BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Chu Thị Yến PHÉP TÍNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN EUCLID En VÀ HÌNH HỌC VI PHÂN CỦA En KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Chu Thị Yến PHÉP TÍNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN EUCLID En VÀ HÌNH HỌC VI PHÂN CỦA En Chuyên ngành: Toán hình học Mã số: ??????? KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC Thạc sĩ: Nguyễn Thị Trà Hà Nội – Năm 2016 Lời cảm ơn Trong trình thực khóa luận, em nhận nhiều giúp đỡ hỗ trợ Em xin chân thành cảm ơn ThS Nguyễn Thị Trà- giảng viên khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, người trực tiếp hướng dẫn, bảo tận tình giúp đỡ nhiều để em hoàn thành khóa luận Nhân đây, em muốn gửi lời cảm ơn đến thầy cô tổ Hình học, thầy cô khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội nhiệt tình giúp đỡ bảo suốt thời gian em theo học đại học làm khóa luận Em xin cảm ơn quý thầy cô Hội đồng chấm khóa luận dành thời gian quan tâm góp ý để khóa luận hoàn chỉnh Cuối em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến gia đình, bạn bè động viên giúp đỡ em suốt trình nghiên cứu hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 20/04/2016 Tác giả khóa luận Chu Thị Yến Lời cam đoan Khóa luận hoàn thành hướng dẫn tận tình cô giáo Nguyễn Thị Trà với cố gắng thân Trong trình nghiên cứu em kế thừa thành nhà khoa học, nhà nghiên cứu với trân trọng biết ơn Em xin cam đoan kết khóa luận kết nghiên cứu thân, không trùng với kết tác giả khác Hà Nội, ngày 20/04/2016 Tác giả khóa luận Chu Thị Yến Mục lục Mở đầu 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Một số phép tính giải tích Rn 1.1.1 Hàm vectơ n biến 1.1.2 Giới hạn hàm vectơ 1.1.3 Đạo hàm vi phân cấp 1.1.4 Một số định lí 1.1.5 Dạng vi phân bậc Không gian Euclid En 1.2.1 Không gian vectơ Euclid 1.2.2 Không gian Euclid En 1.2.3 Mục tiêu trực chuẩn Phép tính giải tích không gian Euclid En hình học vi phân En 2.1 Hàm vectơ 2.1.1 Định nghĩa 2.1.2 Ví dụ 2.1.3 Một số phép toán i Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 Chu Thị Yến 2.1.4 Giới hạn hàm vectơ 10 2.1.5 Đạo hàm hàm vectơ 10 2.1.6 Nguyên hàm tích phân 11 Vectơ tiếp xúc Trường vectơ Cung tham số trường vectơ dọc cung tham số 12 2.2.1 Vectơ tiếp xúc 12 2.2.2 Trường vectơ 12 2.2.3 Trường mục tiêu 13 2.2.4 Cung tham số(quỹ đạo) 16 2.2.5 Trường vectơ dọc cung tham số 17 Đạo hàm hàm số theo vectơ tiếp xúc dọc trường vectơ 18 2.3.1 Đạo hàm hàm số theo vectơ tiếp xúc 18 2.3.2 Đạo hàm hàm số dọc trường vectơ 20 Ánh xạ tiếp xúc ánh xạ khả vi 21 2.4.1 Ánh xạ khả vi 21 2.4.2 Ánh xạ tiếp xúc ánh xạ khả vi f : U −→ V 21 Dạng vi phân bậc một, bậc hai tập mở En 25 