Header Page of 148 VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ Lê Thị Hà PHÂN TÍCH KẾT CẤU DẦM FGM CÓ MẶT CẮT NGANG THAY ĐỔI DƯỚI TÁC DỤNG CỦA TẢI TRỌNG DI ĐỘNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ KỸ THUẬT Hà Nội - 2016 Footer Page of 148 Header Page of 148 VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ Lê Thị Hà PHÂN TÍCH KẾT CẤU DẦM FGM CÓ MẶT CẮT NGANG THAY ĐỔI DƯỚI TÁC DỤNG CỦA TẢI TRỌNG DI ĐỘNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ KỸ THUẬT Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật Mã số: 62 52 01 01 Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Đình Kiên Footer Page of 148 Hà Nội - 2016 Header Page of 148 LỜI CẢM ƠN Luận án thực hoàn thành hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Đình Kiên, người tận tình, tận tâm giúp đỡ trình nghiên cứu Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Tôi xin cảm ơn đến GS Buntara Sthenly Gan NCS Trịnh Thanh Hương Đại học Nihon Nhật Bản giúp đỡ trình học tập nghiên cứu Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Ban Chủ nhiệm khoa Khoa học Cơ bản, Chủ nhiệm môn Cơ lý thuyết đồng nghiệp môn Cơ lý thuyết- Trường Đại học Giao thông Vận tải động viên, khuyến khích tạo điều kiện cho hoàn thành luận án Tôi xin chân thành cảm ơn tới Khoa Đào tạo sau đại học, Phòng Cơ học vật rắn - Viện Cơ học bạn nhóm sermina thầy Kiên giúp đỡ, chia sẻ kinh nghiệm, tạo điều kiện thuận lợi cho qúa trình làm luận án Cuối xin bày tỏ biết ơn sâu sắc đến gia đình động viên ủng hộ qúa trình làm luận án Nghiên cứu sinh Lê Thị Hà Footer Page of 148 i Header Page of 148 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng Các số liệu kết trình bày luận án trung thực chưa công bố công trình khác Nghiên cứu sinh Lê Thị Hà Footer Page of 148 ii Header Page of 148 Mục lục Lời cảm ơn i Lời cam đoan ii Danh mục ký hiệu chữ viết tắt vi Danh sách hình vẽ ix Danh sách bảng xii Mở đầu Chương Tổng quan 1.1 Vật liệu có tính biến thiên 1.2 Các nghiên cứu dầm FGM 1.3 Kết cấu FGM chịu tải trọng di động 14 1.4 Tình hình nghiên cứu nước 16 1.5 Mục tiêu luận án 17 Chương Mô hình dầm FGM 20 2.1 Tính chất vật liệu FGM 20 2.1.1 Dầm có tính biến đổi theo chiều cao 20 2.1.2 Dầm có tính biến đổi dọc 21 2.1.3 Mặt trung hòa 21 2.2 Dầm FGM có mặt cắt ngang thay đổi chịu lực di động 23 2.3 Năng lượng dầm FGM 24 2.3.1 Năng lượng biến dạng đàn hồi 24 2.3.2 Động 29 2.3.3 Thế lực di động 30 2.4 Phương trình chuyển động 31 2.4.1 Vật liệu có tính biến đổi theo chiều cao 32 Footer Page of 148 iii iv Header Page of 148 2.4.2 Vật liệu có tính biến đổi dọc 34 2.5 Giả thiết Euler-Bernoulli 36 2.5.1 Các biểu thức lượng 36 2.5.2 Phương trình chuyển động 37 2.6 Kết luận chương 38 Chương Mô hình phần tử hữu hạn thuật toán số 40 3.1 Chuyển vị nút hàm dạng 40 3.1.1 Hàm dạng cho dầm Timoshenko 42 3.1.2 Đa thức dạng Kosmatka 47 3.2 Ma trận độ cứng 48 3.2.1 Dầm có tính biến đổi theo chiều cao 48 3.2.2 Dầm có tính biến đổi dọc 49 3.3 Ma trận khối lượng 50 3.3.1 Dầm có tính biến đổi theo chiều cao 50 3.3.2 Dầm có tính biến đổi dọc 51 3.4 Lý thuyết dầm Euler-Bernoulli 52 3.4.1 Hàm dạng cho dầm Bernoulli 52 3.4.2 Ma trận độ cứng 55 3.4.3 Ma trận khối lượng 57 3.5 Vec-tơ lực nút 58 3.6 Phương trình phần tử hữu hạn 59 3.7 Thuật toán số 60 3.7.1 Họ phương pháp Newmark 60 3.7.2 Phương pháp gia tốc trung bình 62 3.7.3 Vấn đề mặt cắt ngang thay đổi 63 3.7.4 Thuật toán cho vec-tơ lực nút 65 3.8 Quy trình tính toán 66 3.9 Kết luận chương 66 Chương Kết số thảo luận 4.1 Tham số hình học vật liệu Footer Page of 148 69 69 v Header Page of 148 4.2 Kiểm nghiệm phần tử chương trình số 70 4.2.1 Tần số dao động riêng 70 4.2.2 Đáp ứng động lực học 76 4.3 Dầm có tính biến đổi theo chiều cao 78 4.3.1 Tần số dao động riêng 79 4.3.2 Ảnh hưởng tham số vật liệu 79 4.3.3 Ảnh hưởng tham số lực di động 83 4.3.4 Ảnh hưởng dạng mặt cắt ngang 86 4.3.5 Ảnh hưởng tăng giảm tốc 88 4.4 Dầm có tính biến đổi dọc 92 4.4.1 Tần số dao động riêng 93 4.4.2 Ảnh hưởng tham số vật liệu 94 4.4.3 Ảnh hưởng tham số lực di động 96 4.4.4 Ảnh hưởng dạng mặt cắt ngang 97 4.5 Dầm liên tục 98 4.5.1 Tần số dao động riêng 99 4.5.2 Ảnh hưởng tham