Header Page of 133 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI −−−−−−−−− ĐẶNG ĐÌNH HANH PHÂN LỚP ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU CÁC ANN-HÀM TỬ VÀ CÁC ANN-PHẠM TRÙ BỆN Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 62 46 05 01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2011 Footer Page of 133 Header Page of 133 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI −−−−−−−−− ĐẶNG ĐÌNH HANH PHÂN LỚP ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU CÁC ANN-HÀM TỬ VÀ CÁC ANN-PHẠM TRÙ BỆN Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 62 46 05 01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS NGUYỄN TIẾN QUANG Hà Nội - 2011 Footer Page of 133 Header Page of 133 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu viết chung với đồng tác giả Kết viết chung với tác giả khác trí đồng tác giả đưa vào luận án Các số liệu, kết trình bày trong luận án trung thực chưa công bố công trình khác Tác giả Đặng Đình Hanh Footer Page of 133 Header Page of 133 LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành hướng dẫn PGS TS Nguyễn Tiến Quang Thầy dẫn dắt tác giả làm quen với nghiên cứu khoa học từ tác giả sinh viên Ngoài dẫn mặt khoa học, động viên lòng tin tưởng Thầy dành cho tác giả động lực lớn giúp tác giả tự tin say mê nghiên cứu Qua tác giả xin bày tỏ biết ơn sâu sắc lòng quý mến Thầy Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô bạn đồng nghiệp Bộ môn Đại số Lý thuyết số, thầy cô bạn đồng nghiệp khoa Toán -Tin tạo môi trường công tác nghiên cứu thuận lợi giúp tác giả hoàn thành luận án Tác giả xin cảm ơn Ths Nguyễn Thu Thủy giúp đỡ chân thành Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, Phòng Sau đại học BCN khoa Toán - Tin tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập, công tác hoàn thành luận án Tác giả xin chân thành cảm ơn GS TS Nguyễn Quốc Thắng, GS TS Lê Văn Thuyết, PGS TS Lê Thị Thanh Nhàn hai thầy/cô phản biện độc lập góp ý bổ ích để luận án hoàn thiện Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến ông bà, bố mẹ, anh chị em hai bên nội ngoại, vợ Gia đình nguồn động viên động lực to lớn tác giả Tác giả Footer Page of 133 Header Page of 133 Mục lục Mở đầu Bảng ký hiệu Bảng thuật ngữ Sơ đồ liên hệ chương, mục MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Phạm trù monoidal bện 1.1.1 ⊗-phạm trù 1.1.2 Phạm trù monoidal 1.1.3 Hàm tử monoidal 1.1.4 Mũi tên hàm tử monoidal 1.1.5 Phạm trù monoidal bện 1.2 Gr-phạm trù P ic-phạm trù 1.3 Ann-phạm trù 1.3.1 Định nghĩa ví dụ Ann-phạm trù 1.3.2 Định nghĩa Ann-hàm tử 1.3.3 Ann-phạm trù thu gọn 1.4 Đối đồng điều 1.4.1 Nhóm đối đồng điều Mac Lane vành 1.4.2 Nhóm đối đồng điều Hochschild đại số 10 12 14 15 15 15 16 17 18 19 20 21 21 28 29 32 32 35 MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ ANN-PHẠM TRÙ VÀ ANN- HÀM TỬ 2.1 Footer Page of 133 Phân lớp đối đồng điều Ann-hàm tử 2.1.1 Tiêu chuẩn tương đương Ann-hàm tử 2.1.2 Ann–hàm tử kiểu (p, q) 2.1.3 Ann-hàm tử nhóm đối đồng điều chiều thấp vành theo nghĩa Mac Lane 37 37 37 40 42 Header Page of 133 2.2 2.3 2.1.4 Ann-hàm tử đối đồng điều Hochschild 2.1.5 Ứng dụng Đối ngẫu Ann-phạm trù Mối liên hệ Ann-phạm trù vành phạm trù ANN-PHẠM TRÙ BỆN 3.1 Định nghĩa ví dụ Ann-phạm trù bện 3.2 Tính phụ thuộc hệ tiên đề Ann-phạm trù bện 3.3 Mối liên hệ với phạm trù có tính phân phối M L Laplaza 3.4 Mối liên hệ với phạm trù tựa vành 45 47 50 66 72 72 76 79 82 PHÂN LỚP ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU CÁC ANN-PHẠM TRÙ BỆN 4.1 Ann-hàm tử bện phép chuyển cấu trúc Ann-phạm trù bện thu gọn 4.2 Phân lớp Ann-hàm tử bện kiểu (p, q) 4.3 Các định lý phân lớp KẾT LUẬN DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN