TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN - TIN ————————–o0o————————– LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Tên đề tài BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG MŨ ĐỐI VỚI CÁC MARTINGALE TỰ CHUẨN HOÁ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành : Lý thuyết Xác suất Thống kê Toán học Mã số : 60.46.01.06 Học viên : Nguyễn Minh Hiếu Giảng viên hướng dẫn : TS Nguyễn Văn Hùng HÀ NỘI - 2017 I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Các trình tự chuẩn hoá phát sinh tự nhiên ứng dụng thống kê Là đơn vị tự do, chúng không bị ảnh hưởng thay đổi Hơn nữa, tự chuẩn hóa thường loại bỏ làm suy yếu giả thiết mô men Các chuẩn hóa định lý giới hạn cổ điển thường dãy số thực Các điều kiện mô men giả định có liên quan khác cần thiết đủ cho nhiều định lý giới hạn cổ điển Tuy nhiên, tình hình trở nên khác chuẩn hoá số mà dãy biến ngẫu nhiên Độ lệch lớn tự chuẩn hóa cho thấy không cần điều kiện mô men cho kết Một luật tự chuẩn hoá logarit lặp có giá trị cho tất phân bố miền hút luật chuẩn ổn định Điều cho thấy tự chuẩn hóa bảo tồn tính chất thiết yếu tốt nhiều so với chuẩn hóa xác định Một thí dụ điển hình dãy biến ngẫu nhiên tự chuẩn hóa thống kê Student, người ta gọi t-thống kê dựa mẫu quan sát đại lượng ngẫu nhiên độc lập, phân phân phối chuẩn (i.i.d.) X1 , X2 , Xn Vào năm 1908 William Gosset (“Student”) xét toán suy luận thống kê trung bình µ độ lệch chuẩn σ phân bố chưa biết Giả sử X = n−1 bình mẫu s2n = (n − 1)−1 n i=1 Xi trung n i=1 (Xi − X n )2 phương sai mẫu Gosset (1908) √ chứng minh kết phân phối thống kê Tn = n(X n − µ)/Sn có giới hạn phân phối chuẩn tắc n −→ ∞ Xi chuẩn Ngày nay, nghiên cứu lý thuyết xác suất thống kê toán học khai thác nhiều đến tự chuẩn hóa trình để tìm kết sâu sắc Đề tài luận văn đề cập đến hướng nghiên cứu Với lí trên, hướng dẫn TS Nguyễn Văn Hùng, định chọn đề tài luận văn tốt nghiệp thạc sĩ "Bất đẳng thức dạng mũ martingale tự chuẩn hoá ứng dụng" II MỤC TIÊU NGHIÊN CỨU Các martingale tự chuẩn hoá, biến phân toàn phần, biến phân bậc khả báo, bất đẳng thức dạng mũ martingale tự chuẩn hoá III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU • Khái niệm martingale, martingale • Một số bất đẳng thức martingale • Biến ngẫu nhiên nặng bên trái bên phải • Quá trình ngẫu nhiên tự chuẩn hoá IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU • Đọc sách, báo, luận văn liên quan đến đề tài, tìm tài liệu Internet • Sử dụng phương pháp phân tích để nắm vững vấn đề cách chi tiết • Sử dụng phương pháp tổng hợp, tổng hợp lại kiến thức, trình bày vấn đề theo trình tự logic để người đọc dễ theo dõi • Dựa vào phương pháp De La Pena trình tự chuẩn hoá V CẤU TRÚC LUẬN VĂN Nội dung luận văn bao gồm ba chương: Chương I: Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các khái niệm lý thuyết xác suất 1.2 Lý thuyết martingale 1.3 Một số đinh nghĩa, kết dùng