, ε ∈ A dãy compact yếu N không gian đối ngẫu hàm liên tục bị chặn Ω Vì ≥ GSε ≥ Gaj (ε) j=1 hàm tổng lại có chuẩn L bị chặn aj (ε) dần tới điểm gốc Bằng cách lập luận lý thuyết độ đo dãy hội tụ theo L1loc Ω, dãy hội tụ L1loc trích dãy hội tụ Hoặc sử dụng [4, Định lý 3.2.12, tr 149], trường hợp dãy hội tụ tới −∞ bị loại trừ đánh giá Giả sử Iεp → I(p) với p ∈ N Bằng phương pháp chứng minh phản chứng, giả sử hàm GSε không hội tụ tới hàm GI• tập compact Ω Khi đó, ta nhận dãy {εj } ⊂ A, εj → cho supK |Gεj − GI• | ≥ δ > 0, với j đủ lớn với tập compact K ⊂ Ω\{0} Theo Định lý 1.5.4 hội tụ tập compact, tồn dãy {εj } ký hiệu {εj } cho Gεj hội tụ theo L1loc Theo Mệnh đề 2.2.4, Gεj phải hội tụ tới GI• Điều mâu thuẫn này, suy định lý chứng minh Một áp dụng thực tiễn thực hành Định lý 2.2.6 kết sau : Với giả thiết Định lý 2.2.6 (hoặc Mệnh đề 2.2.4) Định lý 2.2.7 [11] Nếu bội Hilbert - Samuel iđêan giới hạn I(p) = pn N giới hạn hàm Green đa phức GI(p) Chứng minh Điều kiện tính bội I(p) nghĩa (ddc GI(p) )n (0) = N Do GI(p) ≤ GI• hàm GI• có độ đo Mong-Ampère nên theo Bổ đề 2.2.5 suy ta có GI(p) = GI• 34 Trong trường hợp đặc biệt, với p = 1, iđêan giới hạn ứng với hàm Green GI(1) iđêan giao đầy trường hợp bội Hilbert - Samuel iđêan e(I(1) ) = N Những trường hợp tổng quát nghiên cứu trình bày phần luận văn Sau đây, minh hoạ ví dụ giới hạn hàm Green đa phức với tập cực gồm điểm phân biệt tiến điểm gốc song đĩa đơn vị C2 Trước hết, có số ký hiệu sau Với α = αi i β = βj j , αi , βj ∈ C, đặt Fα,β (z) = αi ψi , α βj ψj ∈ I × I, β với z ∈ Ω Khi đó, bội hàm Fα,β , −1 mult Fα,β (z) = lim max #Fα,β (z) r→0 z∈B(0;r) bội Hilbert-Samuel iđêan I e I = inf mult Fα,β (z) α,β Ví dụ 2.2.8 Cho Sε = {aε1 = (ε; 0), aε2 = (0; ε), aε3 = (0; 0)} hệ gồm ba điểm phân biệt song đĩa đơn vị D2 ⊂ C2 Dễ dàng nhận thấy Iε = z1 z2 , z1 (z1 − ε), z2 (z2 − ε) hội tụ đến iđêan I = M20 = z12 , z1 z2 , z22 , với ε → Với p = 2, iđêan Iε2 = z12 z2 , z12 (z1 − ε)2 , z22 (z2 − ε)2 , z12 z2 (z1 − ε), z1 z22 (z2 − ε), z1 z2 (z1 − ε)(z2 − ε) chứa hàm f ε (z) = z1 z2 (z1 + z2 ) − εz1 z2 = ε−1 [z12 z22 − z1 z2 (z1 − ε)(z2 − ε)], ta 35 có f (z) = z1 z2 (z1 + z2 ) ∈ I(2) Do đó, M40 , z1 z2 (z1 + z2 ) ⊂ I(2) Vì I(2) = M40 , z1 z2 (z1 + z2 ) = 9, từ suy iđêan Iε , Iε2 hội tụ đến iđêan I(2) sinh M40 hàm z1 z2 (z1 +z2 ) Mặt khác, hiển nhiên z14 + z24 ∈ I(2) Đặt Fα,β (z) = z14 + z24 , z1 z2 (z1 + z2 ) ∈ I(2) × I(2) Suy ra, mult Fα,β (z) = 12 = 22 Do đó, giới hạn hàm Green đa phức GIε kết hợp với iđêan Iε tồn GI• = GI(2) , GI(2) = GI(2) (z) 