TÀI LIỆU THAM KHẢO CHỈ MỤC Footer Page of 133 86 86 93 97 102 103 104 109 Header Page of 133 MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài Khái niệm phạm trù monoidal hay tensor phạm trù đề xuất S Mac Lane [29], J Bénabou [51] vào năm 1963 Mỗi phạm trù monoidal tựa vị nhóm, tập C thay phạm trù phép toán nhân m : C × C → C thay hàm tử Trong [29], S Mac Lane đưa điều kiện đủ cho tính khớp ràng buộc tự nhiên phạm trù monoidal; điều kiện đủ cho tính khớp lớp phạm trù monoidal đối xứng, tức phạm trù monoidal có thêm ràng buộc giao hoán Bài toán khớp cho lớp phạm trù monoidal thường suy từ kết mạnh hơn: phạm trù monoidal tương đương với phạm trù monoidal chặt chẽ, tức phạm trù monoidal có ràng buộc phép đồng Kết chứng minh vài tác N D Thuận [50], C Kassel [23], P Schauenburg [48] Việc xem xét mối liên hệ phụ thuộc số tiên đề hệ tiên đề phạm trù monoidal đối xứng G M Kelly trình bày [26] Sau này, S Kasangian F Rossi xem xét thêm số mối liên hệ tính đối xứng phạm trù monoidal [24] Phạm trù monoidal "mịn hóa" để trở thành phạm trù với cấu trúc nhóm, bổ sung thêm khái niệm vật khả nghịch (Xem M L Laplaza [28], N Saavedra Rivano [54]) Bây giờ, phạm trù groupoid (nghĩa mũi tên đẳng cấu) ta khái niệm monoidal category group-like (xem A Fr¨ohlich C T C Wall [16]), hay Gr-category (xem H X Sính [55]), hay nhóm phạm trù [6, 7, 8, 17], 2-nhóm [4, 12, 19] theo cách gọi gần Các Gr-phạm trù phân lớp nhóm đối đồng điều nhóm H (G, A) (xem [55]) Trong trường hợp nhóm phạm trù có thêm ràng buộc giao hoán, thu khái niệm phạm trù Picard (Pic-phạm trù ) [55], hay nhóm phạm trù đối xứng [5] 2-nhóm đối xứng [12, 19] Tâm phạm trù monoidal giới thiệu A Joyal R Street, khái quát hóa khái niệm tâm vị nhóm Tâm phạm trù monoidal cung cấp cấu trúc bện tự nhiên tầm thường, tensor phạm trù bện hay phạm trù monoidal bện nói chung không đối xứng Sau đó, tâm phạm trù xuất công cụ để nghiên cứu nhóm phạm Footer Page of 133 Header Page of 133 trù [6] nhóm phạm trù phân bậc [17] Trong [11], A Davydov nghiên cứu tâm đầy đại số phạm trù tâm phạm trù monoidal thiết lập bất biến Morita xây dựng cách mở rộng đến phạm trù môđun Tâm phạm trù monoidal xuất toán đối ngẫu phạm trù monoidal đưa S Majid [32, 33] Trong [20], A Joyal R Street phân lớp nhóm phạm trù bện phạm trù hàm quadratic (dựa kết S Eilenberg S Mac (G, A) Lane biểu diễn hàm quadratic nhóm đối đồng điều aben Hab [13, 14]) Trước đó, trường hợp nhóm phạm trù đối xứng (hay phạm trù Picard) phân lớp H X Sính [55] Tình tổng quát nhóm phạm trù Picard đưa A Fr¨ohlich C T C Wall với tên gọi nhóm phạm trù phân bậc [16] (sau này, A Cegarra E Khmaladze gọi phạm trù Picard phân bậc [10]) Các định lý phân lớp đồng luân cho nhóm phạm trù phân bậc, nhóm phạm trù bện phân bậc, trường hợp riêng nó, phạm trù Picard phân bậc trình bày theo thứ tự [17], [9], [10] Từ phạm trù xuất 3-đối chu trình theo nghĩa mà lớp tương đẳng phạm trù loại tương ứng với lớp đối đồng điều chiều Các lớp phạm trù có hai cấu trúc monoidal thu hút quan tâm nhiều tác giả Năm 1972, M L Laplaza [27] nghiên cứu lớp phạm trù có tính phân phối Kết [27] chứng minh định lý khớp cho lớp phạm trù Sau đó, [16], A Fr¨ohlich C T C Wall đưa khái niệm phạm trù tựa vành với chủ ý đưa hệ tiên đề gọn M L Laplaza [27] Hai khái niệm hình thức hóa phạm trù môđun vành giao hoán Năm 1994, M Kapranov V Voevodsky [25] bỏ đòi hỏi hệ tiên đề M L Laplaza có liên quan đến ràng buộc giao hoán phép nhân đưa tên gọi phạm trù vành cho lớp phạm trù Họ sử dụng phạm trù không gian vectơ trường K , với tích tenxơ tổng trực tiếp để định nghĩa 2-không gian vectơ K Các phạm trù vành sử dụng công cụ để nghiên cứu phương trình Zamolodchikov [25] Để có mô tả