cho luận văn Chương II: Bất đẳng thức dạng mũ cho martingale tự chuẩn hoá 2.1 Giới thiệu 2.2 Các bất đẳng thức mũ phía 2.3 Các bất đẳng thức mũ phía 2.4 Bất đẳng thức mũ cải tiến 2.5 Bất đẳng thức mũ với martingale hiệu Chương III: Ứng dụng 3.1 Hồi quy tuyến tính 3.2 Quá trình tự hồi quy 3.3 Quy trình phân nhánh VI KẾ HOẠCH THỰC HIỆN - Từ tháng 11 tháng 12 năm 2016: Gặp giảng viên hướng dẫn, nhận đề tài, lập bảo vệ đề cương - Từ tháng 01 đến tháng 05 năm 2017: Nghiên cứu kết hợp trao đổi với giảng viên hướng dẫn để viết luận văn - Tháng 06 năm 2017: Hoàn chỉnh luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm luận văn Thạc sĩ Lời cảm ơn Trong trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn "Bất đẳng thức dạng mũ martigale tự chuẩn hoá ứng dụng", nhận hướng dẫn, giúp đỡ động viên nhiều cá nhân tập thể, xin bày tỏ lòng biết ơn tới tất cá nhân tập thể tạo điều kiện giúp đỡ Đầu tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy cô giáo khoa Toán, đặc biệt thầy tổ Lý thuyết xác suất thống kê toán học-Trường Đại học Sư phạm Hà Nội mang đến cho kiến thức bổ ích năm học vừa qua công việc tới Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Văn Hùng - Người thầy trực tiếp hướng dẫn, tận tình bảo, giúp đỡ trình nghiên cứu hoàn thành luận văn Cuối xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè bên tôi, động viên khuyến khích trình thực đề tài nghiên cứu Tôi mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô, bạn bè người quan tâm để luận văn hoàn thiện phát triển Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2017 Nguyễn Minh Hiếu Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, bảo hướng dẫn TS Nguyễn Văn Hùng, luận văn chuyên ngành Lý Thuyết Xác Suất Và Thống Kê Toán Học với đề tài:"Bất đẳng thức dạng mũ martingale tự chuẩn hoá ứng dụng" hoàn thành nhận thức tìm hiểu thân tác giả Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa kết nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2017 Tác giả Nguyễn Minh Hiếu Mục lục LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các kiến thức lý thuyết xác suất 1.2 Lý thuyết Martingale 12 1.3 Một số định nghĩa, kết dùng cho luận văn 13 Bất đẳng thức dạng mũ với trình tự chuẩn hoá 15 2.1 Giới thiệu 15 2.2 Các bất đẳng thức dạng mũ hai phía 17 2.3 Bất đẳng thức dạng mũ phía 21 2.4 Bất đẳng thức mũ cải tiến 27 2.5 Bất đẳng thức dãy martingales hiệu 30 Ứng dụng 33 3.1 Hồi quy tuyến tính 33 3.2 Quá trình tự hồi quy 35 3.3 Quá trình phân nhánh 38 Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các kiến thức lý thuyết xác suất Luật số lớn, định lý giới hạn trung tâm luật loga lặp hình thành ba nghiên cứu dáng điệu tiệm cận tổng biến ngẫu nhiên độc lập Chúng liên quan chặt chẽ đến điều kiện mo-men giải ba phương thức hội tụ chuỗi biến ngẫu nhiên Yn đến biến ngẫu nhiên Y P Chúng ta nói Yn hội tụ đến Y theo xác suất, ký hiệu bởi: Yn −→ Y , với > 0, P (|Yn − Y | > ) −→ n → ∞ Chúng ta nói Yn hội tụ hầu khắp nơi tới Y (hoặc Yn hội tụ tới Y với xác suất 1), ký hiệu Yn −→ Y h.c.c Nếu P (limn→∞ Yn = Y ) = Chú ý hội tụ hầu khắp nơi tương đương với P (max |Yk − Y | > ) −→ k≥n n → ∞ với > cho Chúng ta nói Yn hội tụ theo phân phối (hoặc yếu) tới Y , viết D Yn −→ Y Yn ⇒ Y , P (Yn ≤ x) −→ P (Y ≤ x), điểm liên tục hàm phân phối Y D Nếu hàm phân phối P (Y ≤ x) liên tục, Yn −→ Y nghĩa P (Yn ≤ x) −→ P (Y ≤ x) x, mà suy hội tụ theo x, tức là, supx |P (Yn ≤ x) − P (Y ≤ x)| −→ n −→ ∞ Ba dạng hội tụ có liên quan với theo lược đồ sau: Chương Kiến thức chuẩn bị h.c.c P D Yn −→ Y ⇒ Yn −→ Y ⇒ Yn −→ Y D Các điều suy ngược lại nói chung không Tuy nhiên, Yn −→ c (c P số) tương đương với Yn → c D D Mối quan hệ khác kết định lý Slutsky: Nếu Yn → Y ξn −→ c , D D Yn + ξn → Y + c ξn Yn −→ cY Giả sử X1 , X2 , biến ngẫu nhiên độc lập phân phối (i.i.d.) giả sử Sn = n i=1 Xi Thì có luật mạnh số lớn Kolmogorov luật yếu số lớn Feller Luật số lớn, luật loga lặp Định lí 1.1.1 n−1 Sn → c < ∞ h.c.c E(|X1 |) < ∞, trường hợp c = E(X1 ) P Định lí 1.1.2 Để tồn dãy số cn cho n−1 Sn − cn → 0, điều kiện cần đủ limx→∞ xP (|X1 | ≥ x) = Trong trường hợp này, cn = E X1 I(|X1 | ≤ n) Luật số lớn Marcinkiewicz–Zygmund cho tốc độ hội tụ Định lý 1.1.1 Định lí 1.1.3 Giả sử < p < Nếu E(|X1 |) < ∞, thì: n1−1/p (n−1 Sn − E(X1 )) → h.c.c E(|X1 |p ) < ∞ Khi p = 2, kết luận Định lý 1.1.3 không Thay vào đó, có luật logarithm lặp (LIL) Hartman–Wintner , điều ngược lại thiết lập Strassen (1966) Định lí 1.1.4 Nếu EX12 ≤ ∞ EX1 = µ, V ar(X1 ) = σ thì: lim sup √ n→∞ Sn − nµ =σ 2n log log n h.c.c; Chương Kiến thức chuẩn bị lim inf √ n→∞ lim sup n→∞ Sn − nµ = −σ 2n log log n h.c.c; max1≤k≥n |Sk − kµ √ =σ 2n log log n h.c.c Ngược lại, tồn số hữu hạn a τ cho: lim sup √ n→∞ Sn − na =τ 2n log log n h.c.c a = E(X1 ) τ = V ar(X1 ) Định lý sau Kolmogorov cho trường hợp biến ngẫu nhiên độc lập không cần phân phối; xem Chow and Teicher (1988, Đoạn 10.2) Giả sử EXi = EXi2 < ∞ đặt Bn2 = n i=1 EXi Nếu Bn → ∞ Xn = o(Bn (log log Bn )−1/2 ) h.c.c., đó: lim sup n→∞ Sn √ =1 Bn 2n log log Bn h.c.c (1.1.1) Chú ý 1.1.5 Sự xuất Bn tự chuẩn hóa dãy biến ngẫu nhiên Xn Định lý giới hạn trung tâm Đối với dãy biến ngẫu nhiên Xi với trung bình hữu hạn, dãy Xi − E(Xi ) có trung bình không Vì vậy, không làm tính tổng quát, giả sử trung bình Xi Đối với biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối Xi , có Định lý giới hạn Trung tâm cổ điển (CLT) Định lí 1.1.6 Cho dãy X1 , , Xn độc lập có phân phối với E(X1 ) = V ar(X1 ) = σ < ∞, đó: S D √ n −→ N (0, 1) nσ Bất đẳng thức Berry–Esseen cho chúng biết tốc độ hội tụ Định lý giới hạn trung tâm √ Định lí 1.1.7 Cho Φ hàm phân phối chuẩn Wn = Sn /( nσ) đó: Chương Bất đẳng thức dạng mũ với trình tự chuẩn hoá cho x >  P T i=1 Xi  T i=1 Xi + T i=1 E[Xi |Fi−1 ] + E[ T i=1 Xi ≥ x ≤ 2/3 x−2/3 e−x /2 (2.5.3) T ∧n