TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN - TIN ————————–o0o————————– LUẬN VĂN THẠC SĨ Tên đề tài LUẬT MẠNH SỐ LỚN CỦA TỔNG CÓ TRỌNG SỐ CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN Chuyên ngành Mã số Học viên Giảng viên hướng dẫn : : : : Lý thuyết Xác suất Thống kê Toán học 60.46.01.06 Vũ Thị Kiều Ánh TS Nguyễn Văn Hùng HÀ NỘI - 2016 Lời cảm ơn Trong trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn "Luật mạnh số lớn tổng có trọng số biến ngẫu nhiên", nhận hướng dẫn, giúp đỡ động viên nhiều cá nhân tập thể, xin bày tỏ lòng biết ơn tới tất cá nhân tập thể tạo điều kiện giúp đỡ Đầu tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy cô giáo khoa Toán, đặc biệt thầy tổ Lí thuyết xác suất thống kê toán học-Trường Đại học Sư phạm Hà Nội mang đến cho kiến thức bổ ích năm học vừa qua công việc tới Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Văn Hùng - Người thầy trực tiếp hướng dẫn, tận tình bảo, giúp đỡ trình nghiên cứu hoàn thành luận văn Cuối xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè bên tôi, động viên khuyến khích trình thực đề tài nghiên cứu Tôi mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô, bạn bè người quan tâm để luận văn hoàn thiện phát triển Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội,5 tháng năm 2017 Vũ Thị Kiều Ánh Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, bảo hướng dẫn TS Nguyễn Văn Hùng, luận văn chuyên ngành Lý Thuyết Xác Suất Và Thống Kê Toán Học với đề tài:"Luật mạnh số lớn tổng có trọng số biến ngẫu nhiên" hoàn thành nhận thức tìm hiểu thân tác giả Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa kết nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2017 Tác giả Vũ Thị Kiều Ánh Mục lục Lời cảm ơn Lời cam đoan Lời nói đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm kết 1.2 Một số định nghĩa kết cổ điển luật số lớn 1.3 Martingale định lí giới hạn 1.4 Các khái niệm kết liên quan đến luận văn Luật mạnh số lớn cho tổng có trọng số đại lượng ngẫu nhiên 2.1 Tổng có trọng số biến ngẫu nhiên độc lập phân phối 2.2 Tổng có trọng số martingale hiệu Lp - bị chặn 2.3 Tổng có trọng số dãy martingale bị chặn 2.4 Tính quán mạnh hồi quy tuyến tính với biến ngẫu nhiên nhiễu độc lập có phân phối 7 10 13 15 15 26 32 47 MỤC LỤC Lời nói đầu Trong nghiên cứu năm 1945 Hill [20] hội tụ hầu khắp nơi tính khả tổng áp dụng cho dãy số không Nếu {wn } dãy số ∞ n dương với tổng riêng Wn := wk tiến vô cùng, cho k=1 k=1 wk Wk < ∞, dãy Rademacher {εn } thoản mãn Wn n wk ε k → (1) k=1 Kết hệ Định lý Khintchine-Kolmogorow, đưa câu hỏi điều kiện chuỗi dương {wn } đủ cho (1) Từ wn εn (1) dẫn đến → hầu chắn, điều kiện cần Wεnn → Kết Wn ghi nhận Maruyama Tsuchikura (xem tài liệu tham khảo [34]) Tsuchikura chứng minh (1) đúng, {wn } tăng thỏa mãn wn log log Wn =0 n→∞ Wn lim (2) Salem Zygmund [30] chứng minh kết khác Tsuchikura, giả định Wn → ∞ thay tính đơn điệu {wn } Chú ý dãy bị chặn {wn } với tổng phân kỳ thỏa mãn (2) Theo Định lý Khintchine-Kolmogorow, giả thiết Hill Wn n wk Xk → hầu chắn (3) k=1 dãy {Xn } dãy biến ngẫu nhiên quy tâm độc lập với supn E|Xn |2 < ∞ , nghiên cứu Tsuchikura nêu số câu hỏi, tóm tắt sau: Tìm điều kiện chuỗi trọng số dương {wn } ( với tổng phân kỳ) đảm bảo luật mạnh số lớn trọng số (3) cho dãy biến ngẫu nhiên quy tâm độc lập