ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - ĐỖ HỒNG NHUNG BỘ LỌC KALMAN KHOẢNG VÀ ỨNG DỤNG DỰ BÁO THỜI TIẾT TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - ĐỖ HỒNG NHUNG BỘ LỌC KALMAN KHOẢNG VÀ ỨNG DỤNG DỰ BÁO THỜI TIẾT Chuyên ngành: XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC Mã số: 60460106 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TS NGUYỄN HỮU DƯ Hà Nội – 2015 Trước trình bày nội dung luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS TS, Nguyễn Hữu Dư người tận tình hướng dẫn để em hoàn thành khóa luận Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy cô giáo khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực luận văn tốt nghiệp Hà Nội, ngày 19 tháng 09 năm 2015 Học viên Đỗ Hồng Nhung Mục lục DANH SÁCH HÌNH VẼ iv MỞ ĐẦU 1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 Xác suất 1.1.1 Biến ngẫu nhiên 1.1.2 Xác suất có điều kiện 1.2 Khoảng thời gian 1.2.1 Các khái niệm tính chất 1.2.2 Số học khoảng 1.2.3 Hàm khoảng 1.2.4 Ma trận khoảng 1.3 Ước lượng bình phương cực tiểu 1.4 Thuật toán EM khoảng thời gian LỌC KALMAN 2.1 Giới thiệu 2.2 Mô hình trạng thái Gauss 2.3 Lọc Kalman ước lượng bình phương cực tiểu 2.4 Lọc Kalman Kalman smoother 2.5 Xác định mô hình không gian trạng thái tuyến 2.6 Ví dụ KHOẢNG LỒI 3.1 Giới thiệu 3.2 Số học khoảng lồi 3.3 Ma trận khoảng, hệ tuyến tính khoảng 3.3.1 Ma trận khoảng 3.3.2 Hệ tuyến tính khoảng ii tính 3 6 10 12 14 14 14 15 19 20 26 28 28 28 30 30 32 3.4 Biến ngẫu nhiên khoảng 3.4.1 Ánh xạ đa trị đo 3.4.2 Biến ngẫu nhiên khoảng phân bố chuẩn LỌC KALMAN KHOẢNG LỒI 4.1 Giới thiệu 4.2 Mô hình không gian trạng thái khoảng 4.3 Lọc Kalman khoảng lồi 4.4 Làm trơn Kalman khoảng lồi 4.5 Tóm lược Lọc Kalman khoảng lồi Làm trơn Kalman khoảng 4.6 Xác định mô hình không gian trạng thái khoảng 4.6.1 Mở đầu 4.6.2 Xác định tham số khoảng 33 33 34 42 42 42 43 45 lồi 47 48 48 50 ỨNG DỤNG DỰ BÁO THỜI TIẾT 54 KẾT LUẬN 61 TÀI LIỆU THAM KHẢO 62 iii Danh sách hình vẽ 2.1 Quan sát Trạng thái lưu lượng dòng chảy sông Nile 27 5.1 Quan sát Trạng thái 5.2 Trạng thái ước lượng mô 5.3 Quan sát thực ước lượng 58 59 60 iv MỞ ĐẦU Dự báo thời tiết có ý nghĩa quan trọng sản xuất đời sống, nhằm phòng chống hạn chế thiên tai, thiết lập kế hoạch sản xuất, khai thác tiềm khí hậu Người ta thường sử dụng nhiều phương pháp để dự báo thời tiết Một phương pháp thuật toán EM, lọc Kalman khoảng Từ quan sát thu dạng khoảng (ví dụ: khoảng nhiệt độ, khoảng độ ẩm, ), ta tìm ước lượng trạng thái thật môi trường ta quan sát Thông thường để ước lượng ta cần biết mô hình liên kết quan sát với thông số biểu diễn của mô hình Việc xác định xác mô hình giải toán ước lượng chìa khóa giải hệ thống liên kết liệu Vào năm 1960, Rudolf Kalman lần giới thiệu lọc Kalman lọc ước lượng tối ưu cho mô hình không gian trạng thái tuyến tính Để ước lượng trạng thái, lọc Kalman (KF) sử dụng phép đo có quan hệ tuyến tính với trạng thái bị nhiễu Bộ lọc ước lượng trạng thái trình thời điểm sau có phản hồi từ quan sát (có nhiễu) Như vậy, phương