Header Page of 123 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN VĂN TUYÊN ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ VÀ ỔN ĐỊNH TRONG TỐI ƯU VÉCTƠ VỚI THỨ TỰ SUY RỘNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2016 Footer Page of 123 Header Page of 123 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN VĂN TUYÊN ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ VÀ ỔN ĐỊNH TRONG TỐI ƯU VÉCTƠ VỚI THỨ TỰ SUY RỘNG Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 62.46.01.02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS NGUYỄN QUANG HUY HÀ NỘI - 2016 Footer Page of 123 Header Page of 123 Lời cam đoan Luận án hoàn thành Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, hướng dẫn PGS TS Nguyễn Quang Huy Các kết luận án chưa công bố công trình khoa học khác Tác giả luận án Nguyễn Văn Tuyên Footer Page of 123 Header Page of 123 Tóm tắt Luận án trình bày số kết điều kiện cực trị ổn định tối ưu véctơ với thứ tự suy rộng Luận án gồm chương Chương nghiên cứu số đặc trưng nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng như: mối quan hệ khái niệm nghiệm với khái niệm nghiệm cổ điển, tồn nghiệm số tính chất tôpô tập nghiệm Chương nghiên cứu điều kiện cực trị cho tối ưu theo thứ tự suy rộng Chương nghiên cứu tính chất ổn định tập nghiệm hữu hiệu Pareto tương đối Các kết luận án bao gồm: 1) Đưa phân tích chi tiết khái niệm nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng 2) Thiết lập điều kiện đủ cho tồn nghiệm tối ưu với thứ tự suy rộng 3) Thiết lập điều kiện đủ cho tính đóng tính liên thông tập nghiệm toán tối ưu véctơ với thứ tự suy rộng; điều kiện đủ cực trị cho nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng lớp toán tối ưu véctơ lồi 4) Một số tính chất tôpô tính đóng, tính trù mật tập điểm hữu hiệu Pareto tương đối 5) Thiết lập điều kiện đủ cho hội tụ hội tụ theo nghĩa Kuratowski-Painlevé tập điểm hữu hiệu Pareto tương đối; cho tính nửa liên tục theo nghĩa Berge ánh xạ điểm hữu hiệu Pareto tương đối Footer Page of 123 Header Page of 123 Abstract This thesis presents some new results on the optimality conditions and the stability analysis in vector optimization with generalized order The thesis consists of three chapters Chapter investigates some characterizations of the optimal solution with generalized order optimality such as: compares this notion with the traditional notions, the existence solution and some topological properties of solution set Chapter establishes some optimality conditions for vector optimization problems with generalized order The goal of Chapter is to deal with the stability analysis of a vector optimization problem using the notion of relative Pareto efficiency The main results of the thesis include: 1) A detailed analysis of the notion of generalized order optimality 2) Existence theorems in vector optimization with generalized order 3) Some criteria for the closedness and connectedness of the set of generalized order solutions and some sufficient optimality conditions in convex vector optimization problems 4) Some topological properties of the relative Pareto efficient set 5) Some sufficient conditions for the upper convergence and the lower convergence in the sense of Kuratowski-Painlevé of the relative Pareto efficient sets; some criteria for the lower semicontinuity in the sense of Berge of the relative Pareto efficient