CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN A.LÝ THUYẾT Khái niệm thể tích khối đa diện Các công thức tính thể tích khối đa diện a Thể tích khối hộp chữ nhật: V = abc với a, b, c kích thước khối hộp chữ nhật b Thể tích khối chóp : V = Sđáy h Với h chiều cao khối chóp c Thể tích khối lăng trụ V = Sđáy h; h chiều cao khối lăng trụ B.CÁC DẠNG BÀI TẬP DẠNG 1: TÍNH THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN * PHƯƠNG PHÁP: Để tính thể tích khối đa diện ta + Áp dụng trực tiếp công thức tính thể tích + Chia khối đa diện thành khối nhỏ mà thể tích khối tính tích công thức phần bù vào tính thể tích * CÁC BÀI TẬP Về thể tích khối chóp + Nếu khối chóp có chiều cao đáy ta tính toán chiều cao, diện tích đáy áp dụng công thức V = Sđáy h Bài 1: Tính thể tích hình chóp tam giác SABC trường hợp sau: a Cạnh đáy a, góc ̂ = 600 b AB = a, SA = c SA = 1, góc mặt bên mặt đáy ỏ Giải a Gọi O tâm tam giác ABC >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! SABC = a √ = √ Tam giác ABC có SA = SB; ̂ = 600 SA = AB = SB =a SO OA (vì SO (ABC)) tam giác vuông SOA có √ SO2 = SA2 – OA2 = a2 – ( )2 = a – = SO = a √ Vậy VSABC = sABC SO = √ a√ √ b Tương tự câu a đáp số : VSABC = √ a√ √ c Gọi O tâm tam giác ABC, Gọi A’ trung điểm BC Dễ thấy ((SBC), (ABC)) = ̂ = o’ Tam giác vuông SOA có SO2 = 12 – OA2 = 12 – AA’2 Tam giác vuông SOA’ có sin = sin = l2 SO = AA’2 (sin2o’ + 4) = 9l2 AA’ = √ SABC = AA’ BC = √ SO = √ √ √ = √ sin = √ VSABC = SABC SO = √ √ Bài 2: Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có độ dài cạnh bên = 2a, tam giác ABC vuông A, AB = a, AC = a√ Hình chiếu vuông góc A’ (ABC) trung điểm BC Tính VA’ABC theo a >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Giải Gọi H trung điểm BC suy A’H (ABC) (gt) Ta có SABC = AB AC = a √ Vì A’H (ABC) A’H AH Tam giác vuông A’HA có A’H2 = A’A2 – AH2 = (2a)2 - (a2 + 3a2) Hay A’H2 = 4a2 – a2 = 3a2 A’H = a√ VA’ABC = SABC A’H = a2 √ a√ = Bài 3: Hình chóp S ABCD có SA vuông góc (ABC), SA = a, tam giác ABC vuông cân có AB = BC = a, B’ trung điểm SB, C’ chân đường cao hạ từ A tam giác SAC a Tính VSABC b Chứng minh AB (AB’C’) Tính VSAB’C’ Giải a SABC = BA BC = VSABC = SABC SA = ; SA = a b Tam giác SAB có AB = SA = a tam giác SAB cân A B’S = B’B(1) >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! { (SAB) BC (SAC) { AB’ Kết hợp (1)(2) AB’ (2) SC (AB’C’) Cách 1: AB’ = SB = √ Vì AB’ (SBC) SC’ = = = √ B’C’; SC = √ AB’ =√ a √ B’C’2 = SB’2 – SC’2 = SABC = AB.BC = VAB’C’ = B’C’ = √ √ = √ √ = Cách 2: √ = √ = VSA’B’C’ = = = √ √ a3 = Bài 4: Hình chóp SABC có SA (ABC) Tam giác ABC cân A, D trung điểm BC, AD = a , (SB,(ABC)) = ỏ; (SB,(SAD)) = õ Tính VSABC Giải Dễ thấy (SB,(ABC)) = ỏ = ̂ (SB,(SAD)) = õ = ̂ >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Tam giác ABC cân; DB = DC SAB Có cos ỏ = BC (1) { BC Tam giác vuông SB có sin õ = Từ (1)(2) AD = AB2 ( = (SAD) (2) √ = -a2 SSAB = BD.AD = SD a2 AB = √ AD.AB = = √ √ Bài 5: Cho hình vuông ABCD cạnh a, nửa đường thẳng Ax, Cy (ABCD) phía với mặt phẳng Điểm M không trùng với A Ax, điểm N không trùng với C Cy Đặt AM = m, CN = n Tính thể tích hình chóp BAMNC Giải Gọi I giao điểm AC BD } Ta có BI = = BD (AMNC) BI (AMNC) √ √ Diện tích AMNC S = Vậy VAMNC= SAMNC