BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Bùi Thị Như Hoa MÔĐUN TRÊN MIỀN IDEAN CHÍNH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Bùi Thị Như Hoa MÔĐUN TRÊN MIỀN IDEAN CHÍNH Chuyên ngành: Hình học KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: ThS Phạm Thanh Tâm Hà Nội – Năm 2017 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Bùi Thị Như Hoa LỜI CẢM ƠN Khóa luận tốt nghiệp hoàn thành hướng dẫn tận tình thầy Phạm Thanh Tâm Qua xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Phạm Thanh Tâm, người trực tiếp tạo điều kiện giúp đỡ suốt thời gian làm khóa luận Đồng thời xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy cô giáo tổ Hình học thầy cô giáo khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện tốt để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Do hạn chế thời gian khả nghiên cứu khoa học nên Khóa luận khó tránh khỏi thiếu sót, mong bảo quý thầy cô bạn sinh viên Một lần nữa, xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 23/04/2017 Tác giả khóa luận Bùi Thị Như Hoa i Khóa luận tốt nghiệp Đại học Bùi Thị Như Hoa LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp hoàn thành hướng dẫn nhiệt tình thầy giáo Phạm Thanh Tâm với cố gắng thân.Trong trình nghiên cứu, tham khảo kế thừa thành nghiên cứu nhà khoa học nhà nghiên cứu với trân trọng lòng biết ơn Tôi xin cam đoan kết nghiên cứu đề tài "Môđun miền idean chính" trùng lặp với kết đề tài khác Nếu sai xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, ngày 23/04/2017 Tác giả khóa luận Bùi Thị Như Hoa ii Mục lục LỜI MỞ ĐẦU 1 Môđun miền idean 1.1 1.2 1.3 1.4 Môđun Noether Hạng môđun miền idean Nhân tử bất biến Ước sơ cấp 12 1.5 1.6 Định lý phân tích Tính phân tích 12 14 Dạng chuẩn tắc hữu tỉ Jordan 18 2.1 Dạng chuẩn tắc hữu tỉ 18 2.1.1 Lý thuyết 19 2.1.2 2.2 Thuật toán phân tích nhân Đưa dạng chuẩn tắc hữu tỉ 2.1.3 Các ví dụ Dạng chuẩn tắc Jordan 2.2.1 2.2.2 2.2.3 tử bất biến: Lý thuyết Thuật toán phân tích ước sơ cấp: Đưa dạng chuẩn tắc Jordan Các ví dụ Tài liệu tham khảo 31 35 40 40 46 50 55 iii Khóa luận tốt nghiệp Đại học Bùi Thị Như Hoa LỜI MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Việc nghiên cứu cấu trúc tự đồng cấu tuyến tính không gian vectơ xem nội dung trọng tâm, quan trọng bậc Để việc nghiên cứu tự đồng cấu dễ dàng hơn, ta cần tìm ma trận biểu diễn đơn giản tự đồng cấu Ma trận dạng chéo ma trận đơn giản, tự đồng cấu ứng với ma trận chéo gọi chéo hóa Tuy nhiên, tự đồng cấu chéo hóa được, vậy, ta cần tìm ma trận có dạng gần với ma trận chéo Ma trận dạng chuẩn tắc hữu tỉ dạng chuẩn tắc Jordan ma trận đặc biệt biểu diễn đơn giản tự đồng cấu Trên sở trang bị kiến thức tảng đại số, hình học với mong muốn học hỏi trau dồi thêm vốn kiến thức toán học nói chung kiến thức sở hình học đại số nói riêng Chính vậy, lựa chọn đề tài: "Môđun miền idean chính" cho Khóa luận tốt nghiệp Mục đích Khóa luận tốt nghiệp tìm hiểu phép rút gọn dạng chuẩn tắc hữu tỉ dạng chuẩn tắc Jordan tự đồng cấu Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu chi tiết dạng chuẩn tắc hữu tỉ dạng chuẩn tắc Jordan tự đồng cấu tuyến tính Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Môđun miền idean chính; Phạm vi nghiên cứu: môđun miền idean Khóa luận tốt nghiệp Đại học Bùi Thị Như Hoa Nhiệm vụ nghiên cứu Dùng kết môđun PID để tìm hiểu chi tiết dạng chuẩn tắc hữu tỉ dạng chuẩn tắc Jordan tự đồng cấu tuyến tính Phương pháp nghiên cứu Trước hết đọc tài liệu liên quan đến đại số đại cương, đại số tuyến tính, môđun, đồng cấu để tìm hiểu sở lý luận làm tiền đề nghiên cứu đối tượng Sau đọc, nghiên cứu hiểu định nghĩa, định lý, ứng dụng môđun miền idean Ý nghĩa khoa học thực tiễn Tài liệu tham khảo cho sinh viên chuyên ngành Toán 7.Bố cục Khóa luận Nội dung Khóa luận gồm hai chương: Chương 1: Môđun miền idean chính; Chương 2: Dạng chuẩn tắc hữu tỉ Jordan Hà Nội, ngày 23/04/2017 Tác giả Khóa luận Bùi Thị Như Hoa Chương Môđun miền idean Mục đích chương tập trung vào kết môđun miền idean Vì vậy, số mệnh đề, định lý không trình bày chứng minh 1.1 Môđun Noether Định nghĩa 1.1 Cho R vành M R - môđun trái R - môđun trái M gọi R - môđun Noether thỏa mãn điều kiện chuỗi tăng dần môđun (hoặc ĐKCTD môđun con) chuỗi tăng vô hạn môđun con, tức là, nếu: M1 ⊆ M2 ⊆ M3 ⊆ chuỗi tăng môđun M , có số nguyên dương m cho với k ≥ m, Mk = Mm Vành R gọi Noether Noether môđun trái nó, tức là, chuỗi tăng vô hạn idean trái R Định lý 1.1 Cho R vành M R - môđun trái Khi mệnh đề sau tương đương: Khóa luận tốt nghiệp Đại học Bùi Thị Như Hoa M R - môđun Noether Mọi tập khác rỗng môđun M chứa phần tử cực đại quan hệ bao hàm Mọi môđun M hữu hạn sinh Hệ 1.1 Nếu R miền idean tập khác rỗng idean R có phần tử cực đại R vành Noether Chứng minh Miền idean R thỏa mãn điều kiện (3) định lý với M = R Ta ý, M R - môđun hữu hạn sinh môđun M không hữu hạn sinh, nên điều kiện M Rmôđun Noether mạnh điều kiện M R - môđun hữu hạn sinh Chúng ta yêu cầu kết "phụ thuộc tuyến tính" trước quay trở lại kết chương Mệnh đề 1.1 Cho R miền nguyên M R - môđun tự có hạng n < ∞ Khi n + phần tử M R - phụ thuộc tuyến tính, tức là, với y1 , y2 , , yn+1 ∈ M có phần tử r1 , r2 , , rn+1 ∈ R, tất khác 0, cho: r1 y1 + r2 y2 + + rn+1 yn+1 = Chứng minh Cách nhanh để chứng minh bổ đề nhúng R vào tường thương F (vì R miền nguyên) quan sát thấy M = R⊕R⊕ ⊕R (n lần) đạt M ⊆ F ⊕F ⊕F ⊕F Cuối cùng, không gian vectơ n chiều F n + phần tử M F - phụ thuộc tuyến tính Khi đó, đạt quan hệ R - phụ thuộc tuyến tính n + phần tử M Mặt khác, cho e1 , e2 , , en sở R - môđun tự M y1 , , yn+1 n + phần tử M Với ≤ i ≤ n + viết yi = a1i e1 + a2i e + + ani ei theo số hạng sở e1 , e2 , , en Khóa luận tốt nghiệp Đại học