point multifunction Footer Page of 123 Header Page of 123 Mục lục Mở đầu Tính chất tôpô tập nghiệm tối ưu véctơ với thứ tự suy rộng 13 1.1 Khái niệm nghiệm 14 1.2 Sự tồn nghiệm 24 1.2.1 Sự tồn điểm hữu hiệu suy rộng 24 1.2.2 Áp dụng cho toán tối ưu véctơ 28 1.3 Tính chất tôpô tập nghiệm 31 1.3.1 Tính đóng 31 1.3.2 Tính liên thông 33 Điều kiện tối ưu cho toán tối ưu véctơ với thứ tự suy rộng 40 2.1 Một số kiến thức chuẩn bị 40 2.2 Các điều kiện tối ưu cho điểm hữu hiệu suy rộng 47 2.3 Các điều kiện tối ưu cho toán tối ưu véctơ với thứ tự suy rộng 56 2.3.1 Điều kiện cần cực trị 57 Footer Page of 123 Header Page of 123 2.3.2 Điều kiện đủ tối ưu cho nghiệm toàn cục 59 2.3.3 Điều kiện đủ tối ưu cho nghiệm địa phương 61 Tính ổn định nghiệm toán tối ưu véctơ 65 3.1 Khái niệm điểm hữu hiệu Pareto tương đối 66 3.2 Sự hội tụ tập điểm hữu hiệu Pareto tương đối 76 3.3 Sự hội tụ tập điểm hữu hiệu Pareto tương đối 86 3.4 Tính nửa liên tục ánh xạ điểm hữu hiệu Pareto tương đối Kết luận 91 99 Các công trình liên quan đến luận án 101 Tài liệu tham khảo 101 Footer Page of 123 Header Page of 123 Một số ký hiệu N tập số tự nhiên R tập số thực R := R ∪ {±∞} tập số thực mở rộng Rn không gian Euclide n-chiều Rn+ tập véctơ không âm Rn Rn− tập véctơ không dương Rn X∗ không gian đối ngẫu tôpô không gian X x∗ , x cặp đối ngẫu X ∗ X x chuẩn véctơ x 0X véctơ không gian X số 0, véctơ không gian cho trước F :X⇒Y ánh xạ đa trị từ X vào Y domF miền xác định F gphF đồ thị F {xn }, (xn ) dãy số thực, dãy véctơ BX hình cầu đơn vị đóng X B hình cầu đơn vị đóng không gian định chuẩn cho trước Bρ (x), B(x, ρ) hình cầu đóng tâm x, bán kính ρ Bρ (x), B(x, ρ) hình cầu mở tâm x, bán kính ρ N (x) tập tất lân cận điểm x NB (x) tập tất lân cận cân điểm x Footer Page of 123 Header Page of 123 Lim sup giới hạn theo nghĩa Painlevé - Kuratowski Lim inf giới hạn theo nghĩa Painlevé - Kuratowski N (¯ x; Ω) nón pháp tuyến Mordukhovich Ω x¯ N (¯ x; Ω) nón pháp tuyến Fréchet Ω x¯ ∇f (x) đạo hàm Fréchet f x ∂f (x) vi phân Mordukhovich f x ∂ ∞ f (x) ˆ (x) ∂f vi phân suy biến f x D∗ F (¯ x, y¯)(·) đối đạo hàm Fréchet F (¯ x, y¯) ∗ DN F (¯ x, y¯)(·) đối đạo hàm Mordukhovich F (¯ x, y¯) vi phân Fréchet f x Ω x → x¯ x ∈ Ω x −→ x¯ f x → x¯ f (x) → f (¯ x) α↓α ¯ α→α ¯ α A⊂B A tập B A∩B giao hai tập hợp A B A∪B hợp hai tập A B A×B tích Descartes hai tập A B A\B hiệu hai tập A B A+B tổng véctơ hai tập A B int A phần tập hợp A ri A phần tương đối tập hợp A A, cl A bao đóng tập hợp A bd (A) biên tập hợp A Ac phần bù tập hợp A aff (A) bao aphin tập hợp A conv (A) bao lồi tập hợp A cone (A) bao nón tập hợp A ✷ kết thúc chứng minh x −→ x¯ α ¯ Footer Page of 123 Header Page 10 of 123 Mở đầu Tối ưu véctơ (Vector optimization) hay gọi Tối ưu đa mục tiêu (Multicriteria optimization) hình thành từ ý tưởng cân kinh tế, lý thuyết giá trị F Edgeworth (1881) V Pareto (1906) Cơ sở toán học lý thuyết không gian có thứ tự G Cantor đưa năm 1897, F Hausdorff năm 1906 ánh xạ đơn trị đa trị có giá trị không gian có thứ tự thỏa mãn tính chất Từ năm 1950 trở lại đây, sau công trình điều kiện cần đủ cho tối ưu H W Kuhn A W Tucker năm 1951, giá trị cân tối ưu Pareto G Debreu năm 1954, lý thuyết tối ưu véctơ thực công nhận ngành toán học quan trọng có nhiều ứng dụng thực tế Lúc đầu người ta nghiên cứu toán có liên quan tới ánh xạ đơn trị từ không gian Euclide sang không gian Euclide khác mà thứ tự