Nhập môn TOPO bài giảng dành cho sinh viên Đại học, Cao đẳng

Nhập môn TOPO bài giảng dành cho sinh viên Đại học, Cao đẳng là bộ tài liệu hay và rất hữu ích cho các bạn sinh viên và quý bạn đọc quan tâm. Đây là tài liệu hay trong Bộ tài liệu sưu tập gồm nhiều Bài tập THCS, THPT, luyện thi THPT Quốc gia, Giáo án, Luận văn, Khoá luận, Tiểu luận…và nhiều Giáo trình Đại học, cao đẳng của nhiều lĩnh vực: Toán, Lý, Hoá, Sinh…. Đây là nguồn tài liệu quý giá đầy đủ và rất cần thiết đối với các bạn sinh viên, học sinh, quý phụ huynh, quý đồng nghiệp và các giáo sinh tham khảo học tập. Xuất phát từ quá trình tìm tòi, trao đổi tài liệu, chúng tôi nhận thấy rằng để có được tài liệu mình cần và đủ là một điều không dễ, tốn nhiều thời gian, vì vậy, với mong muốn giúp bạn, giúp mình tôi tổng hợp và chuyển tải lên để quý vị tham khảo. Qua đây cũng gởi lời cảm ơn đến tác giả các bài viết liên quan đã tạo điều kiện cho chúng tôi có bộ sưu tập này. Trên tinh thần tôn trọng tác giả, chúng tôi vẫn giữ nguyên bản gốc. Trân trọng. ĐỊA CHỈ DANH MỤC TẠI LIỆU CẦN THAM KHẢO http:123doc.vntrangcanhan348169nguyenductrung.htm hoặc Đường dẫn: google > 123doc > Nguyễn Đức Trung > Tất cả (chọn mục Thành viên)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG

BÀI GIẢNG NHẬP MÔN TÔ PÔ

LIÊN VƯƠNG LÂM

Tổ Toán- Lý

Quảng Ngãi - 2015

BÀI GIẢNG

NHẬP MÔN TÔ PÔ

LIÊN VƯƠNG LÂM

Tổ Toán- Lý

Quảng Ngãi- 2015

Mở đầu

1.1 Không gian metric và sự hội tụ 1

1.1.1 Khái niệm không gian metric 1

1.1.2 Một số ví dụ về không gian metric 2

1.1.3 Sự hội tụ trong không gian metric 3

1.2 Tập đóng và tập mở 4

1.2.1 Hình cầu và lân cận 4

1.2.2 Tập mở- Tập đóng 5

1.2.3 Phần trong và bao đóng 7

1.2.4 Tập hợp trù mật- Không gian khả li 8

1.3 Ánh xạ liên tục 10

1.3.1 Ánh xạ liên tục 10

1.3.2 Ánh xạ liên tục đều 12

1.3.3 Phép đồng phôi- Phép đẳng cự 13

1.4 Không gian metric đầy đủ 14

1.4.1 Khái niệm không gian metric đầy đủ 14

1.4.2 Nguyên lý Cantor 15

1.4.3 Nguyên lý Baire phạm trù 16

i

1.4.4 Nguyên lý ánh xạ co 16

1.4.5 Bao đầy của một không gian metric 18

1.5 Không gian metric compact 19

1.5.1 Khái niệm tập compact 20

1.5.2 Một số đặc trưng của tập compact và không gian compact 20

1.5.3 Tính chất của hàm số liên tục trên tập compact 22

1.6 Không gian các ánh xạ liên tục 25

1.6.1 Không gian CpX, Y q 25

1.6.2 Định lý Arzela-Ascoli 26

1.6.3 Định lý Stone- Weierstrass 27

2 Không gian Tô Pô 29 2.1 Một số khái niệm cơ bản 29

2.1.1 Khái niệm không gian tô pô 29

2.1.2 Lân cận 30

2.1.3 Tập đóng, phần trong, bao đóng 31

2.1.4 Ánh xạ liên tục 32

2.2 Cơ sở Tô pô 34

2.2.1 Định nghĩa cơ sở Tô pô 34

2.2.2 Xây dựng tô pô 35

2.2.3 Tô pô đầu- tô pô cuối 36

2.3 Phân loại không gian tô pô 37

2.3.1 T1 không gian 37

2.3.2 T2- không gian hay không gian Hausdorff 38

2.3.3 Không gian chính quy và không gian chuẩn tắc 38

2.4.1 Định nghĩa không gian compact 402.4.2 Một số tính chất của không gian compact 41

