Sở Giáo dục đào tạo hoá Kỳ thi chän häc sinh giái LíP 12 THPT, BTTHPT, LíP THCS Năm học 2007- 2008 Môn thi: Toán lớp THCS Ngày thi: 28/3/2008 Thời gian:150phút không kể thời gian giao đề đề dự bị Số báo danh Cõu I(6,0 điểm) Cho biểu thức:       2 1  A= + 2    x −1  1 +  x +   +       3       1/ Rút gọn biểu thức 2/ Tìm giá trị x để A = Câu II(5,0 điểm) 1/ Giải phương trình: (2x2 – 3x +1)(2x2 + 5x +1) = 9x2 2  x − x + y = 2/ Giải hệ phương trình:    x + xy + = Câu III(5,0 điểm) 1/ Chứng minh số nguyên a, b tính chẵn lẻ tồn số c, d cho a + b + c + = d 2/ Cho số thực x, y, z thoả mãn điều kiện: x + y + z ≤ 3 y2 x2 z2 + + ≤ Chứng minh rằng: 1+ x4 1+ y 1+ z Câu IV(3,0 điểm) Dây CD đường trịn tâm O vng góc với đường kính AB đường trịn, cịn dây AE chia bán kính OC thành hai đoạn Chứng minh DE chia dây cung BC thành hai đoạn thẳng Câu V(1,0 điểm) Cho a = n + + n + , b = n + n với n ∈ N Đặt d = (a+b, a – b) Tìm giá trị lớn d Hết Kú thi häc sinh giái tØnh líp 12 THPt, 12 btthpt, líp THCS hớng dẫn chấm Môn : Toán 9THCS (D b) ỏp ỏn gm cú 04 trang Đáp án hớng dẫn chÊm Câu (4 đ) CâuI  x ±1  = 4( x + ± x + 1) Vậy (6 điểm) Ta có: +     x + x + + x − x +  2( x + 1) A=  =  ( x + + x )( x + − x )  ( x + 1) − x = x +1 Điểm 0,5 1,0 2,0 0,5 x2 + x +1 x +1 1 = ⇔ x2 + x +1 ⇔ x2 − x −1 = A= 1,0 Giải nghiệm: x = 1± II 1.( 3điểm) (5 điểm) + Dễ thấy x = nghiệm + Với x khác 0, chia vế phương trình cho x2 ≠ ta được: 1 (2 x − + )(2 x + + ) = x x Đặt y = x + ta có: ( y − 3)( y + 5) = (2) x Giải (2) ta y1 = - y2 = 1,0 0,5 0,5 1,0 x • Với y1 = - ⇔ x + = −6 Giải ta : x1, = 1± 0,5 x • Với y1 = ⇔ x + = Giải ta : x 3, = 2± 2 Kết luận phương trình cho có nghiệm 0,5 2(2điểm) 2  x − x + y = Giải hệ phương trình:   x + xy + = Cộng vế với vế hai phương trình ta được: x − x + y + x + xy + = 1,0 ( x − 2) + ( x + y ) = x − =  x + xy = Từ ta có:  Dẫn đến: x =   y = −1 III (3đ) (5 điểm) * Giả sử a, b tính chẵn lẻ + Nếu a, b chẵn ta có : a2 + b2 +1 = 4t + 1= (2t+1)2 - (2t)2 , t ∈ Z Kí hiệu c = 2t, d = 2t +1 ta có điều phải c/m + Nếu a, b lẻ ta có : a2 + b2 +1 = 4t + = (2t+2)2 - (2t+1)2 Kí hiệu c = 2t+1, d = 2t +2 ta có điều phải c/m * Giả sử có c, d cho a + b + c + = d mà a chẵn, b lẻ : a2 + b2 +1 = 4t +2 = 2(2t +1) suy a2 + b2 +1 chia hết cho 2, không chia hết cho Mặt khác d2 - c2 chia hết cho số lẻ Vậy a2 + b2 +1 ≠ d2 - c2 mâu thuẫn với giả thiết, a, b tính chẵn lẻ (3 đ) Đặt a = x2, b= y2, c = z2 Khi a, b, c không âm a + b + c ≤ a b c Ta cần chứng minh : + a + + b + + c ≤ a a ≤ = Dấu ‘=’ xẩy a = 2a 1+ a b b ≤ = Dấu ‘=’ xẩy b = Tương tự 2b 1+ b c c ≤ = Dấu ‘=’ xẩy c = 2c 1+ c 1,0 1,0 1,0 1,0 Thật : 1,0 Cộng vế bất đẳng thức ta có ĐPCM 1,0 IV (3 điểm) C P A E Q O B D Gọi P trung điểm OC Q giao điểm DE với BC Ta c/m: PQ//AB Ta có : ∠ AEC = ∠ AED (1) Mặt khác ∠ OCB = ∠ OBC (2) Từ (1)&(2) ta có: ∠ OCB = ∠ AED Tứ giác PCEQ nội tiếp dẫn đến: ∠ CQP = ∠ CEA = ∠ CBA Vậy PQ//AB QC = QB V (1 điểm) Cho a = n+ + 3n + , b = n + n với Tìm giá trị lớn d 1,0 1,0 1,0 n ∈ N Đặt d = (a+b, a – b) + Vì a (a,b) b (a,b) nên a + b a – b chia hết cho (a, b) + Ta có: (a, b) ≤ (a+b, a – b) Tương tự (a+b, a – b) ≤ 2(a, b) * Mặt khác a – b = 5.3 n , a, b không chia hết cho 3n với n ≥ nên (a, b) = 1hoặc (a, b) = 5.Dễ thấy n chẵn (a, b) = 1, n lẻ (a, b) = theo * ta có: d = (a+b, a – b) ≤ 2(a, b) ≤ 10 0,5 Ta chứng minh d = 10 giá trị lớn Thật vậy: a + b = 5.2 n + 10.3 n a − b = 3.2 n + 8.3 n = 3(2 n + n ) + 5.3 n Dễ thấy n lẻ a + b a – b bội 10 0,5 Vậy dmax =10 ...Kú thi häc sinh giái tØnh líp 12 THPt, 12 btthpt, lớp THCS hớng dẫn chấm Môn : Toán 9THCS (D b) ỏp ỏn gm cú 04 trang Đáp ¸n vµ híng dÉn chÊm Câu (4 đ) CâuI  x ±1  = 4( x +