Giải số phương trình tích phân volterra

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ KIM ANH GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2016... BỘ GIÁO DỤC V

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ KIM ANH

GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2016

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ KIM ANH

GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA

Chuyên ngành: Toán giải tích

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS KHUẤT VĂN NINH

Hà Nội – Năm 2016

Lời cảm ơn

Trước khi trình bày nội dung chính của bản báo cáo thực tập chuyênngành, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Khuất Văn Ninh

đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành đề tài này

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy côgiáo trong khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo emtận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,bạn bè đã luôn bên em, động viên, giúp đỡ trong suốt quá trình học tập

và thực hiện đề tài khóa luận tốt nghiệp này

Hà Nội, Ngày 03 tháng 05 năm 2016

Sinh viên

Nguyễn Thị Kim Anh

Lời cam đoan

Em xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong khóa luận này

là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác Em cũng xin camđoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện khóa luận này đã được cảm

ơn và các thông tin thu trích dẫn trong khóa luận đã được chỉ rõ nguồngốc

Hà Nội, Ngày 03 tháng 05 năm 2015

Sinh viên

Nguyễn Thị Kim Anh

Mục lục

1.1 Tích phân xác định 1

1.2 Đa thức nội suy 2

1.3 Công thức hình thang 3

1.4 Công thức cầu phương 5

2 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH VOLTERRA 7 2.1 Phương trình tích phân tuyến tính Volterra 7

2.1.1 Phương trình tích phân 7

2.1.2 Phương trình tích phân tuyến tính 7

2.1.3 Phân loại phương trình tích phân tuyến tính Volterra 8 2.1.4 Sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân tuyến tính Volterra 9

2.2 Phương pháp số giải phương trình tích phân tuyến tính Volterra 9

2.2.1 Phương pháp số giải phương trình tích phân tuyến

tính Volterra loại 2 102.2.2 Phương pháp số giải phương trình tích phân tuyến

tính Volterra loại 1 27

3.1 Phương trình tích phân phi tuyến Volterra 443.1.1 Phân loại phương trình tích phân phi tuyến Volterra 443.1.2 Sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân phi

tuyến Volterra 453.2 Phương pháp số giải phương trình tích phân phi tuyến

Volterra 463.2.1 Phương pháp số giải phương trình tích phân phi

tuyến Volterra loại 2 463.2.2 Phương pháp số giải phương trình tích phân phi

tuyến Volterra loại 1 59Kết luận 74Tài liệu tham khảo 75

Lời mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Toán học là một môn khoa học gắn liền với thực tiễn Cùng với sựphát triển của nội tại toán học và các ngành khoa học khác, toán họcchia thành toán lý thuyết và toán ứng dụng

Trong lĩnh vực toán ứng dụng, thường gặp rất nhiều bài toán có liên quanđén việc giải phương trình tích phân Phương trình tích phân Volterra

là một trong những phương trình có nhiều ứng dụng không chỉ đối vớinội tại môn toán (giải phương trình vi phân thỏa mãn điều kiện biênhay điều kiện ban đầu, giải bài toán liên quan đến phương trình đạohàm riêng) mà còn ứng dụng rộng rãi vào các ngành vật lý, cơ học, kĩthuật,

Phương trình tích phân Volterra có các phương pháp giải khác nhau,trong đó phương pháp số là phương pháp tìm nghiệm dưới dạng bảng

số ta có thể kết hợp sử dụng phần mềm lập trình tính toán Maple vào

để giải phương trình một cách nhanh chóng, hiệu quả

Chính vì lẽ đó, em mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu" Giải số phươngtrình tích phân Volterra" nhằm có điều kiện tiếp tiếp cận sâu hơn, làmphong phú kiến thức của mình và ứng dụng trong giải toán đại học

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứuNghiên cứu phương pháp số để giải phương trình tích phân tuyến tínhVolterra và phương trình phi tuyến Volterra

3 Phương pháp nghiên cứu+Phương pháp nghiên cứu lí luận.

+Phương pháp nghiên cứu tổng kết tài liệu

4 Cấu trúcKhóa luận gồm ba chương

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Chương này nhắc lại một số kiến thức về tích phân xác định, công thứctính gần đúng tích phân

Chương 2 Phương trình tích phân tuyến tính Volterra

Mục đích chương này là giới thiệu về phương trình tích phân tuyếntính Volterra và phương pháp số giải phương trình tích phân tuyến tínhVolterra

Chương 3 Phương trình tích phân phi tuyến Volterra

Mục đích chương này là giới thiệu về phương trình tích phân phi tuyếnVolterra và phương pháp số giải phương trình tích phân phi tuyếnVolterra

