Header Page of 161 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN LƯU THỊ HỒNG THÙY TÍNH NỬA LIÊN TỤC DƯỚI CỦA ÁNH XẠ NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÉCTƠ MẠNH SUY RỘNG CÓ THAM SỐ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Người hướng dẫn khóa luận TS Nguyễn Văn Tuyên HÀ NỘI, 2016 Footer Page of 161 Header Page of 161 LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy Nguyễn Văn Tuyên, thầy truyền thụ kiến thức, tận tình giúp đỡ, hướng dẫn em suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thiện khóa luận Em xin gửi lời cảm ơn tới thầy cô giáo trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, thầy cô giáo khoa Toán giúp đỡ em trình học tập trường tạo điều kiện cho em để hoàn thành khóa luận Trong trình nghiên cứu, không tránh khỏi sai sót hạn chế Em kính mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo, cô giáo toàn thể bạn đọc để khóa luận hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, tháng năm 2016 Lưu Thị Hồng Thùy Footer Page of 161 ii Header Page of 161 LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan hướng dẫn thầy giáo Nguyễn Văn Tuyên khóa luận em hoàn thành không trùng với đề tài khác Trong làm khóa luận này, em kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Lưu Thị Hồng Thùy Footer Page of 161 Header Page of 161 Mục lục Lời mở đầu 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số kiến thức Giải tích lồi 1.1.1 Tập lồi 1.1.2 Hàm lồi 1.1.3 Nón 1.2 Bài toán tối ưu véctơ 1.2.1 Quan hệ hai quan hệ thứ tự 1.2.2 Điểm hữu hiệu 11 1.2.3 Sự tồn điểm hữu hiệu 14 1.2.4 15 Bài toán tối ưu véctơ (VOP) Tính nửa liên tục ánh xạ nghiệm toán cân véctơ mạnh suy rộng có tham số 17 2.1 Bài toán cân véctơ mạnh suy rộng có tham số 17 2.2 Tính nửa liên tục ánh xạ nghiệm 21 Footer Page of 161 iv Header Page of 161 Kết luận 31 Tài liệu tham khảo 31 Footer Page of 161 v Header Page of 161 Lời mở đầu Bài toán cân véctơ mô hình thống số toán, chẳng hạn như, toán tối ưu véctơ, toán bất đẳng thức biến phân véctơ, toán bù véctơ toán điểm yên ngựa véctơ (xem [6, 7] tài liệu trích dẫn đó) Nghiên cứu tính ổn định ánh xạ nghiệm toán cân véctơ chủ đề quan trọng Lý thuyết tối ưu véctơ Gần đây, tính nửa liên tục, đặc biệt tính nửa liên tục ánh xạ nghiệm toán tối ưu có tham số, bất đẳng thức biến phân véctơ có tham số toán cân véctơ có tham số thu hút quan tâm nhiều nhà toán học (xem [3, 5, 8, 10, 12, 14]) Kỹ thuật vô hướng hóa phương pháp tiếp cận hữu hiệu để nghiên cứu tính nửa liên tục tính liên tục ánh xạ nghiệm bất đẳng thức biến phân véctơ có tham số toán cân véctơ có tham số Sử dụng phương pháp vô hướng hóa, Cheng Zhu [3] nghiên cứu tính nửa liên tục tính nửa liên tục ánh xạ nghiệm bất đẳng thức biến phân véctơ yếu có tham số không gian Euclide hữu hạn chiều Từ ý tưởng Cheng Zhu [3], Gong [9] nghiên cứu tính liên tục ánh xạ nghiệm toán cân véctơ yếu có tham số Dựa phép biểu diễn vô hướng hóa ánh xạ nghiệm tính chất hợp họ ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới, Cheng đồng nghiệp [4] thiết lập tính nửa liên tục tính liên tục ánh xạ nghiệm toán cân véctơ suy rộng có tham số chứng minh khác với [9] Tuy nhiên, theo hiểu biết chúng tôi, có kết tính liên tục ánh xạ nghiệm toán cân véctơ mạnh có tham số Trong [8], cách sử dụng kết tính trù mật phương pháp vô hướng Footer Page of 161 Header Page of 161 hóa, Gong Yao người nghiên cứu tính nửa liên tục ánh xạ nghiệm toán cân véctơ mạnh có tham số, gọi nghiệm hữu hiệu hệ suy rộng có tham số Cheng Li [5] nghiên cứu tính liên tục nửa liên tục tập nghiệm toán cân véctơ mạnh có tham số toán cân véctơ yếu có tham số, gọi tập nghiệm hữu hiệu tập nghiệm hữu hiệu yếu hệ suy rộng có tham số trình bày [8] [9] Các kết Cheng Li [5] tính chất liên tục ánh xạ nghiệm không đòi hỏi giả thiết tính compact Điều thực cải tiến kết đạt [8, 9] Tuy nhiên, báo [5, 8, 9], tính nửa liên tục ánh xạ nghiệm hữu hiệu nghiên cứu nhờ vào kỹ thuật vô hướng hóa, tập nghiệm f -hữu hiệu tập điểm hàm số f tuyến tính liên tục cố định thuộc nón đối ngẫu phải chứa thông tin tập nghiệm Hiển nhiên, từ quan điểm thực tế điều không hoàn toàn hợp lí Mục đích khóa luận nghiên cứu tính chất nửa liên tục ánh xạ nghiệm hữu hiệu toán cân véctơ mạnh có tham số Các kết khóa luận trình bày sở báo gần Xu Li [15] đăng tạp chí Positivity năm 2013 Trong báo này, tác giả đưa giả thiết không bao gồm thông tin tập nghiệm nghiên cứu tính nửa liên tục ánh xạ nghiệm toán cân véctơ mạnh suy rộng có tham số trường hợp tập nghiệm f -hữu hiệu tập tổng quát Khóa luận gồm hai chương Chương trình bày số kiến thức Giải tích lồi toán tối ưu véctơ Chương nghiên cứu tính nửa liên tục ánh xạ nghiệm toán cân véctơ mạnh suy rộng có tham số Footer Page of 161 Header Page of 161 Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số kiến thức Giải tích lồi 1.1.1 Tập lồi Khái niệm tập lồi khái niệm quan trọng lý thuyết tối ưu Tập lồi tập mà lấy điểm tập đoạn thẳng nối điểm nằm tập Định nghĩa 1.1 Tập X ⊂ Rn gọi tập lồi với x1 , x2 ∈ X với λ ∈ [0, 1] (1 − λ)x1 + λx2 ∈ X Bổ đề 1.1 Cho I tập số Nếu tập Xi ⊂ Rn (i ∈ I), tập lồi tập X = Xi tập lồi i∈I Chứng minh Xét trường hợp sau: Xi = ∅ X tập lồi tầm thường +Nếu X = i∈I Xi = ∅, ta có: ∀x, y ∈ +Nếu X = i∈I Xi , ∀λ ∈ [0, 1], suy x, y ∈ i∈I Xi , ∀i ∈ I Vì Xi (i ∈ I) tập lồi nên ta có: (1 − λ)x + λy ∈ Xi , ∀i ∈ I Footer Page of 161 Header Page of 161 suy (1 − λ)x + λy ∈ Xi , ∀i ∈ I Vậy X tập lồi i∈I Bổ đề 1.2 Cho X, Y tập lồi Rn số thực t, µ Khi đó, tX + µY tập lồi Chứng minh Lấy tùy ý x, y ∈ tX + µY , với λ ∈ [0, 1] Suy ra, x = tx1 + µy1 (với x1 ∈ X, y1 ∈ Y ), y = tx2 + µy2 (với x2 ∈ X, y2 ∈ Y ) Khi (1 − λ)x + λy = (1 − λ)(tx1 + µy1 ) + λ(tx2 + µy2 ) = t((1 − λ)x1 + λx2 ) + µ((1 − λ)y1 + λy2 ) Do X, Y tập lồi nên t((1−λ)x1 +λx2 ) ∈ tX µ((1−λ)y1 +λy2 ) ∈ µY Suy ra, t((1 − λ)x1 + λx2 ) + µ((1 − λ)y1 + λy2 ) ∈ tX + µY hay (1 − λ)x + λy ∈ tX + µY Vậy tX + µY tập lồi Định nghĩa 1.2 Một điểm x gọi tổ hợp lồi điểm x1 , x2 , , xm , tồn số thực không âm λ1 , λ2 , , λm cho x = λ1 x1 + λ2 x2 + + λm xm λ1 + λ2 + + λm = Định nghĩa 1.3 Bao lồi X (kí hiệu: convX) giao tất tập lồi chứa X Bổ đề 1.3 Nếu X ⊂ Rn tập lồi int X X tập lồi Footer Page of 161 Header Page 10 of 161 Chứng minh Cho B hình cầu đơn vị Nếu x1 ∈ int X, x2 ∈ int X, đó, ta tìm ε > cho x1 + εB ⊂ X x2 + εB ⊂ X Do đó, (1 − λ)x1 + λx2 + εB ⊂ X với λ ∈ [0, 1] Vì vậy, (1 − λ)x1 + λx2 ∈ int X Vậy int X tập lồi Để chứng minh phần bổ đề, ta cho xk → x y k → y với xk ∈ X y k ∈ X Khi đó, dãy điểm: (1 − λ)xk + λy k chứa X hội tụ tới (1 − λ)x + λy ∈ X Vậy X tập lồi 1.1.2 Hàm lồi Định nghĩa 1.4 Cho f : Ω → R hàm số thực mở rộng tập lồi Ω ⊂ Rn : (i) Hàm f gọi hàm lồi nếu: f ((1 − λ)x + λy) ≤ (1 − λ)f (x) + λf (y), ∀x, y ∈ Ω, ∀λ ∈ [0, 1] (ii) Hàm f gọi hàm lồi chặt (strictly convex) nếu: f ((1 − λ)x + λy) < (1 − λ)f (x) + λf (y), ∀x, y ∈ Ω, x = y, ∀λ ∈ [0, 1] Định nghĩa 1.5 Cho hàm f : Rn → R Kí hiệu: Miền hữu hiệu f : dom f := {x ∈ Rn | f (x) < +∞} Đồ thị hàm f : gphf := {(x, v) ∈ Rn × R | v = f (x)} Trên đồ thị f : epif := {(x, v) ∈ Rn × R | v ≥ f (x)} Ví dụ 1.1 Hàm f (x) = x , với x ∈ Rn hàm lồi Thật vậy, với x, y ∈ Rn , λ ∈ [0, 1] Ta có: f ((1 − λ)x + λy) = (1 − λx) + λy ≤ (1 − λ)x + λy = (1 − λ) x + λ y = (1 − λ)f (x) + λf (y) Footer Page 10 of 161 Header Page 24 of 161 mạnh suy rộng có tham số (PGSVEP) ta quy tìm nghiệm hữu hiệu cho (GS)µ xét [5] Với µ ∈ Λ, kí hiệu S(µ) tập nghiệm (PGSVEP), tức là: S(µ) = {x ∈ A(µ) : F (x, y, µ) ∩ (−C\{0Y }) = ∅, ∀y ∈ A(µ)} Kí hiệu SW (A, F ) tập nghiệm toán cân véctơ yếu suy rộng, tức là: SW (A, F ) = {x ∈ A : F (x, y) ⊂ Y \ − int C, ∀y ∈ A} Với f ∈ C ∗ \{0Y ∗ } µ ∈ Λ, kí hiệu Sf (µ) tập nghiệm f -hữu hiệu (PGSVEP): Sf (µ) = {x ∈ A(µ) : f (z) ≥ 0, ∀y ∈ A(µ)} inf z∈F (x,y,µ) Sf kí hiệu cho tập nghiệm f -hữu hiệu toán cân véctơ mạnh suy rộng (GSVEP): Sf = {x ∈ A : f (z) ≥ 0, ∀y ∈ A} inf z∈F (x,y) Một véctơ x ∈ A gọi nghiệm hữu hiệu thực dương (positive proper efficient solution) (GSVEP) tồn f ∈ C cho inf z∈F (x,y) f (z) ≥ 0, ∀y ∈ A Trong chương này, giả sử Sf (µ) = ∅ với f ∈ C ∗ \{0} µ ∈ Λ Bằng cách sử dụng phương pháp vô hướng hóa, thiết lập số điều kiện đủ cho tính nửa liên tục ánh xạ nghiệm S(·) Trước hết, nhắc lại số khái niệm sử dụng chương Cho µ ∈ Λ x ∈ A(µ) Định nghĩa F (x, A(µ), µ) := y∈A(µ) F (x, y, µ) Ω Giả sử W Ω không gian tôpô Hausdorff thực G : W → ánh xạ đa trị với giá trị khác rỗng cho ω ¯ ∈ W Footer Page 24 of 161 19 Header Page 25 of 161 Định nghĩa 2.1 (xem [2]) (i) G gọi nửa