Header Page of 166 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG - NGUYỄN VĂN KHÁI – C00447 CÁC PHƢƠNG PHÁP VÀ DẠNG TOÁN CHỌN LỌC VỀ DÃY SỐ Ở PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH: PHƢƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 60 46 01 13 NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: TS LÊ ĐÌNH NAM Hà Nội – Năm 2016 Footer Page of 166 Header Page of 166 MỤC LỤC Trang phụ bìa 01 Mục lục 02 Lời cam đoan 04 Tóm tắt luận văn 05 Mở đầu 06 Chƣơng ĐẠI CƢƠNG VỀ DÃY SỐ 1.1 DÃY SỐ 08 1.2 DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM 08 1.3 DÃY TUẦN HOÀN 08 1.4 DÃY CON .09 1.5 MỘT SỐ DÃY ĐẶC BIỆT .09 1.5.1 Cấp số cộng 09 1.5.2 Cấp số nhân 09 1.5.3 Dãy Fibonacci 10 1.5.4 Dãy Lucas .11 Chƣơng CÁC BÀI TOÁN VỀ GIỚI HẠN DÃY SỐ 2.1 GIỚI HẠN DÃY SỐ .12 2.2 MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ 13 2.2.1 Xét hội tụ dãy số .13 2.2.2 Tìm giới hạn dãy số .22 2.3 BÀI TẬP 26 2.4 HƢỚNG DẪN GIẢI .27 Chƣơng MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ 3.1 PHƢƠNG PHÁP SAI PHÂN VÀ PHƢƠNG TRÌNH SAI PHÂN 31 3.1.1 Sai phân 31 Footer Page of 166 Thang Long University Library Header Page of 166 3.1.2 Phƣơng trình sai phân 33 3.1.3 Bài tập 37 3.1.4 Hƣớng dẫn giải .37 3.2 PHƢƠNG PHÁP HÀM SINH 40 3.2.1 Hàm sinh số hạng tổng quát dãy số 40 3.2.2 Bài tập 46 3.2.3 Hƣớng dẫn giải .46 3.3 PHƢƠNG PHÁP LƢỢNG GIÁC VÀ QUY NẠP 49 3.3.1 Nội dung phƣơng pháp 49 3.3.2 Bài tập 53 3.3.3 Hƣớng dẫn giải .54 3.4 PHƢƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA HỆ THỨC TRUY HỒI 56 3.4.1 Quy trình tuyến tính hóa hệ thức truy hồi không tuyến tính 56 3.4.2 Bài tập 62 3.4.3 Hƣớng dẫn giải .63 Chƣơng MỘT SỐ DẠNG TOÁN KHÁC 4.1 CHỨNG MINH MỘT DÃY LÀ DÃY SỐ NGUYÊN 65 4.2 BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CHIA HẾT 76 4.3 DÃY SỐ CHÍNH PHƢƠNG 80 4.4 CÁC BÀI TOÁN VỀ PHẦN NGUYÊN 86 4.5 DÃY SỐ VÀ SỐ NGUYÊN TỐ .89 4.6 MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ FIBONACCI 92 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ .98 TÀI LIỆU THAM KHẢO 99 Footer Page of 166 Header Page of 166 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan dƣới giúp đỡ, hƣớng dẫn, bảo tận tình TS Lê Đình Nam, luận văn cao học chuyên nghành phương pháp Toán sơ cấp với đề tài “Các phương pháp dạng toán chọn lọc dãy số phổ thông” công trình nghiên cứu riêng thời gian học tập nghiên cứu trƣờng Đại học Thăng Long Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa phát huy kết nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2016 Tác giả Nguyễn Văn Khái Footer Page of 166 Thang Long University Library Header Page of 166 TÓM TẮT LUẬN VĂN PHẦN Mở đầu PHẦN Nội dung Phần gồm bốn chƣơng Chƣơng ĐẠI CƢƠNG VỀ DÃY SỐ 1.1 DÃY SỐ 1.2 DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM 1.3 DÃY