1 = max log |z1 |, log |z13 z2 |, log |z1 z2 |, |z1 z23 |, log |z2 |, log z1 z2 (z1 + z2 ) 2 + O(1) Mặt khác, từ bất đẳng thức sau |z13 z2 | |z1 z23 | |z12 z22 | |z1 |4 + |z12 z22 | , |z1 |4 + |z12 z22 | , |z1 |4 + |z24 | , suy GI(2) = max log |z1 |, log |z2 |, log z1 z2 (z1 + z2 ) + O(1) Chú ý, ta tính bội Hilbert-Samuel iđêan I(2) trường hợp trùng với bội hệ hàm sinh f1 , f2 với f1 , f2 ∈ I(2) 12 36 2.3 Một số trường hợp đặc biệt hội tụ hàm Green đa phức Trong phần này, luận văn trình bày số kết cách sử dụng họ iđêan luỹ thừa việc tìm giới hạn họ iđêan hàm chỉnh hình tìm giới hạn hàm Green đa phức trường hợp cụ thể khác Ta ký hiệu Ma ⊂ O(Ω) iđêan cực đại hàm chỉnh hình triệt tiêu điểm a 2.3.1 Trường hợp hai điểm cực phân biệt Cn Cho a1 , a2 hàm liên tục từ hình tròn đơn vị D vào đa đĩa đơn vị Dn cho a1 (ε) = a2 (ε), với ε ∈ D\{0} (0) = 0, i = 1, Khi đó, họ iđêan Iε := Ma1 (ε) ∩ Ma2 (ε) không tồn giới hạn, tồn dãy {εk } để Iεk hội tụ hàm Green đa phức GIεk hội tụ Chứng minh Thật vậy, họ {Iε }ε=0 không thiết phải có giới hạn ε → Do tính compact nên tồn dãy εk → cho [a1 (εk ) − a2 (εk )] → ν ∈ Pn−1 C, ký hiệu [z] lớp z không gian xạ ảnh Pn−1 C, với z ∈ Dn \{0} Dễ thấy, dãy iđêan Iεk có giới hạn I(1) với bội Hilbert - Samuel thoả mãn điều kiện giao đầy Theo [8, Mục 6.1], hàm Green đa phức GIεk hội tụ tới hàm có trọng Monge - Ampère Theo Định lý 2.2.6 Định lý 2.2.7 giới hạn trùng với hàm GI(1) 37 2.3.2 Trường hợp thoản mãn điều kiện giao đầy với bốn điểm cực phân biệt C2 Xét họ iđêan Iε bốn điểm phân biệt miền siêu lồi bị chặn Ω ⊂ C2 chứa điểm gốc xác định Iε = M0 ∩ M(ε,0) ∩ M(0,ε) ∩ M(ε,ε) Khi đó, iđêan Iε hội tụ đến iđêan I(1) =< z12 , z22 > có bội Hilbert - Samuel Do đó, giới hạn hàm Green đa phức với tập cực Sε = {(0, 0), (ε, 0), (0, ε), (ε, ε)} tồn với hàm Green kết hợp với iđêan I(1) Rõ ràng họ iđêan I(1) thoả mãn điều kiện giao đầy nên giới hạn hàm Green đa phức tồn trùng với hàm Green đa phức kết hợp với iđêan I(1) 2.3.3 Trường hợp ba điểm cực phân biệt C2 Trường hợp ba điểm cực phân biệt C2 , toán hội tụ hàm Green đa phức trở nên phức tạp nghiên cứu trình bày [8] Ở đây, xét hai trường hợp sau đây: Trường hợp (trường hợp tổng quát): Khi họ iđêan Iε = M0 ∩ M(ρ(ε),0) ∩ M(0,ε) ; Trường hợp (trường hợp suy biến): Khi họ iđêan Iε = M0 ∩ M(ρ(ε),0) ∩ M(0,ε) , với ρ(ε)/ε → Cả hai trường hợp trên, họ iđêan Iε hội tụ tới M20 Tuy nhiên, giới hạn hàm Green tương ứng khác Chứng minh Thật vậy, trường hợp thứ nhất, đề cập Ví dụ 2.1.3, Iε2 hội tụ tới iđêan