TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN *********** NGUYỄN THỊ THU THỦY MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Hà Nội – Năm 2017 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN *********** NGUYỄN THỊ THU THỦY MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học: ThS TRẦN THỊ THU Hà Nội – Năm 2017 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin chân thành cảm ơn cô giáo ThS Trần Thị Thu trực tiếp hướng dẫn em hoàn thành khóa luận Với lời dẫn, tận tình hướng dẫn Cô giúp em vượt qua nhiều khó khăn trình hoàn thành đề tài nghiên cứu Em xin gửi lời cảm ơn tới thầy giáo, cô giáo tổ Giải tích thầy giáo, cô giáo khoa toán quan tâm tạo điều kiện giúp đỡ em suốt thời gian học tập hoàn thiện khóa luận Cuối em xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình bạn bè giúp đỡ, động viên em nhiều suốt trình học tập Do hạn chế thời gian, kiến thức nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Em mong có đóng góp, nhận xét quý báu thầy giáo, cô giáo bạn đọc quan tâm để đề tài hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, ngày 20 tháng 04 năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Thu Thủy LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “Các phương pháp tìm giới hạn dãy số” công trình nghiên cứu em, kết không trùng với kết Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm, kỷ luật khoa nhà trường đề Hà Nội, ngày 20 tháng 04 năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Thu Thủy Mục lục LỜI NÓI ĐẦU 1 Các kiến thức có liên quan 1.1 Các khái niệm dãy số 1.2 Các định lý giới hạn dãy số 1.3 Một số kiến thức khác có liên quan Các phương pháp tìm giới hạn dãy số 2.1 Phương pháp Sử dụng định nghĩa 2.2 Phương pháp Sử dụng tính chất, giới hạn quen 14 14 thuộc 17 2.3 Phương pháp Sử dụng dãy đơn điệu 22 2.4 Phương pháp Sử dụng định lý Stolz 25 2.5 Phương pháp Sử dụng tích phân 29 2.6 Phương pháp Khảo sát độ lệch 35 2.7 Phương pháp Phương pháp hàm số cho dãy sinh phương trình 38 2.8 Phương pháp Sử dụng dãy phụ để tính giới hạn 40 2.9 Phương pháp Giới hạn dãy tổng 46 i Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thu Thủy - K39B Sư phạm Toán 2.10 Phương pháp 10 Phương trình sai phân để xác định số hạng tổng quát dãy TÀI LIỆU THAM KHẢO Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số 50 54 ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thu Thủy - K39B Sư phạm Toán LỜI NÓI ĐẦU I Lí chọn đề tài Giải tích phần quan trọng Toán học Douglas (1986) viết: “Giải tích tảng Toán học, Giải tích đường, trung tâm Toán học, cở sở cho việc nghiên cứu nhiều ngành Khoa học kỹ thuật khác” Ta thấy lý thuyết giới hạn chủ đề quan trọng Giải tích Đề cập đến vai trò giới hạn, SGK Đại số Giải tích 11 (nâng cao) viết: “Không có giới hạn Giải tích Hầu hết khái niệm Giải tích liên quan tới giới hạn” Hơn nữa, đề thi công chức, giới hạn dãy số xuất nhiều khiến cử nhân tốt nghiệp gặp lúng túng Ngoài toán giới hạn dãy số đưa vào thi Học sinh giỏi thi Olympic toán hàng năm cho sinh viên học sinh Các toán xem dạng toán khó, đòi hỏi người làm toán phải nắm hiểu rõ chất kiến thức giới hạn biết vận dụng linh hoạt chúng để giải dạng toán Xuất phát từ nhận thức mong muốn bồi dưỡng Học sinh giỏi THPT, em chọn đề tài: “Một số phương pháp xác định giới hạn dãy số” để thực khóa luận II Mục tiêu nghiên cứu Củng cố kiến thức giới hạn cho học sinh Từ đó, cung cấp số