SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐĂKLĂK TRƯỜNG THPT LÝ TỰ TRỌNG    CHUYÊN ĐỀ PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONGTRONG KHÔNG GIAN Giáo Viên: Lâm Thị Kim Cúc Tổ : Toán – Tin Năm học 2014 – 2015 GV: LÂM THỊ KIM CÚC ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1- Lý chọn đề tài Hình học khơng gian mơn nghiên cứu điểm đường thẳng, mặt phẳng không gian nhằm cung cấp kiến thức hình học không gian, giới thiệu quan hệ song song quan hệ vng góc đường thẳng mặt phẳng khơng gian Trong q trình giảng dạy tơi thấy học sinh e ngại mơn hình học nói chung đặc biệt phần hình học khơng gian mơ hồ Vì em cho q trìu tượng, thiếu thực tế nên gặp nhiều lung túng giải tập Giáo viên gặp khơng khó khăn truyền đạt phần Mặt khác tập sách giáo khoa cịn nhiều hạn chế tập bản, tập tương tự để giáo viên giới thiệu cho học sinh Từ khó khăn trên, dựa sở lí luận số biện pháp đổi phương pháp dạy học Tôi đưa chuyên đề ““ Phân loại phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song không gian” Ý tưởng đề tài phân loại giải số tập hai đường thẳng song song khơng gian qua đưa hệ thống tập tương tự để học sinh tự rèn luyện vận dụng vào chứng minh quan hệ song song khác chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng, chứng minh hai mặt phẳng song song Tôi hi vọng với đề tài nhỏ này, kiên trì hướng dẫn học sinh thực theo phương pháp uốn nắm cách trình bày theo trình tự lơgic, việc học giải tốn hình học khơng gian đỡ khó nhiều học sinh học giải phần hình học không gian cách nhẹ nhàng 1.2 - Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu đề tài học sinh khối 11 qua năm học 2013- 2014 lớp 11A2, 11A3 Phạm vi nghiên cứu: Phạm vi nghiên cứu đề tài “Phân loại phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song không gian” sách giáo khoa hình học 11 ban Giải vấn đề 2.1 -Cơ sở lý luận Khi giải toán chứng minh quan hệ song song khơng gian ngồi u cầu đọc kỹ đề bài, phân tích giả thuyết tốn, vẽ hình ta phải ý đến nhiều yếu tố khác như: Có cần xác định thêm yếu tố khác hình vẽ hay khơng? hình vẽ xác chưa ? Có thể hết yêu cầu đề hay chưa ? Để giải vấn đề ta phải đâu ? Nội dung kiến thức liên quan đến vấn đề đặt ra, trình bày cho xác lơgic… có giúp giải nhiều toán mà khơng gặp phải khó khăn GV: LÂM THỊ KIM CÚC 2.2 Thực trạng Trong sách giáo khoa hình học 11 phần lớn kiến thức lý thuyết, tập chưa phân loại hết dạng tập, thời gian tiết dạy 45 phút Qua dự giờ, thăm lớp q trình dạy tơi thấy học sinh có tích cực trả lời câu hỏi giáo viên để xây dựng lý thuyết phần vận dụng lý thuyết để giải tập lúng túng, hiệu chưa cao, có học sinh tìm hướng giải lại chưa biết cách trình bày Để ngày nâng cao chất lượng học sinh, xin đưa đề tài nghiên cứu sử dụng “ Phân loại phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song không gian” Tôi cố gắng đưa dạng tập chọn lọc điển hình từ đến nâng cao để cung cấp cho học sinh kiến thức tốt 2.3- Các biện pháp tiến hành giải vấn đề đề tài Để giải tốn hình học khơng gian ngồi việc nắm vững phương pháp, kỹ giải toán hình vẽ đóng vai trị quan trọng, hình vẽ tốt giúp cho nhìn hướng giải quyết, phát vấn đề tốn Hình vẽ tốt hình vẽ đảm bảo điều kiện