Nhập môn tô pô là môn học dành cho sinh viên năm thứ 3 ngànhCao đẳng sư phạm Toán Có nhiều sách và tài liệu tham khảo dành chomôn học này Tuy nhiên các sách này hoặc là được viết bằng tiếng Anh,hoặc là được viết để phục vụ cho chuyên ngành sâu Do đó, đối với sinhviên Cao đẳng sư phạm toán việc tiếp cận và học tập môn này là khôngdễ.

Qua thực tiễn nhiều năm giảng dạy và tham khảo các sách, chúng tôibiên soạn tài liệu " Bài giảng nhập môn tô pô" nhằm trình bày dưới một

hệ thống và cách tiếp cận dễ dàng hơn Bắt đầu bằng không gian cụ thể

là không gian metric Sau đó chúng tôi trình bày về không gian tô pô.Các kết quả trong tài liệu chỉ là đại cương đúng với tinh thần " nhập môn".Độc giả có thể tham khảo sâu thêm trong các tài liệu được trích dẫn.Tài liệu được hoàn thành cùng với sự giúp đỡ của các đồng nghiệp ở

Tổ Toán- Lý, trường Đại học Phạm Văn Đồng Cho phép tôi được chânthành cảm ơn Cuối cùng, tài liệu không tránh khỏi những sai sót, rấtmong nhận được sự góp ý chân thành của quý độc giả

Mọi sự góp ý xin gởi về: mr.lvlam@gmail.com

Tôi xin chân thành cảm ơn

Không gian metric

1.1 Không gian metric và sự hội tụ

1.1.1 Khái niệm không gian metric

Định nghĩa 1.1.1 Cho X là một tập hợp khác rỗng Hàm số d : XX Ñ

R được gọi là một metric trên X nếu các tính chất sau thỏa mãn:

i) dpx, yq ¥ 0 với mọi x, y P X và dpx, yq  0 nếu và chỉ nếu x  y

ii) dpx, yq  dpy, xq- tính chất đối xứng

iii) dpx, zq ¤ dpx, yq dpy, zq với mọi x, y, z P X

Nếu d là một metric trên X thì ta nói cặp pX, dq là một không gianmetric

Mỗi phần tử x P X được gọi là một "điểm" Số dpx, yq được gọi là khoảngcách giữa hai điểm x và y

Nhận xét rằng

|dpx, zq
dpx, yq| ¤ dpy, zq, @x, y, z P X

1

1.1.2 Một số ví dụ về không gian metric

Ví dụ 1.1 Cho X là một tập khác rỗng Hàm số d xác định trên X  Xbởi

Ví dụ 1.2 Hàm số dpx, yq  |x
y| là một metric trên R, gọi là metricthông thường trên R

Ví dụ 1.3 Hàm số dpx, yq  a|x
y| là một metric trên R

Ví dụ 1.4 Cho C là trường số phức Với mỗi cặp số phức z  x iy và

z1  x1 iy1 ta định nghĩa

dpz, z1q apx
x1q2 py
y1q2.Kiểm tra được rằng pC, dq là một không gian metric và được gọi là metricthông thường trên C

Ví dụ 1.5 Cho Rn là một không gian vector thực n-chiều Với cặp phần tử

dLpx, yq 

»b a

|xptq
yptq|dt

Kiểm tra được rằng d và dL là các metric trên Cra, bs

Ví dụ 1.7 Cho pX, dq là một không gian metric và A € X là tập con khácrỗng Trên A ta định nghĩa

dppx, yq, px1, y1qq  maxtdXpx, x1q, dYpy, y1qu

Khi đó pX  Y, dq là một không gian metric và được gọi là không gianmetric tích của hai không gian pX, dXq và pY, dYq