lớp định,cho dãy bị chặn {Xn }, cho dãy quy tâm độc lập phân phối, dãy với biến hữu hạn, v v Jamison, Orey Pruitt [21] đưa điều kiện cần đủ cho dãy trung bình có trọng số {wn } với tổng phân kỳ cho (3) vơi dãy {Xn } độc lập, phân phối với E |X1 | < ∞ EX1 = Họ giới MỤC LỤC thiệu hàm đếm N (t) = card {n ≥ : Wn /wn ≤ t} hữu hạn wn /Wn → 0, họ chứng minh [21, định lí 2] {Xn } dãy biến ngẫu nhiên khả tích quy tâm độc lâp, phân phối (Ω, F, P) cho: E |X1 |2 trung bình có trọng số N (t)dt cố định) Lin Weber [24] nghiên cứu Trong luận văn xét điều kiện đặt dãy phức {bn } với |bn | → ∞, để thu hầu chắn chuỗi n Xbnn {Xn } thuộc vào lớp hàm khả tích Đặc biệt trường hợp trung bình có trọng số, {Xn } dãy số dương có tổng phân kỳ bn = nk=1 wk /wn , hội tụ hầu chắn chuỗi suy luật mạnh số lớn trung bình có trọng số Hơn trường hợp dãy {cn } dãy có |cn |2 = ∞ ta lấy bn = nk=1 |cn |2 /cn , hội tụ hầu chắn chuỗi suy luật mạnh số lớn ước lượng bình phương bé mô hình hồi quy tuyến tính Nội dung luận văn tổng quát hóa kết cổ điển theo hai hướng: Mở rộng áp lên dãy số {bn } Mở rộng kết cho dãy {Xn } martingale hiệu Luật văn chia làm hai chương Chương I: Kiến thức chuẩn bị, nội dung chương kiến thức chuẩn bị luận văn, số định nghĩa kết cổ điển luật số lớn, martingale định lí giới hạn MỤC LỤC Chương II: Luật mạnh số lớn cho tổng có trọng số đại lượng ngẫu nhiên, chương trình bày có hệ thống làm sáng tỏ số kết luật mạnh số lớn tổng có trọng số đại lượng ngẫu nhiên 2.1 Nghiên cứu tổng có trọng số biến ngẫu nhiên độc lập phân phối 2.2 Nghiên cứu tổng có trọng số martingale hiệu Lp - bị chặn 2.3 Nghiên cứu tổng có trọng số dãy martingale bị chặn 2.4 Nghiên cứu tính quán mạnh hồi quy tuyến tính với biến ngẫu nhiên nhiễu độc lập có phân phối Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm kết Định nghĩa 1.1.1 Cho Ω tập khác rỗng Một họ F tập Ω gọi σ - đại số thỏa mãn ba điều kiện: (i) Ω ∈ F ; (ii) Nếu A ∈ F Ω \ A ∈ F ; (iii) Nếu An ∈ F, n ≥ ∞ i=1 An ∈ F Định nghĩa 1.1.2 Cho Ω tập khác rỗng F σ - đại số tập Ω Hàm tập P xác định F gọi độ đo xác suất thỏa mãn ba điều kiện (i) P (A) ≥ 0, ∀A ∈ F ; (ii) P(Ω) = 1; (iii) Nếu {An }n≥1 dãy tập đôi rời thuộc F ∞ ∞ An P = i=1 P (An ) i=1 Định nghĩa 1.1.3 Cho Ω tập khác rỗng F σ - đại số tập Ω P độ đo xác suất F Khi ba (Ω, F, P) gọi không gian xác suất tổng quát Nếu với A ∈ F thỏa mãn P(A) = mà ta có B ∈ F, ∀B ⊂ A F gọi σ - đại số đầy đủ P gọi độ đo xác suất đầy đủ Khi đó, không gian (Ω, F, P) gọi không gian xác suất đầy đủ Định nghĩa 1.1.4 Ký hiệu R tập hợp tất số thực B(R) σ - đại số nhỏ chứa khoảng mở dạng (a, b), (a, b ∈ R) Khi Chương Kiến thức chuẩn bị B(R) gọi σ - đại số Borel R Mỗi phần tử B(R) gọi tập Borel Định nghĩa 1.1.5 Hàm thực X : Ω → R gọi hàm F - đo biến ngẫu nhiên {ω ∈ Ω : X(ω) ∈ B} = X −1 (B) ∈ F, ∀B ∈ B(R) Định nghĩa 1.1.6 Hàm số FX (x) = {ω ∈ Ω : X(ω) < x}, x ∈ R gọi hàm phân phối biến ngẫu nhiên X Định nghĩa 1.1.7 Nếu X đại lượng ngẫu nhiên họ σ(X) = {X −1 (B) : B ∈ B gọi σ - đại số sinh X Định nghĩa 1.1.8 Cho dãy biến ngẫu nhiên X1 , X2 , có hàm phân phối tương ứng FX1 , FX2 , Các biến ngẫu nhiên gọi phân phối FX1 (x) = FX2 (x) = ∀x ∈ R Định nghĩa 1.1.9 Giả sử (Ω, F, P) không gian xác suất (i) Họ hữu hạn σ - đại số F gọi độc lập Ai P i∈I P (Ai ), ∀Ai ∈ F, i ∈ I = i∈I (ii) Họ vô hạn σ - đại số F gọi