TUẦN HOÀN 1.4 DÃY CON 1.5 MỘT SỐ DÃY ĐẶC BIỆT Chƣơng CÁC BÀI TOÁN VỀ GIỚI HẠN DÃY SỐ 2.1 GIỚI HẠN DÃY SỐ 2.2 MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ Chƣơng MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ 3.1 PHƢƠNG PHÁP SAI PHÂN VÀ PHƢƠNG TRÌNH SAI PHÂN 3.2 PHƢƠNG PHÁP HÀM SINH 3.3 PHƢƠNG PHÁP LƢỢNG GIÁC VÀ QUY NẠP 3.4 PHƢƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA HỆ THỨC TRUY HỒI Chƣơng MỘT SỐ DẠNG TOÁN KHÁC 4.1 CHỨNG MINH MỘT DÃY LÀ DÃY SỐ NGUYÊN 4.2 BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CHIA HẾT 4.3 DÃY SỐ CHÍNH PHƢƠNG 4.4 CÁC BÀI TOÁN VỀ PHẦN NGUYÊN 4.5 DÃY SỐ VÀ SỐ NGUYÊN TỐ 4.6 MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ FIBONACCI PHẦN Kết luận khuyến nghị Footer Page of 166 Header Page of 166 MỞ ĐẦU Dãy số phần quan trọng đại số giải tích toán học lĩnh vực khó rộng, sử dụng nhiều kiến thức khác toán học Các vấn đề liên quan đến dãy số đa dạng, toán dãy số thƣờng toán hay khó Vì thế, dãy số thƣờng xuất kỳ thi học sinh giỏi, thi Olympic toán để đánh giá khả tƣ học sinh Hơn có nhiều tài liệu viết vấn đề này, tài liệu thƣờng viết rộng vấn đề dãy số Tuy nhiên chƣa đƣợc hệ thống đầy đủ theo dạng toán nhƣ phƣơng pháp giải tƣơng ứng chƣơng trình toán phổ thông Vì lí thực đề tài "Các phương pháp dạng toán chọn lọc dãy số phổ thông" chủ yếu để bồi dƣỡng học sinh giỏi Toán nhằm tìm hiểu sâu nội dung liên quan đến dãy số Luận văn gồm bốn chƣơng: Chƣơng 1: Trình bày khái niệm nhƣ khái niệm dãy số, dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số tuần hoàn, dãy con, số dãy số đặc biệt đồng thời trình bày mối liên hệ dãy đặc biệt Chƣơng 2: Trình bày vấn đề giới hạn dãy số đồng thời phân loại số dạng toán thƣờng gặp giới hạn dãy số nhƣ xét hội tụ dãy số, tìm giới hạn dãy cho dạng phân thức, vô tỉ, dùng định lí giới hạn kẹp giữa, dãy để khảo sát hội tụ dãy số Chƣơng 3: Trình bày số phƣơng pháp xác định số hạng tổng quát dãy số nhƣ phƣơng pháp sai phân, phƣơng pháp hàm sinh, phƣơng pháp lƣợng giác quy nạp, phƣơng pháp tuyến tính hóa hệ thức truy hồi Footer Page of 166 Thang Long University Library Header Page of 166 Chƣơng 4: Trình bày số dạng toán hay liên quan tới dãy số nguyên nhƣ chứng minh dãy dãy số nguyên, toán chia hết, dãy số phƣơng, toán phần nguyên, dãy số số nguyên tố nhƣ số toán dãy số Fibonacci Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Lê Đình Nam, Trƣờng Đại Học Bách Khoa Hà Nội ngƣời tận tình hƣớng dẫn, giúp đỡ tạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô khoa Toán Trƣờng Đại Học Thăng Long, phòng Sau đại học Quản lý khoa học Trƣờng Đại học Thăng Long Đồng thời xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp CTM3 khóa 2014 – 2016 Trƣờng Đại học Thăng Long nhƣ đồng nghiệp nơi công tác động viên giúp đỡ trình học tập thực luận văn