Header Page of 161 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* NGUYỄN THỊ HỒNG NHUNG LƯỢC ĐỒ VÔ HƯỚNG HÓA PASCOLETTI-SERAFINI VÀ BÀI TOÁN TỐI ƯU VÉCTƠ TUYẾN TÍNH KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích HÀ NỘI, 2016 Footer Page of 161 Header Page of 161 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* NGUYỄN THỊ HỒNG NHUNG LƯỢC ĐỒ VÔ HƯỚNG HÓA PASCOLETTI-SERAFINI VÀ BÀI TOÁN TỐI ƯU VÉCTƠ TUYẾN TÍNH KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Người hướng dẫn khoá luận TS Nguyễn Văn Tuyên HÀ NỘI, 2016 Footer Page of 161 Header Page of 161 LỜI CẢM ƠN Em xin gửi lời cảm ơn tới thầy cô giáo trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, thầy cô giáo khoa Toán giúp đỡ em trình học tập trường tạo điều kiện cho em hoàn thành đề tài khóa luận tốt nghiệp Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Nguyễn Văn Tuyên tận tình giúp đỡ em suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành khóa luận Trong trình nghiên cứu, không tránh khỏi thiếu sót hạn chế Kính mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo, cô giáo toàn thể bạn đọc để đề tài hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, ngày tháng năm 2016 Sinh viên Nguyễn Thị Hồng Nhung Footer Page of 161 Header Page of 161 LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan hướng dẫn thầy giáo Nguyễn Văn Tuyên khóa luận em hoàn thành không trùng với đề tài khác Trong thực đề tài em sử dụng tham khảo thành tựu nhà khoa học với lòng biết ơn trân trọng Hà Nội, ngày tháng năm 2016 Sinh Viên Nguyễn Thị Hồng Nhung Footer Page of 161 iv Header Page of 161 Mục lục Mở đầu Lời mở đầu 1 Bài toán tối ưu véctơ 1.1 Một số khái niệm 1.2 Quan hệ hai quan hệ thứ tự 1.3 Điểm hữu hiệu 10 1.4 Sự tồn điểm hữu hiệu 13 1.5 14 Bài toán tối ưu véctơ (VOP) Lược đồ vô hướng hóa Pascoletti-Serafini Bài toán tối ưu véc tơ tuyến tính 16 2.1 Một số tính chất lược đồ vô hướng hóa PascolettiSerafini 16 2.2 Ứng dụng cho toán tối ưu véc tơ tuyến tính 22 2.3 Tính chất liên thông tập nghiệm toán bổ trợ 28 Footer Page of 161 v Header Page of 161 Lời mở đầu Vô hướng hóa công cụ mạnh tối ưu véctơ , thay toán tối ưu véctơ họ toán tối ưu vô hướng Kĩ thuật không cho phép nghiên cứu định tính toán tối ưu véc tơ mà cho phép ta sử dụng phương pháp giải số cho toán tối ưu vô hướng Một cách vô hướng cổ điển xét toán tổng có trọng hàm mục tiêu, hay tổng quát xét toán tối ưu vô hướng hàm mục tiêu hợp hàm mục tiêu véctơ phiếm hàm tuyến tính (một nhân tử) lấy nón đối ngẫu nón sinh thứ tự Một cách khác xét điều kiện tối ưu bậc nhất, nhân tử Lagrange đóng vai trò tham số vô hướng hóa Năm 1984, dựa ý tưởng mới, Pascoletti-Serafini [2] đề xuất lược đồ vô hướng hóa hình học, hàm mục tiêu véctơ toán xét tích hợp hệ ràng buộc Hàm mục tiêu toán bổ trợ Pascoletti-Serafini số thực biểu diễn độ lớn khả di chuyển véctơ lấy từ phần tương đối nón sinh thứ tự Áp dụng cho toán tối ưu véctơ , toán bổ trợ Pascoletti-Serafini