trình lọc Kalman chia thành hai bước: dự báo điều chỉnh Các phương trình cập nhật theo thời gian để dự đoán trạng thái vector hiệp phương sai sai số nhằm ước lượng trạng thái tiền nghiệm cho bước Các phương trình cập nhật theo giá trị đo lường dùng để cung cấp phản hồi – ví dụ kết hợp giá trị đo lường với ước lượng tiền nghiệm để có ước lượng trạng thái hậu nghiệm Để nhận dạng mô hình không gian trạng thái tuyến tính, toán ước lượng tham số hợp lý cực đại thuật toán cực đại hóa kỳ vọng (Expectation - Maximization, EM) sử dụng để tìm lời giải Lọc Kalman ứng dụng rộng rãi ước lượng quỹ đạo đối tượng qua khung hình sử dụng nhiều thiết bị điện tử dân dụng Camera giám sát, điều hướng Robot, dò tìm mìn, thiết bị kiểm tra hành lý Lọc Kalman khoảng mở rộng lọc Kalman với mô hình không gian trạng thái biểu diễn nhiễu tham số có dạng khoảng Tương tự lọc Kalman, để xác định mô hình trạng thái, ta sử dụng thuật toán EM khoảng Lọc Kalman khoảng có nhiều ứng dụng đời sống, xã hội như: dự báo thời tiết, theo dõi địa chấn tổng hợp, định vị vị trí Nội dung luận văn cấu trúc thành phần sau: • Chương 1: Một số khái niệm • Chương 2: Lọc Kalman • Chương 3: Khoảng lồi • Chương 4: Lọc Kalman khoảng lồi • Chương 5: Ứng dụng dự báo thời tiết Chương MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN Trong chương này, ta giới thiệu vài khái niệm cần thiết cho lọc Kalman khoảng xác định tham số mô hình không gian trạng thái khoảng Ta đề cập đến số khái niệm lý thuyết xác suất ước lượng bình phương cực tiểu, thuật toán EM; khái niệm mở rộng cho khoảng trình bày số kết ban đầu khoảng số học 1.1 1.1.1 Xác suất Biến ngẫu nhiên Định nghĩa Cho không gian xác suất (Ω, F, P ) Không giảm tổng quát ta giả thiết (Ω, F, P ) không gian xác suất đủ tức A biến cố có xác suất 0: P (A) = tập B ⊂ A biến cố ( tức B ∈ F ) Giả sử E không gian metric, ánh xạ X : Ω → E gọi biến ngẫu nhiên (b.n.n) với giá trị E (hay biến ngẫu nhiên E−giá trị) với tập Borel B E ta có X −1 (B) ∈ F Nếu X biến ngẫu nhiên nhận giá trị E = Rn ta nói X vector ngẫu nhiên n−chiều Nếu X biến ngẫu nhiên nhận giá trị tập số thực R ta nói X biến ngẫu nhiên Nếu X vector ngẫu nhiên n−chiều X có dạng X = (X1 , X2 , , Xn ) X1 , , Xn biến ngẫu nhiên Định nghĩa Cho X biến ngẫu nhiên E−giá trị Xét hàm tập µX xác định σ−đại số Borel E theo cách sau µX (B) = P (X −1 (B)), B ∈ B Bổ đề Cho F : ID → IR Khi lim F (X) = F (X0 ) ⇔ X→X0 lim Xα →(X0 )α F (Xα ) − F ((X0 )α ) = 0, (4.34) với α ∈ [0, 1] Định nghĩa 25 Cho F ∈ C (R) Ta định nghĩa F (X) sau F (X) = = d F (X) = dX d F (Xα ), α ∈ [0, 1] dXα (4.35) F (Xα + h) − F (Xα ) , α ∈ [0, 1] h h→0 lim Chú ý: Vì F ∈ C (R), F (X) khoảng Bổ đề Cho F, G : ID → IR khả vi R I ∈ ID Khi đó, (a) (F + G) khả vi (F + G) (X) = F (X) + G (X) (4.36) F (IX) = IF (IX) (4.37) (b) F (IX) tồn Chứng minh Chứng minh (a) d (F + G)(X) = dX d (F + G)(Xα ), α ∈ [0, 1] dXα = d (F (Xα ) + G(Xα )), α ∈ [0, 1] dXα = d d F (Xα ) + G(Xα ), α ∈ [0, 1] dXα dXα = d F (Xα ), α ∈ [0, 1] dXα + d G(Xα ), α ∈ [0, 1] dXα = F (X) + G (X) Chứng