Ví dụ 1.9 Cho pX, dq là một không gian metric Ta định nghĩa ánh xạ

l : X  X Ñ R xác định bởi

lpx, yq  mint1, dpx, yqu

a Chứng minh rằng l là một metric trên X

b Có thể thay ”1” bằng một số dương khác được hay không để l vẫn làmetric trên X

Ví dụ 1.10 Cho pX, dq là một không gian metric Ta định nghĩa ánh xạ

l : X  X Ñ R xác định bởi

lpx, yq  dpx, yq

1 dpx, yqKhi đó l là một metric trên X

1.1.3 Sự hội tụ trong không gian metric

Trong phần này, chúng tôi trình bày một số vấn đề về sự hội tụ trongkhông gian metric và các tính chất của sự hội tụ

Định nghĩa 1.1.2 Cho pX, dq là một không gian metric Dãy điểm txnuđược gọi là hội tụ đến điểm x P X nếu lim

n Ñ8dpxn, xq  0, nghĩa là, với mọi

 ¡ 0 tồn tại số tự nhiên n0 sao cho với mọi n ¡ n0 thì

Ta có được điều vô lí

Mệnh đề 1.1.2 Cho X là tập hợp với metric rời rạc Giả sử txnu P X và

xn Ñ a Khi đó tồn tại n0 sao cho với mọi n ¥ n0 thì xn  a

Chứng minh Vì xn Ñ a cho nên với   1

2, tồn tại n0 sao cho mọi n ¥ n0

thì dpxn, aq   1

2.Suy ra dpxn, aq  0 (???) do đó xn  a, @n ¥ n0

Mô tả sự hội tụ trong không gian Rn với metric Euclide và Cra, bs vớimetric ’max’ ?

Bpa, rq  tx P X : dpa, xq ¤ rulần lượt gọi là hình cầu mở, đóng tâm a bán kính r trong không gian metric

pX, dq

Ví dụ 1.11 Xét tâp số thực R với metric thông thường Hình cầu Bpa, rq

là khoảng pa
r, a rq Ngược lại, với mỗi khoảng pa, bq là hình cầu tâm

x0  b a

2 bán kính r  b
a

2 .

Ví dụ 1.12 Mô tả hình cầu trong không gian metric rời rạc?

Ví dụ 1.13 Biểu diễn hình cầu Bp0, 1q trong không gian R2 với các metric

Định nghĩa 1.2.3 Giả sử A là tập con của không gian metric X Ta nói

x P X là một điểm trong của A nếu tồn tại số r ¡ 0 sao cho Bpx, rq € A.Định nghĩa 1.2.4 Tập A được gọi là mở nếu mọi điểm x P A đều là điểmtrong của A Tập B được gọi là đóng nếu phần bù XzB là tập mở

Chứng minh (sinh viên tự chứng minh)

Ví dụ 1.18 Tìm ví dụ chỉ ra rằng giao vô hạn các tập mở không là tập mở

Chứng minh Giả sử G là một tập mở trong R và x P G Vì G mở nêntồn tại một khoảng mở U € G Kí hiệu Ux là hợp của các khoảng mở Unhư thế Khi đó Ux là một tập mở trong G chứa x Ta chứng minh rằng

Ux  pa, bq trong đó a  inf Ux, b  sup Ux

Thật vậy, rõ ràng rằng Ux € pa, bq Với y P pa, bq, y  x Xét a   y   x, từđịnh nghĩa của a tồn tại y1 P Ux sao cho a   y1   y Do đó có khoảng mở

U chứa x và y1, với U € G Suy ra y P U do đó y P Ux Chứng minh hoàntoàn tương tự cho x   y   b Vậy Ux  pa, bq