I(2) sinh M40 hàm z1 z2 (z1 + z2 ) Ta có, hàm 38 Green đa phức kết hợp với iđêan I(2) cho 1 GI(2) = GI(2) = max{2log|z1 |, 2log|z2 |, log|z1 z2 (z1 + z2 )|} + O(1) 2 So sánh kết với kết trình bày [8], ta thấy hàm GI(2) tiệm cận với giới hạn hàm Green đa phức lim GIε Và trường ε→0 hợp ta có GI• = GI(2) Thật vậy, theo Định lý 2.2.7, ta có độ đo Monge - Ampère hàm GI(2) ta tính toán trọng Monge - Ampère GI(2) thông qua tính toán bội Hilbert - Samuel iđêan I(2) Ta có, bội Hilbert - Samuel iđêan I(2) số không điểm chung cặp ánh xạ (f1 , f2 ) với f1 , f2 ∈ I(2) giá trị 12 Trong trường hợp thứ 2, iđêan giới I(2) đơn thức chứa M40 hàm z12 z2 Ta có tính toán bội Hilbert - Samuel I(2) 12 Do đó, trọng Monge - Ampère GI(2) Suy ra, giới hạn hàm Green tồn bị chặn hàm log max(|z14 |, |z12 z2 |, |z24 |) Nhận xét rằng, [8] để hội tụ hàm Green đa phức trường hợp này, tác giả phải thiết lập việc xây dựng hệ thống phức tạp đĩa giải tích, đó, nhờ vào sử dụng họ iđêan luỹ thừa (Mệnh đề 2.2.4 Định lý 2.2.6) ta thu kết cách dễ dàng nhiều Trường hợp không xét đến [8] trường hợp cực điểm phân biệt C2 mà tất cực tiến đến dọc theo hướng tiệm cận điểm gốc cụ thể có cực (0;0) (không làm 39 tính tổng quát) hai cực điểm lại thoả mãn limε aε2 /||aε2 || = aε3 /||aε3 || = v Câu hỏi giải [2] Ở đây, sử dụng hội tụ họ iđêan luỹ thừa Định lý 2.2.6 Định lý 2.2.7 ta dễ dàng tìm kết hội tụ hàm Green đa phức cách nhanh nhiều Bài toán hội tụ hàm Green đa phức trường hợp cực điểm phân biệt, suy biến C2 đưa toán với cực sau (xem [2]): Trong song đĩa đơn vị cho điểm phân biệt hội tụ điểm gốc theo hướng aε1 = (0, 0), aε2 = (0, 0), aε3 = (ρ, δρ), ρ = ρ(ε), δ = δ(ε), |ε|2 ≥ |ε − ρ|2 + |ρ|2 |δ|2 ≥ |ρ|2 + |ρ|2 |δ|2 Và đặc biệt, ta có |ε − ρ| ≥ |ε| δ Ký hiệu α = Trong [2, Định lý 1.5] iđêan giới hạn ρ−ε lim Iε thoả mãn điều kiện giao đầy lim α−1 = lim Iε = M20 ε→0 lim α ε→0 −1 ε→0 ε→0 = Vấn đề nghiên cứu giải trường hợp thứ Từ [2], tồn đa thức iđêan Iε : Qε1 (z) = z12 − εz1 − α−1 δz2 → z12 ; Qε2 (z) = z2 (z1 − ρ) → z1 z2 ; Qε3 (z) = z2 (z2 − δρ) → z22 , họ iđêan Iε2 chứa hàm Qε1 (z)(Qε2 (z))2 = −α−1 (z23 + εαz12 z22 + (1 − ε)δραz12 z2 − 2ραz1 z22 + εραz22 ) Suy hàm z23 ∈ I(2) Hơn nữa, M40 ⊂ I(2) Vì vậy, ta có GI(2) ≥ max(2log|z1 |, log|z2 |) + O(1) 40 Vì trọng Monge - Ampère hàm bị 3, mà bội không điểm hàm f (z) = (z14 , z13 ) 12 Do đó, theo Định lý 2.2.7, ta có tồn giới hạn limε GSε = GI(2) = max(2log|z1 |, log|z2 |) + O(1) (nếu Ω = D2 , số bị chặn O(1) kết giới hạn) 2.3.4 Trường hợp n + điểm cực phân biệt tổng