minh (b) F (IX) = = d F (IX) = dX Iα d F (Iα Xα ), α ∈ [0, 1] dXα d F (Iα Xα ), α ∈ [0, 1] dXα = IF (IX) 49 4.6.2 Xác định tham số khoảng Trong phần này, ta trình bày thuật toán EM tổng quát (xem phần 2.5) với việc xác định tham số chưa biết Θ = {A, H, Q, R} mô hình không gian trạng thái khoảng (4.1), (4.2) Ta sử dụng định nghĩa riêng phép toán khoảng nêu chương 3, hàm định nghĩa khoảng phép lấy vi phân khoảng giới thiệu phần trước Ta nhắc lại định nghĩa biến ngẫu nhiên khoảng tính chất thống kê chúng (xem phần 3.4) Để tổng quát hóa thuật toán EM thiết lập khoảng, ta cần đưa phép toán, công thức công thức Bayes, vết ma trận, xuất thuật toán EM Trong phần này, điều đưa bổ đề Các chứng minh kết giúp ta tổng quát hóa thuật toán EM cho xác định tham số khoảng Bổ đề công thức Bayes tổng quát khoảng Bổ đề (Bayes’ Rule) Cho X, Y ∈ IR biến ngẫu nhiên khoảng Khi P (X, Y ) = P (X|Y )P (Y ) (4.38) Chứng minh P (X, Y ) = {P (Xα , Yα ), α ∈ [0, 1]} = {P (Xα |Yα )P (Yα ), α ∈ [0, 1]} = {P (Xα |Yα ), α ∈ [0, 1]}{P (Yα ), α ∈ [0, 1]} = P (X|Y )P (Y ) Bây giờ, ta chứng minh vết có tính chất tuyến tính ma trận khoảng Bổ đề Cho A, B ∈ IRn×n Khi tr(A + B) = tr(A) + tr(B) Chứng minh tr(A + B) = {tr(Aα + Bα ), α ∈ [0, 1]} = {trAα + trBα , α ∈ [0, 1]} = {trAα , α ∈ [0, 1]} + {trBα , α ∈ [0, 1]} = trA + trB 50 (4.39) Bổ đề 10 Cho X = [a1 , b1 ], Y = [a2 , b2 ] ∈ IR a1 , a2 > Khi đó, Log(XY ) = LogX + LogY (4.40) Chứng minh Log(XY ) = {Log(Xα Yα ), α ∈ [0, 1]} = {LogXα + LogYα , α ∈ [0, 1]} = {LogXα , α ∈ [0, 1]} + {LogYα , α ∈ [0, 1]} = LogX + LogY Cho {Υn , Xn } liệu hoàn chỉnh trạng thái Xn = {x1 , x2 , , xn } quan sát Υn = {y1 , y2 , , yn } liệu khoảng Vì tất phép toán tính chất sử dụng để cực đại phương trình (2.48) định nghĩa tốt việc thiết lập khoảng định nghĩa tính lồi khoảng, ta sử dụng bước nêu xác định tuyến tính phần 2.5 cho việc xác định tham số khoảng mô hình không gian trạng thái khoảng (4.1), (4.2) Với giả thiết phân bố Gauss, mật độ xác suất P (x0 ) cho P (x0 ) = (2π)−k/2 |Σ0 |−1/2 exp(−1/2(x0 − µ0 )T Σ−1 (x0 − µ0 )) (4.41) Dựa vào (4.1), (4.2), ta viết hàm mật độ có điều kiện cho trạng thái khoảng đầu P (yt |xt ) = (2π)−k/2 |R|−1/2 exp(−1/2(yt − Hxt )T R−1 (yt − Hxt )), (4.42) P (xt+1 |xt ) = (2π)−k/2 |Q|−1/2 exp(−1/2(xt − Axt−1 )T Q−1 (xt − Axt−1 )) Theo công thức Bayes bước giống (2.40), hàm hợp lý chung cho liệu hoàn chỉnh xác định n n P (yt |xt ) P (Υn , Xn ) = t=1 P (xt+1 |xt )P (x0 ) (4.43) t=1 Log hàm hợp lý chung viết sau n (yt − Hxt )T R−1 (yt − Hxt ) − n/2Log|Q| LogP (Υn , Xn ; Θ) = − n/2Log|R| − t=1 n (xt − Axt−1 )T Q−1 (xt − Axt−1 ) − 1/2Log|Σ0 | − t=1 − 1/2(x0 − µ0 )T Σ−1 (x0 − µ0 ) + Const 51 (4.44) Tương tự phần 2.5, ta tính kỳ vọng có điều kiện hàm hợp lý chung liệu hoàn chỉnh bước lặp j, j = 1, 2, G(Θ|Θ(j−1) ) =E[LogP (Yn , Xn ; Θ)|Yn , Θ(j−1) ] n = − n/2Log|R| − tr{R [(yt − Hxnt )(yt − Hxnt )T + HPnt HT ]} −1 t=1 −1 [D − CAT − ACT + ABAT ]} − 1/2Log|Σ0 | − n/2Log|Q| − 1/2tr{Q n T n n − 1/2tr{Σ−1 [(x0 − µ0 )(x0 − µ0 ) + P0 ]} + Const, (4.45) đó, n