độc lập họ độc lập (iii) Họ biến ngẫu nhiên {Xi }i∈I gọi độc lập họ σ -đại số sinh chúng độc lập (iv) Họ biến cố {Ai }i∈I ⊂ F gọi độc lập biến ngẫu nhiên {IA i }i∈I độc lập Định nghĩa 1.1.10 Giả sử X : (Ω, F, P) → (R, B) đại lượng ngẫu nhiên Khi tích phân Lebesgue X theo độ đo P (nếu tồn tại) gọi kỳ vọng X ký hiệu E (X) Vậy: EX = XdP Ω Chương Kiến thức chuẩn bị Định nghĩa 1.1.11 Với p > 0, ký hiệu Lp = Lp (Ω, F, P) tập hợp cácbiến ngẫu nhiên xác định (Ω, F, P) cho E|X|p < ∞ Định nghĩa 1.1.12 Dãy biến ngẫu nhiên {Xn }n≥1 gọi bị chặn ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên X tồn số D < ∞ cho P [|Xn | > t] ≤ DP [|DX| > t] , ∀t ≥ 0, n ≥ Nhận xét 1.1.13 Nếu dãy biến ngẫu nhiên {Xn }n≥1 phân phối bị chặn ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên X1 1.2 Một số định nghĩa kết cổ điển luật số lớn Định nghĩa 1.2.1 (i) Cho dãy biến ngẫu nhiên {Xn }n≥1 Ta nói dãy {Xn }n≥1 hội tụ theo xác suất biến ngẫu nhiên X với ε > bất kỳ, ta có: lim P {|Xn − X| > ε} = n→∞ Khi ta ký hiệu P Xn → X (n → ∞) (ii) Cho dãy biến ngẫu nhiên {Xn }n≥1 Ta nói dãy {Xn }n≥1 hội tụ hầu chắn biến ngẫu nhiên X nếu: P lim Xn → X n→∞ =1 Khi ta ký hiệu h.c.c Xn → X (n → ∞) (iii) Cho dãy biến ngẫu nhiên {Xn }n≥1 Ta nói dãy {Xn }n≥1 hội tụ theo trung bình bậc p, p > biến ngẫu nhiên X nếu: E|Xn |p < ∞ v Khi ta ký hiệu lim E|Xn − X|p = n→∞ Lp Xn → X (n → ∞) Khi p = 1, ta nói Xn hội tụ theo trung bình tới X Chương Luật mạnh số lớn cho tổng có trọng số đại lượng ngẫu nhiên Chắc chắn nk=1 wk2 ≤ ( nk=1 wk ) , Mn ≤ Wn (2.14) suy (2.16) Điều kiện (2.3), mạnh định lí, suy (2.16) Khi {wn } dãy không giảm (với w1 > 0), ta có Mn ≥ w1 Wn , cho thấy, với Bổ đề (2.3.13), trọng số không giảm ba điều kiện (2.15), (2.14) (2.16) tương đương Trong trường hợp này, Áp dụng hệ (2.3.15) , điều kiện lim sup wn2 /Mn < Định lí (2.3.18) không cần thiết 2 Các chứng minh cho thấy ∞ k=1 wk = ∞ lim sup wn /Mn < 1, (22) với dãy martingale hiệu bị chặn {Xn } Khi inf n Xn ∞ > 0, ta suy từ hệ (2.3.9), với Yn = wn Xn Khi {Xn } dãy martingale hiệu với |Xn | ≤ c hầu chắn với n, cho inf n Var(Xn ) = α > 0, trung bình tổng có trọng số n Vn := Var( wk Xk ) cho αMn ≤ Vn ≤ c2 Mn Trong trường hợp k=1 (2.17), đòi hỏi lim sup wn2 /Mn < không cần (2.16), suy lim sup √ Vn log log Vn n→∞ n wk Xk < ∞ hầu chắn (2.18) k=1 Khi {Xn } dãy biến ngẫu nhiên độc lập bị chặn với inf n Var(Xn ) > 0, LIL Egorov [17] suy (2.18) Mn → ∞ wn2 log log Mn λ ≤ C λ g p dµ số hữu hạn liên tục C mà phụ thuộc vào p Đặc biệt, ∞ g (θn x) p p−1 ta có sup k hữu hạn hầu khắp nơi, kết mà n k≥1 n=k đưa Assani [1,chứng minh định lí 3] (xem thêm [2, hệ 7]) 43 Chương Luật mạnh số lớn cho tổng có trọng số đại lượng ngẫu nhiên (ii) Lấy ≤ g ∈ L1 (µ), với p > áp dụng (1) cho g 1/p ∈ Lp (µ), ta có: ∞ g (θn x) Cp p−1 µ sup k > λ ≤ gdµ ∀p > 1, np λ k≥1 n=k Với số Cp phụ thuộc vào p γ γ (iii) Lấy ϕ (t) = log+ (t) , γ > Lấy g ≥ với g log+ g dµ hữu hạn, γ với x ∈ S đặt wk = g(θk x) log+ g(θk x) Ta có ∞ γ µ sup (log k) k≥1 n=k g (θn x) log+ g(θk x) n(log n)γ γ >λ ≤ C λ γ g log+ g dµ, Cho số C phụ thuộc vào γ Nhận xét 2.3.22 Giả sử {gn } dãy biến ngẫu nhiên phân phối không âm, định nghĩa (S, A, µ), với g1 dµ < ∞, đặc biệt {gn } dãy dừng Sawyer [31, Bổ đề 3] cho thấy p > 1, gn p chuỗi ∞ hội tụ hầu khắp nơi Tuy nhiên, điều không n=1 n ∞ gn p p−1 