6,0 điểm Cho đoạn thẳng AB =2a có trung điểm là O Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB dựng nửa.. đường tròn tâm O đường kính AB và nửa đường tròn tâm ' O đường kính AO Điểm M thay đổi.. C Gọi
Trang 1UBND TỈNH BẮC NINH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
(Đề thi có 01 trang)
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2016 – 2017
Môn thi: Toán – Lớp 9 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (3,0 điểm)
1) Rút gọn biểu thức B = 13 30 2+ + 9 4 2+
2) Cho các số thực , ,a b c thỏa mãn a b c+ + =0,a2+b2 ¹ c2,b2+c2¹ a2, c2+a2 ¹ b2 Tính giá trị biểu thức
P
-Câu 2 (4,0 điểm)
1) Trong hệ trục tọa độ Oxy tìm trên đường thẳng , y=2x+ những điểm 1 M x y sao( ); cho y2- 5y x+6x= 0
2) Cho , ,a b c là các số thực thỏa mãn 0
6 5 4
a+ + = Chứng minh rằng phương trìnhb c
ax +bx c+ = luôn có nghiệm
Câu 3 (4,0 điểm)
1) Cho các số thực dương , , a b c Chứng minh rằng
(a b+ ) +4abc+(b c+ ) +4abc+(a c+ ) +4abc+a + +b c ³ a+ +b+ +c+ . 2) Tìm các số nguyên tố , ,a b c và số nguyên dương k thỏa mãn phương trình
a + +b c = k +
Câu 4 (6,0 điểm)
Cho đoạn thẳng AB =2a có trung điểm là O Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB dựng nửa đường tròn tâm O đường kính AB và nửa đường tròn tâm ' O đường kính AO Điểm M thay đổi trên nửa đường tròn ( )O (M khác A và O ), tia OM cắt đường tròn ' ( )O tại C Gọi D là giao
điểm thứ hai của CA với đường tròn ( )O '
1) Chứng minh rằng tam giác ADM cân.
2) Tiếp tuyến tại C của đường tròn ( )O cắt tia OD tại , E chứng minh EA là tiếp tuyến
chung của hai đường tròn ( )O và ( )O '
3) Đường thẳng AM cắt OD tại H , đường tròn ngoại tiếp tam giác COH cắt đường tròn
( )O tại điểm thứ hai là N Chứng minh rằng ba điểm , , A M N thẳng hàng.
4) Tính độ dài đoạn OM theo a biết ME song song với AB
Câu 5 (3,0 điểm)
1) Cho hình vuông MNPQ và điểm A nằm trong tam giác MNP sao cho
AM =AP + AN Tính góc ·PAN
2) Cho các đa thức P x( ) =x3+ax2+bx c Q x+ ; ( ) =x2+2016x+2017 thỏa mãn ( ) 0
P x = có ba nghiệm thực phân biệt và P Q x = vô nghiệm ( ( ) ) 0
Chứng minh rằng P(2017) >1008 6
-HẾT -ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2UBND TỈNH BẮC NINH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH HƯỚNG DẪN CHẤM
NĂM HỌC 2016 - 2017 Môn: Toán - Lớp 9
1.1 (1.5 điểm)
2
0.75
2 2
13 30 2 2 2 1 13 30 ( 2 1) 18 2 18.5 25
( 18 5) 3 2 5
0.75
1.2 (1.5 điểm)
P
0.75
Ta có a3+b3+c3- 3abc=(a b c a+ + ) ( 2+b2+c2- ab bc ca- - ) =0
Do vậy, 3
2
P =
0.75
2.1 (2.0 điểm)
3
é = ê
ê = ë
y= xÞ x+ = x Û x+ x- = , không có x thỏa mãn.
1.0
Với
1 1
4 2
x x
x x
ê =
=
ë
Từ đó tìm được các điểm thỏa mãn là M( )1;3 hoặc 1 3;
4 2
Mæççç ö÷÷÷
÷
çè ø
1.0
2.2 (2.0 điểm)
4
a= Þ b= - c ta được 5
4cx= c Nếu c =0, phương trình nghiệm đúng với mọi x Î ¡ .
Nếu c ¹ 0,phương trình có nghiệm 4.