B= [xnt−1 (xnt−1 )T + Pnt−1 ], (4.46) [xnt (xnt−1 )T + Pnt,t−1 ], (4.47) [xnt (xnt )T + Pnt ], (4.48) t=1 n C= t=1 n D= t=1 Trong phương trình trên, thành phần xnt−1 , xnt , Pnt−1 , Pnt , Pnt,t−1 tính cách sử dụng cách phương trình lọc Kalman khoảng lồi phương trình làm trơn Kalman khoảng lồi (4.22) - (4.31) Do đó, bước lặp j , ta tìm ước lượng điều chỉnh tham số khoảng chưa biết A = CB−1 (4.49) Q = 1/n(D − CB−1 CT ) n (xnt (xnt )T + Pnt ) (yt (xnt )T ) H= (4.50) n t=1 t=1 n n yt ytT R = 1/n{ t=1 t=1 (4.51) n yt (xnt )T )( −( −1 n xnt (xnt )T t=1 µ0 = xn0 + Pnt )−1 ( xnt ytT )} (4.52) t=1 (4.53) Quá trình lặp để thu hàm hợp lý cực đại tham số khoảng mô hình không gian trạng thái khoảng tổng kết lại sau: Bước chuẩn bị: lựa chọn giá trị bắt đầu cho tham số Θ(0) = {A(0) , H(0) , R(0) , Q(0) , µ0 } sử dụng phương trình (4.22) - (4.31) để ước lượng giá trị làm trơn xnt , Pnt Pnt,t−1 với tham số ban đầu 52 Tính kỳ vọng có điều kiện Log hàm hợp lý (phương trình 4.45) (Bước E) Sử dụng phương trình (4.22) - (4.31) để ước lượng giá trị làm trơn xnt , Pnt Pnt,t−1 với t = 1, 2, , n, với tham số Θ(j−1) , (j = 1, 2, ) Sử dụng giá trị làm trơn để tính B, C, D (4.46) - (4.48) (Bước M) Điều chỉnh ước lượng, Θ sử dụng phương trình (4.49) - (4.53), ta thu Θ(j) Lặp lại bước ước lượng hàm Log hàm hợp lý ổn định 53 Chương ỨNG DỤNG DỰ BÁO THỜI TIẾT Trong chương này, ta giới thiệu ứng dụng lọc Kalman khoảng lồi để dự báo nhiệt độ Vancouver Harbour CS Cannada Số liệu nhiệt độ download http://climate.weather.gc.ca/ Ta sử dụng lọc Kalman khoảng để dự báo khoảng nhiệt độ dựa số liệu quan sát tháng đầu năm 2015 (nhiệt độ đo 149 ngày) Số liệu chuyển thành khoảng, khoảng có điểm cuối điểm đầu nhiệt độ thấp nhiệt độ cao ngày Cho ytI = {y1I , y2I , , ynI } liệu quan sát n ngày Mục tiêu tìm dự báo cho ngày (t = n + 1) Dự báo khoảng Các tham số khoảng xác định thuật toán EM giới thiệu chương trước Áp dụng lọc Kalman khoảng vào mô hình không gian trạng thái khoảng với tham số biết, ta dự đoán (ˆ xI )nn+1 Dự báo (ˆ xI )nn+1 sử dụng I Tóm tắt trình làm sau: để tính yˆn+1 Chuyển liệu đo thành khoảng Xác định tham số cho mô hình trạng thái khoảng cách sử ước lượng tham số khoảng (phần 4.6.2) Áp dụng phương trình lọc Kalman khoảng phần 4.5 để tìm (ˆ xI )nn+1 I Thay (ˆ xI )nn+1 vào phương trình để tính yˆn+1 I I So sánh yn+1 yˆn+1 cách tính khoảng cách hai khoảng 54 R code Ta sử dụng phần mềm R gói lệnh dlm, ISDA.R, MAINT.Data, MARSS để tính toán library(scatterplot3d) library(stringi) library(MARSS) library(ISDA.R) library(MAINT.Data) require(grDevices) setwd("d:/codenhap") data < − read.csv("MarchAprilMay.csv", header=TRUE) save(data, file="MarchAprilMay.rda") hmin =data[,c(5)] hmax=data[,c(4)] h= interval(hmin,hmax) k= lapply( h, as.character) temp= stri_list2matrix(k, byrow=TRUE) final = ’dim< −’(as.numeric(temp), dim(temp)) #estimate parameters U.model = "zero" x0.model = "zero" kem1 = MARSS(final, model = list(Z"=identity",B="identity",U=U.model, x0 = x0.model)) kem1$logLik #the log-likelihood