Header Page of 258 I HC QUC GIA THNH PH H CH MINH TRNG I HC KHOA HC T NHIấN Ngụ Ngc Minh NG DNG QU TRèNH BN MARKOV VO Mễ HèNH RI RO TRONG BO HIM Chuyờn ngnh: Lí THUYT XC SUT V THNG Kấ TON HC Mó s: 60 46 15 LUN VN THC S TON HC HNG DN KHOA HC: TS Tễ ANH DNG TP H Chớ Minh - 2009 Footer Page of 258 Header Page of 258 Li cm n u tiờn, tụi xin chõn thnh cm n Ban Giỏm Hiu, Phũng o to sau i hc, Khoa Toỏn - Tin hc, trng i hc Khoa hc T nhiờn Thnh ph H Chớ Minh, B mụn Xỏc sut - Thng kờ cựng tt c Quý Thy Cụ ó tn tỡnh ging dy, giỳp tụi sut quỏ trỡnh hc v thc hin lun ny Tụi xin c by t lũng bit n sõu sc n ngi thy ca mỡnh: TS Tụ Anh Dng, i hc Khoa Hc T Nhiờn TP HCM Tụi cm n thy v nhng li khuyờn, gi ý v s h tr tn tỡnh, chu ỏo ca thy quỏ trỡnh hc v giỳp tụi hon thnh lun ny ng thi, tụi cng xin c gi li cm n n PGS TS Nguyn Bỏc Vn, TS Dng Tụn m Cỏc thy ó trang b cho tụi kin thc, giỳp tụi hiu rừ hn v xỏc sut, thng kờ v nh hng sõu sc n ng hc tp, nghiờn cu khoa hc ca mỡnh TP HCM - Ngy 20 thỏng 06 nm 2009 Tỏc gi Ngụ Ngc Minh Footer Page of 258 Header Page of 258 Li m u Hu ht cỏc nc phỏt trin, d phũng ban u l mt lng nh c nh c quy nh bi chớnh ph v ph thuc vo s luõn chuyn ca cụng ty bo him Tht vy, iu ú giỳp bo v khỏch hng trỏnh tỡnh trng khụng may l cụng ty phi tr mt lng ln tin bi thng mt khong thi gian ngn lm cụng ty mt kh nng chi tr (ri ro) Vn qun lý ri ro bo him l mt cỏc quan trng nht Vic cú mt mụ hỡnh toỏn hc giỳp qun lớ ri ro l rt cn thit cho cỏc cụng ty bo him Jarrow Land v Turnbull ch rng cú th gii quyt c ri ro ti chớnh v bo him bng cụng c xớch Markov Sau ú nhiu bi bỏo ó ch rng xớch Markov cú th ny sinh nhiu Cng t thi im ny ngi ta ngh n vic ng dng bỏn Markov vo ri ro ti chớnh v bo him Nguyờn nhõn l i vi xớch Markov thi gian chuyn i gia cỏc trng thỏi l ri rc õy l lý ti bỏn Markov c dựng tt hn xớch Markov Trong lun ny tụi s trỡnh by ng dng ca quỏ trỡnh bỏn Markov vo qun lý ri ro bo him Footer Page of 258 Header Page of 258 Mc lc Li cm n Li m u Mc lc Thuyt tỏi to 1.1 Mc ớch 1.2 nh ngha chớnh 1.3 S phõn loi ca cỏc quỏ trỡnh tỏi to 1.4 Phng trỡnh tỏi to 1.5 S dng phộp bin i Laplace 1.5.1 Phộp bin i Laplace 1.5.2 Phộp bin i Laplace Stieltjes (L-S) 1.5.3 Mt ng dng i vi hm tỏi to 1.6 ng dng ca ng thc Wald 1.6.1 ng thc Wald 1.6.2 Chn di ca hm tỏi to R 1.7 Dỏng iu tim cn ca quỏ trỡnh N(t) 1.8 Cỏc thi im hi quy 1.8.1 nh ngha 1.8.2 Hm phõn phi ca s ln hi quy 1.8.3 Dỏng iu tim cn 1.9 Quỏ trỡnh tỏi to trỡ hoón v quỏ trỡnh tỏi to dng 1.10 Dng s 1.10.1 Phng phỏp cu phng tng quỏt 1.10.2 Mt vi cụng thc c bit 1.10.3 Vớ d thc t v tai nn ụ tụ Xớch Markov 2.1 Tớnh Markov 2.1.1 nh ngha tớnh Markov 2.1.2 Cỏc vớ d 2.2 nh ngha xớch Markov 2.3 Phõn loi trng thỏi xớch Markov 2.3.1 Cỏc trng thỏi tun hon v khụng tun hon 2.3.2 Cỏc trng thỏi c lng v khụng c lng c Tớnh ti gin Footer Page of 258 1 14 14 16 17 18 18 19 20 23 23 24 26 30 35 35 37 39 45 45 45 46 47 50 50 50 Header Page of LC 258 MC 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.3.3 Trng thỏi nht thi v hi quy S ln chim gi Tớnh xỏc sut hp thu Dỏng iu tim cn Cỏc vớ d Mt trng hp bo him xó hi (Janssen (1966)) Phng phỏp s gii bi toỏn tim cn 2.9.1 Thut toỏn cho nghiờn cu xớch Markov tim cn 2.9.2 Mu d liu ti gin thc t bo him xe 2.9.3 Cỏc vớ d rỳt gn c v khụng rỳt gn c, dng kt ni chớnh 51 54 55 56 60 63 65 65 68 tc 72 Quỏ trỡnh tỏi to Markov, bỏn Markov v bc ngu nhiờn Markov 3.1 Quỏ trỡnh (J-X) dng 3.2 Xớch bỏn Markov v xớch bỏn Markov m rng 3.3 Cỏc tớnh cht chớnh 3.4 Vớ d v quỏ trỡnh yờu cu bi thng bo him 3.5 Quỏ trỡnh tỏi to Markov, quỏ trỡnh bỏn-Markov v quỏ trỡnh m liờn kt 3.6 Cỏc hm tỏi to Markov 3.7 Phng trỡnh tỏi to Markov 3.8 Dỏng iu tim cn ca MRP 3.8.1 Dỏng iu tim cn ca hm tỏi to Markov 3.9 Dỏng iu tim cn ca SMP 3.9.1 Trng hp ti gin 3.9.2 Trng hp khụng ti gin 3.10 MRP trỡ hoón v MRP dng 3.11 Trng hp nghiờn cu v bo him xó hi 3.11.1 Mụ hỡnh bỏn Markov 3.11.2 Vớ d s 3.12 Quỏ trỡnh (J-X) 3.13 Cỏc hm ca quỏ trỡnh (J-X) 3.14 