toán quy hoạch tuyến tính giải thuật toán thuật toán điểm thuật toán đơn hình Dantzig Đặc trưng điểm quan trọng việc sử dụng phương pháp Pascolettin-Serafini cho toán tối ưu véctơ tuyến tính Lược đồ vô hướng hóa Pascoletti-Serafini Helbing [3, 4] sử dụng để đưa thuật toán lặp cho toán tối ưu véctơ phi tuyến tính để giải toán quy hoạch toàn phương véctơ Sau đó, Stema-Karwat [5] khảo sát tính liên tục, tính Lipschitz, tính khả vi theo tham số nghiệm Footer Page of 161 Header Page of 161 toán vô hướng lược đồ vô hướng hóa Pascoletti-Serafini Gần đây, cách sử dụng lược đồ vô hướng hóa này, Eichfelder phát triển báo [6, 7] sách [8] phương pháp giải với điều khiển tham số cải biên cho toán tối ưu véctơ tuyến tính Phương pháp áp dụng cho toán đa mục tiêu hai mức cho số toán y học Mục đích khóa luận trình bày số tính chất lược đồ Pascoletti-Serafini cho toán tối ưu véctơ tổng quát Một số đặc trưng tính chất liên thông tập nghiệm toán bổ trợ cho trường hợp toán tối ưu véctơ tuyến tính phi tuyến khảo sát Các kết khóa luận trình bày sở báo [9] gần Huong Yen đăng tạp chí Jourual of Optimization Theory and Application năm 2014 Khóa luận gồm hai chương: Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị Nội dung chương trình bày số kiến thức giải tích lồi toán tối ưu véctơ Chương trình bày lược đồ vô hướng hóa Pascolettin-Serafini toán tối ưu véctơ tuyến tính Mục 2.1 nhắc lại số tính chất lược đồ vô hướng hóa Pascoletti-Serafini Mục 2.2 trình bày số tính chất lược đồ vô hướng hóa Pascolettin-Serafini cho toán tối ưu véctơ tuyến tính Mục 2.3 trình bày tính chất liên thông tập nghiệm toán bổ trợ toán tối ưu véctơ tuyến tính Footer Page of 161 Header Page of 161 Chương Bài toán tối ưu véctơ 1.1 Một số khái niệm Giả sử E không gian tuyến tính, R tập số thực Định nghĩa 1.1 Tập A ⊂ E gọi lồi, nếu: ∀x1 , x2 ∈ A; ∀λ ∈ R : λ ⇒ λx1 + (1 − λ)x2 ∈ A Ví dụ 1.1 Các nửa không gian tập lồi Hình tam giác, hình tròn mặt phẳng tập lồi Hình cầu đơn vị không gian Banach tập lồi Định nghĩa 1.2 Giả sử A ⊂ X Tương giao tất tập lồi chứa A gọi bao lồi tập A, kí hiệu coA Nhận xét 1.1 a) coA tập lồi Đó tập lồi bé chứa A; b) A lồi A = coA Định nghĩa 1.3 Tập C ⊂ E gọi nón có đỉnh nếu: ∀x ∈ C, ∀λ > ⇒ λx ∈ C C gọi nón có đỉnh x0 , C − x0 nón có đỉnh Footer Page of 161 Header Page of 161 Định nghĩa 1.4 Nón C có đỉnh gọi nón lồi, C tập lồi, nghĩa là: ∀x, y ∈ C, ∀λ, µ > ⇒ λx + µy ∈ C Ví dụ 1.2 Các tập sau Rn : {ξ1 , ξ2 , , ξn ∈ Rn : ξi 0, i = 1, , n} (nón orthant không âm) {ξ1 , ξ2 , , ξn ∈ Rn : ξi > 0, i = 1, , n} (nón orthant dương) nón lồi có đỉnh Đó nón lồi quan trọng Rn Ngoài ra, cho D ⊆ Rm nón lồi, nón cực dương D xác định bởi: D∗ := {x∗ ∈ Rm :< x∗ , x > Cho a, b ∈ Rm , a 0, ∀x ∈ D} b a − b ∈ D; a D m 0, i = 1, , m Kí hiệu Rm + := {x ∈ R : x 0} cho g : X → Rm Hàm g gọi D- giống lồi S ⊆ X : ∀x1 , x2 ∈ S, ∀α ∈ [0, 1], ∃x ∈ S cho (1 − α)g(x1 ) + αg(x2 ) − g(x) ∈ D Điều biết đến [13] g hàm D- giống lồi tập g(S) + D lồi Định nghĩa 