2.5.1 Dạng vi phân bậc 25 2.5.2 Dạng vi phân bậc hai 28 2.5.3 Vi phân dạng vi phân bậc 30 2.5.4 Sơ lược tenxơ trường tenxơ 31 2.5.5 Ánh xạ khả vi với dạng vi phân 37 Đạo hàm trường vectơ 39 2.6.1 39 Đạo hàm trường vectơ dọc cung tham số ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.6.2 Chu Thị Yến Đạo hàm trường vectơ theo vectơ tiếp xúc dọc trường vectơ 2.6.3 40 Dạng liên kết phương trình cấu trúc En trường mục tiêu trực chuẩn Một số tập 41 45 3.1 Bài tập hàm vectơ 3.2 Bài tập trường vectơ, cung tham số trường vectơ 45 dọc cung tham số 49 3.3 Bài tập ánh xạ tiếp xúc ánh xạ khả vi 55 3.4 Bài tập dạng vi phân bậc một, bậc hai tập 3.5 mở En 63 Bài tập đạo hàm trường vectơ 66 Kết luận 73 Tài liệu tham khảo 73 iii Khóa luận tốt nghiệp Đại học Chu Thị Yến Mở đầu 1.Lí chọn đề tài Phép tính giải tích đóng vai trò quan trọng hình học vi phân En Nhờ phép tính giải tích, nghiên cứu tính chất, ứng dụng sâu sắc hình học vi phân Đây phần kiến thức bản, tảng nhằm phục vụ gián tiếp ứng dụng trình nghiên cứu đối tượng hình học vi phân như: Cung, đường, mặt, đa tạp, đa tạp Riemann, đa tạp khả vi, cấu trúc phép toán giải tích đa tạp Đối với người yêu toán muốn tìm hiểu hình học vi phân, coi đề tài hay lí thú Nghiên cứu đề tài phần giúp em thỏa mãn niềm đam mê toán học, thúc đẩy tò mò sáng tạo toán học thân Hơn nữa, giúp em củng cố, tạo sở vững ứng dụng phép tính giải tích vào việc giải tập giảng dạy toán nhà trường phổ thông sau Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học Nhiệm vụ nghiên cứu Phép tính giải tích tập mở không gian Euclid En hình học vi phân En Phương pháp nghiên cứu Sưu tầm tìm hiểu tài liệu qua tạp chí, báo, Internet, Cơ sở lí luận phân tích, tổng hợp, đánh giá Cấu trúc khóa luận Khóa luận tốt nghiệp Đại học Chu Thị Yến Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận gồm chương Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương Phép tính giải tích không gian En Chương Một số tập Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương em trình bày số kiến thức phép tính giải tích Rn không gian Euclid En dạng xem chúng sở để tiếp cận kiến thức chương 2: "Phép tính giải tích không gian Euclid En hình học vi phân En "- nội dung khóa luận 1.1 1.1.1 Một số phép tính giải tích Rn Hàm vectơ n biến Cho tập U ⊂ Rn Ánh xạ f : U −→ Rp gọi hàm vectơ n biến xác định U , giá trị Rp 1.1.2 Giới hạn hàm vectơ Cho hàm vectơ f : U −→ Rp , điểm a ∈ U Ta nói hàm f tiến đến giới hạn b ∈ Rp x tiến đến a với > cho trước, tồn δ > (δ phụ thuộc ) cho với x ∈ U thỏa mãn < x−a < δ ta có < f (x) − b < Khóa luận tốt nghiệp Đại học Chu Thị Yến b, Jacobi f  ∂x  ∂u  ∂y ∂u   ∂x 2u ∂v   =  ∂y 2v ∂v − 2v 2u   Có định thức 4(u2 + v ) Nếu (u, v) = (0, 0) f dìm thu hẹp f lên R2 \ {(0, 0)} dìm thu hẹp f vi phôi không đơn ánh Bài 3: Hỏi ánh xạ f : R2 −→ R2 , (u, v) → (x, y); cho sau có phải vi phôi hay không? a, x = veu , y = u b, x = u − v + 1, y = −u + 2v + c, x = u3 , y = u − v Trong trường hợp f vi phôi, biểu diễn ảnh f∗ trường ∂ ∂ ∂ ∂ vectơ , qua trường vectơ , ∂u ∂v ∂x ∂y Giải a, f : R2 −→ R2 , (u, v) → (veu , u) * f song ánh + f đơn ánh:  u =u ∀(u1 , v1 ) = (u2 , v2 ) ⇔ v =v Ta có (v1 eu1 , u1 ) = (v2 eu2 , u2 ) +f toàn ánh ∀ (x, y) = (veu , u) ∈ R2 , ∃ (u, v) = y, cho f (u, v) = (x, y) * Hiển nhiên f khả vi * f −1 : R2 −→ R2 , (x, y) → (y, x ) khả vi ex 60 x ∈ R2 x e Khóa luận tốt nghiệp Đại học Chu Thị Yến Vậy f vi phôi ∂ ∂ * Biểu diễn ảnh f∗ trường vectơ , qua trường ∂u ∂v ∂ ∂ vectơ , ∂x ∂y Ta có: n ∂f j Ej (f (p)) f∗ = i ∂u p j=1 Do đó: f∗ f∗ ∂ ∂u ∂ ∂v ∂x ∂ ∂y ∂ ∂ ∂ + = veu + ∂u ∂x ∂u ∂y ∂x ∂y ∂y ∂ ∂ ∂x ∂ + = eu = ∂v ∂x ∂v ∂y ∂x = b, f : R2 −→ R2 , (x, y) → (u − v + 1, u + 2v + 4) *f song ánh: +f đơn ánh:  u =u ∀(u1 , v1 ) = (u2 , v2 ) ⇔ v =v Ta có (u1 − v1 + 1, u1 + 2v1 + 4) = (u2 − v2 + 1, u2 + 2v2 + 4) +f toàn ánh:∀(x, y) = (u − v + 1, u + 2v + 4) ∈ R2 , tồn (u, v) = (2x + y − 6, x + y − 5) ∈ R2 cho f (u, v) = f (2x + y − 6, x + y − 5) = (x, y) *Hiển nhiên f khả vi *f −1 : R2 −→ R2 , (x, y) → (2x + y − 6, x + y − 5) khả vi Vậy f vi phôi Khi ta có: f∗ f∗ ∂ ∂u ∂ ∂v ∂x ∂ ∂y ∂ ∂ ∂ + = − ∂u ∂x ∂u ∂y ∂x ∂y ∂x ∂ ∂y ∂ ∂ ∂ = + =− +2 ∂v ∂x ∂v ∂y ∂x ∂y = 61 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Chu Thị Yến c, f : R2 −→ R2 , (u, v) → (u3 , u − v) *f song ánh +f đơn ánh: giả sử (u1 , v1 ), (u2 , v2 ) ∈ R2 :   u =u  u3 = u3 2 (u1 , v1 ) = (u2 , v2 ) ⇔ ⇔ v =v  u −v =u −v 1 2 ⇒ f (u1 , v1 ) = f (u2 , v2 ) +f toàn ánh: ∀(x, y) = (u3 , u − v) ∈ R2 , tồn √ √ (u, v) = ( x, x − y) ∈ R2 cho f (u, v) = (x, y) * Hiển nhiên f khả vi f −1 : R2 → R2 √ √ (x, y) → ( x, x − y) không khả vi x=0 Vậy f vi phôi Bài 4: Chứng minh phương trình a, ϕ = C b, r = A cos ϕ + B sin ϕ (|A| + |B| = 0) với C số phương trình cực theo thứ tự a, đường thẳng qua gốc cực O b,đường thẳng tùy ý không qua gốc cực O Giải: 62 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Chu Thị Yến ˜ ta có: Trong R    x = r cos ϕ  x = r cos C ⇒  y = r sin ϕ  y = r sin C Hình biểu diễn Vậy tập hợp điểm (rcosC, rsinC) đường thẳng tùy ý qua gốc cực O b, Ta có: r= ⇔ rA cos ϕ + rB sin ϕ = A cos ϕ + B sin ϕ hay AX + BY = 1, |A| + |B| = phương trình đường thẳng tùy ý không qua gốc cực O 3.4 Bài tập dạng vi phân bậc một, bậc hai tập mở En Bài 1: Cho hàm số khả vi ϕ tập mở U En hàm khả vi f : R −→ R Chứng minh rằng: d(f ◦ ϕ) = (f ◦ ϕ)dϕ Chứng minh: Lấy X ∈ V ec(U ), hàm f : R −→ R, t → f (t) Cho 63 