Header Page of 161 TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN - TẠ THỊ LAN ANH HƢỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 GIẢI BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN BẰNG NHIỀU CÁCH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học Toán HÀ NỘI - 2016 Footer Page of 161 Header Page of 161 TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN - TẠ THỊ LAN ANH HƢỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 GIẢI BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN BẰNG NHIỀU CÁCH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học Toán Ngƣời hƣớng dẫn khoa học ThS ĐÀO THỊ HOA HÀ NỘI - 2016 Footer Page of 161 Header Page of 161 LỜI CẢM ƠN Trƣớc tiên em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thạc sĩ Đào Thị Hoa tận tình hƣớng dẫn, giúp đỡ em suốt trình em thực đề tài Em xin trân trọng cảm ơn thầy cô giáo tổ phƣơng pháp giảng dạy, ban chủ nhiệm khoa Toán bạn sinh viên khoa tạo điều kiện cho em hoàn thành tốt khóa luận Em xin trân trọng cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2016 Sinh viên Tạ Thị Lan Anh Footer Page of 161 Header Page of 161 LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp trình học tập, nghiên cứu nỗ lực thân em dƣới bảo thầy, cô giáo, đặc biệt bảo, hƣớng dẫn tận tình cô giáo Đào Thị Hoa Khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải toán nguyên hàm, tích phân nhiều cách” trùng lặp với khóa luận khác kết thu đƣợc đề tài hoàn toàn xác thực Hà Nội, tháng năm 2016 Sinh viên Tạ Thị Lan Anh Footer Page of 161 Header Page of 161 MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Giả thuyết khoa học Cấu trúc khóa luận NỘI DUNG CHƢƠNG CƠ SỞ LÍ LUẬN 1.1 Khái niệm toán lời giải toán 1.1.1 Khái niệm toán 1.1.2 Khái niệm lời giải toán 1.2 Vai trò tập toán học trình dạy học 1.2.1 Vai trò tập toán học bình diện mục tiêu dạy học 1.2.2 Vai trò tập toán học bình diện nội dung dạy học 1.2.3 Vai trò tập toán học bình diện phƣơng pháp dạy học 1.3 Phân loại toán 1.3.1 Phân loại theo hình thức toán 1.3.2 Phân loại theo phƣơng pháp giải toán 1.3.3 Phân loại theo nội dung toán 1.3.4 Phân loại theo ý nghĩa toán học 1.4 Phƣơng pháp chung để giải toán KẾT LUẬN CHƢƠNG 10 Footer Page of 161 Header Page of 161 CHƢƠNG HƢỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 GIẢI BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN BẰNG NHIỀU CÁCH 11 2.1 Mục tiêu dạy học nguyên hàm, tích phân 11 2.2 Những kiến thức nguyên hàm, tích phân chƣơng trình Toán lớp 12 bậc THPT 12 2.2.1 Một số kiến thức nguyên hàm 12 2.2.2 Một số kiến thức tích phân 13 2.3 Một số sai lầm thƣờng gặp giải toán nguyên hàm, tích phân 17 2.4 Một số khó khăn tổ chức hƣớng dẫn học sinh giải tập thuộc chủ đề nguyên hàm, tích phân 20 2.5 Hƣớng dẫn học sinh lớp 12 giải toán nguyên hàm, tích phân nhiều cách 22 2.5.1 Nguyên hàm 22 2.5.2 Tích phân 35 2.5.3 Ứng dụng 55 2.6 Đánh giá chất lƣợng cách hƣớng dẫn học sinh giải toán nguyên hàm, tích phân 64 2.6.1 Mục đích đánh giá 64 2.6.2 Nội dung đánh giá 64 2.6.3 Đối tƣợng đánh giá 64 2.6.4 Phƣơng pháp đánh giá 64 2.6.5 Kết đánh giá 65 KẾT LUẬN CHƢƠNG 65 KẾT LUẬN 67 