ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THỊ HƯƠNG ĐỊNH LÝ PICARD ĐỐI VỚI ĐẠO HÀM CỦA HÀM PHÂN HÌNH LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THỊ HƯƠNG ĐỊNH LÝ PICARD ĐỐI VỚI ĐẠO HÀM CỦA HÀM PHÂN HÌNH Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS VŨ HOÀI AN Thái Nguyên - Năm 2016 i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng tôi, hướng dẫn TS Vũ Hoài An Luận văn không trùng với luận văn thạc sĩ tài liệu tham khảo luận văn trung thực Học viên Xác nhận Xác nhận trưởng Khoa Toán người hướng dẫn khoa học ii Lời cám ơn Luận văn hoàn thành Khoa sau đại học, Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn Tiến sĩ Vũ Hoài An Nhân dịp này, Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến Tiến sĩ Vũ Hoài An, người dành nhiều thời gian, tận tình, hướng dẫn giúp đỡ tạo điều kiện để hoàn thành tốt luận văn Một lần tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến nhà toán học Khoa Toán, Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Viện Toán học Việt Nam Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè thành viên lớp cao học K21 ủng hộ giúp đỡ suốt trình học tập thực luận văn Tuy có nhiều cố gắng, song thời gian lực thân có hạn nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận ý kiến đóng góp nhà khoa học bạn đọc Tôi xin chân thành cảm ơn Thái Nguyên, tháng 08 năm 2016 Tác giả Trần Thị Hương iii Mục lục Mở đầu 1 Định lý Picard đạo hàm hàm phân hình 1.1 Định lý Picard đạo hàm hàm phân hình 1.2 Vấn đề đạo hàm hàm phân hình 11 Định lý Picard đạo hàm hàm phân hình p-adic 23 2.1 Định lý Picard với đạo hàm hàm phân hình p-adic 23 2.2 Vấn đề đạo hàm hàm phân hình p-adic 33 iv Các kí hiệu • Cp : Trường số phức p-adic • f : Hàm phân hình p-adic • N (r, f − a): Hàm đếm f a • m(r, f ) : Hàm xấp xỉ f • T (r, f ): Hàm đặc trưng f • O(1): Đại lượng giới nội • Nf (r), Nk (f, r): Hàm đếm, hàm đếm mức k Mở đầu Định lý Picard nói rằng: hàm phân hình không nhận ba giá trị phân biệt hàm Lý thuyết phân bố giá trị Nevanlinna xây dựng với nội dung hai định lý Định lý thứ mở rộng Định lý đại số, mô tả phân bố giá trị hàm phân hình khác mặt phẳng phức C Định lý thứ hai mở rộng Định lý Picard, mô tả ảnh hưởng đạo hàm đến phân bố giá trị hàm phân hình Hà Huy Khoái người xây dựng tương tự Lý thuyết phân bố giá trị cho trường hợp p-adic Ông học trò tương tự lý thuyết Nevanlinna cho trường số phức p-adic mà ngày thường gọi lý thuyết Nevanlinna p-adic Họ đưa hai Định lý cho hàm phân hình p-adic Các kiểu Định lý Picard nhiều nhà toán học nước xét mối liên hệ với đạo hàm hàm phân hình Người khởi xướng hướng nghiên cứu Hayman Năm 1967, Hayman chứng minh kết sau đây: Định lí A.[7] Cho f hàm phân hình C Nếu f (z) = f (k) (z) = với k số nguyên dương với z ∈ C, f Năm 1967, Hayman đưa giả thuyết sau đây: Giả thuyết Hayman.[7] Nếu hàm nguyên f thỏa mãn f n (z) f (z) = với n số nguyên dương với z ∈ C, f Giả thuyết Hayman Hayman kiểm tra hàm nguyên siêu việt n > 1, Clunie kiểm tra n ≥ Các kết vấn đề liên quan hình thành nhánh nghiên cứu gọi lựa chọn Hayman Tiếp đó, hàm nguyên f g , C C Yang G G Gundersen nghiên cứu trường hợp f (k) g (k) nhận giá trị CM, k = 0, Công trình quan trọng thúc đẩy hướng nghiên cứu thuộc C.C.Yang – X.H Hua Năm 1997, hai ông chứng minh định lý sau đây: Định lí B.