quát Cn Xét iđêan Iε với Sε = V (Iε ) chứa điểm gốc điểm εek , ek , ≤ k ≤ n vectơ sở Khi đó, họ iđêan Iε sinh hàm zi zj với i < j zi (zi − ε) Do đó, iđêan Iε hội tụ tới M20 Khi đó, hàm Green với cực Sε hội tụ không? Ta có, khẳng định sau Mệnh đề 2.3.1 [11] Hàm Green GSε hội tụ tập compact Ω\{0} tới hàm ωn + O(1),     ωn (z) := max log ( zj ) zj , A ⊂ {1, , n}  #A  j∈A j∈A Với trường hợp n = ta kết trường hợp tổng quát điểm cực phân biệt C2 xét phần Chứng minh Ta quy nạp theo số chiều không gian Thật vậy, với n = 1, chọn hàm ω1 (z) = 2log|z| Ta có kết cách tính toán trực tiếp với hàm Green cực Giả sử kết luận cho trường hợp Cd , với d n − Chú ý L không gian affine Cn z = (z , z”), L = {(z , 0) : z ∈ Ck } hệ trục tọa độ phù hơp cho trước, 41 Ω∩L ta có GΩ S (z) ≥ GS∩L (z ) Bởi hàm thứ bất đẳng thức hàm đa điều hoà âm định nghĩa supremum hàm Green đa phức Tiếp theo, để chứng minh lim inf ε GSε ≥ ωn , ta cần cần n lim inf GSε ≥ log ( ε n zj ) j=1 zj , (2.10) j=1 sử dụng giả thiết quy nạp không gian Span{ej , j ∈ A} với #A ≤ n − Chúng ta tìm Sε dạng đơn giản không gian thêm chiều Thật vậy, đặt zj , z1 , , zn ) ∈ Cn+1 , ϕε : (z1 , , zn ) → (ε − j tọa độ Cn+1 (z0 , z1 , , zn ) Khi đó, ta xác định tập n n cực Sε := ϕ−1 ε (∪j=1 Cej ) Suy ra, iđêan kết hợp với ∪j=1 Cej I := < zi zj , ≤ i < j ≤ n > Để nghiên hội tụ hàm Green đa phức GSε , ta cần đến hai kết sau đây: Trước hết, sử dụng ký hiệu đa số α = (α0 , , αn ) ∈ Nn+1 Bổ đề 2.3.2 [11] I k = < z γ : |γ| = 2k, γj ≤ k, ≤ j ≤ n > Chứng minh Với k = 1, đẳng thức định nghĩa I Bằng cách lấy tích phần tử sinh suy ta có I k ⊂< z γ : |γ| = 2k, γj ≤ k, ≤ j ≤ n > Ngược lại, giả sử xét với k − Với γ thoả mãn vế thứ hai, từ định nghĩa cho thấy có số i, j cho γi , γj ≥ 42 số i, j cho γi , γj ≥ k Chọn i, j cho γi , γj đạt cực đại lũy thừa Do đó, zγ = zi zj z γ , |γ | = 2k − γl ≤ k − 1, với l Từ giả thiết quy nạp suy z γ ∈ I · I k−1 n Bây giờ, ta chứng minh ( n zj ∈ I(n) cách sử dụng bất zj ) j=1 j=1 đẳng thức (2.10) sử dụng Định lý 2.2.6, kết hợp với GI(n) ≤ GI• Thật vậy, theo Bổ đề 2.3.2, ta có z0 zn (z1 + + zn )n−1 ∈ I n suy hàm (ε − (z1 + + zn ))z1 zn εn−1 ∈ Iεn Chia hai vế cho εn−1 lấy qua giới hạn, ta dấu " " Mệnh đề 2.3.1 Để chứng minh dấu bất đẳng thức ngược lại, ωn hàm có trọng Monge-Ampère đủ nhỏ Thật vậy, trước hết có kết sau Bổ đề 2.3.3 Ta có (ddc )n ωn (0) ≤ n + Chứng minh Lấy tk = t/k , đó, t bội chung 1, ,n Xét ánh xạ f với thành phần fk = ( zjtk , A ⊂ {1, , n}, k = 1, , n zj )tk |A|=k j∈A j∈A Trước tiên, ta kiểm tra f có