Header Page of 114 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đoàn Thị Thủy Tiên PHƯƠNG PHÁP TỰA ĐẢO CHO BÀI TOÁN PARABOLIC PHI TUYẾN NGƯỢC THỜI GIAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 Footer Page of 114 Header Page of 114 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đoàn Thị Thủy Tiên PHƯƠNG PHÁP TỰA ĐẢO CHO BÀI TOÁN PARABOLIC PHI TUYẾN NGƯỢC THỜI GIAN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TS ĐẶNG ĐỨC TRỌNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 Footer Page of 114 Header Page of 114 LỜI CAM ĐOAN Trong trình làm luận văn này, tìm tham khảo nhiều sách vở, báo toán học nhà khoa học luận văn, luận án có Nhưng xin cam đoan không chép xin chịu trách nhiệm với lời cam đoan Tác giả Footer Page of 114 Header Page of 114 Lời cảm ơn Đầu tiên, xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới Thầy – GS.TS Đặng Đức Trọng, người trực tiếp hướng dẫn tạo điều kiện, giúp đỡ cho suốt thời gian làm luận văn Bên cạnh đó, xin cảm ơn thầy cô hết lòng dạy bảo truyền đạt kinh nghiệm suốt hai năm qua Cảm ơn bạn bè, bạn học viên cao học Giải tích khóa 23 khuyến khích, giúp đỡ trình học tập Sau cùng, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến gia đình tôi, chỗ dựa vững giúp học tập hoàn thành tốt luận văn Học viên Đoàn Thị Thủy Tiên Footer Page of 114 Header Page of 114 MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian tuyến tính định chuẩn 1.2 Không gian Hilbert 1.3 Lý thuyết toán tử 10 1.4 Phổ toán tử 13 1.5 Không gian C ([ 0, T ]; H ) 14 1.6 Nửa nhóm toán tử liên tục 14 1.7 Định nghĩa toán không chỉnh 18 1.8 Lược đồ chỉnh hóa 19 1.9 Bổ đề Gronwall 22 1.10 Bổ đề: số bất đẳng thức sử dụng 22 Chương CÁC KẾT QUẢ CHÍNH 24 2.1 Các định lý quan trọng 24 2.2 Chứng minh định lý quan trọng 26 Chương ÁP DỤNG 41 KẾT LUẬN 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO 48 Footer Page of 114 Header Page of 114 MỞ ĐẦU Bài toán ngược cho phương trình đạo hàm riêng xuất nhiều lĩnh vực khác công nghệ, địa vật lý, thủy động học, y học, xử lý ảnh, Đó toán kiện trình vật lý không đo đạc trực tiếp mà ta phải xác định chúng từ kiện đo đạc gián tiếp Trong đề tài này, ta đề cập đến phương trình parabolic ngược thời gian Đó toán cho phương trình parabolic điều kiện ban đầu mà ta phải xác định biết điều kiện cuối (đó lí toán gọi ngược thời gian) Phương trình parabolic ngược thời gian lĩnh vực nghiên cứu sôi động thu hút nhiều nhà toán học tiếng nước bời có nhiều ứng dụng khoa học kĩ thuật như: vật lý, học, vật lý địa cầu, xử lý ảnh, toán tài chính,… Cho đến nước có 300 công trình công bố tạp chí quốc tế uy tín, có tham gia nhiều nhà toán học tiếng John, Agmon, Nirenberg, Tikhonov,… Trong