ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NÔNG THANH LOAN LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN THI OLYMPIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NÔNG THANH LOAN LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN THI OLYMPIC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS TRẦN NGUYÊN AN THÁI NGUYÊN - 2016 Mục lục Lời mở đầu 1 Một số khái niệm, kết ứng dụng 1.1 Các định nghĩa ứng dụng 1.2 Hành trình, đường, chu trình, vết mạch 1.3 Tô màu đồ thị ứng dụng 3 16 24 Một số lớp đồ thị đặc biệt ứng dụng 2.1 Cây ứng dụng 2.2 Đồ thị Euler ứng dụng 2.3 Đồ thị Hamilton ứng dụng 2.4 Đồ thị phẳng ứng dụng 37 37 43 47 55 Kết luận 61 i LỜI MỞ ĐẦU Lý thuyết đồ thị ngành toán học đại, có lịch sử phát triển kỷ có ứng dụng quan trọng vào nhiều ngành khoa học, kĩ thuật đại: Vật lí, hoá học, sinh học, tin học, điều khiển học, vv Trên thực tế có nhiều toán liên quan tới tập đối tượng mối liên hệ chúng, đòi hỏi toán học phải đặt mô hình biểu diễn cách chặt chẽ tổng quát ngôn ngữ kí hiệu, đồ thị Trong khoảng chục năm gần đây, người ta quan tâm nhiều tới lý thuyết đồ thị ứng dụng Đó lý thuyết đồ thị chứng tỏ mô hình hữu hiệu cho tính toán tối ưu Lý thuyết đồ thị đối tượng nghiên cứu Hình học đại số Đại số giao hoán Ngày khái niệm lý thuyết đồ thị xâm nhập không vào lĩnh vực khoa học tự nhiên truyền thống toán học, vật lý học hay hoá học, mà vào nhiều lĩnh vực khoa học tự nhiên xã hội khác Các toán đồ thị ngày xuất nhiều kì thi Olympic Toán quốc gia kì thi Toán quốc tế Thông thường toán khó không với học sinh Việt Nam mà học sinh quốc tế nói chung Đề tài “Lý thuyết đồ thị số dạng toán thi Olympic” nhằm tìm hiểu số vấn đề lý thuyết đồ thị ứng dụng, đặc biệc ứng dụng việc giải số dạng toán thi học sinh giỏi Luận văn viết dựa chủ yếu tài liệu để tham khảo [6] số đề thi Olympic nước Bên cạnh việc tìm hiểu ứng dụng lý thuyết đồ thị toán sơ cấp việc tìm hiểu vấn đề lý thuyết đồ thị mục đích luận văn Luận văn tổng hợp, phân tích dạng toán, sưu tầm ví dụ từ nhiều nguồn tài liệu Cấu trúc luận văn gồm hai chương: Chương Một số khái niệm, kết ứng dụng Chương trình bày tóm tắt số khái niệm, kết ứng dụng, định nghĩa ứng dụng, hành trình, đường, chu trình, vết mạch, tô màu đồ thị ứng dụng Chương Một số lớp đồ thị đặc biệt ứng dụng Chương trình bày số lớp đồ thị đặc biệt cây, đồ thị Euler, đồ thị Hamilton, đồ thị phẳng ứng dụng chủ yếu toán Olympic Trong suốt trình làm luận văn, tác giả nhận hướng dẫn giúp đỡ tận tình Tiến sĩ Trần Nguyên An Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô giảng dạy lớp Cao học toán khoá truyền thụ đến cho tác giả nhiều kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu khoa học Tác giả xin chân thành cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp gia đình tạo điều kiện giúp đỡ, động viên tác giả suốt trình học tập hoàn thành luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2016 