sup k hữu hạn hầu khắp nơi cho chuỗi hàm khả tích, k≥1 n=k n không âm phân phối {gn } Nếu điều đúng, nhận (xem chứng minh định lí [A1]) card k ≥ : sup n n≥1 gk k ≥ n < ∞ hầu khắp nơi Theo Định lí Assani, Buczolich, Mauldin [4] điều không gn p thể Nó áp dụng để nghiên cứu tỷ lệ chuỗi ∞ hội tụ hầu n=k n khắp nơi tới k tiến tới vô Định lí 2.3.23 Giả sử {cn } dãy số, với số γ > thỏa mãn sup n≥1 n n |ck | log+ |ck | γ n) ≤ E |X1 |, đủ để chứng minh định Chứng minh Khi n=1 lí cho chuỗi Xn 1{|Xn |≤n} Để làm điều này, ta sử dụng định lí Chung [10, Định lí 2(ii)] Trong tính toán đây, x biểu thị số nguyên lớn nhỏ x Ta có: ∞ n=2 ∞ n=2 E |cn | |Xn | 1{|Xn |≤n} log+ |cn | |Xn | 1{|Xn |≤n} n(log n)γ γ E |cn | |X1 | 1{|X1 |≤n} log+ |cn | |X1 | 1{|Xn |≤n} n(log n)γ γ ∞ 2E 1{|X1 |≤2} n=2  ∞ |cn | log+ [2 |cn |] n(log n)γ E |X1 | 1{|X1 |>2} n= |X1 | ≤ γ + γ + =  |cn | log [|cn | |X1 |]  = A + B γ n(log n) Đầu tiên vế phải, A hữu hạn nhờ vào (2.21), cách áp dụng mệnh γ γ đề (2.3.20) với wn = |cn | log+ [|cn |] ϕ (x) = log+ x Ta sử dụng sử γ γ γ với a, b ≥ dụng bất đẳng thức log+ [ab] ≤ 2γ−1 log+ a + log+ b 0, ta tách B thành phần:   γ ∞ + |cn | log [|cn |] + B ≤ 2γ−1 E |X1 | 1{|X1 |>2} γ n(log n) n= |X1 |  ∞ γ 2γ−1 E |X1 | log+ [|X1 |] 1{|X1 |>2} n= |X1 |  |cn |  = C + D n(log n)γ γ |cn | log+ [|cn |] Biểu thức C hữu hạn theo mệnh đề (2.3.20) n(log n)γ n=2 hữu hạn Khi điều kiện (2.21) đúng, rõ ràng M := supn≥1 n1 ∞ k=1 |ck | < ∞ γ Bây giờ, áp dụng mệnh đề (2.3.20) với wn = |cn | ϕ (x) = log+ x , dx ∞ γ ý y γ ≤ β/(log y) , với số β > không đổi Ta x(log x) ∞ 45 Chương Luật mạnh số lớn cho tổng có trọng số đại lượng ngẫu nhiên thu được: γ γ |X1 | log+ [|X1 |] 1{|X1 |>2} |X1 | log+ [|X1 |] 1{|X1 |>2} γ D ≤ ME +2 M β E γ γ log+ [|X1 |] log+ [|X1 |] γ Vì thế, theo định lí Chung, đề cập trên, ta thu chuỗi: ∞ n=1 cn Xn 1{|Xn |≤n} − E cn Xn 1{|Xn |≤n} n hội tụ hầu chắn Nếu {Xn } đối xứng, theo (ii) n n ck Xk 1{|Xk |≤k} − E ck Xk 1{|Xk |≤k} → h.c.c k=1 Khi E Xn 1{|Xn |≤n} → supn≥1 n1 ∞ k=1 |ck | < ∞, tính khả tổng (xem ví dụ, chứng minh định lí 2.9),ta có n n ck E Xk 1{|Xk |≤k} → 0, điều chứng minh (i) k=1 ∞ E cn Xn 1{|Xn |≤n} hội tụ tuyệt đối n n=1 ∞ E c n Xn {|Xn |>n} Khi E [Xn ] = 0, cho thấy hội tụ n n=1 Thật với M = supn≥1 n1 ∞ k=1 |ck | < ∞, ta có theo Abel tổng hợp từ phần (ở dòng thứ hai đây)   |X1 | +1 ∞ ∞ E cn Xn 1{|Xn |>n} |cn | E |X1 | 1{|X1 |>n} |cn |  ≤ ≤ E |X1 | ≤ n n n n=1 n=1 n=1 Để chứng minh (iii) ta nói   |X1 | +1 E |X1 | M + M n=1   ≤ M E [|X1 | + |X1 | log [|X1 | + 1]] < ∞ n Nhận xét 2.3.24 Áp dụng định lí cho dãy cn ≡ 1, có Định lí Marcinkiewicz Zygmund [25] Định lí mở rộng Định lí 3.4 Baxter et al [6], nơi hội tụ chứng minh theo giả định supn≥1 n1 nk=1 |ck |q < ∞, cho q > Nó cung cấp phần câu trả lời cho vấn đề giải cuối [6] 46 Chương Luật mạnh số lớn cho tổng có trọng số đại lượng ngẫu nhiên Các định lí trên, với ứng dụng mệnh đề (2.1.8) p = bn = n/cn ), nói cho dãy thỏa mãn điều kiện (2.21) với γ > 1, ta có lim sup # {n ≥ : |cn | /n ≥ 1/t} /t < ∞ Đặc biệt t→∞ với chuỗi {cn } với supn≥1 n1 q n k=1 |ck | < ∞, cho q > Nếu có lim sup # {n ≥ : |cn | /n ≥ 1/t} /t < ∞ t→∞ trực tiếp từ (2.21), suy định lí từ Định lí (2.1.15) với An = n, kể từ (2.21) nói supn nk=1 |ck | < ∞, (6) 2.4 Tính quán mạnh hồi quy tuyến tính với biến ngẫu nhiên nhiễu