không điểm cô lập Nếu fn = ta có zk = với số k zj = Trong hai trường hợp, phương trình j fn−1 = cho zl = với l = k zj = Tiếp tục j=k trình trên, sau số hữu hạn bước cuối ta có phương trình có nghiệm z = 43 Tiếp theo, hàm thành phần fk f đa thức nhất, bậc (k + 1)tk Áp dụng Định lý Bezout, ta có bội f k (n + 1)!tn (k + 1)tk = = (n + 1)tn n! Đồng thời, bội Hilbert - Samuel iđêan sinh hàm zjtk , A ⊂ {1, , n} zj )tk ( j∈A j∈A cao (n + 1)tn Do vậy, độ đo Monge - Ampère hàm ωn điểm nhỏ n + Chứng minh Tiếp theo, kết thúc chứng minh Mệnh đề 2.3.1 Lấy u giới hạn L1loc hàm Green đa phức {GSε } Theo Định lý 1.5.4, hội tụ tập compact Ω\{0} (ddc u)n = (n+1)δ0 Hơn nữa, ta có u ≥ ωn + O(1), cách lấy quy hóa hai vế, ta u = gu ≥ gωn (ddc )n gωn = cδ0 , c ≤ n+1 Do đó, theo Bổ đề 2.2.5, hai hàm số phải Suy ra, giới hạn hàm Green đa phức lim GSε = gωn = ωn + O(1) 2.3.5 Trường hợp điểm cực nằm đường cong chỉnh hình Một cách tổng quát, cho Γ đường cong chỉnh hình (đa tạp giải tích 1-chiều) cho ∈ Cn+1 điểm kỳ dị Khi đó, theo Định lý Thie, tồn lân cận U cho chọn hệ tọa độ (z, ω) ∈ Cn × C, hạn chế Γ U nằm hình nón {|z| ≤ C|ω|}, C > Lấy ε ∈ C\{0}, với ε đủ nhỏ Khi đó, xác định iđêan Iε iđêan O(Dn ) xác định tập không điểm ak = ak (ε) cho (ak , ε) ∈ Γ Khi đó, ta có họ iđêan 44 luỹ thừa {Iεp }ε với p ∈ N hội tụ tới giới hạn ε → Do đó, giới hạn hàm Green đa phức tương ứng kết hợp với họ iđêan tồn ta có lim GIε = lim GI• Khi nghiên cứu đề tài, nhận thấy số vấn đề mở đề tài cần tiếp tục nghiên cứu Đó là: Cận đánh giá tốt sup p1 GI(p) (z) giới hạn hàm p∈N Green đa phức GIε gì? Với p ∈ N số hữu hạn, nhận giá trị cận giới hạn hàm Green đa phức GIε ? Trong trường hợp n + điểm cực phân biệt tổng quát Cn , ta GI• = GI(t(n)) , với t(n) bội chung nhỏ 1, , n (đặc biệtt(n) n!) Khi đó, số p(n) tốt để GI• = GI(t(n)) ? Có phải GI• = GI(p) , với p ∈ N bất kỳ? 45 Kết luận Luận văn đặt vấn đề nghiên cứu "Lũy thừa họ iđêan hàm chỉnh hình hội tụ hàm Green đa phức" đạt kết sau đây: • Tổng hợp số kiến thức hàm đa điều hòa dưới, hàm đa điều hòa cực đại, miền siêu lồi, toán tử Monge-Ampère, • Trình bày kiến thức khái niệm số kết giới hạn họ iđêan hàm chỉnh hình hội tụ hàm Green đa phức kết hợp với họ iđêan hàm chỉnh hình miền lồi bị chặn Cn • Bằng cách sử dụng khái niệm iđêan luỹ thừa tính phân bậc họ iđêan luỹ thừa, luận văn nghiên cứu trình bày số kết hội tụ hàm Green đa phức kết hợp với họ iđêan hàm chỉnh hình miền lồi bị chặn Cn trường hợp cực hội tụ điểm Áp dụng vào số trường hợp cụ thể hay điểm cực phân