TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN - TIN ————————–o0o————————– LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM CHO CÁC MARTINGALE Chuyên ngành Mã số Học viên Giảng viên hướng dẫn : : : : Lý thuyết Xác suất Thống kê Toán học 60.46.01.06 Đào Thị Vân Anh TS Nguyễn Văn Hùng HÀ NỘI - 2017 Mục lục Lời cảm ơn Lời nói đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các khái niệm 1.2 Các dạng hội tụ 1.3 Phát biểu định lý giới hạn trung tâm cho trường hợp biến ngẫu nhiên độc lập 1.4 Định nghĩa martingale, kết luận liên quan 1.4.1 Martingale 1.4.2 Các bất đẳng thức 1.4.3 Các định lý hội tụ 6 10 10 11 12 Định lý giới hạn trung tâm cho martingale 2.1 Martingale bình phương khả tích 2.2 Định lý giới hạn trung tâm cho dãy martingale bình phương khả tích 2.2.1 Định lý giới hạn trung tâm cho dãy martingale bình phương khả tích 2.2.2 Định lý giới hạn trung tâm tổng quát 2.3 Một số mở rộng định lý giới hạn trung tâm 2.3.1 Các kết dạng Raikov định lý giới hạn trung tâm matingale 2.3.2 Martingale nghịch tổng đuôi martingale 2.4 Tốc độ hội tụ định lý giới hạn trung tâm 14 14 Tài liệu tham khảo 60 16 16 29 33 33 40 44 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn thầy cô Bộ môn Toán ứng dụng, Khoa Toán-Tin giúp đỡ em trình học tập trình hoàn thành khóa luận Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến TS Nguyễn Văn Hùng, người tận tình hướng dẫn giúp đỡ em trình nghiên cứu để khóa luận em hoàn thành thời hạn Mặc dù em có nhiều cố gắng song thời gian trình độ nhiều hạn chế nên khóa luận tránh khỏi thiếu sót Em mong thầy cô bạn nhận xét đóng góp ý kiến để khóa luận phát triển hoàn chỉnh Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2017 Đào Thị Vân Anh MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn kết nghiên cứu cá nhân Các số liệu tài liệu trích dẫn luận văn trung thực Kết nghiên cứu không trùng với công trình công bố trước Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa kết nhà khoa học với trân trọng biết ơn Tôi chịu trách nhiệm với lời cam đoan Hà Nội, tháng năm 2017 Tác giả luận văn Đào Thị Vân Anh MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Có lẽ thành tựu to lớn xác suất đại lý thuyết thống giới hạn tổng biến ngẫu nhiên độc lập Thực tế thống kê toán học thường xem bắt nguồn từ sớm với luật giới hạn Bernoulli Moivre Lý thuyết toán luật giới hạn trung tâm cho martingale xem mở rộng lý thuyết độc lập có nguồn gốc từ kết giới hạn trường hợp độc lập