BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN VĂN ĐẠI CÁC HÀM ♣ ☎ , W q -CHỈNH HÌNH VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số chuyên ngành: 62.46.01.02 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC BÌNH ĐỊNH - NĂM 2017 Công trình hoàn thành tại: Trường Đại học Quy Nhơn Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Thái Thuần Quang Phản biện 1: GS TSKH Nguyễn Quang Diệu Phản biện 2: GS TS Đặng Đức Trọng Phản biện 3: PGS TS Đinh Huy Hoàng Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án Trường Đại học Quy Nhơn vào lúc ngày tháng năm 2017 Có thể tìm hiểu luận án thư viện: - Thư viện Quốc gia Việt Nam - Trung tâm thông tin tư liệu Trường Đại học Quy Nhơn LỜI CAM ĐOAN Luận án hoàn thành Trường Đại học Quy Nhơn, hướng dẫn PGS TS Thái Thuần Quang Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu Các kết luận án trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa công bố trước Tác giả Nguyễn Văn Đại LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành hướng dẫn tận tình đầy nhiệt tâm Thầy Thái Thuần Quang Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy gia đình Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Sau đại học, Khoa Toán quý thầy cô giáo giảng dạy lớp nghiên cứu sinh Toán giải tích khóa tận tình giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt thời gian học tập nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn bạn đồng nghiệp gần xa giúp đỡ, động viên, khích lệ tác giả suốt trình làm luận án Xin cảm ơn Liên Vương Lâm, giảng viên Trường Đại học Phạm Văn Đồng, Quảng Ngãi, nhiệt tình tác giả học tập nghiên cứu Cuối cùng, tác giả xin dành tình cảm đặc biệt đến gia đình, người thân người bạn tác giả, người mong mỏi, động viên tiếp sức cho tác giả để hoàn thành luận án Mục lục Mở đầu Chương Tính chỉnh hình hàm ♣☎, W q-chỉnh hình 1.1 Một vài khái niệm 1.2 Một số đặc trưng tính chất ♣Ωq 1.3 Hàm chỉnh hình bị chặn địa phương 10 1.4 Các hàm σ ♣☎, W q-chỉnh hình 11 Chương Thác triển chỉnh hình hàm ♣☎, W q-chỉnh hình 13 2.1 Thác triển từ bao tuyến tính tập bị chặn 13 2.2 Thác triển từ tập compact không đa cực 14 Chương Hàm ♣☎, W q-chỉnh hình phân biệt 16 3.1 Một số vấn đề không gian Stein 16 3.2 Mở rộng Định lý Hartogs tích Descartes 16 3.3 Mở rộng Định lý Hartogs tập chữ thập 17 Chương Một số áp dụng 19 4.1 Bài toán Wrobel 19 4.2 Các định lý hội tụ kiểu Vitali 20 Kết luận 22 Tài liệu tham khảo 23 Danh mục công trình tác giả 26 i MỞ ĐẦU Các hàm chỉnh hình giá trị véctơ công cụ hữu ích việc nghiên cứu lĩnh vực toán học khác, ví dụ lý thuyết nửa nhóm tham số lý thuyết phổ tính toán giải tích hàm Ngay để chứng minh định lý hàm chỉnh hình giá trị vô hướng, đôi lúc hữu ích ta xét hàm với giá trị không gian Banach Trong giải tích hàm, nói có hai cách tiếp cận với tính chất giải tích hàm giá trị véctơ thông qua khái niệm hàm chỉnh hình yếu chỉnh hình, khái niệm “yếu” dễ kiểm tra nhiều thực hành Ở đây, hàm f : D Ñ F gọi chỉnh hình yếu u ✆ f chỉnh hình với u € F ✶ , E, F không gian lồi địa phương D miền (tập mở liên thông) E Ta biết rằng, hàm chỉnh hình chỉnh hình yếu Vì toán đặt cách tự nhiên “Khi tính chất chỉnh hình hàm f định chỉnh hình yếu?” Có thể nói người giải toán vào năm 1938 Dunford [18] Ông khẳng định điều xảy D ⑨ C F không gian Banach Sau Grothendieck [25] mở rộng kết F tựa đầy đủ Trong thực tế, điều E F không gian Hausdorff E khả mêtric [48, Théorème 1.2.10] Như vậy, trường hợp trên, nói chung người ta không kiểm tra tính chỉnh hình hàm giá trị véctơ việc kiểm tra tính chất định nghĩa, mà thuận lợi ta tiến hành kiểm tra thông qua tính chỉnh hình yếu Tuy nhiên, người ta cảm nhận làm bé tập thử F ✶ cho tính chất chỉnh hình hàm f Khi câu hỏi quan trọng đặt “xác định tập thử nhỏ W ⑨ F ✶ ” cho đủ để kiểm tra tính chất chỉnh hình f Vì số khái niệm chỉnh hình yếu khác (yếu khái niệm truyền thống) đề xuất nhận quan tâm nghiên cứu gần Đó hàm ♣F, W q-chỉnh hình, theo nghĩa, u ✆ f chỉnh hình với u € W ⑨ F ✶ Chính thế, gần số tác giả gọi hàm chỉnh hình “rất yếu” thay cho tên gọi “yếu” thông thường nhằm phân biệt với khái niệm yếu xuất Để trả lời câu hỏi đó, thập niên gần đây, hai toán sau dành quan tâm đặc biệt nhiều nhóm nghiên cứu giới Bài toán Tìm kiếm lớp F hàm ♣F, W q-chỉnh hình D ⑨ E với giá trị F điều kiện không gian lồi địa phương E, F, tập xác định D ⑨ E, tập thử W ⑨ F ✶ cho f € F chỉnh hình Bài toán Tìm kiếm lớp F hàm f : M Ñ F điều kiện không gian