ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NÔNG MẠNH LINH SỐ STIRLING LOẠI HAI VÀ SỐ BELL CHO CÁC ĐỒ THỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NÔNG MẠNH LINH SỐ STIRLING LOẠI HAI VÀ SỐ BELL CHO CÁC ĐỒ THỊ Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS ĐÀM VĂN NHỈ Thái Nguyên - 2015 LỜI CẢM ƠN Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Khoa Học-Đại học Thái Nguyên Qua xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo Khoa Toán-Tin, Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo nhà trường trang bị kiến thức tạo điều kiện tốt cho trình học tập nghiên cứu Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS TS Đàm Văn Nhỉ, người tận tình bảo, tạo điều kiện giúp đỡ có thêm nhiều kiến thức, khả nghiên cứu, tổng hợp tài liệu để hoàn thành luận văn Tôi xin cảm ơn thầy, cô giáo hội đồng chấm luận văn đóng góp cho ý kiến quý giá giúp hoàn thiện luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đồng nghiệp động viên, giúp đỡ trình học tập Tôi xin chân thành cảm ơn! Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Đồ thị đường 1.1.1 Khái niệm đồ thị 1.1.2 Đường chu trình 1.1.3 Bậc đỉnh tính liên thông 1.2 Số Stirling loại phân hoạch đồ thị Số Stiling số Bell đồ thị 2.1 Số χ(G) 2.1.1 Bài toán tô màu cạnh đồ thị 2.1.2 Đa thức màu (chromatic polynomials) 2.2 Số Stiling loại hai số Bell đồ thị 2.2.1 Số Stiling loại hai số Bell đồ thị 2.2.2 Một số ví dụ 2.2.3 Số r-Stirling loại hai số r-Bell 2.3 Đa thức r-Bell 2.3.1 Mở rộng truy hồi (2.11) 2.3.2 Số Bell 2.3.3 Đa thức Bell 2.3.4 Chuỗi hệ thức ngược 2.3.5 Hàm sinh mũ 2.3.6 Đa thức r-Bell 5 10 16 16 16 18 19 19 23 25 27 28 32 34 35 37 40 Mở đầu Lý thuyết tổ hợp phần quan trọng toán học rời rạc nghiên cứu xếp phần tử tập hữu hạn phân bố phần tử vào tập hữu hạn Mỗi cách xếp phân bố gọi cấu hình tổ hợp Các cấu hình hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, phần tử tập hợp Toán học tổ hợp liên quan đến khía cạnh giải vấn đề lẫn xây dựng sở lý thuyết, Một mảng lâu đời toán học tổ hợp lý thuyết đồ thị Lý thuyết đồ thị ngành toán học đại, gắn kết nhiều ngành khoa học với Các thuật toán ngắn gọn thú vị lý thuyết đồ thị giúp giải nhiều toán phức tạp thực tế Vì tầm quan trọng ứng dụng khác nhau, nhà toán học nỗ lực tìm công thức tính số phân hoạch tập hợp Một công thức tính số phân hoạch thuộc nhà toán học tên tuổi Eric Temple Bell (1883-1960) Số phép phân hoạch tập hợp n phần tử gọi số Bell, kí hiệu Bn Để tính số Bell, ta cần tính số phân hoạch tập hợp X gồm n phần tử vào k tập (hay k khối) khác rỗng, tức cần tính số Stirling loại hai Số Stirling