Khóa luận được hoàn thành tại khoa Toán, Trường Đại học Sư Phạm

Hà Nội 2, dưới sự hướng dẫn của PGS TS Khuất Văn Ninh

Em xin chân thành cảm ơn thầy Khuất Văn Ninh đã tận tình hướngdẫn, giúp đỡ em rất nhiều trong quá trình làm khóa luận

Em chân thành cảm ơn các thầy cô giáo Khoa Toán trường Đại học

Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là tổ Giải tích, đã tạo điều kiện thuận lợicho em trong quá trình học Đại học và thực hiện bản khóa luận này

Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và khả năng có hạn nêncác vấn đề trong luận văn vẫn chưa được trình bày sâu sắc và không thểtránh khỏi có những sai sót Em rất mong nhận được sự góp ý xây dựngcủa thầy cô và các bạn Em xin chân thành cảm ơn.

Hà Nội, Ngày 03 tháng 05 năm 2016

Sinh viênNguyễn Thị Kim Anh

Danh mục các kí hiệu và chữ viết tắt

Dĩ nhiên tổng σ định nghĩa theo công thức trên là một số xác định; số

đó phụ thuộc số khoảng nhỏ n, phụ thuộc ξi, chọn tùy ý trong [xi−1, xi]

và phụ thuộc cách chọn phân điểm ℘

Nếu khi n tăng vô hạn (n → ∞) sao cho max

1≤i≤nλi := λ, λ → 0; với

λi := ∆xi(i = 1, n), σ có giới hạn (hữu hạn) I, và giới hạn I này khôngphụ thuộc vào cách chọn phân điểm ξi, cũng không phụ thuộc cách chọnphân điểm ℘

lim

λ→0 (n→∞)

σ = I

thì I được gọi là tích phân xác định của hàm số f (x) lấy trên khoảngđóng [a, b] và kí hiệu là

Z b a

f (x)dx:

I =

Z b a

f (x)dxKhi đó ta cũng nói rằng hàm số f (x) khả tích trên [a, b], [a, b] là khoảnglấy tích phân, a là cận dưới, b là cận trên của tích phân, x là biến số lấytích phân, f (x) là hàm số lấy tích phân và f (x)dx là biểu thức dưới dấutích phân

1.2 Đa thức nội suy

Định nghĩa 1.2 Giả sử, hàm số y = f (x) xác định trên [a, b], takhông biết biểu thức giải tích của nó, ta chỉ biết giá trị của nó là

y0, y1, , yn tương ứng với các x0, x1, , xn ∈ [a, b] Ta chọn các mốcnội suy x0, x1, , xn sao cho a 6 x0 < x1 < < xn 6 b

sao cho

Pn(xi) = yi := f (xi), (i = 0, n),Khi đó, đa thức Pn(x) được gọi là đa thức nội suy của hàm f

I =

Z b a

f (x)dx '

Z b a

Thay f(x) trên [xi−1, xi], i = 1, n bằng đa thức nội suy bậc nhất của nó

Z x i+1

xi

f (x)dx ' h

2(yi+ yi+1), (i = 0, n)Vậy

Z b a

1.4 Công thức cầu phương

Bản chất của phương pháp này là sự thay thế tích phân bằng tổng hữuhạn

Z b a

trong đó, Ak và xk - tương ứng là hệ số và nút của công thức cầu phương,

Rn - phần dư của công thức cầu phương

Nêú như chọn công thức hình thang, thì chúng ta có

Định nghĩa 2.2 Phương trình tích phân tuyến tính là phương trìnhđược biểu diễn dưới dạng

trong đó A là toán tử tích phân tuyến tính.

Phương trình tích phân tuyến tính Volterra là phương trình tích phân

có ít nhất một trong những cận lấy tích phân là biến số Đối với phươngtrình tích phân tuyến tính loại 1, hàm cần tìm x(t) xuất hiện bên trongdấu tích phân dạng

Z t a

Tuy nhiên, phương trình tích phân tuyến tính loại 2, hàm cần tìm x(t)xuất hiện bên trong và bên ngoài dấu tích phân Phương trình đó đượcbiểu diễn dưới dạng

x(t) + λ

Z t a

trong đó, cận trên t là biến số t ∈ [a, b], hàm f (t) đã biết Hàm K(t, s)được gọi là nhân (hay hạch) của phương trình và cho trước, x(t) là hàmcần tìm, λ là tham số