[16] Cho f g hai hàm phân hình khác hằng, n ≥ 11 số nguyên a ∈ C - {0} Nếu f n f g n g nhận giá trị a CM f = dg với dn+1 = f (z) = c1 ecz g (z) = c2 e−cz , c, c1 , c2 số thỏa mãn (c1 c2 )n+1 c2 = −a2 Từ đó, hướng nghiên cứu phát triển mạnh mẽ với kết sâu sắc I Lahiri, Q Han – H X Yi, W Bergweiler, J K Langley, K Liu, L Z Yang, L C Hong, M L Fang, B Q Li, P C Hu - C.C.Yang, A Eremenko, G Frank - X Hua – R Vaillancourt Công cụ sử dụng số kiểu Định lý Picard Định lý thứ hai cho đa thức vi phân với ước lượng hàm đặc trưng, hàm đếm hàm đạo hàm Tuy nhiên, Việt nam, hướng nghiên cứu mẻ, kết lĩnh vực ỏi Nhằm thúc đẩy góp phần làm phong phú kết hướng nghiên cứu nước, nghiên cứu đề tài : Định lý Picard đạo hàm hàm phân hình Trong luận văn trình bày kết vấn đề nhận giá trị đạo hàm hàm phân hình tương tự p-adic Trình bày định lý Picard đạo hàm hàm phân hình tương tự p-adic Đây vấn đề mang tính thời cấp thiết giải tích p-adic, nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Ngoài phần mở đầu tài liệu tham khảo, luận văn chia thành chương: Chương Định lý Picard đạo hàm hàm phân hình Kết chương Định lý 1.7, 1.11, 1.13 Chương Trình bày lại định lý Picard đạo hàm hàm phân hình p-adic Kết chương Định lý 2.3, 2.6, 2.9, 2.11, 2.12, 2.13 Chương Định lý Picard đạo hàm hàm phân hình Trong chương trình bày lại kết [3],[16] - Định lý Picard đạo hàm hàm phân hình Mục tiêu Định lý kiểu Picard xem xét vấn đề nhận giá trị số kiểu đa thức vi phân - Vấn đề đạo hàm hàm phân hình Đây ứng dụng Định lý kiểu Picard Định lý thứ hai lý thuyết phân bố giá trị 1.1 Định lý Picard đạo hàm hàm phân hình Cho n > 1, f hàm nguyên khác C z0 thuộc C Khi ta viết f dạng ∞ an (z − b)n f= n=q với aq = ta đặt µ0f (z) = q Đối với a ∈ C, k , l số nguyên dương, ta định nghĩa hàm µaf : C → N µaf (z) = µ0f −a (z), n(r, 1 )= )= µf −a (z), nl (r, {µf −a (z), l} , f −a f −a |z|≤r |z|≤r N (r, )= f −a r n(x, 1 ) f −a dx, Nl (r, )= x f −a Ta định nghĩa hàm µ≤k f từ Cp vào N xác định bởi:  0 µ0 (z) > k f ≤k µf (z) = µ0 (z) µ0 (z) ≤ k f n≤k (r, r nl (x, 1 ) f −a dx x ; f 1 ≤k )= )= µ≤k (z), n (r, µ≤k f −a l f −a (z), l , f −a f −a |z|≤r |z|≤r ≤k ) r n (r, 1 f −a ≤k )= dx, N (r, f −a lnp ρ0 x ≤k ) r nl (x, 1 f −a ≤k Nl (r, )= dx f −a lnp ρ0 x Tương tự ta định nghĩa: N k (r, ) f −a f −a f1 , hàm phân hình C, f1 , f2 hàm nguyên f2 C không điểm chung Với a ∈ C, k , l số nguyên dương, ta định nghĩa hàm Giả sử f = µaf (z) = µ0f1 −af2 (z) a = ∞ µ∞ f (z) = µf2 (z), 2π log + f (reiθ | m(r, f ) = dθ 2π 1 N (r, f −a ) = N (r, f1 −af ), N (r, f ) = N (r, f12 ), T (r, f ) = N (r, f ) + m(r, f ) 40 Kết hợp với (2.11), (2.12), (2.13) ta có (n − 1)T (r, f ) + N (r, 2N1 (r, f ) + 2T (r, f ) + N (r, +N (r, ) + N (r, f ) ≤ f ) + 2N1 (r, g) + 2T (r, g) f ) − logr + O(1) g Vì ) g − logr + O(1) (2.14) (n − 3)T (r, f ) + N (r, f ) ≤ 2N1 (r, f ) + 2N1 (r, g) + 2T (r, g) + N (r, Tương tự