TÀI LIỆU THAM KHẢO 68 PHỤ LỤC 69 PHỤ LỤC 70 Footer Page of 161 Header Page of 161 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Bƣớc sang kỉ XXI, kỉ văn minh trí tuệ với xu toàn cầu hóa tác động ảnh hƣởng đến nhiều quốc gia giới – có Việt Nam Sự phát triển mạnh mẽ khoa học – công nghệ, tính chất phức tạp kinh tế thị trƣờng xu phát triển thời đại ảnh hƣởng sâu sắc, toàn diện đến nghiệp giáo dục đào tạo, đặc biệt giáo dục phổ thông Trong điều kiện đó, đặt yêu cầu ngành giáo dục Việt Nam phải đào tạo ngƣời có tri thức khoa học, lĩnh trị, có phẩm chất đạo đức kĩ sống Chính Đảng rõ: “Giáo dục quốc sách hàng đầu” Trong Nghị 29-NQ/TW Ban Chấp hành Trung ƣơng “Đổi bản, toàn diện giáo dục đào tạo” nêu: “Tiếp tục đổi mạnh mẽ phƣơng pháp dạy học theo hƣớng đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo vận dụng kiến thức, kĩ ngƣời học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt chiều, ghi nhớ máy móc Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo sở để ngƣời học tự cập nhật đổi tri thức, kĩ phát triển lực.” Những nội dung phản ánh nhu cầu đổi phƣơng pháp giáo dục, để giải mâu thuẫn yêu cầu đào tạo ngƣời thực trạng lạc hậu chung phƣơng pháp dạy học nƣớc ta Do đó, môn Toán nói chung môn Toán trƣờng trung học phổ thông nói riêng đứng trƣớc yêu cầu cấp bách, đổi nội dung, mục tiêu phƣơng pháp dạy học Trong chƣơng trình Toán trung học phổ thông, chủ đề nguyên hàm,tích phân kiến thức quan trọng Chủ đề học sinh đƣợc học vào nửa cuối năm lớp 12 Phép tính tích phân đối tƣợng nghiên cứu trọng tâm Giải tích Footer Page of 161 Header Page of 161 mà hỗ trợ đắc lực nghiên cứu lý thuyết phƣơng trình, lý thuyết hàm số Ngoài phép tính vi phân đƣợc sử dụng ngành khoa học khác nhƣ Vật lý, Thiên văn học, Cơ học, Hóa học,… Các toán phong phú đa dạng, phạm vi rộng đặc biệt chúng xuất đề thi trung học phổ thông quốc gia hàng năm Để giải đƣợc toán chủ đề nguyên hàm, tích phân, đòi hỏi học sinh phải nắm kiến thức bản, vận dụng linh hoạt liên hệ kiến thức với Khi giải toán chủ đề này, học sinh thƣờng gặp khó khăn việc nhớ bảng nguyên hàm hay áp dụng phƣơng pháp đổi biến số lấy nguyên hàm, tích phân phần Đối với giáo viên trẻ việc hƣớng dẫn học sinh giải tập gặp khó khăn việc xây dựng hệ thống câu hỏi giúp học sinh nhanh chóng tìm lời giải toán; hay dừng lại lời giải mà không khai thác đƣợc hƣớng giải khác toán Để cải thiện việc dạy học đồng thời giúp học sinh lớp 12 có kĩ giải toán thuộc chủ đề với sở thích, đam mê thân, em xin lựa chọn đề tài: “Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải toán nguyên hàm, tích phân nhiều cách” Mục đích nghiên cứu Xây dựng sử dụng số cách hƣớng dẫn học sinh giải tập thuộc chủ đề nguyên hàm, tích phân nhằm nâng cao chất lƣợng, hiệu việc dạy học thuộc chủ đề Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu sở lý luận việc giải toán - Hệ thống kiến thức chủ đề nguyên hàm, tích phân - Xây dựng tình hƣớng dẫn học sinh giải tập thuộc chủ đề nguyên hàm, tích phân Footer Page of 161 Header Page of 161 - Xin ý kiến chuyên gia chất lƣợng cách hƣớng dẫn giải khác cho toán nguyên hàm, tích phân Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu - Đối tƣợng nghiên cứu: Bài tập toán thuộc chủ đề nguyên hàm, tích phân - Phạm vi nghiên cứu: Chƣơng trình Toán lớp 12 bậc trung học phổ thông Phƣơng pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý luận - Quan sát điều tra - Tổng kết kinh nghiệm Giả thuyết khoa học Nếu xây dựng sử dụng đƣợc cách hƣớng dẫn học sinh giải tập thuộc chủ đề nguyên hàm, tích phân phù hợp với trình độ học sinh nâng cao chất lƣợng dạy học chủ đề này, góp phần phát triển lực giải tập cho học sinh Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, khóa luận gồm chƣơng Chƣơng Cơ sở lí luận Chƣơng Hƣớng dẫn học sinh lớp 12 giải toán nguyên hàm, tích phân nhiều cách Footer Page of 161 Header Page 10 of 161 NỘI DUNG CHƢƠNG CƠ SỞ LÍ LUẬN 1.1 Khái niệm toán lời giải toán 1.1.1 Khái niệm toán Theo G.Polya: toán việc đặt cần thiết tìm kiếm cách có ý thức phƣơng tiện thích hợp để đến mục đích định trông thấy rõ ràng nhƣng đạt đƣợc Trên sở định nghĩa khái quát G.Polya cho ta thấy rằng: toán đòi hỏi phải đạt tới đích Nhƣ toán đồng với số quan niệm khác nhƣ: đề tài, tập…[2] 1.1.2 Khái niệm lời giải toán Lời giải toán đƣợc hiểu tập thứ tự thao tác cần thực để đạt đƣợc mục đích đặt Nhƣ vậy, ta thống lời giải, giải, cách giải, đáp án toán Một toán có thể: có lời giải; lời giải có nhiều lời giải Giải toán đƣợc hiểu tìm trình bày lời giải toán trƣờng hợp toán có lời giải, lí giải đƣợc toán không giải đƣợc trƣờng hợp lời giải.[2] 1.2 Vai trò tập toán học trình dạy học Bài tập toán học có vai trò quan trọng môn Toán Điều tập có vai trò giá mang hoạt động học sinh Thông qua giải tập, học sinh phải thực hoạt động định bao gồm nhận dạng thể định nghĩa, định lí, quy tắc hay phƣơng pháp, hoạt động Toán học phức hợp, hoạt động trí tuệ phổ biến Toán học, hoạt động trí tuệ chung hoạt động ngôn ngữ Footer Page 10 of 161 Header Page 63 of 161 tập ứng dụng tƣơng đối dễ, trọng tâm việc phát công thức để sử dụng xác định đƣợc phần diện tích cần tính Khi gặp toán có đồ thị vẽ đƣợc giáo viên nên hƣớng dẫn học sinh vẽ hình, để cảm nhận toán trực quan hơn, đồng thời tránh sai lầm việc xác định cận tích phân Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: Đồ thị hàm số y  x  4, y   x  x + Cách - Giáo viên hƣớng dẫn dựa vào hệ thống câu hỏi (?1) Đề cho giả thiết gì? Yêu cầu thực gì? (?2) Nhìn vào đề bài, ta sử dụng công thức nào? (?3) Đề yêu cầu tính diện tích hình phẳng hình phẳng bị giới hạn đồ thị hàm số nên ta sử dụng công thức tính diện tích b S   f ( x)  g ( x) dx a Để áp dụng, cần xác định đƣợc hoành độ giao điểm đồ thị phá đƣợc dấu giá trị tuyệt đối công thức tính Hãy tìm hoành độ giao điểm đồ thị? Hoành độ giao điểm x    x  x  x  x    x  2; x  (?5) Xét y  f ( x)  g ( x)  x  x  Xét dấu y? - Lời giải Hoành độ giao điểm x    x  x  x  x    x  2; x  Xét y  f ( x)  g ( x)  x  x   ( x  2)( x  1) Suy đoạn [-2 ; 1] y  hay f ( x)  g ( x) hay f ( x)  g ( x)   x  x  x  57 Footer Page 63 of 161 Header Page 64 of 161 Vậy 1 x3 S   ( x  x  x  4)dx   (2 x  x  4)dx  (2  x  x) 12  2 2 2 + Cách (?1) Đề cho giả thiết gì? Yêu cầu thực gì? (?2) Từ đó, nhìn vào đề bài, ta sử dụng công thức nào? (?3) Vẽ đồ thị hàm số y  