ệ ì ì P t r P ệ ì ì P t r P ì ì P ỡ r tớ t tr t trữớ sữ ữủ sỹ ộ t t t ổ tổ t t tr tự ữỡ t ợ ữợ q ợ ự tổ ỷ ỡ s s tợ t ổ tr t tổ ỡ t P ữớ trỹ t ữợ t t õ õ ỳ ỵ qỵ tr tớ tỹ õ sỹ tớ ự tr q tr tr õ tổ õ tr ọ ỳ t sõt rt sỹ qỵ t ổ s ổ t ỡ t tỹ tốt tổ ữủ t ữợ sỹ ữợ t t t P ũ ợ sỹ ố t r q tr ự tổ t tứ ỳ t q ự ự ợ sỹ tr trồ ỏ t ỡ ổ ỳ t q ự t t r ổ õ sỹ trũ ợ t q t s tổ t tr t tỹ ử ố ự t t số ự số ự P số ự P trứ số ự P số ự P số ự số ự ố ự ủ ổ số ự ố ự ủ ổ số ự ữủ số ự ố ự ữợ ữủ số ự ữợ ữủ ởt tr E ởt tr tr E ỳ õ tốt ổ tự rỡ ổ tự rỡ số ự Pữỡ tr ợ số ự s P s t ỹ t ỹ ỡ ữủ t r P s ỡ r tr r tr ởt ỷ t P t t õ tốt ỵ t õ tữớ ữớ t số t ố q ự t ỳ ú ổ ỳ trứ tữủ õ ợ tỹ ữ ỵ õ ộ ổ õ t t trỹ t ũ t ợ s ổ ữủ ỗ ố ỵ tự ởt ú t õ t tỹ t r tt õ ú t t õ t ữủ õ t t tố rt t õ t t trứ tữủ õ õ ữủ ổ õ t ố ợ s P t s ữ ú t t số ự t tứ t t tr ữỡ tr số ứ r số ự tú t qt ữủ tt t tr t t tr t ỡ ố ự õ t ữ ố ỳ trứ tữủ sỹ t số ữủ ỡ õ ởt ữợ õ số ự ự số ự ự õ õ r ữủ t t ữủ t q q trồ õ tốt ợ t t tr ỹ ỳ t s õ ởt ữợ t tr ợ t t ỵ tt t r ởt t tú t tổ ữủ t t õ õ ự tr t t ụ trử ỡ ỳ ự t ỏ ú ữớ t tr tữ õ t s rở ỡ ú ú t õ ởt ú t t ữủ t q trồ sỹ tú t ữủ sỹ ú ù t t t P tổ ỹ t t r t ự ự ỷ số ự s ự sỡ ữủ t r ự tố õ tự ỡ số ự ự tự s ổ số ự ự sỡ ữủ t r ố tữủ ự ố ự s t r s ỡ r r tr õ tốt ỷ t P ự ự t r ỹ tr ự số ự s Pữỡ ự t tổ t tứ t ữ s trt ỷ ữỡ t s s t ỹ trú ử t t t ỗ ữỡ ữỡ ố ự ữỡ tổ tr ỳ ỵ tt ỡ số ự ú q ữỡ s ữỡ tổ tr s ỗ s t ỹ t tự ữỡ trồ t õ q ữỡ ữỡ ỡ ữủ t r ữỡ tổ tr sỡ ữủ t r ỗ s tr ỡ r r tr ỷ t ữỡ ố ự t t số ự số ự ởt số ự ởt tự õ a + bi tr õ ỳ số tỹ số tọ i2 = số ự õ t z = + b ữủ ỡ ữủ tỹ ữủ ủ số ự ữủ C = {z = a + bi, a, b R} R C ú ỵ ố ự z = a + 0i õ ữủ số tỹ t a + 0i = a R C ố ự õ tỹ ữủ số ỏ ữủ số t z = + bi (b R) ố = + 0i = ứ số tỹ ứ số õ tốt ỹ t ởt s tr ỹ z = dc ỹ s õ ữủ t ổ ũ ữợ ỹ Z = ac ổ ỹ ữủ t ỳ ỹ ổ ố ữ ỳ t z1 + z2 = z + Z ố ởt ổ ữủ trữ ởt õ t t z1, z2 z M = Z z1 z2 z , Z = z1 + z2 z ú t ữủ ổ tự ỳ z z1, z2 ữủ số z kz kz1 z2 z = 1k Z z1 a cz1 z2 z = = k= z1 z Z z2 a cz2 t t õ (a d)2 + 4bc (a + d) + k= (a + d) (a d) + 4bc tự ố ũ trũ ợ ởt tr t số tr r õ tốt tr M = a b c d tự trữ tr det (I2 M ) = trM + det M = (a + d) + (ad bc) õ (a d)2 (a + d) i = (a + d) = (a + d)2 (ad bc) = czi +d ữỡ ỡ ữủ t r P s ỡ P tr ữớ trỏ ỡ J : z z1 ố ữớ trỏ ỡ ỡ ũ D : {z P : |z| > 1} P s ỡ ởt s ỡ õ õ s z az + b ợ |a|2 |b|2 = bz + a ự +b ợ ad bc = s T : z az cz + d ỡ õ t ữớ trỏ ỡ õ õ s tợ õ õ tốt JoToJ = T dz + c bz + a a b c d J (T (J(z))) = tr d c b a ố ữ ố s õ d c b a = a b c d t õ + t tr a b b a ợ |a|2 |b|2 = t õ t tr a b b a ợ |a|2 + |b|2 = |T (0)| = ab > õ ổ r õ ữủ sỷ r T :z az + b ợ |a|2 |b|2 = bz + a t JoToJ = T ởt t z T s : J (T (z)) = T (J (z)) = T (z) ữớ trỏ ỡ ũ õ tốt |T (0)| = ab < õ P s õ õ ởt õ M ob (D) = z az + b : |a|2 |b|2 = bz + a õ s õ õ s ộ ợ || = z z tr ộ z0 D z0 z + z0 + z0 z ữủ tr z0 |z0 |2 z0 |z0 |2 |z0 | |z0 |2 ụ tr t ởt õ tr t t õ t t rt ố ữ tr t õ s õ õ ởt õ õ s ủ ợ ú t õ t t ởt ợ T (D) = t A M ob (D) ToAoT M ob () sỷ ỷ t tr R+ = {x + iy C; y > 0} P tr ủ số ự J : z z +b ởt s T : z az ợ ad bc = cz + d õ tốt R+2 õ JoToJ = T T (i) R+2 õ Jo To J : z az + b cz + d ú t a b c d = a b c d +b + z az ợ a, b, c, d R adbc = cz + d ỷ t tr õ +b z az ợ a, b, c, d iR ad bc = cz + d ỷ t tr t ữợ t r ộ s tứ t tr õ tr tr SL (2; R) M ob R+ = SL (2, R) / {I, I} r tr ú t ố ợ r tr ỡ ợ ộ s tr s ởt ỹ ú t t ổ ũ ọ õ ds = (z) |dz | ợ ởt t : D (0, ) ỡ ỳ õ õ ởt õ tốt ữớ trỡ : [a, b] D õ b ( (t)) | (t)| dt L () = a ữ ởt õ ởt tr ữ ởt ỹ t số ữ T :z z + z0 + z0 z ởt s ợ ộ z0 D ởt ỹ ởt ổ ũ ọ tứ dz tợ ởt tợ T (0)dz t z0 ú t õ (0) |dz| = (z0 ) |T (0)dz| õ (0) = (z0 ) |T (0)| = (z0 ) |z|2 ởt ữủ ds = k |dz| t ởt |z| z D õ tữớ ởt t số tợ ú t t r tr (z) = ợ z D |z|2 t r t ú t t tợ õ tốt õ số õ t r ú t t tợ ữớ ởt tữỡ tỹ ởt r õ t tợ õ t r ổ ũ ọ õ ỡ r r (z0, z) ữợ ú b ( (t)) | (t)| dt L () = a b = a | (t)| dt | (t)|2 tr t ữớ trỡ : [a, b] D õ (a) = z0 (b) = z1 ú t s t q tứ z0 z1 õ r t õ ữớ tr r tứ z0 z1 ữớ tr r tứ ố tồ ữớ tr r tứ z D õ õ + |z| r log 11 |z| ự P q t r ữớ t ú t sỷ r z = R [0; 1) ỷ tồ ỹ t ởt ữớ : [a, b] D s (t) = r (t) eit sỷ (a) = (b) = z = R t r ợ ỡ r õ õ tốt ợ b | (t)| dt | (t)| a b |r (t) + i (t) r (t)| = dt r(t)2 a b |r (t)| dt = L (r) a r(t) L () = r |r (t) + i (t) r (t)| = r (t) + r2 (t) (t) ú t õ tự t (t) ỗ t t tứ t tứ t R 1+R dr = log r2 1R ú t t (0, z) = log tự + |z| |z| r tr ỡ (z0 , z1 ) = inf L () : ữớ trỡ tr D tứ z0 z1 ởt tr t õ ộ s õ ởt ỹ ởt ữớ tr ợ ởt ữớ trỏ trỹ ợ ữớ trỏ ỡ õ tốt õ r ự t ộ s tứ õ az + b ợ |a|2 |b|2 = T :z ú t õ bz + a T (z) = bz + a t trỹ t t õ 2 bz + a bz + a = = |T (z)|2 |z|2 bz + a |az + b|2 ú t t (T (z)) |T (z)| = 2 |T (z)| = = (z) |T (z)|2 |z|2 t r (T (z0) , T (z1)) = (z0, z1) trữợ t (0, z) > 0, z = ứ õ ú t ổ t T M ob (D) ợ T (z0 ) = (z0 , z1 ) > 0, z0 = z1 P ố ự t tự t ợ ởt t tr tứ = T (z0) T (z1) ởt t õ ởt t ởt ữớ t q trỹ ợ ữớ trỏ ỡ P s õ t õ ữớ tr tứ z0 z1 ởt ữớ trỏ q z0 z1 trỹ ợ õ tốt r tr ởt ỷ t ợ ỡ ú t õ t ợ ú t t r ởt s ú t r tr s õ ởt ỹ tứ ợ ợ r ổ tở t ởt s t R = SoT s ởt s õ õ ởt ỹ r õ õ ũ tr sỷ ỷ t tr R2+ ợ ú t õ t T :zi zi z+i q ởt trử q r tr R2+ t s ds = (z) |dz| ợ t ởt ỹ t õ (z) |dz| = (T z) |T (z)| |dz| 2 |T (z)| (z + i)2 (z) = = = Im (z) |T (z)| zi z+i õ tốt ữớ tr r tr ỷ t tr ỷ ữớ trỏ trỹ ợ ũ ợ ỷ ữớ t s s ợ trử P ứ t q s ú t õ t q s ủ t s ủ t số s ự sỷ ởt t z z ởt ữớ trỏ t õ t t ởt s R {} P tr ữủ J = To Co T +b az + b T (z) = az t Co To C (z) = t cz + d cz + d Co To C ởt s õ CoJ = CoToCoT = (CoToC)oT ởt s ữủ õ JoC sỷ ởt ữớ tr ợ ởt ởt trỏ trỹ ợ õ J tr T õ tr t õ s P t r P tr ữớ tr r t r õ tốt ự ó r C : z z t r sỷ r J tr ữớ tr t CoJ s trỏ ỡ õ õ CoJ ởt ỹ r J = Co (CoJ) t r t õ t t s ú t õ ữủ ủ t tr ữớ tr r ữớ tr r õ t t ởt D t ởt T ổ t tt tr õ s õ t T : z az + b , ợ a, b C ợ |a|2 |b|2 = bz + a ố Re(a)2 iIm (a) b tr 2Re (a) t t ổ t r t t < Re (a) < ởt ố tr ởt r t Re (a) = õ ởt ố t tr r t Re (a) > Re (a) < õ ố tr q t r õ t r tổ t tr ự sỡ ữủ t r t q tổ t ữủ tr õ ữỡ ố ự ữ r ữủ tự ỡ số ự số ự q ữỡ s ữ r s t ổ ỹ ữỡ ỡ ữủ t r ữ r ởt số tự ố tữủ tr t r ỹ ự số ự s ự t õ tổ ọ t ữủ tự tú t tổ ữủ s ỡ số ự s tự t r ữủ q ợ ự r q tr tỹ t tổ ổ t tr ọ ỳ s sõt tổ rt ữủ sỹ õ õ ỵ qỵ t ổ õ ữủ ỡ t r tr rs rtt Pr t ts tt ttsts rst r P ố ự ởt số t tữớ õ tốt trữớ P ự t qố