số vật liệu 101 4.5.3 Ảnh hưởng tham số lực di động 103 4.5.4 Ảnh hưởng tham số dầm 105 4.5.5 Ảnh hưởng tăng giảm tốc 106 4.6 Ảnh hưởng vị trí mặt trung hòa 108 4.7 Kết luận chương 109 Kết luận 111 Những đóng luận án 115 Công trình công bố tác giả 116 Tài liệu tham khảo 118 Phụ lục 132 Footer Page of 148 vi Header Page of 148 Danh mục ký hiệu chữ viết tắt Các ký hiệu thông thường a Gia tốc lực di động A Diện tích mặt cắt ngang A0 Diện tích mặt cắt ngang dầm A11 Độ cứng dọc trục A12 Độ cứng tương hỗ kéo-uốn A22 Độ cứng chống uốn A33 Độ cứng chống trượt E Mô-đun đàn hồi hữu hiệu Ec Mô-đun đàn hồi gốm Em Mô-đun đàn hồi kim loại d Khoảng cách hai lực di động FGM Vật liệu có tính biến thiên fD Tham số độ võng fv Tham số vận tốc lực di động G Mô-đun trượt hữu hiệu Gc Mô-đun trượt gốm Gm Mô-đun trượt kim loại h Chiều cao dầm h0 Khoảng cách từ mặt trung hòa tới mặt dầm I Mô-men quán tính bậc hai mặt cắt ngang I0 Mô-men quán tính bậc hai mặt cắt ngang dầm I11 Mô-men khối lượng dọc trục I12 Mô-men khối lượng tương hỗ dọc trục-xoay I22 Mô-men khối lượng xoay (của mặt cắt ngang) L Chiều dài dầm (dầm nhịp) Ls Chiều dài nhịp (dầm liên tục) n Chỉ số mũ (tham số vật liệu) Footer Page of 148 vii Header Page of 148 ne Số lực di động phần tử nELE Số lượng phần tử rời rạc dầm Nf Số lực di dộng dầm P Tính chất hiệu dụng FGM Pc Tính chất gốm Pm Tính chất kim loại Pi Lực di dộng thứ i si Khoảng cách từ lực di dộng thứ i tới đầu trái dầm T Động dầm Te Động phần tử u Chuyển vị dọc trục điểm trêm mặt trung hòa U Năng lượng biến dạng đàn hồi dầm Ue Năng lượng biến dạng đàn hồi phần tử v Vận tốc lực di động V Thế dầm Ve Thế phần tử w Chuyển vị ngang điểm mặt trung hòa w0 Độ võng tĩnh dầm Vec-tơ ma trận d Vec-tơ chuyển vị nút phần tử D ˙ D Vec-tơ chuyển vị nút tổng thể ¨ D Vec-tơ gia tốc nút nút tổng thể f Vec-tơ lực nút phần tử F Vec-tơ lực nút tổng thể Fef Vec-tơ lực nút hữu hiệu k Ma trận độ cứng phần tử K Ma trận độ cứng tổng thể Footer Page of 148 Vec-tơ vận tốc nút nút tổng thể viii Header Page 10 of 148 Kef Ma trận độ cứng hữu hiệu m Ma trận khối lượng phần tử M Ma trận khối lượng tổng thể Nu Ma trận hàm nội suy cho chuyển vị dọc trục Nw Ma trận hàm nội suy cho chuyển vị ngang Nθ Ma trận hàm nội suy cho góc quay kaa Ma trận độ cứng phần tử sinh từ biến dạng dọc trục kbb Ma trận độ cứng phần tử sinh từ biến dạng uốn kab Ma trận độ cứng phần tử sinh biến dạng dọc trục uốn kss Ma trận độ cứng phần tử sinh từ biến dạng trượt muu Ma trận khối lượng quán sinh từ chuyển dịch dọc trục mww Ma trận khối lượng quán sinh từ chuyển dịch ngang muθ Ma trận khối lượng quán chuyển vị dọc trục góc quay mθθ Ma trận khối lượng quán quay mặt cắt ngang Chữ Hy Lạp ∆T Tổng thời gian để lực hết chiều dài dầm ∆t Bước thời gian (trong thuật toán Newmark) x Biến dạng dọc trục γxz Biến dạng trượt µ Tham số tần số Ω Tần số lực di động điều hòa ω10 Tần số dao động dầm thép ψ Hệ số điều chỉnh σx Ứng suất dọc trục τxz Ứng suất trượt θ Góc quay mặt cắt ngang α Tham số tiết diện Footer Page 10 of 148 123 Header Page 138 of 148 [42] H Hein, L Feklistova (2011), "Free vibration of non-uniform and axially funcyionally graded beams using Haar wavelets", Engineering Structures, 33, pp 3696-3701 [43] M Hemmatnezhada, R Ansarib, G.H Rahimic (2013), "Largeamplitude free vibrations of functionally graded beams by means of a finite element formulation", Applied Mathematical Modelling, 37, pp 8495–8504 [44] K Henchi, M Fafard (1997), "Dynamic behaviour of multi-span beams under moving loads", Journal of Sound and Vibration, 199, pp 33-50 [45] Y Huang, X.F Li (2010), "A new approach for free vibration of axially functionally graded beams with non-uniform cross-section", Journal of Sound and Vibration, 329, pp 2291-2303 [46] Y Huang, L.-E Yang, Q.-Z Luo (2013), "Free vibration of axially functionally graded Timoshenko beams with non-uniform crosssection", Composites: Part B, 45, pp 1493–1498 [47] M Ichikawa, Y Miyakawa, A Matsuda (2000), "Vibration analysis of the continuous beam subjected to a moving mass", Journal of Sound and Vibration, 230, pp 493-506 [48] D.K Jha, T Kant, R.K Singh (2013), "A critical review of recent research on functionally graded plates", Composite Structures, 96, pp 833-849 [49] W.