Tác giả Nông Thanh Loan Chương Một số khái niệm, kết ứng dụng Trong chương này, ta đề cập tới mô hình đồ thị khác nhau, khái niệm lý thuyết đồ thị hành trình, đường, chu trình, liên thông vài ứng dụng giải toán phổ thông Lý thuyết đồ thị bắt đầu lĩnh vực toán học từ lập luận tiếng Euler bảy cầu K¨onigsberg báo công bố vào năm 1736 Nhưng báo Euler công trình lý thuyết đồ thị suốt gần trăm năm sau Khoảng kỷ 19 người ta quay trở lại với vấn đề lý thuyết đồ thị, đặc biệt nước Anh Nguyên nhân quay trở lại xuất phát từ nghiên cứu mạng điện, mô hình tinh thể cấu trúc phân tử chất Sự phát triển logic hình thức đẩy đến việc nghiên cứu quan hệ hai dạng lý thuyết đồ thị Sau nhiều toán khác phát triển ngôn ngữ lý thuyết đồ thị 1.1 Các định nghĩa ứng dụng Như ta thấy trên, khái niệm đồ thị xuất từ nhiều lĩnh vực khác sống Trong lĩnh vực riêng mình, người ta cần tới kiểu đồ thị Vì mà xuất nhiều loại đồ thị khác Song tựu chung lại ta xếp chúng vào loại sau đây: đồ thị có hướng, đồ thị vô hướng, đa đồ thị có hướng, đa đồ thị vô hướng Định nghĩa 1.1.1 (Đồ thị có hướng) Một đồ thị có hướng G cặp có thứ tự G = (V, E), V tập, E tập tích Đề V × V Các phần tử V gọi đỉnh, phần tử E gọi cung đồ thị có hướng G Cụ thể hơn, (a, b) ∈ E (a, b) gọi cung G với đỉnh đầu a, đỉnh cuối b có hướng từ a tới b Để trực quan người ta thường biểu diễn đồ thị có hướng G mặt phẳng sau Các đỉnh G biểu diễn chấm tròn, cung biểu diễn đường cong nối đỉnh đầu với đỉnh cuối có mũi tên hướng từ đỉnh đầu tới đỉnh cuối a e f b c d Hình 1.1: Ví dụ đồ thị có hướng Ví dụ 1.1.2 Cho G = (V, E) với V = {a, b, c, d, e, f } E = {(a, a), (a, b), (b, d), (d, b)(c, e), (e, a)} Khi G đồ thị có hướng biểu diễn Hình 1.1 Định nghĩa 1.1.3 Giả sử G = (V, E) đồ thị có hướng Nếu (a, b) ∈ E đỉnh a b gọi liên thuộc với cung (a, b) Khi a b gọi kề Hai cung G gọi kề chúng có đỉnh chung Cung dạng (a, a) với a ∈ V gọi khuyên Đỉnh không liên thuộc với cung gọi đỉnh cô lập Số đỉnh G, tức |V |, gọi cấp G, số cung G, tức |E|, gọi cỡ G Trước đưa định nghĩa đồ thị vô hướng, ta giới thiệu khái niệm đa tập Một tụ tập vật có chất tùy ý, có vật không phân biệt với (và coi lặp lại vật), gọi đa tập hợp hay ngắn gọn đa tập Các vật đa tập gọi phần tử Ta dùng phương pháp xác định tập hợp để xác định đa tập Nhưng đa tập, ta cần xác định số phần tử không phân biệt với nhau, số lượng phần tử đa tập A gọi lực lượng A ký hiệu |A| Ví dụ 1.1.4 A = {a, a, a, b, c, c} đa tập với |A| = Theo định nghĩa, hiển nhiên tập đa tập, ngược lại, đa tập không tập hợp Chẳng hạn, đa tập A không tập hợp Nếu phần tử đa tập A phần tử tập B, ta nói A đa tập B Chẳng hạn, đa tập A đa tập tập B = {a, b, c} Định nghĩa 1.1.5 (Đồ thị vô hướng) Một đồ thị vô hướng G cặp có thứ tự G = (V, E), V tập, E tập với phần tử đa tập lực lượng V Các phần tử V gọi đỉnh, phần tử E gọi cạnh đồ thị có hướng G Nếu e = {a, b} cạnh G a b gọi đỉnh đầu mút cạnh e hay đỉnh liên thuộc