1.5 Tập A ⊂ Rn gọi tập affine, (1 − λ)x + λy ∈ A(∀x, y ∈ A, ∀λ ∈ R) Định nghĩa 1.6 Tương giao tất tập affine chứa tập A ⊂ Rn gọi bao affine A kí hiệu af f A Footer Page of 161 Header Page 10 of 161 Định nghĩa 1.7 Phần tương đối tập A ⊂ Rn phần A af f A (bao affine); kí hiệu riA Các điểm thuộc riA gọi điểm tương đối tập A Nhận xét 1.2 intA := {x ∈ Rn : ∃ > 0, x + B ⊂ A} , riA := {x ∈ af f A : ∃ > 0, (x + B) ∩ af f A ⊂ A} , B hình cầu đơn vị đóng Rn Tiếp theo xem xét số nón thường gặp Cho C nón lồi không gian véctơ tôpô E Kí hiệu l(C) := C ∩ (−C) (phần tuyến tính C); clC (bao đóng C); tập A ⊆ E, Ac phần bù A E, nghĩa Ac = E\A Định nghĩa 1.8 Chúng ta nói nón C là: (a) Nhọn l(C) = 0; (b) Nón sắc bao đóng nhọn; (c) Nón có giá chặt C\l(C) chứa nửa không gian mở nhất; (d) Nón (clC) + C\l(C) ⊆ C, tương đương clC + C\l(C) ⊆ C\l(C) Ví dụ 1.3 theo định nghĩa 1.8 Cho Rn không gian Euclide n-chiều Khi đó, nón orthant không âm Rn+ gồm tất vectơr Rn với toạ độ không âm nón lồi, sắc, đóng, có giá chặt nón Tập {0} nón, nón tầm thường Footer Page 10 of 161 Header Page 26 of 161 TH2: ≤ ∆(p, q) ≤ ↔ ≤ p1 q2 −p2 q1 ≤ q2 Ta có ξ¯ = −p q2 Tập nghiệm ¯ x¯, λ) ¯ với x¯ ∈ [∆(p, q), 1] λ ¯ = F (¯ ¯ Sol(Ap,q ) bao gồm ba (ξ, x) − p − ξq TH3: ∆(p, q) > ↔ p1 q2 − p2 q1 > q2 Ta có ξ¯ = 1−p q1 Tập nghiệm ¯ x¯, λ) ¯ với x¯ = λ ¯ = F (¯ ¯ Sol(Ap,q ) bao gồm ba (ξ, x) − p − ξq Từ trường hợp công thức (2.1)( (2.2)) ta có E w (P) = [0, 1] Dựa vào công thức (2.4) ta có E(P) = {1} Ví dụ 2.2 Cho X = [0, 1] × [0, 1] ⊂ R2 , Λ = R2+ , F : X → R2 , F (x) = x với x = (x1 , x2 )T ∈ X Bằng cách bỏ qua λ = F (x) − p − ξq = x − p − ξq lấy λ 0, ta viết lại toán bổ trợ tương ứng sau: (A˜p,q ) Max{ ξ| (ξ, x) ∈ R × X, ξq − x (p, q) ∈ R2 × R2 Bất phương trình a −p, x ∈ X} b với a = (a1 , a2 )T b = (b1 , b2 )T hiểu theo nghĩa toạ độ, tức là, bi với i = 1, Cố định q = (1, 1)T ∈ ri Λ Với p = (1, 0)T , Sol(A˜p,q ) = {(0, x)T | x1 = 1, prX Sol(A˜p,q ) = {1} × [0, 1] x1 x2 1} Do đó, Với p = (0, 1)T , tính chất đối xứng, ta có Sol(A˜p,q ) = {(0, x)T | 1, x2 = 1} Do đó, prX (Sol(A˜p,q )) = [0, 1] × {1} Với p = (− 21 , 13 )T ), Sol(A˜p,q ) = {( 32 , x)T | 61 prX (Sol(A˜p,q )) = [ , 1] × {1} x1 1, x2 = 1} Do đó, Với p = (− 12 + ε, 13 )T với − 16 ε 56 , ta có Sol(A˜p,q ) = {( , x)T | + ε x1 1}, x2 = 1} prX (Sol(A˜p,q )) = [ + ε, 1] × {1} Đặc biệt, cho ε = − 16 , ta có p = (− 23 , 13 )T , Sol(A˜p,q ) = {( , x)T | x1 1, x2 = 1} Footer Page 26 of 161 21 Header Page 27 of 161 prX (Sol(A˜p,q ) = [0, 1] × {1}) Vì , E w (P) = prX (Sol(A˜p1 ,q )) ∪ prX (Sol(A˜p2 ,q )) với p1 = (1, 0)T p2 = (− 32 , 31 )T Nhận xét 2.4 (a) prX (Sol(A˜p,q )) không mặt X với p = (− 21 + ε, 13 )T ) với ε = [− 61 , 56 ]; (b) Với hai tham số p1 p2 tạo toàn tập nghiệm hữu hiệu yếu; (c) Các tham số p Y \F (X), chẳng hạn p = p2 , tạo tập nghiệm E w (P) qua công thức (2.1) 2.2 Ứng dụng cho toán tối ưu véc tơ tuyến tính Từ trở đi, ta kí hiệu X ⊂ Rn tập đa diện lồi, Λ ⊂ Y = Rm nón đa diện