Mặc dù thân có nhiều cố gắng song thời gian có hạn trình độ hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót định Tác giả mong nhận đƣợc ý kiến đóng góp thầy cô bạn bè để luận văn đƣợc hoàn thiện phát triển Tác giả xin trân trọng cảm ơn ! Hà Nội, tháng năm 2016 Tác giả Nguyễn Văn Khái Footer Page of 166 Header Page of 166 Chƣơng ĐẠI CƢƠNG VỀ DÃY SỐ 1.1 DÃY SỐ Định nghĩa 1.1.1 Một dãy số ánh xạ từ tập số tự nhiên  (hoặc * ) vào tập K ( K tập   ) u:   K n  u ( n)  un Ký hiệu:  un n0 đơn giản  un  Định nghĩa 1.1.2 Số hạng tổng quát dãy số  un  biểu thức f  n  biến n cho un  f (n) , với số tự nhiên n 1.2 DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM Dãy số  un  đƣợc gọi là dãy số tăng nếu un  un1 , với mọi n Dãy số  un  đƣợc gọi là dãy số giảm nếu un  un1 , với mọi n Dãy số tăng hay dãy số giảm đƣợc gọi chung dãy đơn điệu 1.3 DÃY TUẦN HOÀN 1.3.1 Dãy tuần hoàn cộng tính Dãy  un  đƣợc gọi tuần hoàn cộng tính tồn số l nguyên dƣơng cho ul n  un , với số tự nhiên n Số l nhỏ đƣợc gọi chu kì sở dãy  un  Đặc biệt:  un  tuần hoàn cộng tính, chu kì l  dãy Footer Page of 166 Thang Long University Library Header Page of 166 1.3.2 Dãy tuần hoàn nhân tính Dãy  un  đƣợc gọi tuần hoàn nhân tính tồn số l  l  1 nguyên dƣơng cho ul n  un , với số tự nhiên n Số l nhỏ đƣợc gọi chu kì sở dãy 1.4 DÃY CON   Cho  un  , từ số hạng lập dãy unk với:   n1  n2   nk  Ta gọi unk dãy  un  1.5 MỘT SỐ DÃY ĐẶC BIỆT 1.5.1 Cấp số cộng Định nghĩa 1.5.1.1 Dãy đƣợc gọi cấp số cộng kể từ số hạng thứ trở số hạng số hạng đứng trƣớc cộng với số không đổi d Tính chất 1.5.1.2 Cho  un  cấp số cộng có số hạng đầu u1 , công sai d, ta có a) Công thức số hạng tổng quát: un  u1  (n  1)d , n * b) un1  un  un  , n  * c) Tổng n số hạng đầu tiên: Sn  u1  u2   un  n  u1  un  n  2u1   n  1 d   2 1.5.2 Cấp số nhân Định nghĩa 1.5.2.1 Dãy đƣợc gọi cấp số nhân kể từ số hạng thứ trở số hạng số hạng đứng trƣớc nhân với số không đổi q Footer Page of 166 Header Page 10 of 166 Tính chất 1.5.2.2 Cho dãy số  un  cấp số nhân có số hạng đầu u1 , công bội q, ta có: a) Công thức số hạng tổng quát: un  u1.qn1, n * b) un21  un un2 với n thuộc vào  * c) Tổng n số hạng đầu tiên: 1  q  , (q  1) u n Sn  u1  u2   un 1 q d) Tổng cấp số nhân lùi vô hạn: S  u1  u2   un   u1 , q  1 q 1.5.3 Dãy Fibonacci Định nghĩa 1.5.3.1 Dãy Fibonacci  Fn  dãy số đƣợc cho hệ thức truy hồi sau:  F0  0, F1   *  Fn1  Fn  Fn1 , n   Công thức tổng quát dãy  Fn  là: n n         Fn      , n   (Công thức Binet)        Tính chất 1.5.3.2 a)  Fn , Fn1   1, n  b) Nếu n chia hết cho m Fn chia hết cho Fm c) Nếu Fn chia hết cho Fm n chia hết cho m với m  d)  Fn , Fm   Fd với d   m, n  10 Footer Page 10 of 166 Thang Long University Library Header Page 85 of 166  Nếu n  2k  1, k  ta có:     n 1  1 n 2k 2k  1                  ( 2) n1  