lồi địa phương E, F, tập xác định M ⑨ E, tập thử W ⑨ F ✶ cho u ✆ f có thác triển chỉnh hình đến lân cận D M f thác triển (duy nhất) chỉnh hình D với f € F Kết sớm Bài toán tìm thấy [40, p 139] cho trường hợp D ⑨ C, F Banach, W xác định chuẩn F lớp hàm bị chặn địa phương (cũng xem [8, Theorem 1.3]) Nó hệ trực tiếp công thức tích phân Cauchy Sau đó, luận án Tiến sĩ mình, Grosse-Erdmann [23] mở rộng kết cho trường hợp W tách điểm F với chứng minh phức tạp Năm 2000, [8] Arendt Nikolski cải thiện chứng minh Grosse-Erdmann cách sử dụng định lý Vitali Thậm chí họ khẳng định kết cho trường hợp F không gian Fréchet Cũng công trình này, tác giả rằng, W không xác định tính bị chặn kết luận không [8, Theorem 1.5] Ở ý rằng, W xác định tính bị chặn xác định chuẩn Tính chất bị chặn địa phương lớp hàm F chứng minh bỏ qua Tuy nhiên, [8], Arendt Nikolski chứng tỏ rằng, trường hợp W không gian hầu xác định chuẩn f € F chỉnh hình tập trù mật D0 D [8, Theorem 1.8] Sau đó, vào năm 2004, Grosse-Erdmann đạt kết tổng quát Bài toán với D miền không gian E lồi địa phương, F đầy đủ địa phương, F lớp hàm bị chặn khuếch đại W tách điểm [24, Theorem 3] Từ kết nói trên, [23] Grosse-Erdmann dễ dàng giải Bài toán cho trường hợp M ✏ D③K, với K tập compact miền D C, thác triển [23, Theorem 5.2] Năm 2004, tác giả giải toán cho tập M nhỏ so với kết trước Ở tập M giả thiết xác định hội tụ địa phương H ♣Dq với D miền Cn F lớp hàm bị chặn M ❳ K với tập compact K ⑨ D [24, Theorem 2] Trong công trình [8], Arendt Nikolski quan tâm đến Bài toán cho trường hợp M tập có điểm giới hạn miền D ⑨ C lớp hàm F tùy ý, W không gian đóng, hầu xác định chuẩn F ✶ [8, Theorem 3.5] Hầu hết tác giả kể sử dụng công cụ túy giải tích phức, cụ thể hàm chỉnh hình nhiều biến giá trị véctơ công cụ không gian véctơ tôpô Vào năm 2007, Bonet, Frerick Jordá [14, 21], thông qua công cụ giải tích hàm, lý thuyết bó nhờ kỹ thuật tuyến tính hóa không gian hàm chỉnh hình, giải Bài toán cho nhiều trường hợp Các tác giả chứng minh kết tổng quát sau: • Nếu F bó đóng lớp C ✽ hàm khả vi vô hạn miền D ❸ Rn , M tập F ♣Dq, W ⑨ F ✶ không gian xác định tính bị chặn, F đầy đủ địa phương ánh xạ hạn chế RM,W : F ♣D, F q Ñ FG ♣M, F q toàn ánh [14, Theorem 9] • Nếu M ❸ D ✂ Nn0 xác định tôpô F ♣Dq W ❸ F ✶ tách điểm, ánh xạ hạn chế RM,W : F ♣Ω, E q Ñ FW ♣M, F qlb toàn ánh hai trường hợp sau: F không gian Br -đầy đủ [14, Theorem 17]; F đầy đủ địa phương W trù mật mạnh [21, Theorem and Theorem 3] Gần đây, vào năm 2009, [22], Frerick, Jordá Wengenroth dùng kỹ thuật nói giải Bài toán cho M tập gầy tập béo với số lớp hàm nhận giá trị không gian đầy đủ địa phương Cụ thể, tác giả khẳng định thác triển đến hàm chỉnh hình bị chặn D trường hợp: • D ⑨ Cn , M ⑨ D tập H ✽ ♣Dq, F không gian đầy đủ địa phương W ⑨ F ✶ không gian mà xác định tính bị chặn F [22, Theorem 2.2] • M tập mẫu H ✽ ♣Dq, F không gian đầy đủ địa phương, W không gian σ ♣F ✶ , F q-trù mật F ✶ F lớp hàm bị chặn M [22, Theorem 3.2] Theo dòng nghiên cứu này, quan tâm đến việc khảo sát toán cách tổng quát so với tác giả trước, trường hợp không gian có bất biến tôpô tuyến tính Đồng thời quan tâm đến hàm chỉnh hình phân biệt, định lý dạng Hartogs, định lý chữ thập cho lớp hàm không gian Fréchet, lớp hàm ♣☎, W q-chỉnh hình phân biệt Bài toán tìm điều kiện để đảm bảo cho hàm chỉnh hình phân biệt (tức chỉnh hình theo biến) chỉnh hình đặt từ cuối kỷ 19 nhận quan tâm nhiều nhà toán học Có thể tạm chia lịch sử phát triển toán thành giai đoạn Trong giai đoạn từ năm 1899 đến năm 1967, nhiều kết đặc biệt quan trọng đạt vấn đề nhà toán học tiếng Osgood (1899), Hartogs (1906) Hukuhara (1930) cho trường hợp hàm biến tích Descartes (hình chữ nhật) Cuối giai đoạn này, Shimoda (1957) Terada (1967) đưa số kết cho trường hợp hai “cạnh” hình chữ nhật có điểm tụ không đa cực Ở giai đoạn từ năm 1968 đến năm 1997, người ta quan tâm đến việc tìm kết tương tự Định lý Hartogs cho hàm giải tích thực tập chữ thập cho trường hợp hàm biến Một số nhà toán học tiêu biểu cho hướng nghiên cứu phải kể đến Siciak, Zaharjuta, Nguyễn Thanh Vân Zeriahi Giai đoạn từ năm 1998 đến năm 2001, kết nghiên cứu chủ yếu định lý chữ thập có kỳ dị giải tích Định lý tổng quát cho trường hợp biến Alehyane Zeriahi [1, Théorème 2.2.1] Người ta gọi kết Định lý chữ thập cổ điển Ta dễ nhận thấy thiết lập định lý cách tổng quát cho trường hợp n → biến, cho không gian giải tích phức đa tạp Stein Với trường hợp có kỳ dị giải