độc lập có phân phối Trong mô hình hồi quy tuyến tính chiều ξk = βck + xk , k = 1, 2, , ước lượng bình phương tối thiểu β , dựa n số đo đầu tiên, xác n k=1 ck ξk định βn = Một câu hỏi đặt trường hợp n |c | k k=1 n ck Xk phương sai ước lượng k=1 tiến tới hầu chắn n n |c | k=1 k tiến tới vô (tính quán mạnh bình phương tối thiểu) Đối với trường hợp {Xn } độc lập phân phối với biến hữu hạn, xem Drygas [34] Chúng ta sử dụng định lí (2.1.15) Định lí (2.2.2) để có kết thống mạnh mẽ cho mô hình hồi quy tuyến tính Như ví dụ cụ thể áp dụng Hệ (2.2.4) với An = nk=1 |ak |2 Lưu ý không cần điều kiện (2.1), giả sử đối xứng Định lí (2.4.1) cách tiếp cận khác sử dụng để giải vấn đề Định lí (2.1.15) (với an = cn An = nk=1 |ck |2 ), sử dụng tồn moment bậc cao Ta kí hiệu x số nguyên lớn nhỏ x Định lí 2.4.1 Giả sử {Xn } ∈ Lp (P) , ≤ p ≤ 2, dãy biến ngẫu nhiên đối xứng độc lập phân phối, giả sử {cn } dãy số phức, với c1 = Nếu |X1 |2 1{|X1 |≥1} |X1 | p |ck |2 k=1 47 dP < ∞ (2.22) Chương Luật mạnh số lớn cho tổng có trọng số đại lượng ngẫu nhiên ∞ Thì chuỗi n=1 cn Xn hội tụ hầu chắn n |c | k k=1 ∞ Chứng minh Từ ∞ P |Xn | > n1/p = P (|X1 |p > n) < ∞, theo bổ n=1 n=1 đề Borel-Cantelli đủ để chứng minh định lí cho dãy độc lập Xn 1{|Xn |≤n1/p } Đặt X = X1 Bây giờ, Khintchine-Kolmogorov điều đủ thấy rằng: ∞ |cn |2 E |Xn |2 1{|Xn |≤n1/p } n k=1 |ck | n=3 < ∞ Ký hiệu {Sn } dãy tổng riêng chuỗi Sử dụng công thức (a − b)/(ab) = 1/b − 1/a, sử dụng tổng Abel thành phần sau sử dụng Fubini, ta có: N SN ≤ |cn |2 E |Xn |2 1{|Xn |≤n1/p } n=3 n k=1 |ck | N n−1 k=1 |ck | E |X|2 1{|X|≤n1/p } n−1 k=1 |ck | n=3 − = n k=1 |ck | = E |X|2 1{|X|≤21/p } E |X|2 1{|X|≤N 1/p } N −1 E |X| 1{n1/p 21/p }  + E p 2 |X| |c1 | + |c2 | k=1 |ck | Điều kiện dẫn đến {SN } bị chặn Hệ 2.4.2 Giả sử {ck } (với c1 = 0) thỏa mãn: lim inf n→∞ n n |ck |2 > (2.23) k=1 Thì với dãy hàm khả tích quy tâm độc lập phân phối {Xn } ta có n ∞ cn Xn k=1 ck Xk hội tụ hầu chắn tới Hơn nữa, chuỗi hội tụ n n |ck | k=1 |c | n=1 k=1 k hầu chắn X1 đối xứng E |X1 | log+ |X1 | < ∞ 48 Chương Luật mạnh số lớn cho tổng có trọng số đại lượng ngẫu nhiên Chứng minh Điều kiện (2.23) dẫn tới n |cn |2 = ∞, điều kiện (2.22) (với p = 1) cho {X1 } với E [|X1 |] < ∞ Nếu X1 đối xứng, hội tụ mong muốn chuỗi Định lí (2.4.1) Do điều n kiện (ii) mệnh đề (2.1.8) thỏa mãn, với bn = |ck |2 /cn (ta k=1 giải thích phép chia cho ∞), lim sup N (t)/t < ∞ Do t→∞ với dãy quy tâm độc lập phân phối với kỳ vọng hữu hạn n k=1 ck Xk hội tụ hầu chắn tới định lí (2.1.15), từ (2.23) dẫn n k=1 |ck | đến ( nk=1 |ck |) / nk=1 |ck |2 < ∞ Định lí (2.1.3)(ii) dẫn đến hội tụ mong muốn chuỗi E |X1 | log+ |X1 | < ∞ Nhận xét 2.4.3 cho cn ≡ 1, điều kiện (2.23) đúng, ta thu ∞ X n (một lần nữa) hội tụ hầu chắn X1 thỏa mãn n=1 n điều kiện bổ sung hệ - kết Marcinkiewicz Zygmund [25, Định lí 6] Nếu loại bỏ điều kiện bổ sung ∞ X n X1 , hội tụ hầu chắn chuỗi sai (xem [25, Định lí n=1 n 6(a)]) Do đó, với p = (ít nhất) giả thiết đối xứng định lí (2.4.1) bỏ qua Hệ 2.4.4 Giả sử {ck } (với c1 = 0) thỏa mãn (2.23) Từ p > ∞ cn Yn Lp - bị chặn dãy martingale hiệu {Yn } chuỗi hội tụ hầu n |c | n=1 k=1 k chắn Chứng minh Ta thấy hệ trước lim sup N (t)/tp < ∞, t→∞ ta áp dụng Định lí 3.2 Định lí 2.4.5 Giả sử < p ≤ 2, giả định {ck } (với c1 = 0) thỏa mãn: lim inf n→∞ n n(2−p)/p |ck |2 > (2.24) k=1 Thì với biến quy tâm độc lập phân phối {Xn } với E [|X1 |p ] < ∞ c n Xn ∞, chuỗi hội tụ hầu chắn n |c | n=1 k=1 k 49 Chương Luật mạnh số lớn cho tổng có trọng số đại lượng ngẫu nhiên Chứng minh Cho p = điều kiện (2.24) trở nên tầm thường với c1 = 0, khẳng định sau từ Drygas [16, Bổ đề 4.1] (ngay {Xn } mà không thiết phải phân phối - xem nhận xét đây) Giả sử < p < Điều kiện (2.24) dẫn đến điều kiện (2.22) cho X1 với E [|X1 |p ] < ∞, vậy, định lí (2.4.1), giả thiết định lí với {Xn } ∈ Lp (P) độc lập, phân phôi với X1 đối xứng n Bởi (ii) ⇒ (iii) hệ (2.1.10) với bn = |ck |2 /cn (ta giải thích phép k=1 chia với ∞) giả thiết cho biến độc lập, phân phối {Xn } ∈ Lp (P) Nhận xét 2.4.6 Điều kiện (2.24) với p = điều kiện (2.23), tính tổng quát định lí sai p = 2 Điều kiện (2.24), cho ≤ p < 2, dẫn đến ∞ n=1 |cn | = ∞, theo Bổ n k=1 ck Xk đề Kronecker "trung bình” hội tụ hầu chắn tới n |c | k=1 k Sự hội tụ trung bình (cũng cho p = 1) báo cáo [22], [7] chứng minh Zhu Nếu {X1 } ∈ L2 (P), điều kiện (2.22) với dãy {cn } Trong thực tế, chứng minh [16, Bổ đề 4.1] Drygas chứng minh hội tụ chuỗi giả thiết định lí với chuỗi độc lập {Xn } với M = supn≥1 E |Xn |2 < ∞, (không cần thêm giả thiết đối xứng): N |cn |2 Xn n=2 N n=2 N 2 n k=1 |ck | n−1 k=1 |ck | ≤M n=2 − n k=1 |ck | |cn |2 2 ≤ n n |c | |c | k k k=1 k=1 ≤ − |ck |2 n k=1 |ck | Nếu muốn có hội tụ hầu chắn đến không trung bình, giả định ∞ n=1 |cn | = ∞ Nó thể [16, Bổ đề 4.1] với số dãy quy tâm độc lập {Xn }, với inf n≥1 E |Xn |2 < 0, trung bình hội tụ hầu chắn tới 0, ta phải có ∞ n=1 |cn | = ∞ 50 Chương Luật mạnh số lớn cho tổng có trọng số đại lượng ngẫu nhiên Giả sử Φ(x) hàm dương không giảm, với E [|X1 | Φ (|X1 |)] < ∞ Nếu lim inf n→∞ E |X1 | log+ |X1 | Φ(x) n n |ck |2 > 0, k=1 < ∞ lim inf n→∞ log n n (2.22) n Ví dụ |ck |2 > 0, kết luận k=1 định lí (2.4.1) (với giả thiết đối xứng) Bởi Mệnh đề (2.1.8) nhận xét sau đó, ta kết luận lim sup N (t)/(t log t) < ∞ (cho t→∞ n |ck |2 /cn ) Bây giờ, ý kiến trước mệnh đề (2.1.6), chuỗi bn = k=1 ∞ n=1 cn Xn n k=1 |ck | hội tụ hầu chắn cho dãy khả tích quy tâm độc lập phân phối (không đối xứng) với E |X1 | log+ |X1 | Nếu (2.22) đúng, X1 ∈ / L2 (P) có |X1 |2 1{|X1 |≥1} p |X1 | ∞ n=1 |cn | |X1 |2 1{|X1 |≥1} dP dP ≥ ∞ n=1 |cn | |ck |2 < ∞ = ∞ Nếu không, =∞ k=1 Nếu ≤ p < 2, điều kiện (2.22) với {X1 } ∈ Lp (P), đặc điệt điều kiện (2.24) đúng, định lí (2.4.1) mệnh đề (2.1.8) ta có lim sup N (t)/tp < ∞ (với bn = t→∞ n |ck |2 /cn ) k=1 Từ {Xn } ∈ L2 (P) quy tâm độc lập phân phối, ta có hội ∞ cn Xn n k=1 |ck | tụ hầu chắn n=1 , cho dãy khác không {cn }, mệnh đề (2.1.8) nói lim sup N (t)/t2 < ∞ t→∞ Bổ đề 2.4.7 Cho dãy số {cn }, với ≤ p ≤ ta có tương đương: sup X p ≤1 |X1 |2 1{|X|≥1} |X| p dP < ∞ ⇔ lim inf n→∞ |ck | n(2−p)/p n |ck |2 > k=1 k=1 Chứng minh [⇐]: ta chứng minh phản chứng Định nghĩa chuỗi biến X (n) tập Lp (P) với phân phối sau P(X (n) = ±n) = 51 Chương Luật mạnh số lớn cho tổng có trọng số đại lượng ngẫu nhiên 1/(2np ) Bây X (n) 1{|X (n) |≥1} n2 d P = p 2np np |X (n) | |ck |2 |ck | k=1 k=1 Do đó, cách lấy Sup với n ≥ có chiều ngược lại tương đương [⇒] Nhận xét 2.4.8 Giả sử {cn } dãy với ≤ p ≤ 2, điều kiện (2.22) với X ∈ Lp (P) (Không thiết phải thống nhất) Giả sử Φ(n) dãy số dương không giảm với ∞ n=1 nΦ(n) hội tụ ∞ 1 Lấy X định nghĩa P(X = ±n) = 