Bùi Thị Như Hoa Cho A ma trận vuông cấp n + mà hệ số ứng với i, j aij , ≤ i ≤ n, ≤ j ≤ n + hàng cuối 0, chắn detA = Vì R miền nguyên, nên theo hệ 27 (Corollary 27, [1]) ta có cột A R - phụ thuộc tuyến tính Quan hệ phụ thuộc cột A cho ta quan hệ phụ thuộc cột yi , chứng minh hoàn thành Nếu R miền nguyên M R - môđun bất kì, nhắc lại rằng: T or(M ) = {x ∈ M |rx = 0, r = 0, r ∈ R} môđun M (được gọi môđun xoắn M ) N môđun T or(M ), N gọi môđun xoắn M (nên môđun xoắn M đơn môđun xoắn M , tức, môđun xoắn cực đại M ) Nếu T or(M ) = 0, môđun M gọi độ không xoắn Cho môđun N M , linh từ hóa N idean R xác định bởi: Ann(N ) = {r ∈ R|rn = 0, ∀n ∈ N } Chú ý N không môđun xoắn M Ann(N ) = (0) Dễ thấy, N, L môđun M với N ⊆ L, Ann(L) ⊆ Ann(N ) Nếu R miền idean N ⊆ L ⊆ M với Ann(N ) = (a) Ann(L) = (b), a|b Đặc biệt, linh từ hóa phần tử x M chia hết linh từ hóa M (điều có định lý Lagrăng R = Z) 1.2 Hạng môđun miền idean Định nghĩa 1.2 Cho miền nguyên R bất kì, hạng R - môđun M số lớn phần tử R - độc lập tuyến tính M Kết quan trọng N môđun môđun tự hạng hữu hạn miền idean chính, Khóa luận tốt nghiệp Đại học Bùi Thị Như Hoa tính cố định V , nhờ đó, lấy V F [x] - môđun A ma trận vuông cấp n với hệ số F Nhắc lại lần rằng, sở V giữ cố định phép biến đổi tuyến tính T xác định ma trận A ngược lại ma trận A xác định phép biến đổi tuyến tính T Trong phần trước, sử dụng dạng nhân tử bất biến định lý môđun hữu hạn sinh miền idean F [x] để đạt dạng chuẩn tắc hữu tỉ cho phép biến đổi tuyến tính T dạng chuẩn tắc hữu tỉ cho ma trận A vuông cấp n Trong phần này, sử dụng dạng ước sơ cấp định lý để đạt dạng chuẩn tắc Jordan Chúng ta thấy ma trận dạng chuẩn tắc đóng ma trận chéo có thể, nên ma trận đơn giản dạng chuẩn tắc hữu tỉ Các ước sơ cấp môđun ước có lũy thừa nguyên tố nhân tử bất biến (điều có từ hệ 1.2) Với F [x] môđun V nhân tử bất biến đa thức mônic a1 (x), a2 (x), , am (x) có cấp nhỏ (với a1 (x)|a2 (x)| |am (x)), nên mối quan hệ ước sơ cấp lũy thừa nhân tử đa thức tối giản đa thức Các đa thức xác định tích với đơn vị trường hợp nhân tử bất biến, xác định chúng nhờ yêu cầu chúng mônic Để đạt ước sơ cấp đơn giản có thể, giả sử đa thức a1 (x), a2 (x), , am (x) nhân tử hoàn thành nhân tử tuyến tính, tức là, ước sơ cấp V lũy thừa (x − λ)k đa thức tuyến tính Vì tích ước sơ cấp đa thức đặc trưng, điều tương đương với giả sử trường F chứa tất giá trị riêng phép biến đổi tuyến tính T (tương đương, ma trận A biểu diễn phép biến đổi tuyến tính T ) Dưới giả thiết F , kéo theo từ định lý 1.4 V tổng trực tiếp F [x] - môđun cyclic hữu hạn có dạng F [x]/(x − λ)k với λ ∈ F giá trị riêng T , tương 41 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Bùi Thị Như Hoa ứng với ước sơ cấp V Bây giờ, lựa chọn sở không gian vectơ cho tổng trực tiếp tương ứng với ước sơ cấp V tương ứng với ma trận T đặc biệt đơn