tích phải kể đến ¨ kết Oktem Sau chúng Siciak tổng quát hóa cho trường hợp kỳ dị tập đại số [69] Một số kết tổng quát toán thuộc Jarnicki Pflug công bố năm 2000, 2001 Giai đoạn từ năm 2001 đến nay, người ta quan tâm đến định lý chữ thập có kỳ dị tổng quát Bài toán quan tâm giải với kỳ dị đa cực, kỳ dị đa quy, xem xét cho lớp hàm với giá trị đa tạp không gian phức Nhiều kết đạt xem công trình Jarnicki, Pflug Nguyễn Việt Anh Mục đích luận án giải hai Bài toán cho trường hợp tổng quát, cụ thể thay việc xem xét D tập Cn D tập không gian Fréchet đối ngẫu Fréchet đó, mở rộng Định lý Hartogs Định lý chữ thập cho hàm ♣☎, W q-chỉnh hình phân biệt tìm kiếm số áp dụng kết nghiên cứu Giải tích hàm, Giải tích phức, Lý thuyết vị phức, công cụ mà sử dụng luận án Luận án, phần mở đầu kết luận, gồm có chương 86 tài liệu tham khảo Tính bị chặn địa phương hàm đóng vai trò quan trọng toán chỉnh hình yếu thác triển chỉnh hình Trong phần đầu chương 1, quan tâm đến tính bị chặn địa phương hàm chỉnh hình không gian Fréchet với bất biến tôpô tuyến tính Cụ thể chứng minh đẳng thức HLB ♣D, F q ✏ H ♣D, F q (HLB) r q) F € ♣LB q (tương ứng ♣DN q), với tập mở D E, E € ♣Ωq (tương ứng ♣Ω ✽ E, F không gian Fréchet (Định lý 1.3.2) Định lý mở rộng thực kết Vogt phát biểu cho ánh xạ tuyến tính liên tục [82, Satz 2.1, Satz 3.2, Satz 6.1, Satz 6.2] Ở phần chương, nghiên cứu số vấn đề hàm σ ♣F, W q-chỉnh hình Trong [28] Hải mở rộng kết Arendt Nikolski với hàm f xác định tập mở D không gian Fréchet-Schwartz E € ♣Ωq nhận giá trị không gian Fréchet-Schwartz F € ♣LB✽ q D ⑨ C nhận giá trị không gian Fréchet F € ♣LB✽ q hai trường hợp kết có hàm f chỉnh hình tập mở trù mật D [28, Theorem 4.1, Theorem 4.2] Với điều kiện thêm vào “bị chặn tập bị chặn” hàm f kết luận “chỉnh hình tập mở trù mật D” thay “chỉnh hình D” (Định lý 1.4.6) Chú ý rằng, số trường hợp (chẳng hạn, E không gian Fréchet-Montel), tính “bị chặn tập bị chặn” hàm f yếu so với tính “bị chặn địa phương” hàm f Nhờ vào kết Hải [28, Example 5.1] ta Định lý 1.4.6 không hàm giải tích thực nhận giá trị Banach nói chung không hàm giải tích thực nhận giá trị Fréchet tổng quát Cuối cùng, từ Bổ đề 1.4.7 nhận trực tiếp kết cho trường hợp E ✏ Cn (Định lý 1.4.8) Dựa vào kết nghiên cứu chương 1, khảo sát chương toán thác triển chỉnh hình từ tập đặc biệt Dựa vào ý tưởng Meise Vogt [46, Theorem 3.3, Theorem 3.9], xét toán trường hợp tổng quát hơn, thác triển từ bao tuyến tính tập bị chặn (Định lý 2.1.2 Định lý 2.1.3), thác triển từ tập compact không đa cực (Định lý 2.2.3 Định lý 2.2.4) Các kết tổng quát hóa kết Frerick, Jordá Wengenroth [22, Theorem 2.2] Từ tính chất kế thừa qua không gian tính chất ♣DN q, [22] nhận kết tính (Hệ 2.2.5) Hệ khẳng định rằng, không gian đóng nhỏ chứa ảnh tập compact không đa cực qua ánh xạ chỉnh hình bị chặn không gian miền giá trị nhỏ ánh xạ Trong chương nghiên cứu thác triển chỉnh hình hàm ♣F, W q-chỉnh r hình phân biệt từ tích tập L-chính quy compact không gian Stein với không gian Stein đến lân cận (Định lý 3.2.6) hàm ♣F, W q-chỉnh hình bị chặn với tập compact không đa cực tập chữ thập Cp ✂ Cq , F không gian Fréchet W ⑨ F ✶ không gian xác định tính bị chặn F (Định lý 3.3.1) Từ Định lý 3.3.1 suy thớ theo thành phần tập kỳ dị hàm f tập đa cực (Mệnh đề 3.3.2) Nếu ta thay F Định lý 3.3.1 không gian đầy đủ địa phương điều kiện yếu cho họ tu ✆ fz ✉u€W , tu ✆ f w ✉u€W ta nhận thác triển chỉnh hình hàm f tập có kỳ dị (Định lý 3.3.3) Một số kết hàm ♣☎, W q-chỉnh hình với kỳ dị đa quy nhận từ Định lý hệ Chú ý tính đa quy mạnh tính không đa cực Vì ta thay giả thiết “không đa cực” E G Định lý 3.3.1 điều kiện mạnh “đa quy” điều kiện tăng thêm cho họ tu ✆ fz ✉u€W , tu ✆ f w ✉u€W ta nhận thác triển chỉnh hình kỳ dị hàm f (Định lý 3.3.6) Ý tưởng phép chứng minh định lý sử dụng kết gần Frerick, Jordá Wengenroth ([22], Theorem 2.2) Trong chương nêu số áp dụng kết đạt chương trước vào việc giải Bài toán Wrobel chứng minh số định lý hội tụ kiểu Vitali Wrobel đặt toán: Cho D ⑨ C miền, F không gian Banach f : D Ñ F hàm bị chặn địa phương Hàm f có chỉnh hình hay không tồn không gian lồi địa phương Y đơn ánh tuyến tính liên tục j : F Ñ Y cho j ✆ f chỉnh hình? Sử dụng Định lý 1.4.6, 1.4.8, nhận kết tổng quát toán Wrobel (Định lý 4.1.1) Phần chứng minh định lý kiểu Vitali dãy hàm chỉnh hình bị chặn địa phương miền không gian Fréchet với giá trị không gian Fréchet (Định lý 4.2.4) Ý tưởng định lý xuất phát từ định