ta có ) f − logr + O(1) (2.15) (n − 3)T (r, g) + N (r, g) ≤ 2N1 (r, g) + 2N1 (r, f ) + 2T (r, f ) + N (r, Hơn N (r, ) ≤ T (r, f ) + O(1) = m(r, f ) + N (r, f ) + O(1) f f 1 ≤ m(r, ) + m(r, ) + N (r, ) + N1 (r, f ) + O(1) f f f ≤ T (r, f ) + N1 (r, f ) + O(1) Tương tự N (r, ) ≤ T (r, g) + N1 (r, g) + O(1) g Từ bất đẳng thức (2.14), (2.15), ta có (n − 6)(T (r, f ) + T (r, g)) ≤ 5(N1 (r, f ) + N1 (r, g)) − N (r, f ) − N (r, g) − logr + O(1) Vì (n − 6)(T (r, f ) + T (r, g)) ≤ 4(N1 (r, f ) + N1 (r, g)) − logr + O(1), (n − 6)(T (r, f ) + T (r, g)) ≤ 4(T (r, f ) + T (r, g)) − logr + O(1) 41 Vì ta có (n − 10)(T (r, f ) + T (r, g)) + logr ≤ O(1) Vì n ≥ 10, ta nhận điều mâu thuẫn Trường hợp F G = f n f g n g ≡ Ta chứng minh f = g = Giả sử f có không điểm a với µ0f (a) = m Khi a cực điểm g với µ0g (a) = p f n f g n g ≡ Vì nm + m − = np + p + Do ta có (m − p)(n + 1) = Điều n ≥ 10 m, p số nguyên 1 , g = , f1 , g1 hàm f1 g1 n n nguyên khác Do f f g g ≡ nên ta có Vì f =0 g = Do f = f1 g1 ≡ f1n+2 g1n+2 (2.16) Do n ≥ 10 , nên ta có T (r, f1 g1 ) = T (r, f1 ) + T (r, g1 ) ≤ T (r, f1 ) + T (r, g1 ) + O(1) < T (r, f1n+2 ) + T (r, g1n+2 ) + O(1) (2.17) cho r đủ lớn Từ (2.16) (2.17), ta nhận điều mâu thuẫn Vì f n f ≡ g n g Do ta có f n+1 = g n+1 + c Ta chứng minh c = Giả sử ngược lại c = Ta có phương trình z n+1 + c = có n + nghiệm phân biệt z1 , z2 , , zn+1 Với i = 1, 2, , n + 1, tất không điểm g − zi có bội n + Từ Định lý Quan hệ số khuyết ta có (n + 1)(1 − ) < Từ suy n < n+1 Do n ≥ 10 ta có mâu thuẫn Vậy c = Do f n+1 = g n+1 Vậy f = dg với dn+1 = Bổ đề sau kiểu Định lý thứ hai cho hàm phân hình p- adic Trước tiên cần vài khái niệm 42 Cho f g hai hàm phân hình khác Cp cho E f (1) = E g (1), a không điểm f − với bội µ1f (a), g − với bội µ1g (a) Ta kí hiệu N1,f (1, r; µ1f (a) > µ1g (a)) hàm đếm không điểm f − µ1f (a) > µ1g (a) không điểm tính với bội 1, kí ≥2 hiệu N1,f (1, r; µ1f (a) = µ1g (a)) hàm đếm không điểm f − µ1f (a) = µ1g (a) ≥ không điểm tính với bội Bổ đề 2.10 Cho f g hàm phân hình khác Cp Nếu E f (1) = E g (1) ba trường hợp sau i 1 T (r, f ) ≤ N2 (r, f ) + N2 (r, ) + N2 (r, g) + N2 (r, ) + 2(N1 (r, f ) f g 1 +N1 (r, )) + N1 (r, g) + N1 (r, ) − logr + O(1), f g Bất đẳng thức tương tự cho T (r, g); ii f g = 1; iii f ≡ g Chứng minh Đặt f f g g ,G = ,L = −2 − +2 F = f −1 g−1 f f −1 g g−1 Khi L= F G − F G (2.18) Bây ta xét hai trường hợp sau: Trường hợp L không đồng Do (2.18) nên tất cực điểm g1 f1 L có bậc Viết f = (Tương ứng g = ), f1 , f2 (Tương f2 g2 ứng g1 , g2 ) hàm chỉnh hình Cp không điểm chung 43 Khi f1 f2 − f2 f1 (f1 ”f2 − f2 ”f1 )f2 − 2f2 (f1 f2 − f2 f1 ) , f ” = ; f22 f23 f ” (f1 ”f2 − f2 ”f1 )f2 − 2f2 (f1 f2 − f2 f1 ) , = f f2 (f1 f2 − f2 f1 ) (f f2 − f2 f1 ) f = (2.19) f −1 f2 (f1 − f2 ) Tương tự f = g” (g1 ”g2 − g2 ”g1 )g2 − 2g2 (g1 g2 − g2 g1 ) ; = g g2 (g1 g2 − g2 g1 ) g (g g2 − g2 g1 ) = g−1 g2 (g1 − g2 ) (2.20) Từ (2.18), (2.19), (2.30) có a cực điểm L, f (a) = ∞ f (a) = f (a) = g(a) = ∞ g (a) = g(a) = Bây xét a cực điểm L với µ∞ f (a) = f3 Viết f = z−a , f3 (a) = 0, f3 (a) = ∞ z−a = f3 −(z−a) , Khi F = f −1 f3 − f3 (z − a) , (f3 − (z − a))2 −f3 ”.