phương pháp xác định giới hạn dãy số đề học sinh vận Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thu Thủy - K39B Sư phạm Toán dụng giải toán tìm giới hạn dãy số cách linh hoạt, sáng tạo III Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng: Sinh viên ngành Toán học sinh cấp THPT - Phạm vi nghiên cứu: Các kiến thức chương trình Đại học, số kiến thức nâng cao THPT, mở rộng số tài liệu bên IV Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu, giáo trình liên quan tới giới hạn dãy số Từ - Nắm định nghĩa, tính chất định lý dãy số giới hạn dãy số - Tìm số phương pháp xác định giới hạn dãy số nêu ví dụ minh họa cụ thể cho phương pháp V Phương pháp nghiên cứu Đọc, tra cứu tài liệu VI Nội dung nghiên cứu Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo cấu trúc khóa luận gồm chương: Chương "Các kiến thức có liên quan" trình bày định nghĩa, định lý kiến thức liên quan đến dãy số giới hạn dãy số Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thu Thủy - K39B Sư phạm Toán Chương 2: "Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số" trình bày số phương pháp tìm giới hạn dãy số Ở phương pháp em đưa phương pháp vận dụng, ví dụ minh họa tập đề nghị Nội dung chương tham khảo tài liệu số [1,2,3,4,5,6] mà em nêu mục "Tài liệu tham khảo" trang cuối khóa luận Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số Chương Các kiến thức có liên quan Trong chương em hệ thống khái niệm, định lí các kiến thức liên quan đến dãy số giới hạn dãy số 1.1 Các khái niệm dãy số Định nghĩa 1.1 Ánh xạ an : N∗ −→ R n −→ an = a(n) gọi dãy số Kí hiệu {an } (hoặc (an )) Phần tử an gọi số hạng tổng quát dãy Nhận xét Một dãy hoàn toàn xác định biết số hạng tổng quát công thức truy hồi an = f (an−1 , ) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thu Thủy - K39B Sư phạm Toán Từ −xn fn+1 (xn ) = xn+1 − > xnn e−xn − = fn (xn ) = = fn+1 (xn+1 ) n e ⇒ xn > xn+1 Vậy {xn } giảm hội tụ Một số ví dụ khác Bài 1: Cho phương trình xn = x + n , n ∈ N∗ Chứng tỏ phương trình cho có nghiệm dương xn Chứng tỏ lim xn = n→∞ (xn − 1) = ln n n→∞ n lim Bài 2: Cho {an } dãy nghiệm liên tiếp phương trình tg x = x, x > Tìm lim (an+1 − an ) n→∞ 2.8 Phương pháp Sử dụng dãy phụ để tính giới hạn Khi giải toán, gặp dãy số phức tạp, tăng giảm bất thường Trong số trường hợp thế, ta xây dựng (hoặc hai) dãy số phụ đơn điệu dễ xác định, cụ thể dễ tính giới hạn dễ tìm giới hạn dãy ban đầu Tất nhiên, dãy số phụ phải xây dựng từ dãy số Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số 40 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thu Thủy - K39B Sư phạm Toán Ví dụ 2.24 Cho dãy {xn } xác định sau: x0 = 0; xn = xn−1 + (−1)n , n ≥ 2004 Tính lim x2n n→∞ Lời giải Bây nhân hai vế với 2004n ta có 2004n xn = 2004n−1 xn−1 + (−1)n 2004n Đặt yn = 2004n xn ⇒ yn = yn−1 + (−1)n 2004n , hay yn − yn−1 = (−1)n 2004n , n ≥ (*) Mặt khác yn = (yn − yn−1 ) + (yn−1 − yn−2 ) + (y1 − y0 ) + y0 (**) Thay (*) vào (**), ta n (−1)i 2004i , n ≥ yn = i=1 Từ yn xn = = 2004n n i i i=1 (−1) 2004 n 2004 (−1) + (−1)n 2004n = 2004n−1 2005 Suy lim n→∞ x2n − 2(−1)n 2004n + (−1)2n 20042n = 20042n−2 20052 2(−1)n 20042 = lim − lim + lim n→∞ 20042n−2 20052 n→∞ 2004n−2 20052 n→∞ 20052 20042 20042 = lim = n→∞ 20052 20052 Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số 41 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vậy lim n→∞ x2n = 2004 2005 Nguyễn Thị Thu Thủy - K39B