với e Ta thường ký hiệu cạnh {a, b} ngắn gọn ab Người ta thường biểu diễn đồ thị vô hướng mặt phẳng tương tự ta biểu diễn đồ thị có hướng: đỉnh đồ thị biểu diễn chấm tròn, cạnh biểu diễn đường cong nối đỉnh cạnh Điểm khác biệt mũi tên hướng đường cong a b d c Hình 1.2: Ví dụ đồ thị vô hướng Ví dụ 1.1.6 Cho G = (V, E) với V = {a, b, c, d} E = {{a, a}, {a, b}, {b, d}, {b, c}, {c, d}} Khi G đồ thị vô hướng biểu diễn Hình 1.2 Đồ thị có hướng định nghĩa thường gọi đơn đồ thị có hướng Lý với hai đỉnh a b tồn cung với đỉnh đầu a đỉnh cuối b Với lý tương tự, đồ thị vô hướng định nghĩa thường gọi đơn đồ thị vô hướng Tuy nhiên, số ứng dụng ta cần có nhiều cung với đỉnh đầu đỉnh cuối hay cần có nhiều cạnh liên thuộc với hai đỉnh cho Vì vậy, người ta đưa khái niệm đa đồ thị có hướng đa đồ thị vô hướng Định nghĩa 1.1.7 (Đa đồ thị có hướng đa đồ thị vô hướng) Một đa đồ thị có hướng G cặp có thứ tự G = (V, E), V tập, E đa tập với phần tử thuộc tích Đề V × V Đa đồ thị có hướng biểu diễn mặt phẳng tương tự đồ thị có hướng, cung có đỉnh đầu đỉnh cuối phải biểu diễn đường cong khác Tương tự đa đồ thị vô hướng G cặp có thứ tự G = (V, E), V tập, E đa tập với phần tử đa tập lực lượng V Trong biểu diễn mặt phẳng đa đồ thị vô hướng, cạnh khác có đỉnh đầu mút phải biểu diễn đường cong khác a b c d Hình 1.3: Ví dụ đa đồ thị có hướng a d b Hình 1.4: Ví dụ đa đồ thị vô hướng c Định nghĩa 2.3.1 Một đường đồ thị vô hướng G = (V, E) gọi đường Hamilton chứa tất đỉnh G Đồ thị vô hướng G = (V, E) gọi đồ thị nửa Hamilton có đường Hamilton Một chu trình đồ thị vô hướng G = (V, E) gọi chu trình Hamilton chứa tất đỉnh G Đồ thị vô hướng G = (V, E) gọi đồ thị Hamilton có chu trình Hamilton Nếu đồ thị vô hướng đồ thị Hamilton hiển nhiên đồ thị nửa Hamilton H1 H2 H3 Hình 2.3: Ví dụ đồ thị không nửa Hamilton, nửa Hamilton Hamilton Ví dụ 2.3.2 Cho đồ thị vô hướng H1 , H2 H3 Hình 2.3 Khi đồ thị H1 không nửa Hamilton, đồ thị H2 nửa Hamilton không Hamilton, đồ thị H3 đồ thị Hamilton với chu trình Hamilton vẽ đường chấm chấm Cho đến chưa có điều kiện cần đủ để đồ thị vô hướng Hamilton tìm thấy dạng đơn giản hữu hiệu điều kiện cần đủ để đồ thị vô hướng Euler trình bày Định lý 2.2.3 Tuy nhiên nhiều điều kiện đủ lý thú tìm Cho đến nay, việc tìm kiếm điều kiện lý thú để đồ thị vô hướng 48 Hamilton vấn đề trung tâm lý thuyết đồ thị Dưới ta phát biểu chứng minh số điều kiện đủ Định lý 2.3.3 (Pósa, 1962) Giả sử đồ thị vô hướng G = (V, E) có n ≥ đỉnh Nếu với k thỏa mãn ≤ k ≤ n−1 , số đỉnh v với deg(v) ≤ k, nhỏ k với n lẻ số đỉnh v với deg(v) ≤ (n − 1)/2 phải nhỏ n−1 , G đồ thị Hamilton Chứng minh Giả sử định lý không G = (V, E) đồ thị đồ thị Hamilton cực đại có n đỉnh thỏa mãn điều kiện định lý Dễ thấy thêm cạnh vào đồ thị có tính chất Định lý 2.3.3 tạo đồ thị có tính chất Vì đồ thị nhận thêm vào G cạnh nối hai đỉnh không kề G đồ thị có chu trình Hamilton qua cạnh thêm đó, hai đỉnh không kề nối với