giản Nhắc lại rằng, nhờ định nghĩa cấu trúc F [x] - môđun phép biến đổi tuyến tính T tác động V phần tử x tác động nhờ phép nhân tổng trực tiếp F [x]/(x − λ)k Xem xét phần tử , (x − λ)k−1 , (x − λ)k−2 , , x − λ, thương F [x]/(x − λ)k Mở rộng đa thức x, thấy mối liên hệ ma trận phần tử với F - sở xk−1 , xk−2 , , x, F [x]/(x − λ)k tầm thường với đường chéo Vì ma trận khả nghịch (có định thức 1), theo phần tử F - sở F [x]/(x − λ)k Với quan hệ với sở này, phép biến đổi tuyến tính phép nhân với x tác động cách đặc biệt đơn giản (chú ý x = λ + (x − λ) (x − λ)k = tập thương): (¯ x − λ)k−1 → λ.(¯ x − λ)k−1 + (¯ x − λ)k = λ.(¯ x − λ)k−1 (¯ x − λ)k−2 → λ.(¯ x − λ)k−2 + (¯ x − λ)k−1 x: λ (¯ x − λ) + (¯ x − λ)2 λ.1 + (¯ x − λ) ma trận  phép nhân với x là:  λ      λ 1 λ với tất chỗ trống x¯ − λ → → Với mối liên hệ với sở này, λ        42 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Bùi Thị Như Hoa Định nghĩa ma trận Jordan sơ cấp vuông cấp k với giá trị riêng Định nghĩa 2.8 Ma trận vuông cấp k với λ dọc đường chéo dọc đường chéo phụ thứ miêu tả gọi ma trận sơ cấp Jordan vuông cấp k với giá trị riêng λ khối Jordan có cỡ k với giá trị riêng λ Ứng dụng điều với nhân tử cyclic V phân tích thành ước sơ cấp nó, đạt sở không gian vectơ V với phép biến đổi tuyến tính T có ma trận tổng trực tiếp khối Jordan tương ứng với ước sơ cấp tương ứng V , tức là, chéo khối với  khối Jordan dọc  đường chéo: J1     J       Jt Chú ý ma trận xác định với hoán vị khối dọc đường chéo ước sơ cấp F [x] - môđun V ngược lại nhờ định lý 1.6, danh sách ước sơ cấp xác định môđun V lên F [x] - môđun đẳng cấu Định nghĩa dạng chuẩn tắc Jordan ma trận biến đổi tuyến tính Định nghĩa 2.9 Một ma trận nói dạng chuẩn tắc Jor- dan ma trận chéo khối với khối Jordan dọc đường chéo Một dạng chuẩn tắc Jordan cho phép biến đổi tuyến tính T ma trận tương ứng T , dạng chuẩn tắc Jordan Chúng ta chứng minh phép biến đổi tuyến tính T có dạng chuẩn tắc Jordan Như trường hợp dạng chuẩn 43 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Bùi Thị Như Hoa tắc hữu tỉ, suy từ tính ước sơ cấp dạng chuẩn tắc hữu tỉ Jordan hoán vị khối Jordan dọc đường chéo (do gọi dạng chuẩn tắc Jordan T ) Định lý dạng chuẩn tắc Jordan biến đổi tuyến tính Định lý 2.6 (Dạng chuẩn tắc Jordan phép biến đổi tuyến tính) Cho V không gian vectơ hữu hạn chiều trường F cho T phép biến đổi tuyến tính V Giả sử F chứa tất giá trị riêng T Có sở V tương ứng với ma trận T dạng chuẩn tắc hữu tỉ, tức là, ma trận chéo khối mà khối chéo khối Jordan ước sơ cấp V Dạng chuẩn tắc Jordan T với hoán vị khối Jordan dọc đường chéo Như dạng chuẩn tắc hữu tỉ, theo định lý đưa phát biểu tương ứng cho ma trận vuông cấp n F Định lý dạng chuẩn tắc Jordan ma trận Định lý 2.7 (Dạng chuẩn tắc Jordan cho ma trận) Cho A ma trận vuông cấp n trường F giả sử F chứa tất giá trị riêng A