Header Page of 50 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Võ Thanh Phú DẠY HỌC BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Ở TRUNG HỌC TRONG MỐI QUAN HỆ VỚI PHƯƠNG TRÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 Footer Page of 50 Header Page of 50 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Võ Thanh Phú DẠY HỌC BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Ở TRUNG HỌC TRONG MỐI QUAN HỆ VỚI PHƯƠNG TRÌNH Chuyên ngành: LL&PP dạy học môn Toán Mã số: 60 14 01 11 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS.VŨ NHƯ THƯ HƯƠNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 Footer Page of 50 Header Page of 50 Lời cảm ơn Đầu tiên, xin gởi lời tri ân đến Ba, Má sinh nuôi dạy khôn lớn, cảm ơn người thầy, người cô qua đời truyền thụ cho tri thức để thành người, gởi đến bạn lớp cao học didactic toán k22 quí trọng Cảm ơn cô Lê Thị Hoài Châu góp ý đề cương để có thêm hướng ngày đầu "loe lói" ý tưởng Đặc biệt, xin chân thành cảm ơn cô Vũ Như Thư Hương, người hướng dẫn hoàn thành luận văn Cuối cùng, xin chúc người mà chịu ơn mạnh khỏe hạnh phúc VÕ THANH PHÚ Footer Page of 50 Header Page of 50 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn làm hướng dẫn cô Vũ Như Thư Hương, không chép lại luận văn người khác Nếu lời cam đoan không thật bị xử lý theo pháp luật Võ Thanh Phú Footer Page of 50 Header Page of 50 MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU T 4T I Lý chọn đề tài .1 T 4T II Phạm vi lý thuyết tham chiếu T T III Mục đích nghiên cứu phương pháp nghiên cứu T T IV Cấu trúc luận văn T 4T Chương QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH T T 1.1 Một số kết phương trình bậc nhất, bậc hai rút từ nghiên cứu trước .7 T 4T 1.2 Bất phương trình bậc lớp .11 T T 1.3 Bất phương trình bậc hai lớp 10 .21 T T Chương THỰC NGHIỆM 50 T T 2.1 Giới thiệu thực nghiệm 50 T T 2.2 Phân tích tiên nghiệm 50 T T 2.2 Phân tích hậu nghiệm .58 T T 2.4 Kết luận 66 T 4T PHẦN KẾT LUẬN 68 T PHỤ LỤC T Footer Page of 50 4T 4T Header Page of 50 DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT Footer Page of 50 BDT Bất đẳng thức BPT Bất phương trình BT Bài tập BXD Bảng xét dấu CL Chiến lược KNV Kiểu nhiệm vụ KT Kĩ thuật PT Phương trình THPT Trung học phổ thông 10 TXD Tập xác định 11 VD Ví dụ 12 VT Vế trái 13 VP Vế phải 14 Nxb Nhà xuất Header Page of 50 DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 1: Trích từ tài liệu hướng dẫn thực chuẩn kiến thức, kĩ môn Toán lớp 10 năm 2010 Bảng 2.1: Bảng tóm tắt kĩ thuật giải phương trình bậc hai Bảng 2.2: Tóm tắt kĩ thuật giải phương trình, bất phương trình bậc ; phương trình, bất phương trình quy bậc lớp 20 Bảng 2.3: Kết giải biện luận bất phương trình ax + b < 23 Bảng 2.4: Bảng xét dấu nhị thức bậc 23 Bảng 2.5: Tam thức bậc hai vô nghiệm (∆ < 0) 25 Bảng 2.6: Tam thức bậc hai có nghiệm kép x0 = − b (∆ = 0) 2a 25 Bảng 2.7: Tam thức bậc hai có hai nghiệm