Từ định nghĩa suy ra Ux là khoảng mở lớn nhất trong G chứa x Từ đósuy ra với x và x1 phân biệt trong G thì hoặc Ux  U1

x hoặc UxX U1

x  H

Mặt khác, vì mỗi khoảng mở Ux đều chứa các điểm hữu tỉ là tập đếm đượccho nên có không quá đếm được các tập Ux và

ii) Điểm x được gọi là điểm dính của tập hợp A nếu với mỗi số r ¡ 0 thì

Bpx, rq X A  H Tập tất cả các điểm dính của tập hợp A được gọi là baođóng của tập hợp A kí hiệu là A

iii) Điểm x được gọi là điểm biên của tập hợp A nếu với mỗi r ¡ 0 thì

Bpx, rq X A  H và Bpx, rq X pXzAq  H Tập tất cả các điểm biên củatập hợp A kí hiệu là BA

iv) Điểm x được gọi là một điểm tụ của tập hợp A nếu với mọi số r ¡ 0thì Bpx, rq X pAztxuq  H

v) Điểm x được gọi là một điểm cô lập của tập A nếu tồn tại r ¡ 0 saocho Bpx, rq X A  txu

Nhận xét i)IntA € A và nếu A-mở thì IntA  A

ii) Điểm tụ có thể không thuộc A, nhưng điểm cô lặp thì thuộc A

Mệnh đề 1.2.4 Phần trong của tập A là tập mở và là tập mở lớn nhấttrong A Do đó, A- mở nếu và chỉ nếu A  IntA

Mệnh đề 1.2.5 Bao đóng của tập A là tập đóng và là tập đóng bé nhấtchứa A Do đó, A đóng nếu và chỉ nếu A  A

Mệnh đề 1.2.6 Cho pX, dq là một không gian metric, A, B là các tập controng X Khi đó:

a) Nếu A € B thì intpAq € intpBq.

b) intpA X Bq  intpAq X intpBq

c) intpAq Y intpBq € intpA X Bq

Nhận xét rằng trong mệnh đề trên tồn tại các tập A, B sao cho dấu "

=" không xảy ra ở khẳng định c) (Sinh viên tự lấy ví dụ)

Mệnh đề 1.2.7 x P X là một điểm dính của tập A nếu và chỉ nếu tồntại dãy txnu € A hội tụ đến x

Chứng minh Giả sử x P A khi đó với mỗi số nguyên dương n thì Bpx, 1{nqX

A  H nghĩa là tồn tại xn sao cho dpxn, xq   1{n Do đó tồn tại dãy

Ví dụ 1.20 Cho X là một tập hợp và d1, d2 là các metric trên X Ta nói

d1, d2 là hai metric tương đương nếu A là tập mở trong pX, d1q nếu và chỉ

nếu A là tập mở trong pX, d2q.

a Chứng minh rằng nếu tồn tại hai số dương A, B sao cho

Ad1px, yq ¤ d2px, yq ¤ Bd1px, yq, @x, y P Xthì d1, d2 là tương đương

b Chứng minh rằng hai không gian metric là tương đương nếu một dãy

xn hội tụ trong không gian metric này thì cũng hội tụ trong không gianmetric kia

c Chứng minh rằng trên tập Cra; bs thì hai metric "sup" và "tích phân "không tương đương

Ví dụ 1.21 [Giả metric] Giả sử X là tập khác rỗng, hàm số d : XX Ñ Rđược gọi là một giả metric trên X nếu d thỏa mãn các điều kiện sau:

x  y Ø dpx, yq  0

a Chứng minh rằng  là một quan hệ tương đương

b Kí hiệu X là tập hợp các lớp tương đương trên X theo quan hệ  Đặt

dprxs, rysq  dpx, yq

Chứng minh rằng d là một metric trên X

c Ánh xạ p : X Ñ X xác định bởi ppxq  rxs Chứng minh rằng A mởtrong X thì ppAq mở trong X.

d Chứng minh rằng hàm số f : X Ñ R và hàm số pf : X  X Ñ R xácđịnh bởi

pfpx, yq  |fpxq
fpyq|

là một giả metric trên X.