5
x =
1.0
Với a ¹ 0,
2
2
=çç + ÷÷+ > " ¹ "
çè ø Suy ra, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
Vậy phương trình luôn có nghiệm
1.0
Trang 33.1 (2.0 điểm)
Ta có
2
a b
+
0.5
3
Do đó,
2
c
+
+
Tương tự
2
c a
b c
+
+
2
b
+
+
Từ đó suy ra điều phải chứng minh
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a= = =b c 1
0.5
3.2 (2.0 điểm)
Vì VP chia 3 dư 1 nên VT chia 3 dư 1 Mà bình phương của số nguyên tố chia 3 dư 1
hoặc 0 nên hai trong ba số , ,a b c phải bằng 3 0.5
TH1: a= =b 3 ta có 18 16+ c2=9k2+ Þ1 17=9k2- 16c2=(3k- 4 )(3c k+4 )c
ï
Þ íï + =
ïî
3 2
k c
ìï = ï
Þ íï =
ïî (thỏa mãn) Vậy ta được (a b c k =; ; ; ) (3;3;2;3).
0.5
TH2: Nếu c =3; a =3 hoặc b =3
Với a =3 ta có
3 +b +16 3× =9k + Þ1 152=9k - b =(3k b k b- )(3 + =) 2 19.×
Vì 3k b k b- ,3 + cùng tính chẵn lẻ mà tích là chẵn nên chúng cùng chẵn
Ta được các trường hợp:
13 37
k b
k
k
ï
Ta được các bộ (a b c k thỏa mãn là ( , , , ) (3,37,3,13).; ; ; ) a b c k =
7 17 8
k b
k b
k b
(thỏa mãn)
Ta được các bộ (a b c k thỏa mãn là ( , , , ) (3,17,3,7); ; ; ) a b c k =
Tương tự ta có các bộ ( , , , )a b c k =(37,3,3,13),(17,3,3,7)
1.0
4.1 (1.0 điểm)
C
H D
N
M E
A
Tam giác AOC cân tại O, có OD là
đường cao nên là phân giác trong góc
·AOC , do đó · AOD =COD·
0.5
Trang 4¼ ¼
Þ = nên DA=DM.
4.2 (1.0 điểm)
( ) · · 90 0
Do đó, AE ^AB Vậy AE là tiếp tuyến chung của ( )O và ( )O' 0.5
4.3 (2.0 điểm)
Giả sử AM cắt ( )O tại N' DOAN' cân tại ,O có OM ^AN' nên OM là đường trung
Ta có ·CN A' =CAM· mà CAM· =DOM· , do đó ·CN H' =COH· . Bốn điểm , ', ,C N O H
thuộc một đường tròn
Suy ra, N' thuộc đường tròn ngoại tiếp DCHO Do vậy, N' trùng với N Vậy ba điểm
, ,
A M N thẳng hàng.
1.0
4.4 (2.0 điểm)
Vì ME / /AB và AB ^AE nên ME ^AE
Ta có hai tam giác MAO EMA đồng dạng nên ,
1.0
Dễ thấy DMEO cân tại M nên ME =MO Thay vào (*) ta được MA2=OA MO (**)
Đặt MO = > ta có x 0 MA2=OA2- MO2=a2- x2
Từ (**) suy ra a2- x2=axÛ x2+ax a- 2= 0
Từ đó tìm được ( 5 1)
2
a
1.0
5.1 (1.5 điểm)
B A
N
,
A B nằm khác phía đối với NP )
Ta có AB2=2AN2, ·BAN =450 và
( )
1.0
Do đó, AP2+AB2=AP2+2AN2=AM2=BP2Þ DABP vuông tại A
5.2 (1.5 điểm)
Gọi x x x1, ,2 3 là ba nghiệm của P x( ) ta có P x( ) (= x x x x x x- 1) ( - 2) ( - 3)
Suy ra, P Q x( ( ) ) =(Q x( ) - x Q x1) ( ( )- x Q x2) ( ( )- x3) 0.5
Hay các phương trình x2+2016x+2017- x i =0(i =1,2,3) vô nghiệm
Do đó, các biệt thức tương ứng D =i ' 10082- (2017- x i) < Û0 2017- x i >10082 1.0
Trang 5Suy ra, ( ) ( )( )( ) 6
Chú ý:
1 Học sinh làm đúng đến đâu giám khảo cho điểm đến đó, tương ứng với thang điểm.
2 HS trình bày theo cách khác mà đúng thì giám khảo cho điểm tương ứng với thang điểm Trong trường hợp mà hướng làm của HS ra kết quả nhưng đến cuối còn sai sót thi giám khảo trao đổi với
tổ chấm để giải quyết
3 Tổng điểm của bài thi không làm tròn