x x (x < x ), ∆ > 26 Bảng 2.8: Bảng thống kê tập giải BPT bậc hai 43 R R R R R R R R Bảng 2.9: Tập nghiệm BPT bậc hai trường hợp tam thức bậc hai có nghiệm kép Bảng 2.10: Tóm tắt số kĩ thuật giải giống phương trình bất phương trình 45 48 Bảng 3.1: Kết thực nghiệm câu hỏi số - bất phương trình (1.1) 58 Bảng 3.2: Kết thực nghiệm câu hỏi số - bất phương trình (1.2) 60 Bảng 3.3: Kết thực nghiệm câu hỏi số - bất phương trình (1.3) 64 Footer Page of 50 Header Page of 50 PHẦN MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài Trong chương trình môn toán Việt Nam, với việc mở rộng hệ thống số việc giải phương trình (PT), bất phương trình (BPT) tập số tương ứng Khái niệm PT, BPT hình thành ngầm ẩn từ cấp tiểu học thông qua toán “điền vào chỗ trống”, tìm x (trong tập số ℕ) Bảng 1: Trích từ tài liệu hướng dẫn thực chuẩn kiến thức, kĩ môn Toán lớp 10 năm 2010 Đến cấp trung học sở, chương trình lớp có khái niệm PT ax = b (trong tập ℚ) Khái niệm PT, BPT giới thiệu tường minh lớp chúng xác hóa lớp 10 Kể từ giới thiệu tường minh, đối tượng PT, BPT tiến triển qua lớp sau: Lớp 10 Footer Page of 50 Kiến thức • Khái niệm PT, BPT ẩn • Giới thiệu PT, BPT bậc ẩn cách giải • Phương trình bậc hai ẩn cách giải • Chính xác hóa khái niệm PT, BPT • BPT bậc hai ẩn • Giải biện luận PT ax + b = 0, ax2 + bx + c = P P Header Page of 50 11 12 • PT lượng giác • PT, BPT đại số tổ hợp • PT, BPT mũ, logarit • Giải PT tập số phức BPT đóng vai trò quan trọng toán học Nó phần nhiều chủ đề toán học như: đại số, lượng giác, quy hoạch tuyến tính, giải tích (Chakrabarti&Hamsapriye, 1997; Mahmood & Edwards, 1999) Ví dụ lĩnh vực giải tích để tìm tập xác định hàm số f ( x ) = g ( x ) = log x − x + x x , ta phải tìm tập nghiệm BPT x − x + ≥ > Hơn x+3 x+3 theo tài liệu tiêu chuẩn Mỹ xác định tất học sinh từ lớp đến 12 nên học cách trình bày tình có liên quan đến PT, BPT ma trận (NCTM 1, 1989) Họ đề xuất thêm học sinh "sẽ hiểu ý nghĩa hình thức 0F P P tương đương biểu thức, PT, BPT, hệ phương trình giải chúng cách thông thạo" [NCTM, 2000, tr.269] Với vai trò quan trọng tự hỏi: PT BPT xây dựng tiến triển việc dạy học toán Việt Nam theo chương trình hành? Trong lớp học có kiểu tập gắn liền với khái niệm này? Một PT phát biểu mà trì giá trị hai biểu thức toán học Nếu phát biểu với tất giá trị biến gọi đồng thức [13] BPT phát biểu sử dụng ký hiệu < (nhỏ hơn), > (lớn hơn), ≤ (nhỏ bằng), ≥ (lớn bằng) thay cho dấu hai biểu thức PT Một BPT không cụ thể PT, có chứa thông tin biểu thức liên quan Ngoài ra, BPT cung cấp quan điểm bổ sung cho PT National Council of Teachers of Mathematics Footer Page of 50 Header Page 10 of 50 Nhìn chung, PT BPT nhau, chúng giống nguyên tắc thực hành chẳng hạn cộng trừ biểu thức, nhân (hoặc chia) số nguyên dương Bên cạnh đó, chúng có nhiều điểm khác biệt, chẳng hạn PT để chứng minh câu trả lời đúng, tất cần làm gắn câu trả lời vào Ví dụ (VD) PT 4x = câu trả lời x = cần