nước, kể đến hai nhóm nghiên cứu mà dẫn đầu Đinh Nho Hào Đặng Đức Trọng Ngoài ra, số nhà toán học có tên tuổi quan tâm hướng nghiên cứu Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường,… Trong bài, ta xét toán giá trị cuối sau = ut + Au ( t ) f ( t , u ( t ) ) T ) , u (T ) ϕ ( ≤ t Đánh giá thuộc loại logarit t > cố định không dùng t = Nội dung luận văn dùng phương pháp QR để chỉnh hóa toán cải tiến kết hội tụ phương pháp trước đây, đồng thời chứng minh phương pháp có độ ổn định tốt nghiên cứu trước Đặc biệt, phương pháp thật hiệu xét đến toán phi tuyến Bài toán ( 0.1) xấp xỉ d ε = u ( t ) + Aε u ε ( t ) B ( ε , t ) f ( t , u ε ( t ) ) = ( ≤ t < T ) , u ε (T ) ϕ dt ( 0.3) Aε B ( ε , t ) định nghĩa theo ( 0.4 ) ( 0.5 ) = v Với v ∈ H có khai triển nghĩa toán tử sau Footer Page of 114 ∞ v pφ p , ∑ p =1 v p ∈= , p 1,2, , ta định Header Page of 114 ∞ S ( t )( v ) = ∑ e −tl p p =1 v pφ p , ( ) N −T l Ae ( v ) = − ∑ ln el p + e p v pφ p , T p =1 ∞ ( , t )( v ) ∑ + l p e B ( ee = p =1 T lp ) t −T T ( 0.4 ) v pφ p , t ∈ [ 0, T ] , t −T T ∞ ( , t )( v ) = ( A + S (T ) ) ( v ) = ∑ l p + e Q ( eee p =1 −T l p ( 0.5) ) t −T T v pφ p , với N ∈ * , N = N ( ε ) cho lN ≤ T −1 ln (T ε −1 ) Ngoài phần mở đầu giới thiệu đề tài nội dung cần đạt được, luận văn viết thành ba chương chính: Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Phần trình bày định nghĩa, ví dụ, định lý không gian tuyến tính định chuẩn, không gian Hilbert, lý thuyết toán tử, đại số Banach, phổ toán tử, lý thuyết nửa nhóm,… bổ đề bất đẳng thức sử dụng để chứng minh chương Chương CÁC KẾT QUẢ CHÍNH Phần nêu chứng minh định lý quan trọng Chương ÁP DỤNG Phần đưa ví dụ cụ thể để áp dụng phương pháp trình bày Footer Page of 114 Header Page 10 of 114 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Đa phần kết tổng hợp từ [1], [3] 1.1 Không gian tuyến tính định chuẩn 1.1.1 Không gian vectơ Định nghĩa 1.1.1.1 Kí hiệu K trường số thực  trường số phức  Một không gian vectơ (hay không gian tuyến tính) K tập X ≠ ∅ , có phép cộng X × X → X phép nhân vô hướng K × X → X , thỏa mãn điều kiện 1) x + y = y + x, 2) ( x + y ) + z =x + ( y + z ) , 3) x, Tồn θ ∈ X , gọi phần tử trung hòa cho x + θ = 4) ∀x ∈ X \ {θ } , tồn − x ∈ X , gọi phần tử đối x cho x + ( − x ) =θ , 5) λ ( x + y ) = λ x + λ y, 6) ( λ + µ ) x =λ x + µ x, 7) ( λµ ) x = λ ( µ x ) , 8) Tồn phần tử 1∈ K cho 1.x = x với x, y, z ∈ X , λ , µ ∈ K Ví dụ C [ a, b ] tập hợp hàm thực (hoặc phức) liên tục [ a, b ] không gian tuyến tính thực (hoặc phức) với phép cộng hàm số phép nhân thông thường Footer Page 10 of 114 Header Page 40 of 114 35 Aε wm ( t ) , wm ( t ) ≤ Aε wm ( t ) wm ( t ) ≤ T ln wm ( t ) , T ε suy