đường Hamilton Trước hết ta chứng minh đỉnh u với deg(u) ≥ đỉnh v với deg(v) > n−1 n−1 kề với Ta chứng minh khẳng định phản chứng Giả sử tồn đỉnh, không làm tính tổng quát, v1 thỏa mãn deg(v1 ) ≥ n−1 , deg(vn ) ≥ n2 , v1 không kề Khi đó, ta nói đoạn trước, tồn đường Hamilton v1 v2 nối v1 với Ký hiệu đỉnh kề với v1 vi1 , vik , k = deg(v1 ) = i1 < i2 < < ik Rõ ràng đỉnh kề với đỉnh G dạng vij − trường hợp ngược lại G có chu trình Hamilton v1 v2 vij −1 vn−1 vij v1 Hơn nữa, k ≥ n−1 , nên n/2 ≤ deg(vn ) ≤ n − − k < n2 Mâu thuẫn Vậy v1 với deg(v) ≥ n−1 deg(vn ) ≥ n phải kề Giả sử với v ∈ V , deg(v) ≥ n2 đó, theo khẳng định chứng minh đoạn trước, hai đỉnh G phải kề nhau, tức G đồ 49 thị đầy đủ Kn Vì Kn đồ thị Hamilton n ≥ 3, ta nhận mâu thuẫn với giả thiết G đồ thị không Hamilton Vậy G có đỉnh v với deg(v) < n2 Đặt m = max deg(v) deg(v) 0) Bài toán giải xong Bài toán 2.3.7 n người tham gia vào họp Trong suốt thời gian họp, ngày họ phải ngồi xung quanh bàn tròn đến lúc ăn tối Mỗi tối, người phải ngồi bên cạnh người khác Hỏi có nhiều lần có bữa tối vậy? Giải Chúng ta ký hiệu n người n đỉnh Vẽ đồ thị đầy đủ Kn , chu trình Hamilton Kn cách ngồi xung quanh bàn Số lần lớn số chu trình Hamilton mà cạnh chung Kn Kn chứa 21 n(n − 1) cạnh chu trình Hamilton chứa n cạnh [ ] Có nhiều n−1 chu trình Hamilton cạnh chung Khi n = 2k + 1, xếp đỉnh 0, 1, 2, , 2k hình sau 2k 2k-1 2k-2 O v k-1 k+3 k+2 k k+1 53 Đầu tiên, lấy chu trình Hamilton (0, 1, 2, 2k, 3, 2k − π 1, 4, , k + 3, k, k + 2, k + 1, 0) quay πk , 2π k , , (k − 1) k theo chiều kim [ ] đồng hồ xung quanh nhận k = n−1 chu trình Hamilton cạnh chung Nếu n = 2k + 2, thêm đỉnh v vào trọng tâm nhận k chu trình Hamilton Bài toán 2.3.8 Nếu A0 A1 A2 A2n−1 đa giác với 2n cạnh Nối tất đường chéo để có đồ thị G Chứng minh chu trình Hamilton G phải chứa hai cạnh song song đồ thị Giải Giả sử Ai Aj song song với Ak Al Vì số đỉnh Ai Al số đỉnh Aj Ak , i − l ̸= k − j Điều kiện cần đủ để Ai Aj song song với Ak Al là: i + j ≡ k + l(mod2n) Giả sử Ai0 Ai1 Ai2n−1 chu trình Hamilton i0 , i1 , , i2n−1 cách xếp lại 0, 1, , 2n Trong số có hai cạnh không song song Nên 2n số i0 + i1 , i1 + i2 , , i2n−1 + i0 hai số không đồng dư mô đun 2n Đó là, 2n số hệ thống số dư theo mô đun 2n Thì (i0 + i1 ) + (i1 + i2 ) + (i2 + i3 ) + + (i2n−1 + i0 ) = + + + + 2n − = 2n2 − n ≡ n(mod2n) Mặt khác, (i0 + i1 ) + (i1 + i2 ) + (i2 + i3 ) + + (i2n−1 + i0 ) = 2(i0 + i1 + i2 + + i2n−1 ) = 2(0 + + + + 2n − 1) = 2n2 − n 54 2n(2n − 1) ≡ 0(mod2n) Chúng ta nhận hai kết mâu thuẫn với Vì chứng minh hoàn thành 2.4 Đồ thị phẳng ứng dụng Một vấn đề quan trọng lý thuyết đồ thị vấn đề nghiên cứu câu hỏi biểu diễn đồ thị mặt phẳng cho hai đường biểu diễn cạnh chúng cắt Không phải đồ thị biểu diễn vậy, đồ thị biểu diễn thoả mãn điều kiện gọi đồ thị phẳng Ngay từ năm 1930 nhà toán học Kuratowski, người Ba Lan, phân lớp lớp đồ thị Trong mục luận văn đưa số định nghĩa, kết có