ung dung dao ham giai phuong trinh

Giải phơng trình Giải phơng trình :.. Khảo sát hàm số f x để tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến các cực trị bằng công cụ đạo hàm.. Dựa vào khảo sát hàm f x để kết luận số nghiệm.. C

Giải phơng trình

Giải phơng trình :

Giả sử hàm số ( )f x xác định trên D, kiểm tra tính liên tục, khả vi của ( )

f x trên D

Khảo sát hàm số ( )f x để tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến các cực trị bằng công cụ đạo hàm

Dựa vào khảo sát hàm ( )f x để kết luận số nghiệm

Chỉ ra sự tồn tại các x0∈D mà x0 là nghiệm của phơng trình ( ) 0f x = Kết luận nghiệm của phơng trình ( ) 0f x =

Đồng thời sử dụng các tính chất sau :

Tính chất 1 : Nếu ( ) f x tăng (giảm) trên (a;b) thì phơng trình ( ) kf x = nếu có nghiệm sẽ có không quá 1 nghiệm

Chứng minh :

Giả sử phơng trình có 2 nghiệm

Do là hàm số tăng mâu thuẫn giả sử sai

Vậy phong trình nếu có nghiệm sẽ có không quá 1 nghiệm

Tính chất 2 : Nếu tăng ( ) f x (giảm) trên (a;b)

f u( )= f v( ), ∀u v, ∈(a;b)⇔ =u v

Tính chất 3 : Nếu ( ) f x là hàm số tăng còn là ( )g x hàm số giảm trên (a;b) thì phơng trình ( )f x =g x( ) có nhiều nhất là 1 nghiệm

Hoặc ta có khi sử dụng định lý Lagrang

Ví dụ 1 : Giải phơng trình sau :

3x = + +1 x log (1 2 ) (1)3 + x

( TH & TT )

Giải :

Điều kiện : 1

2

x > −

Đặt y =log (1 2 )3 + x ⇒ +1 2x =3y

Ta có (1)⇔3x + = +x 1 2x+log (1 2 )3 + x ⇔ + = +3x x y 3 (2)y

Xét hàm số ( ) 3f t = +t t trên ( 1; )

2

− +∞ Có '( ) 3 ln3 1 0 1

2

t

f t = + > ∀ >t −

Nên hàm số ( )f t là hàm số đồng biến trên ( 1; )

2

− +∞

Khi đó (2)⇔ f x( )= f y( )⇔ = ⇔ =x y x log (1 2 )3 + x ⇔3x −2x − =1 0

Đặt ( ) 3 2 1, 1

2

x

g x = − x − x > −

'( ) 3 ln3 2, ''( ) (3 ln3) 0

2

g x = − g x = > ∀ >x −

'( )

g x

⇒ là hàm đồng biến và có đổi dấu vì :

'(2) 9 ln3 2 0, '(0) ln3 2 0

g = − > g = − <

'( ) 0

g x

⇒ = có nghiệm duy nhất x=α

Ta có bảng biến thiên

x 1

2

− 0 α 2 +∞ '( )g x - 0 +

( )g x

( )

g α

Từ bảng trên ⇒ nếu ( ) 0g x = có nghiệm thì nhiều nhất là 2 nghiệm Mặt khác (0)g =g(1) 0=

Do đó phơng trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt x =0,x =1

Ví dụ 2 : Giải phơng trình

x+ x2 − + −x 1 x + +1 x2 + + =x 1 1.

Giải :

Điều kiện :

luôn đúng

x

∀ ∈R

Vậy : D=R

Viết lại phơng trình dới dạng

x + x2 − + + =x 1 x x+ +1 (x+1)2 − + + + +(x 1) 1 (x 1)(*)

Xét hàm số f t( )= t+ t2 − + +t 1 t

Ta có

2

f t

− + + −

Mặt khác 2 t2 − + + − =t 1 2t 1 (2t−1)2 + + − >3 2t 1 2t− + − ≥1 2t 1 0 Vậy '( ) 0f t > ∀t ⇒ hàm số ( )f t luôn đồng biến trên R

Khi đó (*)⇔ f x( )= f x( + ⇔ = +1) x x 1 ( vô nghiệm )

Do đó phơng trình đã cho vô nghiệm

Ví dụ 3 : Giải phơng trình

Giải :

Điều kiện : x ≥5

Xét hàm số ( )f x = x + x− +5 x+ +7 x +16 trên x ≥5

Hàm số ( )f x đồng biến trên (5;+∞)

Có (9) 3 2 4 5 14f = + + + = ⇒ f x( )= f(9)⇔ =x 9

Phơng trình trên có nghiệm duy nhất là x =9.

