ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM LÂM QUANG TÀI TÍNH DUY NHẤT CỦA HÀM ĐA ĐIỀU HỊA DƢỚI Chuyên ngành: Giải tích Mã số: : 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: GS-TSKH NGUYỄN QUANG DIỆU Thái Nguyên, năm 2015 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan nội dung trình bày luân văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác công bố Việt Nam Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng 10 năm 2015 Tác giả Lâm Quang Tài Xác nhận Xác nhận trƣởng khoa chuyên môn ngƣời hƣớng dẫn khoa học GS TSKH Nguyễn Quang Diệu Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn LỜI CẢM ƠN Đầu tiên xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS-TSKH Nguyễn Quang Diệu người thầy tận tình giúp đỡ, động viên tơi suốt q trình hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo mơn Giải Tích trường ĐHSP Thái Ngun truyền thụ kiến thức quan trọng cho tôi, tạo điều kiện thuận lợi, cho tơi ý kiến đóng góp q báu giúp đỡ tơi nghiên cứu hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn ĐHSP Thái Nguyên khoa tốn - tin nơi mà tơi đào tạo hồn thành luận văn thạc sỹ Tơi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè người ln ủng hộ tơi suốt q chình hồn thành luận văn Thái Nguyên tháng 10 năm 2015 Tác giả Lâm Quang Tài Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn MỤC LỤC Trang Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii MỞ ĐẦU Chƣơng KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Phân bố 1.2 Dạng vi phân 1.3 Dòng 1.4 Hàm nửa liên tục 1.5 Hàm điều hòa 11 1.6 Hàm đa điều hòa 13 1.7 Hàm đa điều hòa cực đại 16 1.8 Toán tử Monge-Ampère phức 18 Chƣơng TÍNH DUY NHẤT CỦA HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƢỚI 34 2.1 Bài toán 34 2.2 Tính hàm đa điều hòa 34 KẾT LUẬN 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO 44 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Tính hàm có vai trị quan trọng tốn học Ở phổ thơng ta thường gặp tốn giải phương trình, việc tìm lời giải khơng dễ dàng cách thơng thường ta lại tìm nghiệm Cơng việc chứng minh hàm số có nghiệm miền xác định Tương tự giải tích hàm ta có: Giả sử dãy hàm f1 ( x) , f ( x) …, f n ( x ) xác f n ( x) f(x) ta có f(x) định miền D thỏa mãn lim n Tính hàm nhà tốn học quan tâm, đặc biệt giải tích phức Trong lớp dãy hàm chỉnh hình biết Định lí tồn hàm chỉnh hình Cụ thể: Giả sử cho f ( z ) , g ( z ) hàm chỉnh hình miền zn mở  n Nếu f ( zn ) mà hội tụ tới điểm a g ( zn ) dãy điểm khác f ( z ) g ( z ) với z Thế lớp hàm đa điều hòa xác định miền mở  n sao? Chúng có hay khơng, khơng chúng phải thỏa mãn điều kiện để trở thành nhất? Mục đích nghiên cứu Mục đích đề tài trình bày số kết gần Nguyễn Quang Diệu tính hàm đa điều hịa tập mở  n nhằm làm sáng tỏ vấn đề Nhiệm vụ nghiên cứu Cho miền siêu lồi bị chặn  n Cho K chỉnh hình Cho u1, u2 chúng tập compact lồi PSH ( ), u1, u2 