BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ TÚ ĐIỂM CÓ CẤP HỮU HẠN TRÊN ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, NĂM 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ TÚ ĐIỂM CÓ CẤP HỮU HẠN TRÊN ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Trần Nam Trung HÀ NỘI, NĂM 2017 Lời nói đầu Một đối tượng quan trọng lý thuyết số hình học đại số đường cong Elliptic Về mặt lịch sử, đường cong Elliptic xuất lần đầu nghiên cứu tích phân Elliptic ( từ có tên đường cong) Các đường cong có mặt nhiều lĩnh vực khác Toán học có cấu trúc phong phú hình học đại số, đối tượng quan trọng số học Một mặt, đường cong không kì dị, tức đa tạp chiều Mặt khác, điểm đường cong lập thành nhóm Aben Vì công cụ Toán học áp dụng vào nghiên cứu đường cong Elliptic Ngược lại, kết đường cong Elliptic có ý nghĩa quan trọng nhiều vấn đề khác Chẳng hạn, Andrew Wiles sử dụng lý thuyết đường cong Elliptic để chứng minh định lý Fermat lớn Về mặt thực hành, đường cong Elliptic sử dụng để tạo hệ mã hóa công khai, phân tích số nguyên thành nhân tử, Nhận thức tầm quan trọng này, tác giả mong muốn tìm hiểu thêm đường cong Elliptic điểm có cấp hữu hạn đường cong Elliptic Qua đó, tác giả mong muốn có thêm tài liệu tham khảo hữu ích cho sinh viên việc tìm hiểu đường cong Elliptic Mong muốn đưa tác giả đến với việc lựa chọn đề tài : "Điểm có cấp hữu hạn đường cong Elliptic" Tài liệu tham khảo hai chương đầu sách "Rational Points on Elliptic Curves" hai tác giả Silverman Tate (xem [5]) Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia thành hai chương: Chương 1, trình bày lí thuyết khái niệm đường cong Elliptic tiếp trình bày cấu trúc nhóm đường cong elliptic Chương 2, trình bày điểm có cấp hữu hạn đường cong Elliptic Mục 2.1, trình bày điểm có cấp hữu hạn Mục tìm hiểu biệt thức Mục 2.3 trình bày điểm có cấp hữu hạn có tọa độ nguyên Mục cuối định lý Nagell - Lutz Để hoàn thành luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy, ii người hướng dẫn khoa học mình, TS Trần Nam Trung, người đưa đề tài, quan tâm tận tình hướng dẫn suốt trình nghiên cứu tác giả Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới thầy cô khoa Toán, thầy cô môn Đại số giúp đỡ, góp ý kiến bảo để tác giả hoàn thành luận văn suốt khóa học vừa qua Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới thầy cô Khoa đào tạo Sau đại học, Ban giám hiệu Trường Đại học sư phạm Hà Nội tạo điều kiện cho tác giả thời gian học tập trường Đồng thời, tác giả gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè, đặc biệt thành viên lớp Đại số K24 K25, động viên cổ vũ nhiều suốt thời gian vừa qua Hà Nội, tháng 06 năm 2017 Học viên Nguyễn Thị Tú iii Mục lục Lời nói đầu ii Bảng ký hiệu v Đường cong Elliptic 1.1 Mặt phẳng affine mặt phẳng xạ ảnh 1.2 Đường cong xạ ảnh 1.3 Điểm kỳ dị 1.4 Đường cong Elliptic 1.5 Cấu trúc nhóm 1.6 Cấp phần tử nhóm Điểm có cấp hữu hạn 10 2.1 Điểm có cấp hai cấp ba 10 2.2 Điểm hữu tỷ đường cong elliptic 13 2.3 Biệt thức 14 2.4 Điểm có cấp hữu hạn có tọa độ nguyên 