lồi, F (x) = M x với M ma trận m × n Bài toán tương ứng (P) nói cho toán tối ưu véc tơ tuyến tính Nón đối ngẫu dương Λ định nghĩa sau: Λ+ := {η ∈ Rm : η, ϑ ≥ 0, ϑ ∈ Λ} Các định lý sau mô tả cho tập nghiệm E w (P) Định lý 2.4 Phát biểu sau E w (P) = prX (Sol(Ap,q )) = η∈Λ+ \{0Y } p∈Pη prX (Sol(Ap,q )) (2.5) p∈P với Pη = F (Xη ), Xη := {u ∈ X | η, M u = max η, M x } x∈X (2.6) mặt hữu hiệu yếu ( rỗng) X tương ứng với véctơ η ∈ Λ+ \{0y } P := {F (x) | x ∈ E w (P)} Hơn nữa, u¯ ∈ E w (P) có Footer Page 27 of 161 22 Header Page 28 of 161 mặt hữu hiệu yếu Xη , η¯ ∈ Λ+ \{0Y }, có chứa u¯, E w (P) ⊂ prX (Sol(Ap,q )), (2.7) p∈P \Pη¯ điều có nghĩa tập ảnh Pη¯ = F (Xη¯) vắng mặt biểu diễn (2.5) Chứng minh Theo [1, Định lý 2.5,p.88], ta có: E w (P) = Xη , η∈Λ+ \{0Y (2.8) } với Xη định nghĩa (2.6) Từ (2.8) ta thấy Pη P = η∈Λ+ \{0Y } Do đó, đẳng thức thứ hai (2.5) Để chứng minh đẳng thức thứ (2.5), ta lấy u¯ ∈ E w (P) cố định Từ công thức (2.8), tồn η¯ ∈ Λ+ \{0Y } cho u¯ ∈ Xη¯ Do u¯ nghiệm tối ưu yếu (P) Theo Định lý 2.1 ta có (0, u¯, 0Y ) ∈ Sol(Ap¯,q ) Do đó: u¯ ∈ prX (Sol(Ap,q )) p∈F (Xη¯) Do u¯ ∈ E w (P) lựa chọn nên E w (P) ⊂ prX (Sol(Ap,q )) η∈Λ+ \{0Y } p∈Pη Ngược lại, lấy u ∈ prX (Sol(Ap,q )), với p ∈ F (Xη ) η ∈ Λ+ \{0Y } Thế tồn (ξ, λ) ∈ R × Λ cho: (ξ, u, λ) ∈ Sol(Ap,q ) Theo Định lý 2.2 ta có u ∈ E w (P) Khi E w (P) ⊃ prX (Sol(Ap,q )) η∈Λ+ \{0Y } p∈Pη Footer Page 28 of 161 23 Header Page 29 of 161 Do khẳng định thứ định nghĩa chứng minh Ta chứng minh khẳng định thứ hai: Giả sử u¯ nghiệm hữu hiệu yếu mà mặt hữu hiệu yếu Xη¯, η¯ ∈ Λ+ \{0Y }, chứa u¯ Khẳng định (2.7) thiết lập chứng minh u¯ ∈ p∈P \Pη¯ prX (Sol(Ap,q )) Ngược lại giả sử u¯ ∈ prX (Sol(Ap0 ,q )), (2.9) với tham số p0 ∈ P \Pη¯ Vì P = {F (u)|u ∈ E w (P)}, nên ∃v ∈ E w (P) cho p0 = F (v) = M v Từ (2.9) ta tìm thấy cặp (ξ, λ) ∈ R × Λ thỏa mãn (ξ, u¯, λ) ∈ Sol(Ap0 ,q ) Do F (¯ u) = p0 + ξq + λ, nên M u¯ = M v + ξq + λ (2.10) Vì v ∈ E w (P), theo Định lý 2.1 ta có (0, v, 0Y ) ∈ Sol(Ap0 ,q ) Do đó, ξ = Vì vậy, thay vào (2.10) ta M u¯ = M v + λ (2.11) Lấy tích vố hướng hai vế (2.11) với η¯ ta η¯, M u¯ = η¯, M v + η¯, λ Vì η¯, λ 0, nên η¯, M v (2.12) η¯, M u¯ Ta phải có η¯, M v < η¯, M u¯ đẳng thức η¯, M v = η¯, M u¯ kéo theo v ∈ Xη¯, p0 = M v ∈ F (Xη¯) = Pη¯ (mâu thuẫn với cách chọn p0 ) Do điều kiện v ∈ E w (P), tồn η ∈ Λ+ \{0Y } thỏa mãn v ∈ Xη Từ (2.11) ta có η, M u¯ = η, M v + η, λ Do η, M v + η, λ ≤ η, M v ( theo cách chọn η), nên η, M u¯ ≤ η, M v η, λ ≥ Điều kéo theo η, λ = 0, η, M u¯ = η, M v Đẳng thức sau chứng tỏ u¯ ∈ Xη Mặt khác, bất đẳng thức chặt η¯, M u¯ < η¯, M v Footer Page 29 of 161 24 Header Page 30 of 161 chứng tỏ v ∈ Xη¯ Nói riêng, Xη¯ Xη hai mặt hữu hiệu yếu khác Thực tế u¯ ∈ Xη¯ ∩ Xη (mâu thuẫn với cách chọn u¯) Vậy định lý hoàn toàn chứng minh Ví dụ 2.3 Cho X, Y, F, Λ, q Ví dụ 2.2 Dễ thấy    {1} × [0, 1] cho η = (η1 , 0)T với η1 > 0,    Pη = Xη = {(1, 1)} cho η = (η1 , η2 )T với η1 > 0, η2 > 0,     [0, 1] × {1} cho η = (0, η2 )T với η2 > Ta có P = F (E w (P)) = E w (P) = ([0, 1] × {1}) ∪ ({1} × [0, 1]) Bằng tính toán đơn giản    {1} × [0, 1] cho        {1} × [t, 1] cho    prX (Sol(A˜p,q ) = {(1, 1)} cho       {[t, 1] × {1} cho      {[0, 1] × {1} cho p = (0, 1)T , p = (t, 1)T với t ∈ [0, 1], p = (1, 1)T , p = (1, t)T với t ∈ [0, 1], p = (1, 0)T Do công thức (2.5), nên kết hoàn toàn với biểu diễn E w (P) Tiếp theo, với u¯ ∈ ([0, 1] × {1}) ∪ ({1} × [0, 1]) ⊂ E w (P) tồn mặt hữu hiệu yếu Xη¯, η ∈ Λ+ \{0Y }, chứa u¯ Vì Khẳng định (2.7) Ta thấy không u¯ ∈ đúng, mà có (1, 1)T ∈ p∈P \Pη¯ p∈P \Pη¯ prX (Sol(Ap,q )) prX (Sol(Ap,q )) Cuỗi cùng, giả sử u¯ = (1, 1)T nghiệm hữu hiệu yếu,các mặt hữu hiệu yếu khác Xηj với η := (α, 0)T , Footer Page 30 of 161 25 Header Page 31 of 161 η := (α, β)T , η := (0, β)T , α > β > Vì vậy, khẳng định thứ hai Định lý 2.4 áp dụng Dễ ràng ta kiểm tra rằng: E w (P) = prX (Sol(Ap,q )) p∈P \Pη¯ Vì vậy, giả thiết u¯ chứa mặt hữu hiệu yếu có dạng Xη cần thiết khẳng định thứ hai Định lý 2.4 Bây có biểu diễn tối thiểu cho tập nghiệm E(P) Công thức kết đơn giản công thức tập nghiệm E w (P) định lý trước Định lý 2.5 Ta có E(P) = prX (Sol(Ap,q )), (2.13) p∈P0 P0 := F (E(P)) = {F (x) | x ∈ E(P)} Hơn nữa, với p¯ ∈ P0 , ta có E(P) ⊂ prX (Sol(Ap,q )), (2.14) p∈P0 \{¯ p} tức là, công thức (2.13) biểu diễn cho tập nghiệm hữu hiệu E(P) thiếu phần tử p tập P0 Chứng minh Để chứng minh (2.13), lấy u¯ ∈ E(P) Theo Định lý 2.1 (0, u¯, 0Y ) ∈ prX Sol(Ap¯,q ) với p¯ := F (¯ u) Vì u¯ ∈ prX (Sol(Ap¯,q )) Do p¯ ∈ P0 u¯ ∈ E(P) lấy cách tùy ý nên E(P) ⊂ prX (Sol(Ap,q )) p∈P0 Ngược lại, lấy u ∈ prX (Sol(Ap,q )) với p ∈ P0 = F (E(P)) Lấy (ξ, λ) ∈ R × Λ cho (ξ, u, λ) ∈ Sol(Ap,q ) Chọn x ∈ E(P) với F (x) = p Thế thì, Footer Page 31 of 161 26 Header Page 32 of 161 theo Định lý 2.1 ta có (0, x, 0Y ) ∈ Sol(Ap,q ) Đặc biệt, giá trị tối ưu (Ap,q ) Do đó, ξ = Vì vậy, F (u) = p + ξq + λ = F (x) + λ Vì x ∈ E(P), nên λ = Vì vậy, F (u) = F (x) u ∈ E(P) Vậy công thức (2.13) chứng minh Chú ý rằng, với p ∈ P0 , dựa vào lập luận ta có công thức Sol(Ap,q ) = {(0, u, 0Y ) ∈ R × X × Rm | F (u) = F (x)} (2.15) với x ∈ E(P) thỏa mãn điều kiện p = F (x) Để chứng minh khẳng định thứ hai định lý, ta lấy p¯ ∈ P0 cố định Định lý chứng minh ta tồn u¯ ∈ E(P) cho u¯ ∈ prX (Sol(Ap,q )) (2.16) p∈P0 \{¯ p} Do p¯ ∈ F (E(P)), nên tồn u¯ ∈ E(P) cho F (¯ u) = p¯ Ta kiểm tra (2.16) với u¯ Giả sử phản chứng, u¯ ∈ prX (Sol(Ap,q )) (2.17) với p ∈ P0 \{¯ p} Do (2.17), tồn (ξ, λ) ∈ R × Λ cho: (ξ, u¯, λ) ∈ Sol(Ap,q ) Dựa vào kết (2.15) ta có ξ = λ = 0Y Thế ta có F (¯ u) = p + ξq + λ = p Vì vậy, p¯ = p (mâu thuẫn với giả thiết) Định lý hoàn toàn chứng minh Theo định nghĩa, ta có P0 ⊂ P = F (E w (P)) Chú ý Định nghĩa 2.2 không đòi hỏi tính tuyến tính F , tức là, kết đạt được Footer Page 32 of 161 27 Header Page 33 of 161 cho toán tối ưu véctơ tổng quát có dạng (P) Đối với toán tuyến tính, theo Định lý 2.5 [1, p.88] ta có Xη E(P) = η∈ri Λ+ Xη có dạng (2.6) Vì