-Y Jung, W.-T Park, S.-C Han (2014), "Bending and vibration analysis of S-FGM microplates embedded in Pasternak elastic medium using the modified couple stress theory", International Journal of Mechanical Sciences, 37, pp 150-162 [50] R Kadoli, K Akhtar, N Ganesan (2008), "Static analysis of funtionally graded beams using higher order shear deformation beam theory", Applied Mathematical Modelling, 32, pp 2509-2525 Footer Page 138 of 148 124 Header Page 139 of 148 [51] Y.A Kang, X.F Li (2009), "Bending of functionally graded cantilever beam with power-law nonlinearity subjected to an end force", International Journal of Non-Linear Mechanics, 44, pp 696-703 [52] Y.A Kang, X.F Li (2010), "Large deflection of a non-linear cantilever functionally graded beam", Journal of Reinforced Plastics and Composites, 29, pp 1761-1774 [53] S Kapuria, M Bhattacharyya, A.N Kumar (2008), "Bending and free vibration response of layered functionally graded beams: a theoretical model and its experimental validation", Composite Structures, 82, pp 390-402 [54] S.M.R Khalili, A.A Jafari, S.A Eftekhari (2010), "A mixed Ritz-DQ method for forced vibration of functionally graded beams carrying moving loads", Composite Structures, 92, pp 2497–2511 [55] Nguyen Dinh Kien, Tran Thanh Hai (2006), "Dynamic analysis of prestressed Bernoulli beams resting on two-parameter foundation under moving harmonic load", Vietnam Journal of Mechanics, 28, pp 176-188 [56] Nguyen Dinh Kien (2008), "Dynamic response of prestressed Timoshenko beams resting on two-parameter foundation to moving harmonic load", Technische Mechanik, 28, pp 237-258 [57] Nguyen Dinh Kien (2013), "Large displacement response of tapered cantilevers beams made of axially functionally graded material", Composites: Part B, 55, pp 298-305 [58] Nguyen Dinh Kien (2014), "Large displacement behaviour of tapered cantilever Euler–Bernoulli beams made of functionally graded material", Applied Mathematics and Computation, 237, pp 340–355 [59] Nguyen Dinh Kien, B.S Gan (2014), "Large deflection tapered functionally graded beams subjected to end forces", Applied Mathematical Modelling, 38, pp 3054–3066 Footer Page 139 of 148 125 Header Page 140 of 148 [60] Nguyen Dinh Kien, B.S Gan, Trinh Thanh Huong (2014), "Geometrically nonlinear analysis of planar beam and frame structures made of functionally graded materials", Structural Engineering and Mechanics, 49, pp 727-743 [61] S Kitipornchai, L.L Ke, J Yang, Y Xiang (2001), "Nonlinear vibration of edge cracked functionally graded Timoshenko beams", Journal of Sound and Vibration, 324, pp 962–982 [62] T Kocat¨ urk, M S¸im¸sek (2006), "Vibration of visoelastic beams subjected to an eccentric axial force and a concentrated moving harmonic force", Journal of Sound and Vibration, 291, pp 302-322 [63] T Kocat¨ urk, M S¸im¸sek (2006), "Dynamic analysis of eccentrically prestressed viscoelastic Timoshenko beams under a moving harmonic load", Computers and Structures, 84, pp 2113-2117 [64] M Koizumi (1997), "FGM activities in Japan", Composites: Part B, 28, pp 1-4 [65] J.B Kosmatka (1995), "An improve two-node finite element for stability and natural frequencies of axial-loaded Timoshenko beams", Computers and Structures, 57, pp 141-149 [66] S.K Lai, J Harrington, Y Xiang, K.W Chow (2012), "Accurate analytical perturbation approach for large amplitude vibration of functionally graded beams", International Journal of Non-Linear Mechanics, 47, pp 473–480 [67] S.V Levyakov (2013), "Elastica solution for thermal bending of a functionally graded beam", Acta Mechanica, 224, pp 1731-1740 [68] X.F Li (2008), "A unified approach for analyzing static and dynamic behaviors of functionally graded Timoshenko and Euler-Bernoulli beams", Journal of Sound and Vibration, 318, pp 1210-1229 Footer Page 140 of 148 126 Header Page 141 of 148 [69] X.F Li, Y.A Kang, J.