b Giải và biện luận hệ phơng trình.
Trang 1CHUYÊM ĐỀ 4: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I lý thuyết :
Phương trình bậc nhất hai ẩn số có dạng tổng quát : ax + by + c = 0 (1)
Nghiệm tổng quát của phương tr?nh (1) là :
b
c -x y
b
a R
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số có dạng tổng quát là :
' ' 'x b y c a
c by ax
(*)
Hệ (*) có vô số nghiệm nếu : a a' b b' c c'
Hệ (*) vô nghiệm nếu :
' '
c b
b a
a
Hệ (*) có nghiệm duy nhất nếu : a a' b b'
Để giải hệ phương trình ta có thể dùng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số (xem trong sách Toán 9 tập 2)
Bài 1 Giải các hệ phương trình sau :
6 2y -6x 3 3x e) 6 3x 1 2y -7x d) 5 3y
-x
3 5y
c)
-8
y-2x
1
5y
b)
23
5x
5
3x
)a
Bài 3 Giải các hệ phương trình sau :
2 2 5 2 h) 9 6y -0,75x -2,6 4y 0,35x g) 18 7
5
7 15
4
3
f)
-8
13y
12x
5
7y
-8x
)
4 14y 9x 1 4,2y 3,3x d) 0,5 21y 15x 8 9y -10x c)
-24
3y
-4x
16
4x
b)
31
11y
10x
-7
11y
-2x
)
y x y x y
x
e
a
Bài 4 Giải các hệ phương trình sau :
8 1 1 8 1 y x e) 35 9 4 9 7 x 15 d)
5
1
1
5
1
1
)
2xy -2) -x)(y (y 1) x)(y -(y
2xy 1) y)(x -(x 1) -y)(x (x b) 3) 1)(2y -(6x 6)
-1)(3y
(4x
1) -7)(y (2x 5)
3)(2y
-(x
)
y x y x y x y
x y y
x
y
x
c
a
Bài 5 Giải các hệ phương trình sau :
x y x x y y
x
x
x
y
x
a
3 ) 1 2 ( 5 ) 2 7 ( 3
) 3 2 ( ) 1 ( 5 4x b) 12 )
5
(
3
4
2
1
3
)
2
(
5
)
2 2
Bài 6 Tìm giá tri của a và b để hai đường thẳng :
(d1) : (3a – 1)x + 2by = 56 (d2) : ( 3 2 ) 3
2
1
ax
Cắt nhau tại điểm M(2; -5) Bài 7 Tìm a và b
a) để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(-5; 3) và B
; 2 3
b) Để đường thẳng ax – 8y = b đi qua điểm M(9; -6 và đi qua giao điểm của hai đường thẳng (d1) : 2x + 5y = 17; (d2) : 4x – 10y = 14
Bài 8 Cho hệ phương trình :
1 3 2
0 1 2
y x y x
Nghiệm của hệ là :
C)x1-1 D) 0 2
0 B) 1 )
y A
Bài 9 Với giá trị nào của m thì hệ sau vô nghiệm :
3 0 1 3 2
y mx
y x
) B) m C) m 0 D)
A m Một giá trị khác
Trang 2Bài 10 Với giỏ trị nào của m thỡ hệ sau vụ số nghiệm : mx 2y 4
A) m = 0 B) m = 3 C) m = 6 D) m = 9
1, Ví dụ 1:
Giải hệ phơng trình
1 y 10 x
6
36 13 y
3 x
4
Giải :
Đặt ẩn phụ : X 1x ; Y 1y
Ta có hệ :
36 36 10
6
36 13 3
4
Y X
Y X
2, Ví dụ 2:
Giải hệ phơng trình
1 1 4 8 3
12 7
1 1 4 5 3
12 10
x x
x x
3, Ví dụ 3:
Giải hệ phơng trình :
) 3 ( 2
3 2
) 2 ( 3
2 3
) 1 ( 11
3 2
z y
x
z y
x
z y
x
Hớng dẫn: Rút z từ (1) thay vào (2); (3)
4, Ví dụ 4: Giải hệ phơng trình:
) 2 ( 12 ) 1 ( 6
2 2
x
z y x
Hớng dẫn: Nhân (1) với 4 rồi trừ cho (2)