vậy, P0 := F (E(P)) = η∈ri Λ+ Pη , P = F (Xη ) Do đó, theo (2.13) ta có: E(P) = prX (Sol(Ap,q )) η∈riΛ+ p∈Pη 2.3 Tính chất liên thông tập nghiệm toán bổ trợ Trong mục này, khảo sát tính chất liên thông đường tập nghiệm toán bổ trợ (Ap,q ) Chúng ta bắt đầu với tập tham số P định nghĩa công thức Định lý 2.4, tương ứng với tập nghiệm hữu hiệu yếu E w (P) Định nghĩa 2.4 Cho Ω tập khác rỗng R × Rn × Rm Ta nói Ω tập liên thông đoạn với z1 = (ξ1 , u1 , λ1 ) ∈ Ω z2 = (ξ2 , u2 , λ2 ) ∈ Ω, tồn dãy hữu hạn véctơ ω0 , , ωk+1 ∈ Ω cho ω0 = z1 , ωk+1 = z2 , đoạn thẳng [ωi , ωi+1 ] nằm hoàn toàn Ω Định lý 2.6 Tập hợp Ω := Sol(Ap,q ), (2.18) p∈P với P = {F (x) | x ∈ E w (P)}, tập liên thông đoạn Chứng minh Cho z1 = (ξ1 , u1 , λ1 ) ∈ Ω z2 = (ξ2 , u2 , λ2 ) ∈ Ω tùy ý Từ (2.18) ta tìm p1 ∈ P p2 ∈ P cho zi ∈ Sol(Api ,q ), với Footer Page 33 of 161 28 Header Page 34 of 161 i = 1, Chúng ta chứng minh hai kết bổ trợ sau: Khẳng định Nếu p ∈ P z = (ξ, u, λ) ∈ Sol(Ap,q ), ξ = Để chứng minh Bổ đề này, ta chọn v ∈ E w (P) cho F (v) = p Theo Định lý 2.1 ta có (0, v, 0Y ) ∈ Sol(Ap,q ) Điều cho thấy giá trị tối ưu ξ (Ap,q ) = Khẳng định Nếu p ∈ P z = (ξ, u, λ) ∈ Sol(Ap,q ) đường thẳng nối z với ω := (0, u, 0Y ) nằm hoàn toàn Ω Thật vậy, từ z = (ξ, u, λ) ∈ Sol(Ap,q ), ta có u ∈ E w (P) Theo Định lý 2.1, ω = (0, u, 0Y ) ∈ Sol(AF (u),q ) với p = F (u) Do ω ∈ Ω Với t ∈ (0, 1) ta chứng minh (1 − t)z + tω ∈ Ω (2.19) Theo Khẳng định 1, ta có ξ = Từ z = (ξ, u, λ) ∈ Sol(Ap,q ) ta suy F (u) = p + 0q + λ, F (u) = F (u) + 0q + 0Y (2.20) Lấy v ∈ E w (P) cho F (v) = p Theo Định lý 2.1 (0, v, 0Y ) nghiệm tối ưu (Ap,q ) Do toán (Ap,q ) toán quy hoạch tuyến tính, nên tập nghiệm Sol(Ap,q ) lồi Do [(0, v, 0Y ), (0, u, λ)] ⊂ Sol(Ap,q ) Theo Định lý 2.2, điều kéo theo (1 − t)v + tu ∈ E w (P) Vì vậy, véctơ p(t) := F ((1 − t)v + tu) = (1 − t)p + tF (u) thuộc P Vì vậy, để đạt (2.19) ta cần chứng minh (1 − t)z + tw ∈ Sol(Ap(t),q ) Đầu tiên, từ (2.20) ta có F (u) = p(t) + 0q + (1 − t)λ, Footer Page 34 of 161 29 (2.21) Header Page 35 of 161 chứng tỏ (0, u, (1−t)λ) véc tơ chấp nhận (Ap(t),q ) Nếu không nghiệm tối ưu toán, tồn u ∈ X (ξ , λ ) ∈ R × Λ với ξ > cho F (u ) = p(t) + ξ q + λ Do đó, ta có F (u ) = F ((1 − t)v + tu) + ξ q + λ (2.22) Do q ∈ ri Λ, ξ q + λ ∈ ri Λ Vì vậy, từ (2.22) có (1 − t)v + tu ∈ E w (P) Điều mâu thuẫn với (2.21) (1 − t)z + tw = (0, u, (1 − t)λ) Vậy công thức (2.19) thiết lập Bây ta chứng minh định lý Từ zi = (ξi , ui , λi ) ∈ Sol(Ap(i),q ) với i = 1, 2, theo Định lý 2.2 u1 ∈ E w (P), u2 ∈ E w (P) Áp dụng Định lý Barankin-Blackwell [1], ta tìm dãy véc tơ x1 , , xk cho x1 = u1 , xk = u2 , [xj , xj+1 ] ⊂ E w (P) với j = 1, , k − Theo Định lý 2.1, với j ∈ {1, , k − 1} t ∈ (0, 1), (0, (1 − t)xj + txj+1 , 0Y ) ∈ Sol(Ap(t),q )) với p(t) := F ((1−t)xj +txj+1 ) Do p(t) ∈ P với j = 1, , k−1 t ∈ (0, 1), nên nối (0, u1 , 0Y ) với (0, u2 , 0Y ) đoạn thẳng [w1 , wj+1 ] ⊂ Ω, j = 1, , k − Để có kết luận Định lý, ta đặt w0 = (ξ1 , u1 , λ1 ) = (0, u1 , λ1 ), wk+1 = (ξ2 , u2 , λ2 ) áp dụng Khẳng định ta có [w0 , w1 ] ⊂ Ω [wk , wk+1 ] ⊂ Ω Vậy định lý hoàn toàn chứng minh Bây ta tập tham số P0 định nghĩa Định lý 2.5 sinh tập liên thông Định lý 2.7 Tập hợp Ω0 := Sol(Ap,q ), p∈P0 P0 = {F (x) | x ∈ E(P)}, tập liên thông đoạn Footer Page 35 of 161 30 (2.23) Header Page 36 of 161 Chứng minh Trước tiên ta chứng minh hai kết bổ trợ sau: Khẳng định 1.Nếu p ∈ P0 z = (ξ, u, λ) ∈ Sol(Ap,q ), (ξ, λ) = (0, 0Y ) u ∈ E(P) Thật vậy, theo Khẳng định chứng minh Định lý 2.6, ta có ξ = Lấy x ∈ E(P)) cho F (x) = p Khi đó, ta có F (u) = F (x) + 0q + λ với λ ∈ Λ Đẳng thức cuối chứng tỏ λ = 0, trái lại x nghiệm hữu hiệu (P) Bây giờ, từ F (x) = F (u) ta có u ∈ E(P) Khẳng định 2.Nếu p ∈ P0 p = F (x) với x ∈ E(P), Sol(Ap,q ) = {(0, u, 0Y ) | u ∈ X, F (u) = F (x)} (2.24) Theo Định lý 2.1 ta có (0, u, 0Y ) ∈ Sol(Ap,q ) Vì vậy, bao hàm thức ⊃ (2.24) hiển nhiên Ngược lại, z = (ξ, u, λ) ∈ Sol(Ap,q ) theo Khẳng định 1, (ξ, λ) = (0, 0Y ) Do đó, F (u) = F (x) + ξq + λ ↔ F (u) = F (x) Vì z ∈ {(0, u, 0Y ) | u ∈ X, F (u) = F (x)} bao hàm thức ⊂ (2.24) Bây ta trở lại chứng minh định lý Lấy zi = (ξi , ui , λi ) ∈ Sol(Api ,q ) với pi ∈ P0 , i = 1, Theo Khẳng định 1, ta có zi = (ξi , ui , λi ) = (0, ui , 0Y ) ui ∈ E(P), i = 1, Theo Định lý Arrow-Barankin-Blackwell [1], ta tìm dãy véctơ x1 , , xk cho x1 = u1 , xk = u2 , [xj , xj+1 ] ⊂ E(P) với j = 1, , k − Theo Định lý 2.1, với j ∈ {1, , k − 1} t ∈ (0, 1), (0, (1 − t)xj + txj+1 , 0Y ) ∈ Sol(Apj (t),q ) với pj (t) := F ((1 − t)xj + txj+1 ) Do pj (t) ∈ P0 với j = 1, , k − t ∈ [0, 1], nên nối (0, u1 , 0Y ) với (0, u2 , 0Y ) đoạn thẳng [w1 , wj+1 ] ⊂ Ω0 , j = 1, , k − Cuối ta chứng minh với tập tham số lớn Y = Rm p, hợp tập nghiệm toán bổ trợ tập liên thông Footer Page 36 of 161 31 Header Page 37 of 161 Định lý 2.8 Tập hợp: Sol(Ap,q ), Ω1 := (2.25) p∈Y tập liên thông đoạn Chứng minh Lấy zi = (ξi , ui , λi ) ∈ Sol(Api ,q ) với pi ∈ Y, i = 1, Theo Định lý 2.2 ta có ui ∈ E w (P) Chú ý F (ui ) = pi + ξi q + λi (2.26) với i = 1, Với t ∈ [0, 1] với i = 1, đặt pi (t) = pi + t(ξi q + λi ) Theo (2.26), ta có F (ui ) = [pi + t(ξi q + λi )] + (1 − t)(ξi q + λi ) = pi (t) + (1 − t)ξi q + (1 − t)λi Điều có nghĩa zi (t) = ((1 − t)ξi , ui , (1 − t)λi ) véc tơ chấp nhận toán (Api (t),q ) Khẳng định: Véc tơ zi (t) nghiệm tối ưu (Api (t),q ) với t ∈ [0, 1] i ∈ {1, 2} Thật vậy, giả sử (ξ, u, λ) véc tơ chấp nhận (Api (t),q ) với t ∈ [0, 1] i ∈ {1, 2} Khi đó, ta có F (u) = pi (t) + ξq + λ = pi + (tξi + ξ)q + (tλi + λ) Điều có nghĩa (tξi + ξ, u, tλi + λ) véc tơ chấp nhận toán (Api ,q ) Do đó, từ zi = (ξi , ui , λi ) ∈ Sol(Api ,q ) tξi + ξ ξ ξi Vì (1 − t)ξi Do bất đẳng thức sau thỏa mãn với véctơ chấp nhận (ξ, u, λ) toán (Api (t),q ) zi (t) = ((1 − t)ξi , ui , (1 − t)λi ) chấp nhận (Api (t),q ), nên zi ∈ Sol(Api (t),q ) Theo khẳng định trên, ta có zi (1) ∈ Sol(Api (1),q ) với i = 1, Từ zi (1) = (0, ui , 0Y ) pi (1) = pi +ξi q+λi , kết hợp với