f ( x)  x  4, y  g ( x)   x  x y -2 O x (?4) Nhìn vào hình vẽ, ta thấy đoạn [-2 ; 1], đồ thị y   x  x phía đồ thị y  x  nên f ( x)  g ( x)   x  x  x  - Lời giải Ta có y  f ( x)  x  4, y  g ( x)   x  x Hoành độ giao điểm x    x  x  x  x    x  2; x  Dựa vào đồ thị, đoạn [-2 ; 1] , f ( x)  g ( x) nên f ( x)  g ( x)   x  x  x  58 Footer Page 64 of 161 Header Page 65 of 161 Suy 1 x3 S   ( x  x  x  4)dx   (2 x  x  4)dx  (2  x  x) 12  2 2 2 Nhận xét, đánh giá Bài tập tính diện tích hình phẳng bị giới hạn đồ thị b hàm số Dạng sử dụng công thức S   f ( x)  g ( x) dx Để áp a dụng đƣợc công thức, cần phải xác định đƣợc hoành độ giao điểm đồ thị Sau xét xem khoảng giao đồ thị đồ thị có giá trị lớn hay nói cách khác đồ thị phía đồ thị lại đ ể phá ngoặc giá trị tuyệt đối f ( x)  g ( x) Trong tập ứng dụng tích phân để tính diện tích hay thể tích không yêu cầu vẽ hình đồ thị vẽ dễ dàng Cho nên việc biểu diễn đồ thị giúp học sinh có nhìn trực quan hình cần tính diện tích hay thể tích Bài 3: Tính thể tích vật thể nằm hai mặt phẳng x  1; x  1, biết thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vuông góc với trục Ox điểm có hoành độ x (1  x  1) hình vuông cạnh  x + Hướng dẫn - Giáo viên hƣớng dẫn dựa vào hệ thống câu hỏi (?1) Đề cho điều gì? Yêu cầu thực gì? (?2) Đề yêu cầu tính thể tích, liên quan đến thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vuông góc với trục Ox điểm có hoành độ x Cho nên ta cần phải sử dụng công thức để giải toán? 59 Footer Page 65 of 161 Header Page 66 of 161 b (?3) Để áp dụng đƣợc công thức V   S ( x )dx cần có diện tích thiết a diện vật thể bị cắt mặt phẳng vuông góc cận tích phân Hãy nêu diện tích gì? Cận gì? b (?4) Hãy áp dụng công thức V   S ( x )dx để tính kết a - Lời giải Diện tích thiết diện (2  x )2  4(1  x ) Suy thể tích vật thể 1 x3 16 V   4(1  x )dx   (4  x )dx  (4 x  ) 1  3 1 1 2 Nhận xét Bài tập ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể Đọc xong đề bài, ta thấy điểm lƣu ý, giả thiết cho thiết diện bị cắt bời mặt phẳng vuông góc với trục Ox vật thể Suy b ta chắn áp dụng công thức V   S ( x )dx để tính Tiếp theo, thiết a diện hình vuông, nhiên đề cho biết cạnh Vì làm bài, học sinh cần lƣu ý đọc kĩ đề, sai lầm  x diện tích thiết diện Bài 4: Cho hình phẳng A giới hạn đƣờng y  0; x  y  x  Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình A quanh trục hoành + Hướng dẫn - Giáo viên hƣớng dẫn dựa vào hệ thống câu hỏi (?1) Đề cho điều gì? Yêu cầu thực gì? 60 Footer Page 66 of 161 Header Page 67 of 161 (?2) Đề yêu cầu tính thể tích khối tròn xoay quay quanh trục hoành nên ta áp dụng công thức để tính? (?3) Ở f ( x) gì? Hãy xác định hoành độ giao điểm f ( x) với trục hoành? x   suy (?4) Hoành độ giao điểm f ( x) với trục hoành x  Cho nên V    ( x  1) dx - Lời giải Ta có y  f ( x)  x  Hoành độ giao điểm f(x) với trục hoành x   suy x  Nhƣ hình phẳng A bị giới hạn f ( x)  x  , trục hoành, x  x  Theo công thức ta có V    ( x  1) dx x2 ( x )3 7    ( x  x  1)dx   (   x) 14  Nhận xét Bài tập tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình b A quanh trục hoành Dạng áp dụng công thức V    f ( x)dx Để a làm tốt, học sinh cần