phải thỏa mãn điều kiện để Đây nhiệm vụ hàng đầu mà ta cần giải Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Ta nghiên cứu tập hàm đa điều hòa dưới, âm tập mở miền siêu lồi bị chặn  n Nội dụng luận văn Nội dung luận văn trình bày số kết gần Nguyễn Quang Diệu tính hàm đa điều hịa tập mở  n Chương I Trình bày kiến thức sở hàm nửa liên tục, đa điều hịa dưới, tốn tử Monge-Ampère làm sở lí thuyết cho chương sau Chương II Phát biểu chứng minh chi tiết tốn “tính hàm đa điều hòa dưới” Phƣơng pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu dựa vào tính chất tốn tử Monge-Ampère với đặc trưng hình học tập lồi phân hình lồi chỉnh hình làm cơng cụ để chứng minh tính hàm đa điều hòa dưới, âm thỏa mãn số điều kiện cho trước tập mở  n Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn Chƣơng KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Phân bố Định nghĩa Giả sử U  n tập mở Một phân bố U dạng tuyến tính liên tục D(U ) , với D(U ) hàm khả vi vô hạn U Ta kí hiệu phân bố U D (U ) Ví dụ : Giả sử U bố u f  n tập mở f C(U ) f xác định phân D (U ) cho uf ( ) f dV , D(U ) U Thật vậy, rõ ràng u f dạng tuyến tính D(U ) Giả sử K Ð U Chọn k f liên tục U Khi với uf ( ) D(U ) , sup p c K , , K , ta có: Vậy u f ( ) phân bốtrên U 1.2 Dạng vi phân Giả sử  n không gian vector n-chiều với sở tắc e j = (0,…,1,0,…,0), ở vị trí thứ j Giả sử với 1≤ j ≤ n kí hiệu u j hàm tọa độ thứ j : u j ( x) x j Một ánh xạ n f :   n  p gọi p - tuyến tính tuyến tính theo biến biến khác cố định Một ánh xạ p - tuyến tính cho f (v1, , v p ) v j v j , 1≤ j < p gọi p - tuyến tính thay dấu Tập p - tuyến tính thay dấu từ Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn n   n  p n p kí hiệu n ( ,  ) Bằng cách thay v j uk (v j )ek , ta biểu diễn k ánh xạ p - tuyến tính thay dấu cơng thức f (v1, v2, , v p ) f j (u j1 j1 u j p )(v1, , v p ) jp n đó: (u j1 u j p )(v1, , v p ) det u jk (v j ) f J Định nghĩa : Giả sử   n tập mở Một p - dạng vi phân Ω ánh xạ p : Nếu đặt dxk ( x) uk , ≤ k ≤ n, x vi phân ( n,  ) từ lí luận ta viết p - dạng dạng : (x) I (x)dxI I I (i1, , i p ) , i1 dxI I ( x) hàm n dxi1 dxip Tùy thuộc vào hàm khả vi lớp hay trơn… ta nói ip I I ( x) hàm bị chặn, liên tục ( x) dạng bị chặn, liên tục khả vi lớp hay trơn… 1.3 Dịng 1.3.1 Định nghĩa Một dịng bậc p hay có chiêu (n-p) tập mở T : D(n p) ( ) compact  n dạng tuyến tính liên tục  , với D(n p) ( ) không gian (n- p) - dạng trơn có giá Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn dạng D(n p) ( ) , giá trị T Nếu , kí hiệu T ( ) hay T , Thơng thường dịng thường xét với tôpô yếu Như với tôpô này, dãy Tn dòng bậc p gọi hội tụ tới dòng T bậc p Tn hội tụ tới T không gian ( D( n p) dãy ( )) , nghĩa với a D( n ) I ,J T ( dxJ ) chọn cho I ,J dxI dxJ dạng thể tích  n Từ T ( D( n bố D(U ) xác định TI ( I ,J T, ( j1, , jn p ) dãy tăng số phần bù I n Giả sử J tâp 1,2, ,n Khi ( ) , Tn ,  