liên tục (l.s.c) w¯ với tập mở V ⊂ Ω với V ∩ G(w) ¯ = ∅, tồn lân cận N (w) ¯ w¯ cho G(w) ∩ V = ∅, với w ∈ N (w) ¯ (ii) G gọi nửa liên tục (u.s.c) w¯ với tập mở V ⊂ Ω với G(w) ¯ ⊂ V , tồn lân cận N (w) ¯ w¯ cho G(w) ⊂ V, với w ∈ N (w) ¯ Ta nói G(·) l.s.c (tương ứng u.s.c) W l.s.c (u.s.c) điểm w ∈ W Ánh xạ G(·) gọi liên tục tập W G(·) đồng thời l.s.c u.s.c W Mệnh đề 2.1 (xem [2]) (i) G l.s.c w¯ lưới {wα } ⊂ W với wα → w¯ x¯ ∈ G(w), ¯ tồn xα ∈ G(wα ) cho xα → x¯ (ii) Nếu G có giá trị compact (nghĩa là, G(w) tập compact với w ∈ W ), G u.s.c w¯ với lưới {wα } ⊂ W với wα → w¯ xα ∈ G(wα ), tồn x¯ ∈ G(w) ¯ lưới {xβ } {xα } cho xβ → x¯ Định nghĩa 2.2 (xem [11]) (i) Ánh xạ đa trị F : A × A → 2Y gọi C- đơn điệu A × A, F (x, y) + F (y, x) ⊆ −C (ii) Ánh xạ đa trị F : A × A → 2Y gọi C- đơn điệu chặt A × A, F C− ánh xạ A × A với x, y với x = y, F (x, y) + F (y, x) ⊆ −int C (iii) Ánh xạ đa trị F : A × A → 2Y gọi C- giống lồi X F (X) + C tập lồi Y Footer Page 25 of 161 20 Header Page 26 of 161 2.2 Tính nửa liên tục ánh xạ nghiệm Trong phần này, nghiên cứu tính nửa liên tục ánh xạ nghiệm S(·) (PGSVEP) Trước hết, ta chứng minh Sf (·) nửa liên tục µ ∈ Λ Định nghĩa 2.3 Cho f ∈ C ∗ \{0Y ∗ } Ta nói ánh xạ đa trị H : X → 2Y thỏa mãn f -tính chất (f -property) x¯ với xα → x¯, xα = x¯ inf f (z) ≥ 0, z∈H(¯ x) tồn số α0 cho inf z∈H(xα ) f (z) > 0, ∀α ≥ α0 Nhận xét 2.1 Nếu H(x) ⊆ int C lân cận x¯, H có f -tính chất với f ∈ C ∗ \{0Y ∗ } Hiển nhiên, H(x) ∩ (Y \int C) = ∅ lân cận x¯, H có f -tính chất x¯ Ví dụ sau đưa để minh họa cho trường hợp Ví dụ 2.1 Cho X = R, Y = R2 , C = R2+ , x¯ = 0, f = (1, 1) ∈ C ∗ \{0R2 }   [−1, 1] × [1, 2] x = 0, H(x) =  (−1, 1) × [1, 3] trái lại Dễ dàng kiểm tra H có f -tính chất x¯ Bổ đề 2.1 Cho f ∈ C ∗ \{0Y ∗ } tùy ý, giả sử điều kiện sau thỏa mãn: (i) A(·) liên tục với giá trị compact khác rỗng Λ; (ii) F (·, ·, ·) có f -tính chất B × B × Λ Khi đó, Sf (·) nửa liên tục Λ Footer Page 26 of 161 21 Header Page 27 of 161 Chứng minh Ta chứng minh kết phản chứng Giả sử tồn µ0 ∈ Λ cho Sf (·) không nửa liên tục µ0 Khi đó, tồn lưới {µα } với µα → µ0 x0 ∈ Sf (µ0 ) cho xα ∈ Sf (µα ), xα → x0 Vì x0 ∈ Sf (µ0 ), nên x0 ∈ A(µ0 ) Do A(·) l.s.c, nên tồn lưới {¯ xα } ⊂ A(µα ) cho x¯α → x0 Theo giả thiết phản chứng trên, ta suy phải có lưới {¯ xβ } ⊂ {¯ xα } cho với β mà x¯β ∈ Sf (µβ ), tức là, tồn yβ ∈ A(µβ ) thỏa mãn: inf f (z) < (2.2) z∈F (¯ xβ ,yβ ,µβ ) Tương tự, A(·) u.s.c compact, nên tồn y0 ∈ A(µ0 ) cho yβ → y0 (thay lưới cần) Từ x0 ∈ Sf (µ0 ), ta có: f (z) ≥ inf z∈F (x0 ,y0 ,µ0 ) Từ (¯ xβ , yβ , µβ ) → (x0 , y0 , µ0 ), (ii), tồn số β¯ cho: inf ¯ f (z) > 0, ∀β ≥ β, z∈F (¯ xβ ,yβ ,µβ ) mâu thuẫn với (2.2) Mâu thuẫn chứng tỏ Sf (·) nửa liên tục Λ Nhận xét 2.2 (i) Trong [13], Li đồng nghiệp sử dụng giả thiết quan trọng bao gồm thông tin tập nghiệm để thu tính nửa liên tục Sf (·) Ưu điểm giả thiết (ii) Bồ đề 2.1 không yêu cầu thông tin tập nghiệm hữu hiệu Sf (µ) với µ ∈ Λ (ii) Trong [5, 8], tập nghiệm hữu hiệu Sf (µ) tập điểm với µ ∈ Λ giả thiết C- đơn điệu chặt Tuy nhiên, giả thiết (ii) Bổ đề 2.1, tập nghiệm hữu hiệu Sf (µ) tập tổng quát với µ ∈ Λ (iii) Trong [5, 8, 13], tác giả sử dụng giả thiết F (·, ·, ·) nửa liên tục X × X × Λ Nhưng Bổ đề 2.1, không cần giả thiết Footer Page 27 of 161 22 Header Page 28 of 161 Bây giờ, trình bày ví dụ để làm sáng tỏ nhận xét Ví dụ 2.2 Cho X = R, Y = R2 , C = R2+ , Λ = [0, 1], A(µ) = [µ, 1]   [1, + µ] × [1, 2] µ ∈ (0, 1], F (x, y, µ) =  (y − x + 1, ) µ = Không khó để thấy giả thiết (i) (ii) Bổ đề 2.1 thỏa mãn với f = (k1 , k2 ) ∈ C ∗ \{0} = R2+ \{0R2 } Với f = (k1 , k2 ) ∈ C ∗ \{0Y ∗ } = R2+ \{0R2 }, tính toán trực tiếp, ta có:    [µ, 1] với µ ∈ (0, 1],    Sf (µ) = [0, 1] với µ = 0,     [0, k1 +2k2 ] ∩ [0, 1] với trường hợp lại 2k1 Rõ ràng, tập nghiệm f -hữu hiệu (PGSVEP) không tập điểm Dễ thấy, Sf (·) nửa liên tục Λ Tuy nhiên, giả thiết F (·, ·, ·) l.s.c X × X × Λ không thỏa mãn giả thiết (iii) [5, Bổ đề 3.1] giả thiết (ii) [8, Bổ đề 2.2] vi phạm µ0 = với f = (k1 , k2 ), k1 = Thật vậy, với x, y ∈ A(µ0 ) = [0, 1], ta có: (F (x, y, 0) + F (y, x, 0)) ∩ (Y \ − int C) = (1, 1) ∩ (Y \ − int C) = (1, 1) = ∅ Giả thiết (iii) [13, Bổ đề 3.1] bị vi phạm µ0 = với f0 = (1, 0) Thật vậy, với x ∈ A(µ0 )\Sf0 (µ0 ) = ( 12 , 1], y ∈ Sf0 (µ0 ) = [0, 12 ], ta có: (F (x, y, 0) + F (y, x, 0)) + B(0, d(x, y)) −C Do đó, [8, Bổ đề 2.2], [5, Bổ đề 3.1] [13, Bổ đề 3.1] không áp dụng ví dụ Ví dụ sau đưa để chứng tỏ giả thiết (ii) Bổ đề 2.1 cần thiết Footer Page 28 of 161 23 Header Page 29 of 161 Ví dụ 2.3 Cho X = R, Y = R2 , C = R2+ , Λ = [0, 1], A(µ) = [−1, 1]   [0, 3] × [−2, 1] µ = 0, F (x, y, µ) =  (x, x + 1) × [−2, 1] µ ∈ (0, 1] Khi đó, rõ ràng giả thiết (i) thỏa mãn Lấy f ∈ C ∗ \{0Y ∗ } với f ((x, y)) = x Bằng tính toán trực tiếp ta có: Sf (0) = [−1, 1], Sf (µ) = [0, 1] với µ ∈ (0, 1] Sf (·) không nửa liên tục µ = Bây giờ, ta kiểm tra giả thiết (ii) không thỏa mãn Thật vậy, tồn x0 = −1, y0 = 1, µ0 = lưới {xα } ⊂ X, {yα } ⊂ Y, {µα } ⊂ Λ với xα → x0 , yα → y0 , µα → µ0 , xα = x0 , yα = y0 , µα = µ0 cho f (z) ≥ inf z∈F (x0 ,y0 ,µ0 ) Tuy nhiên, với số α, ta có inf z∈F (xα ,yα ,µα ) f (z) < Do đó, giả thiết (ii) Bổ đề 2.1 cần thiết Tiếp theo, rằng, số điều kiện thích hợp, tập nghiệm hữu hiệu thực dương (GSVEP) trù mật tập nghiệm (GSVEP) Định nghĩa ánh xạ đa trị H : C ∗ → 2A sau   Sf , f ∈ C ∗ \{0Y ∗ }, H(f ) =  A, f = 0Y ∗ Khi đó, ta có bổ đề sau Bổ đề 2.2 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: (i) A tập compact khác rỗng X; (ii) D = F (A, A) tập compact bị chặn Y ; (iii) Với f ∈ C ∗ \{0}, F (·, ·) có f -tính chất A × A Footer Page 29 of 161 24 Header Page 30 of 161 Khi đó, H(f ) l.s.c C ∗ tương ứng với