đặt tên theo nhà toán học James Stirling (1692-1770), đề cập sách "Methodus differentialis, sive Tractatus de Summatine et Interpolatione Serireun Infinitarum" Trong luận văn chủ yếu nghiên cứu số Bell; số Stirling loại hai ứng dụng chúng vào số lĩnh vực khác toán học Luận văn bao gồm hai chương, phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày khái niệm tập hợp, phép phân hoạch tập hợp giới thiệu sơ lược số Bell số Stirling Đồng thời mối liên hệ số Stirling loại hai số toàn ánh Chương 2: Số Stiling loại hai số Bell đồ thị Trong chương trình bày cách xác định số Bell số Stirling loại hai đồ thị đưa ví dụ cụ thể Đồng thời giới thiệu toán tô màu cạnh đồ thị, đa thức màu (chromatic polynomials) Ngoài ra, đề cập đến khai triển hàm ban đầu f (n) tổ hợp tuyến tính hệ số nhị thức với đa thức hệ số Arj (n) đa thức Bn biểu diễn theo hệ số nhị thức Arj (n) Thái Nguyên, ngày 10 tháng 01 năm 2016 Người thực Nông Mạnh Linh Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Đồ thị đường Khái niệm đồ thị Lý thuyết đồ thị ngành khoa học phát triển từ lâu lại có nhiều ứng dụng đại Những ý tưởng đưa từ kỷ 18 nhà toán học L Euler, người Thụy sĩ Ông người sử dụng đồ thị để giải toán cầu Konigsberg tiếng Nhờ Lý thuyết đồ thị mà nhiều toán phức tạp, diễn giải dài dòng mô tả hình học cách trực quan cô đọng Các thuật toán ngắn gọn trực quan Lý thuyết đồ thị giúp giải nhiều toán phức tạp thực tế Định nghĩa 1.1 Đồ thị cặp G = (V, E), (1) V tập hợp phần tử, chúng gọi đỉnh (2) E ⊆ V × V tập hợp phần tử, chúng gọi cạnh Về chất, đồ thị tập hợp đối tượng biểu diễn đỉnh đối tượng có mối quan hệ nhị nguyên biểu diễn cạnh Với hai đỉnh x, y ∈ V, đoạn thẳng hay đoạn cong nối x y biểu thị cạnh (x, y) đồ thị Nếu cặp đỉnh x, y tạo thành cạnh đồ thị hai đỉnh không thứ tự cạnh (x, y) gọi cạnh vô hướng; chúng thứ tự cạnh viết thành [x, y] gọi cạnh có hướng Người ta thường phân đồ thị thành hai lớp Định nghĩa 1.2 Đồ thị chứa cạnh vô hướng gọi đồ thị vô hướng Đồ thị chứa cạnh có hướng gọi đồ thị có hướng Hiển nhiên, đồ thị vô hướng biểu diễn đồ thị có hướng cách thay cạnh vô hướng (x, y) hai cạnh có hướng tương ứng [x, y] [y, x] Định nghĩa 1.3 Đồ thị G = (V, E) gọi đồ thị đối xứng (x, y) ∈ E, ([x, y] ∈ E), (y, x) ∈ E, ([y, x] ∈ E) Dễ dàng thấy rằng, đồ thị vô hướng đối xứng Định nghĩa 1.4 Đồ thị G = (V, E), cặp đỉnh nối với không cạnh gọi đơn đồ thị hay đồ thị Nếu đồ thị có cặp đỉnh nối với nhiều cạnh gọi đa đồ thị Đồ thị gọi đồ thị hữu hạn tập đỉnh hữu hạn Trong luận văn giới hạn xét đồ thị hữu hạn Ta ký hiệu n số đỉnh, m số cạnh đồ thị hữu hạn 1.1.2 Đường chu trình Giả sử G = (V, E) đồ thị Định nghĩa 1.5 Đường đồ thị G cho dãy đỉnh < x1 , x2 , , xi , xi+1 , , xk−1 , xk > cho, đỉnh dãy (không kể đỉnh đầu tiên) kề với đỉnh trước cạnh đó, nghĩa là: Với i = 2, 3, , k − 1, k ta có cạnh (xi−1 , xi ) ∈ E Với đường < x1 , x2 , , xi , xi+1 , , xk−1 , xk >, ta nói rằng, đường từ đỉnh đầu x1 đến đỉnh cuối xk Số cạnh đường gọi độ dài đường Đường đơn đường mà đỉnh khác đôi Định nghĩa 1.6 Chu trình đường khép kín, có nghĩa, đỉnh đầu đường trùng với đỉnh cuối đường Chu trình gọi chu trình đơn đỉnh khác đôi Ta thường ký hiệu chu trình qua [x1 , x2 , , xi , xi+1 , , xk−1 , xk ], x1 ≡ xk Để thu gọn, ký hiệu chu trình ta thường không viết đỉnh cuối [x1 , x2 , , xi , xi+1 , , xk−1 ] Trong đồ thị, đỉnh nút đỉnh kề với Hai cạnh có đỉnh chung gọi hai cạnh kề 1.1.3 Bậc đỉnh tính liên thông đồ thị Định nghĩa 1.7 Cho đồ thị G= (V, E) Đồ thị G = (V , E ) gọi V ⊆ V đồ thị đồ thị G E = E ∩ (V × V ) Đồ thị G = (V, E ), E ⊆ E, gọi đồ thị riêng đồ thị G Như vậy, tập đỉnh V đồ thị G tương ứng với đồ thị Do vậy, để xác định đồ thị ta cần nêu tập đỉnh Còn đồ thị riêng đồ thị giữ nguyên tập đỉnh bỏ bớt số cạnh Định nghĩa 1.8 Hai đồ thị G1 = (V1 , E1 ) G2 = (V2 , E2 ) gọi đẳng hình với có song ánh S : V1 → V2 , x → S(x), tập đỉnh, bảo toàn quan hệ cạnh, có nghĩa: Với x, y ∈ V1 , cạnh (x, y) ∈ E1 (S(x), (S(y)) ∈ E2 Người ta thường không phân biệt hai đồ thị đẳng hình với thực chất chúng khác tên gọi đỉnh cách biểu diễn hình vẽ Định nghĩa 1.9 Cho đồ thị G = (V, E) Ta có định nghĩa sau: (1) Hai đỉnh đồ thị G gọi liên thông đồ thị có đường vô hướng nối chúng với (2) Đồ thị G gọi liên thông cặp đỉnh đồ thị liên thông với (3) Đồ thị có hướng G gọi liên thông mạnh cặp đỉnh có đường có hướng nối chúng với (4) Số cạnh kề với đỉnh a ∈ V gọi bậc đỉnh a đồ thị G ký hiệu qua deg(a) Riêng khuyên đỉnh tính hai lần cho bậc Đỉnh bậc gọi đỉnh cô lập; Đỉnh bậc gọi đỉnh treo Quan hệ liên thông tập đỉnh quan hệ tương đương Nó tạo nên phân hoạch tập đỉnh Mỗi lớp tương đương quan hệ gọi mảng liên thông (hay thành phần liên thông) đồ thị Định nghĩa 1.10 Đồ thị gọi đầy đủ hai đỉnh có cạnh nối Người ta thường ký hiệu đồ thị vô hướng đầy đủ n đỉnh Kn Trong đồ thị đầy đủ Kn đỉnh có bậc n − đồ thị liên thông Hai đỉnh nối với đường ngắn có độ dài Đó cạnh nối hai đỉnh Định lý 1.1 Giữa cặp đỉnh phân biệt đồ thị G = (V, E), n = |V | 2, vô hướng liên thông có đường đơn Chứng minh: Giả sử x, y hai đỉnh phân biệt đồ thị vô hướng liên thông G Ta có đường x y Gọi x0 , x1 , , xk với x0 = x, xk = y dãy đỉnh đường có độ dài ngắn (bao có) Đây đường đơn cần tìm Thật vậy, giả sử không đường đơn Khi