Ví dụ 4 : Giải phơng trình

log (3log (32 2 x−1))=x

Giải :

Đặt log (32 1), 1

3

y =d x− x >

Do đó ta có hệ phơng trình 2

2

log (3 1) log (3 1)

− =



Cộng vế với vế ta đợc phơng trình : log (32 x− + =1) x log (32 y− +1) y(1) Xét hàm số ( ) log (32 1) , 1

3

(3 1)ln 2 3

t

= + > ∀ >

−

Hàm số ( )f t là hàm đồng biến trên ( ;1 )

3 +∞

2

(1)⇔ f x( )= f y( )⇔ = ⇔ =x y x log (3x− ⇔1) 2x −3x + =1 0

Xét hàm ( ) 2g x = x −3x+1, '( ) 2 ln 2 3g x = x −

Ta có : '( ) 0 0 log (2 3 )

ln 2

g x = ⇔ =x x =

Mà g x'( ) 0> ⇔ >x x g x0, '( ) 0< ⇔ <x x0

Nên hàm số ( )g x nghịch biến trên (−∞; )x0 , đồng biến trên (+∞; )x0

Phơng trình có ( ) 0g x = không quá 2 nghiệm trên R

Mà (0)g =g(1) 0=

Giá trị x =0 ( loại do không thuộc tập xác định )

Do vậy x =1là nghiệm duy nhất của phơng trình đã cho

Nhận xét : Đối với phơng trình có dạng ( ( ))f f x =x (1) trong đó ( )f x

đồng biến ( nghịch biến ) trên tập xác định D

Cách giải : Đặt y= f x( )

Ta có hệ phơng trình ( )

( )

f y x

y f x

=



 =

 Cộng vế với vế ta đợc phơng trình ( )f x + =x f y( )+x (2)

Xét hàm số ( )F t = f t( )+t thì ( )F t đồng biến trên D

Khi đó (2)⇔ F x( )=F y( )⇔ = ⇔ =x y x f x( )

Do đó để giải (1) ta đi giải phơng trình ( )f x =x

Tơng tự ta cũng có cách giải đối với phơng trình có dạng :

a b

s

s x+ =c log (dx+ +e) αx+β (1), với d ac= +α,e bc= +β; a,b,c,d 0>

Đặt log (ds x+ = +e) ay b

Từ

a b

a b

c(a b) (1)

d

x y

+ +





Trừ vế theo vế của 2 phơng trình trên ta đợc :

sax+b −say+b =c(ay+ +b) αx+ −β dx−e

Mà theo giả thiết ta có : d ac= +α,e bc= +β

s x+ s y+ c(ay b) (d ac)x (e bc) dx e

s x+ say b+ acy acx s x+ acx s y+ ac (3)y

Xét hàm số f t( ) s= a bt+ +act là hàm số đồng biến trên R

s s

(3) ( ) ( ) log (d e) a b

log (d e) a b=0

Ví dụ 5 : Giải phơng trình

1

7

7x− =6log (6x − −5) 5

Giải :

Điều kiên : 5

6

x >

Đặt log (67 x − = −5) y 1

1

7 6 5 (1)

7 6 5 (2)

y

x

x y

−

−



⇒ 

 Trừ vế theo vế (1) và (2) ta có :

7y− 7x− 6x 6y 7x− 6x 7y− 6 (3)y

Xét hàm số 1 5

( ) 7 6 ,

6

t

f t = − + t t > Có 1 5

'( ) 7 ln7 6 0 ( ; )

6

t

f t = − + > ∀ ∈t +∞

( )

f t

⇒ là hàm số đồng biến trên ( ;5 )

6 +∞

⇒(3)⇔ f x( )= f y( )⇔ = ⇔x y 7x−1=6x− ⇔5 7x−1 −6x+ =5 0

( ) 7 6 5,

6

x

g x = − − x+ x >

'( ) 7 ln 7 6, ''( ) (7 ln 7) 0

6

g x = − − g x = − > ∀ >x

'( )

g x

6 +∞ Mà 1

'(0) ln 7 6 0, '(2) 7ln 7 6 0

7

'( ) 0

g x

⇒ = có duy nhất 1 nghiệm x =α

Ta có bảng biến thiên

x 5

6 0 α 2 +∞

'( )g x - 0 +

( )g x

( )

g α

Dựa vào bảng biến thiên thì phơng trình ( ) 0g x = nếu có nghiệm thì nhiều nhất là 2 nghiệm

Mà (0)g =g(2) 0=

Do đó phơng trình có 2 nghiệm x =0,x =2

Ví dụ 6: Giải phơng trình

2005x +2008x =2006x +2007 (1)x

Giải :

Ta có (1)⇔2008x −2007x =2006x −2005 (2)x

Điều kiện cần : Giả sử x =α là 1 nghiệm của (2)

Xét hàm số ( ) (f t = +t 1)α −t tα, >0 Khi đó (2)⇔ f(2007)= f(2005) Theo định lý Lagrang c (2005;2007)∃ ∈ sao cho '(c) 0f =

[(c 1)α c ] 0α 0, 1

Điều kiện đủ : Dễ thấy x =0 và x =1là nghiệm của phơng trình đã cho Kết luận : Phơng trình đã cho có 2 nghiệm là x =0,x =1

Bài toán tổng quát của ví dụ trên là

Cho a, b, c là 3 số dơng và b > a, (a c)+ f x( ) +bf x( ) =af x( ) + +(b c)f x( )

=



⇔  ( ) 0=

( ) 1

f x

f x