15 2.5 Định lý Nagell - Lutz mở rộng 23 iv Bảng ký hiệu D Biệt thức đa thức bậc N tập số tự nhiên Z vành số nguyên Q trường số hữu tỉ R trường số thực C trường số phức K trường A2K P2K mặt phẳng affine K mặt phẳng xạ ảnh K K[x1 , x2 , , xn ] vành đa thức n biến x1 , x2 , , xn với hệ tử K Rp tập tất số hữu tỷ mà không chứa p mẫu O điểm vô E(K) Tập điểm hữu tỷ đường cong elliptic E trường K v Chương Đường cong Elliptic Trong Chương này, không nói thêm, ta xét K trường 1.1 Mặt phẳng affine mặt phẳng xạ ảnh Định nghĩa 1.1 Tập K gọi mặt phẳng affine K, ký hiệu A2K Chúng ta thường minh họa mặt phẳng affine mặt phẳng thực Oxy Trên tập K \ {(0, 0, 0)} xét quan hệ tương đương ∼ sau (a, b, c) ∼ (a , b , c ) ⇐⇒ tồn t ∈ K, t = 0, cho (a, b, c) = (ta , tb , tc ) Như lớp tương đương đường thẳng K qua gốc tọa độ, bỏ gốc tọa độ Tập hợp lớp tương đương K \ {(0, 0, 0)} gọi mặt phẳng xạ ảnh K, ký hiệu P2K Như vậy, P2K = {(a, b, c) ∈ K | a, b, c, không đồng thời không}/ ∼ Lớp tương đương (a, b, c) ký hiệu (a : b : c) Theo định nghĩa, xem mặt phẳng affine A2K tập không gian xạ ảnh P2K phép đặt tương ứng sau: (x, y) ←→ (x : y : 1) Khi đó, điểm (X : Y : 0) mặt phẳng xạ ảnh không thuộc vào mặt phẳng affine Chúng ta gọi (X : Y : 0) điểm vô mặt phẳng affine A2K 1.2 Đường cong xạ ảnh Cho F (X, Y, Z) đa thức bậc d trường K Khi tập điểm (X : Y : Z) ∈ P2K thỏa mãn phương trình F (X, Y, Z) = (1.1) gọi đường cong xạ ảnhbậc d P2K xác định đa thức F Định nghĩa có nghĩa, F (X, Y, Z) = 0, F đa thức bậc d, nên với t = ta có F (tX, tY, tZ) = td F (X, Y, Z) = Nếu đặt f (x, y) = F (X, Y, 1) có f đa thức trường K Khi đó, tập nghiệm phương trinhg f (x, y) = (1.2) xác định đường cong affine A2K , gọi affine hóa đường cong xạ ảnh (1.1) Ngược lại, cho f (x, y) đa thức bậc d K, đặt F (X, Y, Z) := f (X/Z, Y /Z)Z d Khi F ∈ K[X, Y, Z] đa thức bậc d, (1.1) xác định đường cong mặt phẳng xạ ảnh P2K , gọi xạ ảnh hóa đường cong affine (1.2) 1.3 Điểm kỳ dị Trước hết trình bày khái niệm điểm kỳ dị đường cong xạ ảnh Cho đa thức ba biến F (X, Y, Z) = trường K điểm (x0 : y0 : z0 ) đường cong E : F (X, Y, Z) = gọi điểm kỳ dị E ∂F (x0 , y0 , z0 ) ∂F (x0 , y0 , z0 ) ∂F (x0 , y0 , z0 ) = = = ∂X ∂Y ∂Z Trong trường hợp ngược lại (x0 : y0 : z0 ) gọi điểm không kỳ dị E Tương tự với đường cong affine, cho đa thức f ∈ K[x, y], f = 0, điểm (x0 , y0 ) nằm đường cong C : f (x, y) = gọi điểm kỳ dị C ∂f (x0 , y0 ) ∂f (x0 , y0 ) = = ∂x ∂y Trong trường hợp ngược lại (x0 , y0 ) gọi điểm không kỳ dị C Ví dụ Gốc tọa độ O = (0, 0) điểm kỳ dị đường cong affine bậc ba y = x3 y = x3 − x2 (Xem Hình Hình 2) Chú ý 1.2 Ý nghĩa hình học điểm không kỳ dị: Điểm (x0 : y0 : z0 ) nằm đường cong F (X, Y, Z) = điểm không kỳ dị điểm đường cong có tiếp tuyến Trong trường hợp này, tiếp tuyến có phương trình ∂F (x0 , y0 , z0 ) ∂F (x0 , y0 , z0 ) ∂F (x0 , y0 , z0 ) X+ Y + Z = ∂X ∂Y ∂Z Điểm (x0 , y0 ) nằm đường cong f (x, y) = điểm không kỳ dị điểm đường cong có tiếp tuyến Trong trường hợp này, tiếp tuyến có phương trình ∂f (x0 , y0 ) ∂f (x0 , y0 ) (x − x0 ) + (y − y0 ) = ∂x ∂y 1.4 Đường cong Elliptic Trong mặt phẳng A2K xét đường cong affine y = x3 + ax2 + bx + c a, b, c ∈ K cho trước Xạ ảnh hóa đường cong affine là: Y Z = X + aX Z + bXZ + cZ Từ phương trình ta thấy điểm vô đường cong O = (1 : : 0) Trong luận văn này, định nghĩa đường cong Elliptic sau: Định nghĩa 1.3 Đường cong Elliptic trường K đường cong bậc ba mặt phẳng affine A2K điểm kỳ dị dạng y = f (x) := x3 + ax2 + bx + c (1.3) a, b, c ∈ K, với điểm vô O = (1 : : 0) Ký hiệu tập điểm (x, y) nằm đường cong Ef (K); E(K) nhầm lẫn Chú ý 1.4 Đường cong bậc ba y = f (x), f (x) = x3 + ax2 + bx + c, có điểm kỳ dị, hệ phương trình F (x, y) = ∂f (x, y) ∂f (x, y) = =0 ∂x ∂y (d) Đường cong E có chín điểm có cấp (phần tử không) 3, chín điểm lập thành nhóm tích hai nhóm cyclic cấp ba Chứng minh: Ta phải chứng minh khẳng định (d) Từ x (2P ) = f (x)2 − a − 2x 4f (x) Ta có biểu diễn ψ3 (x) ψ3 (x) = 2f (x)f (x) − f (x)2 Tiếp theo ψ3 (x) có bốn nghiệm (phức) phân biệt; tức ψ3 (x) ψ (x) nghiệm chung Thật vậy, từ ψ (x) = 2f (x)f (x) = 12f (x), suy ψ3 (x) ψ (x) có nghiệm chung, nghiệm chung f (x) f (x) Điều dẫn đến, f (x) f (x) có nghiệm chung Mâu thuẫn với tính có không kỳ dị E Vì vậy, ψ3 (x) có bốn nghiệm phân biệt Gọi β1 , β2 , β3 , β4 bốn nghiệm (phức) ψ3 (x), với βi , đặt δi = f (βi ) Từ (c) ta có điểm tập {(β1 , ±δ1 ) , (β2 , ±δ2 ) , (β3 , ±δ3 ) , (β4 , ±δ4 )} điểm cấp ba E Hơn nữa, δi = 0, ∀i, δi = 0, (βi , δi ) có cấp hai, mẫu thuẫn với việc có cấp ba Do đó, tập có tám điểm phân biệt, nên E có tám điểm cấp ba Những điểm khác E với cấp chia hết điểm cấp một, cụ thể O ta kết thúc chứng minh E có chín điểm cấp chia hết Khi thêm O vào tập điểm cấp ta có nhóm, ký hiệu G, có phần tử Vì G nhóm E, nên nhóm giao hoán Vậy G đẳng cấu với Z /9 Z Z /3 Z × Z /3 Z Do cấp G phần tử cấp 9, nên G phải nhóm Z /3 Z × Z /3 Z Chú ý 2.2 Những điểm cấp E có ý nghĩa hình học sau: chúng điểm uốn E Tại điểm này, tiếp tuyến với đường bậc ba có bội ba Điều kiện 2P = −P có nghĩa ta vẽ tiếp tuyến điểm P , ta có giao điểm bậc ba nối với O, ta có −P Suy ra: 2P = −P tương đương với P điểm uốn 12 2.2 Điểm hữu tỷ đường cong elliptic Cho đường cong elliptic E : y = f (x) = x3 + ax2 + bx + c với hệ số a, b, c ∈ Q Ký hiệu E(Q) = {(x, y) ∈ C, x, y ∈ Q} ∪ {O} E(R) = {(x, y) ∈ C, x, y ∈ R} ∪ {O} Chúng ta gọi điểm P ∈ E(Q) điểm hữu tỷ E; điểm P ∈ E(R) điểm thực E Từ công thức (1.6) ta suy E(Q) ⊂ E(R) ⊂ E dãy nhóm lồng Chú ý đồ thị E(R) có dạng Hình 2.2 Hình 2.1 tùy theo phương trình f (x) = có hay có ba nghiệm thực Hình 2.2: Đường cong elliptic thực f (x) = có nghiệm thực Một kết tiếng Mordell nói nhóm E(Q) hữu hạn sinh Phần lại luận văn xét điểm cấp hữu hạn nhóm Cho d số nguyên dương tùy ý, đổi biến X = d2 x, Y = d2 y Khi phương trình y = x3 + ax2 + bx + c trở thành Y = X + d2 aX + d4 bX + d2 c 13 Đặc biệt chọn d thích hợp ta có d2 a, d4 b d2 c nguyên Nên, nghiên cứu cấu trúc nhóm E(Q), từ trở ta giả thiết từ đầu rằng: a, b, c số nguyên 2.3 Biệt thức Mục tiêu luận văn phát