Ma trận A đồng dạng với ma trận dạng chuẩn tắc Jordan, tức là, có ma trận khả nghịch P vuông cấp n F cho P −1 AP ma trận khối chéo mà khối chéo khối Jordan cho ước sơ cấp A Dạng chuẩn tắc Jordan A với hoán vị khối Jordan dọc đường chéo 44 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Bùi Thị Như Hoa Dạng chuẩn tắc Jordan khác với ma trận chéo khả diện số đường chéo phụ đầu (và có khối Jordan cỡ lớn hơn), đóng với ma trận khối Theo kết trường hợp đặc biệt, dạng chuẩn tắc Jordan ma trận A đóng với ma trận chéo Hệ 2.2 Nếu ma trận A đồng dạng với ma trận chéo D, D dạng chuẩn tắc Jordan A Hai ma trận chéo đồng dạng nguồn đường chéo chúng giống với hoán vị Chứng minh Điều thứ chắn suy từ tính dạng chuẩn tắc Jordan ma trận chéo dạng Jordan (với khối Jordan cỡ 1) Tính dạng chuẩn tắc Jordan đưa (2) Hệ đưa tiêu chuẩn để xác định ma trận A chéo Hệ 2.3 Nếu A ma trận vuông cấp n với hệ số từ F F chứa tất giá trị riêng A, A đồng dạng với ma trận chéo F đa thức tối tiểu A không lặp lại nghiệm (tức nghiệm bội) Chứng minh Giả sử A ma trận chéo Đa thức tối tiểu ma trận chéo không lặp lại nhiệm (các nghiệm xác phần tử phân biệt dọc đường chéo) Vì ma trận tương tự có đa thức tối tiểu giống theo đa thức tối tiểu A không lặp lại nghiệm Ngược lại, giả sử đa thức tối tiểu A không lặp lại nghiệm cho B dạng chuẩn tắc Jordan A Ma trận B ma trận chéo khối với ma trận Jordan sơ cấp chéo Nhờ tập cuối phần trước, đa thức tối tiểu B bội chung nhỏ đa thức tối tiểu khối Jordan Dễ dàng thấy khối 45 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Bùi Thị Như Hoa Jordan có cỡ k với giá trị riêng λ có đa thức tối tiểu (x − λ)k (chú ý điều từ thực tế ma trận Jordan sơ cấp đưa tác động F [x] - môđun cyclic mà linh từ hóa (x − λ)k ) Vì A B có đa thức tối tiểu giống nhau, bội chung nhỏ (x − λ)k lặp lại nghiệm Theo k phải 1, tức là, khối Jordan phải có cỡ B ma trận chéo 2.2.2 Thuật toán phân tích ước sơ cấp: Đưa dạng chuẩn tắc Jordan Chuyển từ dạng chuẩn tắc thành dạng khác Chúng ta tiếp tục giả sử trường F chứa tất giá trị riêng T (hoặc A) nên hai dạng chuẩn tắc hữu tỉ dạng chuẩn tắc Jordan tồn F Trong tóm tắt, nhắc lại ước sơ cấp ước có lũy thừa nguyên tố nhân tố bất biến Chúng đạt từ nhân tử bất biến nhờ viết nhân tử bất biến tích nhân tử bất biến phân biệt tới lũy thừa; tập kết lũy thừa đa thức tuyến tính tập ước sơ cấp Ví dụ, nhân tử bất biến T là: (x − 1) (x − 3)3 , (x − 1) (x − 2) (x − 3)3 , (x − 1) (x − 2)2 (x − 3)3 ước sơ cấp là: (x − 1) , (x − 3)3 , (x − 1) , (x − 2) , (x − 3)3 , (x − 1) , (x − 2)2 , (x − 3)3 Nhân tử bất biến lớn tích lớn lũy thừa nguên tố phân biệt ước sơ cấp, nhân tử bất biến tích lớn lũy thừa nguyên tố ước sơ cấp lại, Cho danh sách ước sơ cấp tìm thấy danh sách nhân tử bất biến nhờ xếp ước sơ cấp n danh sách riêng biệt, giá trị riêng Trong n xếp đa thức danh sách đa