sinh nón orthant dương Sau người ta mở rộng cho toán không gian có số chiều vô hạn với nón lồi Khái niệm điểm hữu hiệu tập hợp không gian có thứ tự sinh nón lồi đưa theo nhiều cách khác dựa vào tính chất tôpô, đại số nón như: hữu hiệu Pareto, hữu hiệu Pareto yếu, hữu hiệu lý tưởng, hữu hiệu thực Nhiều nhà toán học có tên tuổi J M Borwein, M I Henig, J Jahn, D T Luc có đóng góp quan trọng tồn điểm hữu hiệu loại này, điều dẫn tới việc nghiên cứu lớp toán tối ưu khác Footer Page 10 of 123 Header Page 100 of 123 Từ (3.33), ta suy tồn wp ∈ (W1 ∩ W2 ) ∩ aff (C) thỏa mãn yp = z¯ + wp (3.39) Kết hợp (3.39), (3.37) (3.38) ta z¯ + wp = ηp + cp = z0 + w0 + cp Điều kéo theo z¯ = z0 + cp + w0 − wp Hơn nữa, cp + w0 − wp ∈ cp + [(W1 ∩ W2 ) ∩ aff (C)] − [(W1 ∩ W2 ) ∩ aff (C)] ⊂ cp + [W2 ∩ aff (C)] + [W2 ∩ aff (C)] ⊂ (cp + W0 ) ∩ aff (C) ⊂ C Đặt k0 := cp + w0 − wp Ta k0 ∈ ri C z0 = z¯ − k0 Vì F (p0 ) ∩ (¯ z − ri C) = ∅, mâu thuẫn với z¯ ∈ R(p0 ) Chú ý rằng, ∈ / ri C k0 ∈ ri C, k0 = Từ z¯−k0 ∈ F (p0 ) k0 = suy z¯ = (¯ z −k0 ) ∈ F (p0 )∩(¯ z −ri C) Do đó, F (p0 )∩(¯ z −C) = {¯ z } Vì vậy, cách thay R F có kết sau Định lý 3.8 Giả sử C nón lồi với ri C = ∅, ∈ / ri C (RCP ) cho cặp (F, F) quanh p0 Nếu F r-H-usc r-lsc p0 , F lsc p0 Hệ 3.6 (xem [11, Theorem 4]) Giả sử C nón lồi, nhọn với int C = ∅ (CP ) cho cặp (F, F) quanh p0 Nếu F H-usc lsc p0 , F lsc p0 Nhận xét 3.10 (i) Định lý 3.7 mở rộng [11, Theorem 4] từ ánh xạ điểm hữu hiệu Pareto đến ánh xạ điểm hữu hiệu Pareto tương đối (ii) Chúng nhấn mạnh thêm điều kiện nón C Định lý 3.8 yếu [11, Theorem 4] Hơn nữa, int C = ∅, Định lý 3.8 trở thành [11, Theorem 4] Footer Page 100 of 123 95 Header Page 101 of 123 Ví dụ 3.5 Lấy P = [0, 1], Z = R2 , C = R+ × {0} Cho F : P ⇒ R2 xác định sau F (p) = {(z1 , z2 ) | f (z1 ) ≤ z2 ≤ −z1 + 1} với p ∈ [0, 1],   −t + p    f (t) =    −t + t ≤ p p < t ≤ t > với t ∈ R Với p ∈ [0, 1] ta có F(p) = {(z1 , z2 ) | z2 = −z1 + p, z1 ≤ p} ∪ {(z1 , z2 ) | z2 = −z1 + 1, z1 > 1} Dễ dàng kiểm tra tính (locCP ) (xem [23, Definition 3.1]) không cho F quanh p0 = Chú ý F r-H-usc r-lsc at p0 Bằng tính toán trực tiếp tính (RCP ) cho (F, F) quanh p0 Vì F lsc p0 Cuối cùng, nhắc lại kết gần Chuong, Yao Yen [23, Theorem 3.2] Bằng cách sử dụng cách tiếp cận Bednarczuk [11,13] đưa khái niệm gọi tính chất bao hàm địa phương, kí hiệu (locCP ), tác giả nhận kết tính nửa liên tục ánh xạ điểm hữu hiệu Pareto Trong [23], tác giả “nếu (CP ) cho cặp (F, F) quanh p0 , (locCP ) cho cặp (F, F) quanh điểm này” Tuy nhiên, tính chất (locCP ) (RCP ) độc lập với Để thấy điều này, xét ví dụ sau Ví dụ 3.6 Cho (F, P, Z, C) Ví dụ 3.5 Dễ thấy (locCP ) (xem [23, Definition 3.1]) không cho (F, F) quanh p0 = Trong đó, (RCP ) cho (F, F) quanh điểm Footer Page 101 of 123 96 Header Page 102 of 123 Ví dụ 3.7 (xem [23, Example 3.5]) Lấy P = [0, 1], Z = R2 , C = R2+ Cho F : P ⇒ R2 xác định sau F (0) = {(z1 , z2 ) | − z1 ≤ z2 ≤ −z1 + 2} F (p) = {(z1 , z2 ) | f (z1 ) ≤ z2 ≤ −z1 + 2} với p ∈ P \ {0},   −t + p    f (t) = p − p1    −t + t ≤ p p p p +2−p +2−p với t ∈ R Ta có F(0) = {(z1 , z2 ) | z2 = −z1 }, p ∪ (z1 , z2 ) | z2 = −z1 + 2, z1 > + − p p F(p) = (z1 , z2 ) | z2 = −z1 + p, z1 ≤ Dễ thấy (RCP ) cho (F, F) p0 = Tuy nhiên (RCP ) không cho cặp (F, F) điểm p ∈ P \ {0} Vì vậy, (RCP ) không cho (F, F) quanh p0 Trong đó, dễ ràng kiểm tra tính (locCP ) cho (F, F) quanh p0 Chúng ta để ý rằng, tính (locCP ) (RCP ) độc lập với nhau, điều kiện nón C Định lý 3.8 yếu [23, Theorem 3.2] Kết luận Chương Các kết chương bao gồm: - Thiết lập điều kiện đủ cho tính đóng tính trù mật tập điểm hữu hiệu Pareto tương đối Footer Page 102 of 123 97 Header Page 103 of 123 - Thiết lập điều kiện đủ cho hội tụ hội tụ theo nghĩa Kuratowski-Painlevé tập điểm hữu hiệu Pareto tương đối; cho tính nửa liên tục theo nghĩa Berge ánh xạ điểm hữu hiệu Pareto tương đối Footer Page 103 of 123 98 Header Page 104 of 123 Kết luận Các kết luận án bao gồm: Đưa phân tích chi tiết khái niệm nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng Thiết lập điều kiện đủ cho tồn nghiệm tối ưu với thứ tự suy rộng Thiết lập điều kiện đủ cho tính đóng tính liên thông tập nghiệm toán tối ưu véctơ với thứ tự suy rộng; điều kiện đủ cực trị cho nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng lớp toán tối ưu véctơ lồi Một số tính chất tôpô tính đóng, tính trù mật tập điểm hữu hiệu Pareto tương đối Thiết lập điều kiện đủ cho hội tụ hội tụ theo nghĩa Kuratowski-Painlevé tập điểm hữu hiệu Pareto tương đối; cho tính nửa liên tục theo nghĩa Berge ánh xạ điểm hữu hiệu Pareto tương đối Một số vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu: Các điều kiện đủ cực trị cho nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng toán tối ưu véctơ không lồi Tính chất liên thông tập nghiệm toán tối ưu với thứ tự suy rộng Footer Page 104 of 123 99 Header Page 105 of 123 Các điều kiện cực trị bậc cao cho nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng Các đặc trưng cần đủ cho tính nửa liên tục trên, nửa liên tục tính giả Lipschitz ánh xạ nghiệm toán tối ưu véctơ theo thứ tự suy rộng có tham số Footer Page 105 of 123 100 Header Page 106 of 123 CÁC CÔNG TRÌNH LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN Tuyen, N V., Yen, N D.: On the concept of generalized order optimality, Nonlinear Anal 75 (2012), 1592–1601 Tuyen, N V., Some characterizations of solution sets of vector optimization problems with generalized order, Acta Math Vietnam (2016), DOI 10.1007/s40306-015-0162-8 Huy, N Q., Kim, D S., Tuyen, N V.: Existence theorems in vector optimization with generalized order, Vietnam J Math (submited) Tuyen, N V., Convergence of the relative Pareto efficient sets, Taiwanese J Math (submited) Footer Page 106 of 123 101 Header Page 107 of 123 Tài liệu tham khảo [1] Aubin, J P., Frankowska, H.: Set-Valued Analysis, Birkh¨auser, Boston, Massachusetts, 1990 [2] Bao, T Q., Mordukhovich, B S.: Relative Pareto minimizers for multiobjective problems: existence and optimality conditions, Math Program 122 (2010), 101–138 [3] Bao, T Q., Mordukhovich, B S.: Extended Pareto optimality in multiobjective problems, Chapter 13 of the book Recent Advances in Vector Optimization (Q H Ansari and J.-C Yao, eds.), 467–516, Springer, Berlin, 2011 [4] Bao, T Q., Mordukhovich, B S.: Sufficient conditions for global weak Pareto solutions in multiobjective optimization, Positivity 16 (2012), 579–602 [5] Bao, T Q., Mordukhovich, B S.: To dual-space theory of set-valued optimization, Vietnam J Math 40 (2012), 131–163 [6] Bao, T Q., Tammer, C.: Lagrange necessary conditions for Pareto minimizers in Asplund spaces and applications, Nonlinear Anal 75 (2012), 1089–1103 [7] Bao, T Q., Mordukhovich, B S.: Necessary nondomination conditions in set and vector optimization with variable ordering