biểu chứng minh định lý chứng minh lần Nagell Lutz vào năm 1930, cho phương pháp tìm tất điểm hữu tỷ có cấp hữu hạn đường cong elliptic E : y = f (x) = x3 +ax2 +bx+c với giả thiết a, b, c ∈ Z Định lý có hai phần Phần đầu nói điểm P = (x, y) ∈ E(Q) có cấp hữu hạn điểm nguyên Phần thứ hai nói rằng, hoạc y = 0, tức P điểm cấp 2, y|D, D biệt thức đa thức f (x) Đặc biệt, nhóm E(Q) có hữu hạn điểm có cấp hữu hạn Định nghĩa 2.3 Biệt thức f (x) = x3 + ax2 + bx + c số D = −4a3 c + a2 b2 + 18abc − 4b3 − 27c2 Như vậy, a = D = −4b3 − 27c2 Giả sử x1 , x2 , x3 ba nghiệm f (x) (có thể có nghiệm phức) Ta phân tích f (x) thành nhân tử f (x) = (x − α1 ) (x − α2 ) (x − α3 ) Còn biệt thức D biểu diễn theo nghiệm dạng: D = (α1 − α2 )2 (α1 − α3 )2 (α2 − α3 )2 Hệ là, f (x) = có nghiệm phân biệt D = Nếu f (x) đa thức với hệ số cao vành đa thức có hệ số nguyên Z [x], biệt thức f (x) ideal Z [x] sinh f (x) f (x) Điều suy từ lý thuyết biệt thức, riêng với đa thức f (x) = x3 + ax2 + bx + c D = (18b − 6a2 ) x − (4a3 − 15ab + 27c) f (x) + (2a2 − 6b) x2 + (2a3 − 7ab + 9c) x + (a2 b + 3ac − 4b2 ) f (x) Như vậy, có đa thức r(x) s(x) với hệ số nguyên cho: D = r(x)f (x) + s(x)f (x) 14 (2.1) Mục đích luận văn chứng minh định lý Nagell-Lutz nói điểm hữu tỷ P = (x, y) đường cong elliptic E có cấp hữu hạn tọa độ nguyên, y = y | D Chú ý P có cấp hữu hạn hiển nhiên 2P có cấp hữu hạn, phần thứ định lý Nagell - Lutz kéo theo P 2P có tọa độ nguyên Vì thế, để chứng minh Định lý Nagell-Lutz bắt đầu với Bổ đề chuẩn bị sau Bổ đề 2.4 Nếu P = (x, y) điểm đường cong elliptic E thỏa mãn P 2P có tọa độ nguyên, y = y | D Chứng minh: Giả sử, y = ta chứng minh y | D Vì y = 2P = nên ta viết 2P = (X, Y ) Theo giả thiết, x, y, X, Y số nguyên Công thức nhân đôi (1.7) ta có: 2x + X = λ2 − a, λ = f (x) 2y Chú ý x, X, a số nguyên λ số hữu tỷ, suy λ nguyên Do 2y, f (x) số nguyên, suy 2y | f (x) y | f (x) Mặt khác, y = f (x) nên ta có y | f (x) Từ đẳng thức 2.1 ta có D = r(x)f (x) + s(x)f (x) hệ số r(x) s(x) số nguyên Vì vậy, r(x) s(x) nhận giá trị nguyên x nguyên, suy y | D 2.4 Điểm có cấp hữu hạn có tọa độ nguyên Trong mục chứng minh phần Định lý Nagell-Lutz nói điểm hữu tỷ P = (x, y) có cấp hữu hạn phải có tọa độ nguyên Ta x, y nguyên cách gián tiếp Ta thấy rằng, số nguyên dương không chi hết cho số nguyên tố Do đó, số hữu tỷ x y viết dạng tối giản mẫu chúng không chia hết cho số nguyên tố 2, 3, 5, , chúng số nguyên Để thực điều đó, cho p số nguyên tố cho trước, ta chứng minh p không chia hết cho mẫu x y Đầu tiên, xét tập điểm hữu tỷ (x, y), p chia hết mẫu x y Mọi số hữu tỷ khác viết cách dạng nguyên tố, n ≥ 1, phân số m n m ν p , n với m, n ∈ Z, p số tối giản Trong phần lại Mục này, ý p số nguyên tố cho trước 15 Định nghĩa 2.5 Với số hữu tỷ viết dạng m ν p n trên, ta định nghĩa bậc số hữu tỷ ν, viết ord m ν p = ν n Như vậy, p chia hết mẫu số hữu tỷ tối giản bậc số âm; p chia hết tử số hữu tỷ tối giản bậc dương Còn bậc số hữu tỷ p không chia hết tử mẫu Cho (x, y) điểm hữu tỷ đường cong elliptic E Giả