n , T ( D( n p ) ( )) Giả sử I (i1, , i p ) dãy tăng với Giả sử T bậc p i1 i p p) dV p) dx1 dxn ( )) nên TI ( D( )) , nghĩa phân Do dịng T bậc p viết ' T TI dxI I dòng bậc p phân bố Nếu coi Dn ( ) D( ) dịng bậc T với u phân bố dòng bậc p xem p dạng vi phân với hệ số viết: udx1 dxn Lúc ta cần thống T với u nói ngược lại phân bố Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn Dịng T bậc p trên khơng gian D0( n compact gọi cấp thác triển tới dạng tuyến tính liên tục p) ( ) (n p) dạng với hệ số hàm liên tục có giá Trong trường hợp ' T TI dxI I TI dạng tuyến tính liên tục C0 ( ) với giá trị  , TI độ đo Borel quy phức Ví dụ : Giả sử  n tập mở E dịng bậc , kí hiệu E , tập Borel Khi E xác định cho E , Dn ( ) , E Dòng E gọi dịng tích phân Khi xét dạng vi phân dòng tập mở  n phát biểu khái niệm theo tọa độ phức z dx j (dz dz ) j j dy j (dz dz ) j j 2i  2n ta (z1, z2, , zn )  n Bằng cách thay và xuất khái niệm dạng phức song bậc (p, q) dòng song bậc (p, q) 1.3.2 Dòng song bậc Định nghĩa Mỗi phần tử T ( D( n p n q ) ( )) gọi dòng song bậc ( p,q) hay ( p,q) dòng (tương ứng với song chiều (n ( D0( n p.n q ) p, n q) ) Những phần tử ( )) gọi dòng cấp , song bậc (hay ( p,q) dòng cấp ) Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn lim (u(z) v(z)) z Vậy u v Ð Bước 1.Giả sử u, v hai hàm liên tục Khi liên tục Với v u u v =là tập mở u, v 0, đặt u max u ,v Từ giả thiết lim(u(z) v(z)) z suy u(z) v(z) hay u(z) Vậy u u v(z) u gần biên v(z) với z v Theo Cơng thưc Stokes ta có (ddcu )n (dd cu)n hay (dd cu ) n u v (dd cu) n u v Do u c n v nên (dd u ) (ddcv)n Vậy (dd cv) n u v (dd cu ) n liminf Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN u v (dd cu) n u v http://www.lrc.tnu.edu.vn 30 Bước Giả sử u, v tùy ý miền cho u v Ð hai dãy u j vk hàm đa điều hòa trơn lân cận u v cho u j giả sử G vk Ta có tồn hàm giảm tới , u, v hàm liên tục \G cho v liên tục Tồn Lấy với j, k coi tập mở cho Cn (G, ) Ð u j , vk F \G Ta có (ddcv)n lim j u v Nhưng u j uj v (ddcv)n uj v uj vk tập mở nên (dd cv) n uj v (dd cv) n (dd cv) n uj k G (dd cvk ) n lim inf Cn (G, ) G , uj v c n (dd vk ) hội tụ yếu đến (ddcv)n Từ uj uj v G u j v uj vk suy (dd cvk ) n (dd cvk ) n uj uj v (dd cvk ) n (dd cvk ) n G u j vK Ta áp dụng bước vào hàm liên tục u j vk thu Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 31 (ddcvk )n (ddcu j )n u j vk u j vk Do (dd cv)n j u v k uj vj (dd cu j ) n lim sup f (dd cu j ) n liminf lim inf uj v Hơn (dd cu j )n (dd cu j )n uj v từ u v uj v F tập compact u j F v u v nên (ddcu j )n limsup j uj v F (dd cu)n u v F (dd cu)n u v Do ta đến (ddcv)n u v Từ với (dd cu)n u v ta có (ddcv)n u v (dd c (u u ))n v (ddcu)n u v Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 32 Nhưng u v u v u v u v Do (dd cv)n (dd cu)n u v u v  n miền bị chặn 1.8.2.2 Hệ quả.