Trong luận văn này, em chọn đề tài "Định lý giới hạn trung tâm cho martingale" để trình bày cách chi tiết có hệ thống kết quan trọng định lý giới hạn trung tâm martingale trường hợp mở rộng tổng biến ngẫu nhiên độc lập làm sáng tỏ số kết chứng minh số định lý giới hạn martingale II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Hệ thống lại kết quan trọng định lý giới hạn trung tâm nghiên cứu tốc độ hội tụ định lý giới hạn trung tâm III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU • Martingale, martingale ngược, martingale bình phương khả tích • Phương sai có điều kiện • Định lý giới hạn trung tâm cho martingale, kết dạng Raikov • Các tổng đuôi martingale IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU • Đọc sách, báo, luận văn liên quan đến đề tài, tìm tài liệu Internet • Sử dụng phương pháp phân tích để nắm vững vấn đề cách chi tiết • Sử dụng phương pháp tổng hợp, tổng hợp lại kiến thức, trình bày vấn đề theo trình tự logic để người đọc dễ theo dõi MỤC LỤC V CẤU TRÚC LUẬN VĂN Luận văn bao gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo nội dung luận văn bao gồm hai chương: Chương I: Kiến thức chuẩn bị, nội dung chương kiến thức chuẩn bị luận văn, khái niệm kết martingale, dạng hội tụ, định lý giới hạn trung tâm cho biến ngẫu nhiên độc lập số định lý hội tụ quan trọng martingale Chương II: Định lý giới hạn trung tâm cho martingale, chương trình bày định lý giới hạn trung tâm cho dãy martingale bình phương khả tích Phần 2.2.1 2.2.2 đưa điều kiện đủ cho định lý giới hạn trung tâm Vấn đề hội tụ moment đề cập phần 2.3.1 phần 2.3.2 trình bày định lý giới hạn trung tâm cho martingle nghịch, tổng đuôi martingle Trong phần 2.4, luận văn nghiên cứu tốc độ hội tụ định lý giới hạn trung tâm Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các khái niệm Giả sử Ω tập tùy ý khác rỗng Ký hiệu 2Ω tập hợp gồm tất tập Ω Định nghĩa 1.1.1 (σ -đại số) Lớp A ⊂ Ω gọi đại số nếu: (i) Ω ∈ A; (ii) Nếu A ∈ A, Ac = Ω \ A ∈ A; (iii) Nếu A, B ∈ A A ∩ B ∈ A A ∪ B ∈ A Nếu A đại số thỏa mãn: với dãy (An ) ⊂ A, ta có ∞ ∞ An ∈ A, n=1 An ∈ A, n=1 A gọi σ -đại số (Ω, A) gọi không gian đo Định nghĩa 1.1.2 (Không gian xác suất) Bộ ba (Ω, F, P) gọi không gian xác suất (Ω, F) không gian đo ánh xạ P : F → [0, 1] thỏa mãn: P(Ω) = 1, P(∅) = ∞ P( n=1 ∞ An ) = P(An ), n=1 với dãy (An ) phần tử giao đôi rỗng F Ánh xạ P gọi độ đo xác suất không gian đo (Ω, F) Định nghĩa 1.1.3 (Kỳ vọng).Giả sử ξ biến ngẫu nhiên Nếu tích phân |ξ(w)|P(dw) tồn hữu hạn biến ngẫu nhiên ξ gọi khả Ω |ξ(w)|P(dw) kỳ vọng ξ tích ký hiệu E(ξ) = Ω 1.2 Các dạng hội tụ Định nghĩa 1.1.4 (Tính độc lập) Giả sử (Ω, F, P) không gian xác suất Họ hữu hạn {Fi , i ∈ I} σ -đại số F gọi độc lập P( Ai ) = i∈I P(Ai ) i∈I dãy Ai ∈ Fi , i ∈ I Họ biến ngẫu nhiên Xi , i ∈ I , gọi độc lập họ σ -đại số sinh chúng {σ(Xi ), i ∈ I} độc lập Họ biến cố Ai , i ∈ I , gọi độc lập họ biến ngẫu nhiên {IAi , i ∈ I} độc lập 1.2 Các dạng hội tụ Với p>0 biến ngẫu nhiên ξ , ký hiệu ξ p = (E[|ξ|p ])1/p Nếu ξ p < ∞ ξ gọi khả tích bậc p ký hiệu Lp tập hợp tất biến ngẫu nhiên khả tích bậc p Giả sử (ξn ) dãy biến ngẫu nhiên xác định không gian xác suất (Ω, F, P) Dãy (ξn ) gọi • hội tụ hầu chắn (h.c.c) đến biến ngẫu nhiên ξ P[ lim ξn = ξ] = 1, n→∞ h.c.c ký hiệu ξn −→ ξ • hội tụ theo xác suất đến biến ngẫu nhiên ξ lim P[|ξn − ξ| > ] = với n→∞ p > 0, ký hiệu ξn −→ ξ • hội tụ theo trung bình bậc p, p>0, đến biến ngẫu nhiên ξ E|ξn |p < ∞ Lp lim E[|ξn − ξ|p = 0, ký hiệu ξn −→ ξ Khi p=1, ta nói ξn hội tụ theo n→∞ trung bình đến ξ d • hội tụ yếu hay hội tụ theo phân phối đến biến ngẫu nhiên ξ , ký hiệu ξn −→ ξ , với hàm f : R → R liên tục bị chặn, ta có lim E(f (ξn )) = n→∞ E(f (ξ)) Mệnh đề 1.2.1 Giả sử (ξn ) ξ biến ngẫu nhiên xác định không gian xác suất (Ω, F, P) h.c.c Lp p (i) Nếu ξn −→ ξ ξn −→ ξ ξn −→ ξ h.c.c (ii) ξn −→ ξ với > 0, ta có lim P[sup |ξk − ξ| > ] = n k≥n 1.3 Phát biểu định lý giới hạn trung tâm cho trường hợp biến ngẫu nhiên độc lập p (iii) ξn −→ ξ với dãy (nk ) dãy số tự nhiên, tồn h.c.c dãy (mk ) dãy (nk ) cho ξmk −→ ξ Định nghĩa 1.2.1 (Khả tích đều) Giả sử H họ biến ngẫu nhiên khả tích không gian xác suất (Ω, F, P) Họ H gọi khả tích lim sup λ→∞ ξ∈H [|ξ|>λ] |ξ|dP = Định nghĩa 1.2.2 (Hàm đặc trưng) Giả sử ξ = (ξ1 , ξd ) vectơ ngẫu nhiên Hàm ϕξ : Rd → C xác định d ϕξ (t) = E(exp(i tj ξj )), t = (t1 , td ) ∈ Rd , j=1 gọi hàm đặc trưng ξ Hàm đặc trưng công cụ quan trọng để nghiên cứu phân phối vecto ngẫu nhiên kết sau: Mệnh đề 1.2.2 (i) Giả sử ξ η hai vectơ ngẫu nhiên d-chiều Khi ξ η có phân phối ϕξ (t) = ϕη (t) với t ∈ Rd (ii) Giả sử ξn dãy vectơ ngẫu nhiên d-chiều ξ vectơ ngẫu nhiên d-chiều Khi ξn hội tụ yếu đến ξ lim ϕξn (t) = ϕξ (t) n→∞ với t ∈ 1.3 Rd Phát biểu định lý giới hạn trung tâm cho trường hợp biến ngẫu nhiên độc lập Cho dãy tam giác (X1n , X2n , Xnn ), n = 1, 2, gồm biến ngẫu nhiên cho n, biến ngẫu nhiên X1n , X2n , Xnn độc lập  EXkn = 0, (k = 1, , n) n  (1.1) D(Xkn ) = k=1 Đặt n Sn = Xkn , k=1 σkn = D(Xkn ), k ≤ n 1.3 Phát biểu định lý giới hạn trung tâm cho trường hợp biến ngẫu nhiên độc lập Định lí 1.3.1 Giả sử {Xkn , k = 1, , n}, n=1,2, dãy biến ngẫu nhiên độc lập thỏa mãn điều kiện (1.1) Khi đó, với s>2 đó, n (2) Mn Emin(|Xkn |2 , |Xkn |s ) → = (1.2) k=1 x FSn (x) → Φ(x) = √ 2π t2 e− dt (1.3) −∞ theo x ∈ R Định lí 1.3.2 (Định lý Lindeberg) Nếu dãy {Xkn , k = 1, , n} độc lập thỏa mãn (1.1) điều kiện Lindeberg (2) Ln ( ) → 0, (∀ > 0) FSn (x) → Φ(x) theo x • Áp dụng Ta xét n phép thử Bernoulli độc lập với xác suất thành công p Ký hiệu A biến cố thành công Đặt Xk = A xuất phép thử thứ k A không xuất phép thử thứ k, k = 1, , n Ta thấy (Xk ) dãy biến ngẫu nhiên độc lập phân phối nhận hai giá trị 0, cho P(X1 = 1) = p, P(X1 = 0) = q = − p, n(A) = X1 + X2 + + Xn số lần biến cố A xuất n phép thử Bernoulli độc lập với xác suất thành công p = P(A) • Bất đẳng thức Berri-Essen cho ta p2 + q p2 + q < √ sup |Fn (x) − Φ(x)| ≤ C √ npq npq −∞ 0) N2 ≤ x + (δn ) Đặt x=0, P N1 + 21/2 δn1/2 I (N1 > 0) N2 ≤ = P (N1 ≤ 0) + P < N1 ≤ −21/2 δn1/2 N2 suy sup −∞≤x≤∞ |P (Snn ≤ x) − Φ (x)| ≥ P < N1 ≤ −21/2 δn1/2 N2 + (δn ) = (1/2)P < N1 ≤ 21/2 δn1/2 |N2 | + (δn ) = (1/2)π −1/2 δn1/2 E |N2 | + (δn ) = 2−1/2 π −1 δn1/2 + (δn ) (Ở ta sử dụng P (0 < N1 < ε) = (2π)−1/2 ε + ε2 ε ↓ ) Ta sup −∞ ε) ≥ P = |t−1| ε) (1 − ε)−1/2 x − ε1/2 z e−z /4 dz − P (|T − 1| > ε) ≥ Φ (x) − (2ε)1/2 − P (|T − 1| > ε) (2.65) Quay lại chứng minh định lý 2.4.1, theo Skorokhod ta suy tồn chuyển động Brownian chuẩn tắc W biến ngẫu nhiên Ti không âm ≤ i ≤ n, thỏa mãn Si = W (Ti ) , ≤ i ≤ n Bổ đề 2.4.1 khẳng định với n, x ∆ > 0, |P (Sn ≤ x) − Φ (x)| ≤ 2∆1/2 + P Tn − Vn2 > ∆ + P Vn2 − > ∆ (2.66) Cho τ1 = T1 τi = Ti −Ti−1 , ≤ i ≤ n Với τi Gi đo E (τi |Gi−1 ) = E Xi2 |Fi−1 hầu chắn, với Gi σ - đại số sinh S1 , , Si W (t) với t ≤ Ti Vì n Tn − Vn2 (τi − E (τi |Gi−1 )) = tổng martingale hiệu Với martingale với hiệu Zi , ≤ i ≤ n, p ≥ ta có p n Zi E ≤ 18pq 1/2 p/2 n p Zi2 E ≤ 18pq 1/2 n p n ≤ 18pq 1/2 E|Zi |p p/2−1 p np/2 max E|Zi |p i≤n (2.67) với q = (1 − p−1 )−1 ≤ 2, p ≥ Áp dụng bất đẳng thức cho martingale với hiệu Zi = τi − E(τi |Gi−1 ), ta suy n P(|Tn − Vn2 | −p > ∆) ≤ ∆ Zi |p E| ≤ ∆−p (18p21/2 )p np/2 max E|Zi |p i≤n Giờ, |Zi | ≤ max (τi , E (τi |Gi−1 )) E E(τi |Gi−1 )p ≤ E τip , Vì E|Zi |p ≤ E τip + E(τi |Gi−1 )p (2.68) 2.4 Tốc độ hội tụ định lý giới hạn trung tâm 50 ≤ 2E τip ≤ 4Γ (p + 1) E|Xi |2p (2.69) Mở rộng Stirling Γ (p + 1) đưa với p ≥ 2, Γ (p + 