Ánh xạ f được gọi là liên tục trên X nếu f liên tục tại mọi điểm xP X

Ví dụ 1.22 Cho pX, dq là một không gian metric và a P X Ánh xạ f :

X Ñ R xác định bởi fpxq  dpx, aq là một ánh xạ liên tục

Ví dụ 1.23 Ánh xạ đồng nhất i : Csra, bs Ñ CLra, bs là một ánh xạ liêntục Tuy nhiên, chiều ngược lại của ánh xạ trên không là ánh xạ liên tục.(Vì sao???)

Ví dụ 1.24 Kí hiệu C1ra, bs là không gian các hàm khả vi liên tục trênđoạn ra, bs với metric

Mệnh đề sau cho các tính chất tương đương của ánh xạ liên tục

Mệnh đề 1.3.1 i) Ánh xạ f liên tục tại điểm x0 nếu và chỉ nếu mọi dãy

txnu € X, xn Ñ x0 thì fpxnq Ñ fpx0q

ii) Ánh xạ f liên tục tại điểm x0 nếu và chỉ nếu với mọi lân cận V của

fpx0q luôn tồn tại lân cận U của x0 sao cho fpUq € V

Mệnh đề 1.3.2 Cho f là ánh xạ từ không gian metric X vào không gianmetric Y Khi đó các khẳng định sau là tương đương:

i) f liên tục

ii) f
1pGq là tập mở trong X với mọi tập mở G trong Y

iii) f
1pF q là tập đóng trong X với mọi tập đóng F trong Y

Chứng minh Ta chứng minh i) và ii) là tương đương Khẳng định ii) vàiii) tương đương được chứng minh bằng cách lấy phần bù

iq ñ iiq Giả sử G là tập mở bất kỳ trong Y Khi đó với bất kỳ x0 P f
1pGq

Vì G mở nên tồn tại  ¡ 0 sao cho Bpfpx0q, q € G Vì f liên tục tại x0 nêntồn tại δ ¡ 0 sao cho fpBpx0, δqq € Bpfpx0q, q Do đó, fpBpx0, δqq € Ghay Bpx0, δq € f
1pGq Vậy f
1pGq là tập mở trong X

iiq ñ iq Lấy x0 P X, ta chứng minh rằng f liên tục tại x0 Với mọi  ¡ 0, thìhình cầu Bpfpx0q, q là mở trong Y nên f
1pBpfpx0q, qq là mở trong X Do

x0 P f
1pBpfpx0q, qq nên tồn tại δ ¡ 0 sao cho Bpx0, δq € f
1pBpfpx0q, qqnên fpBpx0, δqq € Bpfpx0q, q Vậy f liên tục tại x0 mà x0 tùy ý nên f liêntục trên X

Mệnh đề 1.3.3 Cho f : X Ñ Y trong đó X, Y là các không gian metric.Khi đó các khẳng định sau là tương đương:

a) f liên tục trên X;

b) f
1pBq € f
1pBq với mọi tập con B của Y ;

c) fpAq € fpAq với mọi tập con A trong X

Mệnh đề 1.3.4 Cho f, g : X Ñ Y là các ánh xạ liên tục từ không gianmetric X vào không gian metric Y Khi đó tập

A tx P X : gpxq  fpxqu

là tập đóng trong X

Chứng minh Để chứng minh A là tập đóng trong X ta chỉ ra rằng XzA

là tập mở Khi đó, với mọi a P XzA thì gpaq  fpaq hay dpgpaq, fpaqq 

3r ¡ 0 Ta chỉ ra rằng tồn tại hình cầu Bpa, rq € XzA (???)

Nên f liên tục đều trên r0; 1s

Ví dụ 1.28 Hàm số y : p0; 1q Ñ R không liên tục đều

Bây giờ ta xét ánh xạ f : p0; 8q xác định bởi fpxq  1

x là ánh xạ liên tục.Xét dãy xn  1

n là dãy Cauchy trong p0; 8q nhưng fpxnq  n không làdãy Cauchy Tuy nhiên, tính chất fpxnq là dãy Cauchy với mọi dãy Cauchy

sẽ đúng nếu ánh xạ f liên tục đều Cụ thể ta có mệnh đề sau

Mệnh đề 1.3.5 Cho f : X Ñ Y là ánh xạ liên tục đều giữa các khônggian metric X, Y Giả sử rằng txnu là dãy Cauchy trong X khi đó tfpxnqu

là dãy Cauchy trong Y

Chứng minh Vì f là ánh xạ liên tục đều cho nên với mọi  ¡ 0 luôn tồntại δ ¡ 0 sao cho mọi xn, xm thỏa dpxn, xmq   δ thì ρpfpxnq, fpxmqq   .

