Xem nhiều tài liệu tại https://www.facebook.com/groups/tailieubachkhoa CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ TÍCH PHÂN KÉP Các tính chất f x, y g x, y dxdy f x, y dxdy g x, y dxdy D D k f x, y dxdy k. f x, y dxdy D D D Nếu D D1 D2 với D1 D2 điểm chung : f x, y dxdy f x, y dxdy f x, y dxdy D D1 D2 Các tính chất tích phân kép tọa độ đề-các Trường hợp 1: D M x, y : a x b, c y d z f x, y liên tục D thì: b d b d f x , y dxdy dx f x , y dy D a c a c f x, y dy dx (1) d b d b Hoặc: f x, y dxdy dy. f x, y dx f x, y dx dy (2) D c a c a d *) Chú ý :-Trong biểu thức (1) tính f x, y dy ta coi x số c b - Trong biểu thức (2) tính f x, y dx ta coi y số a - Nếu f x, y g x h y D : a x b, c y d thì: b d a c f x, y dxdy g x dx. h y dy D Trường hợp 2: D M x, y : a x b, y1 x y y2 x z f x, y liên tục D thì: b y2 x a y1 x f x, y dxdy dx D y2 x f x, y dy f x, y dy dx (3) a y1 x b Trường hợp 3: D M x, y : x1 y x x2 y , c y d z f x, y liên tục D thì: d x2 y c x1 y f x, y dxdy dy D d x2 y f x, y dx f x, y dx dy (4) c x1 y Đổi biến số hệ đề-các Phương pháp: x x u , v Bước 1: Đặt y y u , v Bước 2: Tính J Bước 3: Xác định D x, y D'u ,v xu' xv' yu' yv' dxdy J du.dv Xem nhiều tài liệu tại https://www.facebook.com/groups/tailieubachkhoa Bước 4: Tính I f x u, v , y u, v J dudv D' Tích phân tọa độ cực DÊu hiÖu nhËn biÕt: f x, y dxdy mà D chứa biểu thức: x y ; D x2 y a b2 Phương pháp: x r cos Đặt: y r sin Tính: J xr' x' ' r ' y y cos r sin sin r cos r dxdy rdr.d Xác định D x, y D' r , Tính I f r cos , r sin .rdrd D' Trường hợp 1: Gốc cực O nằm miền D Xác định hai tia xuất phát từ O giới hạn miền (D) Giả sử là: 1 , 2 1 2 suy cận : 1 2 x r cos Thay vào biên D y r sin r r1 , r r2 r1 r2 suy ta cận r: r1 r r2 1 Vậy: D ' : (Tính theo r r1 r r2 trước, sau) Trường hợp 2: Gốc cực O nằm miền D Luôn có: 2 x r cos Thay vào biên D r r Khi đó: r r y r sin 0 2 Vậy D ' : 0 r r Trường hợp 3: Gốc cực O nằm biên miền D Xem nhiều tài liệu tại https://www.facebook.com/groups/tailieubachkhoa Xác định hai tia xuất phát từ O giới hạn miền (D) Giả sử là: 1 , 2 1 2 suy cận : 1 2 x r cos Thay vào biên D y r sin r r r r r 1 2 Vậy: D ' : 0 r r Bài tập Tích phân kép Blog: www.caotu28.blogspot.com BÀI TẬP TÍCH PHÂN KÉP (Lưu ý: Tài liệu cho chưa thẩm định nên có phần chưa xác hoàn toàn) y Tính tích phân kép: y = x2 Cho x2 = – x để xác định giao điểm hai đường: y = x2 y = – x x2 + x = có nghiệm: x1 = x2 = – Vậy: x1= x2= x y= Vì đường y = – x nằm đường y = x2 Tính tích phân theo y, coi x số: Để cho “dễ nhìn, quen mặt”, ta đặt x = y ST&BS: Cao Văn Tú Trang Email: caotua5lg3@gmail.com Bài tập Tích phân kép y Blog: www.caotu28.blogspot.com y=2 dx = dy Tích phân I không đổi Vẽ : x = 0, y = 0; x = 1, y = 1; x = 4, y = y= x Vẽ Vậy: D: x=1 nên: y= đổi trục tọa độ: x = rcos y = rsin r cos r (cos r2 12 x r2 2 + r sin + sin2 ((cos2 + sin2 22 y y= r lấy dấu = để tính (vì x = y) x=y ; ST&BS: Cao Văn Tú Trang Email: caotua5lg3@gmail.com Bài tập Tích phân kép y= Blog: www.caotu28.blogspot.com ; Bấm máy y sai đặt: x – = rcos r2cos2 + r2sin2 =12 y = rsin r2 =12 vậy: x y (vì r không âm) (thì sin y x ST&BS: Cao Văn Tú Trang Email: caotua5lg3@gmail.com Bài tập Tích phân kép Blog: www.caotu28.blogspot.com Xét: Đặt lại: x = rcos y = rsin ST&BS: Cao Văn Tú r2 =2rcos r = 2cos Trang Email: caotua5lg3@gmail.com Bài tập Tích phân kép Blog: www.caotu28.blogspot.com Đổi biến: D: y x2 + y2 r2 r2 22 Nhìn vào hình: x hay y=x 2y = ST&BS: Cao Văn Tú Trang Email: caotua5lg3@gmail.com Bài tập Tích phân kép Blog: www.caotu28.blogspot.com (a) Đường tròn tâm I(0, 1) bán kính r = y=x y (b) Đường tròn tâm I1(0, 2) bán kính r1 = (a) (b) x Kết hợp: y x cận x cận Xét ST&BS: Cao Văn Tú Trang Email: caotua5lg3@gmail.com ... thẩm định nên có phần chưa xác hoàn toàn) y Tính tích phân kép: y = x2 Cho x2 = – x để xác định giao điểm hai đường: y = x2 y = – x x2 + x = có nghiệm: x1 = x2 = – Vậy: x1= x2= x y= Vì đường y