i=1 Xi Chứng minh Đầu tiên xem xét dãy n i=1 Xi 1I{T ≥i} sau: dãy viết x ∧ y = min{x, y} với x, y ∈ R Chú ý rằg Xi 1I{T ≥i} : i ≥ dãy martingales hiệu lọc F từ E[Xi 1I{T ≥1} |Fi−1 ] = 1I{T ≥1} E[Xi |Fi−1 ] = Và E[(Xi 1I{T ≥1} )2 ] ≥ E[Xi2 ] < ∞ Theo bổ đề 2.5.1 ta có: n λ2 Xi − E exp λ i=1 n n Xi2 + i=1 E[Xi2 ]Fi−1 ≤1 E[Xi2 ]Fi−1 ] ≤1 i=1 Trong đó: T ∧n E exp λ i=1 λ2 Xi − T ∧n T ∧n Xi2 + i=1 i=1 Bằng bổ đề Fatou Từ định lý 2.4.1 bổ đề 2.5.1 ta có điều phải chứng minh Nhận xét 2.5.3 De la Pena chứng minh rẳng dãy martingales hiệu với {Xi : i ≥ 1} định lý 2.5.2 thoả mãn, với x > 0: P | n i=1 (Xi + n i=1 Xi | E[Xi2 |Fi−1 ] + 2E[Xi2 ]) ≥x ≤ √ 2e−x /4 (2.5.4) Bất đẳng thức (2.5.3) giới hạn chặt chẽ bất đẳng thức (2.5.4) với x ≥ Nhận xét 2.5.4 Là trường hợp đặc biệt {Xi : i ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên độc lập với trung bình E[Xi2 ] ≤ ∞ với i, (2.5.2) (2.5.3) giữ nguyên với E[Xi2 |Fi−1 ] thay E[Xi2 ] Nếu σ = E[Xi2 ] ≤ ∞] với i, với x >  P T i=1 Xi +  T i=1 Xi T i=1 E[Xi |Fi−1 ] + E[ T i=1 Xi ≥ x ≤ 2/3 x−2/3 e−x /2 (2.5.5) 31 Chương Bất đẳng thức dạng mũ với trình tự chuẩn hoá De la Pena nói rẳng với dãy {Xi : i ≥ 1} P n i=1 Xi | n i=1 E[Xi ] + | n i=1 EXi ≥x ≤ √ 2e−x /8 (2.5.6) Bất đẳng thức (2.5.3) có giới hạn chặt chẽ bất đẳng thức (2.5.6) với x vô lớn Nhận xét 2.5.5 Bổ đề A.4 De la pena, Klass and Lai (2007) chứng minh rẳng dãy {Xi : i ≥ 1} biến ngẫu nhiên đối xứng có điều kiện tương thích với lọc F = {Fi : i ≥ 1} n E exp λ i=1 λ2 Xi − n Xi2 ≤ 1, λ ∈ R i=1 Theo định lý (2.5.2) với x > ta có:   n | i=1 Xi | ≥ x ≤ min{21/3 , (2/3)2/3 x−2/3 }e−x /2 P n n 2 i=1 E[Xi ] i=1 Xi + 32 Chương Ứng dụng 3.1 Hồi quy tuyến tính Xét hồi quy ngẫu nhiên tuyến tính định, với n ≥ 0, Xn+1 = θφn + εn+1 (3.1.1) Ở Xn , φn εn tương ứng quan sát, biến hồi quy điều khiển Chúng giả sử (φn ) dãy biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối Chúng giả định (εn ) dãy biến ngẫu nhiên có phân phối, với trung bình phương sai σ > Hơn nữa, cho rằng, với n ≥ 0, Biến ngẫu nhiên εn+1 độc lập với Fn Fn = σ(φ0 , ε1 , , φn−1 , εn ) Để ước lượng tham số θ, sử dụng ước bình phương nhỏ θn định với n ≥ 1, bởi: θn = n k=1 φk−1 Xk n k=1 φk−1 (3.1.2) Ta suy từ (3.1.1) (3.1.2): θn − θ = σ Mn n (3.1.3) n Mn = n φk−1 εk n = σ k=1 φ2k−1 k=1 33 Chương Ứng dụng H L hàm tương ứng sinh dãy (φ2n ) (ε2n ), với t ∈ R, cho bởi: H(t) = log E[exp(tφ2n )] L(t) = log E[exp(tε2n )] Hệ 3.1.1 Giả sử L hữu hạn số đoạn [0, c] với c > biểu thị I Fenchel-Legendre biến đổi [0, c], I(x) = sup {xt − L(t)} 0≤t≤c Với n ≥ 1, x > y > 0, có: P(|θn − θ| ≥ x) ≤ inf exp p>1 (p − 1)x2 n H − p 2σ (1 + y) + exp −nI σ2y n (3.1.4) Chú ý 3.1.2 Hệ 3.1.1 (φn , εn ) chuỗi độc lập hệ vectơ ngẫu nhiên phân phối R2 cho phân phối biên εn đối xứng Bằng cách sử dụng (2.3.7), bất đẳng thức (3.1.4) giữ nguyên thay (1 + y) y đối số H Chú ý 3.1.3 Khi (εn ) bị chặn, vế phải (3.1.4) biến