BI = √ √ = (m+n) * Nếu khối chóp cần tính thể tích chưa biết chiều cao ta phải xác định vị trí chân đường cao đáy >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Ta có số nhận xét sau: - Nếu hình chóp có cạnh bên nghiêng đáy cạnh bên chân đường cao tâm đường tròn ngoại tiếp đáy - Nếu hình chóp có mặt bên nghiêng đáy có đường cao mặt bên xuất phát từ đỉnh chân đường cao tâm đường tròn nội tiếp đáy - Hình chóp có mặt bên mặt mặt chéo vuông góc với đáy đường cao hình chóp đường cao mặt bên mặt chéo - Nếu có đường thẳng vuông góc với mặt đáy khối chóp đường cao khối chóp song song nằm đường thẳng - Nếu đường thẳng nằm đáy khối chóp vuông góc vuông góc với mặt phẳng chứa đỉnh khối chóp đường cao khối chóp đường thẳng kẻ từ đỉnh vuông góc với giao tuyến mặt đáy mặt phẳng chứa đỉnh nói * Nếu khối chóp khối tứ diện ta cần khéo chọn mặt đáy thích hợp Bài 6: SABCD có đáy tam giác cân A, BC = a, ̂ = ỏ, cạnh bên nghiêng đáy góc ỏ Tính VSABC Giải Gọi H hình chiếu S lên (ABC) Vì cạnh bên nghiêng đáy suy H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Ta có ABC = AB.AC.sin Mà BC2 = 2AB2 – 2AB2 cos ỏ = 2AB2(1-cos ỏ) = a2 SABC = AB2 Sin = HA = R = = AB = a√ cos = Tam giác vuông có tan ỏ = SH = tan = >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! VSABC = SABC SH = cos = Bài 7: SABC có đáy ABCD hình bình hành SABCD = √ góc đường chéo = 600, cạnh bên nghiêng đáy góc 450 Tính VSABCD Giải Hạ SO (ABCD) Vì khối chóp có bên nghiêng đáy suy O tâm đường tròn qua đỉnh A, B, C, D suy tứ giác ABCD hình chữ nhật {O} = AC BD Đặt AC = BD = x √ √ Ta có ShcnABCD = AC BD sin600 = x2 = x2 x =3 (SA,(ABCD)) = (SA, AO) = ̂ = 450 = ̂ = (SC,(ABCD)) ASC vuông cân S √ VSABCD = √ = Bài 8: SABC có SA = SB = SC = a, ̂ = 600; ̂ = 900; ̂ = 1200 a Chứng minh ABC vuông b Tính VSABC Giải SO = AC = >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! a {̂ AB = a Tam giác vuông SBC có BC2 = SB2 + SC2 = 2a2 Tam giác SAC có AC2 = a2 + a2 – 2a2 cos 1200 = 2a2 – 2a2 (- ) = 3a2 Tam giác có AC2 = AB2 + BC2 Tam giác ABC vuông B b Hạ SH (ABC) Vì SA = SB = SL HA = HB = HC; tam giác ABC vuông B điểm AC Tam giác vuông SHB có SB = a; BH = SH2 = SB2 – BH2 = √ SH = (Hoặc SAC nửa tam giác VSABC = SABC SH = = H trung SH = = ) AB.BC.SH = a a√ √ = √ Bài 9: SABCD có đáy ABCD hình thang với đáy lớn AB = 2, ACB = 900 Tam giác SAC SBD tam giác có cạnh = √ Tính thể tích khối chóp SABCD Đáp số: VSABCD = √ Bài 10: SABCD có đáy hình thang vuông A D, SAD cạnh = 2a, BC = 3a Các mặt bên lập với đáy góc Tính VSABCD Giải >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Hạ SH (ABCD), H (ABCD) Vì mặt bên lập với đáy góc nên dễ dàng chứng minh H tâm đường tròn nội tiếp đáy Gọi K hình chiếu H lên AD Ta có HK = =a Tam giác vuông SHK có HK = a; SK = 2a √ = a√ (vì SAD đều) SH = √ = a√ Vì tứ giác ABCD ngoại tiếp nên AB + CD = AD + BC = 5a SABCD = = = 5a2 VSABCD = SABCD SH = 5a2 √ = √ Bài 11: Cho hình chóp SABCD có ABCD hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a√ ; (SAB) (ABCD) M, N trung điểm AB, BC Tính VSBMDN Giải >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! { SH (ABCD) SBMDN = SABCD = 2a 2a = 2a2 SCDN = SMDA = sABCD SAB có AB2 = SA2 + SB2 = 4a2 + = + (BMDN) = SAB vuông S SH = VSBMDN = sBMDN SH = 2a2 √ √ = √ Bài 12: SABCD có ABCD hình thang với AB = BC = CD = AD Tam giác SBD vuông S nằm mặt phẳng vuông góc với đáy, SB = 8a, SD = 15a Giải Trong Tam giác vuông SBD có } SH (ABCD) + >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 10 Hay hay SH = √ + a= Vì hình thang có AB = BC = CD = AD a ̂ = ̂ = 600, ̂ = ̂ = 1200 Tam giác SBD có BD2 = SB2 + SD2 = 289a2 BD = 17 a CBD có BD2 = 2BC2 (1+ ) = BC2 = 289a2 BC = SABCD = BC2 sin 1200 = √ SABCD = 3SABC = a2 √ = √ a √ VSABCD = SABCD SH = √ = 170 √ a3 Bài 13: Hình chóp SABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, SCD cân S nằm mặt phẳng vuông góc với (ABCD) Tam giác SAB có SA = a, ̂ = ỏ nằm mặt phẳng lập với (SCD) góc ỏ Tính thể tích khối chóp SABCD Giải Trong } } H trung điểm CD SH (ABCD) Gọi K trung điểm AB ta có HK AB; AB SH (vì SH (ABD)) AB (SKH) AB SK SAB cân S Dễ thấy ((SAB, (SCD)) = ̂ = ỏ Tam giác SAB có Sk = a cos ỏ; AB = 2AK = 2a sin ỏ SHK vuông H có SH = SK Cos ỏ = a cos2 ỏ KH = SK sin ỏ = a sin ỏ cos ỏ SABCD = AB BC = 2a sin ỏ a sinỏ cosỏ = 2a sin2ỏ cosỏ VSABCD = SABCD = a3 sin2 ỏ Bài 14: Hình chop SABCD có tam giác ABC vuông B, = a, SA = a√ , M trung điểm SB Tính VMABC Giải ̂ ; ̂ = 600 BC >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 11 Cách 1: SA (ABC) Từ M kẻ MH // AS cắt AB H suy MH Vì M trung điểm SB MH = SA = (ABC) SABC = AB AC = a tan 600 = a2 √ VMABC = SABC = a2 √ √ = Cách 2: = = , VMABC = VSABC Mà VSABC = SA SABC = a√ a2 √ = a3 √ VMABC = a3 Bài 16: Hình chóp SABCD có ABCD hình chữ nhật, AB = a, AD = a√ , SA = a, SA (ABCD) M, N trung điểm AD SC {I} = BM AC Tính thể tích hình chóp ANIB Giải { } } ON ON (AIB) Ta có NO = SA = ABD có I trọng tâm suy SABI = SABO = SABCD = a.a√ = √ >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 12 SANIB = NO SAIB = √ √ Bài 17: Hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, (SAD) (ABCD) , tam giác SAD Gọi M, N, P trung điểm SB, BC, CD Tính thể tích hình chóp CMNP Giải Gọi E trung điểm AD (CNP) (ABCD) } >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 13 Gọi F hình chiếu M lên (ABCD) Ta có MF = SE = √ = MF // SE Dễ thấy F √ SCNP = SCBD = SABCD = a2 VCMNP = SNCP = a2 √ = √ Nhận xét: dùng phương pháp tọa độ để giải với gốc tọa độ O Ox Bài 18: Cho hình trụ có đáy hai hình tròn tâm O O’ bán kính đáy chiều cao a đường tròn tâm O lấy A, Trên đường tròn tâm O’ lấy B cho AB = 2a Tính thể tích hình chóp OO’AB Giải Kẻ đường sinh AA’ Gọi D đối xứng với A’ qua O’ H hình chiếu B A’D Ta có } BH (AOO’A’) BH đường cao tứ diện BAOO’ >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 14 SAOO’ = , A’B = √ = a√ Tam giác A’BD vuông B suy BD = a √ Tam giác O’BD suy BH = √ VBAOO’ = BH SAOO’ = Bài 19: Cho hình chóp có ABCD hình chữ nhật; AB = a; AD = 2a, SA (ABCD), (SA, (ABCD)) = 600 Điểm M thuộc cạnh SA, AM = √ (BCM) SD = {N} Tính thể tích hình chóp S.BCMN Giải Ta có ̂ = 600 Tam giác SAB vuông A có AM = ̂ = 300 Kẻ SH √ ; AB = a BM SH đường cao hình chóp S.BCMN Ta có SH = SB sin 300 = a BC // (SAD) MN // BC = SBCMN = (MN + BC)BM = VSBCMN = SH SBCMN = MN = √ √ Bài 20: Cho hình chóp SABCD có ABCD hình thang, ̂ AB = BC = a; AD = 20; SA ̂ ; (ABCD); SA = 2a M, N trung điểm SA SD Chứng minh BCMN hình chữ nhật tính thể tích hình chóp >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 15 S.BCNM Giải Ta có BC // AD; BC = AD; MN // AD ; MN = AD BC AB; BC SA BC BC = MN; BC // MN (1) (SAB) BCAM (2) Từ (1) (2) ta có BCNM hình chữ nhật Kẻ SH BM ; SH (BCNM) VSBCNM = SBCNM SH = BC NM SH = Bài 21: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có ABC vuông; AB = AC = a, AA1 = a√ M trung điểm AA1 Tính thể tích lăng trụ MA1BC1 Hướng dẫn: + Chọn mặt đáy tích hợp V= √ + Có thể dùng phương pháp tọa độ Bài 22: Tứ diện ABCD có AB = x có cạnh lại a Tính thể tích tứ diện theo x b Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ACD c Tìm x để thể ABCD đạt giá trị lớn Giải >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 16 Cách 1: Gọi H hình chiếu D lên (ABC) DA = DC = DB = tròn ngoại tiếp tam giác ABC cân H CC’ với C’ trung điểm AB SABC = CC’ AB = √ x = √ x Tam giác vuông HCD có HD2 = CD2 – DC2 = 1HD = √ VABCD = SABC HD = H tâm đường = √ √ x √ = √ Cách 2: Gọi M trung điểm CD CD Vì tam giác ACD ABCD ABM AM = BM = √ >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 17 VABCD = VCBMA = CM SABC = SABM SABM = MC’ AB = x √ VABCD = √ b SACD = √ c VABCD = = √ = √ √ x d(B, (ACD)) = √ Dấu “=” xảy x √ √ x x2 = – x2 x = √ thể tích lớn Bài 23: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy ABCD SA = h Điểm M thuộc cạnh CD Đặt CM = x, Hạ SH vuông góc với BM Tính thể tích khối tứ diện SABH Tìm x để thể tích khối lớn Giải Ta có BM SH (gt); BM SA (vì SA (ABCD) BM AH SABM = SABCD = a2 Mà SABM = AH BM AH = =√ Tam giác SAH vuông A có SH = √ =√ √ >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 18 =√ Tam giác BAH vuông H có BH = √ -√ SABH = AH BH = √ VSABH = SABH SA = √ = a3 h Dấu xảy a = x tức M trùng D Bài 24: Hình chóp SABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA vuông góc với đáy ABC SA = a Điểm M thuộc cạnh AB Đặt góc ACM Hạ SH vuông góc với CM a Tìm giá trị lớn thể tích khối tứ diện SAHC b Hạ AI vuông góc với SC, AK vuông góc với SH Tính thể tích khối tứ diện SAKI Đáp số: a Vmax = ; b VSAKI = Bài 25: Cho tứ diện ABCD có cặp cạnh đối AB = CD = a; AC = BD = b; AD = BC = c Tính thể tích ABCD Giải + Dựng tam giác PQR cho B, C, H trung điểm PQ; QR, PR SDCR = SBCQ = SPDB = SPQB SABCD = SPQR AD = BC = PR; H trung điểm PR suy AH Tương tự AP AQ; AQ AP AR >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 19 VAPQR = SPQR AR Bài 26: VABCD = AD BC MN Sin ỏ Trong ABCD tứ diện có MN độ dài đoạn vuông góc chung cặp cạnh đối AD CB, ỏ =(AD, BC) Hướng dẫn: Dùng hình hộp ngoại tiếp tứ diện Bài 27: Cho hình chóp SABC có tất góc phẳng đỉnh A B tam diện ỏ AB = a Tính thể tích hình chóp SABC Giải Dễ thấy tam giác SAB, CAB tam giác cân S C } Gọi E trung điểm AB AB (SCE) VSABC = VASEC + VBSEC = SSEC(AE + BE) = SSEC AB Tam giác SEC cân E ES = EC (tam giác SAB = tam giác ACB (g.c.g)) Gọi F trung điểm SC EF SC Tam giác SBC cân B BC = BS (vì tam giác SAB = tam giác CAB (g.c.g)); FS = FC FBC = Tam giác vuông EBC có CE = tan Tam giác vuông FBC có BC = √ =( = = >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 20 sin = FC = BC sin = sin Tam giác vuông EFC có EF2 = EC2 – FC2 = tan2 S SEC = EF SC = È.FC = = VSABC = = - ( √ √ √ >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 21