1 2 2  1 2 2   Xét dãy  ck  với: ck        k k  k     k     Ta có  ck  thỏa mãn ck 2  4ck 1  ck Mà c0  0, c1  nên ck  , k   Suy A, an  số phƣơng Vậy an  số phƣơng n số tự nhiên lẻ n  Ví dụ Cho dãy số nguyên  an  thỏa mãn: an  an1  2(an1  an ), n  1, 2, 3, Chứng minh tồn số nguyên M không phụ thuộc vào n cho M  4an1an số phƣơng Chứng minh Đặt un  an  an1  an Từ giả thiết suy un  un1  2an Khi un2   un1  2an   un21  4un1an  an2  un21  4(an1  an  an1 )an  an2  un21  4an1an  4an1an Suy un2  4an1an  un21  4anan1 Vậy un2  4an1an số không phụ thuộc vào n Gọi số M Ta đƣợc un2  4an1an  M  M  4an1an  un2 Vậy M  4an1an số phƣơng 85 Footer Page 85 of 166 Header Page 86 of 166 4.4 CÁC BÀI TOÁN VỀ PHẦN NGUYÊN Các toán phần nguyên, chủ yếu dựa vào tính chất phần nguyên x    x  x để đánh giá kết hợp với tính chất số nguyên Ví dụ Gọi  nghiệm dƣơng phƣơng trình t  2013t   Xét dãy số (u n ) đƣợc xác định nhƣ sau: u1   un1   un  , n  Tìm số dƣ phép chia u2013 cho 2013 Lời giải Vì  nghiệm dƣơng phƣơng trình t  2013t   nên     2013      2013    un  2013un  un  u  Vì un    2013un  , un   2013un   n    Mặt khác un  un1  un1  , nên un  un1  un   un   un1  un   Từ ta có: un1   un1    u   un1   n   un1     un Do un1  2013un  un1   un  2013un1  un2  Suy un  un2   un4   un6    un2 k  k (mod 2013) Dẫn tới kết sau đây: u2013  u20132.1006  1006  u1  1006   1006  1005  1008 (mod 2013) 86 Footer Page 86 of 166 Thang Long University Library Header Page 87 of 166 Vậy số dƣ phép chia u2013 cho 2013 1008 Ví dụ Cho dãy số (un ) : un  n  Chứng minh rằng, dãy số cho chứa vô hạn số hạng số phƣơng Chứng minh Ta có (  1) n 1 n 1  C i 0 (  1) n 1 m i n 1 m m i 0   C22mi 11 2i   x2 m1  y2 m1 2i i m1 Trong x2 m1   C i 0 i 0   C22mi 11 2i  x2 m1  y2 m1 2, 2i i m1 m   C i 0 m ( 2)   C i i 0 m , y2 m1   C22mi 11 2i , m  0,1,2, 2i i m1 i 0 Vì x2 m1 , y2 m1 số nguyên dƣơng nên từ cách xác định x2 m1 , y2 m1 ta có:  (  1)2n1 (  1)2n1  ( y2m1  x2m1 )( y2m1  x2m1)  y22m1  x22m1 Suy  x22m1  y22m1  x24m1  x22m1  2x22m1 y22m1  2( x2m1 y2m1 )2 Mà x24m1  x24m1  x22m1  ( x22m1  1)2  x22m1  x24m1  x22m1  x22m1  Do  x4  x2   x2    x y  m 1 m 1 m 1 m 1 m 1   x2 m 1     Đặt bm  x2 m1 y2 m1 , ta có  bm  dãy số dƣơng dãy tăng thực nên  bm  nhận vô số giá trị nguyên dƣơng ub m phƣơng 87 Footer Page 87 of 166  x22m1  ubm số Header Page 88 of 166 Ví dụ Cho 2k số thực a1 , a2 , , ak , b1 , b2 , , bk Xác định dãy số  X n  nhƣ sau: k X n   n  bi , n  1, 2, i 1 Chứng minh  X n  cấp số cộng k a i 1 i số nguyên Chứng minh k k i 1 i 1 Đặt A   , B   bi Ta có: n  bi   ai n  bi   n  bi Từ suy An  B  k  X n  An  B Giả sử  X n  cấp số cộng với công sai d, X n1  X  n.d A  B  k  X  A  B Nên ta có: A(n  1)  B  k  X n1  A(n  1)  B  A(n  1)  B  k  X  nd  A(n  1)  B  An  A  B  k  X  nd  An  A  B  X Mà A  B  X  A  B  