so sánh trực tiếp [Mn ] với n Ví dụ, Giả sử (εn ) phân phối quy tâm Bernoulli B(p) phân phối với < p < Nếu r = max(p, q), ta có với n ≥ 0, [M ]n ≤ r2 n pq Do trực tiếp suy từ (2.2.7) mà với n ≥ Và x > 0, P(|θn − θ| ≥ x) ≤ exp n x2 H − 2 4r Hơn giả sử (φn ) phân phối chuẩn N (0, τ ) phân phối với phương sai τ > sau suy với n ≥ x > 0, n τ x2 P(|θn − θ| ≥ x) ≤ exp − log + 2r2 Chứng minh Từ (2.2.7) với n ≥ 1, x > Và y > 0, P(|θn − θ| ≥ x) = P |Mn | ≥ x n ≤ Pn (x, y) + Qn (y) σ2 34 Chương Ứng dụng Qn (y) = P([M ]n > y n ) 1/p x2 Pn (x, y) = inf E exp −(p − 1) n p>1 2σ (1 + y) (p − 1)x2 n = inf exp H − p>1 p 2σ (1 + y) , Ngoài với y > Và ≤ t ≤ c, n n ε2k Qn (y) ≤ P 2 ε2k > σ y ≤ exp(−σ ty)E exp t k=1 , k=1 ≤ exp(−σ ty + nL(t)) ≤ exp −nI σ y n , Vậy ta có điều phải chứng minh Hệ 3.1.1 3.2 Quá trình tự hồi quy Xét trình tự hồi quy, với n ≥ 0, cho Xn+1 = θXn + εn+1 (3.2.1) Xn Và εn tương ứng quan sát nhiễu điều khiển, giả định (εn ) dãy biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối chuẩn N (0, σ ) phân phối mà σ > Quá trình gọi ổn định |θ| < 1, không ổn định |θ| = bùng nổ |θ| > ước lượng tham số chưa biết θ ước lượng bình phương nhỏ công thức Yule-Walker, với n ≥ 1, θn = n k=1 Xk−1 Xk n k=1 Xk−1 Và θn = n k=1 Xk−1 Xk n X k=0 k (3.2.2) Nó hiểu θn θn hội tự hầu chắn đến θ người ta tìm thấy [20] Trong trường hợp ổn định |θ| < 1, nguyên tắc độ lệch lớn đặt [6] xác hơn, đặt √ θ − θ2 + a= Và 35 b= θ+ √ θ2 + Chương Ứng dụng Giả sử X0 độc lập (εn ) với phân phối N (0, σ /(1 − θ2 )) Do đó, (θn ) (θn ) đáp ứng nguyên tắc độ lệch lớn với hàm tương ứng tỷ lệ    log + θ − 2θx x ∈ [a, b], − x2 I(x) =   log | θ − 2x | Trường hợp khác,    log J(x) =   +∞ + θ2 − 2θx − x2 x ∈]− 1, 1[, Trường hợp khác Do thường để đặt cho công thức Yule-Walker θn trường hợp ổn định, không ổn địng bùng nổ [7] Vẫn nhiều việc phải làm cho ước lượng bình phương nhỏ θn Mục tiêu cho giá trị θ bất đằng thức mũ đơn giản cho θn θn Chúng ta giả sử rằng: X0 độc lập (εn ) với N (0, τ ) phân phối mà τ ≥ σ Hệ 3.2.1 Với n ≥ x > 0, có P(|θn − θ| ≥ x) ≤ exp − nx2 2(1 + yx ) (3.2.3) yx phương pháp phù hợp phương trình h(yx ) = x2 h hàm h(x) = (1 + x) log(1 + x) − x Hơn nữa, với n ≥ Và x > 0, có P(|θn − θ| ≥ x + |θ|) ≤ exp − nx2 2(1 + yx ) (3.2.4) Chứng minh Bây tập trung chứng minh hệ 3.2.1 từ (3.2.1) (3.2.2) với n ≥ 1, θn − θ = σ Mn n (3.2.5) n Mn = n Xk−1 εk n = σ Và 2 Xk−1 k=1 k=1 Nhiễu định hướng (εn ) là chuỗi độc lập phân phối với biến ngẫu nhiên với phân phối N (0, σ ) Do đó, với n ≥ 1, phân phối số gia 36 Chương Ứng dụng ) cho (Mn ) martingale ∆Mn = Xn−1 εn cho Fn−1 N (0, σ Xn−1 Gaussian Do đó, suy từ bất đẳng thức (2.3.10) với n ≥ Và x > 0, x x n = 2P Mn ≥ n , σ σ 1/p x2 E exp −(p − 1) n (3.2.6) 2σ P(|θn − θ| ≥ x) = P |Mn | ≥ ≤ inf p>1 Kết tương tự [16], [21], [22] hoàn thành nửa chứng minh cần giới hạn phù hợp cho vế phải (3.2.6) Với √ t ∈ R ta có − 2σ t > 0, Nếu