2αnp+1 n=1 np+1 Φ(n) Φ(n) , cho Từ điều kiện (2.22) vơi X , ta có: |X|2 1{|X|≥1} p |X| |ck |2 ∞ dP = n=1 αnp+1 Φ(n) ∞ n2 np = |ck | α n=1 np np−1 Φ(n) k=1 k=1 Φ(n1/p ) (2−p)/p n→∞ n n k=1 |ck | > Là hữu hạn Do tính đơn điệu, lim inf γ biệt, với γ > 1, ta có lim inf n→∞ (log n) n(2−p)/p 52 |ck |2 k=1 n k=1 |ck | > 2α Đặc Chương Luật mạnh số lớn cho tổng có trọng số đại lượng ngẫu nhiên Kết luận Những kết đạt luận văn: luận văn trình bày luật mạnh số lớn tổng có trọng số biến ngẫu nhiên, xét điều kiện phải đặt lên dãy phức {bn } với |bn | → ∞, để thu hầu chắn n Xbnn X1 thuộc vào lớp hàm khả tích Luận văn tổng quát hóa kết Marcinkiewicz Zygmund mà E[|X1 |p ] < ∞ < p < Mở rộng luật mạnh số lớn Jamison, Orey, Pruitt áp dụng vào trung bình có trọng số trường hợp X1 đối xứng Đồng thời luận văn nghiên cứu luật mạnh số lớn dãy {Xn } dãy martingale hiệu Lp – bị chặn Một phát triển luật mạnh số lớn Azuma trung bình có trọng số dãy martingale bị chặn nghiên cứu luận văn Một hướng mở rộng luận văn nghiên cứu tính quán mạnh hồi quy tuyến tính với biến ngẫu nhiên nhiễu độc lập có phân phối Mặc dù cố gắng thời gian trình độ thân hạn chế nên luận văn thật khó tránh khỏi thiếu sót, mong nhận góp ý chân thành từ phía thầy, cô giáo bạn đọc để luận văn hoàn thiện 53 Tài liệu tham khảo [1] I Assani, Strong laws for weighted sums of independent identically distributed random variables, Duke Math J 88 (1997), 217–246 [2] I Assani, Convergence of the p-series for stationary sequences, New York J Math 3A (1997/8), 9–13 and 15–30 (electronic) [3] I Assani, Duality and the one-sided ergodic Hilbert transform, Chapel Hill Ergodic Theory Workshops, Contemp Math 356 (2004), 81–90 [4] I Assani, Z Buczolich, R.D Mauldin, An L1 counting problem in ergodic theory, J Anal Math 95 (2005), 221–241 [5] K Azuma, Weighted sums of certain dependent random variables, Tôhoku Math J 19 (1967), 357–367 [6] J Baxter, R Jones, M Lin, J Olsen, SLLN for weighted independent identically distributed random variables, J Theoret Probab 17 (2004), 165–181 [7] X Chen, Studies on consistency of LSE in China, J Stat Plan Inference 88 (2000), 181–188 [8] X Chen, Li-X Zhu, K-T Fang, Almost sure convergence of weighted sums, Statist Sinica (1996), 499–507 [9] Y.S Chow, Local convergence of martingales and the law of large numbers, Ann Math Statist 36 (1965), 552–558 [10] K.L Chung, Note on some strong laws of large numbers, American Journal of Mathematics 69 (1947), 189–192 [11] G Cohen C Cuny, On random almost periodic trigonometric polynomials and applications to ergodic theory, Annals of Probability 34 (2006), 39–79 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO [12] G Cohen, M Lin, A Tempelman, Consistency of the LSE in linear regression with stationary noise, Colloq Math 100 (2004), 29–71 [13] C Demeter A Quas, Weak-L1 estimates and ergodic theorems, New York J Math 10 (2004), 169–174 (electronic) [14] J L Doob, Stochastic Processes, John Wiley sons, New York (1953) [15] H Drygas, Weak and strong consistency of the least squares estimators in regression models, Z Wahrscheinlichkeitstheorie und Verw Gebiete 34 (1976), 119–127 [16] V Egorov, On the law of the iterated logarithm, Theory of Proba and its Appl 14 (1969), 693–699 [17] P Hartman, Normal distributions and the law of