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Chu Thị Yến ϕ ∈ F (U ) ta có: d(f ◦ ϕ)(X) = X[f ◦ ϕ] = (f ◦ ϕ)X[ϕ] = (f ◦ ϕ)dϕ(X) ⇒ d(f ◦ ϕ) = (f ◦ ϕ)dϕ Bài 2: Xét tọa độ cầu (r, ϕ, θ) tập mở U = R3 \ {(xOz) \x ≥ 0}.Chứng minh {rcosθdϕ, rdθ, dr} trường đối mục tiêu trường mục tiêu tọa độ cầu {U1 , U2 , U3 } U Chứng minh: +Trường mục tiêu tọa độ cầu {U1 , U2 , U3 } U = R3 \ {(xOz) \x ≥ 0} có dạng: U1 = − sin ϕE1 + cosϕE2 U2 = − sin θ(cosϕE1 + sin ϕE2 ) U3 = cosθ(cosϕE1 + sin ϕE2 ) + sin θE3 Ta có: U2 [r] = 0; ; r cos θ U2 [ϕ] = 0; U3 [r] = 1; U3 [ϕ] = 0; U1 [r] = 0; U1 [ϕ] = U1 [θ] = 0; U2 [θ] = ; r U3 [θ] = Vậy {rcosθdϕ, rdθ, dr} trường đối mục tiêu trường mục tiêu tọa độ cầu{U1 , U2 , U3 } U Bài 3: Trong tọa độ aphin (x1 , x2 , , xn ) En , phải đẳng 64 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Chu Thị Yến thức sau đúng: n ϕij dxi ∧ dxj = i,j=1 n ψij dxi ∧ dxj i,j=1 ⇒ ϕij = ψij (i, j = 1, n) Giải Trong tọa độ aphin (x1 , x2 , , xn ) En , mệnh đề n ϕij dxi ∧ dxj = i,j=1 n ψij dxi ∧ dxj i,j=1 ⇒ ϕij = ψij (i, j = 1, n) Chưa Thật vậy, với x = ta có xdx ∧ dy + xdy ∧ dx = = 0dx ∧ dy + 0dy ∧ dx Rõ ràng ϕ12 = x = ψ12 = Bài 4: Trong E2 với hệ tọa độ Oxy, xét dạng vi phân θ = xdy − ydx x2 + y k k ∈ N∗ E2 \ {O} Tìm k để θ dạng đóng Giải: Ta có: xdy − ydx y =− dx + θ= k k 2 2 x +y x +y y x Đặt P = − ,Q = k x2 + y x2 + y 65 x x2 k + y2 k dy Khi θ = P dx + Qdy , Khóa luận tốt nghiệp Đại học Chu Thị Yến ⇒ dθ = d(P dx + Qdy) = dP ∧ dx + dQ ∧ dy ∂P ∂P ∂Q ∂Q = dx + dy ∧ dx + dx + dy ∧ dy ∂x ∂y ∂x ∂y ∂P ∂Q = dy ∧ dx + dx ∧ dy ∂y ∂x ∂Q ∂P − dx ∧ dy = ∂x ∂y ∂Q ∂P ⇒ dθ = ⇔ − =0 ∂x ∂y k k − −1 − ⇔ [ x2 + y 2 − kx2 x2 + y 2 ]− k k − − −1 [ − x2 + y 2 + ky x2 + y 2 ] = k − ⇔ (2 − k) x2 + y 2 = ⇔k=2 (|x| + |y| = 0) Vậy với k = θ dạng đóng 3.5 Bài tập đạo hàm trường vectơ Bài 1: Cho Z trường vectơ tập mở U En vectơ α ∈ Tp U Lấy cung tham số ρ : J −→ U mà ρ (t0 ) = α Chứng minh D (Z ◦ ρ) (t0 ) không phụ thuộc vào ρ chọn dt Chứng minh: Lấy trường mục tiêu song song {E1 , E2 , , En } tập U 66 Khóa luận tốt nghiệp Đại học n Chu Thị Yến ϕi Ei (ϕi hàm số U) Ta có: Khi đó, Z = i=1 n D (Z ◦ ρ) (t0 ) = dt D ϕi Ei ◦ρ i=1 (t0 ) dt d ϕi ◦ ρ = (t0 ) Ei (ρ (t0 )) dt i=1 n n ρ (t0 ) ϕi Ei (ρ (t0 )) = i=1 n = α ϕi Ei (ρ (t0 )) i=1 không phụ thuộc vào ρ Bài 2: Kí hiệu {E1 , E2 , E3 } trường mục tiêu song song ứng với tọa độ aphin (O; e1 , e2 , e3 ) E3 với tọa độ (x, y, z) Cho trường vectơ E3 X = xyE1 + ez E2 − y E3 Y = yE1 + xE2 Tính DX Y, DY X, DX (DX Y ), DX (X + xY ) Giải: *Ta có: DX Y = DX i Y Ei = i=1 i=1 X Y i Ei ∂Y ∂Y ∂Y + ez − y2 = xy ∂x ∂y ∂z = xy.E2 + ez E1 67 Khóa luận tốt nghiệp Đại học DY X = DY X i Ei i=1 Chu Thị Yến = Y X i Ei i=1 ∂X ∂X + x = y ∂x ∂y = y (yE1 ) + x (xE1 − 2y.E3 ) = x2 + y E1 − 2xyE3 DX (DX Y ) = DX (ez E1 + xyE2 ) ∂DX Y ∂DX Y ∂DX Y = xy + ez − y2 ∂x ∂y ∂z = −y ez E1 + xy + xez E2 DX (X + xY ) = D 2xyE1 + ez + x2 E2 − y E3 ∂ (X + xY ) ∂ (X + xY ) ∂ (X + xY ) = 2xy + ez − y2 ∂x ∂y ∂z = xy (2yE1 + 2xE2 ) + ez (2xE1 − 2yE3 ) − y ez E2 = 2xy + 2xez E1 + 2x2 y − y ez E2 − 2yez E3 Bài 3: Tìm dạng liên kết E3 trường mục tiêu tọa độ cầu U = E \ {(x+ Oz)} Giải: Trong trường mục tiêu tọa độ cầu U = E \ {(x+ Oz)} với tọa độ cực (r, ϕ, θ)(r > 0, < ϕ < 2π, < θ < π) ta có: U1 = − sin ϕE1 + cosϕE2 U2 = − sin θ (cosϕE1 + sin ϕE2 ) + cosθE3 U3 = cosθ (cosϕE1 + sin ϕE2 ) + sin θE3 (E1 , E2 , E3 ) trường mục tiêu song song ứng với tọa độ Descartes vuông góc Oxyz Do 68 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Chu Thị Yến   − sin ϕ − sin ϕ cosθ cosϕ cosθ     C =  cosϕ − sin ϕ sin θ sin ϕ cosθ    cosθ sin θ  − sin ϕ cosϕ   ⇒ C −1 =  −cosϕ sin θ − sin ϕ sin θ cosθ  cosϕ cosθ sin ϕ cosθ sin θ      Do đó, ma trận dạng liên kết E3 tọa độ cầu là: W = C −1 dC    =  sin θdϕ  −cosθdϕ − sin θdϕ cosθdϕ dθ − dθ      Vậy sin θ dϕ U2 − co sθdϕU3 DU1 = DU2 = − sin θdϕU1 DU3 = co sθdϕU1 − dθU3 + dθU2 Bài Kí hiệu {U1 , U2 } , θ1 , θ2 tương ứng trường mục tiêu đối mục tiêu tọa độ cực Xét trường mục tiêu U˜1 , U˜2 xác định U˜1 = U1 , U˜2 = rU2 Tìm trường đối mục tiêu tương ứng θ˜1 , θ˜2 Viết dạng liên kết ω ˜ ij E2 trường mục tiêu Viết phương trình cấu trúc thứ thứ hai trường mục tiêu U˜1 , U˜2 Giải * Tìm trường đối mục tiêu θ˜1 , θ˜2 69 trường mục tiêu U˜1 , U˜2 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Chu Thị Yến Ta có: θ˜1 U˜1 = 1, θ˜2 U˜1 = θ˜1 U˜2 = 0, θ˜2 U˜2 = Thay U˜1 = U1 , U˜2 = rU2 vào đẳng thức ta được: θ˜1 (U1 ) = 1, θ˜2 (U1 ) = θ˜1 (rU2 ) = 0,    θ˜1 = θ1 = dr ⇒ θ2  ˜ θ = = dϕ r θ˜2 (U1 ) = hay θ˜1 , θ˜2 = {dr, dϕ} * Viết dạng liên kết ω ˜ ij E2 trường mục tiêu U˜1 , U˜2 Áp dụng công thức DU˜i = n j=1 ω ˜ ij U˜j ta có: DU˜1 = DU1 DU˜2 = D (rU2 ) = drU2 + rDU2 = drU2 − rdϕU1 * Tính DU1 Theo giả thiết ta có: U1 = cosϕE1 + sin ϕE2 U2 = − sin ϕE1 + cosϕE2 70 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Chu Thị Yến Ta có:  C= cosϕ − sin ϕ    ⇒ dC =  sin ϕ cosϕ  cosϕ sin ϕ C −1 =  − sin ϕ cosϕ  ⇒ ω = C −1 dC =  dϕ − sin ϕdϕ cosϕdϕ − cosϕdϕ − sin ϕdϕ     − dϕ   ⇒ ω11 = ω22 = 0, ω12 = dϕ, ω21 = −dϕ Mà DUi = ωij Uj nên DU1 = dϕU2 , DU2 = −dϕU1 Do DU˜1 = DU1 = dϕU2 = 1r dϕU˜2 DU˜2 = D (rU2 ) = dr.U2 + rDU2 = dr.U2 − rdϕU1 = −rdϕU˜1 + 1r drU˜2 Vậy ma trận dạng liên kết  ω ˜= dϕ r  − rdϕ  dr r * Viết phương trình cấu trúc thứ thứ hai trường mục tiêu U˜1 , U˜2 +Phương trình cấu trúc thứ nhất: dθ˜1 = −˜ ω12 ∧ θ˜2 = rdϕ ∧ dϕ = dθ˜2 = −˜ ω12 ∧ θ˜1 − ω ˜ 22 ∧ θ˜2 = − 1r dϕ ∧ dr − 1r