structures, J Optim Theory Appl 162 (2014), 350–370 Footer Page 107 of 123 102 Header Page 108 of 123 [8] Bao, T Q., Mordukhovich, B S.: Sufficient optimality conditions for global Pareto solutions to multiobjective problems with equilibrium constraints, J Nonlinear Convex Anal 15 (2014), 105–127 [9] Bao, T Q.: Subdifferential necessary conditions in set-valued optimization problems with equilibrium constraints, Optimization 63 (2014), 181–205 [10] Bao, T Q., Pattanaik, S R.: Necessary conditions for εe-minimizers in vector optimization with empty interior ordering sets, Optimization (2014), DOI: 10.1080/02331934.2014.926358 [11] Bednarczuk, E M.: Berge-type theorems for vector optimization problems, Optimization 32 (1995), 373–384 [12] Bednarczuk, E M.: Some stability results for vector optimization problems in partially ordered topological vector, in: Proceedings of the First World Congress of Nonlinear Analysts, Volume III, 2371– 2382, Tampa, Florida, 1996 [13] Bednarczuk, E M.: A note on lower semicontinuity of minimal points, Nonlinear Anal 50 (2002), 285–297 [14] Bednarczuk, E M.: Upper H¨older continuity of minimal points, J Convex Anal (2002), 327–338 [15] Bednarczuk, E M.: Continuity of minimal points with applications to parametric multiple objective optimization, European J Oper Res 157 (2004), 59–67 [16] Bednarczuk, E M.: Stability analysis for parametric vector optimization problems, Diss Math 442 (2007) [17] Berge, C.: Topological Spaces, New York, 1963 Footer Page 108 of 123 103 Header Page 109 of 123 [18] Bishop, E., Phelps, R.R.: The support functionals of a convex set, Proceedings of the Symposium in Pure Mathematics, vol 7, Convexity, Amer Math Soc., 27–35, 1963 [19] Borwein, J M.: On the Existence of Pareto Efficient Points, Math Oper Res (1983), 64–73 [20] Borwein, J M., Lewis, A S.: Partially finite convex programming, Part I: Quasi relative interior and duality theory, Math Program 57 (1992), 15–48 [21] Borwein, J M., Goebel, R.: Notions of relative interior in Banach spaces, J Math Sci 115 (2003), 2542–2553 [22] Chicco, M., Mignanego, F., Pusillo, L., Tijs, S.: Vector optimization problems via improvement sets, J Optim Theory Appl 150 (2011), 516–529 [23] Chuong, T D., Yao, J C., Yen, N D.: Further results on the lower semicontinuity of efficient point multifunctions, Pacific J Optim (2010), 405–422 [24] Dolecki, S., Malivert, C.: Stability of efficient sets: Continuity of mobile polarities, Nonlinear Anal 12 (1988), 1461–1486 [25] Dolecki, S., El Ghali, B.: Some old and new results on lower semicontinuity of minimal points, Nonlinear Anal 39 (2000), 599–609 [26] Ferro, F.: An optimization result for set-valued mappings and a stability property in vector problems with constraints, J Optim Theory Appl 90 (1996), 63–77 [27] Ferro, F.: Optimization and Stability Results Through Cone Lower Semicontinuity, Set-Valued Anal (1997), 365–375 Footer Page 109 of 123 104 Header Page 110 of 123 [28] Flores-Bazán F., Hernández E., Novo V.: Characterizing efficiency without linear structure: a unified approach, J Glob Optim 41 (2008), 42–60 [29] Gong, X.H.: Efficiency and Henig efficiency for vector equilibrium problems, J Optim Theory Appl 108 (2001), 139–154 [30] Gutiérrez, C., Jiménez, B., Novo, V.: Improvement sets and vector optimization, European J Oper Res 223 (2012), 304–311 [31] Ha, T X