X  k nên An  k  nd  An  k  k  An  nd  k k Suy A  d  n Cho n tiến vô ta có A  d   A  d Mặt khác  X n  dãy số nguyên nên A  d  X n1  X n  A  k Vậy a i 1 i số nguyên 88 Footer Page 88 of 166 Thang Long University Library Header Page 89 of 166 4.5 DÃY SỐ VÀ SỐ NGUYÊN TỐ Ví dụ Cho dãy số  un  đƣợc xác định nhƣ sau: u1  0, u2  14, u3  18  un1  7un1  6un2  6, n  3,4,5, Chứng minh số nguyên tố p ta có u p  p Chứng minh x 1 Xét phƣơng trình đặc trƣng: x  x     x    x  3 Suy u n có dạng: un  c11n  c2 2n  c3 (3)n c1  2c2  3c3  u1  c1     Theo giả thiết ta có: u2  13  c1  4c2  9c3  13  c2  u  18 c  8c  27c  18 c   3  1 Vậy un   2n  (3)n , n  Với p số nguyên tố theo định lý Fermat nhỏ ta có: 2n  2(mod p)  n (3)  3(mod p) Suy un    3(mod p)  un  (mod p) Vậy u p  p Ví dụ Cho dãy số  un  đƣợc xác định nhƣ sau: u1   un  3un1  2n  9n  9n  n  p 1 Chứng minh số nguyên tố p 2014. ui  p i 1 Chứng minh Từ giả thiết ta có: 89 Footer Page 89 of 166 Header Page 90 of 166 un  n3  3(un1  (n  1)3 )  32 (un2  (n  2)3 )   3n1(u1  13 )  3n Nhƣ un  3n  n3 n  1, 2, 3, Với p  ta có u1  2 Với p số nguyên tố lẻ ta có p 1 u i 1 i   32   p1  (13  23   ( p  1)3 ) Vì i  1,2,3, , p  ta có i3  ( p  i)3  p(i  i( p  i)  ( p  i)2 ) p Suy 13  23   ( p  1)3  p1 (i  ( p  i)3 ) p  i 1 Mặt khác  32   p1  3 p1  1 p  (3  3) p (Định lý Fermat nhỏ) 1 p 1 Từ suy  u  p i 1 i p 1 Vậy 2014 ui  p i 1 Ví dụ Cho dãy  un  đƣợc xác định nhƣ sau: u0  0, u1   un2  1999un1  un ; n  0,1,2, Tìm tất số tự nhiên n cho u n số nguyên tố Lời giải Ta có: u2  1999  1998u1, u3  19992   1998u2 Ta chứng minh rằng: n  u n nguyên dƣơng un1  1998un (1) Thật vậy, (1) n  Giả sử (1) với n  k , k  , tức uk 1  1998uk Xét n  k  Ta có theo cách xác định dãy uk   1999uk 1  uk 90 Footer Page 90 of 166 Thang Long University Library Header Page 91 of 166 Theo giả thiết quy nạp uk 1  1998uk  uk  uk 1  uk  uk   1998uk 1 Suy (1) n  k  Vậy (1) với n  Mặt khác, từ un2  1999un1  un ; un1  1999un  un1 suy 1999  un2  un un1  un1  un1 un Từ ta có: un2un  un2  un21  un1un1  un2un  un21  un1un1  un2 , n  Vì thế: un2un  un21  c, với c số Khi un2un  un21  u2u0  u12  1  un2un  un21  Hay un2un  (un1  1)(un1  1), n  0, 1, 2, (2) Với n  2, u2  1999 số nguyên tố Ta chứng minh n  3, không tồn n để u n số nguyên tố Thật vậy, giả sử u k số nguyên tố với k  Từ (2) ta có: uk uk 2  (uk 1  1)(uk 1  1)  (uk 1  1)(uk 1  1)uk (3) Vì uk 1   1998uk 1 , kết hợp với (1) suy uk 1   1998uk 1  uk (4) Từ (3) (4) suy uk 1  1uk (5) Do k  nên uk 1  từ (5) ta có uk 1   uk (6) Nhƣng theo (1) uk  1998uk 1 , từ theo (6) ta có: uk 1   1998uk 1  uk  vô lí u k 1 nguyên dƣơng k  Vậy u n số nguyên tố n  Nhƣ dãy cho có số nguyên tố số hạng u2  1999 91 Footer Page 91 of 166 Header Page 92 of 166 Ví dụ Cho trƣớc hai số a, b nguyên dƣơng dãy  xn  đƣợc xác định nhƣ sau:  