thức tăng 46 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Bùi Thị Như Hoa lên (tức không giảm) cấp Sự xếp cho tất n danh sách để có chiều dài nhờ thêm vào số thích hợp đa thức không đổi Bây giờ, dạng nhân tử bất biến thứ i tích đa thức thứ i danh sách Ví dụ ước sơ cấp T là: (x − 1)3 , (x + 4) , (x + 4)2 , (x − 5)2 , (x − 1)5 , (x − 1)3 , (x − 5)3 , (x − 1)4 , (x + 4)3 Khi danh sách trung gian là: (x − 1)3 , (x − 1)3 , (x − 1)4 , (x − 1)5 1, x + 4, (x + 4)2 , (x + 4)3 1, 1, (x − 5)2 , (x − 5)3 nên danh sách nhân tử bất biến là: (x − 1)3 , (x − 1)3 (x + 4) , (x − 1)4 (x + 4)2 (x − 5)2 , (x − 1)5 (x + 4)3 (x − 5)3 Thuật toán phân tích ước sơ cấp: Đưa dạng chuẩn tắc Jordan Định lý 2.4 phương pháp tính toán để xác định nhân tử bất biến ma trận A Nhân tử nhân tử bất biến trình bày ước sơ cấp A, xác định dạng chuẩn tắc Jordan A Thuật toán phân tích thành nhân tử bất biến theo định lý 2.4 bắt đầu với cở sở e1 , , en V kết tập f1 , , fm phần tử V mà hệ sinh F [x] - môđun nhân tử cyclic phân tích thành nhân tử bất biến V (với linh từ hóa ((am (x), , (am (x))) Vì phân tích thành ước sơ cấp đạt từ phân tích thành nhân tử bất biến nhờ ứng dụng định lý thặng dư Trung Hoa với môđun cyclic F [x]/ (ai (x)), điều đưa tập hệ sinh F [x] - môđun nhân tử cyclic phân tích thành ước sơ cấp V Các phần tử đưa 47 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Bùi Thị Như Hoa tường minh, sở không gian vectơ V tương thích phép biến đổi tuyến tính tương ứng với A dạng chuẩn tắc Jordan (tương đương, ma trận tường minh P cho P −1 AP dạng chuẩn tắc Jordan) Như thuật toán phân tích thành nhân tử bất biến, phát biểu kết thứ phần trước phân tích không gian vectơ miêu tả thuật toán đổi ma trận A vuông cấp n cho trước thành dạng chuẩn tắc Jordan Thuật toán phân tích ước sơ cấp Các bước thuật toán từ thuật toán phân tích nhân tử bất biến theo định lý 2.4 Mỗi nhân tử bất biến a(x) tính toán A viết a(x) = (x − λ1 )α1 (x − λ2 )α2 (x − λs )αs với λ1 , λ2 , , λs ∈ F phân biệt Cho f ∈ V hệ sinh F [x] môđun nhân tử cyclic tương ứng với nhân tử bất biến a(x) tính toán (3) Khi phần tử a(x) a(x) a(x) α f, α f, , α f (x−λ1 ) (x−λ2 ) (x−λs ) s a(x) (chú ý (x−λ αi ∈ F [x] đa thức) hệ sinh F [x] i) môđun cho nhân tử cyclic V tương ứng với ước sơ cấp (x − λ1 )α1 , (x − λ2 )α2 , , (x − λs )αs , tương ứng a(x) Nếu gi = (x−λ αi f hệ sinh F [x] - môđun nhân tử cyclic i) V tương ứng với ước sơ cấp (x − λi )αi tương ứng với sở không gian vectơ nhân tử cyclic V đưa phần tử (T − λi )αi −1 gi , (T − λi )αi −2 gi , , (T − λi ) gi , gi Viết phần tử thứ k sở không gian vectơ tính toán (5) số hạng không gian vectơ gốc có sở [e1 , e2 , , en ] V sử dụng tọa độ cột thứ k 48 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Bùi Thị Như Hoa ma trận P vuông cấp n Khi P −1 AP dạng chuẩn tắc Jordan Đưa ma trận vuông cấp n