Sư phạm Toán Ví dụ 2.25 Cho dãy {an } bị chặn thỏa mãn an+1 ≥ an − ; n ≥ 2n Chứng minh dãy {an } hội tụ Lời giải Từ giả thiết ta có an+1 ≥ an − ≥ bn 2n−1 2n Vậy {bn } dãy tăng bị chặn suy {bn } hội tụ nên {an } hội tụ Đặt an − 1 1 ⇔ a − ≥ a − n+1 n 2n 2n 2n−1 = bn bn+1 = an+1 − Ví dụ 2.26 Khảo sát dãy {un } cho u0 = a > 0; un+1 = un + un−1 + + √ u0 , n ≥ Lời giải Từ giả thiết ta có un+1 = un + √ un−1 + + u0 = (un + un ) = √ √ un un+1 un = 2 un un+1 √ Đặt = = vn+1 = = (vn ) 2 Vậy = (vn−1 ) Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số 42 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thu Thủy - K39B Sư phạm Toán v2 = (v1 ) Suy = (v1 ) 2n−1 1 = Vì lim n−1 = nên lim n→∞ v 2n−1 n→∞ Do lim un = lim 2vn = 2.1 = n→∞ n→∞ Ví dụ 2.27 Dãy số {an } xác định a1 > 0, a2 > an+1 = Chứng minh dãy số {an } hội tụ tìm giới hạn an + an−1 Lời giải Xát hai dãy {Mn } {mn } với: Mn = max {an , an+1 , an+2 , an+3 } mn = max {an , an+1 , an+2 , an+3 } Ta chứng minh {Mn } dãy số giảm {mn } dãy số tăng.Thật vậy, ta chứng minh an+4 ≤ max {an+1 , an+3 } Suy Mn+1 = an+1 an+2 an+3 rõ ràng Mn = max {an, an+1, an+2, an+3 } ≥ Mn+1 Thật vậy, an+4 ≥ an+3 ≥ an+3 suy ≥ an+3 + an+2 an+3 (an+3 + an+2 ) Khi an+1 = = an+3 an+2 = an+3 − − an+2 + an+4 (an+2 + an+3 ) 2an+2 − an+2 + an+4 ≥ an+4 (an+3 + an+2 ) an+3 Suy đpcm Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số 43 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thu Thủy - K39B Sư phạm Toán Vậy ta chứng minh dãy {Mn } giảm Tương tự dãy {mn } tăng Hai dãy số bị chặn nên hội tụ Nhận xét Như vậy, việc sử dụng dãy phụ dãy phức tạp làm để xây dựng dãy phụ? Ta biết "Mọi dãy dãy hội tụ hội tụ" Như vậy, dãy dãy {an } hội tụ chúng phân hội tụ đến giới hạn a số a giới hạn dãy {an }, hay lim x2n = lim x2n+1 = a lim xn = a Tổng quát: Cho số nguyên m ≥ lim xmn+i = a, ∀i = 0, n − lim xn = a Ví dụ 2.28 Cho dãy số {xn } xác định công thức   x0 = x1 =  3x n+2 = xn + xn+1 Chứng minh dãy {xn } hội tụ Lời giải Xét dãy số {an } xác định bởi: a0 = 1, an+1 = 2an Dễ thấy {an } dãy giảm dần Ta chứng tỏ max {x2n , x2n+1 } ≤ an , ∀n(1) Thật + (1) với n = n = + Giả sử (1) với n ý dãy {an } dãy số giảm nên ta có 3x2n+2 = x2n + x2n+1 ≤ 2an Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số 44 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thu Thủy - K39B Sư phạm Toán Suy x2n+2 ≤ an+1 Lại có 3x2n+3 = x2n+1 + x2n+2 ≤ an + an+1 ≤ 2an Suy x2n+3 ≤ an+1 Như vậy, (1) với n + Theo quy nạp (1) n Dễ thấy xn > , ∀ n Từ (1) theo nguyên lý kẹp lim x2n = lim x2n+1 = lim xn = Vậy lim xn = Một số ví dụ khác Bài 1: Khảo sát hội tụ dãy {xn } với x1 = a > 0; (n + 2)2 xn+1 = n2 xn − n − 1, n ≥ Bài 2: Cho   a, a1 >0  an+1 = an (2 − a.an ) , n = 1, 2, Khảo sát hội tụ dãy {an } Bài 3: Chứng minh dãy cho a1 = 0, a2 = , an+1 = + an + an−1 , (n > 1) hội tụ tìm giới hạn Bài 4: Dãy số {an } xác định bởi: a1 > 0, a2 > an+1 = an + an−1 Bài 5: Dãy {an } bị chặn thỏa mãn điều kiện: an+1 − an > − Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số , n ∈ N∗ n 45 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.9 Nguyễn Thị Thu Thủy - K39B Sư phạm Toán Phương pháp Giới hạn dãy tổng n Dạng toán: Tìm giới hạn dãy có dạng tổng i=1 n i=1 xi dãy xn cho trước dãy thức truy hồi, xuất x2i nhiều đề thi tuyển viên chức, tuyển giáo viên Sở Giáo dục Tuy nhiên, chưa làm hầu hết cử nhân trường gặp khó khăn làm Vậy cách làm dạng toán