x0    xn1  axn  b, n  0,1,2, Chứng minh cách chọn a, b dãy  xn  tồn vô hạn hợp số Chứng minh Giả sử xn hợp số với hữu hạn n Gọi N số nguyên dƣơng lớn tất giá trị n thỏa mãn Khi xm số nguyên tố với m  N Chọn số nguyên tố xm  p không chia hết cho a  Gọi t số thỏa mãn t (1  a)  b (mod p), xn1  t  a ( xn  t )(mod p ) Suy xm1  t  a( xm  t )(mod p) Tiếp tục qua trình ta đƣợc: xm p1  t  a p1 ( xm  t )(mod p)  ( xm  t )(mod p) Hay xm p1  xm (mod p)  xm p1  0(mod p), điều vô lí xm p1 số nguyên tố lớn p Từ ta có điều phải chứng minh 4.6 MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ FIBONACCI Ví dụ Cho dãy  Fn  , n  1,2,3, dãy Fibonacci Chứng minh n bội số k Fn bội số Fk Chứng minh Nhận xét: Với k cố định i  k ta có đẳng thức sau: Fi  Fk Fi k 1  Fk 1Fi k (1) Ta chứng minh (1) nguyên lí quy nạp Với i  k  ta có Fk F2  Fk 1F1  Fk 1  Fk  Fk 1 Vậy (1) với i  k  92 Footer Page 92 of 166 Thang Long University Library Header Page 93 of 166 Giả sử (1) với i  m   k  Xét i  m, theo cách thiết lập dãy ta có Fm  Fm1  Fm2 (2) Từ (2) giả thiết quy nạp, ta có Fm  Fm1  Fm2  ( Fk Fm1k 1  Fk 1Fm1k )  ( Fk Fm2k 1  Fk 1Fm2k )  Fk Fmk 1  Fk 1Fmk (3) Từ (3) chứng tỏ (1) với i  m Vậy (1) Tiếp tục dùng nguyên lí quy nạp chứng minh n k Fn  Fk (4) Xét n  k  Fn  Fk  Fn  Fk Giả sử với l  n l  k Fn  Fk Theo (1) ta có Fn  Fk Fnk 1  Fk 1Fnk (5) Vì nk  n  k k , theo giả thiết quy nạp ta có Fnk  Fk Vậy từ (5) suy Fn  Fk Ví dụ Giả sử Fk số hạng thứ k dãy Fibonacci Chứng minh với số tự nhiên n  3, số An  Fn2 Fn Fn Fn  số phƣơng Chứng minh Trƣớc hết ta chứng minh kết sau: Với số tự nhiên n   Fn4 Fn2  Fn2 Fn  (1) Thật vậy:  ( Fn2  Fn3 ) Fn2  Fn2 Fn  Fn3  Fn2  Fn2 ( Fn2  Fn )  Fn3  Fn2  Fn2  Fn1  ( Fn1  Fn3 ) Fn3  Fn2 Fn1  Fn3  Fn3  Fn1 (Fn2  Fn3  Fn3 Fn3  Fn1Fn1  vn1 Từ suy  vn1 , trình lặp lại ta đến: 93 Footer Page 93 of 166 Header Page 94 of 166  v3 , n  (2) Ta có: v3  F7 F1  F5 F3  13.1  5.2  Vậy (1) đƣợc chứng minh Từ (1) suy ra: Fn4 Fn2  Fn2 Fn   An  4Fn Fn2 ( Fn Fn2  3)   (2Fn Fn2  3)2 Do Fn nguyên với n  Vậy An số phƣơng với số tự nhiên n  Ví dụ Cho dãy số Fibonacci  un  đƣợc xác định nhƣ sau: u0  u1  1, un2  un1  un ; n   Đặt f  n   1985n2  1956n  1960 Chứng minh tồn vô hạn số hạng un dãy số cho f  un 1989 Chứng minh Đặt h(n)  4n2  33n  29  f (n)  h(n)  1989(n  n  1) Tƣ̀ đó suy ra: f un 1989  h  n 1989 Xét dãy   xác định bởi: v0  1, v1   vn1   vn1, n  1,2,3, Nói khác , dãy dãy sinh dãy Fibonacci bằng cách thêm vào trƣớc dãy Fibonacci số hạng -1, 1, Gọi ri phần dƣ phép chia vi cho 1989  i  0,1,2,  Nhƣ vậy ta có  r  1988 Xét dãy cặp số sau đây:  r0 , r1  ,  r1, r2  ,  r2 , r3  , 94 Footer Page 94 of 166 Thang Long University Library Header Page 95 of 166 Vì số ri nhận 1989 giá trị Vậy các cặp khác tối đa là 19892 Tƣ̀ đó theo nguyên lí Dirichlet thì 19892 + cặp đầu tiên có í t nhất hai cặp trùng Giả sử hai cặp số là: r , r ,r p p 1 p  , rp  1  , p,   Điều ấy có nghĩ a là: rp  rp1, rp  rp 1 Theo cách xác định dãy, ta có: v p1  v p1  v p  rp1  rp1  rp Tƣơng tƣ̣, ta có: v p 1  v p 1  v p  rp1  rp1  rp Tƣ̀ đó suy ra: rp1  rp 1 Tƣơng tƣ̣, ta có: rp 2  rp 2 ; r2  r 2 ; r1  r 1; r0  r Tƣ̀ r0  r , r1  r 1 vn1   vn1 , suy ri  ri  , i  0, 1, 2, Do vậy: r0  r  r2  r3   rk , k  1, suy ra: h(vk )1989 A  h(1)  1989 A Rõ ràng vk , k  1,2,3, số Fibonacci, suy có vô số số hạng của dãy Fibonacci thỏa mãn đề bài Ví dụ Chứng minh dãy Fibonacci (an): a0  a1  1, an  an1  an , n  0, 1, 2, có tính chất sau: a) ai j  a j 1  ai1a j với i, j   b) akn  an với k , n   Dùng tính chất trên, tìm USCLN a1998 a1960 Chứng minh 95 Footer Page 95 of 166 Header Page 96 of 166 a) Ta chứng minh quy nạp ai j  a j 1  ai1a j , i, j (1) Giả sử j không đổi  j   Với i  ta có: VT (1)  a j ; VP(1)  a0a j 1  a1a j  a j (do a0  0, a1  ) Giả sử (1) đến i  n Ta chứng minh (1) với i  n  an1  an a j 1  an1a j Thật vậy, theo giả thiết quy nạp  a( n1) j  an1a j 1  an a j Cộng theo vế ta đƣợc anl  a n1 j   an  an j  a j 1   an  an1  a j  an j a j 1  an2a j Lại có an1l  anl  a n1l Vì an1l  anl a j 1  an2 a j hay (1) với k  0,1,2, Xét với i, j Với j  (1) với i Giả sử (1) với i j  m Xét (1) với i j  m theo (1) đúng, suy điều phải chứng minh b) Cố định n Với k  khẳng định hiển nhiên Giả sử khẳng định đến k  m tức amn  an Xét k  m  1, ta có ak  m1  akmm Theo phần a) an m1  anman1  anm1an Kết hợp giả thiết quy nạp suy an m1  an Vậy khẳng định 96 Footer Page 96 of 166 Thang Long University Library Header Page 97 of 166 Tìm USCLN a1998 a1960 Theo a) a1988  a1960 a27  a1961.a28 Đặt r   a1988 , a1960  suy a1988  r a1960  r Do a1988 a1960 chia hết cho a28 tính chất b) nên r  a28  (2) suy a1961 , a28  r Mà  a1960 , a1961   mà a1960  r Vì a28  r hay a28  r (3) Từ (2) (3) suy  a1998 , a1960   a28  317811 Ví dụ Giả sử Fk số hạng thứ k dãy Fibonacci Chứng minh với số tự nhiên n  4, số Fn  không số nguyên tố Chứng minh Ta có đẳng thức Fn4   Fn2 Fn1Fn1Fn2 (1) Giả sử tồn n  cho Fn  số nguyên tố Khi từ (1) Fn  chia hết số Fn2 , Fn1 , Fn1 , Fn Nhƣng Fn   Fn2 ; Fn   Fn1 nên Fn  1| Fn1 Fn  1| Fn Trƣờng hợp 1: Nếu Fn  1| Fn1 Fn  1| ( Fn  Fn1 )  Fn  1| ( Fn   Fn1  1)  Fn  1| Fn1  (vô lí) Trƣờng hợp 2: Nếu Fn  1| Fn Fn  1| ( Fn  Fn1 )  Fn  1| (2 Fn  Fn1 ) Do Fn  1| (2( Fn  1)  Fn1  2)  Fn  1| Fn1  (vô lí) Vậy hợp số với n  97 Footer Page 97 of 166 Header Page 98 of 166 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ I, Kết luận Luận văn trình bày nhận đƣợc kết sau Hệ thống khái niệm dãy số, tính chất, mối liên hệ dãy số đặc biệt Phân loại đƣợc số dạng toán chọn lọc giới hạn dãy số nhƣ phƣơng pháp giải cho dạng toán với tập hƣớng dẫn giải tƣơng ứng mà học sinh phổ thông thƣờng gặp Hệ thống phƣơng pháp tìm số hạng tổng quát dãy số Trình bày số dạng toán hay gặp kỳ thi học sinh giỏi dãy số liên quan tới dãy số nguyên nhƣ chứng minh dãy dãy số nguyên, toán chia hết, dãy số phƣơng, toán phần nguyên, dãy số số nguyên tố nhƣ số toán dãy số Fibonacci II, Khuyến nghị Hy vọng luận văn dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên sinh viên toán trƣờng sƣ phạm, bồi dƣỡng học sinh giỏi toán trƣờng trung học phổ thông, rèn luyện đội tuyển thi giỏi cấp tỉnh, quốc gia quốc tế Hy vọng đề tài đƣợc tiếp tục nghiên cứu, mở rộng phát triển, đƣợc ứng dụng rộng rãi nghiên cứu, học tập học sinh trung học phổ thông sinh viên trƣờng Đại học 98 Footer Page 98 of 166 Thang Long University Library Header Page 99 of 166 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lê Xuân Đại, Trần Ngọc Thắng, Một số toán dãy số nguyên, Hội thảo trƣờng THPT chuyên, khu vực Duyên hải Đồng Bắc bộ, Hội thảo khoa học lần thứ IV [2] Phan Huy Khải, (1996), 10000 toán dãy số, NXB Hà Nội [3] Nguyễn Văn Mậu, Trần Nam Dũng, Nguyễn Minh Tuấn, (2008), Chuyên đề chọn lọc Dãy số áp dụng, Nhà xuất Giáo Dục [4] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Thuỷ Thanh, (2003), Giới hạn dãy số hàm số, NXB Giáo Dục [5] Vũ Tuấn, (2011), Giáo trình giải tích toán học tập 1, NXB Giáo Dục [6] Tuyển chọn theo chuyên đề Toán học Tuổi trẻ (Quyển 1), (2005), NXB Giáo Dục [7] Tuyển tập 30 năm Tạp chí Toán học Tuổi trẻ, (1998), NXB Giáo Dục [8] Vũ Thị Vân, (2010), Dãy số số tính chất, Kỷ yếu toán học trại hè Hùng Vƣơng [9] Vũ Thị Vân, (2010), Dãy số với số phương, Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ số 439 tháng 1-2014, Nhà xuất Giáo Dục [10] Dušan Djukić, Vladimir Janković, Ivan Matić, Nikola Petrović, (2011), The IMO Compendium A Collection of Problems Suggestedfor The International Mathematical Olympiads: 1959-2009, Springer Science Business Media, LLC [11] Kin Y Li (2011), Math Problem Book I, Hong Kong University of Science and Technology [12] D O Shklarsky, N N Chentzov, I M Yaglom, (1994), The ussr olympiad problem book, Dover publications, Inc New York 99 Footer Page 99 of 166 ... Chƣơng 4: Trình bày số dạng toán hay liên quan tới dãy số nguyên nhƣ chứng minh dãy dãy số nguyên, toán chia hết, dãy số phƣơng, toán phần nguyên, dãy số số nguyên tố nhƣ số toán dãy số Fibonacci Tác... HẠN DÃY SỐ 2.1 GIỚI HẠN DÃY SỐ 2.2 MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ Chƣơng MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ 3.1 PHƢƠNG PHÁP SAI PHÂN VÀ PHƢƠNG TRÌNH SAI PHÂN 3.2 PHƢƠNG PHÁP... PHẦN Mở đầu PHẦN Nội dung Phần gồm bốn chƣơng Chƣơng ĐẠI CƢƠNG VỀ DÃY SỐ 1.1 DÃY SỐ 1.2 DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM 1.3 DÃY TUẦN HOÀN 1.4 DÃY CON 1.5 MỘT SỐ DÃY ĐẶC BIỆT Chƣơng CÁC BÀI TOÁN VỀ GIỚI