sử, p chia hết mẫu x Vì vậy, x= m u ;y = µ n.p w.pσ µ > p không chia hết m, n w Thay biểu thức vào phương trình E, tìm mẫu chung ta viết: m3 + am2 npµ + bmnp2µ + cn3 p3µ u2 = w2 p2σ n3 p3µ Chú ý p không chia hết u2 p không chia hết w2 , ord u2 w2 p2σ = −2σ Hơn nữa, µ > p không chia hết m nên p không chia hết m3 + am2 npµ + bmnp2µ + cn3 p3µ đó: ord m3 + am2 npµ + bmnp2µ + cn3 p3µ n3 p3µ = −3µ Vì vậy, 2σ = 3µ Hệ σ > µ > 0, nên p chia hết mẫu y Hơn nữa, 2σ = 3µ suy 2|µ 3|σ Vì vậy, ta có µ = 2ν σ = 3ν với ν số dương Bằng cách tính tương tự, giả sử p chia hết mẫu y, ta µ = 2ν σ = 3ν với ν số dương Vì vậy, p xuất mẫu x y p phải xuất mẫu x y Và trường hợp này, lũy thừa p2ν cho x p3ν cho y với ν số dương Mặt khác, đặt E (pν ) = {(x, y) ∈ E(Q)|ord(x) ≤ −2ν, ord(y) ≤ −3ν} Ví dụ, E(p) tập hợp mà p xuất mẫu x y vậy, có số nhỏ p2 x p3 y Hiển nhiên, ta có bao hàm: E(Q) ⊃ E(p) ⊃ E(p2 ) ⊃ E(p3 ) ⊃ 16 Theo quy ước, có phần tử O E (pν ) Nhắc lại rằng, mục tiêu (x, y) điểm có cấp hữu hạn mẫu x y không chia hết cho p Với ký hiệu mới, điều tương đương với P ∈ / E (pν ) với ν Đổi biến t= x ,s = y y vào phương trình y = x3 + ax2 + bx + c, ta có s = t3 + at2 s + bts2 + cs3 mặt phẳng (t, s) Ta luôn quay lại với tọa độ cũ phép đổi biến y = 1s , x = st Trong mặt phẳng (t, s), ta có tất điểm mặt phẳng cũ (x, y) trừ điểm có tung độ y = phần tử O đường cong E gốc tọa độ (0, 0) mặt phẳng (t, s) Ta có hai dạng đường cong Dạng mặt phẳng (t, s) cho O thứ trừ điểm bậc hai Dạng mặt phẳng (x, y) cho thứ trừ điểm O Trừ điểm O điểm bậc hai, ta có tương ứng − hai điểm đường cong mặt phẳng (x, y) điểm đường cong mặt phẳng (t, s) Hình 2.6 Hơn nữa, đường thẳng y = λx + ν mặt phẳng (x, y) tương ứng với đường thẳng mặt phẳng (t, s) Cụ thể, chia y = λx + ν νy, ta có: λ = x+ ν ν y Vì vậy, λ s=− t+ ν ν Do đó, ta thêm điểm mặt phẳng(t, s) phương pháp tương tự mặt phẳng (x, y) Ta cần tìm công thức tường minh Để thuận tiện ta làm việc vành biết, kí hiệu vành R Rp muốn nhấn mạnh R phụ thuộc vào p Vành R tâp tất số hữu tỷ mà không chứa p mẫu Chú ý rằng, R vành, α, β số hữu tỷ, không chứa p mẫu, kết với α ± β αβ Mặt khác để miêu tả R, để nói chứa O tất số hữu tỷ khác thỏa mãn ord (x) quy ước ord (0) = ∞ R = {α ∈ Q|ord (α) 0} Vành R vành trường số hữu tỷ Nó vành mà có phân tích nhân tử nhất, có ideal cực đại ideal sinh p Đơn vị R số hữu tỷ có bậc 0, số hữu tỷ với tử mẫu nguyên tố với p 17 Hình 2.3: Hai hình ảnh đường cong bậc ba Hãy nhìn vào tính chất chia hết tọa độ s t lũy thừa p, đặc biệt cho điểm E(p) Cho (x, y) điểm hữu tỷ E (pν ), ta viết: x= m np2(ν+i) ,y = u wp3(ν+i) ,i Thì t= x mw ν+i w = p , s = = p3(ν+i) y nu y u Vì vậy, điểm (t, s) ∈ (pν ) t ∈ pν R, s ∈ p3ν R Suy ra, pν chia hết tử t p3 ν chia hết tử s Để chứng minh E(pν ) nhóm con, ta phải thêm điểm chứng minh lũy thừa p chia hết tọa độ t hai điểm lũy thừa p chia hết tọa độ t tổng chúng Bây giờ, viết lại công thức Hình 2.3 Cho P1 = (t1 , s1 ) , P2 = (t2 , s2 ) hai điểm phân biệt (pν ) Nếu t1 = t2 đường thẳng t = t1 giao với E P1 P2 điểm