lý Vitali cổ điển nói tìm điều kiện để đảm bảo dãy hàm chỉnh hình mà hội tụ tập miền D hội tụ toàn miền D Kết mở rộng kết Arendt Nikolski (Định lý 4.2.3) Trong phần cuối chương này, trình bày định lý kiểu Vitali dãy hàm chỉnh hình không gian Fréchet-Schwartz có bất biến tôpô tuyến tính (Định lý 4.2.5) Luận án viết dựa công trình [61–63] Các kết luận án báo cáo tại: • Seminar Khoa Toán, Trường Đại học Quy Nhơn; • Hội nghị Toán học phối hợp Việt-Pháp Huế, 20-24/08/2012; • Hội thảo Toán học Châu Á, 2013 Busan, Korea, 30/06-04/07/2013; • Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ Nha Trang, 10-14/08/2013; • Hội nghị Toán học Miền Trung-Tây Nguyên Quy Nhơn, 12-14/08/2015 Bổ đề 1.4.7 Cho E không gian Fréchet, D ⑨ E tập mở F không gian Fréchet Giả sử f : D Ñ F hàm bị chặn địa phương cho ϕ ✆ f chỉnh hình với ϕ € W ⑨ F ✶ , W tách điểm Khi f hàm chỉnh hình Nhận xét Trong Định lý 1.4.6, f : D Ñ F hàm σ ♣F, W q-chỉnh hình cho q ✆ f : D Ñ R bị chặn tập bị chặn D với tất nửa chuẩn liên tục q F hàm f chỉnh hình Từ Bổ đề 1.4.7 ta nhận trực tiếp kết sau cho trường hợp E ✏ Cn , tập W xác định tôpô F tách điểm hàm f bị chặn tập bị chặn Cn bị chặn địa phương Đây tổng quát thật Định lý 1.4.5 Định lý 1.4.8 Cho F không gian Fréchet W không gian F ✶ xác định tôpô F Khi f : D Ñ F hàm σ ♣F, W q-chỉnh hình tập mở D ⑨ Cn (n ➙ 1) cho f bị chặn tập bị chặn D f chỉnh hình 12 Chương THÁC TRIỂN CHỈNH HÌNH CÁC HÀM ♣☎, W q-CHỈNH HÌNH Dựa vào kết đạt chương 1, nghiên cứu toán thác triển chỉnh hình từ tập đặc biệt, thác triển từ bao tuyến tính tập bị chặn, thác triển từ tập compact không đa cực Các kết chương trích từ công trình [61, 62] 2.1 Thác triển từ bao tuyến tính tập bị chặn Định nghĩa 2.1.1 Cho E F hai không gian lồi địa phương Hàm chỉnh hình f : E Ñ F gọi loại bị chặn tồn lân cận U € E tập bị chặn B ⑨ F cho với r → 0, tồn C ✏ C ♣rq thỏa mãn điều kiện f ♣rU q ⑨ C ♣rqB Ta ký hiệu Hub ♣E, F q không gian véctơ H ♣E, F q bao gồm tất hàm chỉnh hình loại bị chặn Ta viết Hub ♣E q thay cho Hub ♣E, Cq Không gian E gọi có tính chất ♣Hub q (viết tắt E € ♣Hub q) đẳng thức H ♣E q ✏ Hub ♣E q xảy Tất nhiên ta có Hub ♣E, F q ⑨ Hb ♣E, F q Không gian véctơ Hub ♣E, F q thường trang bị tôpô τub sau ♣Hub♣E, F q, τubq :✏ limind♣Hb♣Ep, FB q, τbq p,B Tính chất ♣Hub q bất biến tôpô tuyến tính Trong [83] Vogt chứng tỏ ♣Hubq ñ ♣Ωq theo Meise Vogt [46] ♣Ωr q ñ ♣Hubq trường hợp Fréchet hạch Tính chất ♣Hub q kế thừa qua không gian thương Mở rộng kết Meise Vogt (cho trường hợp hàm giá trị vô hướng) [46, Theorem 3.9], nhận kết sau: Định lý 2.1.2 Cho E không gian Fréchet với sở Schauder tuyệt đối F không gian Fréchet Giả sử tồn B € B ♣E q cho điều kiện sau đúng: € ♣ΩB q F € ♣LB✽q; E € ♣ΩB q F € ♣DN q (i) E (ii) r 13 Khi đó, Hb ♣♣EB , τE q, F q ✏ Hub ♣E, F q, τE tôpô EB cảm sinh tôpô E Chú ý Bằng chứng minh, kết luận Định lý phát biểu rằng, với f € H ♣♣EB , ⑥ ☎⑥B q, F q mà f có thác triển chỉnh hình (theo tôpô τE ) đến lân cận € E, thác triển chỉnh hình đến E Trong trường hợp hàm vô hướng E không gian Fréchet hạch, Meise Vogt [46, Theorem r q khẳng định tương đương định lý 3.9] chứng minh E € ♣Ω tương đương với khẳng định sau: H ♣EB , τE q ✏tf € H ♣EB , ⑥ ☎ ⑥B q : f có thác triển chỉnh hình đến lân cận E ✉ Bây ta xét định lý trường hợp E không gian Fréchet hạch cho hàm giá trị Fréchet Định lý 2.1.3 Cho E không gian Fréchet hạch F không gian Fréchet Giả sử tồn B € B ♣E q cho điều kiện sau đúng: € ♣ΩB q F € ♣LB✽q; E € ♣ΩB q F € ♣DN q (i) E (ii) r Khi f € H ♣♣EB , ⑥ ☎ ⑥B q, F q, mà f có thác triển chỉnh hình (theo tôpô τE ) đến lân cận € E, có thác triển chỉnh hình g € Hub ♣E, F q 2.2 Thác triển từ tập compact không đa cực Định nghĩa 2.2.1 ([22]) Tập K ⑨ D gọi tập H ✽ ♣Dq hàm f € H ✽ ♣Dq triệt tiêu K triệt tiêu toàn miền D Với đĩa đơn vị D ✏ ∆ C, kết cổ điển nói dãy K ✏ tzn : n € N✉ tập không gian hàm chỉnh hình bị chặn thỏa mãn điều ➦ kiện Blaschke ♣1 ✁ ⑤zn⑤q ✏ ✽ € n N Năm 2009, Frerick, Jordá Wengenroth [22] (cũng xem [14, Theorem 9]) chứng minh kết sau: Định lý 2.2.2 ([22]) Giả sử K tập H ✽ ♣Dq, D miền Cn , F không gian đầy đủ địa phương W ⑨ F ✶ không gian xác định tính bị chặn F Nếu f : K Ñ F hàm cho u ✆ f có thác triển gu € H ✽ ♣Dq với u € W, f có thác triển g € H ✽ ♣D, F q Trong phần này, cách sử dụng kết trên, xét thác triển chỉnh hình hàm giá trị véctơ từ tập không đa cực không gian Fréchet hạch 14 Chúng đặt vấn đề tìm lớp không gian Fréchet đủ lớn để với tập xác định