(z − a)(f3 − (z − a)) − 2(f3 − 1)(f3 − f3 (z − a)) F” = ; (f3 − (z − a))3 F ” −f3 ”.(z − a)(f3 − (z − a)) − 2(f3 − 1)(f3 − f3 (z − a)) = (2.21) F (f3 − (z − a))(f3 − f3 (z − a)) F = Từ (2.21) ta suy f g với µ∞ f (a) F” F (a) = ∞ Do = µ∞ g (a) = 1, a cực điểm G” F” (a) − (a)] = ∞ F G Bây xét a không điểm f − với µ1f (a) = m Do E f (1) = E g (1) nên g(a) = µ1g (a) = n Viết F1 F = , F1 (a) = 0, F1 (a) = ∞; (z − a)m L(a) = [ (2.22) 44 G= G1 , G1 (a) = 0, G1 (a) = ∞ (z − a)n Khi F (z − a) − mF1 ; F = (z − a)m+1 [F1 ”.(z − a) + (1 − m)F1 ](z − a) − (m + 1)(F1 (z − a) − mF1 ) F” = (z − a)m+2 Tương tự cho G , G” Từ suy F ” G” − = F G (F1 ”.(z − a) + (1 − m)F1 )(z − a) − (m + 1)(F1 (z − a) − mF1 ) [ z−a F1 (z − a) − mF1 (G1 ”.(z − a) + (1 − n)G1 )(z − a) − (n + 1)(G1 (z − a) − nG1 ) − ] G1 (z − a) − nG1 Nếu m = n = (F1 − G1 ).(z − a)2 F ” G” − = F G z − a (F1 (z − a) − F1 )(G1 (z − a) − G1 ) (F1 − G1 ).(z − a) = ; (F1 (z − a) − F1 )(G1 (z − a) − G1 ) m = n ≥ 2, F ” G” − = F G (F1 ”.(z − a) + (1 − m)F1 )(z − a) − (m + 1)(F1 (z − a) − mF1 ) [ z−a F1 (z − a) − mF1 (G1 ”.(z − a) + (1 − m)G1 )(z − a) − (m + 1)(G1 (z − a) − mG1 ) − ] G1 (z − a) − mG1 Từ đẳng thức L không đồng 0, ta nhận m = L(a) = m = n ≥ L(a) = ∞ Từ (2.18)-(2.22) ta thấy a cực điểm L f (a) = ∞ với µ∞ f (a) ≥ 2, hoặcf (a) = µf (a) ≥ f (a) = 0, 45 f (a) = với µ1f (a) > µ1g (a), g(a) = ∞ với µ∞ g (a) ≥ 2, g(a) = µg (a) ≥ 2hoặc g (a) = 0, g(a) = 1với µ1g (a) > µ1f (a) (6) Từ (2.18) ta có m(r, L) = O(1) N ≤1 (r, 1 ) = N ≤1 (r, ) ≤ N (r, ) f −1 g−1 L ≤ T (r, L) + O(1) ≤ N (r, L) (2.23) Theo Định lý thứ hai ta có 1 T (r, f ) ≤ N1 (r, f ) + N1 (r, ) + N1 (r, ) − N0 (r, ) − logr + O(1) f f −1 f (2.24) ) hàm đếm không điểm f không điểm f f (f − 1) Cũng định nghĩa tương tự N1,0 (r, ), f không điểm f tính với bội Tương tự Ở N0 (r, 1 T (r, g) ≤ N1 (r, g) + N1 (r, ) + N1 (r, ) − N0 (r, ) g g−1 g − logr + O(1) (2.25) Từ (2.25) (2.26) ta có 1 T (r, f ) + T (r, g) ≤ N1 (r, f ) + N1 (r, ) + N1 (r, ) − N0 (r, ) f f −1 f 1 + N1 (r, g) + N1 (r, ) + N1 (r, ) − N0 (r, ) g g−1 g − logr + O(1) (2.26) 46 Từ E f (1) = E g (1), N1 (r, 1 ) = N ≤1 (r, ) + N1≥2 (r, ) f −1 f −1 f −1 Ta có N1≥2 (r, 1 ) ≤ N1 (r, ; µ1f (a) > µ1g (a))+N1 (r, ; µ1g (a) > µ1f (a)) f −1 f −1 g−1 1 ; µ1g (a) = µ1f (a)), N1 (r, ) + N1 (r, ) g−1 f −1 g−1 1 )+N1 (r, ; µ1f (a) > µ1g (a))+N1 (r, ; µ1g (a) > µ1f (a)) ≤ N ≤1 (r, f −1 f −1 g−1 1 +N1≥2 (r, ; µ1g (a) = µ1f (a)) + N1 (r, ) g−1 g−1 1 ≤ N ≤1 (r, ) + N1 (r, ; µ1f (a) > µ1g (a)) + N (r, ) f −1 f −1 g−1 1 ≤ N ≤1 (r, ) + N1 (r, ; µ1f (a) > µ1g (a)) + T (r, g) f −1 f −1 +N1≥2 (r, Từ (2.27) ta có 1 ) − N0 (r, ) + N1 (r, g) T (r, f ) ≤ N1 (r, f ) + N1 (r, ) + N ≤1 (r, f f −1 f 1 + N1 (r, ) + N1 (r, ; µ1f (a) > µ1g (a)) − N0 (r, ) g f −1 g − logr + O(1) (2.27) Từ (2.23) (2.24) ta có N ≤1 (r, 1 ) ≤ N (r, L) ≤ N1≥2 (r, f ) + N1≥2 (r, g) + N1,0 (r, ) f −1 f 1 + N1,0 (r, ) + N1≥2 (r, ) + N1≥2 (r, ) g f g + N1 (r, ; µ1f (a) > µ1g (a) f −1 ; µ1g (a)) > µ1f (a)) + O(1) (2.28) + N1 (r, g−1 Kết hợp (2.28) với (2.29) ta có 47 1 T (r, f ) ≤ N2 (r, f ) + N2 (r, ) + N2,g ((r, g)) + N2 (r, ) f g 1 + N1 (r, ; µ1f (a) > µ1g (a)) + N1,g (r, ; µ1g (a) > µ1f (a)) f −1 g−1 − logr + O(1) (2.29) Mặt khác ta thấy 1 1 (N (r, ) − N1 (r, ) + (N (r, ) − N1 (r, ) ≤ Nf (r), f −1 f −1 f f 1 N (r, ) ≤ N1 (r, f ) + N (r, ) + O(1) f f Chú ý N1 (r, 1 ; µ1f (a) > µ1g (a)) ≤ N (r, ) − N1 (r, ) f −1 f −1 f −1 N1 (r, 1 ; µ1f (a)) > µ1g (a)) ≤ N1 (r, f ) − N1 (r, ) + O(1) f −1 f Vì Tương tự ta có N1 (r, 1 ; µ1g (a)) > µ1f (a) ≤ N1 (r, g) − N1 (r, ) + O(1) g−1 g Kết hợp với (2.30) ta nhận Trường hợp Trường hợp L ≡ Lý luận tương tự Trường hợp Bổ đề 2.8 Định lý sau tương tự Định lý Năm điểm, Định lý Yang - Hua cho hàm phân hình p− adic đạo hàm Định lý 2.11 Giả sử f g hai hàm phân hình khác Cp E f n f (a) = E gn g (a), a ∈ Cp , a = 0, n ≥ 22 Khi f ≡ g Chứng minh Đặt f n+1 g n+1 F = ,G = a(n + 1) a(n + 1) 48 f nf gng F = ,G = a a Ta có 1 1 ) ≤ 2N1,f (r, ) + N (r, ) ≤ 2T (r, f ) + N (r, ) + O(1), F f f f N2 (r, F ) = 2N1 (r, f ), 1 1 N2 (r, ) ≤ 2N1 (r, ) + N (r, ) ≤ 2T (r, g) + N (r, ) + O(1), G g g g N2 (r, G ) = 2N1 (r, g), 1 1 2N1 (r, ) ≤ 2N1 (r, ) + N (r, ) ≤ 2T (r, f ) + N (r, ) + O(1), F f f f 2N (r, F ) = 2N1 (r, f ), 1 N1 (r, ) ≤ N1 (r, ) + N (r, ) ≤ Tg (r) + Ng (0, r) + O(1), G g g N1 (r, G ) = N1 (r, g), N (r, ) ≤ T (r, f ) + N1 (r, f ) + O(1), f (2.30) N (r, ) ≤ T (r, g) + N1 (r, g) + O(1) g N2 (r, Từ E f n f (a) = E gn g (a) dẫn đến E F (1) = E G (1) , (n − 1)T (r, f ) + N (r, ) + N (r, f ) ≤ T (r, F ) + O(1) f (2.31) Áp dụng Bổ đề 2.10 ta xét trường hợp sau: Trường hợp 1 ) + N2 (r, G ) + N2 (r, ) F G 1 + 2(N1 (r, F ) + N1 (r, )) + N1 (r, G ) + N1 (r, ) − logr + O(1) F G T (r, F ) ≤ N2 (r, F ) + N2 (r, Kết hợp với (2.31) (2.32) ta có 49 (n − 1)T (r, f ) ≤ 6T (r, f ) + 5T (r, g) + 6N1 (r, f ) + 5N1 (r, g) − N (r, f ) − logr + O(1) (n − 1)T (r, g) ≤ 6T (r, g) + 5T (r, f ) + 6N1 (r, g) + 5N1 (r, f ) − N (r, g) − logr + O(1) Vì (n − 1)(T (r, f ) + T (r, g)) ≤ 11(T (r, f ) + T (r, g)) + 10(N1 (r, f ) + N1 (r, g)) − logr + O(1) (n − 1)(T (r, f ) + T (r, g)) ≤ 21(T (r, f ) + T (r, g)) − logr + O(1) Khi (n − 22)(T (r, f ) + T (r, g)) + logr ≤ O(1) Khi n ≥ 22 ta thấy mâu thuẫn Trường hợp F G = f n f g n g ≡ Chứng minh tương tự Trường hợp Định lý 2.9 ta nhận mâu thuẫn Trường hợp 3.f n f ≡ g n g Tiếp tục chứng minh tương tự Định lý 2.9 ta nhận f ≡ g Tiếp theo ta đưa tương tự Định lý điểm cho f n ∆c f Định lý 2.12 Cho f hàm phân hình khác Cp n ≥ 6, E f n ∆c f (ai ) = E f n ∆d f (ai ) q ≥ + n+2 n−1 Khi c = d Chứng minh Từ Định lý 2.6 n ≥ nên f n ∆c f, f n ∆d f khác Giả sử c = d Khi f n (∆c f − ∆d f ) không đồng không Áp dụng Định lý thứ hai, ta có q (q − 2)Tf n ∆c (f ) (r) ≤ N1,f n ∆c f (ai , r) − logr + O(1) i=1 ≤ Nf n (∆c f −∆d f ) (0, r) − logr + O(1) ≤ Tf n (∆c f −∆d f ) (r) − logr + O(1) 50 ≤ Tf n (f (z+c)−f (z+d)) (r) − logr + O(1) ≤ Tf n (r) + Tf (z+c) (r) + Tf (z+d) (r) − logr + O(1) ≤ (n + 2)Tf (r) − logr + O(1) Mặt khác Tf n ∆c (f ) ≥ (n − 1)Tf (r) + O(1) Từ bất đẳng thức ta có (q − 2)(n − 1)Tf (r) ≤ (n + 2)Tf (r) − logr + O(1), ((q − 2)(n − 1)Tf (r) − (n + 2))Tf (r) + logr ≤ O(1) Từ q ≥ + n+2 n−1 ta có mâu thuẫn Vậy c = d Tiếp theo ta đưa tương tự Định lý Bốn điểm cho Toán tử sai phân Định lý 2.13 Cho f hàm phân hình Cp , n ≥ 15 Ef n ∆c (1) = Ef n ∆d (1) Khi c = d Chứng minh Từ Định lý 2.6 n ≥ nên f n ∆c , f n ∆d khác Đặt A = f n ∆c , B = f n ∆d Áp dụng Bổ đề 2.8 với trường hợp sau Trường hợp TA (r) ≤ N2,A (∞, r) + N2,A (0, r) + N2,B (∞, r) + N2,B (0, r) − logr + O(1) Ta có N2,A (∞, r) ≤ N2,f n+1 (∞, r)+Nf (z+c) (∞, r) = 2N1,f (∞, r)+Nf (z+c) (∞, r) ≤ 2Tf (r) + Tf (z+c) (r) + O(1) ≤ 3Tf (r) + O(1), N2,A (0, r) ≤ N2,f n (0, r) + N∆c f (0, r) ≤ 2N1,f (0, r) + N∆c f (0, r) ≤ 2Tf (r) + T∆c f (r) + O(1) ≤ 2Tf (r) + 2Tf (r) + O(1) Vậy N2,A (∞, r) ≤ 3Tf (r) + O(1) N2,A (0, r) ≤ 4Tf (r) + O(1) 51 Tương tự ta có N2,B (∞, r) ≤ 3Tf (r) + O(1) N2,B (0, r) ≤ 4Tf (r) + O(1) Mặt khác TA (r) ≥ (n − 1)Tf (r) Kết hợp bất đẳng thức ta có (n − 1)Tf (r) ≤ 14Tf (r) − logr + O(1) (n − 15)Tf (r) + logr ≤ O(1) Do n ≥ 15 ta có mâu thuẫn Vậy Trường hợp không xảy Trường hợp f n ∆c f f n ∆d f = Khi f 2n = ∆c f ∆d f , Tf 2n (r) = T ∆ f1∆ f (r) ≤ T ∆1 f (r) + T ∆1 f (r) + O(1) c d c d ≤ 4Tf (r) + 4Tf (r) + O(1) Mặt khác Tf 2n (r) = 2nTf (r) + O(1) Từ bất đẳng thức trên, ta có 2nTf (r) + O(1) ≤ 8Tf (r) + O(1) 2(n − 4)Tf (r) ≤ O(1) Do n ≥ 15 ta có mâu thuẫn Vậy Trường hợp không xảy Trường hợp f n ∆c f = f n ∆d f Từ ta nhận c = d 52 KẾT LUẬN Luận văn trình bày Định lý Picard cho đạo hàm hàm phân hình phức, p- adic vấn đề Kết trình bày luận văn là: Định lý 1.7, Định lý Picard đạo hàm hàm phân hình phức; Định lý 1.11, Định lý 1.13 hai ứng dụng Định lý Picard kiểu Định lý thứ hai đạo hàm vào vấn đề hàm phân hình; Định lý 2.3 Định lý Picard đạo hàm hàm phân hình p-adic Định lý 2.6 Định lý Picard Toán tử sai phân hàm phân hình p-adic; Định lý 2.9, Định lý 2.11 hai ứng dụng Định lý Picard kiểu Định lý thứ hai đạo hàm hàm phân hình p-dic; Định lý 2.12, Định lý 2.13 hai ứng dụng Định lý Picard kiểu Định lý thứ hai Toán tử sai phân vào vấn đề hàm phân hình p-adic 53 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Hà Trần Phương - Vũ Hoài An(2014),Giải tích p-adic, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Tiếng Anh Vu Hoai An and Le Thi Hoai Thu(2012), "Hayman Conjecture for p-adic meromorphic functions in several variables", p-Adic Numbers, Ultrametric Analysis and Applications, Vol.4, No.3, pp.231-243 A Banerjee(2008), "Uniqueness of certain non- linear differential polynomials sharing the same value", International Journal of Pure and Applied Mathematics, Volume 48 No.1, 41-56 Halburd, R.G., and R.J Korhonen(2006), "Nevanlinna theory for the difference operator", Ann.Acad.Sci.Fenn.Math., Vol 31, pp 463-478, Hu, P.C and Yang, C.C (2000), Meromorphic functions over non-Archimedean fields, Kluwer Academic Publishers Ha Huy Khoai and Vu Hoai An(2003), "Value distribution for p-adic hypersurfaces", Taiwanese Journal of Mathematics, Vol 7, No.1, pp 51-67 Ha Huy Khoai and Vu Hoai An(2011), "Value distribution problem for p-adic meromorphic functions and their derivatives", Ann Fac Sc Toulouse, Vol