T − Aε wm ( t ) , wm ( t ) ≥ − ln wm ( t ) T ε Mặt khác e m ( t −T ) ( g ( t , u ( t ) ) − g ( t , v ( t ) ) ) , wm ( t ) ≤ e m ( t −T ) g ( t , u ( t ) ) − g ( t , v ( t ) ) wm ( t ) ≤ ke m ( t −T ) u ( t ) − v ( t ) wm ( t ) = k e m ( t −T ) ( u ( t ) − v ( t ) ) wm ( t ) = k wm (t ) , suy e m (t −T ) ( g ( t , u ( t ) ) − g ( t , v ( t ) ) ) , wm ( t ) ≥ −k wm ( t ) Do 2 1d T   wm ( t ) ≥  m − ln − k  wm ( t ) dt T ε   Lấy tùy ý t1 ∈ [ 0, T ] Tính tích phân theo biến t từ t1 đến T , ta T   wm (T ) − wm ( t1 ) ≥ ∫  m − ln − k  wm ( t ) dt T ε  t1  Chọn m= k + T T ln ý wm (T ) = u (T ) − v (T ) = nên wm ( t1 ) = T ε Vì t1 tùy ý nên wm ( t ) = tương đương với u ( t ) = v ( t ) với ≤ t ≤ T Điều kết thúc chứng minh bước hoàn thành chứng minh định lý 2.1.1 Chứng minh định lý 2.1.2 Footer Page 40 of 114 º Header Page 41 of 114 36 Ta có u, v hai nghiệm toán ( 0.3) tương ứng với giá trị cuối ϕ ω nên T u ( t= ) Q (ε , t )ϕ − ∫ S (T − s ) Q (ε , t ) f ( s, u ( s ) ) ds, t T v ( t= ) Q (ε , t )ω − ∫ S (T − s ) Q (ε , t ) f ( s, v ( s ) ) ds t Suy T u ( t ) −= v ( t ) Q ( ε , t )(ϕ − ω ) − ∫ S (T − s ) Q ( ε , t ) ( f ( s, u ( s ) ) − f ( s, v ( s ) ) ) ds t Áp dụng bổ đề 2.2.1 tính chất Lipschitz f , ta u ( t ) − v ( t ) ≤ Q ( e , t )(ϕ − ω ) + t −T T ( T ln (Te ≤ ee T −1 t −s T ( −1 T ∫t S (T − s ) Q (e , t ) ( f ( s, u ( s ) ) − f ( s, v ( s ) ) ) ds )) t −T T T ln (Te + k ∫ ee −1 −1 ϕ −ω )) t −s T u ( s ) − v ( s ) ds t Do ε −t T (T −1 ln (Tεε −1 )) −t T ( u ( t ) − v ( t ) ≤ ε −1 T −1 ln (Tεε −1 ) T + k ∫ε −s T (T −1 ) −1 ln (Tεε ϕ −ω −1 )) −s T u ( s ) − v ( s ) ds t Áp dụng bất đẳng thức Gronwall, ta có −t T T  eeee T ln (Te ) u ( t ) − v ( t ) ≤ exp  ∫ kds  −1 T −1 ln (Te −1 ) t  −t T ( −1 −1 ) ( ( −1 = e k (T −t )ee T −1 ln (Te −1 ) ) −1 u (t ) − v (t ) ≤ ε Footer Page 41 of 114 ε t −1 T (T ln (Tεε )) −1 −1 t −1 T −1 ϕ −ω ϕ −ω Hay k ( T −t ) ) ϕ −ω Header Page 42 of 114 37 Định lý 2.1.2 chứng minh º Bổ đề 2.2.2 Nghiệm toán (0.1) có dạng T u ( t ) =S (T − t ) ϕ − ∫ S ( s − t ) f ( s, u ( s ) ) ds −1 −1 t Hay T ϕ − ∫ S (T − s ) f ( s, u ( s ) ) ds S (T − t ) u ( t ) = t Chứng minh Sử dụng kiến thức nửa nhóm nêu mục 1.8 kiến thức chuẩn bị để chứng minh Ta có − A sinh nửa nhóm co compact S ( t ) H nên =  S ( t + s ) S ( t ) S ( s )   S ( ) = I ∀t , s ≥ Và S (h) − I h →0 h lim −A = Khi đó, lấy t ∈ [ 0, T ) Đặt w(= s ) S (T − s ) u ( s ) ∀s ∈ [t , T ] Với s ∈ [t , T ] h ∈ [ T − s, T ] , ta có w ( s + T − h ) − w ( s ) S ( h − s ) u ( s + T − h ) − S (T − s ) u ( s ) = T −h T −h S ( h − s ) u ( s + T − h ) − S (T − h ) S ( h − s ) u ( s ) = T −h  u ( s + T − h ) − u ( s ) S (T − h ) − I  S (h − s) u (s) = − T −h T −h   → S (T − s ) ( u′ ( s ) + Au ( s ) ) = S (T − s ) f ( s, u ( s ) ) h → T Footer Page 42 of 114 Header Page 43 of 114 38 Và w′ ( = s ) S (T − s ) f ( s, u ( s ) ) ∀s ∈ [t , T ) Tính tích phân theo biến s từ τ đến T (t > t ) cho t → t ta T ∫ S (T − s ) f ( s, u ( s ) ) ds w (T ) − w ( t ) = t Hay ϕ − S (T − t ) u ( t ) = T ∫ S (T − s ) f ( s, u ( s ) ) ds t Chuyển vế ta điều phải chứng minh º Chứng minh định lý 2.1.3 Theo bổ đề 2.2.2 ta có T S (T − t ) u ( t ) = ϕ − ∫ S (T − s ) f ( s, u ( s ) ) ds t Suy T S (T − t ) Q ( ε , t ) u ( t= ) Q ( ε , t )ϕ − ∫ S (T − s ) Q (ε , t ) f ( s, u ( s ) ) ds t Vì U ε nghiệm toán ( 0.3) tương ứng với giá trị cuối ϕε nên T U (= t ) Q ( ε , t )ϕε − ∫ S (T − s ) Q ( ε , t ) f ( s,U ε ( s ) ) ds ε t Áp dụng bổ đề 2.2.1 bất đẳng thức − (1 + x ) −α < xα ( x,α > ) (bất đẳng thức (1.8)), ta u ( t ) − U ε ( t ) ≤ u ( t ) − S (T − t ) Q ( ε , t ) u ( t ) + S (T − t ) Q ( ε , t ) u ( t ) − U ε ( t ) ≤ ( I − S ( T − t ) Q ( ε , t ) ) u ( t ) + Q ( ε , t ) (ϕ − ϕε ) T + ∫ S (T − t ) Q ( ε , t ) f ( s, u ( s ) ) − f ( s,U ε ( s ) ) ds t Footer Page 43 of 114 Header Page 44 of 114 39 t −T  T lp T  ≤ ∑ 1 − + ele  u p (t ) + Q ( , t ) ϕ − ϕe pe p =1   ( ∞ t −s T T ( ) + k ∫ ee T ln (Te −1 −1 )) t −s T u ( t ) − U e ( t ) ds t t  ≤ ∑  1 − T p =1   ∞ ( t T t −T t −T Tlp   T T −1 ln (Te −1 ) T  eleee pe  u p (t ) +   ) ( t −T T T −s T ( ) + keeee T ln (Te ) ∫ T ln (Te −1 −1 −1 −1 )) T −s T )) T −s T u ( t ) − U e ( t ) ds t ∞ ≤ el ∑ e 2T l p p p =1 t T ( ( t T u (t ) + ee T ln (Te p ) t −T T T −1 −s T ( −1 )) t −T T + keeee T ln (Te ) ∫ T ln (Te −1 −1 −1 −1 u ( t ) − U e ( t ) ds t −1 Vì ln ( e x ) < x, ∀x > nên với < ε < T , ta có < ln (Teee ) < T −1 Điều có nghĩa < T −1ee ln (Te −1 ) < Do ( t T ( ( ) t −1 T ) ( ≥ T −1 ln (Te −1 ) = T eeee ln (Te ) 1, −1 )) −1 t −1 T ≥ (dấu “=” xảy t = T ) Dẫn đến T ln Te hay eee −1 −1 ∞ t T ( elee ∑ e u ( t ) ≤ T ln (Te 2T l p p p =1 p −1 −1 )) t −T T M Vì u (t ) − U e ( t ) ≤ eeee (T ln (Te )) M + (T ln (Te t T −1 t T ( −1 t −1 T ) t T t T −1 T −s T ( −1 + keeee T ln (Te ) ∫ T ln (Te −1 −1 t Hay Footer Page 44 of 114 −1 −1 −1 )) )) 1− t −1 T s T u ( t ) − U e ( t ) ds Header Page 45 of 114 40 t T ( ee T ln (Te − −1 T −s T −1 ( )) 1− t T u (t ) − U e (t ) ≤ M + + k ∫ ee T ln (Te −1 −1 )) 1− s T u ( s ) − U e ( s ) ds t Áp dụng bất đẳng thức Gronwall, ta t T ( ee T ln (Te − −1 −1 )) 1− t T T  u ( t ) − U ( t ) ≤ ( M + 1) exp  ∫ kds  = ( M + 1) e k (T −t ) t  e Do u ( t ) − U ( t ) ≤ ( M + 1) ε ε Định lý 2.1.3 chứng minh Footer Page 45 of 114 k ( T −t ) ε t T (T ln (Tεε )) −1 −1 t −T T º Header Page 46 of 114 41 Chương ÁP DỤNG ∂2 Cho A = − , toán (0.2) trở thành ∂x =  ut − u xx f ( t , u ) ,  =  u ( x, t ) 0,  =  u ( x, T ) ϕ ( x ) , ( x, t ) ∈ Ω × ( 0,T ) , ( x, t ) ∈ ∂Ω × ( 0,T ) , x ∈ Ω Xét không gian L2 ( 0, π ) , A có sở riêng trực chuẩn φn = π sin ( nx ) giá trị riêng λn = n Thật vậy, ta cần tìm ψ ∈ C [ 0, π ] thỏa phương trình π π dπ u ( x, t )ψ ( x ) dx − ∫ u xx ( x, t )ψ ( x ) dx = f ( t , u )ψ ( x ) dx ∫ dt ∫0 0 Lấy tích phân phần, ta π x π= x π = dπ u ( x, t )ψ ( x ) dx= − u x ( x, t )ψ ( x ) x 0= + u ( x, t )ψ ′ ( x ) x − ∫ u ( x, t )ψ ′′ ( x ) dx dt ∫0 π = ∫ f ( t , u )ψ ( x ) dx Vì u= ( 0, t ) u= (π , t ) nên phương trình π π x =π dπ u ( x, t )ψ ( x ) dx − u x ( x, t )ψ ( x ) x =0 − ∫ u ( x, t )ψ ′′ ( x ) dx = f ( t , u )ψ ( x ) dx ∫ dt ∫0 0 (3.1) Chọn ψ thỏa điều kiện ψ= ( ) ψ= (π ) 0,   ψ ′′ = −λψ Giải (3.2) Xét phương trình đặc trưng Footer Page 46 of 114 ( 3.2 ) Header Page 47 of 114 42 h = −λ  Nếu λ = h = , suy ψ ( x= ) c1 x + c2 c = Từ ψ= Giải hệ ta (π ) cho ta hệ phương trình  ( ) ψ= c1π + c2 = c= c= Trường hợp loại  Nếu λ < h =± −λ , suy ψ = ( x ) c1e −λ x + c2e − −λ x c1 + c2 = cho ta hệ phương trình Từ ψ= ψ = π ( ) ( )  − λπ + c2e − c1e − λπ Giải hệ = ta c= Trường hợp loại c=  Nếu λ > h = ±i λ , suy = ψ ( x ) c1 cos ( ) λ x + c2 sin ( ) λx Từ ψ= (π ) cho ta hệ phương trình ( ) ψ= c1 = 0,  c cos λπ + c2 sin  ( ) ( ) λπ = Cho c2 = , giải hệ (3.3) ta = λπ n= π ( n 1, 2, ) , hay Suy ψ ( x) ≡ψ n ( x) = sin ( nx ) Mặt khác Footer Page 47 of 114 λ = n ( 3.3) Header Page 48 of 114 43 π 1π ψ= ) dx ∫ (1 − cos ( 2nx ) ) dx n ∫0 sin ( nx= 20 2 π 1  =  x − sin ( 2nx )  2 2n 0 = π Do đó, ta có hệ trực chuẩn = φn ψn = ψn π sin ( nx ) , tương ứng với giá trị riêng λn = n Với ψ vừa tìm, phương trình (3.1) tương đương với π π dπ u x t x dx n u x t x dx , ψ + , ψ = ( ) ( ) ∫0 ( ) ( ) ∫0 f ( t , u )ψ ( x ) dx dt ∫0 Từ ta suy công thức nghiệm phần chương Lấy ví dụ cụ thể: Xét toán nhiệt ngược = −u xx + ut  ( 0, t )  u=  x,1)  u (=  f ( u )=  f (u ) , u= (π , t ) 0, ϕ= ( x ) e sin x, ( x, t ) ∈ ( 0,π ) × ( 0,1) , t ∈ [ 0,1] , x ∈ [ 0, π ] , u − e − t sinx Nghiệm phương trình u ( x, t ) = e − t sin x  ε  + Đặt ϕ= ε  ϕ ϕε − ϕ = ε ϕ   Áp dụng phương pháp vừa nêu ta viết thuật toán để tính sai số nghiệm nghiệm xấp xỉ chương trình Matlab sau Footer Page 48 of 114 Header Page 49 of 114 44 clc clear all eps = 10^(-1); %===Cac ham so cho truoc syms x t p s; uex(x,t) = exp(-1*t)*sin(x); % nghiem chinh xac %===Dinh nghia cac ham phi(x) = uex(x,1); % gia tri cuoi phi_norm = eval(sqrt(int(phi^2,x,0,pi))); % tinh chuan phi Phi_p(p,x) = sqrt(2/pi)*sin(p*x); % vecto rieng phi_eps(x) = (1+eps/phi_norm)*phi(x); % dinh nghia phi_epsilon phi_p_eps(p) = vpa(int(phi_eps(x)*Phi_p(p,x),x,0,pi)); %dinh nghia phi_p_epsilon f = @(u) u - (uex(x,t)); %dinh nghia ham f uk(x,t) = 0.0*x*t; for k=1:10 uk_1(x,t) = uk(x,t); uk(x,t) = 0*x*t; for p = 1:1 f_p(t) = vpa((int(Phi_p(p,x)*f(uk_1(x,t)),x,0,pi))); uk_p(t) = vpa((eps*p^2+exp(-1*p^2))^(t-1)*(phi_p_eps(p)int(exp((s-1)*p^2)*f_p(s),s,t,1))); %exp((1-t)*p^2) uk(x,t) = vpa(uk(x,t) + uk_p(t)*Phi_p(p,x)); end norm = sqrt(int((uk_1(x,0)-uk(x,0))^2,x,0,pi));eval(norm); if (norm < eps/10) break end end error = sqrt(int((uex(x,0)-uk(x,0))^2,x,0,pi)) ezplot (uex(x,0.0),[0,pi]) hold on ezplot (uk(x,0.0),[0,pi]) grid on Footer Page 49 of 114 Header Page 50 of 114 45 −2 = = ε 10 , ε 10−3 ta kết bảng sau Sau thay ε Sai số ε = 10−1 0.096 698 054 797 ε = 10−2 0.011 336 257 251 ε = 10−3 0.001 147 830 285 Dựa vào bảng ta thấy rõ hội tụ nghiệm xấp xỉ nghiệm xác thời điểm t = ε nhỏ Sự hội tụ rõ qua hình vẽ bên Hình 3.1 Đồ thị biểu diễn nghiệm xác nghiệm xấp xỉ ε = 10−1 Footer Page 50 of 114 Header Page 51 of 114 46 Hình 3.2 Đồ thị biểu diễn nghiệm xác nghiệm xấp xỉ ε = 10−2 Hình 3.3 Đồ thị biểu diễn nghiệm xác nghiệm xấp xỉ ε = 10−3 Footer Page 51 of 114 Header Page 52 of 114 47 KẾT LUẬN Luận văn trình bày dựa nội dung báo [18] Tuy nhiên, phần áp dụng chương đưa ví dụ khác với ví dụ có báo Ví dụ xét đến hội tụ nghiệm xấp xỉ thời điểm t = Luận văn không mở rộng thêm kết mà cố gắng làm rõ phần tác giả báo không chứng minh bất đẳng thức dùng chứng minh định lý 2.1.3, công thức nghiệm toán (0.1) mà luận văn trình bày mục 1.13 bổ đề 2.2.2 Đồng thời, tác giả báo mắc phải lỗi đánh máy cách đặt um ( t ) , vm ( t ) bước chứng minh định lý 2.1.1 luận văn sửa lại Vì lần làm quen với việc nghiên cứu khoa học cách có hệ thống nên khó tránh khỏi sai sót, mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Footer Page 52 of 114 Header Page 53 of 114 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Đậu Thế Cấp (2009), Giải tích hàm, NXB Giáo dục Việt Nam Tiếng Anh [2] K A Mes and R J Hughes (2005), “Structural stability for ill-posed probems in Banach space”, Semigroup Forum 70, No 1, pp 127-145 [3] T Cazenave and A Haraux (1998), An Introduction to Semilinear Evolution Equations, Clarendon Press, Oxford [4] G W Clark and S F Oppenheimer (1994), “Quasireversibility methods for non-well-posed problems”, Electron J Differential Equations, No [5] M Denche and K Bessila (2005), “A modified quasi-boundary value method for ill-posed problems”, J Math Anal Appl 301, No 2, pp 419-426 [6] D N Hao, N V Duc and H Sahli (2008), “A non-local boundary value problem method for parabolic equations backward in time”, J Math Anal Appl 345, No 2, pp 805-815 [7] Y Huang and Q Zheng (2005), “Regularization for a class of ill-posed Cauchy problems”, Proc