tính bị chặn W F ✶ ta nhận thác triển chỉnh hình hàm f từ tập compact không đa cực K D ⑨ E đến toàn D F € ♣DN q u ✆ f thác triển chỉnh hình với u € W Tuy nhiên, đạt mong muốn trường hợp E thuộc lớp không gian Fréchet hạch có tính chất xấp xỉ bị chặn, W ⑨ F ✶ tập cụ thể (xem Định lý 2.2.3) F không gian đặc biệt H ♣Cq, không gian có tính chất ♣DN q Định lý 2.2.3 Giả sử E không gian Fréchet hạch có tính chất xấp xỉ bị chặn K tập compact, lồi, cân, không đa cực E Cho W ✏ tϕ ✆ R : ϕ € rH ✽ ♣r∆qs✶ ✉ ⑨ rH ♣Cqs✶ với r → 1, ∆ ✏ tλ € C : ⑤λ⑤ ➔ 1✉ đĩa đơn vị C R : H ♣Cq Ñ H ✽ ♣r∆q ánh xạ hạn chế Giả sử f : K Ñ H ♣Cq hàm cho u ✆ f có thác triển gu € H ✽ ♣Dq với u € W, D lân cận K Khi f có thác triển g € H ✽ ♣D, H ♣Cqq Chúng ta chưa biết định lý có hay không với tập W ⑨ rH ♣Cqs✶ mà xác định tính bị chặn H ♣Cq Tuy nhiên, E thuộc vào lớp nhỏ không gian Fréchet hạch, cụ thể, E có sở Schauder tuyệt đối, định lý với hàm K nhận giá trị không gian Fréchet F € ♣DN q tùy ý Ta có kết sau: Định lý 2.2.4 Giả sử E không gian Fréchet hạch có sở Schauder tuyệt đối K tập compact, lồi, cân, không đa cực E Cho F không gian Fréchet với F € ♣DN q cho W ⑨ F ✶ không gian xác định tính bị chặn F Giả sử f : K Ñ F hàm cho u ✆ f có thác triển gu € H ✽ ♣Dq với u € W, D lân cận K Khi f có thác triển g € H ✽ ♣D, F q Chú ý Hải [28, Theorem 3.1] chứng minh kết cho trường hợp W ✏ F ✶ (nghĩa f chỉnh hình yếu), K tập compact không gian Fréchet E € ♣Ωq F không gian Fréchet có tính chất ♣LB✽ q Từ tính chất kế thừa qua không gian bất biến ♣DN q, [22, Corollary 2.3] ta nhận kết tính sau đây: Hệ 2.2.5 Giả sử E không gian Fréchet hạch với sở Schauder tuyệt đối, K tập compact, lồi, cân, không đa cực E D miền chứa K Cho F không gian Fréchet với F € ♣DN q G ⑨ F không gian đóng F Nếu f € H ✽ ♣D, F q hàm cho f ♣K q ⑨ G f ♣Dq ⑨ G 15 Chương HÀM ♣☎, W q-CHỈNH HÌNH PHÂN BIỆT Các kết chương trích từ công trình [62, 63] 3.1 Một số vấn đề không gian Stein 3.2 Mở rộng Định lý Hartogs tích Descartes Trước hết ta giới thiệu số khái niệm ký hiệu Định nghĩa 3.2.1 Giả sử D tập không gian phức không gian lồi địa phương X F không gian lồi địa phương Ta nói f : D Ñ F chỉnh hình địa phương D với x € D tồn lân cận U x X hàm chỉnh hình fr U cho fr ✏ f U ❳ D Định nghĩa 3.2.2 ([37]) Cho X, Y không gian phức lồi địa phương, E ⑨ K ⑨ X G ⑨ L ⑨ Y tập Khi ♣E ✂ Lq ❨ ♣K ✂ Gq gọi tập chữ thập Với không gian lồi địa phương F, hàm f : ♣E ✂ Lq❨♣K ✂ Gq Ñ F gọi chỉnh hình địa phương phân biệt (i) Với x € E, hàm fx ♣y q :✏ f ♣x, y q chỉnh hình địa phương L; (ii) Với y € G, hàm f y ♣xq :✏ f ♣x, yq chỉnh hình địa phương K Định nghĩa 3.2.3 Giả sử E, F không gian lồi địa phương, D tập mở E, W ⑨ F ✶ Một hàm f : D Ñ F gọi (i) ♣F, W q-chỉnh hình D (và viết f (ii) € H W ♣D, F q) u ✆ f chỉnh hình với u € W ♣F, W q-chỉnh hình bị chặn D (và viết f € H W,✽♣D, F q) u ✆ f chỉnh hình bị chặn D với u € W 16 W ♣D, F q) với z (iii) ♣F, W q-chỉnh hình địa phương (và viết f € Hloc cận U z D cho f € H W ♣U, F q € D tồn lân W,✽ (iv) ♣F, W q-chỉnh hình bị chặn địa phương (và viết f € Hloc ♣D, F q) với z € D tồn W lân cận U z D cho f € Hloc ♣U, F q u ✆ f bị chặn U với u € W Chúng bắt đầu mục định lý sau r Định lý 3.2.6 Giả sử K tập L-chính quy compact không gian Stein bất khả quy địa phương X Y không gian Stein với H ♣Y q € ♣DN q Cho F không gian đầy đủ địa phương W ⑨ F ✶ không gian xác định tính bị chặn F Giả sử f : K ✂ Y Ñ F hàm cho: (i) Với z € K hàm fz € H W,✽♣Y, F q, fz : Y Ñ F fz ♣wq ✏ f ♣z, wq, w xác định €Y; (ii) Với w € Y hàm f w € H W ♣K, F q tu ✆ f w ✉u€W bị chặn địa phương K, f w : K Ñ F xác định f w ♣z q ✏ f ♣z, wq, z € K Khi f thác triển đến hàm chỉnh hình lân cận U 3.3 ✂Y K ✂ Y Mở rộng Định lý Hartogs tập chữ thập Định lý 3.3.1 Giả sử U ⑨ Cn , V ⑨ Cm miền K ⑨ U, L ⑨ V tập compact, không đa cực, F không gian Fréchet W ⑨ F ✶ không gian xác định tính bị chặn F Giả sử Y ✏ ♣K ✂ V q ❨ ♣U ✂ Lq f : Y Ñ F hàm thỏa mãn điều kiện: (i) Với u € W z € K hàm u ✆ fz € H ✽♣V q, fz : V Ñ F fz ♣wq ✏ f ♣z, wq, w (ii) Với u € W w xác định €V; € L hàm u ✆ f w € H ✽♣U q, f w : U Ñ F f w ♣z q ✏ f ♣z, wq, z xác định € U Khi f thác triển chỉnh hình đến lân cận mở D Y✝ ✏ ♣K ✂ L✝q ❨ ♣K ✝ ✂ Lq mà hợp thành phần liên thông Yr có giao với K ✝ ✂ L✝ , Yr ✏ t♣z, wq € U ✂ V : ω ♣z, K ✝ , U q   ω ♣w, L✝ , V q ➔ 1✉ 17 Từ định lý ta nhận kết sau Mệnh đề 3.3.2 Cho K, L tập compact, liên thông, không đa cực Cn , Cm tương ứng F không gian Fréchet Giả sử f : K ✂ L