thứ ba P3 = (t1 , s3 ), P3 P1 P2 Thì P1 + P2 = (−t1 , −s3 ), tọa độ t P1 + P2 thuộc pν R Suy P1 + P2 ∈ E(pν ) Với t1 = t2 Đặt s = αt + β đường thẳng qua P1 P2 Độ nghiêng α đường tính công thức: α= s2 − s1 t2 − t1 Ta viết lại sau Điểm (t1 , s1 )(t2 , s2 ) thỏa mãn phương trình: s = t3 + at2 s + bts2 + cs3 18 Trừ phương trình P2 cho phương trình P1 phân tích thành nhân tử ta được: s2 − s1 = t2 − t1 + a t2 s2 − t1 s1 + b t2 s2 − t1 s1 + c s2 − s1 t2 − t1 s2 + t1 (s2 − s1 ) +b (t2 − t1 ) s2 + t1 (s2 − s1 ) +c s2 − s1 = t2 − t1 +a Một vài số hạng chia hết (s2 − s1 ), vài số hạng chia hết (t2 − t1 ) Phân tích thành nhân tử đại lượng này, biểu diễn tỷ lệ chúng số hạng bên vế trái tìm (sau số phép tính) α= s2 − s1 t2 + t1 t2 + t1 + a (t2 + t1 ) s2 + bs2 = t2 − t1 − at1 − b (s2 + s1 ) t1 − c (s2 + s2 s1 + s1 ) (*) Ta thấy, xuất mẫu α, vậy, mẫu α đơn vi R Tương tự, P1 = P2 độ nghiêng tiếp tuyến E P1 α= ds 3t1 + 2at1 s1 + bs1 (P1 ) = dt − at1 − 2bt1 s1 − 3cs1 Chú ý giả sử t2 = t1 , s2 = s1 vế phải (∗) ta nhận độ nghiêng Vì vậy, ta sử dụng (∗) trường hợp Cho P3 = (t3 , s3 ) giao điểm thứ ba đường thẳng s = αt + β với đường cong, xem hình 2.7 Để có phương trình nghiệm t1 , t2 , t3 , ta αt + β cho s phương trình đường cong αt + β = t3 + αt2 (αt + β) + bt(αt + β)2 + c(αt + β)3 Nhân nhóm theo số mũ t, ta được: = + aα + bα2 + cα3 t3 + αβ + 2bαβ + 3cα2 β t2 + Phương trình có nghiệm t1 , t2 , t3 , vế phải phương trình bằng: m (t − t1 ) (t − t2 ) (t − t3 ) với m số So sánh hệ số, ta tổng nghiệm là: t1 + t2 + t3 = αβ + 2bαβ + 3cα2 β + aα + bα2 + cα3 Suy β = s1 − αt1 phương trình đường thẳng qua P1 Chúng ta có công thức cho t3 , làm để tìm P1 + P2 19 Hình 2.4: Phép cộng điểm mặt phẳng (t, s) Vẽ đường thằng qua (t3 , s3 ) điểm (0; 0), lấy giao điểm thứu ba với đường cong Hiển nhiên, nghiệm phương trình đường cong Nếu (t, s) thuộc đường cong (−t, −s) thuộc đường cong Vì vậy, giao điểm thứ ba (−t3 , s3 ) Hãy quan sát cẩn thận biểu diễn α Tử α nằm p2ν R, phần tử α nằm pν R Đại lượng −at1 − bt1 (s1 + s2 ) − c (s2 + s2 s1 + s1 ) thuộc p2ν R Vì vậy, mẫu α đơn vị R Giờ nhìn thấy lại cần nằm mẫu Suy α ∈ p2ν R Tiếp theo, s1 ∈ p3ν R α ∈ p2ν R, t1 ∈ pν R Nên từ β = s1 − αt1 ta β ∈ p2ν R Hơn nữa, mẫu + aα + bα2 + cα3 t1 + t2 + t3 đơn vị R Nhìn bào biểu diễn t1 + t2 + t3 trêm ta thấy t1 + t2 + t3 ∈ p3ν R Do t1 , t2 ∈ pν R suy t3 ∈ pν R −t3 ∈ pν R Điều chứng tỏ rằng, tọa độ t P1 , P2 nằm pν R Có nghĩa là, P1 , P2 nằm E(pν ) tọa độ t P1 + P2 nằm pν R Hơn nữa, ta tọa độ t P = (t, s) nằm pν R rõ ràng tọa độ t −P = (−t, −s) nằm pν R Suy (pν ) đóng với phép nhân phép trừ, nhóm E(Q) Thực tế, ta chứng minh rằng: Nếu P1 , P2 ∈ (pν ) t(P1 ) + t(P2 ) − t(P1 P2 ) ∈ p3ν R Ở đây, viết t(P ) ký hiệu tọa độ t P , P nằm mặt phẳng 20 xy với (x(P ), y(P )) t(P ) = x(P ) y(P ) Công thức cuối nói E(pν ) nhóm E(Q) Ta viết t(P1 + P2 ) ≡ t(P1 ) + t(P2 ) modp3ν R Chú ý 2.6 Dấu + P1 + P2 phép cộng đường cong bậc ba, nhận từ công thức phức tạp Ngược lại, dấu + t(P1 ) + t(P2 ) phép cộng R, phép cộng số