dr ∧ dϕ = 71 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Chu Thị Yến +Phương trình cấu trúc thứ hai: ˜ 22 = dϕ ∧ dϕ = ˜ 21 ∧ ω ˜ 11 − ω ω11 ∧ ω d˜ ω11 = −˜ d˜ ω21 = −˜ ω11 ∧ ω ˜ 21 − ω ˜ 21 ∧ ω ˜ 22 = dϕ ∧ dr d˜ ω12 = −˜ ω12 ∧ ω ˜ 11 − ω ˜ 22 ∧ ω ˜ 12 = − r12 dr ∧ dϕ d˜ ω22 = −˜ ω12 ∧ ω ˜ 21 − ω ˜ 12 ∧ ω ˜ 22 = dϕ ∧ dϕ = 72 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Chu Thị Yến KẾT LUẬN Trên sở bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học mong muốn thân có nhìn cụ thể, dễ hiểu phép tính giải tích không gian Euclid En hình học vi phân En , em trình bày tài liệu theo hướng: đưa định nghĩa, ví dụ, sau tập kèm theo lời giải Với nội dung đề tài "nhìn lại phép tính giải tích tập mở không gian Euclid En quan điểm ứng dụng vào nghiên cứu hình học, nhấn mạnh đạo hàm hàm số theo vectơ tiếp xúc, ánh xạ tiếp xúc ánh xạ khả vi, trường vectơ dạng vi phân" em hi vọng tài liệu giúp ích cho bạn sinh viên việc học tập nghiên cứu bạn học môn học hình học vi phân Do thời gian trình độ có hạn, kết mà em tìm hiểu nhiều hạn chế không tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận góp ý quý thầy cô bạn đọc để khóa luận hoàn chỉnh Em xin chân thành cảm ơn Ths Nguyễn Thị Trà bảo, hướng dẫn tận tình, giúp em khắc phục nhiều sơ suất trình làm đề tài 73 Tài liệu tham khảo [1] Đoàn Quỳnh Hình học vi phân Nhà xuất Đại học Sư phạm, 1999 [2] Đoàn Quỳnh, Trần Đình Viện, Trương Đức Hinh, Nguyễn Hữu Quang Bài tập hình học vi phân.Nhà xuất Giáo dục, 1993 [3] Phan Hồng Trường Hình học vi phân Tài liệu Trường ĐHSP Hà Nội 2, 2004 [4] Leonor Godinho and José Natário An Introduction to Riemannian Geometry with Applications to Mechanics and Relativity Lisbon, 2004 [5] Nguyễn Duy Tiến( chủ biên), Trần Đức Long Bài giảng giải tích tập II Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2004 [6] Phan Hồng Trường Đại số tuyến tính.Tài liệu Trường ĐHSP Hà Nội 2, 2001 [7] Đoàn Quỳnh( chủ biên), Khu Quốc Anh, Nguyễn Anh Kiệt, Tạ Mân, Nguyễn Doãn Tuấn Đại số tuyến tính hình học giải tích Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2007 74 ... không gian En ) gọi mục tiêu trực chuẩn n không gian Euclid En thường gọi hệ tọa độ Descartes vuông góc Chương Phép tính giải tích không gian Euclid En hình học vi phân En "Chương trình bày phép. ..BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Chu Thị Yến PHÉP TÍNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN EUCLID En VÀ HÌNH HỌC VI PHÂN CỦA En Chuyên ngành: Toán hình học Mã số: ???????... Chu Thị Yến Không gian Euclid En Định nghĩa: Không gian Euclid En không gian afin liên kết với − → không gian vectơ Euclid En √ − → Định nghĩa:Cho không gian vectơ Euclid En , α ∈ En Ta gọi