kem1$AIC # the AIC plotdat=final xs = matrix(kem1$states, nrow = dim(plotdat)[1], ncol = dim(plotdat)[2], byrow=F) resids = plotdat − xs i = 1:149 plot(i, resids[1,], type="l", col = "ORANGE", xlab="",ylab = "") lines(resids[2,], col = "ORANGE") title("Residuals") xmin = kem1$states[1,] xmax = kem1$states[2,] x=data.frame(cbind(xmin,xmax)) 55 x=IData(x) Q = data.frame(cbind(coef(kem1, type="matrix")Q[1,1], coef(kem1, type= "matrix")Q[2,2])) Q = IData(Q) R = data.frame(cbind(coef(kem1, type="matrix")R[1,1], coef(kem1, type= "matrix")R[2,2])) R = IData(R) kf.out =MARSSkfss(kem1) #simulate data sim.obj = MARSSsimulate(kem1, tSteps = 150, nsim=1) t= : 150 s1 = sim.obj$sim.states s1=data.frame(s1) s2 = sim.obj$sim.data s2 = data.frame(s2) plot(t, s1[,2], type="l", ylim =c(−10,30), col = "GREEN",ylab="Temperature",xlab = "Days") lines(s[,1],col="GREEN") lines(kem1$states[1, ], col="RED") lines(kem1$states[2, ], col="RED") legend("topleft",title="Legend", c("Estimate state", "Simulate state"), horiz=TRUE, lty=c(1,1),lwd=c(2,2),col=c("RED","GREEN")) plot(t,t(s2[1,]), type="l", ylim=c(-10,30),col="PURPLE", ylab="Temperature", xlab="Days") lines(t(s2[2, ]), col ="PURPLE") lines(hmax, col="RED") lines(hmin, col="RED") legend("topleft",title="Legend", c("Real observation", "Estimated observation"), lty = c(1,1), lwd = c(2,2),col=c("RED","PURPLE")) title(" Real observation and Estimated observation") #plot i = 1: nrow(data) matplot(i, hmin, type="l",ylim = c(−2, 25),xlab="Day", ylab="Temperature", col = "BLUE") lines(hmax, col="BLUE") lines(kem1$states[1, ], col="RED") lines(kem1$states[2, ], col="RED") 56 legend("topleft",title="Legend", c("Observations", "States"), horiz=TRUE, lty=c(1,1), lwd=c(2,2), col=c("BLUE","RED")) title("Observations and States",cex.main=.9) q() Kết quả: Hình 5.1 cho thấy nhiệt độ đo thực tế trạng thái nhiệt độ cho thấy quan sát xác, nhiễu quan sát thấp Trạng thái ước lượng nhiệt độ vào ngày thứ 150 có kết [13.4; 21.8] ước lượng quan sát nhiệt độ ngày thứ 150 [13.9; 22] Trên thực tế, nhiệt độ đo ngày hôm [13.7; 21.2] Nhiệt độ dự đoán nhiệt độ đo thực tế có chênh lệch nhìn chung không sai khác lớn 57 Hình 5.1: Quan sát Trạng thái 58 Hình 5.2: Trạng thái ước lượng mô 59 Hình 5.3: Quan sát thực ước lượng 60 KẾT LUẬN Trong luận văn này, tìm hiểu thực thuật toán EM lọc Kalman khoảng để dự báo nhiệt độ từ liệu quan sát thực tế Việc tính toán thực nhờ máy tính, nhiên hạn chế tốc độ tính toán kích cỡ liệu đầu vào Trong tương lai, toán nghiên cứu kỹ để khắc phục hạn chế Sau nghiên cứu đề tài, ta rút kết luận sau: lọc Kalman xây dựng dựa việc giảm sai số bình phương trung bình (MSE) Ước lượng xác định ước lượng trạng thái tốt phải thỏa mãn hai tiêu chuẩn sau: Thứ nhất, giá trị kỳ vọng trạng thái ước lượng nên giá trị kỳ vọng trạng thái thực Thứ hai, trạng thái ước lượng nên sai khác so với trạng thái thực, tức phương sai sai số thấp Và lời giải lọc Kalman thỏa mãn hai điều kiện nhiễu vt , wt nhiễu trắng Lọc Kalman khoảng biến thể lọc Kalman truyền thống với đại