iterated logarithm, American J Math 63 (1941), 584–588 [18] C.C Heyde, On almost sure convergence for sums of independent random variables, Sankhy a Ser A 30 (1968), 353–358 [19] J D Hill, Summability of seqences of 0’s and 1’s, Annals Math 46 (1945), 556–562 [20] B Jamison, S Orey, W Pruitt, Convergence of weighted averages of independent random variables, Z Wahrscheinlichkeitstheorie und Verw Gebiete (1965), 40–44 [21] M Jin X Chen, Strong consistency of least squares estimate in multiple reqression when the error variance in infinite, Statist Sinnica (1999), 289-296 [22] M Ledoux M Talagrand, Probability in Banach spaces, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 3, Band 23, Springer-Verlag, Berlin – Heidelberg, (1991) [23] M Lin M Weber, Weighted ergodic theorems and strong laws of large numbers, Ergodic theory and dyn sys 27 (2007), 511–543 [24] J Marcinkiewicz A Zygmund, Sur les fonctions indépendantes, Fund Math 29 (1937), 60–90 (currently available at http://matwbn.icm.edu.pl) 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO [25] J Marcinkiewicz A Zygmund, Remarque sur la loi du logarithme itéré , Fund Math 29 (1937), 215–222 [26] M.B Marcus G Pisier, Characterizations of almost surely continuous p-stable random Fourier series and strongly stationary processes, Acta Math 152 (1984), 245–301 [27] F Móricz, Moment inequalities and the strong laws of large numbers, Z Wahrsch Ver.Geb 35 (1976), 299–314 [28] E Rio, Théorie asymptotique des processus aléatoires faiblement dépendants , Mathématiques & Applications 31, Springer-Verlag, Berlin, (2000) [29] S Sawyer, Maximal inequalities of weak type, Ann of Math 84 (1966), 157–174 [30] E.M Stein G.Weiss, Introduction to Fourier analysis on Euclidean spaces , Princeton University Press, Princeton, N.J., 1971 [31] A Tempelman, On linear regression estimates, 2nd Internat Symp on information theory (B N Petrov and T Csaki, editors) 329–354, Akadémiai Kiadó, Budapest (1973) Reprinted in Reproducing kernel Hilbert spaces Applications in statistical signal processing, (H L Weinert, editor), 301–326, Hutchinson Ross, Strasbour (1982) [32] T Tsuchikura, Notes on Fourier Analysis (XL): Remark on the Rademacher system, Proc Japan Acad 27 (1951), 141–145 [33] A Zygmund, Trigonometric series, corrected 2nd ed., Cambridge University Press, Cambridge, 1968 [34] Guy Cohen Michael Lin, Almost sure convergence of weighted sums of independent random variables, January (2009) DOI: 10.1090/conm/485/09491 [35] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên, Lý thuyết xác suất, NXB Giáo dục (2003) [36] Nguyễn Hắc Hải, Ngô Hoàng Long, Lý thuyết Martingale Martingale tiệm cận, NXB Đại học sư phạm (2016) 56 ... mạnh số lớn cho tổng có trọng số đại lượng ngẫu nhiên, chương trình bày có hệ thống làm sáng tỏ số kết luật mạnh số lớn tổng có trọng số đại lượng ngẫu nhiên 2.1 Nghiên cứu tổng có trọng số biến. .. Cho trọng số bị chặn với tổng phận kì, luật mạnh số lớn trọng số cho biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối với E |X1 | log+ |X1 | < ∞ (theo [21]) 18 Chương Luật mạnh số lớn cho tổng có trọng số đại... số lớn cho tổng có trọng số đại lượng ngẫu nhiên 2.1 Tổng có trọng số biến ngẫu nhiên độc lập phân phối 2.2 Tổng có trọng số martingale hiệu Lp - bị chặn 2.3 Tổng