Ñ F hàm chỉnh hình phân biệt Ký hiệu A♣f q ✏ t♣x, y q € K ✂ L : f có thác triển chỉnh hình đến lân cận mở ♣x, yq Cn ✂ Cm✉ S ♣f q ✏ ♣K ✂ Lq③A♣f q Nếu S1 S2 phép chiếu từ S ♣f q vào Cn Cm tương ứng S1 đa cực Cn S2 đa cực Cm Nếu thay F Định lý 3.3.1 không gian đầy đủ địa phương điều kiện yếu họ tu ✆ fz ✉u€W , tu ✆ f w ✉u€W K, L tập có dạng Fσ nhận kết sau: Định lý 3.3.3 Giả sử K L tập không đa cực liên thông, dạng Fσ Cp Cq tương ứng, E ⑨ K G ⑨ L không đa cực Cho F không gian đầy đủ địa phương W ⑨ F ✶ không gian xác định tính bị chặn F Giả sử f : ♣E ✂ Lq❨♣K ✂ Gq Ñ F cho: (i) Với z (ii) Với w W,✽ € E hàm fz € Hloc ♣L, F q, fz : L Ñ F fz ♣wq ✏ f ♣z, wq, w € L; xác định W,✽ ♣K, F q, f w : K Ñ F € G hàm f w € Hloc f w ♣z q ✏ f ♣z, wq, z € K Khi tồn tập đa cực E ✶ r♣E ③E ✶q ✂ Ls ❨ rK ✂ ♣G③G✶qs ⑨E G✶ ⑨ G cho f xác định chỉnh hình địa phương Định lý 3.3.4 Với giả thiết Định lý 3.3.3, K L compact, lồi, không đa cực tồn tập đa cực E ✶ ⑨ E G✶ ⑨ G cho f thác triển chỉnh hình đến lân cận r♣E ③E ✶ q ✂ Ls ❨ rK ✂ ♣G③G✶ qs Hệ 3.3.5 Giả thiết Định lý 3.3.3, E G đa quy, hàm f chỉnh hình địa phương ♣E ✂ Lq ❨ ♣K ✂ Gq Chú ý tính đa quy mạnh tính không đa cực Ta nhận kết quả: Định lý 3.3.6 Giả sử K L miền Cp Cq tương ứng, E ⑨ K G ⑨ L đa quy, compact Cho F không gian đầy đủ địa phương W ⑨ F ✶ không gian xác định tính bị chặn F Giả sử f : ♣E ✂ Lq ❨ ♣K ✂ Gq Ñ F cho: (i) Với z € E hàm fz € H W,✽ ♣L, F q tu ✆ fz ✉u€W bị chặn địa phương G fz : L Ñ F cho fz ♣wq ✏ f ♣z, wq, w € L; (ii) Với w € G hàm f w € H W,✽ ♣K, F q tu ✆ f w ✉u€W bị chặn địa phương E f w : K Ñ F cho f w ♣z q ✏ f ♣z, wq, z € K Khi f có thác triển chỉnh hình đến lân cận ♣E ✂ Lq ❨ ♣K ✂ Gq 18 Chương MỘT SỐ ÁP DỤNG Các kết chương trích từ công trình [61] 4.1 Bài toán Wrobel Năm 1982, [84] Wrobel đặt toán: Cho D ⑨ C miền, F không gian Banach f : D Ñ F hàm bị chặn địa phương Hàm f có chỉnh hình hay không tồn không gian lồi địa phương Y đơn ánh tuyến tính liên tục j : F Ñ Y cho j ✆ f chỉnh hình Grosse-Erdmann đưa câu trả lời trường hợp f bị chặn M ❳ K với tập compact K D, M ⑨ D xác định hội tụ địa phương H ♣Dq [24, Theorem 5] trường hợp f bị chặn khuếch đại với D miền không gian lồi địa phương E F không gian đầy đủ địa phương [24, Theorem 6] Ở đây, hàm f gọi bị chặn khuếch đại q ✆ f : D Ñ R bị chặn địa phương với nửa chuẩn liên tục q F Sử dụng Định lý 1.4.6, 1.4.8 với W ✏ ty ✶ ✆ j : y ✶ € WY ✉, WY ⑨ Yβ✶ xác định tôpô Y, ta có cách trực tiếp kết sau cho toán Wrobel Định lý 4.1.1 Giả sử E, F không gian Fréchet f : D Ñ F hàm miền D ⑨ E Giả sử tồn không gian lồi địa phương Y đơn ánh tuyến tính liên tục j : F Ñ Y cho j ✆ f : D Ñ Y chỉnh hình Khi f chỉnh hình điều kiện sau thỏa mãn: (i) E, F Schwartz, E có sở Schauder tuyệt đối, E tập bị chặn D; € ♣Ωq, F € ♣LB✽q f bị chặn (ii) E, F Schwartz, E có sở Schauder tuyệt đối, E € ♣Ωq, F € ♣LB✽ q q ✆ f : D bị chặn tập bị chặn D với nửa chuẩn liên tục q F ; (iii) E ✏ Cn♣n ➙ 1q f bị chặn tập bị chặn D 19 Ñ R 4.2 Các định lý hội tụ kiểu Vitali Trong phần ta xét đến dãy hàm chỉnh hình mà hội tụ tập D0 miền D Yêu cầu đặt tìm điều kiện để đảm bảo dãy hàm hội tụ toàn miền D Các kết dạng gọi hội tụ kiểu Tauber Một ví dụ quan trọng cho kết kiểu Định lý Vitali Trong trường hợp hàm vô hướng, chứng minh sớm định lý đưa nhờ trợ giúp Định lý Montel Tuy nhiên, Định lý Montel không cho trường hợp hàm giá trị véctơ Nhưng điều đặc biệt Định lý Vitali cho trường hợp hàm giá trị Banach [8, Theorem 2.1] Ở việc chấp nhận điểm giới hạn D tập D0 tính chất bị chặn địa phương dãy hàm xem xét Trong phần đầu mục mở rộng kết Định lý Vitali đề cập [8] cho trường hợp E, F không gian Fréchet Tiếp theo, nghiên cứu định lý kiểu Vitali trường hợp không gian Fréchet thỏa mãn bất biến tôpô tuyến tính Trước hết ta cần kết bổ trợ cho chứng minh chương Định nghĩa 4.2.1 Cho D miền không gian Fréchet E Tập D0 ⑨ D gọi tập D phần D0 rỗng Tập D0 ⑨ D gọi tập không D phần D0 khác rỗng Bổ đề 4.2.2 Cho D miền không gian Fréchet E f : D Ñ F chỉnh hình, F không gian lồi địa phương Hausdorff Giả sử D0 ✏ tz € D : f ♣z q € G✉ tập không D, với G không gian đóng F Khi f ♣z q € G với z € D Trong [8] Arendt Nikolski chứng minh kết sau: Định lý 4.2.3 ([8]) Cho D ⑨ C tập mở, liên thông Giả sử tfi ✉i€N dãy hàm chỉnh hình D nhận giá trị không gian Banach F bị chặn địa phương (nghĩa với z € D tồn lân cận cho tfi ✉i€N bị chặn lân cận đó) Khi khẳng định sau tương đương: (i) Dãy tfi ✉i€N hội tụ tất tập compact D đến hàm