cấu trúc, để phân lớp đối đồng điều, N T Quang đưa khái niệm Ann-phạm trù [36], phạm trù hóa khái niệm vành, với đòi hỏi tính khả nghịch vật mũi tên phạm trù nền, tương tự trường hợp nhóm phạm trù (xem Footer Page of 133 Header Page of 133 [6, 54, 55]) Những đòi hỏi bổ sung đặc biệt, P phạm trù Picard phạm trù End(P) Pic-hàm tử P Ann-phạm trù (xem N T Quang [45]), điều nhắc lại [19] Mặt khác, Ann-phạm trù mạnh phạm trù vành [35] Năm 2008, N T Quang chứng minh lớp tương đẳng Ann-phạm trù hoàn toàn xác định ba bất biến: vành R, R−song môđun M phần tử thuộc nhóm đối đồng điều Mac Lane HM aL (R, M ) (xem [38]) Trường hợp quy (ràng buộc đối xứng thỏa mãn điều kiện cX,X = id vật X ) (R, M ) (xem [2]) Từ kết phân lớp nhóm đối đồng điều Shukla HSh phân lớp Ann-phạm trù quy, Trần Phương Dung giải toán tồn phân lớp Ann-hàm tử Ann-phạm trù quy [1] Mỗi Ann-phạm trù xem one-object Gpd-categories luận án M Dupont [12], hay one-point enrichments of SPC V Schmitt [49] Năm 2006, M Jibladze T Pirashvili [22] đưa khái niệm vành phạm trù với sửa đổi từ hệ tiên đề Ann-phạm trù Tuy nhiên, mối liên hệ hai hệ tiên đề Ann-phạm trù vành phạm trù nào? Hai lớp có trùng không, lớp chứa lớp hay chúng giao phần? Một vành phạm trù gọi 2-vành theo cách gọi [12, 19] Năm 2010, tác giả F Huang, S H Chen, W Chen Z J Zheng định nghĩa 2-môđun 2-vành đưa biểu diễn 2-vành [19] Bên cạnh kết có Ann-phạm trù, thấy có vấn đề liên quan tới Ann-phạm trù cần nghiên cứu như: toán tồn phân lớp Ann-hàm tử Ann-phạm trù trường hợp tổng quát, mối liên hệ Ann-phạm trù vành phạm trù, tính bện lớp Ann-phạm trù, Vì vậy, viết luận án với tiêu đề: "Phân lớp đối đồng điều Ann-hàm tử Ann-phạm trù bện" để giải vấn đề nêu II Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu luận án bao gồm: sử dụng đối đồng điều vành Mac Lane để nghiên cứu Ann-hàm tử, xây dựng Ann-phạm trù cảm sinh Ann-hàm tử xem xét mối liên hệ hai hệ tiên đề Ann-phạm trù vành phạm trù; đưa định nghĩa Ann-phạm trù bện trường hợp Footer Page of 133 Header Page 10 of 133 riêng Ann-phạm trù đối xứng, đưa ví dụ, xem xét mối liên hệ Ann-phạm trù đối xứng với phạm trù có tính phân phối phạm trù tựa vành, xây dựng phạm trù thu gọn cho lớp Ann-phạm trù bện tiến hành phân lớp Ann-phạm trù bện III Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu luận án bao gồm: Ann-phạm trù, Ann-hàm tử tính bện (và trường hợp riêng tính giao hoán) lớp Ann-phạm trù Phạm vi nghiên cứu luận án toán thường gặp lý thuyết phạm trù với cấu trúc, toán phân lớp, xây dựng ví dụ cụ thể, nghiên cứu tính chất, mối liên hệ phụ thuộc tiên đề mối liên hệ lớp phạm trù có cấu trúc tương tự IV Phương pháp nghiên cứu Ngoài phương pháp nghiên cứu lý thuyết truyền thống, luận án sử dụng triệt để phương pháp biểu đồ lý thuyết phạm trù để chứng minh biểu đồ giao hoán, thay cho biến đổi đẳng thức trừu tượng V Những đóng góp luận án Luận án đóng góp số kết Ann-phạm trù Kết sử dụng nhóm đối đồng điều vành Mac Lane để tiến hành giải toán tồn phân lớp Ann-hàm tử (Định lý 2.1.8, Định lý 2.1.9) Kết thứ hai luận án xây dựng Ann-phạm trù đối ngẫu Ann-hàm tử (Định lý 2.2.10) Đây phép dựng phép dựng Ann-phạm trù đồng cấu quy toán mở rộng vành Kết luận án Định lý 2.3.3 Định lý Ann-phạm trù chứa vành phạm trù Ngược lại, vành phạm trù bổ sung thêm tiên đề tương thích với ràng buộc đơn vị trở thành Ann-phạm trù (Định lý 2.3.4) Những đóng góp luận án có liên quan đến tính bện lớp Ann-phạm trù Định lý 3.1.6 ra: Tâm Ann-phạm trù Annphạm trù bện nói chung không đối xứng, kết tiếp nối kết tâm phạm trù monoidal đưa [21] Trên sở xem xét mối liên hệ Ann-phạm trù đối xứng với phạm trù có tính phân Footer Page 10 of 133 Header Page 100 of 133 96 Trong trường hợp F : S → S hàm tử kiểu (p, q), hàm k = q∗ (h, β) − p∗ (h , β ) gọi cản trở hàm tử kiểu (p, q) Với ký hiệu trên, phát biểu chứng minh Định lý tồn phân lớp Ann-hàm tử bện Định lý 4.2.6 ([46, Định lý 5.5]) Hàm tử F : S → S kiểu (p, q) Ann−hàm (R, M ) Khi tồn tử bện cản trở [k] = Hab song ánh: (i) HomBrAnn (4.11) (p,q) [S, S ] ↔ Hab (R, M ); (ii) Aut(F ) ↔ Zab (R, M ) Chứng minh Giả sử (F, F˘ , F ) : S → S Ann-hàm tử bện kiểu (p, q) Khi (R, M ) từ đẳng thức (4.9) ta suy cản trở F triệt tiêu nhóm Hab (R, M ) Ngược lại, giả sử cản trở hàm tử F triệt tiêu nhóm Hab Từ suy tồn 2-đối dây chuyền g = (µ, ν) cho k = ∂g , nghĩa q∗ (h, β) − p∗ (h , β ) = ∂g Lấy F˘ , F mũi tên hàm tử liên kết với hàm µ, ν , thử lại (F, F˘ , F ) Ann-hàm tử bện (i) Theo Định lý 2.1.9, ta có song ánh Φ : HomAnn (p,q) [S, S ] → HM acL (R, M ) Song ánh Φ xác định sau (chi tiết, xem Định lý 2.1.9) Vì tồn Ann-hàm tử (F, F˘ , F ) : S → S nên ta có q∗ h − p∗ h = ∂M acL gF ˘ K) : S → S Ann-hàm tử kiểu (p, q) Khi Ta cố định gF Giả sử (K, K, q∗ h − p∗ h = ∂M acL gK Từ suy gF − gK 2-đối chu trình Ánh xạ Φ xác định Φ([K]) = [gF − gK ] Footer Page 100 of 133 Header Page 101 of 133 97 Bây F, K Ann-hàm tử bện hàm gF , gK nói (R, M ) Mặt 2-đối dây chuyền phức Cab (R, M ) gF − gK ∈ Zab (R, M ) ⊂ Z 2 khác Zab M acL (R, M ) Bab (R, M ) = BM acL (R, M ) nên ta có (R, M ) ⊂ H Hab M acL (R, M ) Từ ta suy đơn ánh Φ =Φ HomBrAnn [S,S ] (p,q) : HomBrAnn (p,q) [S, S ] → Hab (R, M ) (R, M ) Khi ta có Bây giờ, giả sử g phần tử thuộc Zab ∂(gF − g) = ∂gF − ∂g = ∂gF = q∗ (h, β) − p∗ (h , β ) ˘ K) : S → S kiểu (p, q), Do vậy, tồn Ann-hàm tử bện (K, K, ˘ K liên kết với 2-đối dây chuyền gF − g Rõ ràng ta có Φ ([K]) = [g], đẳng cấu K, nghĩa Φ toàn ánh Vậy ta có song ánh Φ : HomBrAnn (p,q) [S, S ] → Hab (R, M ) (R, M ) (ii) Trong đẳng thức (4.10) với F = F ta suy ∂t = 0, nghĩa t ∈ Zab Vậy tồn ánh xạ Aut(F ) → Zab (R, M ) u → t Dễ thấy ánh xạ song ánh 4.3 Các định lý phân lớp Ký hiệu BrAnn phạm trù có vật Ann–phạm trù bện A, mũi tên Ann–hàm tử bện chúng Tương tự Định lý phân lớp cho phạm trù Picard phân bậc (Định lý 3.12 [10]), xác định phạm trù H3BrAnn có vật ba (R, M, [h, β]) (R, M ) (R, M, h, β) Ann–phạm trù bện Mũi tên (p, q) : với [h, β] ∈ Hab (R, M, [h, β]) → (R , M , [h , β ]) H3BrAnn cặp (p, q) cho tồn g : R2 → M để (p, q, g) Ann-hàm tử bện (R, M, h, β) → (R , M , h , β ), nghĩa (R, M ) Hợp thành H3 [p∗ (h , β )] = [q∗ (h, β)] ∈ Hab BrAnn cho (p , q ) ◦ (p, q) = (p p, q q) Theo Mệnh đề 4.2.5, hai Ann-hàm tử bện F, F : A → A đồng luân Fi = Fi , i = 0, [gF ] = [gF ] Với ký hiệu tập lớp đồng luân Ann-hàm tử bện A → A cảm sinh cặp (p, q) HomBrAnn (p,q) [A, A ], Footer Page 101 of 133 Header Page 102 of 133 98 phát biểu kết mục Định lý 4.3.1 ([46, Định lý 6.1]) (Định lý phân lớp) Tồn hàm tử phạm trù d : BrAnn → H3BrAnn A → (π0 (A), π1 (A), [(h, β)A ]) F = (F, F˘ , F ) → (F0 , F1 ) có tính chất sau: (i) dF đẳng cấu F tương đương, (ii) d toàn ánh tập vật, (iii) d đầy đủ không trung thành, với (p, q) : dA → dA tồn song ánh HomBrAnn (p,q) [A, A ] → Hab (π0 (A), π1 (A )) (4.12) Chứng minh Trong Ann–phạm trù bện A, với đính (Xs , iX ) ta xây dựng Ann–phạm trù bện thu gọn (π0 (A), π1 (A), h, β) Khi thay đổi cách chọn đính 3-đối chu trình (h, β) thay (h , β ) thuộc lớp đối đồng điều với (h, β) Bởi A xác định phần tử [(h, β)] ∈ H (π0 (A), π1 (A)) Điều chứng tỏ d ánh xạ tập vật Đối với Ann-hàm tử bện F F A −→ A −→ A dễ thấy d(F ◦ F ) = dF ◦ dF , d(idA ) = iddA Bởi d hàm tử (i) Do Mệnh đề 4.2.3 (ii) Nếu (R, M, [h, β]) vật H3BrAnn S = (R, M, h, β) Annphạm trù bện kiểu (R, M ) hiển nhiên dS = (R, M, [h, β]) (iii) Giả sử (p, q) mũi tên HomH3BrAnn (dA, dA ) Khi tồn hàm g = (µ, ν), µ, ν : (π0 (A))2 → π1 (A ) cho q∗ (h, β)A = p∗ (h, β)A + ∂g Thế K = (p, q, g) : (π0 (A), π1 (A), (h, β)A ) → (π0 (A ), π1 (A ), (h, β)A ) Ann-hàm tử bện Khi đó, theo Mệnh đề 4.2.3, Ann-hàm tử bện hợp thành F = H ◦ K ◦ G : A → A cảm sinh Ann-hàm tử bện SF Dễ thấy dF = (p, q) Điều chứng tỏ hàm tử d đầy đủ Footer Page 102 of 133 Header Page 103 of 133 99 Để chứng minh song ánh (4.12), chứng minh tương ứng S BrAnn HomBrAnn (p,q) [A, A ] → Hom(p,q) [SA, SA ] (4.13) [F ] → [SF ] song ánh Rõ ràng F, F : A → A đồng luân Ann-hàm tử bện cảm sinh SF, SF đồng luân Ngược lại, SF, SF đồng luân hợp thành E = H (SF )G E = H (SF )G đồng luân Các Ann-hàm tử bện E, E đồng luân với F, F Bởi vậy, F F đồng luân Điều chứng tỏ d đơn ánh Bây giờ, K = (p, q, g) : SA → SA Ann-hàm tử bện hợp thành F =H ◦K ◦G:A→A Ann-hàm tử bện có SF = K , nghĩa d toàn ánh Bây giờ, song ánh (4.12) hợp thành (4.13) (4.11) Các định lý phân lớp kiểu với Định lý 4.3.1 xuất cho lớp nhóm phạm trù phân bậc (Định lý 3.1 [8]), phạm trù Picard phân bậc (Định lý 3.12 [10]) Do Mệnh đề 4.2.3, ta đơn giản toán phân lớp tương đương Ann–phạm trù bện việc phân lớp Ann–phạm trù bện có chung (theo nghĩa sai khác đẳng cấu) hai bất biến Cho R vành giao hoán có đơn vị, M R-module (và xem vành với phép nhân không) Ta nói Ann–phạm trù bện A có tiền đính kiểu (R, M ) tồn cặp đẳng cấu vành = (p, q), p : R → π0 (A), q : M → π1 (A) tương thích với tác động module q(su) = p(s)q(u) với s ∈ R, u ∈ M Cặp (p, q) gọi tiền đính kiểu (R, M ) Ann-phạm trù bện A Một mũi tên hai Ann-phạm trù bện A, A có tiền đính kiểu (R, M ) (với tiền đính = (p, q), = (p , q ) tương ứng) Ann-hàm tử bện (F, F˘ , F ) : Footer Page 103 of 133 Header Page 104 of 133 100 A → A cho tam giác sau giao hoán F0 π0 (A) ✲ ❅ ■ ❅ p ❅ F1 π1 (A) π0 (A ) ✲ ❅ ■ ❅ q ✒     p   π1 (A ) ✒     q ❅ R   M F0 , F1 hai đồng cấu cảm sinh từ (F, F˘ , F ) Rõ ràng, từ định nghĩa ta suy F0 , F1 đẳng cấu F tương đương Ký hiệu BrAnn[R, M ] tập lớp tương đương Ann-phạm trù bện tiền đính kiểu (R, M ) Định lý nói bất biến thứ ba Ann-phạm trù bện Định lý 4.3.2 ([46, Định lý 6.2]) Tồn song ánh Γ : BrAnn[R, M ] → Hab (R, M ), [A] → q∗−1 p∗ [(h, β)A ] Chứng minh Theo Mệnh đề 4.1.8, Ann-phạm trù bện A xác định (π (A), π (A)), xác định phần tử phần tử [(h, β)A ] ∈ Hab [(h, β)A ] = q∗−1 p∗ [(h, β)A ] ∈ Hab (R, M ) Bây giờ, F : A → A mũi tên hai Ann-phạm trù bện tiền đính kiểu (p, q) Ann-hàm tử bện cảm sinh SF = (p, q, gF ), thỏa mãn đẳng thức (4.9), p∗ [(h, β)A ] = q∗ [(h, β)A ] Khi dễ dàng suy [(h, β)A ] = [(h, β)A ] Điều chứng tỏ Γ ánh xạ Hơn nữa, đơn ánh Thật vậy, có Γ(A) = Γ(A ) (h, β)A − (h, β)A = ∂g Do tồn Ann-hàm tử bện J kiểu (id, id) từ I = (R, M, (h, β)A ) đến I = (R, M, (h, β)A ) Cái hợp thành G −1 J H A −→ SA −→ I −→ I −→ SA −→ A , chứng tỏ [A] = [A ], Γ đơn ánh Hiển nhiên Γ toàn ánh Footer Page 104 of 133 Header Page 105 of 133 101 Các định lý phân lớp cho phạm trù có chung hai bất biến Định lý 4.3.2 H X Sính đưa để phân lớp Gr-phạm trù [55], N T Quang đưa để phân lớp Ann-phạm trù [2, 38], A M Cegarra E Khmaladze đưa để phân lớp phạm trù Picard phân bậc nhóm phạm trù bện phân bậc [9, 10], Kết luận chương Trong chương này, nhận số kết sau đây: • Chứng minh Ann-phạm trù bện tương đẳng với Ann-phạm trù bện thu gọn • Giải toán tồn tiến hành phân lớp Ann-hàm tử bện Ann-phạm trù bện • Chứng minh Định lý phân lớp cho Ann-phạm trù bện Footer Page 105 of 133 Header Page 106 of 133 102 KẾT LUẬN Luận án nghiên cứu lớp phạm trù với cấu trúc vành phạm trù với cấu trúc vành giao hoán, Ann-phạm trù vành phạm trù; Ann-phạm trù bện Ann-phạm trù đối xứng Trong luận án thu số kết sau đây: Giải toán tồn phân lớp Ann-hàm tử nhờ nhóm đối đồng điều Mac Lane Hochschild Thiết lập