Ví dụ 2.1.1 Phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại 1

Z t 0

es−tx(s)ds = t, t ∈ [0, 1]

và

Z t 0

(t − s)x(s)ds = 5t2 + t3, t ∈ [0, 1]

Ví dụ 2.1.2 Phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại 2.

x(t) +

Z t 0

x(s)ds = t, t ∈ [0, 1]

và

x(t) −

Z t 0

x(s)ds = 1, t ∈ [0, 1]

tính VolterraĐiều kiện để tồn tại nghiệm của phương trình tích phân tuyến tínhVolterra là:

(i) Tồn tại M sao cho

|K(t, s)| 6 M, ∀(t, s) ∈ D

Với D = C[a,b]×[a,b]

(ii)

|λ| M (b − a) = q < 1Thì phương trình x + Ax = f có nghiệm duy nhất

2.2 Phương pháp số giải phương trình tích phân

tuyến tính Volterra

Để giải phương trình (2.2) và (2.3) ta sẽ dùng phương pháp giải số đểtính gần đúng Bản chất của phương pháp này là áp dụng công thứccầu phương đưa phương trình tích phân về những phương trình đại số

tuyến tính và kết quả thu được dưới dạng bảng số Bảng số cho giá trịgần đúng của nghiệm tại hữu hạn điểm Trong chương này chúng ta sẽnghiên cứu về phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại 1, loại 2

và phương pháp số để giải phương trình đó

Volterra loại 2Sau đây ta sẽ trình bày phương pháp giải phương trình tích phân Volterraloại 2

Ta chia đoạn [a, b] thành n đoạn bằng nhau, t ∈ [a, b]

a = t0 < t1 < < tn = b

Khi đó, tương ứng ta có

t0 = a, t1 = a + h, t2 = a + 2h, , tn = a + nh = b, với h = b − a

nĐặt x(ti) ≈ xi, i = 0, n

Cho t = ti, khi đó phương trình (2.2) trở thành

trong đó gj = g(sj) = K(ti, sj)x(sj) = Kijxj

Với fi = f (ti)

Áp dụng công thức hình thang

Z tia

g(s)ds ≈ ti − a

2i [g0 + gi + 2(g1 + + gi−1)], i = 0, n.

Thay vào phương trình (2.4) tìm các xi

Dùng phương pháp số ta tìm được các nghiệm gần đúng x0, x1, , xndưới dạng bảng số như sau

Nghiệm chính xác của phương trình là x(t) = e−t

Ta chia [0, 1] thành 10 phần bằng nhau

t0 = 0; t1 = 0, 1; t2 = 0, 2; t3 = 0, 3; t4 = 0, 4; t5 = 0, 5; t6 = 0, 6;

x(s)ds +

Z 0,2 0,1

x3 = 1 −

Z 0,3 0

x(s)ds+

Z 0,3 0,2

x(s)ds+

Z 0,4 0,3

x(s)ds+

Z 0,5 0,4

x6 = 1 −

Z 0,6 0

x(s)ds+

Z 0,6 0,5

x(s)ds+

Z 0,7 0,6

x(s)ds+

Z 0,8 0,7

x9 = 1 −

Z 0,9 0

x(s)ds+

Z 0,9 0,8

x(s)ds+

Z 0,10 0,9

x0 = 1 +

Z 0 0

(s − 0, 1)x(s)dsĐặt: g(s) = (s − 0, 1)x(s)

(s − 0, 2)x(s)dsĐặt: g(s) = (s − 0, 2)x(s)

(s − 0, 3)x(s)dsĐặt: g(s) = (s − 0, 3)x(s)

Áp dụng công thức hình thang

Z 0,3

0

g(s)ds ≈ 0, 3

2.3[(g(0) + g(0, 3) + 2g(0, 1) + 2g(0, 2)] = 0, 05[(−0, 3)x0+ 2(−0, 2)x1 + 2(−0, 1)x2] ≈ −0, 0447

Thay vào phương trình trên

(s − 0, 2)x(s)dsĐặt: g(s) = (s − 0, 4)x(s)

(s − 0, 5)x(s)dsĐặt: g(s) = (s − 0, 5)x(s)

+ Với i = 6, phương trình (2.8) trở thành

x6 = 1 +

Z 0,6 0

(s − 0, 6)x(s)dsĐặt: g(s) = (s − 0, 6)x(s)

(s − 0, 7)x(s)dsĐặt: g(s) = (s − 0, 7)x(s)

Thay vào phương trình trên

(s − 0, 8)x(s)dsĐặt: g(s) = (s − 0, 8)x(s)