α = 1/ − 2σ t, ta suy từ (3.2.1), với n ≥ 1, E[exp(tXn2 )|Fn−1 ] = exp(tθ2 Xn−1 )E[exp(2θtXn−1 εn + tε2n )|Fn−1 ], = exp(tθ2 Xn−1 ) √ σ 2π exp − R x2 exp(2θtXn−1 x)dx 2α2 σ Do đó, β = 2tασθXn−1 , ta thấy đổi biến y = x/ασ ta có E[exp(tXn2 )|Fn−1 ] = α exp(tθ2 Xn−1 ) √ 2π + = α exp tθ2 Xn−1 exp(− R β2 y2 + βy) dy, 2 ) = α exp(tα2 θ2 Xn−1 đó, với t < n ≥ 1, E[exp(tXn2 )|Fn−1 ] ≤ α (3.2.7) Hơn X0 N (0, τ ) phân phối với τ ≥ σ , E[exp(tX02 )] ≤ α Ta có từ (3.2.7) với tính chất tháp kỳ vọng điều kiện với t < n ≥ 0, E[exp(t n )] ≤ (1 − 2σ t)−n/2 (3.2.8) Do đó, kết hợp (3.2.6) (3.2.8) suy với giá trị t = −(p − 1)x2 /2σ đổi biến y = (p − 1)x2 với x > n ≥ 1, P(|θn − θ| ≥ x) ≤ inf exp − y>0 37 nx2 (y) Chương Ứng dụng công thức cho (y) = log(1 + y) x2 + y rõ ràng có (y) = x2 − h(y) (1 + y)(x2 + y)2 h(y) = (1 + y) log(1 + y) − y Ta thấy hàm h biến đổi Cramer phân phối Poisson trung tâm với biến Cho yx ngiệm dương phương trình h(yx ) = x2 Giá trị yx lớn hàm số lựa chọn tự nhiên dễ dàng dẫn đến (3.2.3) Cuối cùng, suy từ (3.2.2) (3.2.3) với x > n ≥ 1, P(|θn − θ + θfn | ≥ x) ≤ exp − nx2 2(1 + yx ) (3.2.9) biến ngẫu nhiên ≤ fn ≤ Do đó, (3.2.9) suy (3.2.4) chứng minh từ 3.2.1 Chú ý 3.2.2 bất đằng thức (3.2.3) đơn giản x vừa đủ bé Thực tế, ta thấy với < x < 1, h(x) < x2 /4 Do đó, trực tiếp suy từ kết (3.2.3) với < x < 1/2, P(|θn − θ| ≥ x) ≤ exp − nx2 2(1 + 2x) Hơn nữa, θ > 0, ta suy từ (3.2.2) với x > 0, nx2 P(θn − θ ≥ x) ≤ exp − 2(1 + yx ) 3.3 Quá trình phân nhánh Xét trình Galton-Watson X0 = 1, với n ≥ 1, cho Xn−1 Xn = Yn,k k=1 38 (3.3.1) Chương Ứng dụng (Yn,k ) chuỗi độc lập có phân phối, biến ngẫu nhiên có giá trị nguyên dương (Yn,k ), với trung bình hữu hạn m phương sai σ ,được gọi thực phân phối phân nhánh sau giả sử m > để ước tính tập có nghĩa m, sử dụng công thức Lotka-Nagaev or công thức Harris với n ≥ 1, Xn mn = Xn−1 mn = Và n k=1 Xk n k=1 Xk−1 (3.3.2) Không tính tổng quát, giả sử thiết lập dừng trình (Xn ) không đáng kể Do công thức Lokta-Nagaev mn định nghĩa đủ Điều có nghĩa mn mn hội tụ hầu chắn tới m thay đổi đưa [2], [13], [14] Hơn đặc tính độ lệch lớn kết hợp với (mn ) tìm thấy [3], [18], [19] Mục tiêu thiết lập giống phần trước, bất đẳng thức mũ cho mn mn Biểu diễn hàm L liên kết với phân phối phân nhánh trung tâm, với t ∈ R, L(t) = log E[exp(t(Yn,k − m))] Hệ 3.3.1 Giải sử L hữu hạn đoạn [−c, c] với c > cho I ánh xạ Fenchel-Legendre, I(x) = sup {xt − L(t)} −c≤t≤c với n ≥ Và x > 0, P(|mn − m| ≥ x) ≤ 2E[exp(−J(x)Xn−1 )] (3.3.3) J(x) = min(I(x), I(−x)) Hơn có 1/p P(|mn − m| ≥ x) ≤ inf E exp(−(p − 1)J(x)Xn−1 ) p>1 (3.3.4) (3.3.5) n Xk , có với n ≥ x > 0, Ngoài nếu: Sn = k=0 1/p P(|mn − m| ≥ x) ≤ inf E exp(−(p − 1)J(x)Sn−1 ) p>1 39 Chương Ứng dụng Chứng minh Ta chứng minh hệ 3.3.1 Chúngta tập trung vào công thức Harris bới chất giống chứng minh công thức Lotka-Nagaev Trước hết, mối quan hệ (3.3.1) viết lại sau: Xn = mXn−1 + ξn (3.3.6) where ξn = Xn − E[Xn |Fn−1 ] đó, có từ (3.3.2) với (3.3.6) với n ≥ 1, Mn mn − m = Sn−1 n where ξk Mn = k=1 Hơn nữa, với n ≥ ≤ t ≤ c, E[exp(tξn )|Fn−1 ] = exp(Xn−1 L(t)) E[exp(tMn − L(t)Sn−1 )] = (3.3.7) Chúng ta chứng minh (3.3.5) Với x > 0, cho Dn = {|mn − m| ≥ x} Chúng ta có phân tích Dn = Dn+ ∪ Dn− Dn+ = {mn − m ≥ x} Dn− = {mn − m ≤ −x} Theo bất đẳng thức Holder với (3.3.7), ta có với ≤ t ≤ c q > 1, t Mn − q t ≤ E exp Mn − q P(Dn+ ) ≤ E exp tx Sn−1 1IDn+ , q L(t) Sn−1 exp (L(t) − tx)Sn−1 1IDn+ , q q p E exp (L(t) − tx)Sn−1 q ≤ 1/p (3.3.8) lấy infimum khoảng [0, c], suy từ (3.3.8) P(Dn+ ) ≤ E exp −(p − 1)I(x)Sn−1 1/p (3.3.9) Tương tự ta thấy P(Dn− ) ≤ E exp −(p − 1)I(−x)Sn−1 Cuối cùng, (3.3.5) suy trực tiếp từ (3.3.9) (3.3.10) 40 1/p (3.3.10) Chương Ứng dụng Chú ý 3.3.2 Bất đẳng thức phía (3.3.4) giữ nguyên kết cho công thức Harris mn Sn ≥ Xn Mặt khác, để xác định bên phải (3.3.3), (3.3.4) or (3.3.5), điều cần thiết để giới hạn cung cấp biểu thức rõ ràng mô men sinh hàm Xn người ta dễ dàng tính toán phân phối phân nhánh hình học G(p) phân phối với tham số < p < Thực tế, trường hợp đặc biệt, phương pháp phân nhánh m = 1/p theo công thức (7.3) [14] với < s < 1, E[sXn ] ≤ pn s 1−s Do đó, với n ≥ Và x > 0, ta có bất đẳng thức đơn giản 2pn exp(−J(x)) P(|mn − m| ≥ x) ≤ p(exp(−J(x)) − 1) Nếu phân phối nhánh hình học, để xác định hàm ước lượng Xn sử dụng định lý 1, trang 80 of [2] để đưa phân phối xấp xỉ gần Xn dựa vào phân phối giới hạn Xn n→∞ mn W = lim 41 h.c.c Chương Ứng dụng KẾT LUẬN Bản luận văn trình bày số bất đẳng thức dạng mũ cho trình martingale tự chuẩn hóa bất đẳng thức dạng mũ hai phía, phía nêu số ứng dụng số lĩnh vực khác lý thuyết xác suất thống kê toán học, định lý giới hạn, nghiên cứu độ lệch lớn, trình phân nhánh, hồi quy tuyến tính, Mặc dù cố gắng thời gian trình độ thân hạn chế nên luận văn thật khó tránh khỏi thiếu sót, mong nhận góp ý chân thành từ phía thầy, cô giáo bạn đọc để luận văn hoàn thiện 42 Tài liệu tham khảo [1] Adell, J A and Jodrá, P The median of the Poisson distribution, Metrika, vol 61, p 337-346, 2005 [2] Athreya, K B and Ney P E Branching processes, Springer-Verlag, Berlin, 1972 [3] Athreya, K B and Vidyashankar A N Large deviation rates for branching processes I Single type case, Annals of Applied Probability, vol 4, p 779-790, 1994 [4] Azuma, K Weighted sums of certain dependent random variables, Tôkuku Mathematical Journal, vol 19, p 357-367, 1967 [5] Bennett, G Probability inequalities for the sum of independent random variables, Journal of the Amer Statist Assoc., vol 57, p 33-45, 1962 [6] Bercu, B., Gamboa, F and Rouault, A Large deviations for quadratic forms of stationary Gaussian processes Stochastic Processes and their Applications, vol 71, p 75-90, 1997 [7] Bercu, B On large deviations in the Gaussian autoregressive process: stable, unstable and explosive cases, Bernoulli, vol 