đồ thị phẳng ứng dụng Định nghĩa 2.4.1 Đồ thị vô hướng G = (V, E) gọi đồ thị phẳng biểu diễn mặt phẳng cho đường cong biểu diễn cạnh không giao giao đỉnh chung Biểu diễn nói đồ thị phẳng gọi biểu diễn phẳng Ta đồng đồ thị phẳng với biểu diễn phẳng Ví dụ 2.4.2 Trên Hình 2.6 ta có hai biểu diễn đồ thị đầy đủ K4 Biểu diễn bên trái không biểu diễn phẳng, biểu diễn bên phải biểu diễn phẳng K4 Như vậy, đồ thị K4 đồ thị phẳng Đồ thị đầy đủ K5 đồ thị 2-phần đầy đủ K3,3 (Hình 2.6) không đồ thị phẳng Giả sử G = (V, E) đồ thị phẳng Khi đó, phần mặt phẳng giới hạn cạnh G không bị chia thành phần nhỏ 55 K5 K4 K3,3 K4 Hình 2.6: Ví dụ đồ thị phẳng đồ thị không phẳng cạnh khác gọi miền (hay gọi mặt) G Định lý 2.4.3 (Công thức Euler cho đồ thị phẳng) Nếu đồ thị phẳng liên thông G = (V, E) có v đỉnh, c cạnh f miền, v − e + f = Chứng minh Ta chứng minh định lý quy nạp theo f Nếu f = 1, G không chứa chu trình Suy ra, G liên thông Từ Định lý 2.1.4 suy Định lý 2.4.3 trường hợp Bây giả sử đồ thị phẳng liên thông G có số miền f > giả sử Định lý 2.4.3 chứng minh cho đồ thị phẳng liên thông có số miền nhỏ f Vì f > 1, nên G chứa chu trình Giả sử {u, v} cạnh chu trình G Vì chu trình tách mặt phẳng làm hai phần rời nhau, nên cạnh {u, v} thuộc biên hai miền, chẳng hạn S T Nếu xóa cạnh {u, v}, ta nhận đồ thị phẳng liên thông G′ mới, miền S T nhập lại với tạo thành miền mới, miền khác giữ nguyên không đổi Như G′ có v đỉnh, e − cạnh f − miền Theo giả thiết qui nạp, v − (e − 1) + (f − 1) = Nhưng đẳng thức hiển nhiên tương đương với v − e + f = Trước phát biểu chứng minh kết đồ thị phẳng liên thông, ta đưa khái niệm chu vi nhỏ chu vi lớn đồ thị 56 Định nghĩa 2.4.4 Độ dài chu trình ngắn đồ thị gọi chu vi nhỏ (girth) đồ thị Chu vi nhỏ đồ thị G thường ký hiệu g(G) hay ngắn gọn g đồ thị G hiểu rõ từ ngữ cảnh Định nghĩa 2.4.5 Tương tự, độ dài chu trình dài đồ thị gọi chu vi lớn (circumference) đồ thị Chu vi lớn đồ thị G thường ký hiệu c(G) hay ngắn gọn c đồ thị G hiểu rõ từ ngữ cảnh Nếu đồ thị vô hướng G không tồn chu trình, tức G rừng, chu vi nhỏ chu vi lớn G định nghĩa ∞ Định lý 2.4.6 (Bất đẳng thức cạnh đỉnh) Trong đồ thị phẳng liên thông G = (V, E) với chu vi nhỏ g thỏa mãn ≤ g ≤ ∞ ta có |E| ≤ g (|V | − 2) g−2 Chứng minh Giả sử G = (V, E) đồ thị phẳng liên thông thỏa mãn điều điện Định lý 2.4.6 Ta giả sử G có E = {e1 , e2 , el } miền f1 , f2 , , fl Ta xác định ma trận X = (xij )t×l cỡ t × l sau: { ei cạnh biên miền fj , xij = trường hợp ngược lại (2.1) Ma trận X xác định gọi ma trận cạnh-miền đồ thị phẳng G Vì cạnh G cạnh biên nhiều hai miền, nên hàng ma trận X có nhiều hai số Mặt khác, cạnh biên miền tạo thành chu trình G Do đó, cột ma trận X có g số 1, g chu vi nhỏ 57 G Vì vậy, s số số có X, ta có bất đẳng thức sau đây: gl ≤ s ≤ 2t Mặt khác, G liên thông theo Định lý 2.4.3, l = t − |V | + Sau thay vào bất đẳng thức ta gl = gt − g|V | + 2g ≤ 2t ⇔ t(g − 2) ≤ g(|V | − 2) g ⇔ |E| ≤ (|V | − 2) g−2 Bất đẳng thức cạnh đỉnh định lý áp dụng để chứng minh nhiều đồ thị không đồ thị phẳng Hệ 2.4.7 Đồ thị đầy đủ K5 đồ thị 2-phần đầy đủ K3,3 không đồ thị phẳng Chứng minh Đồ thị K5 có đỉnh, 10 cạnh chu vi nhỏ g = Nếu K5 đồ thị phẳng, theo bất đẳng thức cạnh đỉnh 10 ≤ 3−2 (5 − 2) = Mâu thuẫn Vậy K5 không đồ thị phẳng Tương tự, đồ thị K3,3 có đỉnh, cạnh chu vi nhỏ g Nếu K3,3 đồ thị phẳng, theo bất đẳng thức cạnh đỉnh 9≤ 4−2 (6 − 2) = Mâu thuẫn Vậy K3,3 không đồ thị phẳng Tính phẳng đồ thị không bị ảnh hưởng cạnh chia làm hai cạnh cách chèn thêm đỉnh bậc vào cạnh hình minh họa Hình 2.7 (bên trái) Tính phẳng đồ thị không bị ảnh hưởng hai cạnh liên thuộc với đỉnh bậc nhập vào thành cạnh cách xóa đỉnh bậc minh họa Hình 2.7 (ở giữa) Vì vậy, ta tới định nghĩa sau 58 G1 ⇒ G2 ⇒ Hình 2.7: Ví dụ đồ thị đẳng cấu với độ xác tới đỉnh bậc Định nghĩa 2.4.8 Hai đồ thị vô hướng G1 G2 gọi đẳng cấu với độ xác tới đỉnh bậc 2, chúng đẳng cấu với biến đổi thành đồ thị đẳng cấu với cách chèn thêm hay xóa đỉnh bậc nói Ví dụ 2.4.9 Hai đồ thị vô hướng G1 G2 Hình 2.7 đồ thị đẳng cấu với độ xác tới đỉnh bậc Định lý sau cho ta đặc trưng đồ thị phẳng Định lý 2.4.10 (Kuratowski, 1930) Một đồ thị vô hướng đồ thị phẳng không chứa đồ thị mà đẳng cấu với độ xác tới đỉnh bậc với đồ thị K5 đồ thị K3,3 Ta thừa nhận định lý không chứng minh Pontragin chứng minh kết vào năm 1927 không công bố Do đó, định lý gọi Định lý Kuratowski-Pontragin Bài toán 2.4.11 Chúng ta phân chia hình vuông thành n đa giác lồi, n không đổi Hỏi số cạnh lớn mà đa giác lồi có? Giải Bằng công thức Euler, biết đa giác lồi phân chia thành n đa giác, v − e + n = ( f = n + 1) Như phân chia hình vuông thành n đa giác lồi, với đỉnh đa giác đó, không thuộc đỉnh hình vuông, phải đỉnh đa giác lồi Chúng ta sử dụng A, B, C, D để 59 ký hiệu đỉnh hình vuông, v đỉnh tuỳ ý trừ A, B, C, D, 3(d(v) − 2) d(v) Tính tổng tất đỉnh trừ A, B, C, D, 2e − (d(A) + d(B) + d(C) + d(D)) 3(2E − (d(A) + d(B) + d(C) + d(D)) − 6(V − 4)) Vì thế, 4e Từ d(A) 2(d(A) + d(B) + d(C) + d(D)) + 6(v − 4) 2, d(B) 2, d(C) 2, 2e + 3(v − 4) Sử dụng v − e + n = 1, đạt kết 3(e + 1) = 3v + 3n Hay, e 2e + + 3n 3n + Vẽ n − đường qua cạnh hình vuông cho tất đường song song với cạnh kề chia hình vuông thành n hình chữ nhật Số cạnh + 3(n − 1) = 3n + Tóm lại, số cạnh lớn 3n + 60 Kết luận Luận văn "Lý thuyết đồ thị số dạng toán thi Olympic" hoàn thành với kết đạt được: Hệ thống hóa chi tiết, đầy đủ khái niệm, kết quả: Đồ thị có hướng, đồ thị vô hướng, đa đồ thị có hướng, đa đồ thị vô hướng, bổ đề bắt tay Trình bày định nghĩa tô màu đỉnh đồ thị, trình bày số định lý liên quan Cụ thể định lý K¨onig, định lý sắc tố đồ thị hệ kèm theo, định lý Books, định lý Vizing, số ví dụ minh họa chi tiết chủ yếu toán thi Olympic quốc tế Olympic Toán nước giới Tìm hiểu số lớp đồ thị đặc biệt ứng dụng Cụ thể trình bày định nghĩa cây, rừng, định lý móc xích kiểu hoa cúc