dạng chuẩn tắc Jordan Hai bước từ thuật toán đưa ma trận vuông cấp n dạng chuẩn tắc hữu tỉ theo định lý 2.5 Khi xI − A chéo hóa thành dạng định lý 2.5 n − m cột ma trận P (cung cấp cách kiểm tra số hữu ích phép tính toán) m cột lại P khác Cho i = 1, 2, , m : • Nhân tử thứ i khác số thuộc phần tử chéo (với cấp di ): a(x) = (x − λ1 )α1 (x − λ2 )α2 (x − λs )αs với λ1 , , λs ∈ F phân biệt (ở a(x) = (x) phần tử thứ i đường chéo khác số s phụ thuộc vào i) • Nhân cột thứ i khác không P ma trận di : (A − λ1 I)α1 −1 (A − λ2 I)α2 (A − λs I)αs (A − λ1 I)α2 −2 (A − λ2 I)α2 (A − λs I)αs (A − λ1 I)0 (A − λ2 I)α2 (A − λs I)αs (A − λ1 I)α1 (A − λ2 I)α2 −1 (A − λs I)αs (A − λ1 I)α1 (A − λ2 I)α2 −2 (A − λs I)αs (A − λ1 I)α1 (A − λ2 I)α0 (A − λs I)αs (A − λ1 I)α1 (A − λ2 I)α2 (A − λs I)αs −1 (A − λ1 I)α1 (A − λ2 I)α2 (A − λs I)αs −2 (A − λ1 I)α1 (A − λ2 I)α2 (A − λs I)0 • Sử dụng kết vectơ cột từ (b) (theo thứ tự) cột di ma trận P vuông cấp n 49 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Bùi Thị Như Hoa Khi P −1 AP dạng chuẩn tắc Jordan (các khối chéo tương ứng với cấp nhân tử (a)) 2.2.3 Các ví dụ Chúng ta sử dụng dạng chuẩn tắc Jordan để nghiên cứu giống ma trận, làm ví dụ cách sử dụng dạng chuẩn tắc hữu tỉ Trong trường hợp, trường mở rộng, số lớp tương đương tăng (số lớp tương đương không giảm mở rộng trường nhờ hệ 2.1 (2)) Cho A, B C ma trận ví dụ phần trước cho F = Q Chú ý Q chứa tất giá trị riêng ma trận Vì xác định nhân tử bất biến ma trận này, đạt ước sơ cấp chúng Các ước sơ cấp A x − 2, x − 2, x − ước sơ cấp b C (x − 2)2 , x−3 nên dạng chuẩn tắc Jordan là:       0 2         ,   ,   0 0 0 Chú ý A đồng dạng với ma trận chéo nhưng, nhờ hệ 2.5, B C không Cho ma trận A, xác định ví dụ phần trước f1 = −7e1 + 7e2 + e3 f2 = −e1 + e2 hệ sinh Q[x] - môđun cho hai nhân tử cyclic V phân tích nhân tử bất biến nó, tương ứng với nhân tử bất biến x − 2, (x − 2) (x − 3) Việc sử dụng thuật toán miêu tả trên, phần tử f1 , (x − 3) f2 , (x − 2) f2 hệ sinh Q[x] - môđun, tương ứng với ước sơ cấp x − 2, x − 2, x − Một thuật toán dễ dàng có phần tử −7e1 + 7e2 + e3 , −e1 , −2e1 + e2 Khi ma trận : 50 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Bùi Thị Như Hoa   −7 −1 −2   P =  0 liên hợp A tới dạng chuẩn tắc Jordan  nó:  0   P −1 AP =   0 cách kiểm tra dễ dàng Các cột ma trận đạt theo thuật toán thứ hai trên, sử dụng cột khác không ma trận P tính toán ví dụ phần trước:     −7 −7     (A − 2I)0   =   1     −1 −1     (A − 2I)0 (A − 3I)   =   ,     −1 −2     (A − 2I)1 (A − 3I)0   =   , 0 tương ứng, đưa ma trận P Cho ma trận D vuông cấp ví dụ phần trước, nhân tử bất biến (x − 1)2 , (x − 1)2 , tương ứng với Q[x] - hệ sinh môđun f1 = e1 , f2 = e2 Cũng có ước sơ cấp ma trận Các sở không gian vectơ tương ứng với hai nhân tử đưa (T − 1) f1 , f1 (T − 1) f2 , f2 Một phép tính toán dễ dàng có phần tử 