xác định đƣợc yếu tố công thức: y  f ( x) gì? Cận x = a, x = b cho chƣa? 61 Footer Page 67 of 161 Header Page 68 of 161 Việc tính thể tích trừu tƣợng không gian chiều, học sinh cần tƣởng tƣợng nhiều việc tính diện tích Giáo viên cần hƣớng dẫn học sinh hiểu chất “thể tích khối tròn xoay quay hình A quanh trục hoành” nhƣ thể Nhiều học sinh “mơ màng” với cụm từ làm tập máy móc theo công thức Thế nên gặp phức tạp nhƣ cần xác định cận tích phân, em lúng túng Bài 5: Cho hình phẳng B giới hạn đƣờng x  y , x  0, y  1, y  Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình B quanh trục tung + Hướng dẫn - Giáo viên hƣớng dẫn dựa vào hệ thống câu hỏi sau (?1) Đề cho điều gì? Yêu cầu thực gì? (?2) Tƣơng tự nhƣ khối tròn xoay quay quanh trục hoành, ta cần phải xác định đƣợc x = f(y) = ? (?3) Hình B giới hạn x  f ( y )  y , trục tung y  1, y  Cho nên ta sử dụng công thức (5) - Lời giải Từ giả thiết, ta có hình B giới hạn x  f ( y )  y , trục tung y  1, y  y5 Suy V    y dy  5 1 1  2 Nhận xét Bài tập tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình B quanh trục tung Dạng làm tƣơng tự nhƣ quay quanh trục hoành Chúng ta cần xác định đƣợc x  f ( y) gì? Cận y = a, y = b gì? 62 Footer Page 68 of 161 Header Page 69 of 161 Vậy điểm lƣu ý đề không yêu cầu cụ thể khối tròn xoay quay quanh trục hoành hay trục tung, ta xử lý nhƣ nào? Thông thƣờng, học sinh thƣờng sử dụng khối tròn xoay quay quanh trục hoành thói quen dễ hình dung quay quanh trục hoành Hơn nữa, đề thƣờng cho dạng y = f(x), nhƣ học sinh nghĩ tới công thức tính thể tích khối tròn xoay quay quanh trục hoành Tuy nhiên số trƣờng hợp, việc tính thể tích khối tròn xoay quay quanh trục tung đơn giản quay quanh trục hoành BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1, Tính diện tích hình phẳng giới hạn x  1; x  2; y  0; y  x  x [1] 2, Tính diện tích hình phẳng giới hạn y  x  x; y  3x [1] 3, Tính thể tích vật tròn xoay hình phẳng S   y  x ln x; y  0; x  1; x  e quay quanh Ox [1] 4, Cho parabol y  x (P) hai điểm A(1 ; -1), B(4 ; 2) (P) Gọi (H) hình phẳng giới hạn (P) dây cung AB Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình (H) xung quanh trục tung [9] 63 Footer Page 69 of 161 Header Page 70 of 161 2.6 Đánh giá chất lƣợng cách hƣớng dẫn học sinh giải toán nguyên hàm, tích phân 2.6.1 Mục đích đánh giá Đánh giá chất lƣợng cách hƣớng dẫn học sinh giải tập nguyên hàm, tích phân xây dựng góp phần nâng cao hiệu dạy học chủ đề 2.6.2 Nội dung đánh giá Đánh giá tình xây dựng theo tiêu chí sau: + Sự cần thiết việc hƣớng dẫn học sinh nhiều cách giải cho toán + Hệ thống tập đảm bảo phân bậc, phù hợp với học sinh không? + Các hƣớng dẫn đƣa có phù hợp với học sinh không ? + Có hiệu việc hình thành phát triển lực cho học sinh không? + Khả áp dụng trƣờng phổ thông + Đánh giá ý nghĩa lý luận thực tiễn đề tài + Những nhận xét, góp ý khác 2.6.3 Đối tƣợng đánh giá Giáo viên dạy môn Toán có kinh nghiệm trƣờng Trung học phổ thông Chúng em gửi phiếu đánh giá tới giáo viên môn Toán trƣờng Trung học phổ thông Thuận Thành số – Bắc Ninh 2.6.4 Phƣơng pháp đánh giá Do điều kiện trực tiếp tiến hành thực nghiệm sƣ phạm Chúng em sử dụng