Định lý 2.2, ta có ui ∈ E w (P) Footer Page 37 of 161 32 Header Page 38 of 161 Với i ∈ {1, 2}, ta zi nối với zi (1) = (0, ui , 0Y ) ∈ Sol(Api (1),q ), pi (1) ∈ P = {F (x)|x ∈ E w (P)}, đoạn thẳng {zi (t) | t ∈ [0, 1]} ⊂ Ω1 Áp dụng định lý Arrow-Barankin-Blackwell [1] lập luận sử dụng chứng minh Định lý 2.6, ta nối z1 (1) = (0, u1 , 0Y ) ∈ Ω với z2 (1) = (0, u2 , 0Y ) ∈ Ω hữu hạn đoạn thẳng nằm hoàn toàn Ω Vì Ω ⊂ Ω1 nên z1 nối với z2 hữu hạn đoạn thẳng nằm hoàn toàn Ω1 Như định lý chứng minh Từ chứng minh Định lý 2.7 Định lý 2.8 ta thu kết tính chất liên thông tập nghiệm bổ trợ tham số Pascoletti-Serafini trường hợp tổng quát sau Định lý 2.9 (xem [9, Theorem 4.4]) Xét toán (P) giả sử X trang bị tôpô Khi đó, ta có: (a) Nếu E w (P) liên thông (liên thông đường) tập Ω1 định ngĩa (2.25) tập liên thông (liên thông đường) (b) Nếu E(P) liên thông (liên thông đường) tập Ω0 định ngĩa (2.23) tập liên thông (liên thông đường) Footer Page 38 of 161 33 Header Page 39 of 161 Kết luận Khóa luận trình bày số tính chất lược đồ PascolettiSerafini cho toán tối ưu véctơ tổng quát Một số đặc trưng tính chất liên thông tập nghiệm toán bổ trợ cho trường hợp toán tối ưu véctơ tuyến tính phi tuyến khảo sát Footer Page 39 of 161 34 Header Page 40 of 161 Tài liệu tham khảo [1] Luc, D.T.: Theory of Vector Optimization Springer, Berlin (1989) [2] Pascoletti, A., Serafini, P.: Scalarizing véctơ optimization problems J Optim Theory Appl 42, 499– 524 (1984) [3] Helbig, S.: An interactive algorithm for nonlinear véctơ optimization Appl Math Optim 22, 147– 151 (1990) [4] Helbig, S.: On a constructive approximation of the efficient outcomes in bicriterion véctơ optimization J Glob Optim 5, 35–48 (1994) [5] Sterna-Karwat, A.: Lipschitz and differentiable dependence of solutions on a parameter in a scalarization method J Aust Math Soc A 42, 353–364 (1987) [6] Eichfelder, G.: An adaptive scalarization method in multiobjective optimization SIAM J Optim 19, 1694–1718 (2008) [7] Eichfelder, G.: Multiobjective bilevel optimization Math Program., Ser A 123, 419–449 (2010) [8] Eichfelder, G.: Adaptive Scalarization Methods in Multiobjective Optimization Springer, Berlin (2008) [9] Huong, T., Yen,D.: The Pascoletti-Serafini Scalarization Scheme and Linear Vector Optimization J Optim Theory Appl 162(2), 559–576 (2014) Footer Page 40 of 161 ... Pascolettin -Serafini toán tối ưu véctơ tuyến tính Mục 2.1 nhắc lại số tính chất lược đồ vô hướng hóa Pascoletti- Serafini Mục 2.2 trình bày số tính chất lược đồ vô hướng hóa Pascolettin -Serafini cho toán tối ưu véctơ. .. 1.5 14 Bài toán tối ưu véctơ (VOP) Lược đồ vô hướng hóa Pascoletti- Serafini Bài toán tối ưu véc tơ tuyến tính 16 2.1 Một số tính chất lược đồ vô hướng hóa PascolettiSerafini... C- đầy đủ Footer Page 20 of 161 15 Header Page 21 of 161 Chương Lược đồ vô hướng hóa Pascoletti- Serafini Bài toán tối ưu véc tơ tuyến tính 2.1 Một số tính chất lược đồ vô hướng hóa Pascoletti- Serafini