hữu tỷ Vì vậy, ánh xạ P → t(P ) đồng cấu từ E(pν ) vào nhóm cộng số hữu tỷ Đồng cấu định nghĩa được, t(P1 )+t(P2 ) không t(P1 + P2 ) Tuy nhiên, mà có đồng cấu từ E(pν ) vào nhóm ν thương p R/p3ν R việc chuyển P đến lớp đồng dư t(P ) nhân đồng cấu gồm tất điểm P với t(P ) ∈ p3ν R Vì vậy, nhân E(p3ν ) ta thu đồng cấu − E(pν ) pν R → E(p3ν ) p3ν R x y ν Không khó để nhìn nhóm thương p R/p3ν R nhóm cyclic cấp p2ν ν Suy nhóm thương E(p )/E(p3ν ) nhóm cyclic cấp pσ với σ 2ν P = (x, y) → t(P ) = Tổng kết kết mệnh đề sau Mệnh đề 2.7 Cho p số nguyên tố, R vành số hữu tỷ với mẫu nguyên tố với p Đặt E(pν ) tập điểm hữu tỷ (x, y) đường cong, với x có mẫu chia hết p2ν O ∈ E(pν ) (a) E(p) chứa tất điểm hữu tỷ (x, y) với mẫu x y chia hết cho p (b) ∀ν 1, tập E(pν ) nhóm ocn nhóm điểm hữu tỷ E(Q) (c) Ánh xạ E(pν ) pν R → E(p3ν ) p3ν R P = (x, y) → t(P ) = x y đồng cấu − (Quy ước: O → ) Sử dụng mệnh đề này, không khó để chứng minh yêu cầu phần là: Những điểm có cấp hữu hạn có tọa độ nguyên 21 Hệ 2.8 (a) Với số nguyên tố p, điểm có cấp hữu hạn nhóm (p) điểm O (b) Cho P = (x, y) ∈ E(Q) điểm hữu tỷ có cấp hữu hạn x, y nguyên Chứng minh: Cho P ∈ E(Q) điểm có cấp m, ∀m p số nguyên tố Ta cần chứng minh P ∈ / E(p) Giả sử ngược lại: P ∈ E(p) Ta nhận mẫu thuẫn Thật vậy, P = (x, y) chứa nhóm nhỏ E(pν ) Nhưng không nằm tất nhóm E(pν ), tử x chia hết lũy thừa cao p Nên ta tìm ν > thỏa mãn P ∈ E(pν ) P ∈ / E(pν ) Đặc biêt, ν= −1 ord(x) (a) Chúng ta tách chứng minh làm hai trường hợp phụ thuộc vào m có chia hết cho p hay không Giả sử, m không chia hết cho p Nhắc lại ứng dụng đồng dư: t(P1 + P2 ) ≡ t(P1 ) + t(P2 ) modp3ν R Suy ra: t(mP ) ≡ mt(P ) modp3ν R Do mP = O nên ta có t(mP ) = t(O) = Mặt khác, m nguyên tố với p, đơn vị R nên ≡ t(P ) (modp3ν R) Điều có nghĩa P ∈ E(p3ν ) Điều mâu thuẫn với P ∈ / E(pν+1 ) Tiếp theo, giả sử m chia hết cho p Chứng minh tương tự trường hợp Đầu tiên, ta viết m = pn, điểm P = nP Do P có cấp m, hiển nhiên P có cấp p Hơn nữa, P ∈ E(p) E(p) nhóm E(Q), ta thấy P ∈ E(p) Viết P = (x , y ), đặt ν= −1 ord(x ) nên P ∈ E(pν ), P ∈ / E(pν+1 ) Suy ra: = t(O) = t(pP ) ≡ pt(P ) modp3ν R Điều có nghĩa là: t(P ) ≡ modp3ν−1 R Do 3ν − ν + nen xuất mẫu thuẫn với P ∈ / E(pν+1 ) Đã hoàn thành chứng minh phần (a) hệ 22 (b) Dễ thấy, P = (x, y) điểm có cấp hữu hạn nên từ (a) ta được: P ∈ / E(p), với số p nguyên tố Điều có nghĩa là: Mẫu x y không chia hết cho số nguyên tố Do đó, x, y số nguyên 2.5 Định lý Nagell - Lutz mở rộng Trong phần phát biểu chứng minh Định lý Nagell - Lutz Định lí 2.9 (Nagell-Lutz) Các điểm hữu tỷ P = (x, y) đường cong elliptic E có cấp hữu hạn thỏa mãn: x y nguyên Hoặc y = y | D Chỉ có số hữu hạn điểm Chứng minh: Theo Hệ 2.8, ta có điểm có cấp hữu hạn có tọa độ nguyên Nếu P có cấp hai, từ phần 2.1 ta biết y = theo Định lý 2.1 Giả sử P = O có cấp khác Vì 2P = O có cấp hữu hạn theo Hệ 2.8 Do đó, y | D theo Bổ đề 2.4 Suy từ khẳng định thứ 2, định lý Nagell - Lutz chứng minh Chú ý 2.10 Định lý Nagell-Lutz cho phương pháp tìm điểm hữu tỷ có cấp hữu