mối liên hệ khái niệm Ann-phạm trù vành phạm trù Đưa khái niệm Ann-phạm trù bện giải vấn đề sở khái niệm mới: xây dựng ví dụ, phụ thuộc số tiên đề, thiết lập mối liên hệ với lớp phạm trù có tính phân phối phạm trù tựa vành Nêu phép dựng Ann-phạm trù đối ngẫu Ann-hàm tử Trong trường hợp đặc biệt, ta thu tâm Ann-phạm trù, Annphạm trù bện Phát biểu chứng minh Định lý phân lớp cho Ann-phạm trù bện Footer Page 106 of 133 Header Page 107 of 133 103 CÁC CÔNG TRÌNH CÓ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN N T Quang, D D Hanh (2005), "Ann-functors and Hochschild cohomology", Journal of Science, Ha Noi National University of Education, Vol 4, pp 3–8 N T Quang, D D Hanh, N T Thuy (2008), "On the axiomatics of Anncategories", JP Journal of Algebra, Number Theory and applications, Vol 11 (1), pp 59–72 N T Quang, D D Hanh (2009), "Homological classification of Ann-functors", East-West J of Mathematics, Vol 11 (2), pp 195–210 N T Quang, D D Hanh (2010), "On the braiding of an Ann-category", Asian-European Journal of Mathematics, Vol (4), pp 647–666 N T Quang, D D Hanh (2011), "Duals of Ann-categories", Commun Korean Math Soc (to appear) N T Quang, D D Hanh (2010), "Cohomological classification of braided Ann-categories", arXiv: 1012.1415v1[math.CT] Các kết luận án báo cáo thảo luận tại: • Hội nghị Đại số - Hình học - Tôpô, Vinh (2007) • Hội nghị Toán học toàn quốc, Quy Nhơn (2008) • Hội nghị Đại số - Hình học - Tôpô, Huế (2009) • Xeminar Bộ môn Đại số, Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội • Hội nghị Cán Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Footer Page 107 of 133 Header Page 108 of 133 104 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] T P Dung (1992), Ann-phạm trù quy ứng dụng, Luận án Tiến sĩ, Hà Nội [2] N T Quang (1988), Ann-phạm trù, Luận án Tiến sĩ, Hà Nội [3] N T Quang (1992), "Ann-phạm trù chặt chẽ", J Math Hanoi, 20(1), pp 41–47 Tiếng Anh [4] Baez J., Lauda A D (2004), "Higher dimensional algebra V: 2-groups", Theor and Appl Cat 12, pp 423–491 [5] Bullejos M., Carrasco P., Cegarra A M (1993), "Cohomology with coefficients in symmetric cat-groups An extension of Eilenberg- MacLane’s classification theory", Math Proc Camb Phil Soc 114, pp 163–189 [6] Carrasco P., Garzón A.R (2004), "Obstruction Theory for Extensions of Categorical Groups", Applied Categorical Structures, 12, pp 35–61 [7] Carrasco P., Garzón A.R., Miranda M G (2000), "Schreier theory for singular extensions of categorical groups and homotopy classification", Communications in Algebra, 28, pp 2585–2613 [8] Cegarra A M., García-Calcines J M., Ortega J A (2002), "On Graded Categorical Groups and Equivariant Group Extensions", Canad J Math 54, No 5, pp 970–997 [9] Cegarra A M., Khmaladze E (2007), "Homotopy classification of braided graded categorical groups", Journal of Pure and Applied Algebra 209, pp 411–437 Footer Page 108 of 133 Header Page 109 of 133 105 [10] Cegarra A M., Khmaladze E (2007), "Homotopy classification of graded Picard categories", Advances in mathematics 213, No 2, pp 644–686 [11] Davydov A (2010), "Centre of an algebra", Advances in mathematics, 225 No 1, pp 319–348 [12] Dupont M (2008), "Abelian categories in dimension 2", PhD thesis, Université catholique de Louvain, in Louvain-la-Neave [arXiv: 0809.1760v1 [math.CT] 10 Sep 2008] [13] Eilenberg S., Mac Lane S (1953), "On the Groups H(Π, n), I ", Annals of Mathematics, 2nd Ser, 58, No 1, pp 55–106 [14] Eilenberg S., Mac Lane S (1954), "On the groups H(Π, n), II : Methods of Computation", Annals of Mathematics, Second Series, 60, No 1, pp 49– 139 [15] Epstein D B A (1966), "Functors between Tensored Categories", Invent math 1, pp 