tôpô mạnh B(Y ∗ , Y ) Y Chứng minh Giả sử phản chứng, tồn f0 ∈ C ∗ cho H không nửa liên tục f0 Với f0 ∈ C ∗ , ta xét hai trường hợp sau: Trường hợp 1: f0 = 0Y ∗ Khi tồn lưới {fα } ⊆ C ∗ \{0Y ∗ } với fα → f0 x0 ∈ H(f0 ), fα → f0 nghĩa fα hội tụ đến f0 tương ứng với tôpô mạnh B(Y ∗ , Y ) Y , cho với xα ∈ H(fα ), xα → x0 Từ định nghĩa H, ta có x0 ∈ A Vì A tập compact, nên tồn lưới {¯ xα } ⊂ A cho x¯α → x0 Từ giả thiết phản chứng trên, ta suy tồn lưới {¯ xβ } ⊂ {¯ xα } cho, β, x¯β ∈ H(fβ ) = Sfβ , tức là, tồn yβ ∈ A, cho inf z∈F (¯ xβ ,yβ ) fβ (z) < (2.3) Vì f0 = 0Y ∗ , với z ∈ F (¯ xβ , yβ ), ta có f0 (z) = 0, mâu thuẫn (2.3) fβ → f0 Trường hợp 2: f0 ∈ C ∗ \{0Y ∗ } Khi tồn lưới {fα } ⊆ C ∗ \{0Y ∗ } với fα → f0 , fα = f0 x0 ∈ H(f0 ) fα → f0 nghĩa là, fα hội tụ đến f0 tương ứng với tôpô mạnh B(Y ∗ , Y ) Y , cho với xα ∈ H(fα ), xα → x0 Từ định nghĩa H, ta có x0 ∈ A Vì A tập compact, nên tồn lưới {¯ xα } ⊂ A cho x¯α → x0 với xα = x0 Từ giả thiết phản chứng trên, ta suy tồn lưới {¯ xβ } ⊂ {¯ xα } cho, β, x¯β ∈ H(fβ ) = Sfβ , tức là, tồn yβ ∈ A, cho inf z∈F (¯ xβ ,yβ ) fβ (z) < (2.4) Vì A tập compact, nên tồn y0 ∈ A cho yβ → y0 Từ x0 ∈ H(f0 ) = Sf0 , ta có inf z∈F (x0 ,y0 ) f0 (z) ≥ Footer Page 30 of 161 25 Header Page 31 of 161 Từ (¯ xβ , yβ ) → (x0 , y0 ), giả thiết (iii) tồn số β¯ cho inf z∈F (¯ xβ ,yβ ) ¯ f0 (z) > 0, β ≥ β (2.5) ¯ từ (2.4) (ii) ta suy tồn zβ ∈ F (¯ Với β ≥ β, xβ , yβ ) cho fβ (zβ ) < (2.6) f0 (zβ ) > (2.7) Tiếp theo từ (2.5), ta có Từ giả thiết (ii), D = F (A, A) tập bị chặn Y Đặt PD (y ∗ ) := sup |y ∗ (z)|, y ∗ ∈ Y ∗ z∈D Ta có PD nửa chuẩn Y ∗ Với ε > tùy ý, U = {y ∗ : PD (y ∗ ) < ε} lân cận tương ứng với β(Y ∗ , Y ) Từ fα → f0 , ta suy tồn số α0 cho: fα − f0 ∈ U, ∀α ≥ α0 Điều kéo theo PD (fα − f0 ) = sup |(fα − f0 )(x)| < ε, với α ≥ α0 x∈D Vì vậy, với x ∈ A, y ∈ A, z ∈ F (x, y), ta có: |(fα − f0 )(z)| = |fα (z) − f0 (z)| < ε, với α ≥ α0 (2.8) ¯ α0 } Khi đó, với β ≥ β0 , theo (2.8), ta có Đặt β0 = max{β, |(fβ − f0 )(zβ )| = |fβ (zβ ) − f0 (zβ )| < ε Tuy nhiên, từ (2.6) (2.7), ta suy tồn số l > cho l < |(fβ − f0 )(zβ )|, với β ≥ β0 , mâu thuẫn với (2.9) Do đó, H l.s.c C ∗ Footer Page 31 of 161 26 (2.9) Header Page 32 of 161 Bổ đề 2.3 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: (i) A tập compact khác rỗng X; (ii) Với x ∈ A, F (x, ·) C- giống lồi A; (iii) Với f ∈ C ∗ \{0}, F (·, ·) có f -tính chất A × A; (iv) F (A, A) tập compact bị chặn Y ; (v) C = ∅ int C = ∅ Khi đó,   Sf ⊂ S(A, F ) ⊂ cl  f ∈C Sf  f ∈C Chứng minh Từ định nghĩa, ta có: Sf ⊂ S(A, F ) ⊂ SW (A, F ) (2.10) f ∈C Với x ∈ A, F (x, ·) giống lồi A, nghĩa là, F (x, A) + C tập lồi Y Từ Bổ đề 3.1 [4], ta có: Sf SW (A, F ) = (2.11) f ∈C ∗ \{0Y ∗ } Từ (2.10) (2.11), ta có: Sf ⊂ S(A, F ) ⊂ Sf (2.12) f ∈C ∗ \{0Y ∗ } f ∈C Do đó, ta cần chứng minh:   Sf ⊂ cl  f ∈C ∗ \{0Y ∗ } Thật