-X Wu (2013), "Exacy frequency equations of free vibration of exponentially functionally graded beams", Applied Acoustics, 74, pp 413–420 [70] Y.D Li, H.C Zhang, N Zhang, Y Dai (2005), "Stress analysis of func-tionally gradient beam using effective principal axes", International Journal of Mechanics and Materials in Design, 2, pp 157-164 [71] Y Liu, D.W Shu (2014), "Free vibration analysis of exponential functionally graded beams with a single delamination", Composites: Part B, 59, pp 166–172 [72] C.F L¨ u, W.Q Chen, R.Q Xu, C.W Lim (2008), "Semi-analytical elasticity solutions for bi-directional functionally graded beams", International Journal of Solids and Structures , 45, pp 258–275 [73] L.S Ma, D.W Lee (2012), "Exact solutions for nonlinear static responses of a shear deformable FGM beam under an in-plane thermal loading", European Journal of Mechanics A/Solids, 31, pp 13-20 [74] A Mahi, E.A Adda Bedia, A Tounsi, I Mechab (2010), "An analytical method for temperature-dependent free vibration analysis of functionally graded beams with general boundary conditions", Composite Structures, 92, pp 1877–1887 [75] P Malekzadeh, S.M Monajjemzadeh (2013), "Dynamic response of functionally graded plates in thermal environment under moving load", Composites: Part B, 45, pp 1521-1533 [76] P Malekzadeh, S.A Shojaee (2013), "Dynamic response of functionally graded plates under moving heat source", Composites: Part B, 44, pp 295–303 [77] S.C Mohanty, R.R Dash, T Rout (2011), "Parametric instability of a functionally graded Timoshenko beam on Winkler elastic foundation", Nuclear Engineering and Design, 241, pp 2698-2715 Footer Page 141 of 148 127 Header Page 142 of 148 [78] S.C Mohanty, R.R Dash, T Rout (2012), "Static and dynamic stability analysis of a functionally graded Timoshenko beam.", International Journal of Structural Stability and Dynamics, 12, pp DOI: 10.1142/S0219455412500253 [79] D.B Meade, S.I Michel (2009), Getting started with Maple, Chanpman, Hall/CRC [80] M Nemat-Alla (2003), "Reduction of thermal stresses by developing two-dimensional functionally graded materials", International Journal of Solids and Structures, 40, pp 7339–7356 [81] Trung-Kien Nguyen, Thuc P Vo, Huu-Tai Thai (2013), "Static and free vibration of axially loaded functionally graded beams based on the first-order shear deformation theory", Composites: Part B, 55, pp 147–157 [82] H Nguyen-Xuan, Loc V Tran, Chien H Thai, S Kulasegaram, S.P.A Bordas (2014), "Isogeometric finite element analysis of funtionally graded plates using a refined plate theory", Composites Part B, 64, pp 222-234 [83] G Nie, Z Zhong (2010), "Dynamic analysis of multi-directional functionally graded annular plates", Applied Mathematical Modelling, 34, pp 608-616 [84] H Niknam, A Fallah, M.M Aghdam (2014), "onlinear bending of functionally graded tapered beams subjected to thermal and mechanical loading", International Journal of Non-Linear Mechanics, 65, pp 141–147 [85] M Olsson (1991), "On the fundamental moving load problem", Journal of Sound and Vibration, 145, pp 299-307 [86] S.C Pradhan, T Murmu (2009), "Thermo-mechanical vibration of Functionally Graded Materials sandwich beam under variable elastic Footer Page 142 of 148 128 Header Page 143 of 148 foundations using differential quadrature method", Journal of Sound and Vibration, 321, pp 342-362 [87] G.N Praveen, J.N Reddy (1998), "Nonlinear transient thermoelastic analysis of functionally graded ceramic-metal plates", International Journal of Solids Strutures, 33, pp 4457- 4476 [88] K Rajabi, M.H Kargarnovin, M Gharini (2013), "Dynamic analysis of a functionally graded simply supported Euler–Bernoulli beam subjected to a moving oscillator", Acta Mechanica, 224, pp 425-446 [89] B.V Sankar (2001), "An elasticity solution for functionally graded beams", Composites Science and Technology, 61, pp 689-696 [90] A Shahba, R Attarnejad, M T Marvi, S Hajilar (2011), "Free vibration and stability analysis of axially functionally graded tapered Euler-Bernoulli beams", Shock and Vibration, 18, pp 683-696 [91] A Shahba, R Attarnejad, M T Marvi, S Hajilar (2011), "Free vibration and stability analysis of axially functionally graded tapered Timoshenko beams with classical and non-classical boundary