2e2 + e3 , e1 2e1 − e2 + e4 , e2 Khi ma trận 51 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Bùi Thị Như Hoa    −2 P = 1 0  0 liên hợp D vào dạng chuẩn tắc Jordan:  1  0 P −1 DP =  0  0 cách kiểm tra dễ dàng 0 0       0 1       Các cột ma trận đạt theo thuật toán thứ hai trên, sử dụng cột khác không ma trận P tính toán ví dụ  phầntrước:       1         0 2      =  ,(D − I)0   =   (D − I)1  0 1 0 0         0 0         0            −2      = ,(D − I)0   =   (D − I)1  0   0 0         tương ứng, đưa ma trận P 0 Tập lớp tương đương ma trận vuông cấp với tập hệ số từ C với đa thức đặc trưng x4 − x2 − gồm lớp đại diện dạng chuẩn tắc hữu tỉ tập trước ví dụ (không có danh sách cộng tính nhân tử bất biến C) Các dạng chuẩn tắc Jordan chúng viết tất Q, nhiên Trong trường hợp, nhân tử bất biến (x − 1) (x + 1) (x − 1) (x + 1) x2 + 52 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Bùi Thị Như Hoa ước sơ cấp x − 1, x + 1, x − 1, x + 1, x − i, x + i với i lũy thừa hai -1 C, nên dạng Jordan ma trận ma trận chéo với đường chéo 1, 1, −1, −1, i, −i 53 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Bùi Thị Như Hoa KẾT LUẬN Khóa luận "Môđun miền idean chính" trình bày vấn đề sau đây: Chương trình bày "Lý thuyết sở" gồm định nghĩa định lý về: môđun Nother, hạng R - môđun miền idean chính, nhân tử bất biến, ước sơ cấp, phân tích bản, tính mệnh đề, bổ đề hệ liên quan Chương trình bày "Ứng dụng định lý môđun miền idean chính": để đưa dạng chuẩn tắc hữu tỉ dạng chuẩn tắc Jordan Trong Khóa luận trình bày thuật toán phân tích nhân tử bất biến để đưa dạng chuẩn tắc hữu tỉ thuật toán phân tích thành ước sơ cấp để đưa dạng chuẩn tắc Jordan Hà Nội, ngày 23/04/2017 Sinh viên Bùi Thị Như Hoa 54 Tài liệu tham khảo [1] David S.Dummit, Richard M.Foote, Abstract Algebra Theory and Applications,Third edition, 2012 [2] Hoàng Xuân Sính, Đại số đại cương, Nhà xuất Giáo dục [3] T.S Nguyễn Duy Thuận (Chủ biên), T.S Phi Mạnh Ban, T.S Nông Quốc Chinh , Đại số tuyến tính, NXB ĐHSP [4] Ngô Thúc Lanh, Đại số tuyến tính, Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp, 1970 [5] Jean - Marie Monier, Đại số 1, Nhà xuất Giáo dục, 2000 [6] Nguyễn Hữu Việt Hưng, Đại số tuyến tính, Nhà xuất Đại học Quốc Gia, 2000 55 ... Môđun miền idean chính; Chương 2: Dạng chuẩn tắc hữu tỉ Jordan Hà Nội, ngày 23/04/2017 Tác giả Khóa luận Bùi Thị Như Hoa Chương Môđun miền idean Mục đích chương tập trung vào kết môđun miền idean. .. 1.2 Hạng môđun miền idean Định nghĩa 1.2 Cho miền nguyên R bất kì, hạng R - môđun M số lớn phần tử R - độc lập tuyến tính M Kết quan trọng N môđun môđun tự hạng hữu hạn miền idean chính, Khóa... ∈ R} môđun M (được gọi môđun xoắn M ) N môđun T or(M ), N gọi môđun xoắn M (nên môđun xoắn M đơn môđun xoắn M , tức, môđun xoắn cực đại M ) Nếu T or(M ) = 0, môđun M gọi độ không xoắn Cho môđun