221–228 [16] Fr¨ohlich A., Wall C T C (1974), "Graded monoidal categories", Compositio Mathematica, 28, No 3, pp 229–285 [17] Garzón A R., Del Río A (2005), "Equivariant Extensions of Categorical Groups", Applied Categorical Structure 13, pp 131–140 [18] Hochschild G (1946), "On the Cohomology Theory for Associative Algebras", The Annals of Mathematics, 2nd Ser., 47, No.3, pp 568–579 [19] Huang F., Chen S H., Chen W., Zheng Z J (2010), "2-Modules and the Representation of 2-Rings", arXiv: 1005.2831v1 [math.CT] [20] Joyal A., Street R (1993), "Braided Tensor categories", Advances in Mathematics, 102, pp 20–78 [21] Joyal A., Street R (1991), "Tortile Yang - Baxter operators in tensor categories", Journal of Pure and Applied Algebra, 71, pp 43–51 [22] Jibladze M., Pirashvili T., (2007), "Third Mac Lane cohomology via categorical rings", Journal of Homotopy and Related Structure, 2, No 2, pp 187–216 [23] Kassel C (1995), Quantum Groups, Graduate texts in mathematics, 155, Springer-Verlag, Berlin/ New York Footer Page 109 of 133 Header Page 110 of 133 106 [24] Kasangian S., Rossi F (1981), "Some remarks on symmetry for a monoidal category", Bull Austral Math Soc 23, pp 209–214 [25] Kapranov M M., Voevodsky V A (1994), "2-categories and Zamolodchikov Tetrahedra Equations", Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, 56, Part 2, Amer Math Soc., Providence RI 1994, pp 177–259 [26] Kelly G M (1964), "On Mac Lane’s conditions for coherence of natural associatives, commutativities, etc", Journal of Algebra 1, pp 397–402 [27] Laplaza M L (1972), "Coherence for distributivity", Lecture Notes Math 281, pp 29–65 [28] Laplaza M L (1983), "Coherence for Categories with Group Structure: An Alterlative Approach", Journal of Algebra 84, pp 305–323 [29] Mac Lane S (1963), "Natural associativity and commutativity", Rice Univ Studies 49, No 4, pp 28–46 [30] Mac Lane S (1998), Homology, Springer - Verlag, Berlin and New York [31] Mac Lane S (1958), "Extensions and obstructions for rings", Illions Journal of Mathematics 2, pp 316–345 [32] Majid S (1991), "Representations, duals and quantum doubles of monoidal categories", Suppl Rend Circ Mat Palermo, Series II, 26, pp 197–206 [33] Majid S (1992), "Braided groups and duals of monoidal categories", Canad Math Soc Conf Proc 13, pp 329–343 [34] Mitchell B (1983), "Low dimensional group cohomology as monoidal structures", Am J Math 105, pp 1049–1066 [35] C T K Phung, N T Quang, N T Thuy (2010), "Relation between Anncategories and ring categories", Comm Korean Math Soc 25, No 4, pp 523–535 [36] N T Quang (1987), "Introduction to Ann-categories", J Math Hanoi, 15(4), pp 14–24 [37] N T Quang (1988), "Coherence for Ann-categories" J Math Hanoi 16, pp 17–26 Footer Page 110 of 133 Header Page 111 of 133 107 [38] N T Quang (2009), "Structure of Ann-categories", arXiv 0804 1820 v4 [math CT] [39] N T Quang (2004), "Structure of Ann-categories of Type (R, N ) ", Vietnam Journal of Mathematics 32: 4, 379–388 [40] N T Quang (2007), "On Gr-functors between Gr-categories", arXiv: 0708 1348v1 [math CT] [41] N T Quang, D D Hanh (2005), "Ann-functors and Hochschild cohomology", Journal of Science, HNUE 4, pp 3–8 [42] N T Quang, D D Hanh, N T Thuy (2008), "On the axiomatics of Anncategories", JP Journal of Algebra, Number Theory and applications, 11, N o 1, pp 59–72 [43] N T Quang, D D Hanh (2009), "Homological classification of Annfunctors", East-West J of Math, 11, No 2, pp 195–210 [44] N T Quang, D D Hanh (2010), "On the braiding of an Ann-category", Asian-European Journal of Mathematics, 3, No 4, pp 647–666 [45] N T Quang, D D Hanh (2011), "Duals of Ann-categories", Commun Korean Math Soc (to appear) [46] N T Quang, D D Hanh (2010), "Cohomological classification of braided Ann-categories", arXiv: 1012.1415v1[math.CT] [47] N T Quang (2003), "Structure of Ann-categories and Mac Lane-Shukla cohomology", East-West J of Math 5, pp 51–66 [48] Schauenburg P (2001), "Turning Monoidal Categories into Strict Ones", New York Journal Mathematics 7, pp 257–265 [49] Schmitt V (2009), "Enrichments over symmetric Picard categories", arXiv: 0812.0150v2 [math.CT] [50] N D Thuan (1980), "⊗- strict AU-categories", Acta Mathematica Vietnamica, Tom 5, pp 182–194 Tiếng Pháp [51] Bénabou J (1963), "Catégories avec multiplication", C R Acad Sci, Paris, 253, 1887–1890 Footer Page 111 of 133 Header Page 112 of 133 108 [52] Grothendieck A (1971), Catégories fibrées et déscente, (SGA1) Exposé VI, Lecture Notes in Mathematics 224, 145–194, Springer-Verlag, Berlin [53] Mac Lane S (1956), "Homologie des anneaux et des modules", Collque de Topologie algebrique Louvain, 55–80 [54] Saavedra Rivano N (1972), Catégories Tannakiennes, Lecture Notes in Math 265, Springer- Verlag, Berlin and New York [55] H X Sinh (1975), Gr-catégories, Thèse de Doctorat, Université Paris VII [56] Shukla U (1961),"Cohomologic des algébres associativé", Ann Sci École Norm Sup (3) 78, pp 163–209 Footer Page 112 of 133 Header Page 113 of 133 109 Chỉ mục ˘ H), (G, G, ˘ G), 32 (H, H, Gr-phạm trù, 20 (B, F )-môđun phải, 51 HM acL (R, M ), 32 (C, F )-môđun phải, 50 n HHochs (Λ, A), 35 (h, β), 91 n (R, M ), 91 Hab (p, q, gF ), 95 MA , 25 (p, q, gF ), 42 PA , 25 Ann-bện tương đẳng, 87 P ic-hàm tử, 21 Ann-hàm tử, 28 P ic-phạm trù, 21 bện, 86 mạnh, 46 Ann-mũi tên, 29 bện, 86 Ann-phạm trù, 21 đối xứng, 72 bện, 72 kiểu (R, M ), 73, 91 thu gọn, 89 quy, 22 kiểu (R, M ), 23 thu gọn, 30 Ann-tương đương, 29 bện tắc, 90 tắc, 32 BM acL (R, M ), 35 BM acL (R, M ), 35 BM acL (R, M ), 33 CA , 26 CA , 74 Gr-hàm tử, 21 ZHochs (Λ, A), 35 Footer Page 113 of 133 ZM acL (R, M ), 35 ZM acL (R, M ), 35 ZM acL (R, M ), 32 HomBrAnn (p,q) [S, S ], 96 HomBrAnn (p,q) [A, A ], 98 H3BrAnn , 97 G, 20 BrAnn, 97 A, 21, 72 P , 21 R, 66 B , 51 B ∗ , 51 S , S , 94 ZV , 73 ∂g , 92 ∂M acL g , 33 ∂M acL t, 35 π0 (A), 30, 89 π1 (A), 30, 89 Header Page 114 of 133 110 θ, 25 g = (µ, ν), 33 gF , 42 gF = (µ, ν), 95 h = (σ, α, λ, ρ), 32 h = (ξ, η, α, λ, ρ), 34 h∗ , 42 BrAnn[R, M ], 100 SA, 90 ∗ h , 42 đồng cấu quy, 25 đồng luân, 29, 86 định lý khớp, 17 2-nhóm, 21 đối xứng, 21 A-hàm tử, 17 AC-hàm tử, 20 ACU-hàm tử, 20 AU-hàm tử, 17 groupoid, 20 hàm tử kiểu (p, q), 94 kiểu (p, q), 40 monoidal, 17 đối xứng, 20 bện, 20 nhóm phạm trù, 21 đối xứng, 21 phạm trù có tính phân phối, 79 monoidal, 16 đối xứng, 19 bện, 19 Footer Page 114 of 133 chặt chẽ, 16 Picard, 21 tựa vành, 82 ràng buộc đối xứng, 19 đơn vị, 16 giao hoán, 19 kết hợp, 16 chặt chẽ, 16 kết hợp - giao hoán, 20 phân phối bên phải, 22 bên trái, 22 song tích, 24 trong, 25 song tâm, 25 tâm Ann-phạm trù, 74 phạm trù monoidal, 73 tương đương monoidal, 18 tensor phạm trù bện, 19 tiên đề (U), 69 U-hàm tử, 17 vành song tích ngoài, 25 vành phạm trù, 66 vật quy, 15 vật khả đảo, 20 ... phạm trù monoidal Ann-phạm trù, Ann-phạm trù bện Ann-phạm trù (bện) thu gọn A Ann-phạm trù Ann-phạm trù bện Ann-phạm trù (bện) kiểu (R, M, h) ((R, M, h, β)) vành phạm trù (2-phạm trù) phạm trù. .. gồm: Phạm trù monoidal bện, phạm trù monoidal đối xứng, Gr-phạm trù, P ic-phạm trù, Ann-phạm trù Phần cuối chương trình bày hai lớp đối đồng điều: đối đồng điều vành Mac Lane đối đồng điều đại... nhóm phạm trù phân bậc phạm trù Picard phân bậc vành phạm trù phạm trù vành phạm trù tựa vành phạm trù có tính phân phối hàm tử hàm tử monoidal hàm tử monoidal đối xứng hàm tử monoidal bện tương