Phòng giáo dục cẩm giàng Chuyên đề: Một số ứng dụng của định lí Vi-ét. Môn: Đại số. Cẩm Giàng, ngày 21 tháng 3 năm 2008. Người báo cáo: Trần Văn Mạnh. Đơn vị: Trường THCS Tân Trường. Khối lớp: 9. Chuyên đề một số ứng dụng của định lý vi - ét A . Đặt vấn đề I - Lý do chọn đề tài Như chúng ta đã biết phương trình bậc hai là một trong những nội dung quan trọng của chương trình đại số lớp 9, các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai là vô cùng phong phú. Do vậy khả năng gặp phương trình bậc hai trong các kì thi tuyển sinh vào THPT, vào các trường chuyên, lớp chọn là rất cao, đặc biệt là các bài toán liên quan đến định lý Vi-ét. Tuy nhiên phân phối chương trình cho phần định lý Vi-ét là rất ít (1 tiết lý thuyết, 1 tiết bài tập), vì thế qua thực tế giảng dạy tôi thấy đại đa số học sinh thường lúng túng đôi khi còn nhầm lẫn khi đứng trước các bài toán có liên quan đến định lý Vi-ét và một số ứng dụng của định lí này ( Như khi gặp các bài toán tìm hai số biết hiệu và tích, các bài toán chứa tham số, phương trình tương đư ơng, phương trình có nghiệm chung .) Chuyên đề: một số ứng dụng của định lý vi - ét A . Đặt vấn đề I - Lý do chọn đề tài: Trước thực tế đó, nhằm giúp các em nắm được một cách có hệ thống và có khả năng giải quyết được các bài tập về dạng này một cách thành thạo, góp phần phát huy khả năng suy luận, óc phán đoán, tính linh hoạt của học sinh, tôi đã nghiên cứu và đề xuất chuyên đề: Một số ứng dụng của định lý Vi-ét . II- Mục đích nghiên cứu: - Thứ nhất: Xuất phát từ nhu cầu thực tế vận dụng của học sinh, trước những thiên hướng tốt, chưa tốt mà tôi thấy rất cần phân loại và trang bị một số phương pháp giải cho các em. - Thứ hai: Bản thân người thầy cũng rầt cần trau dồi, tự học và tham khảo làm chủ kiến thức. - Thứ ba: Giúp các thày cô có thêm tài liệu về định lý Vi-ét, phục vụ trong công tác giảng dạy, đặc biệt trong việc ôn luyện học sinh giỏi và ôn luyện vào THPT. III- Phương pháp nghiên cứu Chuyên đề: một số ứng dụng của định lý vi - ét A . Đặt vấn đề I - Lý do chọn đề tài II- Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu những vấn đề lý thuyết về phương trình bậc hai, định lý Viet trong chương trình đại số lớp 9 - Nghiên cứu qua những tài liệu tham khảo, những chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi - Qua thực tế giảng dạy đặc biệt là từ kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi, ôn tập cho học sinh thi vào THPT. - Qua trao đổi, học hỏi kinh nghiệm của bạn bè đồng nghiệp, những đồng chí có nhiều năm công tác, có bề dày kinh nghiệm trong công tác giảng dạy. IV- Nhiệm vụ của đề tài Đề cập tới một số ứng dụng của định lý Vi-et. Rút ra một số nhận xét và chú ý khi làm từng dạng , cách giải quyết từng dạng. Từ đó dần hình thành khả năng tổng hợp, khái quát và các năng lực tư duy khác cho học sinh. V- Giới hạn nghiên cứu - Chuyên đề này áp dụng được với mọi đối tượng học sinh. Tuy nhiên với mỗi đối tượng thì giáo viên cần lựa chọn hệ thống bài tập với mức độ khó, dễ cho phù hợp. - Chuyên đề này áp dụng tốt nhất trong các tiết