XX, No Special, pp.135-149 Ha Huy Khoai and Vu Hoai An(2012), "Value - sharing problem for p-adic meromorphic functions and their difference operators and difference polynomials", Ukranian Math J., Vol 64, 2012, N.2, pp 54 147-164 Ha Huy Khoai, Vu Hoai An and Nguyen Xuan Lai(2012), "Value sharing problem and Uniqueness for p-adic meromorphic functions", Annales Univ Sci Budapest., Sect Comp 38, 71-92 10 Ha Huy Khoai and Mai Van Tu(1995), "p-adic Nevanlinna-Cartan Theorem", Internat J Math, pp 719-731 11 K Liu and L.Z Yang(2009), "Value distribution of the difference operator", Archiv der Mathematik, Vol 92, no 3, 270-278 12 I.Laine and C.C.Yang(2007), "Value distribution of difference polynomials", Proceedings of the Japan Academy Series A, vol 83, no 8,pp.148-151 13 Nguyen Xuan Lai and Tran Quang Vinh(2013), "Version of Nevanlinna five- value theorem and Hayman conjecture for derivatives of p-adic meromorphic functions", Journal of Science and Technology of Thai Nguyen University, 113(13) 14 Ojeda, J (2008), "Hayman’s conjecture in a p-adic field", Taiwanese J Math N.9, pp 2295-2313 15 J Ojeda (2008), "Zeros of ultrametric meromorphic functions f f n (f − a)k − α", Asian-European Journal of mathematics,Vol.1 (3), pp 415 - 429 16 Yang, C.C and Hua, X.H (1997), "Uniqueness and value-sharing of meromorphic functions", Ann.Acad.Sci.Fenn.Math, pp.395-406 17 H.X.Yi(1999), "Meromorphic functions that share one or two values II", Kodai Math.J., 22, 264-272 [...]... của Định lý 1.11 ta nhận được Trường hợp 2 không xảy ra Trường hợp 3 Chứng minh tương tự như trong Trường hợp 3 của Định lý 1.11 ta ta có f = hg với hd = 1 23 Chương 2 Định lý Picard đối với đạo hàm của hàm phân hình p-adic Trong chương này, chúng tôi trình bày Định lý Picard đối với đạo hàm của hàm phân hình p-adic Các kết quả này đã được đề cập ở [9] 2.1 Định lý Picard với đạo hàm của hàm phân hình. .. của hàm phân hình p-adic Như đã nêu ở phần Mở đầu, Định lý Picard nói rằng: một hàm phân hình không nhận ba giá trị phân biệt là hàm hằng Việc tương tự Định lý Picard cho đạo hàm của hàm phân hình đã được Hayman nghiên cứu Tương tự của Định lý Picard cho hàm phân hình p-adic là như sau: Một hàm phân hình p-adic không nhận hai giá trị phân biệt là hàm hằng Trong mục này, trước tiên chúng tôi nhắc lại... (r, f ) ≤ N1 (r, n (k) n+k (f ) − a Định lý 1.7 (Định lý Picard đối với đạo hàm của hàm phân hình) Cho f là hàm phân hình trên C, n, k, là các số nguyên dương, n > k + 2, a ∈ C, a = 0 Nếu (f n )(k) (z) = a, với mọi z ∈ C thì f là hằng 1.2 Vấn đề duy nhất đối với đạo hàm của hàm phân hình Phần này trình bày lại một số kết quả về vấn đề duy nhất đối với ((f d + a)n )(k) với a = 0 trong trường hợp tính bội... log r + O(1) Từ đây và Định lý chính thứ nhất ta nhận được 4(n + 1) )T (r, f n f ) ≤ (q − 2 n + 3n + 2 q N1 (r, i=1 1 ) − log r + O(1) f n f − ai Định lý sau đây trả lời chưa trọn vẹn Giả thuyết Hayman p− adic 28 Định lý 2.3 (Định lý Picard đối với đạo hàm của hàm phân hình p-adic) Nếu hàm phân hình f trên Cp thỏa mãn f n (z) f (z) = 1 với n > 1 là một số