hạn đường cong elliptic E : y = f (x) = x3 + ax2 + bx + c với a, b, c ∈ Z, sau: từ đa thức f (x) tính biệt thức D, sau với y ∈ Z thỏa mãn y = y | D, ta y vào phương trình y = f (x) để tìm nghiệm nguyên x tương ứng Ví dụ Tìm điểm hữu tỷ có cấp hữu hạn đường cong elliptic E : y = f (x) = x3 − x2 + x Trước hết ta có biệt thức D = −3 Nên điểm hữu tỷ P = (x, y) có cấp hữu hạn y = 0, ±1, ±3 Ta xét trường hợp: 23 y = Khi x nghiệm nguyên phương trình x3 − x2 + x = Nghiệm nguyên x = Nên ta có điểm P1 = (0, 0) y = ±1 Khi x nghiệm nguyên phương trình x3 − x2 + x = Nghiệm nguyên x = −1, nên ta có hai điểm hữu tỷ cấp hữu hạn P2 = (1, 1) P3 = (−1, 1) y = ±3 Khi x nghiệm nguyên phương trình x3 − x2 + x = Phương trình nghiệm nguyên Vậy tập điểm hữu tỷ cấp hữu hạn E {O, P1 , P2 , P3 } Chú ý cấp P2 vàd P3 bốn, nên ta suy nhóm điểm hữu tỷ cấp hữu hạn Z /4 Z Định lý Nagell-Lutz cho phép thực hành tìm nhóm xoắn E(Q) không cho biết cấu trúc nhóm Vấn đề giải vào năm 1970 với định lý đẹp khó Mazur Định lí 2.11 (Định lý Mazur) Cho E đường cong elliptic giả sử E(Q) chứa điểm có cấp m Thì m 10 m = 12 Chính xác hơn, tập điểm có cấp hữu hạn E(Q) nhóm có dạng sau: Một nhóm cyclic cấp N với N 10 N = 12 Tích nhóm cyclic cấp hai nhóm cyclic cấp 2N với 24 N Kết luận Đặt vấn đề nghiên cứu điểm hữu tỷ đường cong elliptic, luận văn đạt kết sau: • Định nghĩa đường cong elliptic • Xây dựng cấu trúc nhóm đường cong elliptic • Chứng minh chi tiết Định lý Nagell-Lutz • Ứng dụng Định lý Nagell-Lutz để tìm điểm hữu tỷ cấp hữu hạn đường cong elliptic 25 Tài liệu tham khảo [1] G Billing, K Mahler, On exceptional points on cubic curves, J Lond Math Soc 15, 32 - 43 (1940) [2] B J Birch, How the number of points of an elliptic curve over a fixed prime field varies, J Lond, Math, Soc, 43,57 - 60 (1968) [3] D Husemoller, Elliptic Curves, Graduate Texts in Mathematics, vol 111, 2nd edn, Springer, New York, 2004 [4] R Martin and W McMillen, An elliptic curve over Q with rank at least 24, January 2000, electronic announcement on the NMBRTHRY list server (posted May 2, 2000) [5] Joseph H Silverman and John T Tate, Rational Points on Elliptic Curves, Second edition, Springer, 2015 [6] L.C Washington, Elliptic Curves, Number Theory and Cryptography, Chapman and Hall/CRC, Boca London, New York, Washington DC, 2003 [7] A.Wiles, Modular Elliptic Curves and Fermat’s Last Theorem, Ann, of Math, 141(3) (1995) 26 ... b, c ∈ Q, với điểm vô O = (1 : : 0) 2.1 Điểm có cấp hai cấp ba Chúng ta nghiên cứu điểm có cấp hữu hạn đường cong elliptic E bắt đầu với điểm có cấp hai cấp ba Xét điểm P ∈ E có cấp 2, tức 2P... (Nagell-Lutz) Các điểm hữu tỷ P = (x, y) đường cong elliptic E có cấp hữu hạn thỏa mãn: x y nguyên Hoặc y = y | D Chỉ có số hữu hạn điểm Chứng minh: Theo Hệ 2.8, ta có điểm có cấp hữu hạn có tọa độ nguyên... thuyết khái niệm đường cong Elliptic tiếp trình bày cấu trúc nhóm đường cong elliptic Chương 2, trình bày điểm có cấp hữu hạn đường cong Elliptic Mục 2.1, trình bày điểm có cấp hữu hạn Mục tìm hiểu