chỉnh hình f : D F; (ii) Tập hợp D0 ✏ tz € D : Ñ lim fi ♣z q tồn tại✉ có điểm giới hạn D i Ñ✽ Bằng cách sử dụng Bổ đề 1.4.7 4.2.2, mở rộng định lý Định lý 4.2.4 Cho E, F không gian Fréchet D ⑨ E miền Giả sử tfi ✉i€N dãy hàm chỉnh hình bị chặn địa phương D nhận giá trị F Khi điều kiện sau tương đương: (i) Dãy tfi ✉i€N hội tụ tập compact D đến hàm chỉnh hình f : D (ii) Tập D0 ✏ tz € D : lim fi ♣z q tồn tại✉ không D i Ñ✽ 20 Ñ F; Định lý 4.2.5 Cho E, F không gian Fréchet-Schwartz tfi ✉i€N dãy hàm chỉnh hình từ miền D ⑨ E vào F cho tfi ✉i€N bị chặn tập bị chặn D Giả sử E có sở Schauder tuyệt đối, E € ♣Ωq, F € ♣LB✽ q Khi khẳng định sau tương đương: (i) Dãy tfi ✉i€N hội tụ tất tập compact D đến hàm chỉnh hình f : D Ñ F; (ii) Tập D0 ✏ tz € D : ilim f ♣z q tồn tại✉ không D Ñ✽ i Hệ 4.2.6 Giả sử E, F không gian Fréchet-Schwartz tfi ✉i€N dãy hàm chỉnh hình từ miền D ⑨ E vào F cho tfi ✉i€N bị chặn tập bị chặn D Giả sử E có sở Schauder tuyệt đối, E € ♣Ωq, F € ♣LB✽ q Khi tồn dãy hội tụ đến hàm chỉnh hình tất tập compact D tập D0 ✏ tz € D : tfi ♣z q : i € N✉ compact tương đối F✉ không D Tương tự, suy từ Định lý 1.4.8 kết Định lý 4.2.7 Cho tfi ✉i€N dãy hàm chỉnh hình từ miền D ⑨ Cn ♣n ➙ 1q vào không gian Fréchet F , cho tfi ✉i€N bị chặn tập bị chặn D Khi khẳng định sau tương đương: (i) Dãy tfi ✉i€N hội tụ tất tập compact D đến hàm chỉnh hình f : D Ñ F; (ii) Tập D0 ✏ tz € D : ilim f ♣z q tồn tại✉ có điểm tụ D Ñ✽ i Từ Định lý 4.2.7, Hệ 4.2.6 ta có Hệ 4.2.8 Cho F không gian Fréchet tfi ✉i€N dãy hàm chỉnh hình từ miền D ⑨ Cn ♣n ➙ 1q vào F cho tfi ✉i€N bị chặn tập bị chặn D Khi tồn dãy hội tụ đến hàm chỉnh hình tất tập compact D tập D0 ✏ tz € D : tfi ♣z q : i € N✉ compact tương đối D✉ có điểm tụ D 21 KẾT LUẬN Nội dung chủ yếu luận án nghiên cứu hàm án đóng góp kết sau đây: ♣☎, W q-chỉnh hình áp dụng Luận • Đưa đặc trưng ♣Ω✽ q ♣ΩB q cho bất biến tôpô tuyến tính ♣Ωq Các kết khắc phục số khó khăn chưa vượt qua trước khảo sát hàm chỉnh hình lớp không gian Chú ý rằng, không gian có tính chất ♣Ωq thuộc lớp rộng không gian Fréchet theo phân loại bất biến tôpô tuyến tính Đây công cụ quan trọng chứng minh kết sau luận án hàm chỉnh hình lớp không gian • Khẳng định hàm chỉnh hình tập mở không gian Fréchet E nhận giá trị không gian Fréchet F bị chặn địa phương (Định lý 1.3.2) • Đưa điều kiện để đảm bảo cho tính chỉnh hình hàm σ ♣F, W q-chỉnh hình, bị chặn tập bị chặn D (Định lý 1.4.6) • Chứng minh thác triển chỉnh hình hàm ♣☎, W q-chỉnh hình từ bao tuyến tính tập bị chặn (Định lý 2.1.2, Định lý 2.1.3), từ tập compact không đa cực (Định lý 2.2.3, Định lý 2.2.4) r • Mở rộng Định lý Hartogs tích Descartes tập L-chính quy compact không gian Stein với không gian Stein đến lân cận (Định lý 3.2.6) Đồng thời mở rộng Định lý Hartogs tập chữ thập có kỳ dị đa cực, kỳ dị đa quy, kỳ dị (các Định lý 3.3.1, 3.3.3, 3.3.4, 3.3.6) • Áp dụng kết phía trước để giải toán Wrobel trường hợp tổng quát hơn, định lý kiểu Vitali dãy hàm chỉnh hình không gian Fréchet (các Định lý 4.1.1, 4.2.4, 4.2.5, 4.2.7) Các kết đóng góp thực vào hướng nghiên cứu hàm ♣☎, W q-chỉnh hình áp dụng Chúng có ý nghĩa khoa học, mang tính thời quan tâm nhiều tác giả lĩnh vực nghiên cứu luận án Chúng dự định tương lai nghiên cứu vấn đề sau: • Nghiên cứu toán với tập thử W khác • Khảo sát toán trường hợp không gian Fréchet bất biến tôpô tuyến tính • Khảo sát toán không gian có trọng hàm chỉnh hình • Tìm kiếm số ứng dụng 22 Tài liệu tham khảo [1] O Alehyane and A Zeriahi (2001), “Une nouvelle version du théorème d’extension de Hartogs pour les applications séparément entre espaces analytiques”, Ann Polon Math., 76, 245-278 [8] W Arendt and N Nikolski (2000), “Vector-valued holomorphic functions revisited”, Math Z., 234, 777-805 [10] E Bedford and B A Taylor (1982), “A new capacity of plurisubharmonic functions”, Acta Math., 149, 1-40 [14] J Bonet, L Frerick and E Jordá (2007), “Extension of vector valued holomorphic and harmonic functions”, Studia Math., 183, 225-248 [15] S Dineen (1981), Complex Analysis in Locally Convex Spaces, North-Holland Math Stud [16] S Dineen (1999), Complex Analysis on Infinite Dimensional Spaces, Springer Verlag [17] S Dineen, R Meise and D Vogt (1984), “Characterization of nuclear Fréchet spaces in which every bounded set is polar”, Bull Soc Math France, 112, 41-68 [18] N Dunford (1938), “Uniformity in linear spaces”, Trans Amer Math Soc., 42(2), 305-356 [19] G Fischer (1976), Complex