vậy, với x0 ∈ Sf  f ∈C f ∈C ∗ \{0Y ∗ } Sf , tồn f0 ∈ C ∗ \{0Y ∗ } cho x0 ∈ Sf0 = H(f0 ) Footer Page 32 of 161 27 Header Page 33 of 161 Từ C = ∅, lấy g∈ C đặt fn = f0 + g n Khi đó, fn ∈ C Ta chứng tỏ fn hội tụ đến f0 tương ứng với tôpô β(Y ∗ , Y ) Lấy U lân cận 0Y ∗ tương ứng với β(Y ∗ , Y ) Khi đó, tồn tập bị chặn Bi ⊂ Y (i = 1, 2, , m) ε > cho m f ∈ Y ∗ : sup |f (y)| < ε ⊂ U y∈Bi i=1 Vì Bi bị chặn g∈ Y ∗ nên |g(Bi )| bị chặn với (i = 1, 2, , m) Do đó, tồn N cho sup y∈Bi Do đó, ng g(y) < ε, i = 1, 2, , m, n ≥ N n ∈ U , tức fn − f0 ∈ U Vậy fn hội tụ đến f0 tương ứng với β(Y ∗ , Y ) Theo Bổ đề 2.3, ta biết H(·) nửa liên tục C ∗ Hiển nhiên, H(·) nửa liên tục f0 Do đó, với fn → f0 x0 ∈ H(f0 ), tồn xn ∈ H(fn ) = Sfn ⊂ Sf f ∈C cho xn → x0 Điều nghĩa   x0 ∈ cl  Sf  f ∈C Vì x0 ∈ f ∈C ∗ \{0Y ∗ } Sf tùy ý nên ta có   Sf ⊂ cl  f ∈C ∗ \{0Y ∗ } Sf  f ∈C Footer Page 33 of 161 28 (2.13) Header Page 34 of 161 Từ (2.12) (2.13) ta   Sf ⊂ S(A, F ) ⊂ cl  Sf  f ∈C f ∈C Bổ đề chứng minh Bây giờ, phát biểu kết tính nửa liên tục S(·) sau Định lý 2.1 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: (i) A(·) liên tục với giá trị compact khác rỗng Λ; (ii) Với µ ∈ Λ, F (A(µ), A(µ), µ) tập compact bị chặn Y ; (iii) Với µ ∈ Λ, x ∈ A(µ), F (x, ·, µ) C- giống lồi Λ; (iv) Với f ∈ C ∗ \{0}, F (·, ·, ·) có f -tính chất B × B × Λ; (v) C = ∅ int C = ∅ Khi đó, S(·) nửa liên tục Λ Chứng minh Từ Bổ đề 2.3, ta có:   Sf (µ) ⊂ S(µ) ⊂ cl  f ∈C Sf (µ) f ∈C Với µ0 ∈ Λ tùy ý, ta chứng minh S(·) l.s.c µ0 Với x ∈ S(µ0 ) lân cận x + U (0X ) x, U (0X ) lân cận 0X X, từ   x ∈ S(µ0 ) ⊂ cl  Sf (µ0 ) , f ∈C ta có (x + U (0X )) ∩ Sf (µ0 ) = ∅ f ∈C Footer Page 34 of 161 29 Header Page 35 of 161 Vì vậy, tồn f ∈ C cho Sf (µ0 ) ∩ (x + U (0X )) = ∅ Theo Bổ đề 2.2, Sf (·) l.s.c µ0 Với U (0X ) trên, tồn lân cận U (µ0 ) µ0 cho Sf (µ) ∩ (x + U (0X )) = ∅, ∀µ ∈ U (µ0 ) (2.14) Từ Sf (µ) ⊂ S(µ) (2.14), ta có: S(µ) ∩ (x + U (0X )) = ∅, ∀µ ∈ U (µ0 ) Điều có nghĩa S(·) l.s.c µ0 Bởi tính tùy ý µ0 ∈ Λ, S(·) l.s.c Λ Nhận xét 2.3 Trong Định lý 2.1, giả thiết mới, không bao gồm thông tin tập nghiệm Sf (µ) với µ ∈ Λ, chứng minh tính nửa liên tục nghiệm hữu hiệu (PGSVEP) trường hợp mà tập nghiệm f -hữu hiệu tập tổng quát Khi để tìm nghiệm (PGSVEP) quy tìm nghiệm hữu hiệu (GS)µ Vì vậy, Định lý 2.1 cải tiến kết tướng ứng [5, 8, 13] Bây giờ, đưa ví dụ minh họa cho trường hợp Ví dụ 2.4 Chúng ta tiếp tục xét Ví dụ 2.2 Chúng ta kiểm tra giả thiết Định lý 2.1 thỏa mãn Do đó, S(·) l.s.c Λ Tuy nhiên, F (·, ·, 0) không ánh xạ C-đơn điệu chặt A(0) × A(0) = [0, 1] × [0, 1] giả thiết (v) [13, Định lý 3.1] bị vi phạm Do đó, [5, Định lý 3.2], [8, Định lý 2.1] [13, Định lý 3.1] không áp dụng Footer Page 35 of 161 30 Header Page 36 of 161 Kết luận Khóa luận trình bày số tính chất toán cân véctơ mạnh suy rộng có tham số Từ đó, nghiên cứu tính nửa