biệt C2 , nghiên cứu số trường hợp khác tổng quát trường hợp cực nằm giao đường cong chỉnh hình siêu phẳng, 46 Tài liệu tham khảo [1] Demailly J P (2009), "Estimates on Monge-Ampère operators derived from a local algebra inequality", Complex Analysis and Digital Geometry Proceedings from the Kiselmanfest, pp 131 - 143 [2] Duong Quang Hai, Thomas P J (2014), "Limit Of Three-Point Green Functions", Serdica Math J 40(2), pp 99 - 110 [3] H¨ormander L (1990), An Introduction to Complex Analysis in Several Variables, North - Holland Math.Library 7, North - Holland publishing company, Amsterdam [4] H¨ormander L (1994), Notions of convexity, Progress in Mathematics 127, Birkh¨auser Boston, Inc., Boston, MA [5] Nguyen Van Khue, Pham Hoang Hiep (2009), "A comparison principle for the complex Monge-Ampre operator in Cegrell’s classes and applications", Trans Amer Math Soc 361(10), pp 5539 - 5554 [6] Klimek M (1991), Pluripotential theory, London Mathematical Society Monographs New Series 6, The Clarendon Press, Oxford 47 [7] Lelong P (1989), "Function de Green pluricomplexe et lemmes de Schwarz dans les espaces de Banach", J Math Pures Appl 68, pp 319 - 347 [8] Magnússon J., Rashkovskii A., Sigurdsson R., Thomas P J (2012), "Limits of multipole pluricomplex Green functions", Int J Math 23(6), available at http://arxiv.org/abs/1103.2296 [9] Rashkovskii A., Sigurdsson R (2005), "Green functions with singularities along complex spaces", Int J Math 16(4), pp 333 - 355 [10] Rashkovskii A (2006), "Relative types and extremal problems for plurisubharmonic functions", Int Math Res Not 2006, Article ID 76283, 26p [11] Rashkovskii A., Thomas P J (2014), "Powers of ideals and convergence of Green functions with colliding poles", Int Math Res Not 2014(5), pp 1253–1272 [12] Rudin W (2008), Function theory in the unit ball of Cn , Grundlehren Math Wiss 241, Springer-verlag, Berlin [13] Zariski O., Samuel P (1975), Commutative algebra, Graduate Texts in Mathematics, Springer-verlag, Berlin 48 ... hi t ca hm Green a phc kt hp vi mt h iờan cỏc hm chnh hỡnh 1.1 Mt s khỏi nim c bn 1.2 Hm Green a phc 1.3 H iờan cỏc hm chnh hỡnh v hm Green a phc... chnh hỡnh v s hi t ca hm Green a phc kt hp vi h iờan cỏc hm chnh hỡnh 15 Mt s kt qu v s hi t ca hm Green a phc 19 iii Ly tha h iờan cỏc hm chnh hỡnh v s hi t ca hm Green a phc 25 2.1 Ly... 26 2.2 S hi t ca hm Green a phc 29 2.3 Mt s trng hp c bit v s hi t ca hm Green a phc 37 Kt lun 46 Ti liu tham kho 47 iv M u Hm Green a phc c gii thiu v nghiờn cu