7, p 299-316, 2001 [8] De la Pe˜ na, V H A general class of exponential inequalities for martingales and ratios Annals of Probability, vol 27, p 537-564, 1999 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO [9] De la Pe˜ na, V H., Klass, M J and Lai, T L Self-normalized processes: exponential inequalities, moments bounds and iterated logarithm law, Annals of Probability, vol 32, p 1902-1933, 2004 [10] Dzhaparidze, K and Van Zanten, J H On Bernstein-type inequalities for martingales Stochastic Processes and their Applications, vol 93, p 109-117, 2001 [11] Van de Geer, S Exponential inequalities for martingales, with application to maximum likelihood estimation for counting processes Annals of Statistics, vol 23, p 1779-1801, 1995 [12] Freedman, D A On tail probabilities for martingales Annals of Probability, vol 3, p 100-118, 1975 [13] Guttorp, P Statistical inference for branching processes, John Wiley, New York, 1991 [14] Harris, T.E The theory of branching processes, Springer-Verlag, Berlin, 1963 [15] Hoeffding, W J Probability inequalities sums of bounded random variables, Journal of the Amer Statist Assoc., vol 58, p 713-721, 1963 [16] Liptser, R and Spokoiny, V Deviation probability bound for martingales with applications to statistical estimation Statistic and Probability Letters, vol 46, p 347-357, 2000 [17] McDiarmid, C Concentration, in Probabilistic methods for algorithmic discrete mathematics, Springer-Verlag, Berlin, p 195-248, 1998 [18] Ney, P E and Vidyashankar A N Harmonic moments and large deviation rates for supercritical branching processes, Annals of Applied Probability, vol 13, p 475-489, 2003 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO [19] Ney, P E and Vidyashankar A N Local limit theory and large deviations for supercritical branching processes, Annals of Applied Probability, vol 14, p 1135-1166, 2004 [20] White, J S The limit distribution of the serial correlation in the explosive case Annals of Mathematical Statistics, vol 29, p 1188-1197, 1958 [21] Worms, J Moderate deviations for stable Markov chains and regression models Electronic Journal of Probability, vol 4, p 1-28, 1999 [22] Worms, J Large and moderate deviations upper bounds for the Gaussian autoregressive process Statistic and Probability Letters, vol 51, p 235243, 2001 45 ... Chương II: Bất đẳng thức dạng mũ cho martingale tự chuẩn hoá 2.1 Giới thiệu 2.2 Các bất đẳng thức mũ phía 2.3 Các bất đẳng thức mũ phía 2.4 Bất đẳng thức mũ cải tiến 2.5 Bất đẳng thức mũ với martingale. .. "Bất đẳng thức dạng mũ martingale tự chuẩn hoá ứng dụng" II MỤC TIÊU NGHIÊN CỨU Các martingale tự chuẩn hoá, biến phân toàn phần, biến phân bậc khả báo, bất đẳng thức dạng mũ martingale tự chuẩn. .. 2.2 Các bất đẳng thức dạng mũ hai phía 17 2.3 Bất đẳng thức dạng mũ phía 21 2.4 Bất đẳng thức mũ cải tiến 27 2.5 Bất đẳng thức dãy martingales