D., Optimality conditions for various efficient solutions involving coderivatives: from set-valued optimization problems to set-valued equilibrium problems, Nonlinear Anal 75 (2012), 1305– 1323 [32] Henig, M I., The domination property in multicriteria optimization, J Math Anal Appl 114 (1986), 7–16 [33] Holmes, R B.: Geometric Functional Analysis and Its Applications, Grad Texts in Math 24, Springer-Verlag, New York, 1975 [34] Huy, N Q., Mordukhovich, B S., Yao, J C.: Coderivatives of frontier and solution maps in parametric multiobjective optimization, Taiwanese J Math 12 (2008), 2083–2111 [35] Huy, N Q., Kim, D S., Tuyen, N V.: Existence theorems in vector optimization with generalized order, Vietnam J Math (submited) [36] Huy, N Q., Tuyen, N V.: New second-order optimality conditions for C 1,1 optimization problems, J Optim Theory Appl (submited) [37] Jahn, J.: Vector Optimization Theory, Application, and Extensions, Springer, Berlin-Heidelberg-New York, 2004 Footer Page 110 of 123 105 Header Page 111 of 123 [38] Kruger, A.Y., Mordukhovich, B.S.: Extremal points and the Euler equation in nonsmooth optimization, Dokl Akad Nauk 24 (1980), 684–687 (in Russian) [39] Kruger, A Y.: Weak stationarity: eliminating the gap between necessary and sufficient conditions, Optimization 53 (2004), 147–164 [40] Luc, D T.: Structure of the efficient point set, Proc Amer Math Soc 95 (1985), 433–440 [41] Luc, D T.: Theory of Vector Optimization, Lecture Notes in Econom and Math Systems 319, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1989 [42] Luc, D T.: An existence theorem in vector optimization, Math Oper Res 14 (1989), 693–699 [43] Luc, D T.: Contractibility of Efficient Point Sets in Normed Spaces, Nonlinear Anal 15(1990), 527–535 [44] Luc, D T., Lucchetti, R., Malivert, C.: Convergence of the efficient sets, Set-Valued Anal (1994), 207–218 [45] Lucchetti, R., Miglierina, E.: Stability for convex vector optimization problems, Optimization (2004), 517–528 [46] Makarov, E K., Rachkovski, N N.: Efficient sets of convex compacta are arcwise connected, J Optim Theory Appl 110 (2001), 159–172 [47] Miglierina, E., Molho, E.: Well-posedness and convexity in vector optimization, Math Methods Oper Res 58 (2003), 375–385 [48] Miglierina, E., Molho, E.: Convergence of the minimal sets in convex vector optimization SIAM J Optim 15 (2005), 513–526 Footer Page 111 of 123 106 Header Page 112 of 123 [49] Mordukhovich, B S.: Variational Analysis and Generalized Differentiation, Vol I: Basic Theory, Springer, Berlin, 2006 [50] Mordukhovich, B S.: Variational Analysis and Generalized Differentiation, Vol II: Applications, Springer, Berlin, 2006 [51] Mordukhovich, B S., Necessary and sufficient conditions for linear suboptimality in constrained optimization, J Global Optim 40 (2008), 225–244 [52] Mordukhovich, B.S.: Methods of variational analysis in multiobjective optimization, Optimization 58 (2009), 413–430 [53] Naccache, P H.: Stability in multicriteria optimization, J Math Anal Appl 68 (1979), 441–453 [54] Pappalardo, M., St¨ocklin, W., Necessary optimality conditions in nondifferentiable vector optimization, Optimization 50 (2001), 233 – 251 [55] Penot, J P., Sterna-Karwat, A.: Parametrized multicriteria optimization: Continuity and closedness of optimal multifunction, J Math Anal Appl., 120 (1986), 150–168 [56] Rockafellar, R