Áp dụng công thức hình thang

Z 0,8

0

g(s)ds ≈ 0, 8

2.8[(g(0) + g(0, 8) + 2g(0, 1) + 2g(0, 2) + 2g(0, 3) + 2g(0, 4)+ 2g(0, 5) + 2g(0, 6) + 2g(0, 7)] = 0, 05[(−0, 8)x0+ 2(−0, 7)x1+ 2(−0, 6)x2+ 2(−0, 5)x3 + 2(−0, 4)x4 + 2(−0, 3)x5 + 2(−0, 2)x6 + 2(−0, 1)x7]

(s − 0, 9)x(s)dsĐặt: g(s) = (s − 0, 9)x(s)

Thay vào phương trình trên

(s − 1)x(s)dsĐặt: g(s) = (s − 1)x(s)

+2(−0, 9)x1+2(−0, 8)x2+2(−0, 7)x3+2(−0, 6)x4+2(−0, 5)x5+2(−0, 4)x6+ 2(−0, 3)x7 + 2(−0, 2)x8 + 2(−0, 1)x9] ≈ −0, 460048

Thay vào phương trình trên

Z t 0

Nghiệm chính xác của phương trình là x(t) = 3t

Ta chia [0, 1] thành 10 phần bằng nhau ta có

x(s)dsĐặt: g(s) = x(s)

x(s)dsĐặt: g(s) = x(s)

x(s)dsĐặt: g(s) = x(s)

Thay vào phương trình trên

x(s)dsĐặt: g(s) = x(s)

x(s)dsĐặt: g(s) = x(s)

Áp dụng công thức hình thang

x(s)dsĐặt: g(s) = x(s)

x(s)dsĐặt: g(s) = x(s)

+ Với i = 8, phương trình (2.10) trở thành

x8 = 4 − 5

3

Z 0,8 0

x(s)dsĐặt: g(s) = x(s)

x(s)dsĐặt: g(s) = x(s)

Thay vào phương trình trên

x(s)dsĐặt: g(s) = x(s)

Áp dụng công thức hình thang

Z 1

0

2.10[(g(0) + g(1) + 2g(0, 1) + 2g(0, 2) + 2g(0, 3) + 2g(0, 4)+ 2g(0, 5) + 2g(0, 6) + 2g(0, 7) + 2g(0, 8) + 2g(0, 9)] = 0, 05[x0+ x10+ 2x1+ 2x2 + 2x3 + 2x4 + 2x5 + 2x6 + 2x7 + 2x8 + 2x9] ≈ 1, 35 + 0, 05x10

Thay vào phương trình trên

(t − s)x(s)ds = −2 + 3t − t2, t ∈ [0, 1]

2 x(t) + 1

2

Z t 0

(t2 − s2)x(s)ds = 1, t ∈ [0, 1]

3 x(t) + 1

4

Z t 0

(t + s2)x(s)ds = 3, t ∈ [0, 1]

4 x(t) + 1

2

Z t 0

K(t, s)x(s)ds = f (t), t ∈ [a, b]

Áp dụng công thức đạo hàm tích phân phụ thuộc tham số

F (u) =

Z β(u) α(u)

f (u, x)dx

Ta có đạo hàm tích phân sau

F0(u) =

Z β(u) α(u)

fu0(u, x)dx + f [u, β(u)]β0(u) − f [u, α(u)]α0(u)

Với điều kiện f0(t), Kt0(t, s) tồn tại và liên tục Áp dụng công thức đạohàm hai vế của phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại 1, ta có

Z t a

Kt0(t, s)x(s)ds + K(t, t)x(t) = f0(t)

Giả sử K(t, t) 6= 0 chia hai vế của phương trình trên cho K(t, t) ta đượcphương trình tích phân tuyến tính loại 2

x(t) = f

0(t)K(t, t) −

Z t a

Cho t = ti, khi đó phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại 1 trởthành

Với fi = f (ti)

+ Với i = 0, phương trình (2.11) trở thành

x0 = f

0(a)K(a, a)+ Với i = k, ta có phương trình (2.13) trở thành

Cách 2 Đưa về phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại 2.Phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại 1 được đưa về loại 2 và

ta giải theo phương trình loại 2 tìm nghiệm

Ví dụ 2.2.4 Giải phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại 1 sau

Z t 0

Nghiệm chính xác của phương trình là x(t) = 1 − t

Đạo hàm hai vế của phương trình (2.14) ta được phương trình tích phântuyến tính loại 2

x(t) = 1 −

Z t 0

Z 0,2

0

e0,2−sx(s)ds = 0, 2Đặt: g(s) = e0,2−sx(s)

≈ 0, 05e0,3 + 0, 05x3 + 0, 0894829e0,2+ 0, 0800719e0,1

Thay vào phương trình trên

0, 05e0,3+ 0, 05x3 + 0, 0894829e0,2 + 0, 0800719e0,1 = 0, 3

≈ 0, 05e0,4 + 0, 05x4 + 0, 0894829e0,3+ 0, 0800719e0,2 + 0, 0694385e0,1Thay vào phương trình trên

0, 05e0,4+ 0, 05x4+ 0, 0894829e0,3+ 0, 0800719e0,2+ 0, 0694385e0,1 = 0, 4

Thay vào phương trình trên

0, 05e0,5+ 0, 05x5 + 0, 0894829e0,4 + 0, 0800719e0,3 + 0, 0694385e0,2

≈ 0, 05e0,6 + 0, 05x6 + 0, 0894829e0,5+ 0, 0800719e0,4 + 0, 0694385e0,3+ 0, 0601561e0,2 + 0, 0493804e0,1

Thay vào phương trình trên

0, 05e0,6+ 0, 05x6 + 0, 0894829e0,5 + 0, 0800719e0,4 + 0, 0694385e0,3

≈ 0, 05e0,7 + 0, 05x7 + 0, 0894829e0,6+ 0, 0800719e0,5 + 0, 0694385e0,4+ 0, 0601561e0,3 + 0, 0493804e0,2+ 0, 0402554e0,1

Thay vào phương trình trên

0, 05e0,7+ 0, 05x7 + 0, 0894829e0,6 + 0, 0800719e0,5 + 0, 0694385e0,4

+ 0, 0601561e0,3 + 0, 0493804e0,2+ 0, 0402554e0,1 = 0, 7

≈ 0, 05e0,8 + 0, 05x8 + 0, 0894829e0,7+ 0, 0800719e0,6 + 0, 0694385e0,5

+ 0, 0601561e0,4 + 0, 0493804e0,3+ 0, 0402554e0,2 + 0, 0293058e0,1

Thay vào phương trình trên

0, 05e0,8+ 0, 05x8 + 0, 0894829e0,7 + 0, 0800719e0,6 + 0, 0694385e0,5

+ 0, 0601561e0,4 + 0, 0493804e0,3+ 0, 0402554e0,2 + 0, 0293058e0,1 = 0, 8

+ 2e0,7x2 + 2e0,6x3 + 2e0,5x4 + 2e0,4x5 + 2e0,3x6 + 2e0,2x7 + 2e0,1x8)

≈ 0, 05e0,9 + 0, 05x9 + 0, 0894829e0,8+ 0, 0800719e0,7 + 0, 0694385e0,6

+0, 0601561e0,5+0, 0493804e0,4+0, 0402554e0,3+0, 0293058e0,2+0, 0203727e0,1Thay vào phương trình trên

0, 05e0,9+ 0, 05x9 + 0, 0894829e0,8 + 0, 0800719e0,7 + 0, 0694385e0,6

+0, 0601561e0,5+0, 0493804e0,4+0, 0402554e0,3+0, 0293058e0,2+0, 0203727e0,1

Áp dụng công thức hình thang

Z 1

0

2.10[(g(0) + g(1) + 2g(0, 1) + 2g(0, 2) + 2g(0, 3) + 2g(0, 4)+2g(0, 5)+2g(0, 6)+2g(0, 7)+2g(0, 8)+2g(0, 9)] = 0, 05(ex0+x10+2e0,9x1+ 2e0,8x2+ 2e0,7x3+ 2e0,6x4+ 2e0,5x5+ 2e0,4x6+ 2e0,3x7+ 2e0,2x8+ 2e0,1x9)

≈ 0, 05e + 0, 05x10 + 0, 0894829e0,9 + 0, 0800719e0,8+ 0, 0694385e0,7

+0, 0601561e0,6+0, 0493804e0,5+0, 0402554e0,4+0, 0293058e0,3+0, 0203727e0,2+ 0, 0092116e0,1

Thay vào phương trình trên

0, 05e + 0, 05x10+ 0, 0894829e0,9+ 0, 0800719e0,8 + 0, 0694385e0,7

+0, 0601561e0,6+0, 0493804e0,5+0, 0402554e0,4+0, 0293058e0,3+0, 0203727e0,2+ 0, 0092116e0,1 = 1

⇒ x10 ≈ 0, 005116

Nghiệm gần đúng của phương trình (2.14) thu được dưới bảng sau