1) ≤ (2π)1/2 pp+1/2 e−p+1/24 phối hợp với (2.68) (2.69) cho ta p P Tn − Vn2 > ∆ ≤ 10, 9, 4p2 p1/2 np/2 ∆−p max E|Xi |2p (2.70) i≤n Từ điều kiện (2.60), ta có max E|Xi |2p ≤ n−p M 2p i≤n tất điều với (2.66) (2.70) đưa đến với ∆ > 0, p |P (Sn ≤ x) − Φ (x)| ≤ 2∆1/2 + 10, 9, 4p2 M p1/2 n−p/2 ∆−p + P Vn2 − > ∆ Ta chọn ∆ = ∆ (n) → p = p (n) → ∞ để giá trị tổng hai số hạng đầu bên đạt giá trị nhỏ Cho ∆ = 9, 4M Dn−1/2 (log n)2 p = log n Nếu n > e2 p>2, p 2∆1/2 + 10, 9, 4p2 M p1/2 n−p/2 ∆−p ≤ 6, 2M D1/2 n−1/4 log n + 10, 5D− log n (log n)1/2 ≤ 7M D1/2 + n−1/4 log n Bởi ta giả sử D ≥ e Vì vậy, |P (Sn ≤ x) − Φ (x)| ≤ 7M D1/2 + n−1/4 log n + P Vn2 − > ∆ kết hợp với (2.61) suy (2.62) Giới hạn (2.62) xảy ≤ n < e2 Điều kiện bị chặn (2.60) bị hạn chế vài ứng dụng, nhiên thay tính bị chặn moment mũ Định lí 2.4.2 Trong ý định lý 2.4.1, giả sử với vài α > số M,C, D, max E exp i≤n P n1/2 Xi α Dn−1/2 (log n)2+2/α ≤ Cn−1/4 (log n)1+1/α (2.71) (2.72) 2.4 Tốc độ hội tụ định lý giới hạn trung tâm 51 với n ≥ sup −∞0, xp ≤ pp e−p ex Vì vậy, np E|Xi |2p = E n1/2 Xi α 2p/α ≤ (2p/α)2p/α e−2p/α M sử dụng (2.71) Kết hợp điều với (2.70), ta suy với số dương a, b không phụ thuộc vào n, p hay ∆ lớn tùy ý, P Tn − Vn2 > ∆ ≤ a bpα+1 2p/α 1/2 −p/2 p n ∆−p Từ điều (2.66) ta rút |P (Sn ≤ x) − Φ (x)| ≤ 2∆1/2 + a bpα+1 2p/α 1/2 −p/2 p n ∆−p + P Vn2 − > ∆ (2.74) Ta tiếp tục chọn ∆ p để tổng hai số hạng đạt giá trị nhỏ Ta chọn sau: ∆ = b1+2/α n−1/2 (log n)2+2/α Thì ta có p = log n 2p/α 1/2 −p/2 −p p n ∆ = b1/2+1/α n−1/4 (log n)1+1/α + b− log n (log n)1/2 ≤ cn−1/4 (log n)1+1/α với số c, ta chọn b ≥ e Từ (2.74) ta có ∆1/2 + bpα+1 |P(Sn ≤ x) − Φ(x)| ≤ dn−1/4 (log n)1+1/α + P(|Vn2 − 1| > ∆) với số d, kết hợp với (2.72), suy (2.73) Tốc độ hội tụ định lý 2.4.1 2.4.2 dạng tốc độ hội tụ với x Tuy nhiên, rõ ràng |x| lớn hiệu |P (Sn ≤ x) − Φ (x)| 2.4 Tốc độ hội tụ định lý giới hạn trung tâm 52 nhỏ nhiều so với bị chặn đều, thực tế ước lượng tốt đạt từ giới hạn moment thô giống |P (Sn ≤ x) − Φ (x)| ≤ P (|Sn | > |x|) + P (|N | > |x|) ≤ x−2 ES2n + với N có phân phối N(0,1) Rõ ràng cần thiết bị chặn không cho |P (Sn ≤ x) − Φ (x)|, phụ thuộc vào x n Trong trường hợp độc lập, lý thuyết tốc độ hội tụ không phát triển mạnh Giờ ta chứng minh dạng không khác hội tụ Heyde Brown (1970) i Định lí 2.4.3 Cho Xj , Fi , ≤ i ≤ n Si = martingale có trung j=1 bình không Đặt: i i Vi2 = E Xj2 |Fj−1 Ui2 Xi2 , = 1≤i≤n j=1 j=1 giả sử < δ ≤ Xác định n E|Xi |2+2δ + E Vn2 − Ln = 1+δ i=1 n E|Xi |2+2δ + E Un2 − Mn = 1+δ i=1 Tồn số A1 A2 phụ thuộc vào δ , thỏa mãn với Ln ≤ tùy ý, 1/(3+2δ) + |x|4(1+δ) /(3+2δ) 1/(3+2δ) + |x|4(1+δ) /(3+2δ) |P (Sn ≤ x) − Φ (x)| ≤ A1 Ln |P (Sn ≤ x) − Φ (x)| ≤ A2 Mn −1 (2.75) −1 (2.76) với x Như chứng minh định lý 2.4.2, ta cần bổ đề 2.4.1 Bổ đề 2.4.2 Cho W (t) , t ≥ chuyển động Brown chuẩn tắc cho T biến không âm Khi với số thực x < ε < 12 , |P (W (T ) ≤ x) − Φ (x)| ≤ 16ε1/2 exp −x2 /4 + P (|T − 1| > ε) Chứng minh Kết hợp với (2.63) (2.65), ta có ∞ |P (W (T ) ≤ x) − Φ (x)| ≤ π −1/2 f (x, z) e−z /4 dz + P (|T − 1| > ε) (2.77) 2.4 Tốc độ hội tụ định lý giới hạn trung tâm 53 với f (x, z) = Φ (1 − ε)−1/2 x + ε1/2 z − Φ (1 − ε)−1/2 x − ε1/2 z Ta giả sử x ≥ 0, trường hợp x ε) ≤ ε−1−δ E|Tn − 1|1+δ ≤ ε−1−δ 2δ E Tn − Vn2 1+δ + Vn2 − 1+δ (2.81) Ta có E 1+δ Tn − Vn2 n = E 1+δ (τi − E (τi |Gi−1 )) n ≤ CE ≤ E|τi − E (τi |Gi−1 )|1+δ C (τi − E (τi |Gi−1 )) n ≤ (1+δ)/2 n C δ ≤ E τi1+δ + E E(τi |Gi−1 )1+δ n E τi1+δ ≤ 2C Do E τi1+δ ≤ 2Γ (1 + δ) E|Xi |2+2δ n E 1+δ Tn − Vn2 E|Xi |2+2δ ≤C (2.82) 2.4 Tốc độ hội tụ định lý giới hạn trung tâm 55 Từ (2.81) định nghĩa Ln ta suy P(|Tn − 1| > ε) ≤ ε−1−δ CLn Điều với bổ đề 2.4.2,suy |P (W (Tn ) ≤ x) − Φ (x)| ≤ 16ε1/2 exp −x2 /4 + ε−1−δ CLn (2.83) Ta chọn ε = ε (x, n) để vế phải nhỏ Cho 2/(3+2δ) + |x|α ε = Ln 1/(1+δ) với α = α (δ) > Giả sử ε < 21 , 1/(3+2δ) + |x|α ε1/2 exp −x2 /4 +ε−1−δ Ln = Ln 1/(3+2δ) ≤ CLn −1 + |x|α + |x|α 1+1/2(1+δ) −1 exp −x2 /4 + (2.84) Từ bất đẳng thức Markov, ta có với x tùy ý, |P (Sn ≤ x) − Φ (x)| ≤ P (|Sn | > |x|) + P (|N | > |x|) ≤ |x|−2−2δ E|Sn |2+2δ + E|N |2+2δ (2.85) với N có phân phối N(0,1) Ta có, 2+2δ E|Sn | 1+δ n ≤ CE = C ≤ Xi2 C 2+2δ E Un 1+δ E Un2 − Vn2 + E Vn2 − 1+δ +1 ≤ C (Ln + 1) (2.86) với δ ≤ 1, ta có E Un2 1+δ − Vn2 1+δ n Xi2 = E n ≤ CE n ≤ ≤ Xi2 − E Xi2 |Fi−1 E Xi2 − E Xi2 |Fi−1 C −E Xi2 |Fi−1 n C (1+δ)/2 1+δ E|Xi |2+2δ + E E Xi2 |Fi−1 1+δ n E|Xi |2+2δ ≤ 2C (2.87) 2.4 Tốc độ hội tụ định lý giới hạn trung tâm 56 Thay (2.86) cho (2.85), ta thấy Ln ≤ 1, |P (Sn ≤ x) − Φ (x)| ≤ C|x|−2−2δ (Ln + 1) ≤ 2C|x|−2−2δ + |x|α Giả sử Ln ≤ 2−(3+2δ) L2/(3+2δ) n |x|α > Do 1 + |x|α |x|−2−2δ ≤ 1/(1+δ) −2(1+δ)/α > + |x|α = C + |x|α (2.88) 1/(1+δ) > 2, −2(1+δ)/α (2.89) Hơn 1/(3+2δ) ≤ 21/2 Ln + |x|α 1/2(1+δ) Thay bất đẳng thức (2.89) vào (2.88), ta suy 1/(3+2δ) |P (Sn ≤ x) − Φ (x)| ≤ CLn + |x|α 1/2(1+δ)−2(1+δ)/α So sánh điều với (2.84) ta thấy tốc độ hội tụ tổng quát đạt α thỏa mãn phương trình 1/2 (1 + δ) − (1 + δ) /α = −1 với α = 4(1 + δ)2 / (3 + 2δ) Ta chứng minh (2.75) trừ ≥ Ln > 2−(−3+2δ) Trong trường hợp ta sử dụng |x| ≤ 1, 1/(3+2δ) 4Ln + |x|α −1 > > |P (Sn ≤ x) − Φ (x)| với |x| > 1, 1/(3+2δ) 4Ln + |x|α −1 ≥ = ≥ |x|−2−2δ C + E|N |2+2δ −1 C + E|N |2+2δ |x|−2−2δ với C>0 C E|Sn |2+2δ + E|N |2+2δ |x|−2−2δ sử dụng (2.86) ≥ C |P (Sn ≤ x) − Φ (x)| sử dụng (2.85) Ta hoàn thành chứng minh (2.75) Điều kiện (2.76) suy từ (2.75) bất đẳng thức (2.87) Ln ≤ Mn + E Un2 − Vn2 1+δ ≤ CMn Định lí 2.4.4 Trong ý định lý 2.4.3, giả sử < δ < ∞ max E|Xi |2+2δ ≤ n−1−δ M i≤n Với M số Cho Ln = n−(1+δ)/2 + E Vn2 − 1+δ (2.90) 2.4 Tốc độ hội tụ định lý giới hạn trung tâm 57 Mn = n−(1+δ)/2 + E Un2 − 1+δ Tồn số A1 , A2 phụ thuộc vào M δ cho với Ln ≤ 1, 1/(3+2δ) + |x|4(1+δ) /(3+2δ) 1/(3+2δ) + |x|4(1+δ) /(3+2δ) |P (Sn ≤ x) − Φ (x)| ≥ A1 Ln |P (Sn ≤ x) − Φ (x)| ≥ A2 Mn −1 (2.91) −1 (2.92) với x Chứng minh Trường hợp δ ≤ suy thông qua định lý 2.4.3, ta giữ nguyên δ > Với bất đẳng thức (2.82) phần chứng minh định lý 2.4.3, ta suy p n n ≤n xi |xi |p p−1 p>1 1 E Tn − Vn2 1+δ (1+δ)/2 n ≤ (τi − E (τi |Gi−1 ))2 CE ≤ Cn(1+δ)/2−1 ≤ n(1+δ)/2−1 C C n(1+δ)/2−1 ≤ n E|τi − E (τi |Gi−1 )|1+δ n n E τi1+δ E|Xi |2+2δ C n−(1+δ)/2 M sử dụng (2.90) Từ (2.81), ta suy ≤ P (|Tn − 1| > ε) ≤ ε−1−δ CLn |P (Sn ≤ x) − Φ (x)| ≤ 16ε1/2 exp −x2 /4 + ε−1−δ CLn đồng với (2.83) Chứng minh (2.91) (2.92) hoàn thành ∞ Định lí 2.4.5 Cho Xi , Fn , ≤ n < ∞ Sn = martingale ngược có i=n trung bình không với moment có bậc (1 + δ) , < δ ≤ 1, giả sử Sn → hầu chắn Cho s2n = E Sn2 , ∞ ∞ Vn2 = E n Xi2 |Fi+1 Un2 Xi2 = n ∞ Ln = E|Xi |2+2δ + E s−2 n Vn − s−2−2δ n n 1+δ 2.4 Tốc độ hội tụ định lý giới hạn trung tâm 58 ∞ Mn = E|Xi |2+2δ + E s−2 n Un − s−2−2δ n 1+δ n Tồn số A1 , A2 phụ thuộc vào δ cho với Ln ≤ 1, 1/(3+2δ) P s−1 + |x|4(1+δ) n Sn ≤ x − Φ (x) ≤ A1 Ln /(3+2δ) 1/(3+2δ) + |x|4(1+δ) P s−1 n Sn ≤ x − Φ (x) ≤ A2 Mn /(3+2δ) −1 (2.93) −1 (2.94) với x Chứng minh Cố định m n ≥ 1, cho Si = s−1 n (Sm+n−i − Sm+n ) Fi = Fm+n−i , ≤ i ≤ m Si , Fi , ≤ i ≤ m martingale tiến Áp dụng định lý 2.4.3 cho martingale ta suy 4(1+δ) P s−1 n (Sn − Sm+n ) ≤ x − Φ (x) + |x|  m /(3+2δ) 1+δ m E s−1 n Xm+n−i ≤ A1  1/(3+2δ) 2+2δ E Xm+nn−i |Fm+m−i+1 − + E s−2 n 1/(3+2δ)  → A1 Ln với m → ∞ Ta chứng minh (2.93) (2.94) chứng minh theo cách tương tự 2.4 Tốc độ hội tụ định lý giới hạn trung tâm 59 KẾT LUẬN Những kết đạt luận văn: luận văn trình bày định lý giới hạn trung tâm cho trường hợp biến ngẫu nhiên độc lập cho dãy martingale bình phương khả tích, định