dạy tự chọn, trong việc ôn luyện học sinh giỏi, hướng dẫn học sinh ôn thi vào THPT, đặc biệt là ôn thi vào các trường chuyên, lớp chọn. Chuyên đề: một số ứng dụng của định lý vi - ét b. giải quyết vấn đề. Icở sở lý thuyết 1. Điều kiện về nghiệm của phương bậc hai một ẩn Phương trình: ax 2 + bx + c = 0 ( a 0) (*) có 2 4b ac = 1.1 Nếu < 0 thì (*) vô nghiệm 1.2 Nếu = 0 thì (*) có nghiệm kép: 1 2 2 b x x a = = 1.3 Nếu > 0 thì (*) có 2 nghiệm phân biệt: 1 ; 2 b x a + = 2 2 b x a = 1.4 Nếu ac < 0 thì phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt. 1.5 Định lý Vi-ét thuận: Nếu (*) có nghiệm, gọi nghiệm đó là x 1 , x 2 thì: 1 2 1 2 ; . b c S x x P x x a a = + = = = 1.6 Định lý Vi-ét đảo: Nếu hai số x 1 ; x 2 có tổng x 1 + x 2 = S và tích x 1 .x 2 = P thì x 1 ; x 2 là các nghiệm của phương trình X 2 - SX + P = 0 (ở đây chú ý rằng PT(*) chỉ có nghiệm khi S 2 4P) 1.7 Nếu a + b + c = 0 thì phương trình (*) có hai nghiệm: 1 2 1; c x x a = = 1.8 Nếu a- b + c = 0 thì phương trình (*) có hai nghiệm: 1 2 1; c x x a = = 1.9 Nếu phương trình (*) có hai nghiệm x 1 , x 2 mà x 1 + x 2 = m + n và x 1 . x 2 = m.n thì x 1 = m; x 2 = n hoặc x 1 = n; x 2 = m. Chuyên đề: một số ứng dụng của định lý vi - ét b. giải quyết vấn đề Icở sở lý thuyết 2. Dấu của nghiệm số phương trình bậc hai 1. Điều kiện về nghiệm của phương bậc hai một ẩn Cho phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 ( a 0) Gọi x 1 ; x 2 là các nghiệm của phương trình, ta có các kết quả sau: 1 2 2.1) 0 0P x x< < < 1 2 0 2.2) 0 0 0 P x x S > < > 1 2 0 2.3) 0 0 0 P x x S > < < 2 1 0 2.4) 0 0 P x x S = > = > 1 2 0 2.5) 0 0 P x x S = < = < Phần I. Một số ứng dụng của định lí viét Dạng 1: nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0, a 0 1) Nếu a + b + c = 0 thì phương trình (*) có hai nghiệm: 1 2 1; c x x a = = 2) Nếu a- b + c = 0 thì phương trình (*) có hai nghiệm: 1 2 1; c x x a = = I. Cách giải Xét phương trình bậc hai: ax 2 + bx + c = 0 ( a 0) (*). Để nhẩm nghiệm của phương trình dạng này trước hết nhấn mạnh cho học sinh: 3) Nếu phương trình (*) có hai nghiệm x 1 , x 2 mà x 1 + x 2 = m + n và x 1 .x 2 = m.n thì x 1 = m; x 2 = n hoặc x 1 = n; x 2 = m. VD1: Giải phương trình sau bằng cách nhẩm nhanh nhất a) 2x 2 - 5x + 3 = 0 (1) b) -3x 2 + 7x +10 = 0 (2) 2 1 1 5 0 3 2 6 x x = 2 1 1 2 5 0 2 3 (2 )( 3) m x x m m m m + + = d) ( Với m 2; m 3, x là ẩn) (4) c) II. Một số ví dụ Phần I. Một số ứng dụng của định lí viét nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0, a 0 I. Cách giải Dạng 1: (3) Hướng dẫn: a) Có a+ b + c = 0 nên x 1 = 1; x 2 = 1,5 b) Có a - b + c = 0 nên x 1 = -1; x 2 = c) Có a - b + c = 0 nên x 1 = -1; x 2 = 2,5 d) Đây là phương trình bậc hai có: a + b + c = = 0 (Với m 2; m 3). Nên phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt 10 3 1 1 2 5 2 3 (2 )( 3) m m m m m + + 1 2 2 5 1; 3 m x x m = = VD1: Giải phương trình sau bằng cách nhẩm nhanh nhất a) 2x 2 - 5x + 3 = 0 (1) b) -3x 2 + 7x +10 = 0 (2) 2 1 1 5 0 3 2 6 x x = 2 1 1 2 5 0 2 3 (2 )( 3) m x x m m m m + + = d) ( Với m 2; m 3, x là ẩn) (4) c) (3)