Trình bày định nghĩa kết đồ thị Euler, đồ thị Hamilton, định lý Pósa, định lý Ore, đồ thị phẳng, có định lý công thức Euler cho đồ thị phẳng, định lý bất đẳng thức cạnh đỉnh, thừa nhận định lý Kuratowski Đồng thời luận văn có đưa ví dụ minh họa cho nội dung nhấn mạnh nội dung thường gặp toán đề thi Olympic Toán học quốc tế Hướng phát triển Luận văn: Tác giả tiếp tục nghiên cứu, tìm hiểu thêm số vấn đề lý thuyết đồ thị ứng dụng Đồng thời triển khai sử dụng kết nghiên cứu luận văn giảng dạy nội dung lý thuyết đồ thị chương trình THPT, ôn thi bồi dưỡng học sinh giỏi 61 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Hoàng Chúng (1997), Graph giải toán phổ thông, Nhà xuất Giáo dục [2] Vũ Đình Hoà (2000), Một số kiến thức sở Graph hữu hạn, Nhà xuất Giáo dục [3] Vũ Đình Hoà (2000), Định lý vấn đề đồ thị hữu hạn, Nhà xuất Giáo dục [4] Vũ Đình Hoà (2001), Lý thuyết tổ hợp toán ứng dụng, Nhà xuất Giáo dục [5] Ngô Đắc Tân (2004), Lý thuyết tổ hợp đồ thị, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [6] X Bin, Z Zhongyi (2010), Graph Theory (Mathematical Olympiad series), World Scientific [7] F Harary (1969), Graph Theory, Addison Wesley 62 [...]... Đồ thị không có cả đỉnh lẫn cạnh được gọi là đồ thị rỗng Hiển nhiên rằng một đồ thị 1-sắc khi và chỉ khi nó là đồ thị rỗng, tức là nó không có một cạnh nào Các đồ thị 2-sắc được mô tả bởi định lý dưới đây Định lý 1.3.5 (K¨onig, 1936) Giả sử G = (V, E) là một đồ thị bất kỳ Khi đó các khẳng định sau đây là tương đương nhau: (a) G là đồ thị 2-sắc; (b) G là đồ thị 2-phần khác đồ thị rỗng; (c) G là đồ thị. .. tập đỉnh của đồ thị thành k lớp đỉnh đồng màu Sắc số của một đồ thị G, kí hiệu là χ(G), là số tự nhiên k nhỏ nhất để G có một k-tô màu Đồ thị G được gọi là đồ thị k-tô màu được nếu χ(G) ≤ k và được gọi là k-sắc nếu χ(G) = k Cây là một đồ thị mà trong đó hai đỉnh bất kì đều được nối với nhau bằng đúng một đường đi Bài toán 1.3.2 Giả sử G là đồ thị cấp p Khi đó, hiển nhiên là G có p-tô màu và χ(G)-tô màu... (định nghĩa 1.1.9) và một số kết quả trên của lý thuyết đồ thị để giải một số bài toán ở phổ thông Ta thường sử dụng một số kết quả sau: (i) Trong mọi đồ thị G, tổng tất cả các bậc của các đỉnh là một số chẵn, bằng hai lần tổng tất cả các cạnh của G (Xem Định lý 1.1.11) (ii) Trong mọi đồ thị có n đỉnh (n ≥ 2) không có khuyên, bao giờ cũng có ít nhất hai đỉnh cùng bậc (iii) Nếu một đồ thị G với n đỉnh... G1 + G2 , là đồ thị nhận được từ G1 ∪ G2 bằng cách thêm vào tất cả các cạnh dạng xy với x ̸= y và x ∈ V1 , y ∈ V2 Hiển nhiên là nếu một đồ thị vô hướng không có khuyên có cấp bằng 8 n thì cỡ m của nó thỏa mãn 0 ≤ m ≤ (n) 2 Đồ thị vô hướng cấp n và cỡ m = 0 được gọi là n -đồ thị rỗng hay n -đồ thị hoàn toàn rời rạc và được kí hiệu là On hay En Còn đồ thị vô hướng không có khuyên cấp n và cỡ ( ) m =... x và y không kề nhau trong G thì G + (x, y) (hay G + xy ) là đồ thị nhận được từ G bằng cách nối x