Cỏc bc ngu nhiờn c in v lý thuyt ri ro 3.14.1 Cỏc kớ hiu c bn bc ngu nhiờn 3.14.2 S phõn loi cỏc bc ngu nhiờn 3.15 Cỏc bc ngu nhiờn bỏn Markov 3.16 Phõn phi cn trờn ỳng cho cỏc bc ngu nhiờn bỏn Markov Cỏc Mụ Hỡnh Ri Ro Trong Bo Him 4.1 Mụ hỡnh ngu nhiờn c in cho lý thuyt ri ro 4.2 Mụ hỡnh ri ro E.S Anderson hay G/G 4.2.1 Mụ hỡnh 4.2.2 Phớ bo him 4.2.3 Ba quỏ trỡnh c bn 4.2.4 Xỏc sut phỏ sn 4.3 Mụ hỡnh ri ro Cramer Lundberg hay P/G 4.3.1 Mụ hỡnh 4.3.2 Xỏc sut phỏ sn 4.3.3 Qun lớ ri ro bng xỏc sut phỏ sn 4.3.4 c lng Cramer Footer Page of 258 v xỏc sut phỏ sn 82 82 83 83 86 87 88 91 92 92 92 92 94 95 98 98 99 100 101 103 103 104 106 107 109 109 110 110 110 112 113 115 115 115 120 121 Header Page of LC 258 MC 4.4 Cỏc mụ hỡnh khuych tỏn cho lý thuyt ri ro v xỏc sut phỏ sn 4.4.1 Mụ hỡnh ri ro khuych tỏn n gin 4.4.2 Mụ hỡnh ri ro ALM 4.5 Mụ hỡnh ri ro Bỏn Markov 4.5.1 Mụ hỡnh ri ro bỏn Markov (hay SMRM) 4.5.2 Mụ hỡnh ri ro bỏn Markov tng quỏt (hay GSMRM) 4.5.3 Quỏ trỡnh m s yờu cu bi thng 4.5.4 Quỏ trỡnh tin bo him tớch ly 4.5.5 Quỏ trỡnh tin úng bo him 4.5.6 Quỏ trỡnh ri ro v ri ro ca d tr 4.5.7 Mụ hỡnh ri ro bỏn-Markov dng 4.6 Xỏc sut phỏ sn ca mụ hỡnh ri ro bỏn-Markov tng quỏt 4.6.1 Xỏc sut phỏ sn v khụng phỏ sn 4.6.2 S thay i mc phớ bo him 4.6.3 Gii phỏp tng quỏt cho tim cn xỏc sut ri ro 123 123 124 125 125 125 128 130 131 131 132 132 132 133 134 Kt lun 137 Ti liu tham kho 138 Footer Page of 258 Header Page of 258 Chng Thuyt tỏi to 1.1 Mc ớch t (Xn , n 1) l mt dóy bin ngu nhiờn khụng õm, c lp v cú cựng phõn phi c xỏc nh trờn khụng gian xỏc sut (, , P ) Ta xột v tin cy nh sau: ti thi im 0, h c xột bt u vi mt thnh phn mi v sau ú nú b hng ti thi im ngu nhiờn T1 Ti thi im ny, mt thnh phn mi khỏc lp tc c thay th cho thnh phn u tiờn h, sau ú nú cng b hng ti thi im c v c tip tc quỏ trỡnh nh vy Tt c cỏc thnh phn ny u cựng loi Ta gi (Tn , n 0) l cỏc thi im thay th liờn tip, ta cú T0 = (1.1) Tui th ca cỏc thnh phn liờn tip c a vo h cho bi Xn = Tn Tn1 , n Hỡnh 1.1: th ca N (t) Footer Page of 258 (1.2) Header Page of 258 1.28 nh ngha chớnh T quan im toỏn t, mt c trng quan trng ca h c xột ti thi im t l tng s cỏc thay th xy khong [0, t] Lu ý rng ta khụng xột thnh phn u tiờn Nu N(t) l bin ngu nhiờn ta va nh ngha, vi n ta cú: N(t) > n Tn t (1.3) Quỏ trỡnh ngu nhiờn (N(t), t 0), c th hin hỡnh 1.1 Mụmen cp mt ca N(t) s cho s lng trung bỡnh ca s thay th (0, t] c bit nu ti thi im 0, ngi qun lý cú kh nng thc hin ton b s thay th, s lng thay th trung bỡnh s l kỡ vng E(N(t)) D nhiờn, nh qun lý phi d tr thờm ngn chn s gia tng ngu nhiờn Vn ny s c gii quyt mc 1.7 Lnh vc nghiờn cu xỏc sut ca cỏc quỏ trỡnh ny c gi l thuyt tỏi to Nú c s dng cho xỏc sut ng dng, mt nhng ch quan trng gii quyt mt s cuc sng 1.2 nh ngha chớnh nh ngha 1.1 Dóy ngu nhiờn (Tn , n 0), ú T0 = 0, Tn = X1 + + Xn , n1 (1.4) (1.5) c gi l dóy tỏi to hoc quỏ trỡnh tỏi to Cỏc bin ngu nhiờn Tn , n c gi l thi im tỏi to v bin ngu nhiờn Xn , n c gi l khong thi gian gia hai ln chuyn i Vớ d 1.1 Ta xột h thng hng i ca mt dch v, quỏ trỡnh khỏch hng n v quỏ trỡnh s ln phc v c ỏp dng bi lut FIFO, ngha l khỏch hng no ti trc s c phc v trc Trong nhiu mụ hỡnh ca lý thuyt hng i, quỏ trỡnh n c tha nhn l mt quỏ trỡnh tỏi to Trong trng hp ny, bin ngu nhiờn Tn l thi gian n ca khỏch hng th n, ú khỏch hng s thỡ s c phc v ti thi im v bin ngu nhiờn Xn mụ t khong thi gian n gia khỏch hng th (n 1) v th n Quỏ trỡnh n cng c xột lý thuyt ri ro Ta xột mt cụng ty bo him bt u ti thi im vi s ban u u(u 0) Khỏch hng úng phớ bo him v cụng ty bo him phi tr tin bi thng khỏch hng xy tai nn Trong trng hp ny, bin ngu nhiờn Tn mụ t yờu cu bi thng bo him th n v cụng ty s bt u xem xột chi tr tin bi thng vi yờu cu u tiờn c gi l yờu cu bi thng 0, bin ngu nhiờn Xn l khong thi gian n gia s bi thng th (n 1) v th n Trong lý thuyt m, ta xột cỏc mu n ti thi im Tn , n vi T0 = 0, bin ngu nhiờn Xn tha cỏc iu kin ca thi im n gia ln chuyn i liờn tc nh ngha 1.2 Vi mi dóy tỏi to, ta cú th kt hp cỏc quỏ trỡnh ngu nhiờn sau cú thi gian liờn tc vi cỏc giỏ tr N : ú (1.6) (N(t), t 0) N(t) > n Tn t, n N0 Quỏ trỡnh ny c gi l quỏ trỡnh m kt hp hoc quỏ trỡnh m tỏi to N(t) mụ t tng s tỏi to (0, t] Footer Page of 258 Header Page of 258 1.39 S phõn loi ca cỏc quỏ trỡnh tỏi to nh ngha 1.3 Hm tỏi to c nh ngha (1.7) H(t) = E(N(t)) ú kỡ vng c quy nh l hu hn 1.3 S phõn loi ca cỏc quỏ trỡnh tỏi to Ta gi s rng cỏc bin ngu nhiờn c nh ngha trờn R cú hm phõn phi F nh vy: F (0) < (1.8) F (+) = (1.9) Nu ta s cú trng hp thụng thng ca cỏc bin ngu nhiờn thc T h thc 1.5, ta cú: P (N(t) > n 1) = F (n) (t), F (n) l tớch chp n ln ca hm F vi chớnh nú T ú vi n n1 P (N(t) = n) = P (N(t) > n 1) P (N(t) > n) (1.10) (1.11) p dng h thc 1.10 ta cú: P (N(t) = n) = F (n) (t) F (n+1) (t), n (1.12) F (0) c nh ngha l phõn phi Heaviside vi giỏ tr ti thi im ban u F (0) = U0 , (1.13) h thc 1.12 ỳng cho n = 0, ú P (N(t) = 0) = F (t) (1.14) p dng b Stein, kt qu quan trng sau c chng minh Mnh 1.4 Nu F (0) < 1, vi mi t thỡ N(t) cú mụ men bc bt kỡ c bit, mnh ny cú ngha l hm tỏi to hu hn vi mi t hu hn Do ú, ta cú th vit : E(N(t)) = n=1 n F (n) (t) F (n+1) = F (t) F (2) (t) + 2F (2) (t) 2F (3) (t) + ã ã ã (1.15) = F (t) + F (2) (t) + F (3) (t) + ã ã ã vỡ th s dng h thc 1.7: F (n) (t) H(t) = Footer Page of 258 n=1 (1.16) Header Page 258 loi ca cỏc quỏ trỡnh tỏi to 1.310Sofphõn Trong mt vi trng hp, nú hu ớch xột tỏi to ban u v nh ngha bin ngu nhiờn N (t) vo thi im t l tng s tỏi to [0, t] Rừ rng, vi mi t 0: N (t) = N(t) + (1.17) ú: E(N (t)) = H(t) + (1.18) R(t) = E(N (t)) (1.19) t Theo h thc 1.18, 1.16 v 1.13 ta cú: F (n) (t) R(t) = (1.20) n=0 Hin nhiờn ta cú: R(t) = U0 (t) + H(t) (1.21) S phõn loi ca quỏ trỡnh tỏi to da trờn ba khỏi nim: hi quy, nht thi v tun hon nh ngha 1.5 i) Mt quỏ trỡnh tỏi to (Tn ,n 1) l hi quy nu Xn < vi mi n, ngc li nú c gi l nht thi ii) Mt quỏ trỡnh tỏi to (Tn ,n 1) l tun hon vi chu kỡ nu cỏc giỏ tr cú th cú ca cỏc bin ngu nhiờn Xn , n cú dng hp m c {0, , 2, }, v l s ln nht Ngc li, nu khụng cú no dng thỡ quỏ trỡnh tỏi to l khụng tun hon Kt qu trc tip ca nh ngha ny l c trng ca mt kiu quỏ trỡnh tỏi to vi s tr giỳp ca hm phõn phi F Mnh 1.6 Mt quỏ trỡnh tỏi to ca hm phõn phi F l i) Hi quy v ch F () = ii) Nht thi v ch F () < iii) Tun hon vi chu kỡ ( > 0) v ch nu F l hng s nm ngoi khong [n,(n + 1)), n N v tt c cỏc bc nhy ca nú xy ti cỏc im n, n N Nu t tin n + h thc 1.16 cho: nu F (+) = + F (+) H(+) = (1.22) nu F (+) < F (+) Hoc tng ng vi vi h thc 1.20: + R(+) = F (+) nu F (+) = nu F (+) < (1.23) iu ny s c chng minh nh lớ tip theo Mnh 1.7 Quỏ trỡnh tỏi to ca hm phõn phi F l hi quy hay nht thi ph thuc vo H(+) = + hoc H(+) < + Trong trng hp cui, ta cú R(+) = Footer Page 10 of 258 F (+) hoc H(+) = F (+) F (+) (1.24) Header Page 130 of 258 4.4 Cỏc mụ hỡnh khuych tỏn cho lý thuyt ri ro v xỏc sut phỏ sn 4.4.2 124 Mụ hỡnh ri ro ALM õy l mụ hỡnh thng dựng c lng ti sn n v ti sn cú ca ngõn hng hoc cụng ty bo him s dng quỏ trỡnh ngu nhiờn cho c hai thnh phn ca bng tng kt ti sn iu ny cho ta cỏc mụ hỡnh hu ớch c s dng c lý thuyt v thc t ca s qun lớ ti sn n v ti sn cú (gi tt l ALM (Janssen (1991), (1993))) Bõy gi ta s trỡnh by túm tt kiu mụ hỡnh ny cho cụng ty bo him Ta t A = (A(t), t 0), B = (B(t), t 0) (4.103) l quỏ trỡnh ngu nhiờn liờn tc ca ti sn v trỏch nhim vi gi thit l chỳng tha h vi phõn ngu nhiờn n gin dA(t) = àA dt + A dWA (t), dB(t) = àB dt + B dWB (t), A(0) = u, B(0) = (4.104) ú: i) àA ,àB ,A ,B ,u u dng ii) WA = (WA (t), t 0),WB = (WB (t), t 0) l hai chuyn ng Brown chun c lp Vn vi phõn ngu nhiờn 4.104 cú cỏch nghim l: A(t) = u + àA t + A WA (t) B(t) = àB t + B WB (t) (4.105) Nh trờn, ta cng cú: (u, t) = P (T t|A(0) = u) (u) = P (T |A(0) = u) = lim (u, t) (4.106) t T 4.105 ta cú th vit: A(t) B(t) = u + àA t + A WA (t) àB t B WB (t) (4.107) (AWA (t) BWB (t), t 0) (4.108) Gi thit c lp gia hai quỏ trỡnh Brown ch rng quỏ trỡnh tng ng xỏc sut vi quỏ trỡnh A2 + B2 W (t),t (4.109) ú quỏ trỡnh W l mt chuyn ng Brown chun Bõy gi ta nh ngha hai tham s mi nh sau: (4.110) = àA àB , = A2 + B2 ú theo h thc 4.107 ta cú: Footer Page 130 of 258 A(t) B(t) = àt + W (t) (4.111) Header Page 131 of 258 4.5 Mụ hỡnh ri ro Bỏn Markov 125 Nh vy ta thy rng vi s thay i ca cỏc tham s 4.110 , quỏ trỡnh (A B)c mụ hỡnh húa chớnh xỏc nh l mụ hỡnh ri ro khuych tỏn n gin c cho bi h thc 4.99 Vỡ vy, tt c cỏc kt qu ca phn 4.97 u cú giỏ tr cho mụ hỡnh ALM , riờng cỏc kt qu 4.101, 4.102 c cho õy l: (u, t) = u(àA àB )t (A2 + B2 )t 2à 2 u + e (A +B ) (u) = lim (u, t) = t e àA àB + A B u u + (àA àB )t (4.112) nu àA > àB nu àA < àB (4.113) (A2 + B2 )t Chỳ ý 4.1 a) Vi mụ hỡnh ri ro ALM, nh qun lớ linh hot hn vic xỏc nh nh hng ca vic thay i chin lc ú l cú bn tham s, hai s ú l àA , A ch dựng cho phn ti sn n v hai tham s cũn li àB , B dựng cho phn ti sn cú b) Vi mụ hỡnh ri ro ALM, tham s c bn R tr thnh R=2 4.5 àA àB A2 + B2 (4.114) Mụ hỡnh ri ro Bỏn Markov Trong phn ny, ta trỡnh by mụ hỡnh ri ro bỏn-Markov thun nht (gi tt l SMRM) Mụ hỡnh ny u tiờn c gii thiu bi Miller v c phỏt trin y bi Janssen, sau ú cng cú nhiu tỏc gi khỏc nghiờn cu 4.5.1 Mụ hỡnh ri ro bỏn Markov (hay SMRM) T phn ca chng ny, ta bit bt kỡ mụ hỡnh ri ro no cng da trờn ba quỏ trỡnh c bn: i) Quỏ trỡnh yờu cu bi thng bo him ii) Quỏ trỡnh v lng tin bi thng bo him iii) Quỏ trỡnh v thu nhp ca cụng ty bo him Nhỡn chung, hai quỏ trỡnh u tiờn l hai quỏ trỡnh ngu nhiờn v quỏ trỡnh th ba l tt nh Cỏc quỏ trỡnh ny c xỏc nh trờn khụng gian xỏc sut y (, , P ) 4.5.2 Mụ hỡnh ri ro bỏn Markov tng quỏt (hay GSMRM) Trong mụ hỡnh ri ro bỏn Markov, m l cỏc kiu yờu cu bi thng bo him cú th cú v thuc hp: I = {1, , m} (4.115) hp ny c xem nh tham s mụi trng v nú cú nh hng n c hai ba quỏ trỡnh c bn ó nờu trờn Footer Page 131 of 258 Header Page 132 of 258 4.5 Mụ hỡnh ri ro Bỏn Markov 126 t (Xn , n 1) , (Yn , n 1) tng ng vi dóy s ln n gia hai yờu cu bi thng bo him v dóy s lng tin bi thng bo him liờn tip Quỏ trỡnh (Jn , n 1) s mụ t cỏc kiu ca cỏc yờu cu bi thng liờn tip hoc cỏc trng thỏi mụi trng Gi thit c bn cú mt SMRM l: P (Jn = j, Xn x, Yn y|(Jk , Xk , Yk ), k = 1, , n 1) = QJni j (x, y) vi (4.116) (4.117) J0 = j0 , X0 = Y0 = Gi thit ny cú ngha l quỏ trỡnh ba chiu ((Jn , X, Yn ), n 0) c gi l quỏ trỡnh (J-X) hai chiu ca nhõn Q, cú cỏc tớnh cht sau: (i) Tt c cỏc phn t Qij ca Q l cỏc hm hai chiu, vi x bng v y õm (ii) Tn ti cỏc gii hn sau: lim x,y Qij (x, y) = pij ,i, j I, n j=1 (4.118) pij = 1,i I Mi ma trn Q c gi l mt nhõn bỏn Markov hai chiu v quỏ trỡnh (J-X-Y) tng ng vi mt quỏ trỡnh (J-X) hai chiu hoc xớch bỏn Markov hai chiu T vic m rng trc tip cỏc kt qu ca phn 3.2, chng ta cú kt lun sau: (i) Quỏ trỡnh cỏc yờu cu bi thng liờn tip (Jn , n 0) l mt quỏ trỡnh xớch Markov thun nht vi khụng gian trng I v P = [pij ] l ma trn chuyn (ii) Cỏc quỏ trỡnh ((Jn , Xn ), n 0), ((Jn , Yn ), n 0) l hai quỏ trỡnh bỏn Markov ca nhõn A Q,B Q, vi mi i v j thuc I: A (4.119) Qij (x) = Qij (x, +),B Qij (y) = Qij (+, y) (iii) Cho bin ngu nhiờn Jn , n 0, bin ngu nhiờn hai chiu (Xn , Yn ), n l c lp cú iu kin v ta cú: Fij (x, y) = P (Xn x, Yn y|J0, , Jn2 , Jn1 = i, Jn = j) = Qij (x, y)/pij U1 (x)U1 (y) nu pij > nu pij = (4.120) (iv) Tớnh cht cui cho ta bin ngu nhiờn Jn , n v (Xn , n 1) ph thuc vo iu kin v tng t cho bin ngu nhiờn (Yn , n 1) Hn na: A B Fij (x) = P (Xn x, |J0 , , Jn2 , Jn1 = i, Jn = j) = Fij (x, +) , Fij (x) = P (Yn y, |J0 , , Jn2 , Jn1 = i, Jn = j) = Fij (+, y) (4.121) B qua h thc iu kin i vi Jn , ta cú: Hi (x, y) = P (Xn x, Yn x|J0 , , Jn2 , Jn1 = i) = A B pij Fij (x, y) j Hi (x) = P (Xn x, |J0 , , Jn2 , Jn1 = i) = Hi (x, +), Hi (y) = P (Yn y, |J0 , , Jn2 , Jn1 = i) = Hi (+, y) Footer Page 132 of 258 (4.122) Header Page 133 of 258 4.5 Mụ hỡnh ri ro Bỏn Markov 127 Bõy gi, ta trỡnh by cỏc giỏ tr trung bỡnh kt hp vi hm phõn phi cú iu kin khỏc c nh ngha trờn v ta tha nhn ký hiu sau: xdA Fij (x), bij = aij = 0 m A ydB Fij (y), i = B pij aij xd Hi (x) = m A B , j = pij bij yd Hi (y) = j=1 (4.123) j=1 Trc ht, ta xột quỏ trỡnh (Tn , n 1), T0 = c nh ngha (4.124) n Tn = k=1 (4.125) Xk ,n l thi im n ca cỏc yờu cu bi thng bo him liờn tip Tip theo l quỏ trỡnh (Un, n 1) , U0 = c nh ngha (4.126) n Un = k=1 (4.127) Yk ,n l tng lng tin bi thng liờn tip ch sau cỏc yờu cu bi thng bo him Vi phõn phi ng thi ca quỏ trỡnh (Jn , Tn , Un , n 0), ta cú: (n) P (Jn = j, Tn t, Un y|J0 = i) = Qij (x, y), (0) Qij (x, y) = ij U0 (x)U0 (y), (1) Qij (x, y) = Qij (x, y) (n) Qij (x, y) = x y (4.128) n k=1 (n1) Qij (x x , y y )Q(dx , dy ), n > Hin nhiờn, vi quỏ trỡnh ((Jn , Tn ), n 0), ((Jn , Un ), n 0), c hai u l quỏ trỡnh tỏi to Markov (MRP), ta cú: (n) P (Jn = j, Tn t |J0 = i ) =A Qij (t), (n) P (Jn = j, Un y |J0 = i) =B Qij (y) (4.129) Chỳ ý 4.2 Tng t cỏc nh ngha c bn ca quỏ trỡnh bỏn Markov ó nờu phn 3.2 (nh ngha 3.1) chng 3, quỏ trỡnh ba chiu ((Jn , Tn , Un ), n 0) c gi l quỏ trỡnh tỏi to Markov (MRP) hai chiu ca nhõn Q Nu Q l ma trn bỏn Markov m rng hai chiu thỡ quỏ trỡnh ny c gi l bc tỏi to Markov (MRW) hai chiu hoc xớch bỏn Markov (SMC) m rng Ta kt thỳc mc ny vi nh ngha sau Footer Page 133 of 258 Header Page 134 of 258 4.5 Mụ hỡnh ri ro Bỏn Markov 128 nh ngha 4.4 Cỏc dóy (Xn , n 1) , (Yn , n 1) c lp cú iu kin vi dóy (Jn , n 1) cho trc v ch Fij (x, y)=A Fij (x)B Fij (y), x, y R, i, j I (4.130) T cỏc kt lun trờn phn ph ny, ta cú: 4.130 Qij (x, y)=A Fij (x)B Qij (y) Qij (x, y)=A Qij (x)B Fij (y) Qij (x, y) = pij A Fij (x)B Fij (y) (4.131) Gi thit ny phự hp vi lý thuyt ri ro v hn th na, nú c s dng xột trng hp c bit sau: A B Fij (x)=A Fj (x), i, j I,x 0, Fij (y)=B Fj (y), i, j I,y (4.132) Dng u tiờn ca iu kin 4.132 cú ngha l hm phõn phi ca thi gian n gia hai yờu cu bi thng bo him liờn tip ph thuc nht vo kiu yờu cu bi thng bo him tng lai v dng th hai l hm phõn phi ca lng tin bi thng bo him, nú ch ph thuc nht vo kiu ca yờu cu bi thng bo him ny v khụng ph thuc vo dng trc ú 4.5.3 Quỏ trỡnh m s yờu cu bi thng Vn s dng cỏc ký hiu v khỏi nim mc 3.5 ca chng 3, ta trỡnh by quỏ trỡnh m m + kt hp vi quỏ trỡnh bỏn Markov (SMP) ca yờu cu bi thng bo him nhõn A Q: A Nj (t), t , j = 1, , m, A N(t), t (4.133) vỡ vy, õy A Nj (t) l tng s yờu cu bi thng bo him loi j xy (0, t] v N(t) l tng s yờu cu bi thng bo him (0, t] T õy, ta gi s rng quỏ trỡnh tỏi to Markov (MRP) ca nhõn A Q l ergodic vi = (1 , , m ) l phõn phi dng nht liờn quan n P Vi Rij (t) = E A Nj (t) |J0 = i , t cỏc h thc 3.53, 3.76 v 3.79 chng ta cú A A Rij (t) = n=0 (n) Qij (t), i, j I, Rij (t) = A , i, j I, t t àjj A k A k , j I àjj = j k lim (4.134) T bõy gi tr i ta s gim m A cho cỏc bin m liờn quan n yờu cu bi thng bo him Vi phõn phi ng thi N(t), JN (t) , TN (t) , ỏp dng tớnh cht bỏn Markov ta Footer Page 134 of 258 Header Page 135 of 258 4.5 Mụ hỡnh ri ro Bỏn Markov 129 cú: P N(t) = n, JN (t) = j, TN (t) t h |J0 = i = P (N(t) = n, Jn = j, Tn t h |J0 = i) , h t = P (Tn t < Tn+1 , Jn = j, Tn t h |J0 = i) = P (Tn t h, Tn+1 > t, Jn = j |J0 = i) th (4.135) (n) (1A Hj (t z))dA Qij (z) = Vi h = 0, ta c: t P N(t) = n, JN (t) = j |J0 = i = (n) (1A Hj (t z))dA Qij (z) (4.136) hn na, ly tng theo j ta c: m P (N(t) = n |J0 = i) = t j=1 m (n) Qij (t) j=1 m A = j=1 t m m A = (n) (1A Hj (t z))dA Qij (z) A (n) Qij (t) k=1 j=1 m A (n+1) Qij (n) Qjk (t z))dA Qij (z) (4.137) (t) k=1 p dng cỏc cụng thc sau: A Pij (t, n) = P N(t) = n, JN (t) = j |J0 = i , A Pi (t, n) = P (N(t) = n, |J0 = i) = m A Pij (t, n) , (4.138) j=1 t h thc 4.137 ta c cỏc cụng thc hi quy sau: m A A A Pij (t, n) = Pi (t, n) = k=1 m A k=1 Pkj (t, n 1)A Qik (t), (4.139) Pk (t, n 1)A Qik (t), hin nhiờn: Pij (t, 0) = ij (1A Hi (t)), (4.140) Pi (t, 0) = 1A Hi (t) Nu ta ch quan tõm n mt loi yờu cu bi thng bo him gi l j thỡ nú tha xột quỏ trỡnh tỏi to dng c c trng bi A Gij ,A Gjj , ta cú: P (Nj (t) = n |J0 = i ) = Footer Page 135 of 258 1A Gij (t) (n1) (n1) A Gij A Gjj A Gjj (t) nu n = nu n (4.141) Header Page 136 of 258 4.5 Mụ hỡnh ri ro Bỏn Markov 130 Vi cỏc giỏ tr trung bỡnh A Hij (t) = E (Nj (t) |J0 = i), cỏc kt qu 2.7 v 1.16 chng cho ta: Hij (t) = Gij (t) + Gij Hjj (t), i = j, (4.142) (n) Hjj (t) Hjj (t) = n=1 Cui cựng, mnh 1.19 chng a tớnh chun tc tim cn: t tj2 , àjj à3jj Nj (t) N (4.143) àjj , j2 tng ng vi giỏ tr trung bỡnh v phng sai ca bin ngu nhiờn A Tn (j |j ) c nh ngha mc 3.6, chng c xem l hu hn 4.5.4 Quỏ trỡnh tin bo him tớch ly õy l quỏ trỡnh (U(t),t 0) ú: N (t) U(t) = (4.144) Yn (= UN (t) ) n=1 Ta bit rng phõn phi l ca U(t), vi t c nh , rt quan trng i vi cỏc cụng ty bo him, vớ d xem mt nm l n v thi gian, giỏ tr U(1) l tng phớ tn m cụng ty phi chi bi thng bo him vo nm t Ta cú hm phõn phi l sau: (4.145) Mij (t, y) = P U(t) y, JN (t) = j |J0 = i vỡ vy Mij (t, y) = P U(t) y, JN (t) = j |J0 = i , t Mij (t, y) = n=0 (n) (1A Hj (t z))dQij (z, y), (4.146) (n) Mij (t, y) = n=0 Qij (z, y) (1A Hj (t z)), ú tớch chp ch tỏc ng vo bin thi gian Trong trng hp c lp cú iu kin, kt qu cui cựng tr thnh: t Mij (t, y) = n=0 (pij A Fij (z)) Mij (t, y) = n=0 (n) (1A Hj (t z))d(pij A Fij (z)B Fij (y)) (n) B (n) ( Fij (y)) , (1A Hj (t z)) (4.147) Chỳ ý rng vi m = 1, cụng thc cui ny cho ta kt qu 4.19 mụ hỡnh ri ro ca Anderson Footer Page 136 of 258 Header Page 137 of 258 4.5 Mụ hỡnh ri ro Bỏn Markov 4.5.5 131 Quỏ trỡnh tin úng bo him Ta ỏp dng phộp xp x nh phn 4.2.2 T 4.143 ta bit rng A lim t Hij (t) = t j m k k , i, j I, (4.148) k=1 v theo ú, vi t ln thỡ: E (Nj (t) |J0 = i) ti m k k , i, j I, (4.149) k=1 v vỡ vy, giỏ tr trung bỡnh lng tin ca Nj (t) yờu cu bi thng bo him loi j trờn (0, t] xp x l B j t, (4.150) k k k cui cựng ta cú: j B j E UN (t) |J0 = i j k A k (4.151) k H thc cui ch rng, vi bt kỡ trng thỏi ban u, tng giỏ tr trung bỡnh ca lng tin bi thng bo him nhiu hn hoc ớt hn ct vi j B j c j k B k (4.152) k Theo ú, nu ta ly giỏ tr c ny nh mt mc phớ bo him c nh trờn mt n v thi gian thỡ ta cú trũ chi cụng bng tim cn gia cụng ty bo him v ngi mua bo him Ta s ch rng, giỏ tr ca mc phớ bo him ny ch ph thuc vo s lng trung bỡnh ca cỏc yờu cu bi thng bo him, lng tin bi thng bo him v phõn phi dng ca xớch Markov c nhỳng ca yờu cu bi thng bo him liờn tip Tt c c tớnh toỏn d dng vi d liu thng kờ ca cỏc yờu cu bi thng bo him c kho sỏt 4.5.6 Quỏ trỡnh ri ro v ri ro ca d tr nh ngha 4.20 v 4.21 cú giỏ tr cho mụ hỡnh ri ro bỏn Markov quỏ trỡnh ri ro c xỏc nh bi (U(t) ct, t 0) v quỏ trỡnh ri ro ca d tr c xỏc nh bi = ((t), t 0) vi (t) = u + U(t) ct ú u l d tr ban u thng l hoc l ti sn c nh ca cụng ty cú mc phớ bo him an ton: c = (1 + ) c Footer Page 137 of 258 (4.153) Header Page 138 of 258 4.6 Xỏc sut phỏ sn ca mụ hỡnh ri ro bỏn-Markov tng quỏt 4.5.7 132 Mụ hỡnh ri ro bỏn-Markov dng S dng kt qu mc 3.10 chng 3, mụ hỡnh ri ro bỏn Markov (SMRM) xy trng thỏi dng nu (J0 , X1 ) cú phõn phi ban u nh sau: i A i , k A k P (J0 = i) = k pij P (X1 x, J1 = j |J0 = i ) = A i vỡ vy (1A Fij (z)dz, i (4.154) x i pij P (X1 x, J1 = j) = x (1A Fij (z)dz k A k (4.155) k Ta bit quỏ trỡnh JN (t) , JN (t)+1 , TN (t)+1 t , t dng khi: j pjk j A i P JN (t) = j, JN (t)+1 = k, TN (t)+1 t x = i x 1A Fjk (z)dz (4.156) Tin lói ca mụ hỡnh trng thỏi dng lý thuyt ri ro c in (vi m = 1) c nghiờn cu bi Thorin (1975) 4.6 4.6.1 Xỏc sut phỏ sn ca mụ hỡnh ri ro bỏn-Markov tng quỏt Xỏc sut phỏ sn v khụng phỏ sn p dng 4.22 vi tui th T ca cụng ty T = inf {t : (t) < 0} , (4.157) ta bit rng bin c phỏ sn xy trc hoc vo thi im t v ch T t v hin nhiờn bin c bự ca nú l khụng phỏ sn v ch T > t Bõy gi ta phi nhp vo cỏc loi yờu cu bi thng v ta s s dng cỏc cụng thc sau cho xỏc sut khụng phỏ sn v xỏc sut phỏ sn nht thi Ngha l trờn khong thi gian horizon hu hn [0, t], ij (u, t) = P (T > t, Z(t) = j |Z(0) = i ) , ij (u, t) = P (T t, Z(t) = j |Z(0) = i) (= ij (u, t)) (4.158) Xỏc sut tim cn khụng phỏ sn v phỏ sn khong thi gian horizon hu hn c nh ngha: ij (u) = P (T = , Z(t) = j |Z(0) = i) = lim ij (u, t), t ij (u) = P (T < , Z(t) = j |Z(0) = i) = lim ij (u, t) (= ij (u)) t Ta cú cỏc kt qu sau: Footer Page 138 of 258 (4.159) Header Page 139 of 258 4.6 Xỏc sut phỏ sn ca mụ hỡnh ri ro bỏn-Markov tng quỏt 133 (i) Vi mi t c nh, i, j I,ij (u, t) tng n u v ij (u, t) gim (ii) Vi mi u c nh, i, j I,ij (u, t) gim xung t v ij (u, t)tng (iii) u, t, i, j I : ij (u, t) ij (u), ij (u, t) ij (u) (4.160) Mt nhng quan trng ca lý thuyt ri ro l ti u húa tham s an ton nh vy, xỏc sut phỏ sn, nht thi hoc tim cn, ln hn vi c nh dng, õy l mt tng ng vi s xỏc nh ti u ca kh nng toỏn l Cng nh bỡnh thng, nu ta khụng quan tõm n giỏ tr ca Z(t) thỡ ta cú cỏc xỏc sut phỏ sn sau: m m ij (u, t),i (u) = i (u, t) = j=1 m ij (u), j=1 m i (u, t) = ij (u) ij (u, t),i (u) = j=1 (4.161) j=1 Hn na, nu ta bt u vi l phõn phi ban u ca J0 thỡ ta nh ngha bn xỏc sut phỏ sn v khụng phỏ sn cui nh sau: m m (u, t) = i i (u, t), (u) = i=1 m (u, t) = i i (u), i=1 m i i (u, t), (u) = i=1 i i (u) (4.162) i=1 Vi mụ hỡnh trng thỏi dng, ta trỡnh by xỏc sut phỏ sn v khụng phỏ sn cui cựng nh sau: s k k j (u) = k m s s (u) = j=1 4.6.2 l l u+ct A Fll (t) dt l j (u + ct y) dB Fll (y), j (u), s (u) = s (u) (4.163) S thay i mc phớ bo him Ta bt u vi mụ hỡnh ri ro bỏn-Markov tng quỏt ca nhõn Q = [Qij (., )] v vi c l mc phớ bo him trờn mt n v thi gian Khụng mt tớnh tng quỏt, ta xột mụ hỡnh ri ro bỏn-Markov vi c = Thc vy, ta xột cỏc bin ngu nhiờn mi sau: X0 = X0 ,Xn = cXn ,n (4.164) Nhõn bỏn-Markov Q ca quỏ trỡnh Jn , Xn , Yn , n c cho bi: QJn1 j (x, y) = P Jn = j, Xn x, Yn y| Jk , Xk , Yk , ,k = 1, , n , x QJn1 j (x, y) = QJn1 j ,y (4.165) c Footer Page 139 of 258 Header Page 140 of 258 4.6 Xỏc sut phỏ sn ca mụ hỡnh ri ro bỏn-Markov tng quỏt 134 Xột mụ hỡnh ri ro bỏn-Markov vi nhõn Q , ta cú: pij = pij ,aij = caij ,bij = bij ,i, j I vỡ th A v vi h thc 4.134 theo h thc 4.10 v 4.152 (4.166) i = cA i , B i = cB i ,i I, (4.167) àjj = càjj , j I, (4.168) c = c i B i i i A i c = c (4.169) i a h s an ton vo, theo h thc 4.153, ta bit rng giỏ tr c c cho bi: hoc vi 4.169 v 4.153: c = (1 + ) c (4.170) c c = (1 + ) = c (4.171) Nh h thc cui ny h s an ton dng, ng thc cui cho ta t l c/c nh hn v vỡ vy theo h thc 4.169 v 4.167 iu kin cú h s an ton dng cho quỏ trỡnh Jn , Xn , Yn , n l: i B i i < (4.172) i A i i 4.6.3 Gii phỏp tng quỏt cho tim cn xỏc sut ri ro ca mụ hỡnh ri ro bỏn-Markov tng quỏt T kt qu ca phn ph cui, ta xột mụ hỡnh ri ro bỏn-Markov nhõn Q = [Qij (., )] vi c = v trung vo quỏ trỡnh ((Jn , Yn Xn ), n 0) ; (4.173) Rừ rng quỏ trỡnh ny c xem nh mt bc ri ro bỏn Markov (SMRW) ca nhõn bỏn-Markov r Q c cho bi r Qij (z) Qij (d, d) (4.174) {(,):z} Trong trng hp c bit c lp cú iu kin, ta ly: + r B Qij (z) = pij Footer Page 140 of 258 Fij (z + )dA Fij () (4.175) Header Page 141 of 258 4.6 Xỏc sut phỏ sn ca mụ hỡnh ri ro bỏn-Markov tng quỏt 135 Ta bit rng v trớ ti giai on n ca bc ri ro bỏn Markov c cho bi tng riờng (Sn , n 0) liờn quan n dóy ngu nhiờn ((Yn Xn , n 0) v a bin ngu nhiờn M c nh ngha bi h thc 3.187 chng 3, ú l M = sup {S0 , S1 , , Sn , }, vi: ij (u) = P M u, lim Jn = j |J0 = i , u 0, i, j I, n (4.176) v t ú bin c khụng phỏ sn trờn [0, ) kộo theo khụng phỏ sn ti thi im yờu cu bi thng bo him u tiờn, ta cú: u ij (u) = k 0,u < 0, kj (u z)dr Qik (z),u > , i, j I (4.177) 0,u < 0, k (u z)dr Qik (z),u > 0, i, I (4.178) b qua j, ta c: i (u) = k u ú l h Wiener-Hopf ca cỏc phng trỡnh tớch phõn v nh vy i (u) = P (M u, |J0 = i) , u 0, i I (4.179) nh h thc 3.192 chng Bõy gi ta xột h 4.178 vi giỏ tr u khụng õm, t kt qu Jenssen (1970) c cp phn 3.16 ca chng 3, h ny cú nghim P nht v ch k r k < (4.180) k Vỡ vy, nu iu kin khụng thỡ bc ri ro bỏn Markov ((Jn , Sn ), n 0) s tin n + v s phỏ sn trờn [0, ) l mt bin c tt yu bt chp J0 , trng hp ny: i (u) = 0,u 0,i I (4.181) k =B k A k , k I, (4.182) Nh r iu kin 4.178 tng ng vi k k B k A k < (4.183) iu ny tng ng vi iu kin 4.172 gi s luụn c tha v tng ng vi s gia tng h s an ton dng phỏ hy trũ chi cụng bng tim cn, ngha l cú li cho cụng ty bo him, khụng cú s gia tng ny s phỏ sn thi gian horizon vụ hn l tt yu p dng nh lớ nht ca Jenssen (1970), ta cú h thc sau õy l ỳng: ij (u) = j i (u),i, j I,u Footer Page 141 of 258 (4.184) Header Page 142 of 258 4.6 Xỏc sut phỏ sn ca mụ hỡnh ri ro bỏn-Markov tng quỏt 136 nh lý 4.5 Vi mụ hỡnh ri ro bỏn-Markov ergodic, vi mi trng thỏi ban u i s phỏ sn thi gian horizon vụ hn xy nu iu kin 4.172 khụng tha Ngc li, nu iu kin c tha thỡ vi mi trng thỏi i: + + ij (u) = j i (u),i, j I,u R, (4.185) + + ij (u) = U0 (u)ij (u), i (u) = i (u), i, j I, u R (4.186) vi v theo 4.176 u + i (u) = k r + k (u z)d Qik (z),u R,i, I (4.187) Ta lu ý rng s chuyn n hm + ij ó c thc hin vỡ ta ch quan tõm n xỏc sut khụng phỏ sn cho lng d tr u dng, dự cỏc xỏc sut ny cú th khụng nht thit bng vi u õm Hin nhiờn, vi mụ hỡnh ri ro bỏn-Markov tng quỏt, xp x s rt quan trng Chỳ ý 4.3 Ta bit rng vi m = 1, mụ hỡnh ri ro bỏn Markov tng quỏt (GSMRM) a ta tr li mụ hỡnh G/G Vỡ vy, vi trng hp ny, h 4.187 tr thnh: u + (u) = + (u z)dr Q(z),u R, + r Q(z) = B( + u)dA() Footer Page 142 of 258 (4.188) Header Page 143 of 258 Kt lun Trong lun ny tụi nghiờn cu v bỏn Markov v ng dng ca nú bo him Trong ú, tụi trỡnh by lý thuyt v quỏ trỡnh tỏi to, quỏ trỡnh xớch Markov, quỏ trỡnh trng thỏi bỏn Markov v cỏc bc ngu nhiờn Markov lm c s xõy dng mụ hỡnh ri ro bỏn Markov bo him Sau ú tụi a mt vi mụ hỡnh ri ro c in bo him nh: + Mụ hỡnh ri ro E.S Anderson + Mụ hỡnh ri ro Cramer Lundberg (P/G) Mụ hỡnh khuych tỏn cho lý thuyt ri ro v xỏc sut phỏ sn: + Mụ hỡnh ri ro khuych tỏn n gin + Mụ hỡnh ri ro qun lý ti sn v Cui cựng tụi ng dng quỏ trỡnh bỏn Markov vo mụ hỡnh ri ro bo him Footer Page 143 of 258 Header Page 144 of 258 Ti liu tham kho [1] Jacques Janssen Raimondo Manca (2006) Applied Semi-Markov Process Springer Publication [2] Black Well D (1948) A renewal theorem Duke Math J 15 145-150 [3] Baker C.T.H (1977) The Numerical Treatment of Integral Equations Clarendon Press, New York [4] Christofidies N (1975) Graph theory An algorithmic approach Academic Press, New York-London [5] Chung K L (1960) Markov chain with stationary transition probabilities Springer Publication [6] Daley, D J (1965) On a class of renewal functions Proc Cambridge Philos Soc 61 519-526 [7] De Dominicis R., manca R (1984b), A computational procedure for the asymptotic analysis of a homogeneous semimarkov process Statistics & Probability letters 2, 249-253 [8] E B Dynkin The theory of Markov Process Dover Publication, Inc Mineola, Newyork [9] Feller W., (1957) An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Volume I Second Edition, Wiley, New York XV, 461 [10] Janssen J., R Manca, (2001b, 1969b) Non-homogeneous semi-Markov reward process for the management of health insurance models.Proccedings ASTIN Washington B174 [11] Parzen, E., (1962) Stochastic processes Holden-Day Series in Probability and Statistics Holden-Day, Inc., San Fancisco [12] Spitzer F (1957) The wiener-Hopf equation whose kernel is a probability density Duke Math J 24, 327-343 [13] S P Meyn and R L Tweedie (1999) Markov Chains and Stochastic Stability Beijing World Publishing Corporation [14] Smith, W.L., (1954) Asymptotic renewal theorems.Proc Roy Soc Edinburgh Sect A64 948 [15] Nguyn Duy Tin - V Vit Yờn., (2000) Lý Thuyt Xỏc Sut Nh xut bn giỏo dc Footer Page 144 of 258 ... 4.5.5 Quá trình tiền đóng bảo hiểm 4.5.6 Quá trình rủi ro rủi ro vốn dự trữ 4.5.7 Mô hình rủi ro bán- Markov dừng 4.6 Xác suất phá sản mô hình rủi ro bán- Markov. .. 4.5.1 Mô hình rủi ro bán Markov (hay SMRM) 4.5.2 Mô hình rủi ro bán Markov tổng quát (hay GSMRM) 4.5.3 Quá trình đếm số yêu cầu bồi thường 4.5.4 Quá trình tiền bảo hiểm. .. nhiên bán Markov 3.16 Phân phối cận cho bước ngẫu nhiên bán Markov Các Mô Hình Rủi Ro Trong Bảo Hiểm 4.1 Mô hình ngẫu nhiên cổ điển cho lý thuyết rủi ro 4.2 Mô hình rủi