nào? Ta tiến hành giải toán theo bước Bước 1: Chỉ lim xn = +∞ n Bước 2: Tính i=1 , xi n Bước 3: Tính lim i=1 n i=1 tùy thuộc vào yêu cầu đề x2i , lim xi n i=1 x2i Chú ý Ngoài ra, đề cho dạng tổng riêng un = a1 + a2 + + an cố gắng tách số hạng thành hiệu: a1 = x2 − x1 ; a2 = x3 − x2 ; ; an = xn+1 − xn Khi un = (x2 − x1 ) + (x3 − x2 ) + + (xn+1 − xn ) = xn+1 − x1 Ví dụ 2.29 Cho dãy {un } có số hạng đầu u1 Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số = un+1 = 46 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thu Thủy - K39B Sư phạm Toán n un2 − un + , n = 1, 2, Tính lim i=1 ui Lời giải Do u1 = > 1; un+1 = un + (un − 1)2 , n = 1, 2, nên < = u1 < u2 < u3 < Tức dãy số {un } dãy tăng Ta chứng minh dãy {un } không bị chặn Thật vậy, dãy {un } bị chặn {un } hội tụ, giả sử lim un = a, (a > 1) Khi đó, ta phương trình: a = a + (a − 1)2 ⇔ a = (Mâu thuẫn) Suy lim un = +∞ Bây giờ, ta xét hệ truy hồi ui+1 − = ui (ui − 1) ⇒ 1 = − ; i = 1, 2, ui ui − ui+1 − Suy n i=1 1 1 = − = − → 1, (n → ∞) ui ui − un+1 − un+1 − n Vậy lim i=1 = xi Ví dụ 2.30 Cho dãy {un } có số hạng đầu ui = 2010 thỏa mãn Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số 47 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thu Thủy - K39B Sư phạm Toán điều kiện: u2n + 2009 un − 2011 un+1 + = 0, ∀ n ∈ Z∗ 1 + + + u1 + 2010 u2 + 2010 giới hạn Sn n → ∞ Đặt Sn = Tính un + 2010 Lời giải Từ điều kiện u2n + 2009 un − 2011 un+1 + = u2n + 2009 un + ⇔ un+1 = 2011 un + 2009 un + ⇔ un+1 − = − 2011 (un − 1) ( un + 2010) ⇔un+1 − = 2011 1 ⇔ = − un + 2010 un − un+1 − Khai triển ước lượng, ta có Sn = 1 1 + + + = − u1 + 2010 u2 + 2010 un + 2010 u1 − un+1 − (un − 1)2 Mặt khác ta có un+1 − un = ≥ 0, ∀ n ∈ Z 2010 Suy dãy {un } tăng 2010 = u1 < u2 < u3 < < un Giả sử a giới hạn dãy, theo điều kiện ta có a2 + 2009a − 2011a + = 0, (a > 2010) Với a = < 2010 (Vô lý) Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số 48 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vậy limun = +∞ ⇒ lim Nguyễn Thị Thu Thủy - K39B Sư phạm Toán un+1 − 1 = Do lim Sn = u1 − 2009 Một số ví dụ khác = Bài 1: Cho dãy {xn } xác định    x1   x n = x2n−1 + 4xn−1 + xn−1 = , n = 1, 2, 3, n Chứng minh dãy {yn } , n = 1, 2, với yn = i=1 có giới hạn x2i hữu hạn tìm giới hạn Bài 2: Cho dãy {xn } xác định x1 = 2; xn+1 = n Đặt Sn = K=1 xK+1 x + , n = 1, 2, 3, n Tính lim Sn n→∞ Bài 3: Cho dãy {xn } xác định x1 = ; xn+1 = x2n − 3xn + 4, n = 1, n Đặt yn = K=1 xK−1 Tính lim yn n→∞ Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số 49 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.10 Nguyễn Thị Thu Thủy - K39B Sư phạm Toán Phương pháp 10 Phương trình sai phân để xác định số hạng tổng quát dãy Phương trình sai phân có ứng dụng rộng rãi toán liên quan đến dãy số, đặc biệt tìm giới hạn dãy số dãy cho phương trình sai phân dạng f (xn , xn+1 , xn+2 , ) = Vậy phương pháp nào? Bước 1: Giải phương trình f (xn , xn+1 , xn+2 ) = ⇒ tìm công thức tổng quát xn Bước 2: Tìm lim xn n→∞ Ví dụ 2.31 Cho dãy Fibonaci {un } xác định u0 = 0; u1 = 1; un+2 = un+1 + un , n ≥ √ n 1+ Chứng tỏ rằng: un ∼ √ (khi n → ∞) un số √ n 1+ nguyên gần với số √ Lời giải √ ± Phương trình đặc trưng k − k − = ⇔ k = Khi có hai số A, B để √ 1+ un = A n √ 1− +B n Thay n = 0, n = vào công thức ta      A+B =0 A=√ ; √ √ ⇔ 1 + −   A  B = −√ +B =1 2 Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số 50 Khóa luận tốt nghiệp Đại học √ 1+ Vậy un = √ quy nạp) un Từ lim n→∞ √ Nguyễn Thị Thu Thủy - K39B Sư phạm Toán √ 1− n − √ 1+ √ 1+ Lại có un − √ n n (có thể chứng minh theo = √ n 1− < √ < nên 2 √ n 1+ un số nguyên gần với số √ Ví dụ 2.32 Cho dãy {un } xác định u0 = 1, u1 = a, un+2 = un 4un+1 − 4un Tìm lim n→∞ n2n n = √ Lời giải Phương trình đặc trưng k − 4k + ⇔ k1 = k2 = Ta tìm un dạng un = A2n + B.n.2n−1 Thay n = n = 1, từ điều kiện cho ta   A=1 A=1 ⇒  B = a −  A.2 + B = a Vậy un = 2n + n (a − 2) 2n−1 (có thể chứng minh theo quy nạp) un a−2 a−2 Từ lim = lim + = n→∞ n2n n→∞ n 2 Ví dụ 2.33 Tìm số hạng tổng quát dãy {un } xác định u0 = 0; u1 = 1; un+2 = un+1 − un , n ≥ Lời giải √ π π Phương trình đặc trưng k − k + ⇔ k = cos ± i sin 2 4 Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số 51 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thu Thủy - K39B Sư phạm Toán √ Vậy có số A B để {un } có dạng un = 2 n π π A cos n + B sin n 4 Thay n = n = vào công thức ta     A=0 A=1 √ √ √ ⇒ 2   B = =1   A +B π Vậy un = √ n sin n (có thể chứng minh theo quy nạp) Từ lim un = n→∞ Một số ví dụ khác Bài 1: Cho dãy số {un } xác định u1 = a > 0, un = b un−1 + un−1 ,b > Tìm lim un Bài 2: Cho dãy số un xác định     un+2 −     2(n + 2)2 (n + 1) (n + 3) un+1 + u1       u2 Chứng minh lim (n + 1) (n + 2) un n (n + 3) = (2 + n) ,∀ n > n+3 =0 = −3 un = n2 Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số 52 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thu Thủy - K39B Sư phạm Toán KẾT LUẬN Khóa luận trình bày đầy đủ chi tiết nội dung liên quan dến dãy số giới hạn dãy số theo chương: Chương I Hệ thống lại kiến thức có liên quan đến dãy số giới hạn dãy số Chương II Trình bày số phương pháp xác định giới hạn dãy số đưa ví dụ minh họa Do trình độ thời gian hạn chế nên khóa luận có nhiều thiếu sót hạn chế, dạng tập ví dụ chưa phong phú, đa dạng, em cố gắng tìm tòi hoàn thiện khóa luận tài liệu tham khảo thân thời gian giảng dạy tới Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số 53 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thu Thủy - K39B Sư phạm Toán TÀI LIỆU THAM KHẢO Tô Văn Ban, Giải tích tập nâng cao, Nhà xuất Giáo dục Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Nguyễn Viết Triều Tiên, Hoàng Quốc Toàn (2008), Giáo trình Giải tích Tập 1, Nhà xuất Đại học Quốc gia Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Nguyễn Viết Triều Tiên, Hoàng Quốc Toàn (2008), Bài tập Giải tích Tập 1, Nhà xuất Đại học Quốc gia Nguyễn Văn Mậu (2010), Một số chuyên đề Giải tích bồi dưỡng học sinh giỏi THPT, Nhà xuất Giáo dục Nguyễn Thủy Thanh (2007), Bài tập Toán Cao Cấp Tập 2, Nhà xuất Đại học Quốc gia W J Kaczor, M T Nowak (2000), Problems in Mathematical Analysis I (Bản dịch tiếng Việt) Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số 54 ... λn3 + + Ck λnk Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số 13 Chương Các phương pháp tìm giới hạn dãy số Chương này, em hệ thống số phương pháp xác định giới hạn dãy số Các phương pháp trình bày theo... quan đến dãy số giới hạn dãy số Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thu Thủy - K39B Sư phạm Toán Chương 2: "Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số" trình... an1 , an2 , , ank , gọi dãy dãy {an } Tính chất i, Nếu dãy {an } có giới hạn a n → ∞ dãy {ank } có giới hạn a ii, Mọi dãy số dãy Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số Khóa luận tốt nghiệp Đại