(Nguyên lí so sánh) Giả sử u, v PSH ( ) L ( ) cho zlim (u(z) v(z)) Hơn giả sử (ddcu)n (ddcv)n Khi v u Chứng minh Đặt ( z) với M chọn đủ lớn cho cho u v z M Khi có Giả sử u v có độ đo Lebegues dương Do Định lí 1.8.2.1 ta có (ddcu)n (ddc (v u v ))n u v (ddcv)n u v n (ddc )n u v (ddcv)n n n n! n ( u v ) u v (ddcv)n u v (ddcu)n Mâu thuẫn u v Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 33 Chƣơng TÍNH DUY NHẤT CỦA HÀM ĐA ĐIỀU HỊA DƢỚI 2.1 Bài tốn Cho tập mở  n Kí hiệu tập hàm đa điều hòa âm PSH ( ) Miền bị chặn  n gọi miền siêu lồi tồn hàm đa điều hòa âm liên tục vét cạn Ví dụ Hình cầu hay đa đĩa miền siêu lồi  n Cho u, v PSH ( ) thỏa mãn lim u(z) z lim v(z) z Với số điều kiện thích hợp chứng minh u v Trước đưa kết chính, ta cần nhắc lại số khái niệm Cho z tập mở, tập K compact gọi tập lồi chỉnh hình với \ K tồn hàm chỉnh hình f f K thỏa mãn f (z) Ví dụ Một hình cầu đóng lồi chỉnh hình hình cầu mở chứa hình cầu đóng Ta chứng minh điều khẳng định sau 2.2 Tính hàm đa điều hịa dƣới 2.2.1 Định lí Cho miền siêu lồi bị chặn  n Cho K hình Cho u1, u2 tập compact lồi chỉnh PSH ( ) thỏa mãn điều kiện sau Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 34 (a) lim u1(z) lim u2(z) z (b) (dd cu1)n (c) u1 z (dd cu2 ) n K \K u2 (dd cu1)n (d) \ K (dd cu2)n (dd cu2)n K Khi u1 u2 \K Định lí 2.2.1 dùng cho ánh xạ đa thức n biến thay đổi Trước đến kết cuối cần vài điều sau Cho ánh xạ đa thức P ( p1, , pn ) :  n  n , ta viết (P) để phương trình đa thức ẩn p1, , pn , ta ln kí hiệu (P ; ) đa thức nhiều biến thỏa mãn z  n : p1(z) , , pn (z) 2.2.2 Hệ Cho P ( p1, , pn ) , Q (q1, , qn ) ánh xạ đa thức từ  n  n Giả sử điều kiện sau thỏa mãn : n n deg p j (a) j deg q j j (b) Tồn a thỏa mãn(P ;a) = (Q ;a) =: Ω với Ω miền liên thông (c) Tồn thỏa mãn (P ;b) ⊂ (Q ;b) với b (a Khi với j n tồn k( j) n số j , a) thỏa mãn pj q j k ( j) Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 35 Nhận xét : Điều kiện (a) khơng bỏ P ( z12 , z22 , , zn2 ) ( z1 , z2 , , zn ) , Q thỏa mãn (b) (c) khơng thỏa mãn kết luận Định lí Để chứng minh Định lí ta cần : Nhắc lại E0 ( ) lớp Cegrell tập hàm u PSH ( ) bị chặn thỏa mãn lim u(z) (dd c u)n z dùng đến kết sau 2.2.3 Bổ đề Cho K tập compact lồi chỉnh hình lân cận U z0 lân cận K E0 ( ) Với z0 C( ) thỏa mãn \ K Khi tồn trên , hàm đa điều hòa chặt U Chứng minh Đầu tiên ta cần tồn hàm đa điều hòa liên tục u thỏa mãn sup u u(z0 ) z K Ta cần dùng số kỹ thuật Poletsky (xem Bổ đề 4.1 Gọi hàm bị chặn, khơng liên tục, đa điều hịa vét cạn Chọn thỏa mãn K z0 Từ K tập lồi chỉnh hình v PSH ( ) C( ) số , ta tìm thấy hàm bị chặn thỏa mãn v Đặt K , v( z0 ) giá trị lớn v z : (z) Khi có Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 36 Bởi hàm : nhỏ v max ,0 lớn v Do có hàm u đạt giá trị max điều hòa ,v hàm đa Ta cần chứng minh u bị chặn u v Đặt a : sup u(z) u(z0) b : sup u(z) z K Chọn hàm lồi tăng dần có uˆ : :( , b) z  thỏa mãn (a) (b) nhỏ tùy ý, ta tìm lân cận U z0 thỏa mãn hàm  u( z) z hàm đa