lý giới hạn trug tâm tổng quát số mở rộng định lý giới hạn trung tâm martingale ngược, tổng đuôi martingale, tốc độ hội tụ định lý giới hạn trung tâm Mặc dù có sử dụng vài kỹ thuật Aldous, Eagleson (1978) luận văn trình bày hầu hết chứng minh cách độc lập Mặc dù cố gắng thời gian trình độ thân hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, em mong nhận góp ý chân thành từ phía thầy, cô giáo bạn đọc để luận văn hoàn thiện Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Hắc Hải, Ngô Hoàng Long (2016), Lý thuyết Martingale Martingale tiệm cận, NXB Đại học sư phạm [2] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên (2006), Lý thuyết xác suất, NXB Giáo dục [3] D J Aldous, G K Eagleson (1978), On mixing and stability of limit theorems, Ann Probab, 6, 325-331 [52,56,59] [4] A C Berry (1941), The accuracy of the Gaussian approximatioin to the sum of independent variates, Trans Amer Math Soc, 49, 122–136, [81] [5] E Bolthausen, Exact convergence rates in some martingale central limit theorems, Ann Probab, 10, 672–688 [6] C G Esseen (1942), On the Liapounoff limit of error in the theory of probability, Ark Math Astr och Fysik, 28A, 1-19, [81] [7] B V Gnedenko, A N Kolmogorov (1954), Limit Distributiions for Sums of Independent Random Variables, Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, [55, 82] [8] P Hall, C C Heyde (1980), Martingale Limit Theory and its Application, Academic Press [9] C C Heyde, B M Brown (1970) On the departure from normality of a certain class of martingales, Ann Math Statist, 41, 2161-2165, [85] [10] M Loève (1977), Probability Theory I, 4th ed Springer-Verlag, Berlin and New York, [7, 9, 10, 29, 55, 175, 281] [11] D A Raikov (1938), On the decomposition of the Gaussian and Poisson laws, Izv Akad Nauk SSSR Ser Mat 91-124, [55, 69] [12] A Rényi (1963), On stable sequences of events, Sankhya Ser A, 25, 293302, [56] ... minh 2.2 Định lý giới hạn trung tâm cho dãy martingale bình phương khả tích 2.2.2 29 Định lý giới hạn trung tâm tổng quát Ta đưa vài ví dụ để nghiên cứu định lý giới hạn trung tâm tổng quát Cho {Yn... 2.2.1 Định lý giới hạn trung tâm cho dãy martingale bình phương khả tích 2.2.2 Định lý giới hạn trung tâm tổng quát 2.3 Một số mở rộng định lý giới hạn trung tâm. .. (ii) 2.2 Định lý giới hạn trung tâm cho dãy martingale bình phương khả tích 2.2.1 Định lý giới hạn trung tâm cho dãy martingale bình phương khả tích Cho {Sn , Fn , n ≥ 1} martingale có trung bình