Amer Math Soc 133, No 10, pp 30053012 [8] V K Ivanov, I V Mel’nikova and F M Filinkov (1995), OperatorDifferential Equations and Ill-Posed Problems (in Russian), Nauka, Moscow [9] R Lattès and J L Lions (1967), Méthode de Quasi-réversibilité et Applications, Travaux et Recherches Mathematiques 15, Dunod, Paris Footer Page 53 of 114 Header Page 54 of 114 49 [10] J Lee and D Sheen (2006), “A parallel method for backward parabolic problems based on the Laplace transformation”, SIAM J Numer Anal 44, No 4, pp 1466-1486 [11] N T Long and A P N Dinh (1994), “Approximation of a parabolic non-linear evolution equation backwards in time”, Inverse Problems 10, No 4, pp 905-914 [12] I.V Mel’nikova, Q Zheng and J Zheng (2002), “Regularization of weakly ill-posed Cauchy problems”, J Inverse Ill-Posed Probl 10, No 5, pp 503-511 [13] K Miller (1973), “Stabilized quasi-reversibility and other nearly-bestpossible methods for non-well-posed problems”, in: Symposium on Non-Well-Posed Problems and Logarithmic Convexity (Edinburgh 1972), Lecture Notes in Math 316, Springer, Berlin, pp 161-176 [14] L E Payne (1973), “Some general remarks on improperly posed problems for partial dif-ferential equations”, in: Symposium on NonWell-Posed Problems and Logarithmic Convexity (Edinburgh 1972), Lecture Notes in Math 316, Springer, Berlin, pp 1-30 [15] L E Payne (1975), Improperly Posed Problems in Partial Differential Equations, Regional Conf Ser in Appl Math 22, Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia [16] R E Showalter (1985), “Cauchy problem for hyperparabolic partial differential equations”, in: Trends in the Theory and Practice of Nonlinear Analysis (Arlington 1984), North-Holland Math Stud 110, North-Holland, Amsterdam, pp 421-425 [17] D D Trong and N H Tuan (2008), “Stabilized quasi-reversibility method for a class of nonlinear ill-posed problems”, Electron J Differential Equations, No 84 [18] N H Tuan (2013), “A new quasi-reversibility method of a parabolic non-linear evolution equation backwards in time”, Georgian Math J 20, pp 179-194, DOI 10.1515/gmj-2013-0010 Footer Page 54 of 114 ... đến phương trình parabolic ngược thời gian Đó toán cho phương trình parabolic điều kiện ban đầu mà ta phải xác định biết điều kiện cuối (đó lí toán gọi ngược thời gian) Phương trình parabolic ngược. .. CHÍ MINH Đoàn Thị Thủy Tiên PHƯƠNG PHÁP TỰA ĐẢO CHO BÀI TOÁN PARABOLIC PHI TUYẾN NGƯỢC THỜI GIAN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA... họ xấp xỉ toán tuyến tính cách nhiễu toán tử A Phương pháp họ gọi phương pháp tựa đảo (quasi-reversibility method, gọi tắt phương pháp QR) hữu hiệu cho toán nhất, nhiên trường hợp phi tuyến chưa