nguyên dương nào đó và với mọi z ∈ Cp thì f... ), N ≥k (r, f ), Nl≥k (r, f ) Chúng ta sẽ dùng kết quả sau đây Định lý 1.1 (Định lý chính thứ hai) Cho f là hàm phân hình khác hằng trên C và a1 , a2 , , aq ∈ C {∞} Khi đó (q − 2)T (r, f ) ≤ q 1 i=1 N1 (r, f −ai ) + S(r, f ), Ở đó S(r, f ) = o(T (r, f )) với mọi r không thuộc tập có độ đo Lebesgue hữu hạn Định lý 1.2 Cho f là một hàm phân hình khác hằng trên C và a1 , a2 , , aq ∈ C {∞} Giả sử rằng,... + S(r, g), f g Bất đẳng thức tương tự xảy ra đối với T (r, g); 2 f g ≡ 1 ; 3 f ≡ g Định lý 1.13 Cho f, g là hai hàm phân hình khác hằng trên C, a ∈ C, a = 0, và n, d, k là các số nguyên dương thoả mãn n > 2k + 7+7d+3k+4kd d Nếu E ((f d +a)n )(k) (1) = E ((gd +a)n )(k) (1) thì f = hg với hd = 1 21 Chứng minh Với các ký hiệu như trong chứng minh của Định lý 1.11 Áp dụng Bổ đề 1.12 cho (C n )k , (Dn... nhận giá trị và duy nhất cho Toán tử sai phân Vấn đề này liên quan mật thiết đến giả thuyết Hayman p− adic cho Toán tử sai phân Giả thuyết Hayman cho Toán tử sai phân p− adic Nếu một hàm phân hình p− adic f thỏa mãn f n (z) ∆c f (z) = 1 với n là một số nguyên dương nào đó và với mọi z ∈ Cp thì f là hằng Bổ đề 2.4 Nếu hàm phân hình f trên Cp thỏa mãn ∆c f (z) = 0 với mọi z ∈ Cp thì f là hằng Chứng minh... Hayman.[7] Nếu một hàm nguyên f thỏa mãn f n (z) f (z) = 1 với n là một số nguyên dương nào đó và với mọi z ∈ C, thì f là hằng Giả thuyết Hayman được phát biểu trong trường hợp p− adic như sau: Giả thuyết Hayman p- adic Nếu một hàm phân hình p− adic f thỏa mãn f n (z) f (z) = 1 với n là một số nguyên dương nào đó và với mọi z ∈ Cp thì f là hằng 24 Để ý rằng mỗi một khẳng định đối với giả thuyết Hayman... hằng Áp dụng Bổ đề 2.2 với giá trị 1 ta có (1 − 1 4(n + 1) n )T (r, f f ) + log r ≤ N (r, ) + O(1) 1 n2 + 3n + 2 f nf − 1 Vì n > 1 ta nhận được 1− 4(n + 1) ≥ 0 n2 + 3n + 2 Do đó f n f nhận giá trị 1, mâu thuẫn Vậy f là hằng Tiếp theo chúng ta xem xét vấn đề nhận giá trị và duy nhất đối với toán tử sai phân (xem [8]) cho f hàm phân hình p−adic Ta định nghĩa Toán tử sai phân của hàm f như sau: ∆c f =... đó và với mọi z ∈ Cp thì f là hằng 24 Để ý rằng mỗi một khẳng định đối với giả thuyết Hayman p-adic cho ta một kiểu Định lý Picard p-adic Giả sử f là hàm chỉnh hình khác hằng trên Cp (hàm phân hình p− adic), a ∈ Cp , k, l là các số nguyên dương Ta định nghĩa hàm µ≤k f từ Cp vào N xác định bởi:  0 nếu µ0 (z) > k 1 f ≤k )= µ≤k µf (z) = , n≤k (r, f −a (z), 0 0 µ (z) nếu µ (z) ≤ k f −a |z|≤r f f n≤k ... 1 Định lý Picard đạo hàm hàm phân hình 1.1 Định lý Picard đạo hàm hàm phân hình 1.2 Vấn đề đạo hàm hàm phân hình 11 Định lý Picard đạo hàm hàm phân hình p-adic 23 2.1 Định lý Picard với đạo hàm. .. trình bày Định lý Picard đạo hàm hàm phân hình p-adic Các kết đề cập [9] 2.1 Định lý Picard với đạo hàm hàm phân hình p-adic Như nêu phần Mở đầu, Định lý Picard nói rằng: hàm phân hình không... kiểu đa thức vi phân - Vấn đề đạo hàm hàm phân hình Đây ứng dụng Định lý kiểu Picard Định lý thứ hai lý thuyết phân bố giá trị 1.1 Định lý Picard đạo hàm hàm phân hình Cho n > 1, f hàm nguyên khác