Mà xn là dãy Cauchy trong X cho nên với δ ¡ 0 luôn tồn tại n0 sao cho vớimọi n ¥ n0 thì dpxn, xmq   δ Do đó tfpxnqu là dãy Cauchy trong Y 1.3.3 Phép đồng phôi- Phép đẳng cự

Định nghĩa 1.3.3 Một song ánh f : X Ñ Y từ không gian metric X vàokhông gian metric Y là phép đồng phôi nếu f và f
1 liên tục

Nếu có một phép đồng phôi từ X vào Y ta nói hai không gian metric X

và Y đồng phôi với nhau

Ví dụ 1.29 Ánh xạ f : p
1; 1q Ñ R xác định bởi fpxq  tanpπ

2xq là mộtphép đồng phôi

Ví dụ 1.30 Xây dựng một phép đồng phôi bất kỳ giữa hai khoảng mở trênR?

Nhận xét Một phép đồng phôi biến tập mở từ không gian này thành tập

mở của không gian kia và ngược lại Do đó, các khái niệm dẫn xuất từ tập

mở như tập đóng, điểm dính, điểm tụ bất biến qua phép đồng phôi.Định nghĩa 1.3.4 Một song ánh f : X Ñ Y từ không gian metric X vàokhông gian metric Y là đẳng cự nếu

Ví dụ 1.32 Cho pX, ρq là một không gian metric và Y là một tập hợp bất

kỳ Giả sử có một song ánh f : Y Ñ X Khi đó đặt

dpy, y1q  ρpfpyq, fpy1qqthì d là một metric trên Y và f là một phép đẳng cự

1.4 Không gian metric đầy đủ

Trong giải tích cổ điển ta biết khái niệm dãy số Cauchy, hơn nữa tabiết rằng mỗi dãy Cauchy là một dãy hội tụ Vấn đề đặt ra trong trườnghợp tổng quát đối với một không gian metric Yêu cầu định nghĩa một dãyCauchy trong không gian metric và mối liên hệ giwuax dãy Cauchy và dãyhội tụ

1.4.1 Khái niệm không gian metric đầy đủ

Định nghĩa 1.4.1 Một dãy txnu trong không gian metric pX, dq được gọi

là dãy Cauchy nếu mọi  ¡ 0 tồn tại n0 sao cho mọi m, n ¡ n0 thì

dpxn, xmq   

Nhận xét Mọi dãy hội tụ đều là dãy Cauchy (???)

Tuy nhiên, trong trường hợp tổng quát điều ngược lại không đúng

Định nghĩa 1.4.2 Không gian metricpX, dq được gọi là không gian metricđầy đủ nếu mọi dãy Cauchy đều hội tụ

Ví dụ 1.33 R với metric thông thường là một không gian metric đầy đủ

Ví dụ 1.34 Cho X là một tập hợp Trên X ta định nghĩa

a Hãy mô tả dãy Cauchy trong không gian pX, dq

b Chứng minh rằng pX, dq là một không gian metric đầy đủ

Ví dụ 1.35 Cho N là tập các số tự nhiên Trên N ta định nghĩa

dpm, nq  | 1

m
1

n|; @m, n P R

a Chứng minh rằng d là một metric trên N

b pN, dq không là không gian metric không đầy đủ

Ví dụ 1.36 Cho C là tập số phức Trên C ta định nghĩa d : C  C Ñ Rxác định bởi

dpz1, z2q  a |z1
z2|

1 |z1|2.a

1 |z2|2

a Chứng minh rằng d là một metric trên C

b Chứng minh rằng pC, dq là một không gian metric đầy đủ

Ví dụ 1.37 Cho R là tập số thực Trên R ta định nghĩa d : R  R Ñ R xácđịnh bởi

dpx, yq  ? |x
y|

1 x2.a

1 y2

a Chứng minh rằng d là một metric trên R

b Chứng minh rằng pR, dq là một không gian metric không đầy đủ

Hướng dẫn: Để chứng minh rằng pR, dq không là không gian đầy đủ ta xétdãy các số tự nhiên là dãy Cauchy trong pR, dq (vì sao???) và dãy khônghội tụ???