với y bằng cung (x, y) (tương ứng, bằng cạnh xy) Nếu G1 = (V1 , E1 ) và G2 = (V2 , E2 ) là hai đồ thị đã cho, thì hợp của hai đồ thị này, ký hiệu là G1 ∪ G2 , là đồ thị với tập đỉnh là V1 ∪ V2 và tập cung (hay cạnh) E1 ∪ E2 Nếu cả hai đồ thị G1 và G2 là đồ thị vô hướng, thì kết nối của hai đồ thị G1 và. .. m = n2 được gọi là n -đồ thị đầy đủ và thường được ký hiệu là Kn Giả sử G = (V, E) là đồ thị vô hướng không có khuyên với |V | = n Ta định nghĩa đồ thị bù của G, ký hiệu là G , là đồ thị vô hướng với tập đỉnh cũng là V , còn tập cạnh là E(Kn )\E Lớp đồ thị đặc biệt sau đây gọi là đồ thị m-phần cũng thường được chú ý Một đồ thị vô hướng không có khuyên G = (V, E) được gọi là đồ thị m-phần nếu ta có... là đồ thị K∆(G)+1 Đánh giá tiếp theo cho χ(G) có liên quan tới một tham số khác của đồ thị gọi là số độc lập đỉnh (vertex-independence number) của đồ thị G và được định nghĩa như sau 26 Định nghĩa 1.3.9 Tập hợp các đỉnh của một đồ thị G được gọi là độc lập, nếu không có hai đỉnh nào trong tập đó kề nhau Số đỉnh của tập độc lập có nhiều phần tử nhất trong G được gọi là số độc lập đỉnh của đồ thị G và. .. này đi, ta được một đồ thị G′ với 8 đỉnh có bậc đôi một khác nhau, điều này là vô lý với bài toán trên Còn ¯ của G nếu G có đúng hai đỉnh cùng bậc và bậc này là 9 thì đồ thị bù G có hai đỉnh cùng bậc 0 và các đỉnh khác có bậc đôi một khác nhau, vô lý với lập luận ở trên Như vậy, bài toán đã được chứng minh Sau đây là bài toán ứng dụng khái niệm đồ thị có hướng đã trình bày ở phần 1.1 Bài toán 1.1.14 Trên... e, f } và E1 = {(a, c), (a, c), (c, a), (d, c)(a, d), (d, a), (b, a), (d, b), (d, b)} là một đa đồ thị có hướng, còn cặp G2 = (V, E2 ) với V = {a, b, c, d} và E2 = {{a, d}, {a, d}, {d, a}, {c, d}, {a, c}, {c, a}, {b, a}, {c, b}, {c, b}} là một đa đồ thị vô hướng G1 và G2 được biểu diễn trên mặt phẳng tương ứng như trên Hình 1.3 và Hình 1.4 Đồ thị G′ = (V ′ , E ′ ) được gọi là đồ thị con của đồ thị G... v∈V và gọi chúng tương ứng là bậc nhỏ nhất và bậc lớn nhất của các đỉnh của G Nếu δ(G) = ∆(G) = k, thì mọi đỉnh của G đều có bậc là k và G được gọi là đồ thị chính qui bậc k hay ngắn gọn là k-chính qui Một đồ thị vô hướng được gọi là chính qui nếu nó là k-chính qui với một k nào đấy Đồ thị vô hướng k-chính qui cũng được gọi là đồ thị bậc k Có những đồ thị khác nhau nhưng khi đổi tên các đỉnh của các đồ ... sinh quốc tế nói chung Đề tài Lý thuyết đồ thị số dạng toán thi Olympic nhằm tìm hiểu số vấn đề lý thuyết đồ thị ứng dụng, đặc biệc ứng dụng việc giải số dạng toán thi học sinh giỏi Luận văn viết... kiểu đồ thị Vì mà xuất nhiều loại đồ thị khác Song tựu chung lại ta xếp chúng vào loại sau đây: đồ thị có hướng, đồ thị vô hướng, đa đồ thị có hướng, đa đồ thị vô hướng Định nghĩa 1.1.1 (Đồ thị. .. ĐẠI HỌC KHOA HỌC NÔNG THANH LOAN LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN THI OLYMPIC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: