§1 SỐ PHỨC Số i Giải phương trình sau: a) x2 + = b) x2 + = Các phương trình có biệt số Δ âm nên nghiệm thực Vấn đề đặt ra: Có thể mở rộng tập hợp số thực thành tập hợp số phương trình bậc n có nghiệm hay không? Người ta giải vấn đề cách đưa số mới, kí hiệu i coi nghiệm phương trình x2 + = Nh°vậy i2 = - 2 Định nghĩa số phức • Một số phức biểu thức dạng a + bi, a b số thực số i thoả i2 = - Kí hiệu số phức z viết z = a + bi i gọi đơn vị ảo; a gọi phần thực; b gọi phần ảo •Tập hợp số phức kí hiệu C Ví dụ: a) Số phức z = - i ( tức ( - 1)i ) có phần thực 0, phần ảo – Đó số ảo b) Số phức z = + i có phần thực 2, phần ảo Chú ý: * Số phức z = a + 0i có phần ảo 0, gọi số thực viết a + 0i = a∈ R ⊂ C Như vậy, số thực số phức * Số phức z = + bi = bi ( b∈ R ) đặc biệt i = + 1i = 1i, có phần thực 0, gọi số ảo hay gọi số ảo * Số = + 0i = 0i vừa số thực vừa số ảo Số phức Hai số phức phần thực phần ảo chúng tương ứng a + bi = c + di a = c ⇔ b = d Ví dụ: Tìm số thực x y biết ( 2x + ) + ( 3y – )i = ( x + ) + ( y + )i Giải: Từ định nghĩa hai số phức nhau, ta có 2x + = x + 3y – = y + Vậy x = y = ? Khi số phức a + bi ( a, b∈ R ) 0? Biểu diễn hình học số phức * Mỗi số phức z = a + bi hoàn toàn xác định cặp số thực (a; b) Điểm M(a; b) hệ tọa độ vuông góc mặt phẳng gọi điểm biểu diễn số phức z = a + bi y M b O a x Ví dụ: ? Điểm A biểu diễn số phức + 2i Điểm B biểu diễn số phức - 3i Điểm C biểu diễn số phức -3 - 2i Điểm D biểu diễn số phức 3i Điểm A, B, C, D biểu diễn số phức y nào? D -3 -2 -1 O -1 C A -2 -3 B x Ví dụ: | − 2i |= 32 + ( − ) = 13 | + i |= + ( 3) =2 Hoạt động 4: Số phức có môđun 0? Gọi z = a + bi số phức cần tìm Theo đề, ta có: | z |= nên a + b = Vậy số phức cần tìm 6 Số phức liên hợp Hoạt động 5: Biểu diễn cặp số phức sau mặt phẳng tọa độ nêu nhận xét: y a) + 3i – 3i; b) -2 + 3i -2 – 3i A C -3 -2 -1 O -1 -2 D -3 B x Cho số phức z = a + bi Ta gọi a – bi số phức liên hợp z kí hiệu z = a − bi Ví dụ: z = −3 + 2i; z = −3 − 2i; z = − 3i; z = + 3i Chú ý: Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn z z đối xứng với y qua trục Ox b z = a + bi O a -b z = a - bi x Hoạt động 6: Cho z = – 2i a) Hãy tính z z Nêu nhận xét Giải: Ta có: z = + 2i z = – 2i Vậy: z = z b) Tính |z| | z | Nêu nhận xét | z |= + ( − 2) = 13 Ta có: Vậy: Nhận xét: | z |= 32 + 2 = 13 | z |=| z | z = z; z = z §2 CỘNG, TRỪ VÀ NHÂN SỐ PHỨC Phép cộng phép trừ Hoạt động Theo quy tắc cộng, trừ đa thức ( coi i biến ), tính: (3 + 2i) + (5 + 8i); (7 + 5i) – (4 + 3i) Giải: Ta có (3 + 2i) + (5 + 8i) = (3 + 5) + (2i + 8i) = + 10i; (7 + 5i) – (4 + 3i) = (7 – 4) + (5i – 3i) = + 2i Phép cộng phép trừ hai số phức thực theo quy tắc cộng, trừ đa thức Ví dụ: (4 + 2i) + (5 + 6i) = (4 + 5) + (2 + 6)i = + 8i; (7 + 4i) – (9 + 3i) = (7 – 9) + (4 – 3)i = -2 + i Tổng quát: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i; (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i CHÚ Ý: Phép cộng phép nhân số phức có tất tính chất phép cộng phép nhân số thực ? Hãy nêu tính chất phép cộng phép nhân số phức §3 PHÉP CHIA SỐ PHỨC Tổng tích hai số phức liên hợp Hoạt động Cho z = + 3i Hãy tính z + z z.z Nêu nhận xét Giải: Ta có z = - 3i Vậy z + z = (2 + 3i) + (2 – 3i) = z.z = (2 + 3i)(2 – 3i) = 22 – (3i)2 = + = 13 Nhận xét: z + z = x phần thực số phức z; z.z = bình phương môđun số phức z Tổng quát: Cho z = a + bi Ta có z + z = (a + bi) + (a – bi) = 2a z.z = (a + bi)(a – bi) = a2 – (bi)2 = a2 + b2 = |z|2 Vậy: * Tổng số phức với số phức liên hợp hai lần phần thực số phức * Tích số phức với số phức liên hợp bình phương môđun số phức Vậy tổng tích hai số phức liên hợp số thực 2 Phép chia hai số phức Chia số phức c + di cho số phức a + bi (điều kiện: a + bi ≠ 0) tìm số phức z cho c + di = (a + bi)z Số phức z gọi thương phép chia c + di cho a + bi kí hiệu là: c + di z= a + bi Ví dụ: Thực phép chia: + 2i cho + i Giải: + 2i Giả sử: z = + i Theo định nghĩa ta có: (1+ i)z = + 2i Nhân hai vế với số phức liên hợp + i, ta được: (1 – i)(1 + i)z = (4 + 2i) (1 – i) Suy ra: 2.z = - 2i hay z = ½(6 – 2i) = - i Vậy + 2i = – i 1+ i Tổng quát : c + di Giả sử: z = a + bi Theo định nghĩa phép chia số phức ta có: (a + bi)z = c + di Nhân hai vế với số phức liên hợp a + bi, ta được: (a – bi)(a +bi)z = (c + di) (a – bi) hay (a2 + b2)z = (ac + bd) + (ad – bc)i Nhân vế với số thực 2 ta a +b c + di ac + bd ad − bc = + i 2 a + bi a +b a +b Vậy z = a + b [ ( ac + bd ) + ( ad − bc ) i ] Chú ý: Trong thực hành, để tính thương mẫu với số phức liên h c + di a + bi , ta nhân tử Ví dụ: Thực phép chia: + 2i cho + 3i Giải: + 2i (3 + 2i ).(2 − 3i ) 12 − 5i 12 = = = − i + 3i (2 + 3i ).(2 − 3i ) 13 13 13 §4 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC Căn bậc hai số thực âm ? Thế bậc hai số thực dương a ? Tương tự bậc hai số thực dương , từ đẳng thức i = -1 ta nói i bậc hai -1, -i bậc hai -1 (-i)2 = -1 Từ ta xác định bậc hai số thực âm chẳng hạn: Căn bậc hai -2 ± i ± i = −2 ( ( Căn bậc hai -3 ± i ± i ) ) = −3 Căn bậc hai - ± 2i (± 2i)2 = -4 Tổng quát: Các bậc hai số thực a âm ±i a Phương trình bậc hai với hệ số thực Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = với a, b, c số thực, a khác Xét biệt số ∆ = b2 – 4ac phương trình Ta thấy: b * Khi ∆ = phương trình có nghiệm thực x = − 2a * Khi ∆ > 0, có hai bậc hai (thực) ∆ ± ∆ phương trình có hai nghiệm thực phân biệt, xác định công thức −b± ∆ x= 2a * Khi ∆ [...]... thực của số phức z; và z.z = bình phương môđun của số phức z Tổng quát: Cho z = a + bi Ta có z + z = (a + bi) + (a – bi) = 2a và z.z = (a + bi)(a – bi) = a2 – (bi)2 = a2 + b2 = |z|2 Vậy: * Tổng của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng hai lần phần thực của số phức đó * Tích của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng bình phương môđun của số phức đó Vậy tổng và tích của hai số phức liên... liên hợp là một số thực 2 Phép chia hai số phức Chia số phức c + di cho số phức a + bi (điều kiện: a + bi ≠ 0) là tìm số phức z sao cho c + di = (a + bi)z Số phức z được gọi là thương trong phép chia c + di cho a + bi và kí hiệu là: c + di z= a + bi Ví dụ: Thực hiện phép chia: 4 + 2i cho 1 + i Giải: 4 + 2i Giả sử: z = 1 + i Theo định nghĩa ta có: (1+ i)z = 4 + 2i Nhân cả hai vế với số phức liên hợp... bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i; (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i CHÚ Ý: Phép cộng và phép nhân các số phức có tất cả các tính chất của phép cộng