T.: Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1970 [57] Sawaragi, Y., Nakayama, H., Tanino, T.: Theory of Multiobjective Optimization, Mathematics in Science and Engineering, 176 Academic Press, Inc., Orlando, FL, 1985 [58] Song, W.: A note on connectivity of efficient point sets, Arch Math 65 (1995), 540–545 [59] Song, W.: Connectivity of efficient solution sets in vector optimization of set-valued mappings, Optimization 39 (1997), 1–11 Footer Page 112 of 123 107 Header Page 113 of 123 [60] Sonntag, Y., Zălinescu, C.: Set convergences: A survey and a classification, Set-Valued Anal (1994), 339–356 [61] Sonntag, Y., Zălinescu, C.: Comparison of existence results for efficient points, J Optim Theory Appl 105 (2000), 161–198 [62] Stadler, W.: Initiators of multiobjective optimization In: Stadler, W (ed.) Multicriteria Optimization in Engineering and in Sciences, pp 3–25 Series in Mathematical Concepts and Mathematics in Science and Engineering 37 Plenum Press, New York (1988) [63] Stoer, J., Witzgall, C., Convexity and Optimization in Finite Dimensions I, Springer-Verlag, New York, 1970 [64] Sterna-Karwat, A.: On existence of cone-maximal points in real topological linear spaces, Israel J Math 54 (1986), 33–41 [65] Tanino, T., Sawaragi, Y.: Stability of nondominated solutions in multicriteria decision-making, J Optim Theory Appl 30 (1980), 229–253 [66] Tolstonogov, A A.: Differential Inclusions in a Banach Space, Mathematics and Its Applications, vol 524, Kluwer Academic, Dordrecht, 2000 [67] Tuyen, N V., Yen, N D.: On the concept of generalized order optimality, Nonlinear Anal 75 (2012), 1592–1601 [68] Tuyen, N V.: Some characterizations of solution sets of vector optimization problems with generalized order, Acta Math Vietnam (2016), DOI 10.1007/s40306-015-0162-8 [69] Tuyen, N V.: Convergence of the relative Pareto efficient sets, Taiwanese J Math (submited) Footer Page 113 of 123 108 Header Page 114 of 123 [70] Ye, J J.: Necessary optimality conditions for multiobjective bilevel programs, Math Oper Res 36 (2011), 165–184 [71] Yu, P L.: Cone convexity, cone extreme points, and nondominated solutions in decision problems with multiobjectives, J Optim Theory Appl 14 (1974), 319 – 337 [72] Zălinescu, C.: Stability for a class of nonlinear optimization problems and applications, in: F.H Clarke, V.F Dem’yanov, F Siannassi (Eds.), Nonsmooth Optimization and Related Topics, vol 26, 437–458, Plenum Press, 1988 [73] Zheng, X Y., Yang, X Q.: The structure of weak Pareto solution sets in piecewise linear multiobjective optimization in normed spaces, Sci China Ser A 51 (2008), 1243–1256 [74] Zhu, J , Isac, G , Zhao, D.: Pareto optimization in topological vector spaces, J Math Anal Apll 301 (2005), 22–31 Footer Page 114 of 123 109 ... nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng 2) Thiết lập điều kiện đủ cho tồn nghiệm tối ưu với thứ tự suy rộng 3) Thiết lập điều kiện đủ cho tính đóng tính liên thông tập nghiệm toán tối ưu véctơ với thứ tự. .. véctơ với thứ tự suy rộng 40 2.1 Một số kiến thức chuẩn bị 40 2.2 Các điều kiện tối ưu cho điểm hữu hiệu suy rộng 47 2.3 Các điều kiện tối ưu cho toán tối ưu véctơ với thứ tự. .. toán tối ưu véctơ theo thứ tự suy rộng Chương nghiên cứu điều kiện tối ưu cho toán tối ưu véctơ với thứ tự suy rộng Mục 2.1 nhắc lại số kiến thức sở giải tích biến phân Các kiến thức sở để đưa điều