conditions", Composites: Part B, 42, pp 801-808 [92] I Shiota, Y Miyamoto (1996), Functionally graded materials 1996, Elsevier, Amsterdam [93] H S Shen (2009), Functionally graded materials: Nonlinear Analysis of Plates and Shells, CRC Press, Taylor and Francis Group [94] H.S Shen, Z.X Wang (2014), "Nonlinear analysis of shear deformable FGM beams resting on elastic foundation in thermal evironments", International Journal of Mechanical Sciences, 81, pp 195-206 [95] S.A Sina, H.M Navazi, H Haddadpour (2009), "An analytical method for free vibration analysis of functionally graded beams" Materials and Design, 30, pp 741-747 Footer Page 143 of 148 129 Header Page 144 of 148 [96] M S¸im¸sek, T Kocat¨ urk (2009), "Free and forced vibration of a functionally graded beam subjected to a concentrated moving harmonic load", Composite Structures, 90, pp 465-473 [97] M S¸im¸sek (2010), "Vibration analysis of a functionally graded beam under a moving mass by using differenet beam theory", Composite Structures, 92, pp 904-917 [98] M S¸im¸sek (2010), "Non-linear vibration analysis of a functionally graded Timoshenko beam under action of a moving harmonic load", Composite Structures, 92, pp 2532-2546 [99] M S¸im¸sek, T Kocat¨ urk, D Akba¸s (2012), "Dynamic behavior of an axially functionally graded beam under action of a moving harmonic load", Composite Structures, 94, pp 2358-2364 [100] S Taeprasartsit (2012), "A buckling analysis of perfect and imperfect functionally graded columns" Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part L: Journal of Materials: Design and Applications, 226, pp 16-33 [101] Huu-Tai Thai, Thuc P Vo (2012), "Bending and free vibration of functionally graded beams using various higher-order shear deformation beam theories" International Journal of Mechanical Sciences, 62, pp 57–66 [102] Thuc P Vo, Huu-Tai Thai, Trung-Kien Nguyen, A Maheri, J Lee (2014), "Finite element model for vibration and buckling of functionally graded sandwich beams based on a refined shear deformation theory" Engineering Structures, 64, pp 12–22 [103] T.P Vo, H.T Thai, T.K Nguyen, F Inam, J Lee (2015), "A quasi3D theory for vibration and buckling of functionally graded sandwich beams" Composite Structures, 119, pp 1-12 Footer Page 144 of 148 130 Header Page 145 of 148 [104] K Wakashima, T Hirano, M Niino (1990), Space applications of advanced structural materials, European Space Agency, Noordwijk, The Netherlands [105] N Wattanasakulpong, B.G Gangadhara, D.W Kelly (2011),"Thermal buckling and elastic vibration of third-order shear deformable functionally graded beams", International Journal of Mechanical Sciences, 53, pp 734-743 [106] D Wei, Y Liu (2012),"Analytic and finite element solutions of the power-law Euler–Bernoulli beams", Finite Elements in Analysis and Design, 52, pp 31–40 [107] D Wei, Y Liu, Z Xiang (2012),"An analytical method for free vibration analysis of functionally graded beams with edge cracks", Journal of Sound and Vibration, 331, pp 1686–1700 [108] L Wu, Q.S Wang, I Elishakoff (2005),"Semi-inverse method for axially functionally graded beams with an anti-symmetric vibration mode", Journal of Sound and Vibration, 284, pp 1190-1202 [109] H.J Xiang, J Yang (2009), "Free and forced vibration of a laminated FGM Timoshenko beam of variable thickness under heat conduction", Composites: Part B, 39, pp 292-303 [110] T Yan, S Kitipornchai, J Yang, X.Q He (2011), "Two-dimensional elasticity solutions for functionally graded beams resting on elastic foundation", Composite Structures, 93, pp 2992–3001 [111] J Yang, Y Chena, Y Xiang, X.L Jia (2008), "Free and forced vibration of cracked inhomogeneous beams under an axial force and a moving load", Journal of Sound and Vibration, 312, pp 166–181 [112] J Ying, C.F L¨ u, W.Q Chen (2008), "Two-dimensional elasticity solutions for functionally graded beams resting on elastic foundation", Composite Structures, 84, pp 209-219 Footer Page 145 of 148 131 Header Page 146 of 148 [113] D.G Zhang (2013), "Nonlinear bending analysis of FGM beams based on phys- ical neutral surface and high order shear deformation