điều hòa liên tục chặt U sup uˆ inf uˆ sup uˆ U K Đặt u : max uˆ, Do u PSH ( ) , u lân cận K u u hàm đa điều hòa chặt U Đặt B hình cầu mở chứa thuộc lớp hàm C( ) Khi ta biết có hàm đối xứng đạt cực trị (z) : sup (z) : PSH ( ), : max A , u PSH ( ) , B E0 ( ) Do có A đủ lớn, lân cận K A lân cận nhỏ u U , Theo Định lí Stokes ta có Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 37 (dd c )n C( ) Vậy An (dd c )n E0( ) Chứng minh hồn thành Bây ta chứng minh Định lí 2.2.1 Chứng minh Định lí 2.2.1 Ta thực bước Bước : Ta (u2 u1)T \ K , với n (dd cu1)l (dd cu2)n T: l l Ta có (u2 u1)dd c z Chọn z0 T \K \ K Theo Bổ đề 2.2.3, tồn lân cận U E0 ( ) thỏa mãn \ K z0 hàm đa điều hòa lân cận K chặt U Chú ý giả thiết (a) (b), max u1, j u1 , (dd cmax u1, j )n (dd cu1)n với j Ở đại lượng cuối có Định lí Stokes Nó u1 F ( ) Xemphần phần lớp hàm Cegrell F(Ω) Tương tự ta có u2 F ( ) Do Hệ 5.6 ,ta có ddcu1 T , dd cu2 T Đến ta thêm vào lớp Cegrell mở rộng tính chất Cơng thức (Hệ 3.4 ), hay u1ddc ddcu1 T T (2.1) ddcu2 T u2ddc Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN T http://www.lrc.tnu.edu.vn 38 Từ \ K từ dd c K , ta có u1 u2 lân cận K , ta thêm vào (2.1) để có (u2 u1)ddc T K (u2 u1)dd c T (u2 u1)dd c T (dd cu2)n (dd cu1) n (ddcu2)n (ddcu1)n (ddcu2)n (ddcu1)n \K K Ở đại lượng cuối có (b), (c) hàm đa Từ điều hòa chặt U ta có (u2 u1)dd c z Bước : Ta u1 u2 z U \K Từ K miền lồi chỉnh hình f (B) T \ K thỏa mãn u1(a) u2 (a) Giả sử tồn a B , ta tìm hình cầu đủ nhỏ để \ K chứa điểm a hàm chình hình f Đặt Z tập chứa điểm x f (K ) : f ( z) Gọi S tập z Z : f ( z) thỏa mãn thỏa mãn siêu mặt giải tích phức f ( x) trơn Theo Định lí Sard, Vì ta chọn điểm \ K có độ đo Lebesgue B thỏa mãn u1( ) u2 ( ) f ( ) chứa điểm Ta có S K Theo bước ta có (u2 u1)(dd cu1) n Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN \K http://www.lrc.tnu.edu.vn 39 Gọi u1 , u hạn chế u1 , u S Giờ ta áp dụng Định lí BedfordTaylor 1.8.1.7 ta thu (u2 u1)(dd cu1) n S Từ u1 , u không bị chặn địa phương , ta sử dụng trực tiếp kết Định lí Bedford- Taylor 1.8.1.7 Thay vào ta theo quy tắc: Đầu tiên ta thấy kết rõ ràng u1 , u trơn, theo Khẳng định 5.1 liên tục tốn tử Monge- Ampère (Định lí Bedford- Taylor 1.8.1.7) F ( ) , ta có kết mong muốn Từ u1 u2 S ta suy (dd cu1 ) n u1 u2 Chú ý tập compact nên (S z lim (S ),z S ) Bởi (u ( z )1 u2 ( z )) Do tính trơn siêu mặt giải tích phức S ta có u1 u2 S Đặc biệt u1 ( ) u1 ( ) u2 ( ) u2 ( ) Điều mâu thuẫn với việc chọn Vậy ta có điều cần chứng minh 2.2.4 Nhận xét Nếu ta giả định u1 u2 toàn tập Định lí 2.2.1 trường hợp đặc biệt Bổ đề 2.2.3 Bổ đề 3.5 Thật vậy, gọi z0 điểm K \ K Chọn ( ) thỏa mãn hàm đa điều hòa chặt lân cận z0 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 40 1, Theo Bổ đề 3.5 ta có (u2 u1 ) n (dd c ) n n! Theo giả định u1 , u việc chọn )(dd cu2 ) n ( ( )(dd cu1 ) n ta có (u2 u1 )n (dd c )n Đặc biệt ta có u1 ( z0 ) u2 ( z0 ) Theo chứng minh Hệ 2.2.2.Từ ánh xạ đa thức P, Q :  n suy chúng bị chặn Từ ta coi  n ta miền siêu lồi Đặt u max log p1 , ,log pn v max log q1 , ,log qn Ta có (dd c ) n m Z (P) Ở hàm Diarac theo biến Đặt K : P( P; a m phép nhân Z (P) theo biến ) Nó cho ta n (dd cu ) n  n (dd cu ) n m Z ( P) K deg p j j Các đại lượng với (a) ta thu (dd cu )n K Còn (dd c v)n K K (ddcu)n (ddc v)n Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 41 Từ khẳng định (b) (c) ta có u v u v K Từ việc ta áp dụng Định lí 2.2.1 với u log(a) , v log(a) thu u v K Tiếp theo ta đặt U z K : pi ( z ) Từ ánh xạ đa thức P, Q :  n Xét p j ( z ) , qi ( z) q j ( z) với i j  n ta suy U tập mở thực j n chọn z0 U thỏa mãn p j ( z0 ) K u ( z0 ) Do tồn k ( j ) thỏa mãn qk ( j ) ( z0 ) u ( z0 ) Từ điều ta tìm thấy lân cận nhỏ V z U thỏa mãn p j ( z) u ( z ) v( z ) qk ( j ) ( z ) với z V Xét ánh xạ : p j qk ( j ) :  n qk ( j ) ánh xạ mở ánh xạ Từ ánh xạ vị, ta suy ánh xạ  mở V đường tròn đơn phải ánh xạ Vậy pj với số j q j k( j) Chứng minh định lí hồn thành Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 42 KẾT LUẬN Trong luận văn chúng tơi nghiên cứu tính hàm đa điều hoà tập mở  n Chương trình bày số kiến thức cần dùng nhằm phục vụ chương 2.trọng tâm kiến thức phần cách xây dựng tính chất tốn tử Monge-Ampère phức Ta đặc biệt ý đến Định lí 1.8.1.7 Chương trình bày nội dung phương pháp chứng minh định lí tính hàm đa điều hồ tập mở  n Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng việt Nguyễn Quang Diệu - Lê Mậu Hải (2009): Cơ sở lí thuyết đa vị, Nxb Đại học Sư phạm Hà Nội Tiếng Anh P Åhag, U Cegrell, R.Czyż and P.H.Hiep (2009), “Monge-Ampère measure on pluripolar sets”, J Math Pures Apple.(9) 92, 613-627 E Bedford and B A Taylor (1982), “A new capacity for plurisubharmonic functions”, Acta Math 149, 1- 40 E Bedford and B A Taylor(1988), “Plurisubharmonic functions with logarithmic singularities”, Ann Inst Fourier (Gr enoble) 38, no 4, 133-171 T Bloom and N levenBers (2003), “Weighted pluripotential theory in  N ”,Amer J Math.125, 57-103 U Cegrell (2004), “Thegeneral definition of the complexMonge-Ampère operator”, Ann Inst Fourier(Grenoble) 54, 159-179 E Poletsky (2004), “Jensen measures and analytic multifunction”, Ark Mat 42, 335-352 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 44 ... 1.4 Hàm nửa liên tục 1.5 Hàm điều hòa 11 1.6 Hàm đa điều hòa 13 1.7 Hàm đa điều hòa cực đại 16 1.8 Toán tử Monge-Ampère phức 18 Chƣơng TÍNH DUY. .. http://www.lrc.tnu.edu.vn 33 Chƣơng TÍNH DUY NHẤT CỦA HÀM ĐA ĐIỀU HỊA DƢỚI 2.1 Bài toán Cho tập mở  n Kí hiệu tập hàm đa điều hịa âm PSH ( ) Miền bị chặn  n gọi miền siêu lồi tồn hàm đa điều hòa âm liên tục... u(tz ) A Do u hàm đa điều hòa nên v(tz) A u(tz) A Do v( z ) u ( z ) G Điều phải chứng minh 1.7.2.Định lí Giả sử miền  n (i) Giới hạn dãy giảm hàm đa điều hòa cực đại hàm đa điều hòa cực đại