lượng khoảng Đây phương pháp quan trọng hiệu việc lọc nhiễu tối ưu cho ước lượng nên ứng dụng rộng rãi Các ứng dụng như: • Dự báo thời tiết (nhiệt độ, lượng mưa, tốc độ gió ), • Theo dõi địa chấn tổng hợp, • Ước lượng trạng thái sạc pin (Battery state of charge (SoC) estima- tion), • Định vị chuyển động, • Xác định vị trí GPS, thiết thực có nhiều đóng góp vào đời sống, kinh tế, xã hội, an ninh quốc phòng 61 Tài liệu tham khảo [1] Đặng Hùng Thắng, (2012), Xác suất nâng cao, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Alferd G., Mayer G., (2000), Interval Analysis: Theory and Applications, Tournal of Computitional and Applied Mathematics [3] Algahtani O.J (2011), An Interval Kalman Filter, Interval EM algorithm with application to weather prediction, King Fahd University of Petroleum [4] Anderson B.D.O and J.B Moore, (1979), Optimal Filtering, Prentice Hall [5] Catlin D.E (1984), Control and the Discrete Kalman Filter, Springer Verlag [6] Dempster A P., Laird N M and Rubin D B., (1977), "Maximum likelihood from uncomplete data via the EM algorithm", Journal of the Royal Statistical Society Series B (Methodological), Vol 39, pp 1-38 [7] Durrant H.F - Whyte, ( 2000), Introduction to Estimation and The Kalman Filter, Australian Centre for Filed Robotics [8] Harvey A C., (1989), Forecasting Structural Times Series Models and the Kalman Filter, Cambridge University Press [9] Jean Pierre Aubin, Frankowska H., (1990), Set Valued Analysis, Birkhanser [10] Kalman R E., (1960), "A new approach to linear filter and prediction problems", J Basic Eng., Vol 82,pp 35-45 [11] Maybeck P.S (1979), Stochastic Models, Estimation and Control, Vol I Academic Press [12] Moens D and Vandepitte D., (2005), "A survey of non-probabilistic uncertainty treatment in finite element analysis", Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 62 [13] Nedialkov N S., Jackson K R., Pryce J D., (2001), "An effective highorder interval method for validating existence and uniqueness of the solution of an IVP for an ODE", Reliable Computing, Vol 7, pp 449-465 [14] Neumaier, (1990), Interval Methods for Systems of Equations, Cambridge University Press [15] Shumway R.H and Stoffer D S., (2006), Time Series Analysis and Its Applications with R Examples, Springer [16] Xiaodong Luo, (2009), Recursive Bayesian Filters for Data Assimilation, Ph.D thesis, Oxford University 63 ... • Chương 2: Lọc Kalman • Chương 3: Khoảng lồi • Chương 4: Lọc Kalman khoảng lồi • Chương 5: Ứng dụng dự báo thời tiết Chương MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN Trong chương này, ta giới thiệu vài khái niệm... NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - ĐỖ HỒNG NHUNG BỘ LỌC KALMAN KHOẢNG VÀ ỨNG DỤNG DỰ BÁO THỜI TIẾT Chuyên ngành: XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC Mã số: 60460106 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA... trạng thái khoảng 4.3 Lọc Kalman khoảng lồi 4.4 Làm trơn Kalman khoảng lồi 4.5 Tóm lược Lọc Kalman khoảng lồi Làm trơn Kalman khoảng 4.6