xi = xj với i < j Điều có nghĩa đỉnh x y có đường ngắn qua đỉnh x0 , x1 , , xi−1 , xj , , xk nhận cách xóa cạnh tương ứng với dãy đỉnh xi , , xj−1 Định lý 1.2 Đồ thị n bậc đỉnh đỉnh nút có hai đỉnh Chứng minh: Xét trường hợp đây: (i) Trường hợp 1: Đồ thị có đỉnh bậc 0, có nghĩa: Đồ thị có đỉnh cô lập Khi đỉnh bậc là: 0, 1, 2, , n − Số bậc khác nhiều n − (ii) Trường hợp 2: Đồ thị có đỉnh bậc n − Khi đồ thị đỉnh cô lập Vậy, bậc đỉnh 0, 1, 2, , n − Số bậc khác nhiều n − (iii) Trường hợp 3: Đồ thị đỉnh bậc đỉnh bậc n − Khi đó, số bậc khác nhiều n − Trong ba trường hợp, số bậc khác không n − Như phải có hai đỉnh chung bậc theo Nguyên lý Dirichlet Từ hệ thức này, ta thấy tính Ar0 (n) sử dụng (2.13), tính theo đường chéo bảng để tìm hệ số A khác Đây cách để tính A71 (n), A60 (n + 1) Ngoài ta có công thức tường minh cho f (n + 1) dựa hai giá trị ban đầu f (0) f (1) Kết phát biểu Hệ 2.2 Hệ 2.2 Cho f (n) xác đinh dạng đệ quy (2.11) Khi n−1 n−1 Anj (1) f (n + 1) = f (0) (j + 1)Anj (1), + f (1) j=0 r (2.15) j=0 Chứng minh: Để chứng minh Hệ 2.2, cần đơn giản thay n = (2.12) thay đổi r n Chú ý 2.2 Dựa theo công thức (2.14), ta viết lại công thức (2.15) sau n−1 n−1 An+1 j+1 (0) f (n + 1) = f (0) (j + 1)An+1 j+1 (0), + f (1) j=0 r≥1 j=0 Giả sử (2.11) với n ≥ Cho số Bell, biểu thức (2.11) với n ≥ Một câu hỏi đặt giả sử biểu thức (2.11) với n ≥ a, a số thực không âm, f (0), f (1), , f (a) giá trị tương ứng Định lý 2.14 Lấy f (0), f (1), , f (a) giá trị cho trước đặt n f (n + 1) = k=0 n f (k), k n ≥ a, (2.16) a ≥ số nguyên cho trước Khi đó, n r−1 Arj (n) f (n + r) = j=0 k=0 n+j k f (k), r ≥ 1, n ≥ a (2.17) hệ số A xác định Định lý 2.12 Hơn nữa, cách đặt n = a (2.17) thay r n, ta có a n−1 Anj (a) f (n + a) = k=0 j=0 a+j k 31 f (k), n (2.18) Ví dụ 2.6 Với a = 2, Biểu thức (2.18) kéo theo f (n + 2) = C(n)f (0) + D(n)f (1) + E(n)f (2), với n ≥ 1, n−1 hệ số C(n), D(n), E(n) xác định C(n) = j=0 n−1 n−1 j=0 j=0 D(n) = 2.3.2 (2 + j)Anj (2) E(n) = Anj (2), (2+j)(1+j) n Aj (2) Số Bell Nếu ta chọn f (n) = B(n), ta ký hiệu phần đầu chương 2, hệ thức (2.11) với n ≥ Do (2.12) trở thành n r−1 Arj (n) B(n + r) = k=0 j=0 n+j k B(k), r ≥ 1, n ≥ (2.19) Đặt n = (2.19), thu công thức tường minh r−1 Arj (0), B(r) = r ≥ (2.20) j=0 Do vậy, sử dụng hàng tổng Bảng 2.2 để thu số Bell, hàng tổng thứ n số Bell thứ n Nên ý hàng đường chéo dãy hệ số Arj (0) vắng mặt Bách khoa toàn thư trực tuyến Dãy số nguyên (OEIS) Chúng ta nhập vào chuỗi Ar0 (0), ký hiệu A(r), A040027 OEIS, chi tiết chuỗi tham khảo trực tiếp trang web Một ứng dụng đơn giản (2.15) theo (2.20) phát biểu sau Hệ 2.3 Cho f (n) thỏa mãn hệ thức (2.11) Khi với r ≥ 1, f (r) = f (0)(B(r) − A(r)) + f (1)A(r) (2.21) Trong thực tế, phương trình (2.15) với r ≥ có giả thiết A(0) = 32 Chứng minh Từ biểu thức (2.15) r−1 r−1 Arj (1) f (r + 1) =f (0) (j + 1)Arj (1) + f (1) j=0 j=0 r−1 r−1 Ar+1 j+1 (0) =f (0) (j + 1)Ar+1 j+1 (0), theo (2.14) + f (1) j=0 r j=0 r Ar+1 j (0) + f (1) =f (0) j=1 (j)Ar+1 j (0) j=0 r (j)Ar+1 j (0), theo (2.20) =f (0)(B(r + 1) − A(r + 1)) + f (1) j=0 (*) Bởi số Bell f (0) = f (1) = f (n + 1) = B(r + 1), có r jAr+1 j (0) = A(r + 1) (2.22) j=1 Thay (2.22) vào (*) ta chứng minh định lý Chú ý 2.3 Một công thức thú vị chứng minh phương pháp sửa đổi sử dụng kết hệ 2.3, r−1 j Arj (0) = A(r) + 2Ar1 (0) j=1 r−1 Trong trang sau thảo luận chuỗi j=1 j p Arj (0) Tiếp theo đưa công thức vượt trội khác cho số Bell Hệ 2.4 Gọi B(n) số Bell thứ n B(n) = An+1 (−1), n ≥ (2.23) Chứng minh Trong (2.13), đặt j = 0, n = −1, ta thay r r + Ta r Ar+2 (−1) = i=0 r Ar+1−i (−1) = i 33 r i=0 r Ai+1 (−1), r−i ta có r Ar+2 (−1) = i=0 r Ai+1 (−1), với A0 (−1) = i (2.24) Từ công thức (2.9) số Bell B(n) thỏa mãn r B(r + 1) = i=0 r B(i), i n ≥ 0, nghiệm biểu thức với B(0) = 1, Ai+1 (−1) phải giống B(i) Chú ý 2.4 Bằng cách áp dụng (2.14) cho (2.23) ta B(n − j) = Anj−1 (−1), n ≥ j ≥ Chúng ta gọi hệ số Arj (n) hệ số nhị thức truy hồi Chúng ta có tính chất vượt trội liên quan đến số Bell Phần lại luận văn lý giải nhiều tính chất đa dạng hệ số nhị thức truy hồi 2.3.3 Đa thức Bell Chúng ta tiếp tục mở rộng khái niệm hệ số nhị thức truy hồi đa thức Bell Nếu giả sử n φn+1 (t) = t k=0 n φk (t), k n ≥ 0, (2.25) hệ thức lặp, ta tìm Định lý 2.15 Tồn hệ số Arj (n, t) cho n r−1 Arj (n, t) φn+r (t) = k=0 j=0 n+j k φk (t), n ≥ 0, r ≥ 1, (2.26) với mối quan hệ song song truy hồi tới (2.13), xác định r−j−1 Ar+1 j (n, t) =t i=0 n+r Ar−i j (n, t), i 0≤j ≤r−1 (2.27) r với Ar+1 r (n, t) = Vì ta giả sử Aj (n, t) = với j < j > r − 34 Công thức tương ứng với (2.14) r Ar+1 j+1 (n, t) = Aj (n + 1, t), j ≥ 0, r ≥ (2.28) r ≥ (2.29) Phương trình (2.20) mở rộng tới r−1 Arj (0, t), φr (t) = j=0 Đây vài ví dụ (2.26) với r = 2, 4: n φk (t) t2 φn+2 (t) = k=0 n φn+3 (t) = n n+1 +t k k n n+1 n+2 + t2 +t k k k φk (t) t3 + (n + 2)t2 φk (t) t4 + (2n + 5)t3 + φk (t) t3 + (n + 3)t2 k=0 n φn+4 (t) = k=0 n + , (n + 2)(n + 3) t , n k n+1 n+2 n+3 + t2 +t k k k k=0 Hiển nhiên ta chứng minh Arj (n, t) đa thức cấp r t Chúng ta gọi chúng Đa thức nhị thức truy hồi 2.3.4 Chuỗi hệ thức ngược Chúng ta nghiên cứu thêm dãy hệ số Arj (n) cách quan sát chuỗi hệ thức ngược Định lý 2.16 r−1 Arj (0)g(j), f (r) = r≥1 (2.30) j=0 r g(r) = f (r + 1) − j=1 r f (j), với g(0) = f (1) j 35 (2.31) Theo quan điểm này, mảng Arj (0) phát trận nhị thức bậc hai đơn giản  0  −1 0    −2 −2  M =  −3 −3 −1  −4 −6 −4 −1    −5 −10 −10 −5 sinh nghịch ảnh ma 0 0 0 0 −1             Định lý 2.16 lộ cách làm mảng Arj (0) trở thành nghịch đảo số Bell truy hồi (2.9) Thật vậy, đặt g(j) = giống hệt Khi (2.30) trở thành công thức số Bell (2.20), f (r) = B(r), theo (2.31), nghịch ảnh r = B(r + 1) − j=1 r B(j) j Trong trường hợp B(0) = 1, biểu thức trở thành r B(r + 1) = j=1 r B(j) j xác biểu thức (2.9) Do vậy, nghĩ (2.20) nghịch ảnh công thức cổ điển (2.9) Đây ví dụ hướng dẫn Định lý 2.16 Ta chọn f (j) = (−1)j Khi định lý 2.16 trở thành Ar0 (0) = (−1)r−1 + Ar2j−1 (0), (2.32) 1≤2j−1≤r−1 Arr−1 (0) = Arr−2 (0) = 1, viết lại công thức dạng Ar0 (0) = + Ar2j−1 (0) (2.33) 1≤2j−1≤r−1 Phương trình (2.33) cung cấp kiểm tra hữu hiệu cho bảng 2.1 Hệ thức (2.32) hay (2.33) cho ta minh chứng A(r) lẻ với r ≥ 36 Cộng (2.32) (2.20), ta tìm công thức số Bell 2B(r) = A(r) + (−1)r + Ar2j (0), (2.34) 1≤2j≤r−1 viết lại dạng Ar2j (0) 2B(r) = 3A(r) + (−1)r + (2.35) 1≤j≤(r−1)/2 Từ (2.34) (2.20) tìm ông thức r−1 (−1)j Arj (0) = B(r) − A(r) − (−1)r , r ≥ (2.36) j=0 Chúng ta kết thúc mục cách ý vào phần tử nhị thức bất thường tách từ cặp chuỗi hệ thức ngược (2.30)-(2.31), Chọn x f (r) = r−1 Các hệ thức (2.30) (2.31) g(r) = xr − x+r r−1 Khi thu r−1 Arj (0) j=0 2.3.5 x j = x + r−1 r−1 x+j , j−1 Arj (0) j=0 r≥1 (2.37) Hàm sinh mũ Trong trường hợp tổng quát (2.11), phát triển hàm mũ tổng quát cho f (n) Ta có ∞ ∞ xn+1 xn f (n + 1) f (n) = f (0) + f (1)x + F (x) = n! (n + 1)! n=1 n=0 ∞ n = f (0) + (f (1) − f (0))x + n=0 k=0 x ∞ n n xn+1 f (k) k (n + 1)! = f (0) + (f (1) − f (0))x + n=0 k=0 x ∞ ∞ = f (0) + (f (1) − f (0))x + k=0 n=0 tn n f (k) dt k n! tn tk f (k) dt n! k! x et F (t) dt, = f (0) + (f (1) − f (0))x + 37 đó, đạo hàm phương trình F (x) = f (1) − f (0) + ex F (x), (2.38) dễ dàng tìm nghiệm cách sử dụng công thức tích phân nhân tử mũ (−ex + 1), vậy, ta thu nghiệm tổng quát x F (x) = (f (1) − f (0))ee x t −1 e−e +1 dt + C ee x −1 o Cho x = 0, suy C = f (0), ta thu nghiệm riêng x F (x) = (f (1) − f (0))ee x t −1 x e−e +1 dt + f (0)ee −1 (2.39) o Theo (2.21) ta có f (n) = f (0)B(n) + (f (1) − f (0))A(n), n ≥ 0, ∞ ∞ ∞ xn xn xn B(n) + (f (1) − f (0)) A(n) , f (n) = f (0) n! n! n! n=0 n=0 n=0 thay vào ta ∞ F (x) = f (0)e ex −1 xn + (f (1) − f (0)) A(n) , n! n=0 so sánh công thức với (2.39), tìm x ∞ xn x A(n) = ee −1 n! n=0 t e1−e dt, (2.40) cho ta vi phân hàm tổng quát cho chuỗi A(n) Nhiều dạng khai triển theo công thức trên, hệ số khai triển hàm mũ (ex − 1) sử dụng số Bell, hệ số khai triển hàm mũ (ex − 1) biết Cụ thể, ta viết ∞ 1−ex e xn = D(n) n! n=0 38 (2.41) Mười bẩy số hạng D là: 1, −1, 0, 1, 1, −2, −9, −9, 50, 267, 413, −2180, −17731, −50533, 110176, 1966797, 9938669 Một chuỗi công thức vô hạn cho dạng ∞ kk (−1) D(n) = e k=0 B(n) = e ∞ k=0 n (2.42) k! kn k! (2.43) gọi công thức Dobinski D thỏa mãn dạng đệ quy tương tự (2.9), với dấu trừ đặt phía trước Thực vậy, từ (2.25) với t = −1, n D(n + 1) = − j=0 n D(j), j (2.44) cho phép ta dễ dàng tính toán chúng Sử dụng D mang tương giao vào công thức (2.40), nhân biểu thức (2.6) với t = 1, ta nhân dễ dàng vào chuỗi kết lấy lại theo chuỗi A(n) mong muốn Với n = 0, 1, 2, ta biểu diễn 0, 1, 1, 3, 9, 31, 121, 523, 2469, mong đợi Một cách khác để liên kết chuỗi B D công thức biểu diễn mối quan hệ đối xứng n k=0 n B(k)D(n − k) = δ0n k (2.45) Trong thực tế, thu công thức xác cho hệ số A, cách gọi lại (2.6) (2.40) Thay hàm tổng quát áp dụng tích phân ta nhận công thức (2.40) đơn giản sau n A(n + 1) = k=0 n+1 B(n − k)D(k), k+1 39 n ≥ (2.46) Bởi n S(n, k) φn (1) = B(n) = k=0 n (−1)k S(n, k), φn (−1) = D(n) k=0 viết công thức phức tạp cho hệ số A(r) sử dụng số Stirling loại hai hệ số nhị thức Bảng 2.1 Một số giá trị đa thức Arj (n) • A10 (n) = 1, A20 (n) = A21 (n) = 1, A30 (n) = n + 3, A31 (n) = A32 (n) = 1, (n + 3)(n + 6) , A41 (n) = n + 4, A42 (n) = A43 (n) = 1, • A40 (n) = 2 (n + 3)(n + 18n + 62) (n + 4)(n + 7) • A0 (n) = , A51 (n) = , A52 (n) = n + 5, (n + 3)(n + 43n + 386n + 968) • A53 (n) = A54 (n) = 1, A60 (n) = , 24 (n + 4)(n2 + 20n + 81) (n + 5)(n + 8) • A61 (n) = , A62 (n) = , A63 (n) = n + 6, (n + 3)(n + 97n + 1684n2 + 10328n + 20920) 6 • A4 (n) = A5 (n) = 1, A0 (n) = , 120 (n + 4)(n3 + 46n2 + 475n + 1398) (n + 5)(n2 + 22n + 102) 7 • A1 (n) = , A2 (n) = , 24 (n + 6)(n + 9) • A73 (n) = , A74 (n) = n + 7, A75 (n) = A76 (n) = 2.3.6 Đa thức r-Bell Số Bell Bn đếm số phân hoạch tập n phần tử Cho n n k cố định số , liệt kê số phân hoạch tập với n phần tử thành k k tập rời nhau, khác rỗng, Bn viết dạng tổng n Bn = k=0 n k 40 (2.47) Bảng 2.2 Mảng hệ số Arj (0) Bảng 2.3 Mảng hệ số Arj (1) Số n k gọi số Stirling loại hai Đa thức Bell thứ n n Bn (x) = k=0 n xk k Phiên tổng quát cho số Stirling gọi số r-Stirling Số n , với n ≥ k ≥ r, liệt kê số phân hoạch tập n phần tử thành k k tập khác rỗng, rời cho r phần tử nằm 41 tập rời Từ (2.47), ta định nghĩa số n Bn,r = k=0 n+r k+r (2.48) r n n theo định nghĩa) = k k Vậy, ý nghĩa số r−Bell gì? Theo (2.48) Bn,r số phân hoạch tập có n + r phần tử cho r phần tử nằm tập rời phép phân hoạch Tên r−Stirling gợi ý cho tên số Bn,r : gọi chúng số r−Bell, đa thức (Hiển nhiên Bn = Bn,0 n Bn,r (x) = k=0 n+r k+r xk r gọi đa thức r−Bell Do Bn,r = Bn,r (1) Ví dụ 2.7 Ví dụ sau lý giải ý nghĩa số r−Bell Ta có B2,2 = + + 4 đếm số phân hoạch phần tử vào tập cho phần 2 tử nằm tập rời {1, 3, 4}, {2} ; {1}, {2, 3, 4} ; {1, 3}, {2, 4} ; {1, 4}, {2, 3} thuộc phân hoạch {1}, {2}, {3, 4} ; {1, 3}, {2}, {4} ; {1}, {2, 3}, {4} ; {1, 4}, {2}, {3} ; {1}, {2, 4}, {3} số phân hoạch phần tử vào tập (và không tầm thường, phần tử nằm tập rời nhau) Cuối cùng, {1}, {2}, {3}, {4} 42 Như B2,2 = + + 4 = + + = 10 số lượng thực tế tất phân hoạch tập {1, 2, 3, 4} cho hai phần tử nằm tập rời Bảng 1: Số r−Bell r=0 r=1 r=2 r=3 r=4 r=5 r=6 n=0 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 1 15 52 203 15 52 203 877 10 37 151 674 3263 17 77 372 1915 10481 26 141 799 4736 29371 37 235 1540 10427 73013 50 365 2727 20878 163967 Bảng 2: Đa thức r−Bell B0,r (x) = B1,r (x) = x+r B2,r (x) = x2 + (2r + 1)x + r2 B1,r (x) = x3 + (3r + 3)x2 + (3r2 + 3r + 1)x + r3 B1,r (x) = x4 + (4r + 6)x3 + (6r2 + 12r + 7)x2 + (4r3 + 6r2 + 4r + 1)x + r4 43 Kết luận Trong luận văn trình bày khái niệm lý thuyết đồ thị, từ tập trung sâu vào nghiên cứu số Bell số Stirling loại hai đồ thị Các kết đạt luận văn sau: (1) Một số khái niệm lý thuyết đồ thị (2) Phân hoạch tập hợp (3) Số Stirling loại số r-Stirling (4) Số Bell số r-Bell, đa thức Bell đồ thị 44 Tài liệu tham khảo [1] Zsofia Kereskenyi-Balogh Gabor Nyul (2014)," Stirling numbers of the second kind and Bell numbers for graphs", Australasian Journal of Combinatorics, Volume 58 (2),pp 264-274 [2] H W Gould and Jocelyn Quaintance (2007), "A linear binomial recurrence and the Bell numbers and polynomials", Applicable Analysis and Discrete Mathematics 1,pp 371-385 [3] R Merris (1995), Combinatorics , PWS Publishing Company [4] I Mezó (2011), The r-Bell numbers, Journal of Integer Sequences,Volume 14, Article 11.1.1 [5] K H Wehrhahn (1990), Combinatorics: An Introduction, Carslaw Publications 45 ... lược số Bell số Stirling Đồng thời mối liên hệ số Stirling loại hai số toàn ánh Chương 2: Số Stiling loại hai số Bell đồ thị Trong chương trình bày cách xác định số Bell số Stirling loại hai đồ thị. .. trống, đồ thị đầy đủ, đồ thị sao, đồ thị đường đi, đồ thị tổng quát m−sao (đồ thị xây dựng từ đồ thị đầy đủ với m đỉnh cách nhập thêm đỉnh cho dạng ban đầu), đồ thị m−đường tổng quát, đồ thị chu... ∩ (V × V ) Đồ thị G = (V, E ), E ⊆ E, gọi đồ thị riêng đồ thị G Như vậy, tập đỉnh V đồ thị G tương ứng với đồ thị Do vậy, để xác định đồ thị ta cần nêu tập đỉnh Còn đồ thị riêng đồ thị giữ nguyên