liên tục ánh xạ nghiệm toán trường hợp tổng quát Hy vọng khóa luận tài liệu tham khảo cho bạn đọc quan tâm đến vấn đề Footer Page 36 of 161 Header Page 37 of 161 Tài liệu tham khảo [1] D T Luc: Theory of Vector Optimization Springer, Berlin (1989) [2] J P Aubin, I Ekeland: Applied Nonlinear Analysis Wiley, New York (1984) [3] Y H Cheng, D L Zhu: Global stability results for the weak vector variational inequality J Glob Optim 32, 543-550 (2005) [4] C R Chen, S J Li, K L Teo: Solution semicontinuity of parametric generalized vector equilibrium problems J Glob Optim 45, 309-318 (2009) [5] C R Chen, S J Li: On the solution continuity of parametric generalized systems Pac J Optim 6, 141-151 (2010) [6] J F Fu: Vector equilibrium problems, existence theorems and convexity of solution set J Glob Optim 31, 109-119 (2005) [7] F Giannessi (ed.): Vector Variational Inequalities and Vector Equilibria: Mathematical Theories Kluwer Academic Publishers, Dordrecht (2000) [8] X H Gong, J C Yao: Lower semicontinuity of the set of efficient solutions for generalized systems J Optim Theory Appl 138, 197-205 (2008) [9] X H Gong: Continuity of the solution set to parametric weak vector equilibrium problems J Optim Theory Appl 139, 35-46 (2008) Footer Page 37 of 161 Header Page 38 of 161 [10] N J Huang, J Li, H B Thompson: Stability for parametric implicit vector equilibrium problems Math Comput Model 43, 1267-1274 (2006) [11] Z F Li: Benson proper efficiency in the vector optimization of set-valued maps J Optim Theory Appl 98, 623-649 (1998) [12] S J Li, G Y Chen, K L Teo: On the stability of generalized vector quasivariational inequality problems J Optim Theory Appl 113, 297323 (2002) [13] S J Li, H M Liu, Y Zhang, Z M Fang: Continuity of solution mappings to parametric generalized strong vector equilibrium problems J Glob Optim 55, 597–610 (2013) [14] Z Y Peng, X M Yang, J.W Peng: On the lower semicontinuity of the solution mappings to parametric weak generalized Ky Fan inequality J Optim Theory Appl 152, 256-264 (2012) [15] Y D Xu, S J Li: On the lower semicontinuity of the solution mappings to a parametric generalized strong vector equilibrium problem Positivity 17, 341-353 (2013) Footer Page 38 of 161 33 ... Bài toán tối ưu véctơ (VOP) Tính nửa liên tục ánh xạ nghiệm toán cân véctơ mạnh suy rộng có tham số 17 2.1 Bài toán cân véctơ mạnh suy rộng có tham số 17 2.2 Tính nửa liên tục. .. mạnh có tham số, gọi nghiệm hữu hiệu hệ suy rộng có tham số Cheng Li [5] nghiên cứu tính liên tục nửa liên tục tập nghiệm toán cân véctơ mạnh có tham số toán cân véctơ yếu có tham số, gọi tập nghiệm. .. tính nửa liên tục tính liên tục ánh xạ nghiệm toán cân véctơ suy rộng có tham số chứng minh khác với [9] Tuy nhiên, theo hiểu biết chúng tôi, có kết tính liên tục ánh xạ nghiệm toán cân véctơ mạnh