Ví dụ 1.38 Không gian Cra; bs với metric sup là đầy đủ

Ví dụ 1.39 Khoảng pa; bq với metric thông thường không là không gianmetric đầy đủ

Ví dụ 1.40 Không gian CLra; bs là không gian metric không đầy đủ

Không gian metric đầy đủ được định nghĩa thông qua dãy Cauchy Tuynhiên, không gian metric đầy đủ có các đặc trưng tương đương có thể được

sử dụng trong nhiều trường hợp thuận tiện Sau đây, chúng tôi trình bàymột số đặc trưng của không gian metric đầy như nguyên lý Cantor, nguyên

lý Baire, nguyên lý ánh xạ co

1.4.2 Nguyên lý Cantor

Định nghĩa 1.4.3 Dãy hình cầu Bn  Bpxn, rnq được gọi là dãy thắt dầnnếu Bn 1 € Bn,@n ¥ 1 và lim rn  0

Cantor, nhà toán học người Đức, cha đẻ của lý thuyết tập hợp đã nêu

ra nguyên lý về tính đặc trưng của không gian metric đầy đủ và dãy hình

Định nghĩa 1.4.5 Cho ánh xạ f : X Ñ X, điểm x0 được gọi là điểm bấtđộng của ánh xạ f nếu fpx0q  x0.

Định nghĩa 1.4.6 Ánh xạ f : pX, dq Ñ pX, dq được gọi là một ánh xạ conếu tồn tại L P r0; 1q sao cho

Ta chứng minh rằng x là duy nhất Thật vậy, nếu tồn tại x1 cũng là điểmbất động thì

0   dpx, x1q  dpfpxq, fpx1qq ¤ Ldpx, x1q

Điều này là vô lý Phép chứng minh kết thúc

Ví dụ 1.43 Hợp thành, tổng của hai ánh xạ co có là ánh xạ co không?

Ví dụ 1.44 Cho f : R Ñ R là hàm số một biến khả vi, liên tục và

sup|f1pxq|  L   1 Chứng minh rằng f là một ánh xạ co.

Ví dụ 1.45 Cho X là không gian metric đầy đủ và f : X Ñ X là một ánh

xạ liên tục thỏa mãn f2  ff là một ánh xạ co Chứng minh rằng f có

Ánh xạ Φ : Cra; bs Ñ Cra; bs xác định bởi

Φpxqptq  λ

» b a

Kpt, sqxpsqds ϕptq

1.4.5 Bao đầy của một không gian metric

Tập các số hữu tỉ Q với metric thông thường tạo nên một không gianmetric không đầy dủ (tồn tại những dãy Cauchy hữu tỉ nhưng hội tụ đến

1 số vô tỉ) Một trong những cách xây dựng tập số thực là làm đầy tập Q.Không những thế không gian Q còn trù mật trong R Một cách tổng quátvới mỗi không gian metric pX, dq người ta có thể xây dựng một không gianmetric đầy đủ p ˆX, ˆdq thỏa mãn các tính chất như trong định lý sau

Định lý 1.4.4 Với mỗi không gian metric pX, dq cho trước, tồn tại khônggian metric đầy đủ p ˆX, ˆdq sao cho

a X đẳng cự với một không gian con Y của ˆX

b Y trù mật trong ˆX

Không gian p ˆX, ˆdq là duy nhất theo nghĩa sai khác một đẳng cự

Không gianp ˆX, ˆdq xác định như trên được gọi là bao đầy của không gianmetric pX, dq

Ví dụ 1.47 Ta kí hiệu không gian X với

X  tpxnq : sup |xn|   Mu