=> (x2 + y 2 + z2 ) – 4( x+ y + z ) = 12 – 24
x2 – 4x + y2 -4y + z2 - 4z + 12 = 0
( x2 – 4x + 4 ) + ( y 2 – 4y + 4 ) + ( z2 – 4z -4 ) = 0
( x – 2 )2 + ( y – 2 )2 + ( z – 2 )2 = 0
=> x = y = z = 2
5, Ví dụ 5:
Giải hệ phơng trình
4 3 2 1
3
5 3 1 1
2
y x
y x
( Đề thi vào 10 năm 1998 – 1999)
6, Ví dụ 6:
Giải hệ phơng trình :
5 1 3 1
1
11 1 1 1
5
y x
y x
Đề thi vào 10
Câu 1 Cho hệ phơng trình
n y x
ny mx
2
5
a) Giải hệ khi m = n = 1
b) Tìm m , n để hệ đã cho có nghiệm
1 3
3
y x
Cho hệ phơng trình :
Trang 3
2
2
y x
m my x
a) Giải hệ khi m = 1
b) Giải và biện luận hệ phơng trình
Câu 2 Cho hệ phơng trình :
1 3
5 2
y mx
y mx
a) Giải hệ phơng trình với m = 1
b) Giải biện luận hệ phơng trình theo tham số m
Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm thoả mãn x2 + y2 = 1
Câu 3
Cho hệ phơng trình
1 2
7
2
y x y x a
a) Giải hệ phơng trình khi a = 1
b) Gọi nghiệm của hệ phơng trình là ( x , y) Tìm các giá trị của a để x + y = 2
2/ Giải hệ phơng trình :
1 1 2 2
3
6 5 1 1 2
1
y x
y x
Câu 4: Cho hệ phơng trình
x ay
a) Giải phơng trình
b)Tìm giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất âm
Câu 5: Cho hệ phơng trình
2
mx y
x my
a) Tìm giá trị của m để hệ có nghiệm x = 1, y = 3 1
Cõu 6: Xỏc định cỏc hệ số a và b trong hệ phương trỡnh ax by 4
bx ay 8
nghiệm duy nhất là (1 ; -2)
Cõu 7 Giải các hệ phơng trình:
5
4
x 1 y 3
Cõu 8 Giải các hệ phơng trình:
Trang 4
5
4
x 1 y 3
Cõu9 Cho hệ phơng trình
5 1)y (m mx
5 1)y (m x
1 Giải hệ phơng trình với m = 2
2 Tìm giá trị của m để hệ phơng trình trên có nghiệm x = y = -5
Câu 10:
Giải hệ phơng trình : 5(3x+y)=3y+4
3-x=4(2x+y)+2
Cõu11 : Cho hệ phơng trình : a x-3y=-4
2x+y=b
a Giải hệ phơng trình khi a=-5 , b=1
b , với giá trị nào của avà b thì hệ phơng trình đã cho vô nghiệm ?
Cõu12 : Cho hệ phơng trình : a x-3y=-4
2x+y=b
a Giải hệ phơng trình khi a= -3 , b= 4
b với giá trị nào của avà b thì hệ phơng trình đã cho vô số nghiệm ?
Cõu13 : Cho hệ phơng trình
2 2 2 4
2
y x
m y x m
(1) a) Giải hệ phơng trình khi m = 1 (2)
b) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất
c) Tìm giá trị của m để hai đờng thẳng(1) và (2) của hệ cắt nhau tại một điểm thuộc góc phần t thứ II của hệ trục Oxy
Cõu14 : Cho hệ phơng trình
1 2
m y mx my x
a) Giải hệ phơng trình khi m = 1
b) Chứng tỏ rằng m 1hệ luôn có nghiệm duy nhất
c) Tìm giá trị của m để hệ có nghiệm (x;y) thỏa mãn x + y < 0
d) Với giá trị nguyên nào của m thì hệ có nghiệm nguyên duy nhất