sau: - Đảm bảo quy tắc vẽ hình biểu diễn hình khơng gian - Hình vẽ phải rõ ràng, xác, thể tính thẩm mỹ - Biết cách xác định đối tượng hình vẽ cho phù hợp với u cầu tốn - Hình vẽ khơng thừa không thiếu kiện đề - Để có hình vẽ tốt cần phải nắm vững khái niệm hình khơng gian như: hình chóp, hình tứ diện, hình chóp đều, hình lăng trụ, hình hộp, hình hộp chữ nhật, hình lập phương…, phân biệt hình đa diện với hình đa giác, tứ diện với tứ giác  Kiến thức cần nhớ Định nghĩa: hai đường thẳng a,b gọi song song chúng đồng phẳng khơng có điểm  a, b ⊂ ( α )  chung a / /b ⇔  a ∩ b = ∅ Hình Dựa vào định lý sau: GV: LÂM THỊ KIM CÚC Định lí 1: Qua điểm A cho trước khơng nằm đường thẳng b cho trước có đường thẳng a song song với b Định lý ( giao tuyến ba mặt phẳng) Nếu ba mặt phẳng cắt theo ba giao tuyến phân biệt ba giao tuyến đồng quy đôi song song ( α ) ∩ ( γ ) = a  Nếu ( α ) ∩ ( β ) = b  ( γ ) ∩ ( β ) = c a//b//c a,b,c đồng quy (hình 2, 3) α γ β I α b a a β b c γ (hình 2) (hình 3) Hệ quả: ( SGK trang 57) Nếu hai mặt phẳng phân biệt qua hai đường thẳng song song giao tuyến chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng (α ) ∩ ( β ) = d  a ⊂ (α )  Nếu  d//a//b d ≡ a d ≡ b (hình 4,5) b ⊂ ( β )  a / / b α d d1 β d2 (hình 4) (hình 5) Định lí 3: Hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba song song với GV: LÂM THỊ KIM CÚC a ≠ b  a / / c ⇒ a / /b b / / c  a ≠ b  a / / c ⇒ a / /b b / / c   a / /(α )  ⇒ b / /a Định lý 4:(SGK trang 61) a ⊂ ( β ) (α ) ∩ ( β ) = b  (hình 6) (α ) / / d  ⇒ a / / d (hình 7) * Hệ quả: ( β ) / / d (α ) ∩ ( β ) = a  Hình hình hình (α ) / /( β ) (γ ) ∩ ( β ) = b ⇒ (Hình 8) (γ ) ∩ (α ) = a a / / b Định lý (SGK trang 67):  Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng song song a b Phương pháp: Để chứng minh a//b ta làm sau: Cách Ta chứng minh: a , b đồng phẳng áp dụng phương pháp chứng minh song song hình học phẳng như: định lí Ta lét, đường trung bình, cặp cạnh đối hình bình hành, hai đường thẳng vng góc với đường thẳng song song với nhau… để chứng minh a // b Cách Chứng minh: a, b song song với đường thẳng thứ ba c Cách 3: Dùng tính chất “Hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song giao tuyến chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng đó”; Cách 4: Dùng định lí giao tuyến mặt phẳng (3 giao tuyến đôi song song đồng qui) GV: LÂM THỊ KIM CÚC Cách 5: sử dụng định lí 4,5 hệ định lí Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trọng tâm tam giác ABC Chứng minh MN song song với CD Bài giải: Gọi E trung điểm AB Ta có M ∈ EC , N ∈ ED MN CD đồng phẳng Mặt khác: Vì M N trọng tâm tam giác ABC ABD nên EM = EN = EC ED ⇒ MN / / CD Hình10 Ví dụ : Cho hai hình bình hành ABCD ABEF có chung cạnh AB nằm hai mặt phẳng khác Trên đường chéo AC BF lấy điểm M, N cho AM BN = = Chứng minh MN//DE AC BF Bài giải: Cách 1: Gọi O tâm hình bình hành ABCD, I trung điểm cạnh AB Xét tam giác ABD có : O trung điểm cạnh BD, AO đường trung tuyến, mà AM AM = (giả thiết) ⇒ = AC AO (hình 11) Do M trọng tâm tam giác ABD IM = ID IN = Chứng minh tương tự ta có EN qua I IE IN IM = = Trong tam giác DEI có IE ID ⇒ MN//DE Nên DM qua trung điểm I AB có Cách : AB lấy điểm