phƣơng pháp chuyên gia (gửi tình hƣớng dẫn đƣợc xây dựng phiếu đánh giá tới giáo viên) để xin ý kiến giáo viên môn Toán trƣờng Trung học phổ thông Thuận Thành số – Bắc Ninh chất lƣợng cách hƣớng dẫn xây dựng 64 Footer Page 70 of 161 Header Page 71 of 161 2.6.5 Kết đánh giá Qua đánh giá thầy cô giáo, em tổng kết lại đƣợc số kết nhƣ sau: + Việc hƣớng dẫn học sinh nhiều cách giải cho toán cần thiết Điều giúp em học sinh có đƣợc cách nhìn đa dạng cho toán nói chung toán nguyên hàm, tích phân nói riêng để tìm lời giải chúng + Do khuôn khổ khóa luận hạn hẹp nên hệ thống tập ít, chƣa bao quát đƣợc dạng nguyên hàm, tích phân Tuy nhiên, tập đƣợc lựa chọn điển hình, đại diện cho dạng nguyên hàm, tích phân + Các hƣớng dẫn đƣa cụ thể, rõ ràng, dễ hiểu phù hợp với tất đối tƣợng học sinh + Đề tài đƣa vào giảng dạy tiết tập tự chọn trƣờng phổ thông cho học sinh lớp 12 Đồng thời tài liệu hữu ích cho giáo viên trẻ học tập rèn luyện kĩ hƣớng dẫn học sinh giải tập Qua ý kiến đóng góp giáo viên, chúng em chỉnh sửa để hƣớng dẫn hoàn thiện KẾT LUẬN CHƢƠNG Chƣơng thực đƣợc nhiệm vụ 2, 3, đề khóa luận Căn vào việc tìm hiểu tài liệu tích lũy thân, em xây dựng đƣợc cách hƣớng dẫn cho số tập điển hình thuộc chủ đề nguyên hàm, tích phân Các tập đƣa với cách hƣớng dẫn khác nhau, mang tính chất tìm tòi, nghiên cứu, dự kiến Trong 65 Footer Page 71 of 161 Header Page 72 of 161 trƣờng hợp cụ thể, tùy thuộc vào trình độ học sinh để lựa chọn cách giải cho phù hợp sử dụng đồng thời cách để tạo linh hoạt, sáng tạo, biết nhìn nhận vấn đề dƣới nhiều khía cạnh khác Các tập khóa luận tìm cách hƣớng dẫn khác với cách giải mà khóa luận xây dựng Từ hệ thống tập nhƣ cách hƣớng dẫn giải khác tập hệ thống, chúng em nhận đƣợc đánh giá tích cực từ giáo viên Toán có nhiều kinh nghiệm 66 Footer Page 72 of 161 Header Page 73 of 161 KẾT LUẬN Các toán nguyên hàm, tích phân trung học phổ thông đa dạng phong phú Vì việc rèn luyện cho học sinh giải tập thuộc chủ đề cần thiết Đề tài “Hƣớng dẫn học sinh lớp 12 giải toán nguyên hàm, tích phân nhiều cách” phần hệ thống lại kiến thức số tập điển hình Việc giải toán nhiều cách giúp học sinh hệ thống hóa kiến thức, có tƣ thêm phong phú linh hoạt giải tập thuộc chủ đề nói riêng tập toán nói chung Do khả tổng kết kinh nghiệm thân chƣa nhiều nhƣ bƣớc đầu làm quen với nghiên cứu khoa học nên khóa luận em không tránh khỏi sai sót khiếm khuyết Em mong có đƣợc góp ý thầy cô bạn để em hoàn thiện tốt đề tài Em mong khóa luận trở thành tài liệu nghiên cứu hữu ích cho giáo sinh dạy học vấn đề 67 Footer Page 73 of 161 Header Page 74 of 161 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lê Hồng Đức – Lê Bích Ngọc (2005), Phương pháp giải toán tích phân, NXB Hà Nội [2] Nguyễn Văn Hà (1999), Phương pháp toán sơ cấp, Trƣờng ĐHSP Hà Nội [3] Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) – Vũ Tuấn (Chủ biên) – Lê Thị Thiên Hƣơng – Nguyễn Tiến Tài – Cấn Văn Tuất (2009), Giải tích 12 Cơ bản, NXB Giáo dục [4] Nguyễn Bá Kim (2011), Phương pháp dạy học môn Toán, NXB Đại học Sƣ phạm [5] Nguyễn Thành Long (2011), Giải toán tích phân nhiều cách [6] Trần Phƣơng – Nguyễn Đức Tấn (2004), Sai lầm thường gặp sáng tạo giải toán, NXB Hà Nội [7] Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) – Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) – Trần Phƣơng Dung – Nguyễn Xuân Liêm – Đặng Hùng Thắng (2010), Giải tích 12 Nâng cao, NXB Giáo dục Việt Nam [8] Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) – Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) – Trần Phƣơng Dung – Nguyễn Xuân Liêm – Đặng Hùng Thắng (2010), sách giáo viên Giải tích 12 Nâng cao, NXB Giáo dục Việt Nam [9] Tủ sách toán học tuổi trẻ (2010), Tuyển chọn theo chuyên đề chuẩn bị cho kì thi tốt nghiệp THPT thi vào Đại học, Cao đẳng môn Toán – tập 1, NXB Giáo dục Việt Nam 68 Footer Page 74 of 161 Header Page 75 of 161 PHỤ LỤC PHIẾU XIN Ý KIẾN GIÁO VIÊN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Đánh giá chất lƣợng tình hƣớng dẫn thuộc đề tài nghiên cứu “Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải toán nguyên hàm, tích phân nhiều cách” Họ tên: …………………………………………………………………………… Đơn vị công tác: …………………………………………………………………… Các tiêu chí đánh giá: 1, Sự cần thiết việc hƣớng dẫn học sinh nhiều cách giải cho toán …………………………………………………………………………… 2, Hệ thống tập đảm bảo phân bậc, phù hợp với học sinh chƣa? …………………………………………………………………………… 3, Các cách hƣớng dẫn đƣa có phù hợp với học sinh không? …………………………………………………………………………… 4, Có hiệu việc hình thành phát triển lực học sinh không? …………………………………………………………………………… 5, Khả áp dụng trƣờng phổ thông nhƣ nào? …………………………………………………………………………… 6, Đánh giá ý nghĩa lý luận thực tiễn đề tài …………………………………………………………………………… 7, Những nhận xét, góp ý khác …………………………………………………………………………… Giáo viên đánh giá 69 Footer Page 75 of 161 Header Page 76 of 161 PHỤ LỤC Hƣớng dẫn giải đáp số tập tự luyện Bài a) Tách đa thức Đáp số: ln b) 1   x  3x  x  x  x2 C x 1 Đặt u  ln(ln x) Đáp số: ln ln(ln x)  C c)  sin x  cos2 x Đáp số: x  ln tan  C cos x d) cos3 x  cos2 x.cos x  (1  sin x).cos x Đáp số: ln sinx  sin x  C e) Đặt t   sin x Đáp số: [1  sin x  ln(1  sin x)]  C f) Đặt u   5x u12 u11 Đáp số: (  )C 50 12 11 g) Sử dụng nguyên hàm phần Đáp số: x [cos(ln x)  sin(ln x)]  C h) Hạ bậc cos2 x Đáp số: (5  cos x  2sin x)e x  C 10 70 Footer Page 76 of 161 Header Page 77 of 161 sin x k) Chọn hàm phụ sin x  cos x Đáp số: 1  sin x (x  ln )C 2 2  sin x Bài 1 I1  ln  I5  I  ln  I6  I  ln I  ln 2 I9   I10  I  (e2  1) I8   I11  1 3, (đvdt)  27 (5e3  3) (đvtt) 2, 125 (đvdt) 4, 72 (đvtt) 71 Footer Page 77 of 161  15 I12  ln Bài 1, 2e e 1 3 ... hình thức toán qua phép đổi biến Thứ 3, giáo viên ý xây dựng đƣợc cách khác hƣớng dẫn học sinh tìm lời giải toán 2.5 Hƣớng dẫn học sinh lớp 12 giải toán nguyên hàm, tích phân nhiều cách Dƣới... 161 TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN - TẠ THỊ LAN ANH HƢỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 GIẢI BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN BẰNG NHIỀU CÁCH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Phƣơng... giải, cách giải, đáp án toán Một toán có thể: có lời giải; lời giải có nhiều lời giải Giải toán đƣợc hiểu tìm trình bày lời giải toán trƣờng hợp toán có lời giải, lí giải đƣợc toán không giải