và phép nhân các số thực ? Hãy nêu các tính chất của phép cộng và phép nhân số phức §3 PHÉP CHIA SỐ PHỨC 1 Tổng và tích của hai số phức liên hợp Hoạt động 1 Cho z = 2 + 3i Hãy tính z + z và z.z Nêu nhận xét Giải: Ta có z = 2 - 3i Vậy z + z = (2... nhiên trong trường hợp ∆ < 0, nếu xét trong tập hợp số phức ta vẫn có hai căn bậc hai thuần ảo của ∆ là ±i ∆ Khi đó phương trình có hai nghiệm phức được xác định bởi công thức x= −b±i ∆ 2a Ví dụ: Giải phương trình x2 + x + 1 = 0 trên tập số phức Ta có: Δ = 12 – 4.1.1 = - 3 nên phương trình có hai nghiệm phức −1 ± i 3 x= 2 Nhận xét + Trên tập hợp số phức, mọi phương trình bậc hai đều có hai nghiệm (không... nghĩa phép chia số phức ta có: (a + bi)z = c + di Nhân cả hai vế với số phức liên hợp của a + bi, ta được: (a – bi)(a +bi)z = (c + di) (a – bi) hay (a2 + b2)z = (ac + bd) + (ad – bc)i 1 Nhân cả 2 vế với số thực 2 2 ta được a +b c + di ac + bd ad − bc = 2 + 2 i 2 2 a + bi a +b a +b 1 Vậy z = a 2 + b 2 [ ( ac + bd ) + ( ad − bc ) i ] Chú ý: Trong thực hành, để tính thương mẫu với số phức liên h c + di... 3i (2 + 3i ).(2 − 3i ) 13 13 13 §4 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC 1 Căn bậc hai của số thực âm ? Thế nào là căn bậc hai của số thực dương a ? Tương tự căn bậc hai của một số thực dương , từ đẳng thức i 2 = -1 ta nói i là một căn bậc hai của -1, -i cũng là một căn bậc hai của -1 vì (-i)2 = -1 Từ đó ta xác định được căn bậc hai của các số thực âm chẳng hạn: 2 Căn bậc hai của -2 là ± i 2 vì ± i 2 =... thiết phân biệt) + Tổng quát, người ta chứng minh được rằng mọi phương trình bậc n với n ≥ 1 a0 + a1x + a2x2 + +an-1xn-1 + anxn = 0 (trong đó các hệ số là số phức) đều có nghiệm phức và các nghiệm không nhất thiết phân biệt Đó là định lý cơ bản của Đại số học ... 2 2 = 13 | z |=| z | z = z; z = z §2 CỘNG, TRỪ VÀ NHÂN SỐ PHỨC 1 Phép cộng và phép trừ Hoạt động 1 Theo quy tắc cộng, trừ đa thức ( coi i là biến ), hãy tính: (3 + 2i) + (5 + 8i); (7 + 5i) – (4 + 3i) Giải: Ta có (3 + 2i) + (5 + 8i) = (3 + 5) + (2i + 8i) = 8 + 10i; (7 + 5i) – (4 + 3i) = (7 – 4) + (5i – 3i) = 3 + 2i Phép cộng và phép trừ hai số phức được thực hiện theo quy tắc cộng, trừ đa thức Ví dụ:... ( ( Căn bậc hai của -3 là ± i 3 vì ± i 3 ) ) 2 = −3 Căn bậc hai của - 4 là ± 2i vì (± 2i)2 = -4 Tổng quát: Các căn bậc hai của số thực a âm là ±i a 2 Phương trình bậc hai với hệ số thực Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 với a, b, c là những số thực, a khác 0 Xét biệt số ∆ = b2 – 4ac của phương trình Ta thấy: b * Khi ∆ = 0 thì phương trình có một nghiệm thực x = − 2a * Khi ∆ > 0, có hai căn bậc ... lần phần thực số phức * Tích số phức với số phức liên hợp bình phương môđun số phức Vậy tổng tích hai số phức liên hợp số thực 2 Phép chia hai số phức Chia số phức c + di cho số phức a + bi (điều... C Như vậy, số thực số phức * Số phức z = + bi = bi ( b∈ R ) đặc biệt i = + 1i = 1i, có phần thực 0, gọi số ảo hay gọi số ảo * Số = + 0i = 0i vừa số thực vừa số ảo Số phức Hai số phức phần thực... 3) =2 Hoạt động 4: Số phức có môđun 0? Gọi z = a + bi số phức cần tìm Theo đề, ta có: | z |= nên a + b = Vậy số phức cần tìm 6 Số phức liên hợp Hoạt động 5: Biểu diễn cặp số phức sau mặt phẳng