chứng minh số vào để được: 4.2 = Tuy nhiên, BPT, có loạt câu trả lời khác Do đó, để chứng minh câu trả lời cần nhiều giá trị VD BPT x > câu trả lời x < -3 x > Để chứng minh điều cần làm nhiều bước Chẳng hạn để kiểm tra số (một số lớn 3): 42 > câu trả lời đúng, kiểm tra số 1: 12> P P P P câu trả lời sai Vì vậy, x < -3 x > câu trả lời Từ đây, câu hỏi đặt chương trình toán phổ thông Việt Nam PT BPT liên hệ với nào? Mặt khác, từ thực tế giảng dạy nhận thấy gặp toán giải BPT: 1) m2 – > P P 2) x2 – 2x + > P P Một số học sinh làm sau: 1) m2 – > P P Phải học sinh quan niệm dấu “>” dấu “=” khác mặt hình thức Do đó, học sinh vận dụng cách giải PT m2 – = ⇔ m2 = ⇔ P = ± vào cho BPT Footer Page 10 of 50 P P P m Header Page 65 of 50 58 mẫu nhị thức bậc (chưa xác định dấu) Trong bối cảnh này, học sinh thực quy đồng khử mẫu giữ nguyên chiều BPT phần giả thuyết H khẳng định  V3.2: Biểu thức vế phải Như phân tích chương 1, giải PT hay BPT bậc học sinh yêu cầu chuyển x sang vế trái, số sang vế phải Vì CL3.1 có hội xuất cao nên chọn vế phải số  V3.2: Nghiệm tử số nghiệm mẫu số Nếu tử mẫu có nghiệm chung α học sinh phân tích tử mẫu thành tích có chứa thừa số (x - α) để đơn giản Khi BPT đề cho không dạng chứa ẩn mẫu nên kiểm chứng học sinh có huy động kĩ thuật giải phương trình chứa ẩn mẫu giải kiểu nhiệm vụ giải bất phương trình chứa ẩn mẫu hay không 2.2 Phân tích hậu nghiệm Chúng tiến hành thực nghiệm vào đầu năm học 2013-2014 thời điểm học sinh lớp 10 chưa học BPT nên chọn đối tượng học sinh lớp 11 vốn học BPT, cụ thể có 76 học sinh lớp 11 THPT Nguyễn Hữu Thọ thuộc tỉnh Long An tham gia vào thực nghiệm Và vậy, kết thực nghiệm không bị ảnh hưởng Chúng thống kê kết làm học sinh giải BPT (1.1) bảng 3.1 Bảng 3.1: Kết thực nghiệm câu hỏi - bất phương trình (1.1) Chiến lược Số Phần trăm CL1.1 62 81.58% CL1.2 10 13.16% Bỏ trống 5.26% Tổng 76 100% Có 62/76 học sinh sử dụng CL1.1 cho phép khẳng định học sinh huy động kĩ thuật giải phương trình bậc ẩn chứa tham số cho bất phương trình bậc ẩn chứa tham số Footer Page 65 of 50 Header Page 66 of 50 59 Một học sinh sử dụng CL1.1 mã hóa HS1 đưa lời giải cho BPT (1.1) sau: Bài giải HS1 HS1 chuyển tất hạng tử vế trái để BPT x(m - 1) - < 0, sau xét hai trường hợp m - = m - ≠ 0, phải xét hai trường hợp m − < m − > Điều cho thấy HS1 sử dụng kĩ thuật giải PT chứa ẩn mẫu cho BPT chứa ẩn mẫu Trong số 62 học sinh sử dụng CL1.1 có 18 học sinh không tính đến x xuất vế phải nên xét hai trường hợp m = m ≠ Ví dụ giải học sinh mã hóa HS2 Bài giải HS2 Footer Page 66 of 50 Header Page 67 of 50 60 Có học sinh sử dụng CL1.2 mắc phải sai lầm biến đổi BPT cho dạng ( m − 1) x < chia hai vế BPT cho m − đồng thời giữ nguyên chiều BPT Bài giải HS3 Sau biến đổi BPT cho dạng ( m − 1) x < , để tìm x thực chia hai vế cho m − , HS3 không quan tâm đến dấu m − thể quan việc đặt điều kiện m − ≠ , cho thấy HS3 giải BPT (1.1) PT thay cách hình thức dấu "=" thành dấu "