Analytic Geometry, Lecture Notes in Math., Springer, 538 [20] F Forstneri˘c (2011), Stein Manifolds and Holomorphic Mappings, Springer Berlin [21] L Frerick and E Jordá (2007), “Extension of vector-valued functions”, Bull Belg Math Soc Simon Stevin, 14(3), 499-507 [22] L Frerick, E Jordá and J Wengenroth (2009), “Extension of vector-valued functions”, Math Nachr., 282, 690-696 [23] K G Grosse-Erdmann (1992), The Borel-Okada Theorem Revisited, Habilitationsschrift Fernuniversit¨ at Hagen, Hagen [24] K G Grosse-Erdmann (2004), “A weak criterion for vector-valued holomorphy”, Math Proc Cambridge Philos Soc., 136, 399-411 23 [25] [28] A Grothendieck (1953), “Sur certains espaces de fonctions holomorphes I”, J Reine Angew Math., 192, 35-64 L M Hai (2002), “The property ♣LB✽ q and Frechet-valued holomorphic functions on compact sets”, Vietnam J Math., 31(3), 281-294 [37] M Jarnicki and P Pflug (2003), “An extension theorem for separately holomorphic functions with pluripolar singularities”, Trans Amer Math Soc., 355(3), 1251-1267 [40] T Kato (1980), Perturbation Theory for Linear Operators, Springer Berlin [43] M Klimek (1991), Pluripotential Theory, Clarendon Press, Oxford [46] R Meise and D Vogt (1986), “Holomorphic functions of uniformly bounded type on nuclear Frechet spaces”, Studia Math., 83, 147-166 [48] Ph Noverraz (1973), Pseudo-convexite, Convexite Polynomiale et Domaines d’Holomorphie en Dimension Infinie, North-Holland Math Stud [56] A Pietsch (1971), Nuclear locally convex spaces, Ergeb Math Grenzgeb Springer Verlag [61] T T Quang, L V Lam and N V Dai (2013), “On σ ♣☎, W q-holomorphic functions and theorems of Vitali-type”, Complex Anal Oper Theory, 7(1), 237-259 [62] T T Quang and N V Dai (2014), “On Hartogs extension theorems for separately ♣☎, W q-holomorphic functions”, Int J Math., 25(12), 1450112 (15 pages) [63] T T Quang and N V Dai (2015), “On the holomorphic extension of vector valued functions”, Complex Anal Oper Theory, 9, 567-591 [64] H H Schaefer (1991), Topological Vector Spaces, Springer Berlin [69] J Siciak (2001), “Holomorphic functions with singularities on algebraic sets”, Uni Iagell Acta Math., 75, 9-16 [78] D Vogt (1977), “Charakterisierung der Unterr¨aume von s”, Math Z., 155, 109-117 [79] D Vogt (1977), “Subspaces and quotient spaces of s”, in Functional Analysis: Surveys and Recent Results III (ed K D Bierstedt, B Fuchssteiner), North-Holland Math Stud., 27, 167-187 [80] D Vogt (1982), “Eine Charakterisierung der Potenzeihenr¨aume von endlichem Typ und ihre Folgerungen”, Manuscripta Math., 37, 269-301 [81] D Vogt (1982), “Charakterisierung der Unterr¨aume eines nuklearen Stabilen Potenzeihenr¨ aume von endlichem Typ”, Studia Math., 71, 251-270 [82] D Vogt (1983), “Frechetr¨aume zwischen denen jede stetige linear Abbildung beschraukt ist”, J Reine Angew Math., 345, 182-200 24 [83] D Vogt (1985), “On two classes of F -spaces”, Arc Math., 45, 255-266 [84] V Wrobel (1982), “Analytic functions into Banach spaces and a new characterization for isomorphic embeddings”, Proc Amer Math Soc., 85, 539-543 [85] V P Zahariuta (1980), “Isomorphism of spaces of analytic functions”, Soviet Math Dokl., 22, 631-634 [86] A Zeriahi (1991), “Fonction de Green pluricomplexe pôle l’infini sur un espace de Stein parabolique”, Math Scand., 69, 89-126 25 DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ 1) T T Quang, L V Lam and N V Dai (2013), “On σ ♣☎, W q-holomorphic functions and theorems of Vitali-type”, Complex Anal Oper Theory, 7(1), 237-259 2) T T Quang and N V Dai (2014), “On Hartogs extension theorems for separately holomorphic functions”, Int J Math., 25(12), 1450112 (15 pages) ♣☎, W q- 3) T T Quang and N V Dai (2015), “On the holomorphic extension of vector valued functions”, Complex Anal Oper Theory, 9, 567-591 ... sử E, F không gian lồi địa phương, D tập mở E, W ⑨ F ✶ Một hàm f : D Ñ F gọi (i) ♣F, W q -chỉnh hình D (và viết f (ii) € H W ♣D, F q) u ✆ f chỉnh hình với u € W ♣F, W q -chỉnh hình bị chặn D (và. .. H W,✽♣D, F q) u ✆ f chỉnh hình bị chặn D với u € W 16 W ♣D, F q) với z (iii) ♣F, W q -chỉnh hình địa phương (và viết f € Hloc cận U z D cho f € H W ♣U, F q € D tồn lân W,✽ (iv) ♣F, W q -chỉnh hình. .. f : D Ñ F hàm σ ♣F, W q -chỉnh hình tập mở D ⑨ Cn (n ➙ 1) cho f bị chặn tập bị chặn D f chỉnh hình 12 Chương THÁC TRIỂN CHỈNH HÌNH CÁC HÀM ♣ , W q-CHỈNH HÌNH Dựa vào kết đạt chương 1, nghiên cứu