I cho AI = AB Trong tam giác ABC có MI//BC//AD Gọi O giao điểm AE BF GV: LÂM THỊ KIM CÚC Trong tam giác ABO có IN//AO Do IN IN = ⇒ = AO AE MI IN · · = DAE = MIN AD AE ⇒ ∆DAE ≈ ∆MIN Vậy MO//DE (Hình 12) (Hình 12) Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N theo thứ tự trung điểm AB, BC Q điểm nằm cạnh AD P giao điểm CD với mặt phẳng (MNQ) Chứng minh PQ//MN PQ//AC Bài giải: ( ABC ) ∩ ( ACD ) = AC  Ta có ( ABC ) ∩ ( MNQ ) = MN  ( ACD ) ∩ ( MNQ ) = PQ Vì MN//AC ( tính chất đường trung bình tam giác ABC) Nên theo định lý giao tuyến ba mặt phẳng ta có: MN//AC//PQ hình 13 Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang với đáy lớn AB Gọi M,N trung điểm SA SB a) Chứng minh MN//CD b) Gọi P giao điểm SC (AND) Hai đường thẳng AN DP cắt I Chứng minh SI//AB//CD SA//IB Bài giải: a) MN đường trung bình tam giác SAB nên MN//AB Mà AB//CD ( ABCD hình thang) Nên suy MN//CD (hình 13) b) Chứng minh SI//AB//CD Gọi E = AD ∩ BC Trong mp (SBC): NE cắt SC P GV: LÂM THỊ KIM CÚC suy P giao điểm SC mp (AND) ( SAB ) ∩ ( SCD) = SI  Cách 1: Ta có:  AB / /CD  AB ⊂ SAB ; CD ⊂ SCD ( ) ( )  ⇒ SI//AB//CD ( SAB ) ∩ ( ABCD ) = AB  Cách 2: Ta có ( SAB ) ∩ ( SICD ) = SI (hình 14)  ( ABCD ) ∩ ( SICD ) = CD ⇒ SI//AB//CD (Theo định lí giao tuyến mặt phẳng)  Chứng minh SA//IB Xét tam giác SAI có: MN//SI ; AM 1 = ⇒ MN = SI AS 2 (theo định lí talet đảo) (1) Mặt khác : MN//AB MN = AB (2) Từ (1) (2) ⇒ tứ giác SABI hình bình hành Do SA//IB (hình 15) Ví dụ 5: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành, có M, N,P,Q nẳm BC, SC SD, AD, cho MN//SB, NP//CD, MQ//CD a)Chứng minh PQ//SA b) Gọi K giao điểm MN PQ Chứng minh SK//AD//BC Bài giải: a) Chứng minh PQ//SA Trong (SCD) : NP//CD nên SP SN = (1) SD SC Trong (SBC): MN//SB nên BM SN = (2) BC SC MQ//CD//AB nên BM AQ = (3) BC AD GV: LÂM THỊ KIM CÚC (hình 16) Từ (1);(2)và (3) ⇒ SP AQ = (hình 15) SD AD Vậy: PQ//SA b)Chứng minh SK//AD//BC(hình 16) Ta có: MN cắt PQ K  SK = ( SAD ) ∩ ( SBC )   AD ⊂ ( SAD ) ⇒ SK / / AD / / BC  BC ⊂ SBC ( )   AD / / BC  Hình 17 Ví dụ : Trong mặt phẳng (α) cho tam giác ABC vuông A Gọi O trung điểm BC Lấy điểm S mặt phẳng ( α) cho SB = a SB ⊥ OA Gọi M mọt điểm cạnh AB , mặt phẳng (β) qua M song song với SB OA , cắt BC ,SC , SA N , P , Q Chứng minh MNPQ hình thang vuông S Bài Giải a Chứng minh MNPQ hình thang vng : ( β ) // OA  Ta có : OA ⊂ ( ABC ) MN = ( β ) ∩ ( ABC )  ( β ) // SB  SB ⊂ ( SAB ) MQ = ( β ) ∩ ( SAB )  ( β ) // SB  SB ⊂ ( SBC )  NP = ( β ) ∩ ( SBC )  ⇒ ⇒ MN // OA P (1) N O B MQ // SB C Q (2) M ⇒ NP // SB (3) Từ (2) (3) ,suy MQ // NP // SB (4) ⇒ MNPQ hình thang A α (hình 18) OA ⊥ SB  MN ⊥ MQ  ⇒ Từ (1) (4) , ta có :  MN / / OA  MQ / / NP / / SB  MN ⊥ NP  Vậy : MNPQ hình thang vng , đường cao MN Ví dụ 7: Cho tứ diện ABCD có cạnh a Gọi M N trung điểm CD AB a/ Hãy xác định điểm I ∈ AC , J ∈ DN cho IJ//BM b/ Tính độ dài đoạn thẳng IJ theo a GV: LÂM THỊ KIM CÚC Bài giải: a) Trong mặt phẳng (BCD), từ D vẽ đường thẳng b) song song với BM cắt CB K Nối K N cắt AC I Trong mp (IKD), từ I vẽ đường thẳng song song với DK cắt đường thẳng DN J Khi theo cách dựng ta có IJ//BM hình 19 c) Do BM đường trung bình tam giác CKD nên: KD = BM = a =a Gọi H trung điểm BC, đó: NK KH 3HC = = =3 NI HC HC ⇒ NK = NI ⇒ KD = 3IJ NH / / AC ⇒ Vậy IJ = KD = a 3 Dạng : Tìm giao tuyến mặt phẳng (dùng quan hệ song song) Ngồi việc tìm giao tuyến hai mặt phẳng dựa vào hai điểm chung hai mặt phẳng, ta có thêm cách khác sau : - Tìm điểm chung hai mặt phẳng - Tìm phương giao tuyến( biết giao tuyến song song với đường thẳng Khi giao tuyến đường thẳng qua điểm chung song song với đường thẳng cho Ví dụ : Cho hình chóp ABCD có đáy hình bình hành ABCD Gọi H, K trung điểm SA, SB a) Chứng minh HK//CD b) Tìm giao tuyến (SAB) (SCD) c) Cho M điểm thuộc SC Tìm giao tuyến (SCD) (MHK) Bài giải : a) Ta có HK//AB (vì HK đường trung bình tam giác SAB) Mà AB//CD ( ABCD hình bình hành ) ⇒ HK / / CD b) Ta có S ∈ ( SAB ) ∩ ( SCD ) GV: LÂM THỊ KIM CÚC 10 AB ⊂ ( SAB ) ; CD ⊂ ( SCD ) Và AB//CD (vì ABCD hình bình hành) Suy ( SAB) ∩ ( SCD ) = Sx (Sx/ / AB/ / CD)  M ∈ ( SCD ) ∩ ( MHK )  c) Ta có : CD ⊂ ( SCD ) ; HK ⊂ ( MHK ) CD / / HK  hình 20 ⇒ ( SCD ) ∩ ( MHK ) = d ; với d qua M d//CD//HK Ví dụ : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang đáy lớn AB Gọi I,K trung điểm AD , BC G trọng tâm tam giác SAB a) Tìm giao tuyến mặt phẳng (IKG) với mặt phẳng (SAD) b) Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng (IKG) Thiết diện hình ? tìm điều kiện để thiết diện hình bình hành Bài giải : a) Ta có G ∈ ( IKG ) ∩ ( SAB ) IK ⊂ ( IKG ) ; AB ⊂ ( SAB ) IK / / AB ( I,K trung điểm AD , BC) Suy : ( IKG ) ∩ ( SAB ) =d ( đường thẳng d qua G, d cắt SA M, cắt SB N ta MN//IK//AB) b) Nối IK, KN, NM, MI ta thiết diện c) hình thang IKNM Ta có : MN//AB ⇒ MN SG = = với E = AB ∩ SG AB SE AB Mặt khác : IK = ( AB + CD ) Do : MN = (hình 21) Muốn hình thang IKMN hình bình hành MN= IK Ta có MN = IK ⇔ AB = ( AB + CD ) ⇔ AB = 3CD ( điều kiện cần tìm) Ví dụ : Cho tứ diện ABCD điểm M thuộc cạnh BC, N thuộc cạnh AC Qua hai điểm M, N vẽ mặt phẳng (α ) Tìm thiết diện (α ) với tứ diện ABCD : GV: LÂM THỊ KIM CÚC 11 a) (α ) //CD b) (α ) //CD (α ) // AB Bài giải : CD/ /(α )  a) Ta có CD ⊂ ( α )   M ∈ ( α ) ∩ ( BCD ) ⇒ ( α ) ∩ ( BCD ) = MQ ( MQ / /CD, Q ∈ BD ) ( 1) Tương tự ta có : NP//CD (2) Từ (1) (2) suy MQ//NP (hình 22) Vậy thiết diện cần tìm hình thang MNPQ với MQ//NP (hình 22) b)Theo câu a, ( α ) ∩ ( BCD ) = MQ ; ( α ) ∩ ( ACD ) = NP mặt khác : NP//MQ ⇒ MN = ( α ) ∩ ( ABC ) Ngoài (α ) //AB nên MN//AB Tương tự, ta có : PQ//AB Vậy MNPQ hình bình hành (Hình 22) (Hình 23) GV: LÂM THỊ KIM CÚC 12 BÀI TẬP TỔNG HỢP Cho hình chóp S.ABCD có đáy tứ giác lồi.Gọi M ,N ,E ,F trung điểm cạnh bên SA ,SB ,SC ,và SD a)Chứng minh ME//AC , NF//BD b)Chứng minh ba đường thẳng ME ,NF ,và SO(O giao điểm AC BD) đồng qui c)Chứng minh điểm M,N,E,F đồng phẳng Cho hai hình bình hành ABCD ABEF không nằm mặt phẳng Trên đoạn AC BF lấy điểm M ,N cho: AM = kAC BN = kBF (0 < k < 1) a)Giả sử k = 1/3 ;chứng minh MN // DE b)Giả sử MN // DE tính k 3.Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AC, BC, AD lấy điểm M,N,P.Dựng giao tuyến (MNP)  (BCD) trường hợp sau: a) PM cắt CD b) PM //CD 4.Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình thang đáy lớn AB Gọi M, N trung điểm SA SC a)Dựng giao tuyến (SAB)  (SCD) , (DMN)  (ABCD) b)Dựng thiết diện hình chóp với mặt phẳng (DMN) 5.Cho hình chóp S.ABCD có đáy tứ giác lồi.Gọi M N trọng tâm tam giác SAB SAD E trung điểm BC a)Chứng minh MN // BD b)Dựng thiết diện hình chóp với mặt phẳng (MNE) c)Gọi H K giao điểm mặt phẳng (MNE) với cạnh SB SD Chứng minh LH // BD Cho hình chơp S.ABCD đáy hình bình hành tâm O Gọi M,N ,P trung điểm OB, SO, BC a) tìm giao tuyến (NPO) (SCD) ; (SAB) (AMN) b) Tìm giao điểm E SA (MNP) c) CMR ME//NP d) Tìm thiết diện (MNP) hình chóp Cho hình vng cạnh a , tâm O Gọi S điểm mặt phẳng (ABCD) cho SB = SD Gọi M điểm tùy ý AO với AM = x mặt phẳng ( α) qua M song song với SA BD cắt SO , SB , AB N, P , Q a Tứ giác MNPQ hình ? b Cho SA = a Tính diện tích MNPQ theo a x Tính x để diện tích lớn Cho hình chop S.ABCD đáy hình thang ABCD với đáy AD BC GV: LÂM THỊ KIM CÚC 13 MỤC LỤC ĐẶT VẤN ĐỀ………………………………………………………………………… 1.1-Lý chọn đề tài .1 1.2- Phạm vi nghiên cứu đối tượng nghiên cứu .1 GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2.1 - Cơ sở lý luận 2.2- Thực trạng 2.3- Các biện pháp tiến hành giải vấn đề đề tài Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng song song a b .6 Dạng 2: Tìm giao thuyến mặt phẳng (dùng quan hệ song song) .11 GV: LÂM THỊ KIM CÚC 14 KẾT LUẬN 1.Kết luận Qua trình thực đề tài thu số học kinh nghiệm: - Học sinh muốn học tốt hình học khơng gian phải tự rèn luyện cách sau nghe giáo viên giảng tập hình lớp, nhà phải tự vẽ hình giải lại bài, tự trình bày theo ý hiểu biến giải thành giải riêng có khắc sâu phương pháp chứng minh dạng toán - Cần rèn luyện cho học sinh sau đọc đề cần phân tích chọn lời giải tối ưu -Biết linh hoạt việc lựa chọn cách giải phải để ý đến thời gian làm bài, là kiểm tra - Biết phân tích tốn tìm cách giải khác nhau, từ nhằm phát huy tính sáng tạo khái qt hóa tốn - Rèn luyện cách trình bày cách chặt chẽ, cẩn thận Trên số phương pháp để rèn luyện cho học sinh, nhiên phạm vị đề tài giải số toán Rất mong anh chị đồng nghiệp góp ý kiến để có cách dạy hình học khơng gian cách tốt hiệu cao Tôi xin chân thành cảm ơn! Đăklăk, ngày tháng 12 năm 2014 Người viết LÂM THỊ KIM CÚC GV: LÂM THỊ KIM CÚC 15 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Văn Hạo: Hình học 11- Nhà xuất Giáo dục, năm 2008 [2] Nguyễn Mộng Hy: Bài tập hình học 11- Nhà xuất giáo dục, năm 2008 [3] Nguyễn Hữu Ngọc: Các dạng tốn phương pháp giải hình học 11- Nhà xuất giáo dục Việt Nam, năm 2011 [4] Lê Hồnh Phị : bồi dưỡng học sinh giỏi tốn hình học 11- Nhà xuất đại học quốc gia Hà Nội, năm 2011 GV: LÂM THỊ KIM CÚC 16 ... phương pháp dạy học Tôi đưa chuyên đề ““ Phân loại phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song không gian” Ý tưởng đề tài phân loại giải số tập hai đường thẳng song song không gian qua đưa hệ... phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song giao tuyến chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng đó”; Cách 4: Dùng định lí giao tuyến mặt phẳng (3 giao tuyến đôi song song đồng qui) GV: LÂM... (hình 2) (hình 3) Hệ quả: ( SGK trang 57) Nếu hai mặt phẳng phân biệt qua hai đường thẳng song song giao tuyến chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng (α ) ∩ ( β ) = d  a ⊂ (α )  Nếu  d//a//b