theory", Composite Structures, 100, pp 121-126 [114] X Zhao, K.M Liew (2009), "Geommetrically nonlinear analysis of functionally graded shells", International Journal of Mechanical Sciences, 51, pp 131-144 Footer Page 146 of 148 Header Page 147 of 148 Phụ lục Phụ lục A Code Maple tính ma trận độ cứng ma trận khối lượng cho phần tử dầm Timoshenko có tính biến đổi ngang, thiết diện ngang thay đổi: # # # # # # # # # # # # # p : tham so thiet dien u : chuyen vi doc truc w : chuyen vi ngang r : goc quay thiet dien ut : dao ham chuyen vi doc truc wt : dao ham chuyen vi ngang rt : dao ham goc quay thiet dien x : khoang cach tu luc di dong den dau phan tu xe : khoang cach tu dau dam den dau phan tu co luc tac dung Nr1 , Nr2 , Nr3 , Nr4 : ham dang cho goc quay A111 , A222 , A333 : lan luot tuong ung voi cac dai luong A11 , A22 , A33 nhung bo di dai luong b ( x ) I111 , I122 , I222 , I333 : lan luot tuong ung voi cac dai luong # I11 , I122 , I22 , I33 nhung bo di dai luong b ( x ) >p := 1; >u := ( - x / l +1) * u1 +0* w1 +0* r1 + x * u2 / l +0* w2 +0* r2 ; > ut := ( - x / l +1) * u1t +0* w1t +0* r1t + x * u2t / l +(0* w2 ) * t +0* r2t ; > ux := diff (u , x ) ;} > Nw1 := (2* x ^3/ l ^3 -3* x ^2/ l ^2 - phi * x / l +1+ phi ) /(1+ phi ) ; > Nw2 := l *( x ^3/ l ^3 -(2+(1/2) * phi ) * x ^2/ l ^2+(1+(1/2) * phi ) * x / l ) /(1+ phi ) ; > Nw3 := -(2* x ^3/ l ^3 -3* x ^2/ l ^2 - phi * x / l ) /(1+ phi ) ; > Nw4 := l *( x ^3/ l ^3 -(1 -(1/2) * phi ) * x ^2/ l ^2 -(1/2) * phi * x / l ) /(1+ phi ) ; > Nr1 := 6*( x ^2/ l ^2 - x / l ) /( l *(1+ phi ) ) ; > Nr2 := (3* x ^2/ l ^2 -(4+ phi ) * x / l +1+ phi ) /(1+ phi ) ; > Nr3 := -6*( x ^2/ l ^2 - x / l ) /( l *(1+ phi ) ) ; > Nr4 :=(3* x ^2/ l ^2 -(2 - phi ) * x / l ) /(1+ phi ) ; >w := 0* u1 + Nw1 * w1 + Nw2 * r1 +0* u2 + Nw3 * w2 + Nw4 * r2 ; Footer Page 147 of 148 132 133 Header Page 148 of 148 >r := Nr1 * w1 + Nr2 * r1 + Nr3 * w2 + Nr4 * r2 ; > rx := diff (r , x ) ; > wx := diff (w , x ) ; >b := bm *(1 - alpha0 *(( xe + x ) /L -.5) ^ p ) ; > Uu := simplify ((1/2) *( int ( b * A111 * ux ^2 , x =0 l ) ) ) ; > Ub := simplify ((1/2) *( int ( b * A222 * rx ^2 , x =0 l ) ) ) ; > Uc := simplify ((1/2) *( int ( b * psi * A333 *( wx - r ) ^2 , x =0 l ) ) ) ; >U := Uu + Ub + Uc ; >k := hessian (U ,[ u1 , w1 , r1 , u2 , w2 , r2 ]) ; > with ( codegen ) ; > fortran (k , optimized ) ; > wt := Nw1 * w1t + Nw2 * r1t + Nw3 * w2t + Nw4 * r2t ; > rt := Nr1 * w1t + Nr2 * r1t + Nr3 * w2t + Nr4 * r2t ; > tu := simplify ((1/2) *( int ( b * I111 * ut ^2 , x =0 l ) ) ) ; > tw := simplify ((1/2) *( int ( b * I111 * wt ^2 , x =0 l ) ) ) ; > tr := simplify ((1/2) *( int ( b * I222 * rt ^2 , x =0 l ) ) ) ; > tur := - simplify ( int ( b * I122 * ut * rt , x =0 l ) ) ; >T := tu + tw + tr + tur ; >m := hessian (T ,[ u1t , w1t , r1t , u2t , w2t , r2t ]) ; > fortran (m , optimized ) ; Phụ lục B Code Maple tính ma trận độ cứng ma trận khối lượng cho phần tử dầm Timoshenko có tính biến đổi dọc với tham số vật liệu n = 1, thiết diện ngang thay đổi theo trục dầm: # cac ky hieu nhu phu luc A > restart ; with ( linalg ) ; >p := 1; >n := 1; >u := ( - x / l +1) * u1 +0* w1 +0* r1 + x * u2 / l +0* w2 +0* r2 ; > ut := ( - x / l +1) * u1t +0* w1t +0* r1t + x * u2t / l +(0* w2 ) * t +0* r2t ; > ux := diff (u , x ) ; > Nw1 := (2* x ^3/ l ^3 -3* x ^2/ l ^2 - phi * x / l +1+ phi ) /(1+ phi ) ; > Nw2 := l *( x ^3/ l ^3 -(2+(1/2) * phi ) * x ^2/ l ^2+(1+(1/2) * phi ) * x / l ) /(1+ phi ) ; > Nw3 := -(2* x ^3/ l ^3 -3* x ^2/ l ^2 - phi * x / l ) /(1+ phi ) ; > Nw4 := l *( x ^3/ l ^3 -(1 -(1/2) * phi ) * x ^2/ l ^2 -(1/2) * phi * x / l ) /(1+ phi ) ; > Nr1 := 6*( x ^2/ l ^2 - x / l ) /( l *(1+ phi ) ) ; > Nr2 := (3* x ^2/ l ^2 -(4+ phi ) * x / l +1+ phi ) /(1+ phi ) ; > Nr3 := -6*( x ^2/ l ^2 - x / l ) /( l *(1+ phi ) ) ; > Nr4 := (3* x ^2/ l ^2 -(2 - phi ) * x / l ) /(1+ phi ) ; >w := 0* u1 + Nw1 * w1 + Nw2 * r1 +0* u2 + Nw3 * w2 + Nw4 * r2 ; Footer Page 148 of 148 134 Header Page 149 of 148 >r := Nr1 * w1 + Nr2 * r1 + Nr3 * w2 + Nr4 * r2 ; > rx := diff (r , x ) ; >x := diff (w , x ) ; >wx - r ; >b := bm *(1 - alpha0 *(( xe + x ) /L -.5) ^ p ) ; >E := ( Ec - Em ) *(1 -( xe + x ) / L ) ^ n + Em ; >G := ( Gc - Gm ) *(1 -( xe + x ) / L ) ^ n + Gm ; >A := b * h ; > Uu := simplify ((1/2) *( int ( E * A * ux ^2 , x =0 l ) ) ) ; > Ub := simplify ((1/2) *( int ((1/12) * E * b * h ^3* rx ^2 , x =0 l ) ) ) ; > Uc := simplify ((1/2) *( int ( G * psi * b * h *( wx - r ) ^2 , x =0 l ) ) ) ; >U := Uu + Ub + Uc ; >k := hessian (U ,[ u1 , w1 , r1 , u2 , w2 , r2 ]) ; > with ( codegen ) ; > fortran (k , optimized ) ; > wt := Nw1 * w1t + Nw2 * r1t + Nw3 * w2t + Nw4 * r2t ; > rt := Nr1 * w1t + Nr2 * r1t + Nr3 * w2t + Nr4 * r2t ; > rho := ( rhoc - rhom ) *(1 -( xe + x ) / L ) ^ n + rhom ; > tu := simplify ((1/2) *( int ( rho * b * h * ut ^2 , x =0 l ) ) ) ; > tw := simplify ((1/2) *( int ( rho * b * h * wt ^2 , x =0 l ) ) ) ; > tr := simplify ((1/2) *( int ((1/12) * b * h ^3* rho * rt ^2 , x =0 l ) ) ) ; >T := tu + tw + tr ; >m := hessian (T ,[ u1t , w1t , r1t , u2t , w2t , r2t ]) ; > fortran (m , optimized ) ; Phụ lục C Code Maple tính ma trận độ cứng ma trận khối lượng cho phần tử dầm Bernoulli có tính biến đổi ngang, thiết diện ngang thay đổi theo trục dầm: # cac ky hieu nhu phu luc A > restart ; with ( linalg ) ; >u := ( - x / l +1) * u1 +0* w1 +0* r1 + x * u2 / l +0* w2 +0* r2 ; > ux := diff (u , x ) ; >w := (2* x ^3/ l ^3 -3* x ^2/ l ^2+1) * w1 +( x ^3/ l ^2 -2* x ^2/ l + x ) * r1 +( -2* x ^3/ l ^3+3* x ^2/ l ^2) * w2 +( x ^3/ l ^2 - x ^2/ l ) * r2 ; > wx := diff (w , x ) ; > wxx := diff ( wx , x ) ; > Ua := simplify ((1/2) *( int ( A11 * ux ^2 , x =0 l ) ) ) ; > Ub := simplify ((1/2) *( int ( A22 * wxx ^2 , x = l ) ) ) ; > Uc := simplify ( - A12 *( int ( ux * wxx , x =0 l ) ) ) ; > ta := simplify ((1/2) *( int ( I11 * u ^2 , x =0 l ) ) ) ; > tb := simplify ((1/2) *( int ( I22 * wx ^2 , x =0 l ) ) ) ; > tc := simplify ( int ( - I12 * wx *u , x =0 l ) ) ; > ts := simplify ((1/2) *( int ( I11 * w ^2 , x =0 l ) ) ) ; Footer Page 149 of 148 135 Header Page 150 of 148 >U := Ua + Ub + Uc ; >k := simplify ( hessian (U ,[ u1 , w1 , r1 , u2 , w2 , r2 ]) ) ; > with ( codegen ) ; > fortran (k , optimized ) ; >T := ta + tb + tc + ts ; >m := simplify ( hessian (T ,[ u1 , w1 , r1 , u2 , w2 , r2 ]) ) ; > fortran ( me , optimized ) ; Phụ lục D Code Maple tính ma trận độ cứng ma trận khối lượng cho phần tử dầm Bernoulli có tính biến đổi dọc với tham số vật liệu n = 1, thiết diện ngang thay đổi theo trục dầm: > restart ; with ( linalg ) ; >p := 1; >n := 1; >u := ( - x / l +1) * u1 +0* w1 +0* r1 + x * u2 / l +0* w2 +0* r2 ; > ux := diff (u , x ) ; >w := (2* x ^3/ l ^3 -3* x ^2/ l ^2+1) * w1 +( x ^3/ l ^2 -2* x ^2/ l + x ) * r1 +( -2* x ^3/ l ^3+3* x ^2/ l ^2) * w2 +( x ^3/ l ^2 - x ^2/ l ) * r2 ; > wx := diff (w , x ) ; > wxx := diff ( wx , x ) ; >b := bm *(1 - alpha0 *(( xe + x ) /L -.5) ^ p ) ; >E := ( Ec - Em ) *(1 -( xe + x ) / L ) ^ n + Em ; >A := b * h ; > Ua := simplify ((1/2) *( int ( E * A * ux ^2 , x = l ) ) ) ; > Ub := simplify ((1/2) *( int ((1/12) * E * b * h ^3* wxx ^2 , x =0 l ) ) ) ; > rho := ( rhoc - rhom ) *(1 -( xe + x ) / L ) ^ n + rhom ; > ta := simplify ((1/2) *( int ( rho * A * u ^2 , x = l ) ) ) ; > tb := simplify ((1/2) *( int ((1/12) * rho * b * h ^3* wx ^2 , x =0 l ) ) ) ; > ts := simplify ((1/2) *( int ( rho * A * w ^2 , x =0 l ) ) ) ; >U := Ua + Ub ; >k := simplify ( hessian (U ,[ u1 , w1 , r1 , u2 , w2 , r2 ]) ) ; > with ( codegen ) ; > fortran (k , optimized ) ; >T := ta + tb + ts ; >m := simplify ( hessian (T ,[ u1 , w1 , r1 , u2 , w2 , r2 ]) ) ; > fortran ( me , optimized ) ; Phụ lục G Ma trận độ cứng ma trận khối lượng cho phần tử dầm Timoshenko có tính biến đổi ngang thiết diện không thay đổi, hàm dạng dùng Footer Page 150 of 148 136 Header Page 151 of 148 chương trình hàm dạng xác > restart ; with ( linalg ) ; >u := ( - x / l +1) * u1 +6* alpha *( x ^2/ l ^2 - x / l ) * w1 /( l *(1+ phi ) ) +3* alpha *( x ^2/ l ^2 - x / l ) * r1 /(1+ phi ) + x * u2 /l -6* alpha *( x ^2/ l ^2 - x / l ) * w2 /( l *(1+ phi ) ) +3* alpha *( x ^2/ l ^2 - x / l ) * r2 /(1+ phi ) ; > ut := ( - x / l +1) * u1t +6* alpha *( x ^2/ l ^2 - x / l ) * w1t /( l *(1+ phi ) ) +3* alpha *( x ^2/ l ^2 - x / l ) * r1t /(1+ phi ) + x * u2t / l -6* alpha *( x ^2/ l ^2 - x / l ) * w2t /( l *(1+ phi ) ) +3* alpha *( x ^2/ l ^2 - x / l ) * r2t /(1+ phi ) ; > ux := diff (u , x ) ; >w := (2* x ^3/ l ^3 -3* x ^2/ l ^2 - phi * x / l +1+ phi ) * w1 /(1+ phi ) + l *( x ^3/ l ^3 -(2+(1/2) * phi ) * x ^2/ l ^2 +(1+(1/2) * phi ) * x / l ) * r1 /(1+ phi ) -(2* x ^3/ l ^3 -3* x ^2/ l ^2 - phi * x / l ) * w2 /(1+ phi ) + l *( x ^3/ l ^3 -(1 -(1/2) * phi ) * x ^2/ l ^2 -(1/2) * phi * x / l ) * r2 /(1+ phi ) ; > wx := diff (w , x ) ; > wt := (2* x ^3/ l ^3 -3* x ^2/ l ^2 - phi * x / l +1+ phi ) * w1t /(1+ phi ) + l *( x ^3/ l ^3 -(2+(1/2) * phi ) * x ^2/ l ^2 +(1+(1/2) * phi ) * x / l ) * r1t /(1+ phi ) -(2* x ^3/ l ^3 -3* x ^2/ l ^2 - phi * x / l ) * w2t /(1+ phi ) + l *( x ^3/ l ^3 -(1 -(1/2) * phi ) * x ^2/ l ^2 -(1/2) * phi * x / l ) * r2t /(1+ phi ) ; >r := (6*( x ^2/ l ^2 - x / l ) ) * w1 /( l *(1+ phi ) ) +(3* x ^2/ l ^2 -(4+ phi ) * x / l +1+ phi ) * r1 /(1+ phi ) -(6*( x ^2/ l ^2 - x / l ) ) * w2 /( l *(1+ phi ) ) +(3* x ^2/ l ^2 -(2 - phi ) * x / l ) * r2 /(1+ phi ) ; > rt := (6*( x ^2/ l ^2 - x / l ) ) * w1t /( l *(1+ phi ) ) +(3* x ^2/ l ^2 -(4+ phi ) * x / l +1+ phi ) * r1t /(1+ phi ) -(6*( x ^2/ l ^2 - x / l ) ) * w2t /( l *(1+ phi ) ) +(3* x ^2/ l ^2 -(2 - phi ) * x / l ) * r2t /(1+ phi ) ; > rx := diff (r , x ) ; > Ua := simplify ((1/2) * A11 *( int ( ux ^2 , x = l ) ) ) ; > Ub := simplify ((1/2) * A22 *( int ( rx ^2 , x = l ) ) ) ; > Uc := simplify ( - A12 *( int ( rx * ux , x = l ) ) ) ; > Us := simplify ( psi * A33 *( int (( wx - r ) ^2 , x = l ) ) ) ; > ta := simplify ((1/2) *( int ( I11 * ut ^2 , x = l ) ) ) ; > tb := simplify ((1/2) *( int ( I22 * rt ^2 , x = l ) ) ) ; > tc := simplify ( int ( - I12 * rt * ut , x = l ) ) ; > ts := simplify ((1/2) *( int ( I11 * wt ^2 , x = l ) ) ) ; >U := Ua + Ub + Uc + Us ; >T := ta + tb + tc + ts ; >k := hessian (U ,[ u1 , w1 , r1 , u2 , w2 , r2 ]) ; >m := hessian (T ,[ u1t , w1t , r1t , u2t , w2t , r2t ]) ; > with ( codegen ) ; > fortran (k , optimized ) ; > fortran (m , optimized ) ; Footer Page 151 of 148 137 Header Page 152 of 148 Phụ lục H Code Maple tính ma trận độ cứng ma trận khối lượng cho phần tử dầm Bernoulli có tính biến đổi ngang thiết diện không thay đổi, hàm dạng dùng chương trình hàm dạng xác > restart ; with ( linalg ) ; >u := ( - x / l +1) * u1 +(6* alpha * x ^2/ l ^3 -6* alpha * x / l ^2) * w1 +(3* alpha * x ^2/ l ^2 -3* alpha * x / l ) * r1 + x * u2 / l +( -6* alpha * x ^2/ l ^3+6* alpha * x / l ^2) * w2 +(3* alpha * x ^2/ l ^2 -3* alpha * x / l ) * r2 ; > ux := diff (u , x ) ; >w := (2* x ^3/ l ^3 -3* x ^2/ l ^2+1) * w1 +( x ^3/ l ^2 -2* x ^2/ l + x ) * r1 +( -2* x ^3/ l ^3+3* x ^2/ l ^2) * w2 +( x ^3/ l ^2 - x ^2/ l ) * r2 ; > wx := diff (w , x ) ; > wxx := diff ( wx , x ) ; > Ua := simplify ((1/2) *( int ( A11 * ux ^2 , x = l ) ) ) ; > Ub := simplify ((1/2) *( int ( A22 * wxx ^2 , x = l ) ) ) ; > Uc := simplify ( - A12 *( int ( ux * wxx , x = l ) ) ) ; > ta := simplify ((1/2) *( int ( I11 * u ^2 , x = l ) ) ) ; > tb := simplify ((1/2) *( int ( I22 * wx ^2 , x = l ) ) ) ; > tc := simplify ( int ( - I12 * wx *u , x = l ) ) ; > ts := simplify ((1/2) *( int ( I11 * w ^2 , x = l ) ) ) ; >U := Ua + Ub + Uc ; >k := simplify ( hessian (U ,[ u1 , w1 , r1 , u2 , w2 , r2 ]) ) ; > with ( codegen ) ; > fortran (k , optimized ) ; >T := ta + tb + tc + ts ; >m := simplify ( hessian (T ,[ u1 , w1 , r1 , u2 , w2 , r2 ]) ) ; > fortran (m , optimized ) ; Footer Page 152 of 148 ... cấu FGM chịu tải trọng di động Kết cấu tác dụng tải trọng di động toán động lực học đặc biệt lĩnh vực học kết cấu, yếu tố động sinh từ thay đổi vị trí tải trọng theo thời gian Phân tích kết cấu. .. lực di động Bề rộng mặt cắt ngang dầm giả thiết thay đổi dọc theo trục dầm Dầm FGM có tính biến đổi dọc chịu lực di động Bề rộng mặt cắt ngang dầm giả thiết thay đổi dọc theo trục dầm Dầm FGM. .. NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ Lê Thị Hà PHÂN TÍCH KẾT CẤU DẦM FGM CÓ MẶT CẮT NGANG THAY ĐỔI DƯỚI TÁC DỤNG CỦA TẢI TRỌNG DI ĐỘNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ KỸ THUẬT Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật